Phân loại và hướng dẫn giải đề thi Đại học Cao đẳng môn Toán (Tái bản lần thứ ba, có chỉnh lí, bổ sung)

Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 2 điểm Nội dung kiến thức : Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian.. Xác định toa độ của điểm, vectở ; Đường tròn, ba đường cônic, m

TRAN DUC HUYEN - NGUYEN DUY HIẾU!

(Tái bản lần thứ ba, có chỉnh lí, bổ sung)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Công tỉ CPDV xuất bản Giáo dục Gia Định - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bố tác phẩm

LỜI NÓI ĐẦU

Để tạo điều kiện cho các em học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt

cho kì thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng, Công tỉ cổ phần Dịch vụ xuất bản Giáo dục Gia Định - Nhà

xuất bản Giáo dục Việt Nam kết hợp với nhóm tác giả là

những giáo viên giàu kinh nghiệm, đa số đang giảng dạy tại Trường Trung học phổ thông chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, tổ chức biên soạn bộ sách “Phân loại và hướng dẫn giải để thi Đại học - Cao đắng” Bộ sách gồm 8 môn : Toán,

Lí, Hoá, Sinh, Văn, Sử, Địa và tiếng Anh

Trên cơ sở nghiên cứu để thi của nhiều năm, căn cứ vào

“cấu trúc đề thi” của Bộ Giáo dục và Đào tạo, với kinh nghiệm

giảng dạy và mong muốn thí sinh đạt điểm cao trong các kì thi

Đại học — Cao đẳng, chúng tôi biên soạn cuốn sách này, gồm

Phan 3 Phương pháp ôn tập và luyện thi

B Phân loại và hướng dẫn giải đề thi môn Toán theo chú đề : gồm 10 chủ đề, mỗi chủ đề có hai phần : Tóm tắt lí thuyết và

Đề thi minh hoạ

G Đề thi tham khảo : gồm 10 đề cùng với Hướng dẫn giải.

Sách giúp học sinh tự học, tự kiểm tra, đánh giá Đặc biệt

qua việc tìm hiểu cấu trúc để thi, chúng tôi coi trọng việc hình

thành phương pháp học tập từng phân môn sao cho có hiệu

quả để các em chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học — Cao đẳng

Hi vọng bộ sách sẽ là tài liệu hữu ích trong quá trình ôn tập

Chúc các em đạt kết quả tốt

CÁC TÁC GIẢ

A CẤU TRÚC BE THI BAI HOC - CAO DANG

NAM 2014 MON TOAN

Phổn 1

GIỚI THIỆU CẤU TRÚC ĐỀ THỊ MỚI NHẤT

CUA BO GIAO DUC VA DAO TAO

Dé thi được ra theo chương trình trung học phổ thông (THPT) hiện hành, chủ yếu nằm trong chương trình lớp 12, gồm 2 phần :

— Phần chung cho tất cả thí sinh, ra theo nội dung giống nhau giữa chương trình

chuẩn và chương trình nâng cao ;

~— Phần riêng ra theo từng chương trình : chương trình chuẩn và chương trình nâng cao Thí sinh chỉ được chọn một phần riêng thích hợp để làm bài ; nếu làm cả bai phần riêng thì cả hai phần riêng đều không được chấm

Trong đề thi toán kì thi Đại học ~ Cao đẳng năm 2014, phần chung (gồm 5 câu) đành cho tất cả thí sinh chiếm bảy điểm, phần riêng (gồm 2 câu) chiếm ba điểm

Đề thi yêu cầu nhiều kiến thức mở rộng hơn so với kì thi tốt nghiệp

Cấu trúc đề thi cụ thể như sau :

i PHAN CHUNG CHO TAT CA THI SINH (7 diém)

Cau I (2 diém)

Nội dung kiến thức

— Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

~ Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hầm số :

1 Chiều biến thiên của hàm

2 Cực trị Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ;

3 Tiếp tuyến ;

4 Tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số ;

5 Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước ;

6 Tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng).

~ Công thức lượng giác ;

~— Phương trình lượng giác

Nội dung kiến thuức : Hình học không gian (tổng hợp)

1 Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng ;

2 Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay ; tính diện

tích mặt cầu ;

3 Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay và thể tích khối cầu

Câu V Bài toán tổng hợp (1 điểm)

DD puan rite 6 aiém

Thi sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu VI-a (2 điểm) :

Nội dung kiến thức : Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian

~ Xác định toạ điểm, vectơ ;

— Đường tròn, clip, mặt cầu ;

~—_ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng ;

Céiu trie dé thi Page ~ Cao déng nam 2014

— Tinh géc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường

thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu VILa (1 điểm)

Nội dung kiến thức :

= Số phức;

~_ Tổ hợp, xác suất, thống kê ;

~ Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số

2 Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

Nội dung kiến thức : Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian

Xác định toa độ của điểm, vectở ;

Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu ;

Viết phương trình mặt phẳng, đường thing ;

Tính góc ; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng ; khoảng cách

giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Câu VILb (1 điểm)

Nội dụng kiến thức :

~ Số phức ;

~— Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y= ¬ và một số yếu tố liên quan ; x+e

Sự tiếp xúc của hai đường cong ;

Hệ phương trình mũ và lôgarit ;

'Tổ hợp, xác suất, thống kê ;

Bất đẳng thức Cực trị của biểu thức đại số.

ũ Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge — Oao đẳng

Phản 2

PHÂN TÍCH CẤU TRÚC ĐỀ THỊ

DAI HOC - CAO DANG NAM 2014

BB pun cnune cuo 181 cA THI siINE

Đây là phần cơ bản và quan trọng vì nó chiếm 7 điểm trên tổng số 10 điểm của đề

thi đại học và cao đẳng Sau đây là phân tích chỉ tiết và cụ thể của từng câu

—_ Đối với các bài toái

số, thí sinh cần chứ ý liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm n4 vấn đề sau :

+ Tiếp tuyến có phương cho trước

2 Cần nắm vững định lí : Hệ số góc của tiếp tuyến thì bằng giá trị đạo hàm tại tiếp điểm

3, Nếu từ một điểm, kẻ được nhiều tiếp tuyến đến đồ thị thì cần quan tâm đến mối liên hệ giữa các tiếp tuyến đó

Céiu trie dé thi Page ~ Cao déng nam 2014

s Tâm đối xứng của đồ thị ;

+ Điểm cố định mà họ đồ thị luôn đi qua :

+ Điểm mà từ đó kẻ được I, 2, 3,

p tuyến đến đồ thị

2 Kĩ năng chung để tìm các điểm trên như sau :

® Giả sử đã tồn tại điểm M(x ; y) thoả mãn đề bài ;

s Ứng với mỗi tính chất của M ta có các phương trình ;

® Giải hệ phương trình ta xác định được diém M(x ; y)

'Vốn để 4 Tương giao giữo hoi đỏ thị

Cần lưu ý các dạng câu hỏi sau về tương giao giữa hai đồ

1, Tìm số giao điểm của hai đồ thị ;

2 Chứng minh hai đồ thị luôn giao nhau tại một số điểm ;

3 Tìm điều kiện để hai đồ thị luôn tiếp xúc

Câu II

Vốn để 1 Phương trình, bốt phương trình

Thi sinh cần chú ý các loại phương trình và bất phương trình sau :

1 Phương trình và bất phương trình chứa căn ;

2 Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối ;

3 Phương trình và bất phương trình mũ ;

4 Phương trình và bất phương trình lôgarit

Trong mỗi ai phương trình, ngoài kĩ năng giải phương trình, tìm nghiệm, cần chú

ý ôn tập và rèn luyện các đạng toán sau :

1 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng đơn giản ;

2 Dùng min, max tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ;

3 Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình

Vốn để 2 Hệ phương trình đợi số

"Thí sinh cần chú ý các loại hệ phương trình đại

1 Hệ phương trình phân thức hữu tỉ ;

10 Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge — Cao ddng

Vốn để 3 Công thức lượng giác

‘Thi sinh cần chú ý ôn tập các kĩ năng dùng công thức lượng giác giải các dạng toán sau :

1 Nhân dạng tam giác ;

2 Bất đẳng thức lượng giác ;

3 Tìm min, max của biểu thức lượng giác

Vốn dé 4, Phuong trình lượng giác

Khi giải phương trình lượng giác cần lưu ý rèn luyện các phương pháp sau :

ấu trúc đề tủ ⁄9agc ~ Cao ddng nam 2014

+ Giải phương trình (xem tích phân như mội

s Dùng công thức truy hồi

Van dé 3 Ứng dụng của tích phân

'Vốn để 1 Quan hé song song, quan hé vuông góc của đường thẳng, mặt phẳng

“Thông thường quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng được dùng để xác định và tính đường cao của khối hoặc các loại góc (liên quan đến các yếu tố định lượng của bài toán hình học không gian)

Dhan loại oà luAliug dẫn giải đề tủ ⁄Đạt bọc — Đao đẳng

Vốn để 2 Tính diện tích xung quơnh của hình nón tròn xooy, hình trụ tròn

xoay, lính diện tích một cảu

'Vốn dé 3 Tính thể tích khối lũng trụ, khối chóp, khối nón tròn xooy, khối trụ

tròn xooy và thể tích khối cảu

Khi tính thể tích các hình cần lưu ý các phương pháp sau :

1, Dùng công thức trực tiếp ;

2 Chia nhỏ tính thể tích từng phần và tính tổng ;

3 Ghép thêm thành khối lớn, tính thể tích rồi trừ bớt ;

4 Dùng tỉ số thể tích

Câu V Bài toán tổng hợp

“Thông thường bài toán tổng hợp có liên quan đến các vấn đề sau :

1 Bất đẳng thức ;

2 Min, max của các biểu thức đại số hoặc lượng giác ;

3 Phương trình, bất phương trình các loại ;

1 Các phép toán trên toạ độ vectơ cụ thể là :

« Công và trừ hai vectơ ;

® Nhân vectơ với một số thực ;

« Tích vô hướng ;

« Tích có hướng

2 Quan hệ cùng phương và vuông góc giữa hai vectơ ;

3 Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ ;

4 Góc giữa hai vectơ

'Vến để 3 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

Đây là phần kiến thức hình học về phương pháp toạ độ trong không gian ở lớp 12,

bao gồm :

1 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ;

2 Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ;

3 Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt

1 Tính các loại góc trong không gian :

© Góc giữa hai vectơ ;

Dhan loại oà luAliug dẫn giải đề tủ ⁄Đạt bọc — Đao đẳng

'Vến để 5 Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Nội dung bao gồm :

1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng ;

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng ;

3 Tim toa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ;

4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng ;

5 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ;

6 Xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao của mặt phẳng và mặt cầu ;

7 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu ;

ˆ Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Cần lưu ý các kĩ năng sau :

1 Tính mô đun của số phức ;

2 Xác định và sử dụng số phức liên hợp ;

3 Thực hiện thông thạo các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức

Vốn đề 2 Bốt đẳng thức

Ngoài việc bất đẳng thức có thể được sử dụng gián tiếp trong bất cứ câu nào,

trong đề thi còn có thể có câu hỏi trực tiếp yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức

ấu trie dé thi Dage ~ Cao ding nam 2014 B

Thi sinh cần chị

là đúng : ôn tập các phương pháp sau để chứng mình một bất đẳng thức

1, Biến đổi tương đương ;

2 Dùng bất đẳng thức Cô-si hoặc BCS ;

3 Dùng đạo hàm ;

4 Dùng tam thức bậc hai

Vốn để 3 Cực trị của biểu thức đợi số

Để tìm cực trị của một biểu thức đại số cần lưu ý các phương pháp sau :

Đề thi theo chương trình nâng cao bao gồm tất cả các phân tích đã trình bày theo

chương trình chuẩn ở trên, ngoài ra còn có thêm các phần sau :

Câu VLb

Vến để 2 Có thêm hyperbol và parabol

'Vấn để 4 Có thêm tính khoảng cóch từ điểm đến đường thổng vỏ khoảng

cach giữa hơi đường thẳng

3 Dạng lượng giác của số phức ;

4 Công thức Moa-vrơ (Moivre) và ứng dụng

Dhan loại oà luAliug dẫn giải đề tủ ⁄Đạt bọc — Đao đẳng

HỈÏ tước sài Lâu cần TRANE

Kinh nghiệm dạy luyện thi cho thấy khi giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán,

thí sinh thường phạm các thiếu sót sau :

1 Chưa nắm vững kiến thức giáo khoa cơ bản ;

2 Khả năng phân loại các câu hỏi và các vấn đề còn hạn chế ;

3 Kĩ năng biến đổi chuyển lạ thành quen, quy về cơ bản chưa linh hoạt ;

4 Sự phối hợp nhiều phương pháp trong một bài giải chưa cao

Sau đây chúng ta sẽ đi vào phân tích cụ thể các đề thi của BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO trong các năm qua

§1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Giả sử K là một khoảng (một đoạn hoặc nửa khoảng) và f là một hàm số xác định trên K

> Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu Vxị, xạ e K: xị < xạ = (x1) < f(x2)

> Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu VXị, x2 € K : x) <x2 => f(x1) > fox)

Giả 5 dao ham trên khoảng K

a) Nếu hàm số ƒ đẳng biến trên khoảng K thì ƒtl)> 0 với mọi x e K

b) Nếu hàm số ƒ nghịch biến trên khoảng K thi f(x) <0 vdi moi x e K

Dio lai, ta có định lí :

Định lí (Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên khoảng K

a) Néu f(x) > 0 với mọi xe K thì hàm số ƒ đẳng biến trên khoảng K

\) < 0 với mọi xe K thì hàm số ƒ nghịch biến trên khoảng K

©) Néu f(x) = 0 với mọi xe K thì hàm số ƒ không đổi trên khoảng K

18 Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Cao ddng

Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hay nửa khoảng Khi

đó phải bổ sung giả thiết *Hàm số ƒ liên tục trên đoạn hay nửa khoảng đó” Tức là

1 Khới niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tap hgp D (Dc R) va xo € D

a) xọ được gọi là điển cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a : b) chứa điểm

Xo sao cho (a ; b) C D và f(x) < f(xo) với mọi x e (a ; b) \ [xo}

Khi đó f(xo) được gọi là giá rị cực đại của hàm số f

b) xo được gọi là điểm cực riểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a ; b) chứa điểm

Xo Sao cho (a ¡ b) C D và f(x) > f(xu) với mọi x € (a; b)\ { Xo}

Khi đó f(xo) được gọi là giá rrị cực tiểu của hàm số f

* Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điển cực trị

* Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực rrị

* Nếu xọ là một điểm cực trị của hàm số f thi ta nói hàm số f đạt cực trị tại xo Chú ý:

a) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định D

b) Một hàm số f có thể đạt cực đại hay cực tiểu tại nhiều điểm trên tập xác định D

và các cực trị nói chung là khác nhau Hàm số f cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp cho trước

©) Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm s

2 Điều kiện cần để hàm số đợt cực trị

Định lí 1.

hủ để 1 “Khảo siit ham số mm

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các

khoảng (a ; xọ) và (xo; b) Khi đó :

a) Nếu f(x) < 0 với mọi x e (a ; xọ) và f'(x) > 0 với mọi x e (xo ; b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

nhưng không có đạo hàm

3) Lập bảng biến thiên Từ đó suy ra cực trị của hàm số

0 hoặc tại đó hàm số f liên tục

* Néu f"(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại xi;

* Nếu f"(x;) > 0 thì hàm số £ đạt cực tiểu tại xị

§3 GIA TRI LGN NHAT, GIA TRI NHO NHAT CUA HAM SO

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số £

định trên tập hợp X c R

a) Nếu tồn tại một điểm xọ e X sao cho f(x) < f(xọ) với mọi x e X thì số M = f(xo)

được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên X

Kí hiệu : M = max f(x), xeX

b) Nếu tồn tại một điểm xo e X sao cho f(x) > f(xo) với mọi x e X thì số m = f(xo) được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên X

Kí hiệu :m = min f(x)

xeX

2 Phương phớp tim GTLN - GTNN

ìm GTLN và GTNN của hàm số trên một tập hợp X bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó

Trường hợp đặc biệt X = [a ; b]:

“Trường hợp hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và f(x) có đạo hàm trên (a ; b),

có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b] theo quy tắc sau :

2 Tinh các giá trị f(x;) ( = 1, 2 ), fía) và f(b)

3 Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b]

Khi đó : max f(x) = max g(t) va_ min f(x) = min g(t) xeX te T xeX, te?

§4 ĐIỂM UỐN CỦA ĐÔ THI HAM SO TINH TIEN HE TRUC TOA BO

1 Khói niệm điểm uốn của đồ thị

Điểm U(o ¡ (xo)) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a ; b) chứa điểm xo sao cho trên một trong hai khoảng (a ; xo) và (xo; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

Định lí

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm xọ; f"xọ) = 0

và f“() đổi dấu khi x qua điểm xo thì điểm U@e ; f(xo)) là một điển uốn của đồ

thị hàm số y = f(x)

2 Tịnh tiến hệ trục log độ

a) Công thức chuyển hệ toạ độ

Giả sử I là một điểm của mặt phẳng và (xo ; yu) là toạ độ của điểm I đối với hệ

toạ độ Oxy

Gọi IXY là hệ toạ độ mới có gốc là điểm I và hai trục là IX, IY theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị ¡, j với hai trục Ox, Oy Giả sử M là một điểm bất kì của

mặt phẳng

* ( ; y) là toa độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxy ;

*(X; Y) là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ IXY

Dhan loại oà luting dén yidi dé thi Dat hge — Cao đẳng

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = f{x) có đồ thị là (C)

Giả sử M là một điểm bất kì của mặt phẳng

Goi (x ; y) là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ Oxy và (X ; Y) là toạ độ của điểm M đối với hệ toạ độ IXY

Đường thẳng x = xọ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) néu it

nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn :

lim f&)=+% ¡ lim f&)=- ; lim f@&)=+ ; lim f&)=-z,

x¬xg x¬ng x¬xổ xx)

2 Tiệm cận ngang

Đường thẳng y = yọ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn :

3 Tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a # 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x)

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn :

lim [f(x)=(ax+b)]=0 ; lim [f(x)=(ax +b)]=0

Chú ý:

Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau :

~ Lập bắng biến thiên của hàm số :

Tim dao ham y' của hàm số

iới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực Tìm các

+ Xét dấu y' Từ đó suy ra chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số

+ Điền các kết quả vào bảng biến thiên

e) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với hàm đa thức) :

Tìm đạo hàm y” Xét dấu y", từ đó suy ra điểm uốn của đồ thị hàm số

đ) Vẽ đồ thị của hàm số :

~ Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

~ Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao điểm của đồ thị với các trục toa độ, )

~ Vẽ đồ thị của hàm số

~ Nhận xét về đồ thị : chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị

2 Khảo sót hàm số y = ax* + bx? + ex +d (a#0)

a) Tập xác định : D= R

b) Khảo sát sự biến thiên :

*Gidihan: lim y=+0 khia>0 lim y= # khia<0

3ax” + 2bx + € có A' =

Có 6 dạng bảng biến thiên sau :

> y' =0 có 2 nghiệm phân biệt và a > 0 (đồ thi dang 1)

Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Oao đẳng

b) Khảo sát sự biến thiên :

«Giới hạn: lim y=+œ khia>0; xo te

lim y=~o khia<0

xo te

oy’ =4ax? + 2bx = 2x(2ax” +b)

Nếu ab <0: y'=0 ©x=0 hay x= = hàm số có ba cực trị

Nếu ab>0: y' chỉ đổi dấu tại x = 0 => hàm số có một cực trị, đạt tại x = 0

+ Lập bắng biến thiên :

'Tuỳ theo y =0 có một hay ba nghiệm và dấu của a, ta có 4 dạng bảng biến thiên sau :

> y' có ba nghiệm phân biệt và a > 0 (đồ thi dang 1)

©) Điểm uốn : y" = 12ax” + 2b = 12a(x” + 2 a

Nếu ab <0: y" đổi dấu 2 lần => đồ thị có 2 điểm uốn

Nếu ab > 0: y" không đổi dấu => đồ thị không có điểm uốn

Ea Dhan togi va huting din giti dé thi Dat hoe — Cao dtdng

§7 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ

CỦA MỘT SỐ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

ax+b

1 Ham sé y= Y* xed (c #0, ad-be #0)

a) Tập xác định : D= R \ H

e b) Khảo sát sự biến thiên

(cx+dy

Dấu y' là dấu của hằng số T = ad - bc

Nếu ad ~ be >0 : Hàm số tăng trên từng khoảng xác định

Nếu ad ~ be < 0: Hàm số giẩm trên từng khoảng xác định

>T=ad~ be <0 (đồ thị dạng 2)

hả để 1 “Khảo sát làm số 29

Ea Dhan loại oà luting dén yidi dé thi Dat hge — Cao đẳng

Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng

§8 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Biện luận số giao điểm của hơi đường

Cho hai đồ thị (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)

Khi đó phương trình hoành độ giao diém ciia (C) va (D) 1a f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (D), vì vậy ta có các trường hợp sau :

+(1)cónnghiệm <> (C) và (Đ) có n giao điểm

+(1) vô nghiệm e>(C) và (D) không có giao điểm

2 Điều kiện tiếp xúc giữa hơi đường (C) và (D)

(C tiếp xúc (D) e { Ý€ “ŸD có nghiệm, Ye“Yp

Chú ý : Khi (D) là đường thẳng thì (D) là tiếp tuyến của (C)

Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Oao đẳng

3 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f00

Bài toán I : Lập phương trình tiếp tuyến của (C) gi điểm M (M là điểm)

+ Tìm Xọ = XM ; Y0 = YM

+ Tìm y' suy ra y'(xo)

+ Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y — yo = y'(xo) (x — Xo)

Bài toán 2 : Lập phương trình của tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Cách 1

+ Gọi xo là hoành độ tiếp điểm Ta có f(xo)=k_ (1)

+ Giải phương trình (1) ta được xọ, thay vào y ta được yo

Khi đó : Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dang : y — yo = k(x — Xo)

Cách 2

+ Vì tiếp tuyến (4) có hệ số góc k = (4) : y = kx +b

+ Để (d) tiếp xúc (C) © a “Ya suy ra b

Yc =Ya

Từ đó ta có phương trình tiếp tuyến (d) : y = kx + b

Chú ý : Có thể xác định hệ số góc & cửa tiếp tuyến đ dựa vào các nhận xét sau : + (a) //(D) > ka= kp

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi gwa điểm A cho trước

+ Bằng cách cho (d) tiếp xúc (C) ta tìm được k

“Thay k vào (*) ta thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2

+ Gọi M@x¿, yọ) là tiếp điểm của tiếp tuyến (đ) và (C)

hả để 1 “Khảo sát làm số

=(@):y~ yo= (Xo)(X ~ Xo) Oy

+ Vi (d) qua Á = yA — yo = (X0)(XA — Xo) 6)

+ Gidi (***) ta được xo và yọ Thay vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần lập

4 Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

1) Nếu (*) © f(x) = h(m) thi ta đặt hím) = k và biện luận phương trình f(x) = k

theo cách trên sau đó chuyển k về m

2) Có khi ta phải đặt ẩn phụ để đưa (*) về dạng đơn giản hơn

3) Nếu phải biện luận số nghiệm thuộc tập K của phương trình (1) thì ta dựa vào

phần đồ thị (C) với x e K, tuỳ theo giá trị của tham số m ta suy ra số điểm chung của phần đồ thị (C) với x e K và (d) Từ đó suy ra số nghiệm thuộc K

của phương trình (1)

5 Biện luận số dé thi di qua một điểm - Điểm cố định của họ đường cong

a) Cho họ đường cong (Cụ) : y = f(x, m),m¢ R

Ta có : A(Xo ; yo) € (Cm) < yo = f(xo, m) ay

Nếu xem phương trình (1) là phương trình theo ẩn là m thì ta có các trường hợp sau:

+ (1) vô nghiệm © không có đường nào của ho (Cm) di qua A

+ (1) có k nghiệm £ có k đường của họ (Cạ) đi qua A

+ (1) có nghiệm tuỳ ý © mọi đường của họ (C„) đều đi qua A

Khi mọi đường của (Ca) đều đi qua A thì ta gọi A là điểm cố định của họ (Cại)

+ Giải hệ (3) ta tim được x, y 18 toa độ điểm cố dinh cin Gm

Chú ý : Nếu ta phải tìm những điểm mà không có đường nào của họ đi qua thì ta phải tìm điều kiện để (1) vô nghiệm theo m

6 Hèm số có dếu giá trị tuyệt đối

Cho đồ thị (C) cña hàm số y = f(x) Từ đồ thị (C) hãy suy ra :

a) BO thi (C1): y=1f00) |:

Ta có (CI) : y =lf@x)I = { THỊ IẾ, 4Gyee ~f(x) khi f(x)<0,

Do đó đồ thị (C¡) gồm hai phần :

* Phần I là phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (C)

* Phần 2 là phần đối xứng của phần phía dưới trục hoành của (C) qua trục Ox b) Đồ thị (Ca) của hàm sé y = f(Ixl) :

'Ta có hàm số y = f(Ixl) là hàm số chẩn nên (C;) nhận trục Oy làm trục đối xứng Với x >0 thì y = f(lx!) = f(x) nén (Co) =(C)

Do đó (C;) gồm hai phần :

* Phần bên phải của Oy của đồ thị (C)

* Phần đối xứng của phần trên qua Oy

©) Dd thi (C3) của hàm số y =| u(x)L.v(x) :

u(x).v(x) khi u(x) 20

Vìy =lu@)L.v@) = y= UO) ve) — khi u(x)<0

nén (C3) gồm hai phần sau :

hả để 1 “Khảo sát làm số

* Phần đồ thị (C) ứng với u(x) > 0

* Phần đối xứng qua Ox của phần đồ thị (C) ứng với u(x) < 0

7 Viết phương trình đường thẳng quơ cóc điểm đặc biệt

a) Phương pháp chung

Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm đặc biệt của đồ thị (C) của hàm

số y = f(x) ta thực hiện các việc sau :

+ Gọi M( ; y) là điểm đặc biệt

+ Lập các hệ phương trình mà toạ độ M phải thoả mãn

+ Từ hệ trên rút ra một phương trình hệ quả có bậc 1 : y = ax + b

+ Kết luận : Đường thẳng (4) : y = ax +b là đường thẳng đi qua các điểm đặc biệt M

b) Hai trường hợp thường gặp

b1) Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba y = f(x) : + Tính y'

+ Chia y cho y' và viết được y = y'.g(x) + r(x) với r(x) = Ax +B

+ Goi M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) ta có hệ phương trình :

Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Oao đẳng

DE THI MINH HOA

Bài 1 Cho hàm số y =—x + 3x? + 3mx — I (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hầm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0 ; +)

(trích Đề thì Đại học ~ Cao đẳng khối A ~ A1, năm 2013)

Gia a) Khi m=0, ta có y=—xÌ + 3x2 — 1

* Tập xác định : D= R

* Sự biến thiên :

~ Chiều biến thiên : y' =~3x” + 6x ; y' =0 £> x = 0 hoặc x = 2

Khoảng đồng biến : (0 ; 2), các khoảng nghịch biến : (~ø ; 0) và (2 ; +)

~— Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 yer ¡ đạt cực đại tại x = 2, ycp = 3

= Giới hạn: lim y=+z; lim y== soe xt

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thoả mãn yêu cầu của bài toán là m <— I

Bài 2 Cho hàm số y = 2x” ~ 3(m + I)x” + 6mx _ (1), với m là tham số thực

~ Chiều biến thiên : y' = 6x?~ 6; y'=0 «3 x= l hoặc x=~1

Các khoảng đồng biến : (—ø ; =1) và (1 ; +), khoảng nghịch biến : (—1 ; 1)

b) Ta cé y’ = 6x” ~ 6(m + I)x + 6m; y’

Điều kiện để đồ thị hàm số có hai đii

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k= ~I

<>m=0hoặc m=2

Vậy giá trị m cần tìm là m = 0 hoặc m =2

Bài 3 Cho hàm số y = 2xÌ~ 3mx” + (m~ 1)x +1 (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = I

b) Tìm m để đường thẳng y =—x + I cất đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

(rích Đề thi Đại học ~ Cao đẳng khối D, năm 2013)

Gian a) Học sinh tự làm

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y=—x + 1 là

Bài 4 Cho hàm số y = xÌ ~ 2(m + 1)x” + mỸ _ (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam

~ Chiều biến thiên : y'=4xÌ~ 4x;y'=0 œx=0,x=1,x=

Các khoảng nghịch biến : (_% ; —1) và (0 ; 1), các khoảng đồng biến : (—1 ; 0) và q:3z)

— Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x= +1, yer =-1 5 dat cue dai tai x = 0, ycp =0

~ Giới hạn: lim y= lim y=+s rope xe

40 Phin logi va tuting dén giti dé thi Pai hge ~ Cao ddng

b) Ta có y' =4xŸ ~ 4(m + 1)x = 4x(x?- m= 1)

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khim+1>0<¢>m>-1 (*),

Các điểm cực trị của đồ thị là A(0; mÔ, BC m +1 ;~2m- 1) và C(Ým +1 ;~2m- D),

Bài 5 Cho hàm số y = xÌ— 3mx” + 3mẺ (1), m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB

Đồ thị hàm số có hai điểm cực wi khi va chi khim#0 —(*)

Các điểm cực trị của đồ thị là A(0 ; 3m`), B(2m ; ~m`)

Suy ra OA = 3im'l va d(B, (OA) = 2iml

Ssoan = 48 <> 3m‘ = 48 <> m= +2, thod man (*)

Bài 6 Cho hàm số' y= 3 mx? —2(3m? =x + (1), ma tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1

b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực tri x; Và x2 sao cho x,x, +2(x, +x;)=1

(irich Bé thi Dai học ~ Cao đẳng khối D, năm 2012)