CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT VÀ KINH NGHIỆM QUỐC TẾ

biểu, sơ đồBảng 2.2 Phương pháp và giải pháp tối ưu tìm tham số của các thị Hình 1.1 Đồ thị giá thực và giá xấp xỉ của trái phiếu theo Duration 16 Hình 2.3 Đường cong được xây dựng bởi

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT 2

DANH MỤC BẢNG BIỂU, SƠ ĐỒ 2

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT 3

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT VÀ KINH NGHIỆM QUỐC TẾ 29

b.Thị trường Thổ Nhĩ Kỳ 51

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT CHUẨN CỦA TPCP VIỆT NAM 53

KẾT LUẬN 74

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

PHỤ LỤC 79

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

TTTP Thị trường trái phiếuTPCP Trái phiếu Chính phủNHTM Ngân hàng thương mạiTVTT Thành viên thị trườngĐCLS Đường cong lãi suất

DANH MỤC BẢNG BIỂU, SƠ ĐỒ

biểu, sơ đồ

Bảng 2.2 Phương pháp và giải pháp tối ưu tìm tham số của các thị

Hình 1.1 Đồ thị giá thực và giá xấp xỉ của trái phiếu theo Duration 16

Hình 2.3 Đường cong được xây dựng bởi Parsimonous Model là một

hàm trên toàn trục kỳ hạn

35

Hình 2.7 Thống kê sử dụng phương pháp trên các thị trường thế giới 48

Hình 3.2 Các ĐCLS được xây dựng bởi phương pháp Smoothing

Cubic Spline

60

LỜI NÓI ĐẦU

Thị trường chứng khoán Việt Nam đi vào hoạt động nhiều năm qua,

đã khẳng định sự cần thiết và tính tất yếu phải tạo ra kênh huy động vốntrung và dài hạn mới cho nền kinh tế để đáp ứng yêu cầu về vốn đầu tưphát ngày càng tăng của Chính phủ và các doanh nghiệp Một bộ phận cấuthành của thị trường vốn là thị trường trái phiếu cũng đã khẳng định vaitrò và tầm quan trọng của nó trong chiến lược huy động vốn cho sựnghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa Đất nước

Ngày 24/9/2009, thị trường TPCP chuyên biệt đã được vận hành trênnhững nguyên tắc theo chuẩn quốc tế Kể từ đó, hoạt động đấu thầuTPCP, huy động vốn cho NSNN và đầu tư phát triển đã đạt được hiệu quảtương đối tốt Các trái phiếu phát hành đã có thị trường thứ cấp để các nhàđầu tư có thể thực hiện giao dịch mua bán trái phiếu của mình, tính thanhkhoản của trái phiếu được cải thiện dần Cùng với sự phát triển của thịtrường, hệ thống văn bản pháp lý luôn được điều chỉnh cho phù hợp vớiđiều kiện thực tiễn, hệ thống thành viên thị trường ngày càng được củng

cố, hệ thống hạ tầng công nghệ luôn được nâng cao và đi trước để phụcthị trường Bên cạnh những mặt đạt được, thị trường trái phiếu ở nước tacòn bộc lộ nhiều khiếm khuyết và được phản ánh rõ nét cả ở thị trườngphát hành và thị trường giao dịch Về cơ bản, quy mô thị trường còn rấtnhỏ so với tiềm năng, hàng hóa còn nhiều và manh mún không đa dạng,chưa phát triển và thu đội ngũ tạo lập thị trường, chưa có đường cong lợisuất chuẩn,… khiến tính thanh khoản của thị trường còn thấp

Bên cạnh một loạt giải pháp từ khung pháp lý đến cơ sở nhà đầu tư,

cơ chế hoạt động, hệ thống PDs, xuất phát từ yêu cầu hình thành một hệthống các chỉ báo kinh tế cho công tác dự báo và định hướng kỳ vọng

của thị trường nhóm nghiên cứu thị trường TPCP tại Sở GDCK Hà Nội

đã tâm huyết và bắt đầu những bước đi cơ bản cho việc xây dựng ĐCLScho TPCP Việt Nam bằng việc nghiên cứu và đề xuất giải pháp ứng dụngđầu tiên

Trên thế giới, việc nghiên cứu xây dựng ĐCLS đã được thực hiện ởrất nhiều quốc gia Việc nghiên cứu và xây dựng ĐCLS được các học giả,nhà đầu tư, nhà hoạch định chính sách, nhà quản lý… cùng thực hiệnnhằm phục vụ cho những mục tiêu cụ thể và chuyên biệt Tận dụng nhữngkiến thức khoa học sẵn có và kinh nghiệm quốc tế, trên cơ sở thực trạngcủa TPCP Việt Nam, nhóm nghiên cứu kỳ vọng có một bước tiếp cận thực

tế đa chiều để có thể đưa ra một chỉ báo quan trọng cho thị trường: đó làĐCLS của TPCP Việt Nam

Nhóm nghiên cứu chân thành cảm ơn các đồng nghiệp từ Bộ Tàichính, UBCKNN, trường ĐH Kinh tế Quốc dân, Học viện Ngân hàng, cácQuỹ đầu tư, đã có những đóng góp ý kiến rất quý báu để nhóm nghiêncứu hoàn thiện đề tài của mình Do hạn chế về trình độ và thời gian, đề tàikhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được đón nhận và chân thànhcảm ơn những ý kiến đóng góp từ độc giả

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT

1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÃI SUẤT, CÁC LOẠI LÃI SUẤT, CẤU TRÚC VÀ ĐẶC ĐIỂM

Trước hết, để trình bày những khái niệm cơ bản dưới đây, đề tài đưa ramột số quy ước sau

Ký hiệu (C,M,n) là trái phiếu có đặc điểm trả lãi coupon C theo định kỳ nếu C>0 (coupon bond) và là loại trái phiếu không trả lãi hay trái phiếu zero- coupon nếu C=0 (zero-coupon bond), có mệnh giá M và kỳ đáo hạn n năm1

Ký hiệu t 1 , t 2 ,…, t m-1 =n-1 (đối với trái phiếu trả lãi) là các khoảng thời

gian còn lại tính từ thời điểm hiện tại đến các ngày trả lãi và t m =n là ngày đáo

hạn của trái phiếu (C,M,n)

Các công thức liên quan đến trái phiếu như định giá, tính các độ đo rủi roDuration, Convexity sử dụng trên thị trường trái phiếu Việt Nam được chiathành các trường hợp trái phiếu hưởng quyền, không hưởng quyền, trả lãiđịnh kỳ trước, sau Tuy nhiên, để tránh không quá phức tạp và rườm rà trongviệc thiết lập các công thức tính toán, trong đề tài chúng tôi xây dựng cáccông thức áp dụng đối với loại trái phiếu hưởng quyền và trả lãi định kỳ sau.Trong các trường hợp còn lại, các công thức được xác định một cách hoàntoàn tương tự

1.1.1 Lãi suất tích gộp đơn 2

a Lãi suất giao ngay 3

Định nghĩa 1 Lãi suất giao ngay của kỳ hạn n năm là lãi suất chiết

khấu đến khi đáo hạn của trái phiếu zero-coupon có kỳ đáo hạn n, điều này

có nghĩa giá trị hiện tại của trái phiếu zero-coupon bằng giá chiết khấu của

1 Trên thị trường TPCP Việt Nam và của các nước trên thế giới, thông thường, loại trái phiếu trả lãi coupon

có kỳ đáo hạn trên 1 năm còn loại trái phiếu không trả lãi có kỳ đáo hạn dưới 1 năm

2 Simple compounding interest rate: Lãi suất tích gộp đơn được hiểu là mức lãi suất được giả định trả trong 1 năm một số hữu hạn lần (chẳng hạn 1 lần trong 1 năm, 2 lần trong 1 năm, 4 lần trong 1 năm,…)

3 Spot rate

mệnh giá trái phiếu theo lãi suất giao ngay.

Ký hiệu s p (n) là lãi suất giao ngay được tích gộp p lần trong 1 năm4 có kỳ

hạn n năm Khi đó, giá của trái phiếu zero-coupon (0,M,n) được tính bởi công

Trường hợp nếu biết lãi suất giao ngay được tích gộp 1 lần trong 1 năm

là s 1 (n), thì giá của trái phiếu (0,M,n) được tính

n

n s

M P

)) ( 1 ( + 1

= (1.2)

Cân bằng công thức (1.1) và (1.2), ta có mối liên hệ giữa các lãi suất tíchgộp đơn như sau

n p

s ( ) / ) ( 1 ( )) 1

Suy ra

1 ) / ) ( 1 ( ) (

s n

Và

] 1 )) ( 1 [(

Theo các công thức (1.3) và (1.4) chúng ta có thể tính lãi suất giao ngay

kỳ hạn n năm được tích gộp 1 lần trong 1 năm nếu biết lãi suất giao ngay cùng kỳ hạn được tích gộp p lần trong 1 năm và ngược lại Với lý do này, đối

với các công thức tính toán ở phần sau của đề tài có sử dụng lãi suất giaongay tích gộp đơn, chúng ta sẽ sử dụng loại lãi suất tích gộp đơn được tíchgộp 1 lần trong 1 năm

Ví dụ 1 Tính giá trái phiếu zero-coupon và lãi suất giao ngay tích

4 Là mức lãi suất giao ngay được giả định nếu trả p lần trong 1 năm

2 /

% 4 , 12 1 ( 100

) ( 72 , 79

%) 12 1 ( 100

2 3

2

VND P

VND P

= +

=

= +

=

Và sử dụng công thức (1.3), lãi suất giao ngay kỳ hạn 3 năm được tích gộp 1 lần 1 năm bằng

% 78 , 12 1 ) 2 /

% 4 , 12 1 ( 1 ) 2 / ) 3 ( 1 ( ) 3

của trái phiếu trả lãi coupon bằng tổng các giá trị hiện tại của các trái phiếuzero-coupon trong gói Sử dụng công thức (1.2) suy ra giá của trái phiếu

coupon (C,M,n) được tính bởi

m

t m t

M C t

s

C t

s

C P

)) ( 1 (

)) ( 1 ( )) ( 1

+ + + +

+ +

Khi C=0 công thức trên trở thành công thức giá trái phiếu zero-coupon(1.2) Như vậy, công thức (1.5) đúng cho cả hai trường hợp trái phiếu trả lãi haykhông trả lãi Điều này có nghĩa khi các lãi suất giao ngay được xác định chúng

ta luôn có thể định giá cho bất kỳ loại trái phiếu nào bởi công thức (1.5)

Ví dụ 2 Tính giá trái phiếu khi biết lãi suất giao ngay

Giả sử các mức lãi suất giao ngay được tích gộp đơn (1 lần trong 1 năm) lần lượt theo các kỳ hạn 1 năm, 2 năm và 3 năm là 11,6%, 12% và

12,2% Khi đó, trái phiếu có mệnh giá 100 (VND) với lãi suất coupon 8% và

kỳ đáo hạn 3 năm sẽ có giá trị hiện tại là

) ( 01 , 90

%) 2 , 12 1 (

100 8

%) 12 1 (

8

%) 6 , 11 1 (

8

3 2

+

+ + +

+ +

=

Đặc điểm của lãi suất giao ngay là không ảnh hưởng đến lãi suất couponcủa bất kỳ trái phiếu nào Do đó, các lãi suất giao ngay thường được sử dụnglàm chuẩn để định giá hay tham chiếu cho các loại trái phiếu và công cụ tàichính khác như trái phiếu doanh nghiệp, các công cụ phái sinh Thôngthường, nhà đầu tư nắm giữ trái phiếu zero-coupon có kỳ đáo hạn dài hơn sẽchịu rủi ro lớn hơn Khi đó, lãi suất chiết khấu đối với kỳ dài hạn thường phảiđược yêu cầu lớn hơn kỳ ngắn hạn để bù đắp cho phần rủi ro này Điều này cónghĩa, lãi suất giao ngay thường tăng theo kỳ hạn

b Hệ số chiết khấu 5

Định nghĩa 2 Hệ số chiết khấu của kỳ hạn n năm là giá trị hiện tại của

trái phiếu zero-coupon có mệnh giá một đơn vị tiền tệ và kỳ đáo hạn n

Ký hiệu d(n) là hệ số chiết khấu của kỳ hạn n năm Theo công thức giá trái phiếu zero-coupon (1.2), giá trị hiện tại của 1 đơn vị tiền tệ (M=1) có kỳ đáo hạn

n năm bằng (1+s 1 (n)) -n Như vậy, hệ số chiết khấu được tính bởi công thức sau

n

n s n

d

)) ( 1 (

1 )

(

1

+

= (1.6)

Sử dụng công thức (1.5), ta có thể tính giá của trái phiếu (C,M,n) theo hệ

số chiết khấu như sau

) ( ).

(

) ( ) ( )

Ví dụ 3 Tính hệ số chiết khấu khi biết lãi suất giao ngay

Với các mức lãi suất giao ngay được cho trong ví dụ 2 thì hệ số chiết khấu 1 năm, 2 năm, 3 năm tương ứng là:

8960 , 0

%) 6 , 11 1 (

1 )

7971 , 0

%) 12 1 (

1 )

%) 2 , 12 1 (

1 )

c Lãi suất đáo hạn 6

Định nghĩa 3 Lãi suất chiết khấu bình quân đến khi đáo hạn của một

trái phiếu được gọi là lãi suất đáo hạn của trái phiếu đó, điều này có nghĩa giá trị hiện tại của trái phiếu bằng giá chiết khấu của các dòng tiền nhận được trong tương lai của trái phiếu (bao gồm coupon và mệnh giá) theo lãi suất đáo hạn.

Ký hiệu y lãi suất đáo hạn của trái phiếu (C,M,n), theo định nghĩa ta có giá của trái phiếu (C,M,n) được tính theo lãi suất đáo hạn như sau

m

t t

M C y

C y

C P

) 1 (

) 1 ( ) 1

+ + + +

+ +

Ví dụ 4 Tính giá trái phiếu khi biết lãi suất đáo hạn của nó

Trái phiếu có mệnh giá 100 (VND), lãi suất coupon 5% và kỳ đáo hạn còn lại 10 năm được giao dịch trên thị trường với lãi suất đáo hạn là 6%, sẽ

có giá là

) ( 64 , 92

%) 6 1 (

100 5

%) 6 1 (

5

%) 6 1 (

5

10 2

+

+ + + +

+ +

+

=

1

So sánh công thức trên và công thức (1.2) suy ra y = s 1 (n) Điều này có

nghĩa, lãi suất đáo hạn của trái phiếu zero-coupon bằng chính lãi suất giaongay của kỳ đáo hạn trái phiếu đó

6 Yield to maturity

Đặc điểm của lãi suất đáo hạn là phụ thuộc vào đặc điểm của một tráiphiếu nào đó Điều này có nghĩa khi nói đến lãi suất đáo hạn thì lãi suất nàytương ứng gắn đến một trái phiếu cụ thể, nó phụ thuộc vào lãi suất coupon và

kỳ hạn còn lại của trái phiếu đó chứ không chỉ phụ thuộc vào kỳ hạn như lãisuất giao ngay Thực vậy, chúng ta sẽ làm sáng tỏ hơn vấn đề này trong công

thức (1.8): Theo nguyên tắc, giá trị của trái phiếu (P) bằng tổng các giá trị hiện tại của luồng tiền nhận được trong tương lai là lãi coupon (C) và mệnh giá (M) Tuy nhiên, các số hạng vế phải trong công thức (1.8) đều được tính chiết khấu với cùng một lãi suất y cho tất cả khoảng thời gian trong tương lai,

điều này cho thấy các số hạng này không phản ánh đúng bằng giá trị hiện tạitương ứng của các luồng tiền Do đó, lãi suất đáo hạn không thể dùng trongviệc định giá hay tham chiếu cho các công cụ tài chính khác Ngoài ra, cũngtheo công thức (1.8), đối với các trái phiếu có cùng kỳ hạn và lãi suất couponthì nếu trái phiếu nào có lãi suất đáo hạn cao hơn thì giá trái phiếu đó sẽ rẻhơn, tức lãi suất đáo hạn càng cao thì mức sinh lợi khi đầu tư trái phiếu đócàng cao Vì vậy, các trái phiếu thông thường được giao dịch trên thị trườngbởi lãi suất đáo hạn do chúng dễ dàng cho thấy lợi suất thu hồi khi đầu tư vàngoài ra chúng còn được sử dụng để tính toán mức độ rủi khi đầu tư trái phiếu(sẽ được giới thiệu trong phần 1.1.4.)

d Lãi suất trên mệnh giá 7

Định nghĩa 4 Lãi suất trên mệnh giá của một trái phiếu là lãi suất chiết

khấu bình quân đến khi đáo hạn để giá trái phiếu đúng bằng mệnh giá.

Ký hiệu y p là lãi suất trên mệnh giá của trái phiếu (C,M,n) Theo định nghĩa ta có công thức xác định y p như sau

m

t p

t p

t

M C y

C y

C M

) 1 (

) 1 ( ) 1

+ + + +

+ +

Xét trường hợp trái phiếu mới phát hành và được trả lãi định kỳ hàng

năm có nghĩa t 1 =1, t 2 =2,…, t m =n Khi đó lãi suất trên mệnh giá của trái phiếu

7 Par yield

bằng lãi suất coupon trái phiếu đó Thật vây, theo công thức (1.9) ta có

n p

n p p

n p p

n p

p

n p

n p p

p

n p p

p

y

M y

y C

y

M y

y y

C

y

M y

y y

C

y

M C y

C y

C M

) 1 ( ) 1 (

1 1

1

) 1 ( ) 1 /(

1 1

) 1 /(

1 1 ) 1 ( 1

) 1 ( )

1 (

1

) 1 (

1 1 ) 1 ( 1

) 1 (

) 1 ( ) 1 (

1 1

2 1

−

+

−

× +

× +

×

=

+

+ + + +

+ +

=

−

Từ đây, dễ dàng suy ra y p =C/M=r c

e Lãi suất kỳ hạn 8

Định nghĩa 5 Lãi suất giao ngay được kỳ vọng tại thời điểm hiện tại từ

thời điểm n 1 trong tương lai đến thời điểm n 2 trong tương lai được gọi là lãi suất kỳ hạn từ thời điểm n 1 đến thời điểm n 2

Ký hiệu f 1 (n 1 ,n 2 ) là lãi suất kỳ hạn từ thời điểm n1 đến thời điểm n2 đượctích gộp đơn 1 lần 1 năm Để thiết lập công thức tính lãi suất kỳ hạn, trước hếtchúng ta xét hai chiến lược đầu tư như sau

• Chiến lược thứ nhất: Mua trái phiếu zero-coupon có kỳ đáo hạn n 2

và giữ trái phiếu cho đến khi đáo hạn Khi đó để nhận được 1 đồng sau n 2 nămcần phải đầu tư số tiền hiện tại là ( 1 +s1(n2)) −n2 đồng

• Chiến lược thứ hai: Mua trái phiếu zero-coupon có kỳ đáo hạn n 1 vàbán trái phiếu khi đáo hạn, sau đó mua trái phiếu zero-coupon có kỳ đáo hạn

n 2 - n 1 Khi đó để nhận được 1 đồng sau n 2 năm cần đầu tư số tiền tại thời

điểm n 1 năm sau là ( )

2 1

1 ( , )) 2 11

( + f n n −n−n đồng Và để nhận được ( )

2 1

1 ( , )) 2 11

( + f n n − n−n

đồng này sau n 1 năm thì số tiền cần đầu tư hiện tại là

) ( 2 1 1 1

Trong thị trường cạnh tranh hiệu quả, sự đầu tư của hai chiến lược trênđều thu được mức lãi suất như nhau Điều này có nghĩa

) ( 2 1 1 1

1 2

1 (

Từ đây, suy ra công thức tính lãi suất kỳ hạn theo lãi suất giao ngay

1 ))

( 1 (

)) ( 1 ( ) ,

1 2

1

1 1

2 1 2

+

n s

n s n

n

Ví dụ 5 Tính lãi suất kỳ hạn theo lãi suất giao ngay

Giả sử các mức lãi suất giao ngay theo các kỳ hạn 1 năm, 2 năm và 3 năm được cho như trong ví dụ 2 lần lượt là 11,6%, 12% và 12,2% Khi đó, tại thời điểm hiện tại lãi suất kỳ hạn từ 1 năm đến 2 năm được kỳ vọng bằng

% 4 , 12 1

%) 6 , 11 1 (

%) 12 1 ( 1 ))

1 ( 1 (

)) 2 ( 1 ( ) 2 , 1 (

2 1

2 1

1 1

2 1

+

s

s f

lãi suất kỳ hạn từ 1 năm đến 3 năm được kỳ vọng bằng

% 5 , 12 1

%) 6 , 11 1 (

%) 2 , 12 1 ( 1 ))

1 ( 1 (

)) 3 ( 1 ( ) 3 , 1

1 3 1

3 1

1 1

3 1

+

s

s f

và lãi suất kỳ hạn từ 2 năm đến 3 năm được kỳ vọng bằng

% 6 , 12 1

%) 12 1 (

%) 2 , 12 1 ( 1 ))

2 ( 1 (

)) 3 ( 1 ( ) 3 , 2

3 2

3 1

2 1

3 1

+

s

s f

1.1.2 Lãi suất tích gộp liên tục 9

Các lãi suất tích gộp liên tục thường được sử dụng chủ yếu trong các môhình, phương pháp xây dựng đường cong lãi suất

Ký hiệu s(t) là lãi suất giao ngay tích gộp liên tục Theo đó, lãi suất giao

ngay tích gộp liên tục là lãi suất giao ngay được tích gộp vô hạn lần trong 1năm có nghĩa

) ( lim )

Như chúng ta biết lãi suất được tích gộp p lần trong 1 năm được tính

trong công thức (1.4)

] 1 )) ( 1 [(

a>0), ta suy ra lãi suất giao ngay tích gộp liên tục tính theo lãi suất giao ngay

tích gộp đơn như sau

)) ( 1 ln(

/ 1

1 )) ( 1 ( lim )

/ 1

p

t s t

Ký hiệu f(n 1 ,n 2 ) là lãi suất kỳ hạn tích gộp liên tục Khi đó, trở lại hai

chiến lược đầu tư được nêu trong phần lãi suất kỳ hạn (1.1.1 d) thì đối vớichiến lược thứ nhất (như trong phần định nghĩa 4) để nhận được 1 đồng sau n2năm cần đầu tư số tiền hiện tại là

2 2

2 ( ).

2

1 ( )) 1

( +s n −n =e−s n n (sử dụng công thức (1.11))

Và đối với chiến lược thứ hai số tiền cần đầu tư là

) ).(

, ( ).

( 1 1 1 2 2 1

. f n n n n n

n s

e

Từ đây ta có

) ).(

, ( ).

( ).

1 1 2 2 2

1 ,

n n

n n s n n s n n f

1 2 2

2

n n

n s n s n s n n f

−

− +

Một trong những đường cong thường được các tổ chức tham gia thị rấtquan tâm nhằm có được bức tranh về lãi suất kỳ vọng trong tương lai đó là

đường cong lãi suất kỳ hạn tức thời Mô hình của hàm lãi suất kỳ hạn tức thờiđược các nhà kinh tế học nghiên cứu chủ yếu trong việc xây dựng đường conglãi suất, đặc biệt đối với các phương pháp tham số (được trình bày trong phầnsau) Chúng ta sẽ đề cập về loại lãi suất này dưới đây.

Định nghĩa 6 (Lãi suất kỳ hạn tức thời 10 )

Lãi suất kỳ hạn tức thời là lãi suất giao ngay tức thời tại một thời điểm nào đó trong tương lai và được kỳ vọng tại thời điểm hiện tại.

Ký hiệu f(t) là lãi suất kỳ hạn tức thời tại thời điểm t tích gộp liên tục.

Theo định nghĩa trên, lãi suất kỳ hạn tức thời được hiểu là lãi suất kỳ hạn từ

thời điểm t đến thời điểm t+ Δt với Δt rất bé

f(t)≈f(t,t+Δt)

Về mặt toán học, một cách chính xác lãi suất kỳ hạn tức thời f(t) được định nghĩa là giới hạn của lãi suất kỳ hạn f(t,t+Δt) khi Δt dần tới 0, tức

) , ( lim ) (

t f

=

→

∆Theo đó, ta có thể biến đổi

∆ +

=

∆

−

∆ +

∆ +

=

∆ +

t t s t t t t s t

t t f t

f

t t

lim

0 0

∂

∂ +

= (1.13)

trong đó ký hiệu ( )

t

t s

∂

∂ là đạo hàm của hàm s theo t.

1.1.3 Mối liên hệ giữa các loại lãi suất

Có thể nói mối tương quan giữa các loại lãi suất dựa trên cơ sở công thức sau

Công thức 1 (Mối liên hệ giữa các loại lãi suất) 11

Hệ số chiết khấu, lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn tức thời tích gộp

10 Instantaneous forwad rate

11 Tham khảo phần chứng minh công thức ở Phụ lục

liên tục có mối liên hệ được thể hiện bởi các công thức toán học sau

) (

) ( ' ) (

) (

1 ) (

) (

0

).

(

t d

t d t f

dm m f t t s

e t d

t

t t s

Công thức trên cho chúng ta thấy mối quan hệ qua lại với nhau giữa hệ

số chiết khấu, lãi suất giao ngay và lãi suất kỳ hạn tức thời Nếu một trong banhân tố được biết thì hai nhân tố còn lại cũng hoàn toàn được xác định bởi cáccông thức (1.14)

1.1.4 Mối liên hệ giữa giá trái phiếu và các loại lãi suất

a Công thức tính giá trái phiếu

Như chúng ta đã biết, công thức tính giá trái phiếu luôn tuân theo nguyêntắc: Giá hiện tại của trái phiếu phải bằng giá trị hiện tại của các luồng tiềnnhận được từ trái phiếu trong tương lai gồm lãi coupon và mệnh giá Theonguyên tắc này, chúng ta đã xây dựng công thức tính giá cho trường hợp tráiphiếu hưởng quyền, trả lãi định kỳ sau như trình bày trong phần 1.1.1 và cóthể tóm tắt lại bởi công thức 2 sau đây Đối với các trường hợp còn lại, cáccông thức tính giá cũng được xây dựng hoàn toàn tương tự

Công thức 2 (Công thức tính giá trái phiếu)

Giá trị hiện tại của trái phiếu có (C,M,n) khi biết hệ số chiết khấu d(t), lãi suất đáo hạn y hay các lãi suất giao ngay tích gộp liên tục s(t) được tính bởi một trong ba công thức sau

m m

m

t t s t

t s t

t s

t t

t

m

e M C e

C e

C P

y

M C y

C y

C P

t d M C t

d C t d C P

).

( ).

( ).

(

2 1

).

(

.

) 1 (

) 1 ( ) 1 (

) ( ).

(

) ( ) (

2 2 1

1

2 1

+ +

=

+ + + +

=

(1.15)

Trường hợp trái phiếu zero-coupon (0,M,n), tức C=0 và chỉ có một lần

trả là mệnh giá vào ngày đáo hạn, nên giá của trái phiếu sẽ là

n n s

y

M n

d M

) 1 ( ) (

+

=

=

Đối với loại trái phiếu zero-coupon có kỳ hạn rất ngắn dưới 1 năm(chẳng hạn n= 1 tuần, 2 tuần ), như trường hợp tín phiếu trên thị trường tráiphiếu Chính phủ Việt Nam , khi sử dụng công thức tính giá theo lãi suất đáohạn y n

M

P

) 1

( +

= trong tính toán, người ta thường sử dụng xấp xỉ (1+a) x

≈1+a.x khi x bé để tính mẫu số trong công thức trên Do đó, giá đối với kỳ

hạn ngắn dưới 1 năm thường được tính bởi công thức

n y

M P

.

1 +

= (1.16)

b. Biến động giá trái phiếu theo lãi suất đáo hạn

Một trong những vấn đề quan trọng của các nhà đầu tư là quản lý rủi rokhi đầu tư trái phiếu Những nhận định về biến động lãi suất thị trường giúpcác nhà đầu tư trái phiếu có thể quản lý danh mục, đảm bảo rủi ro hay xâydựng chiến lược đầu tư

Giả sử tại thời điểm hiện tại, lãi suất đáo hạn của một trái phiếu là y và

có giá là P=P(y) (Theo công thức giá trái phiếu thì P là một hàm của y) Câu

hỏi đặt ra là khi có nhận định về sự biến động tăng hoặc giảm của lãi suất thìgiá của trái phiếu sẽ thay đổi và có chiều hướng như thế nào?

Năm 1938, Federick Macaulay đã đưa ra ý tưởng xây dựng một độ đo(được gọi là Macaulay Duration hay Duration) để tính toán mức rủi ro của lãisuất Độ đo kết hợp kỳ hạn của một trái phiếu và lãi suất coupon có thể ướctính khoảng thời gian để giá của trái phiếu đó được thu hồi

Định nghĩa 7 Duration của trái phiếu (C,M,n) có lãi suất đáo hạn y và

giá hiện tại P là thời gian đáo hạn trung bình của các luồng tiền ( lãi coupon

và mệnh giá) với các tỷ trọng giữa giá hiện tại của dòng tiền và giá trái phiếu, được ký hiệu là D.

Theo định nghĩa công thức toán học tính Duration như sau

m

t t

t

t P

y M

C t

P

y C t P

y C

hay

+ +

t C y

t C P

D

) 1 (

).

(

) 1 (

)

1 (

1

2 1

2

Đối với trường hợp trái phiếu zero-coupon thì C=0 và t 1 = t 2 =…= t

m-1 =0, t m =n Khi đó, thay vào công thức (1.17) ta có

n n P P y

n M P

1

Điều này có nghĩa Duration của trái phiếu zero-coupon bằng kỳ hạn cònlại của nó

Ngoài ra, nếu giả sử các nhân tố khác của trái phiếu là như nhau thì từcông thức (1.17) trên có thể rút ra một số tính chất của Duration như sau

- Duration của trái phiếu cao hơn (thấp hơn) khi lãi suất coupon thấphơn (cao hơn)

- Duration của trái phiếu cao hơn (thấp hơn) đối với kỳ hạn còn lại dàihơn (ngắn hơn)

- Duration của trái phiếu cao hơn (thấp hơn) khi lãi suất đáo hạn thấphơn (cao hơn)

Công thức 3 (Biến động giá theo Duration và Modified Duration) 12

Sự thay đổi giá của trái phiếu theo lãi suất đáo hạn, Duration và Modified Duration của nó được tính xấp xỉ như sau

y P MD P

y P y

D P

−

≈

∆

.

.

1 (1.18) trong đó, ký hiệu Δy là độ thay đổi lãi suất, ΔP = P(y+ Δy)-P(y) là chênh lệch giá trái phiếu, MD là Modified Duration và được xác định MD=D/(1+y).

Như vậy, từ công thức trên có thể thấy giá của trái phiếu thay đổi ngượcchiều với lãi suất đáo hạn một cách tuyến tính và đối với kỳ hạn càng dài thìDuration, Modified Duration càng lớn và biến động giá của trái phiếu cànglớn Có thể minh họa như hình 1.1 dưới đây

Giá Giá thực

Giá có sử dụng Duration

12 Tham khảo phần chứng minh công thức ở Phụ lục

P(y)

y Lãi suất đáo hạn

Hình 1.1 Đồ thị giá thực và giá xấp xỉ của trái phiếu theo Duration

Khi lãi suất thay đổi nhỏ thì ước lượng thay đổi giá tính theo công thức(1.18) tương đối tốt Bảng 1.1 cho chúng ta thấy khi lãi suất thay đổi +/-0,5%thì thay đổi giá tính theo MD và thay đổi giá thực không sai khác nhiều

Bảng 1.1 Ước lượng biến động giá theo MD khi lãi suất thay đổi

Lãi suất đáo hạn (%)

MD

Thay đổi lãi suất (%)

Thay đổi giá (tính theo MD)

Thay đổi giá thực

Bảng 1.2 Sai số ước lượng lớn khi biến động lãi suất lớn

Mã trái

phiếu

Thay đổi lãi suất (%)

Thay đổi giá

Thay đổi giá thực

Thay đổi lãi suất (%)

Thay đổi giá

Thay đổi giá thực

sẽ được xấp xỉ đến cao hơn Trước hết, chúng ta sẽ định nghĩa độ lồi của tráiphiếu như sau

Định nghĩa 8 Convexity (Độ lồi) của trái phiếu là đạo hàm cấp hai của

giá theo lãi suất đáo hạn chia cho giá trái phiếu, được ký hiệu là Conv 14 , công thức toán học tính Convexity như sau

P y

P Conv 2 1

+ + +

+ +

+

+

× +

t

t t M C y

t t C y

t t C P y

Conv

) 1 (

) 1 (

).

(

) 1 (

) 1 (

)

1 (

) 1 (

.

) 1 (

1

2 1

2 2 1

Công thức 4 (Biến động giá theo Modified Duration và Convexity) 15

Sự thay đổi giá của trái phiếu theo lãi suất đáo hạn, Modifed Duration

và Convexity được tính xấp xỉ

2 ) (

2

y Lãi suất đáo hạn

Hình 1.2 Đồ thị giá thực và giá xấp xỉ của trái phiếu

Bảng 1.3 cho thấy sử dụng công thức xấp xỉ theo MD và Conv có độchính xác rất cao như trường hợp lãi suất thay đổi +/-1%, ngay cả khi lãi suất

có sự thay đổi khá lớn +/-3% kết quả ước lượng cũng khá gần so với với kếtquả thực

Thay đổi giá (tính theo MD

& Conv)

Thay đổi giá thực

Thay đổi lãi suất (%)

Thay đổi giá (tính theo

MD & Conv)

Thay đổi giá thực

Bảng 1.3 So sánh biến động giá khi lãi suất thay đổi

15 Tham khảo phần chứng minh công thức ở Phụ lục

Giả sử các nhân tố khác của trái phiếu là như nhau, có thể suy ra một sốtính chất Convexity như sau

- Convexity của trái phiếu cao hơn (thấp hơn) khi lãi suất coupon thấphơn (cao hơn)

- Convexity của trái phiếu cao hơn (thấp hơn) đối với kỳ hạn còn lại dàihơn (ngắn hơn)

- Convexity của trái phiếu cao hơn (thấp hơn) khi lãi suất đáo hạn thấphơn (cao hơn)

1.2 ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT

1.2.1 Định nghĩa

Đường cong lãi suất là đồ thị phản ánh mối quan hệ giữa lãi suất và kỳ hạn của một công cụ nợ (cùng mức độ tín dụng và chất lượng)

Hình 1.3 Đồ thị đường cong lãi suất

Đồ thị thường bắt đầu với mức lãi suất ở kỳ hạn thấp nhất và mở rộng ratheo thời gian, thường là đến kỳ hạn 15, 20 hay 30 năm tùy thuộc vào từng thịtrường của công cụ nợ đó Đường cong lãi suất tại một thời điểm sẽ cho biếtcác mức lãi suất của công cụ nợ theo tất cả các kỳ hạn tại thời điểm đó Đường cong lãi suất có thể được tạo cho bất cứ công cụ nợ nào, nhưngngười ta thường chọn ĐCLS TPCP làm chuẩn do đặc tính rủi ro thấp (gần nhưkhông rủi ro) và sự đa dạng của các kỳ hạn trái phiếu

Các loại đường cong thường được nghiên cứu và sử dụng phổ biến trênthế giới có thể kể đến ĐCLS giao ngay (spot rate curve), ĐCLS kỳ hạn tức

thời (instantaneous forward rate curve), ĐCLS mệnh giá (par yield curve) vàđường cong hệ số chiết khấu (discount curve).

1.2.2 Các hình dạng đường cong lãi suất

Quan sát các ĐCLS của các thị trường khác nhau trên thế giới, các nhànghiên cứu đã rút ra các hình dạng của đường cong có thể được chia thànhbốn dạng cơ bản sau:

- Dạng tăng (positively slope): là hình dạng dốc lên có lãi suất ở kỳ dài

hạn cao hơn lãi suất ở kỳ ngắn hạn Khi ĐCLS có dạng tăng cho thấy dấuhiệu của một nền kinh tế phát triển nhanh hơn bởi vì lãi suất thấp hơn ở ngắnhạn làm cho các Doanh nghiệp dễ dàng vay tiền để mở rộng hoạt động, sảnxuất và kinh doanh

- Dạng phẳng (flat curve): là hình dạng gần phẳng có lãi suất ở mức

trung bình, chênh lệch giữa lãi suất ngắn hạn và dài hạn không đáng kể hoặcrất nhỏ Đường cong dạng phẳng thường kéo theo suy thoái về kinh tế và làđược coi là một cảnh báo sớm của dạng đường cong giảm Tuy nhiên cũng cókhi đường cong sẽ trở lại dạng thông thường là dạng tăng

- Dạng giảm (negatively slope): là hình dạng dốc xuống xảy ra khi lãi

suất ở kỳ dài hạn thấp hơn lãi suất ở kỳ ngắn hạn Đường cong lãi suất códạng giảm thường xảy ra có thể vì các nguyên nhân về nhu cầu cao bấtthường đối với các quỹ ngắn hạn, gia tăng áp lực lạm phát trong ngắn hạn hay

do chính sách tiền tệ của ngân hàng trung ương Đây là một tín hiệu của thời

kỳ thu hẹp nền kinh tế và là đặc trưng của các nhà đầu tư kỳ vọng tích cực củanền kinh tế Nếu các nhà đầu tư tin rằng lạm phát và lãi suất dài hạn sẽ giảmxuống trong tương lai, họ sẽ muốn đầu tư vào trái phiếu dài hạn hiện tại.Đường cong giảm có thể xảy ra khi Chính phủ tăng lãi suất ngắn hạn, và luônluôn theo sau bởi suy thoái kinh tế Trong thực tế, các nhà phân tích đã nhậnthấy ĐCLS thường giảm trước khi mỗi năm suy thoái mới nhất

- Dạng bướu (humped curve): là hình dạng ban đầu tăng lên từ ngắn hạn

đến trung hạn tạo thành một đỉnh (peak) và sau đó giảm đối với kỳ hạn dài

hơn Thông thường khi đường cong dạng bướu xảy ra là báo hiệu sự khởi đầucủa một cuộc suy thoái, tín hiệu chậm hơn tăng trưởng kinh tế vì các ĐCLSphải sẽ đi qua giai đoạn trung gian này để trở thành dạng giảm Nguyên nhântạo thành dạng bướu có thể do nguồn cung ngắn hạn thấp hơn dài hạn.

Hình 1.4 Các dạng cơ bản của đường cong lãi suất

Ngoài bốn dạng cơ bản trên, các đường cong lãi suất khác có hình dạng

vậy, nói chung người ta thường quan sát để tìm cách giải thích các đườngcong cụ thể bằng cách sử dụng sự kết hợp của các lý thuyết về ĐCLS đượcthừa nhận Phần này là một trong những vấn đề lớn, ở đây chúng tôi sẽ chỉgiới thiệu những ý tưởng chính về các thuyết này.

1.2.3 Các thuyết về đường cong lãi suất

• Thuyết kỳ vọng thị trường 16

Đây là môt lý thuyết cho rằng lãi suất ngắn hạn có thể đóng vai trò nhưmột nhân tố dự đoán lãi suất dài hạn Thuyết này đã giải thích sự hình thànhcủa cấu trúc của lãi suất Các động lực quyết định hình dạng của đường sinhlãi suất từng là vấn đề gây ra nhiều tranh cãi giữa các nhà kinh tế học và cáchọc giả trong nhiều năm Nhà kinh tế học người Mỹ Irving Fisher là người đãhoàn thiện lý thuyết kì vọng, đưa ra lời giải thích rõ ràng về hình dạng củađường cong lãi suất năm 1896

Theo lý thuyết này, lãi suất dài hạn sẽ được quyết định bởi chính kì vọngcủa các nhà đầu tư về lãi suất ngắn hạn Về mặt toán học, lý thuyết này đượcthể hiện trong công thức (1.10) như sau

1 2 1

2 ( 1 ( )) ( 1 ( , )) ))

( 1 ( +s1 n2 n = +s1 n1 n × + f1 n1 n2 n −n

Chẳng hạn, chúng ta xét công thức sau

)) 2 , 1 ( 1 ( )) 1 ( 1 ( )) 2 ( 1 (

s 1 (1) là lãi suất giao ngay kì hạn 1 năm

s 1 (2) là lãi suất giao ngay kì hạn 2 năm

f 1 (1,2) là lãi suất kì vọng đối từ năm 1 đến năm 2 , tính từ thời điểm hiện tại

Vế bên trái của công thức là lượng tiền mà các nhà đầu tư sẽ thu về trênmỗi đồng vốn bỏ ra sau thời hạn đầu tư là 2 năm nếu đầu tư vào trái phiếu kìhạn 2 năm Vế phải của phương trình chính là lượng tiền mà anh ta kì vọng sẽthu được sau 2 năm nếu tiến hành đầu tư vào các các tài sản trái phiếu khác cóthời gian đáo hạn là 1 năm Chính sự cạnh tranh là nhân tố khiến cho hai vếcân bằng nhau

Thuyết kỳ vọng thị trường có thể dễ dàng khái quát hóa cho bất kì một

16 Market Expectation Hypothesis

thời hạn đầu tư nào Và mặc dù các trái phiếu có kì hạn rất khác nhau nhưng

lý thuyết này bao giờ cũng giải thích sự tồn tại của lãi suất dài hạn dựa trêncác kì vọng về lãi suất ngắn hạn của các nhà đầu tư Thuyết Thuyết kỳ vọngthị trường đã trở thành cơ sở lý thuyết để giải thích cho việc sử dụng ĐCLSnhư một công cụ phân tích của các chuyên gia phân tích kinh tế và tài chính.Chẳng hạn, nếu ĐCLS có dạng dốc lên, đó là dấu hiệu cho thấy thị trườngđang kì vọng rằng lãi suất ngắn hạn sẽ tăng Bởi vì việc tăng lãi suất chỉ xảy

ra trong thời kì kinh tế phát triển nên một ĐCLS đi lên cho thấy thị trườngđang kì vọng rằng các hoạt động kinh tế sẽ tiếp tục mở rộng hơn nữa

Các chuyên gia phân tích tài chính đôi khi sử dụng phương trình này đểđưa ra những dự đoán về biến động của lãi suất trên thị trường trong tươnglai, do đó phương trình còn được viết lại dưới dạng

1 )) 1 ( 1 /(

)) 2 ( 1 ( ) 2 , 1 (

do đó sẽ ảnh hưởng đến mức sinh lợi của trái phiếu đó

• Thuyết về tính thanh khoản 17

Năm 1939, Nhà nghiên cứu Hicks đã đưa ra thuyết về tính thanh khoản

nhằm giải thích đặc tính của cấu trúc đường cong lãi suất: lãi suất của tráiphiếu có kỳ hạn dài hơn có xu hương cao hơn, điều này có nghĩa đường conglãi suất theo thuyết về tính thanh khoản sẽ có dạng dốc lên

17 Liquidity Preference Hypothesis

Hình 1.5 Đường cong lãi suất có xu hướng dốc lên

Để giải thích vấn đề này, Hicks cho rằng khi nắm giữ trái phiếu nhà đầu

tư phải chịu rủi ro tăng theo kỳ hạn của trái phiếu Các rủi ro này bao gồmnguy cơ lạm phát và rủi ro lãi suất Tỷ lệ lạm phát và lãi suất trở nên khó khăn

để dự đoán trong tương lai xa hơn Lạm phát có nguy cơ làm giảm lợi tức thuhồi thực sự của trái phiếu, trong khi rủi ro lãi suất là rủi ro mà giá trái phiếu sẽgiảm nếu lãi suất tăng lên do mối quan hệ nghịch đảo giữa giá trái phiếu và lãisuất Như vậy, các nhà đầu tư thích loại trái phiều kỳ hạn ngắn do chúng có

độ rủi ro thấp hơn Nhu cầu đối với các trái phiếu ngắn hạn tăng cao dẫn đếntính thanh khoản của loại công cụ này cũng cao hơn so với loại kỳ hạn dài

Do đó, trái phiếu dài hạn phải được trả một khoản tiền bảo hiểm rủi ro caohơn để bù đắp cho người giữ mức rủi ro lớn hơn

• Thuyết phân đoạn thị trường 18

Năm 1957, Culbertson cho rằng hình dạng của đường cong lãi suất đượcxác định bởi cung và cầu đối với các trái phiếu trong các phân đoạn kỳ đáo

18 Market-Segmentation Hypothesis

hạn Các ĐCLS phản ánh chính sách đầu tư của nhà đầu tư, các tổ chức có sởthích các kỳ đáo hạn khác nhau Các ngân hàng cần thanh khoản và muốn đầu

tư vào trái phiếu ngắn hạn, trong khi các công ty có nhu cầu quỹ theo mùathích phát hành trái phiếu ngắn hạn Công ty bảo hiểm cuộc sống thích đầu tưvào trái phiếu dài hạn để phù hợp với trách nhiệm pháp lý lâu dài của họ,trong khi các công ty bất động sản muốn phát hành trái phiếu dài hạn do chu

kỳ dự án dài của họ

Hình 1.6 Các phân đoạn thị trường

Thị trường trái phiếu được phân đoạn dựa trên sở thích kỳ hạn của cácnhà đầu tư và tổ chức phát hành Trong mỗi phân khúc thị trường, lợi suấthiện hành được xác định bởi cung và cầu đối với trái phiếu Chẳng hạn, mộtĐCLS có dạng tăng dốc chỉ ra rằng: cầu vượt xa cung đối với trái phiếu ngắnhạn làm cho lãi suất ngắn hạn thấp trong khi đối với trái phiếu dài hạn thìcung lại vượt xa nhu cầu dẫn đến lãi suất dài hạn cao Nếu ĐCLS có dạngphẳng, điều đó có nghĩa là cả hai trái phiếu ngắn hạn và dài hạn đang trongtrạng thái cân bằng lãi suất tương tự cho tất cả các kỳ hạn

• Thuyết về thói quen ưa thích 19

Thuyết về thói quen ưa thích là một biến thể của thuyết phân đoạn thịtrường Vào năm 1966, Modigliani & Sutch lập luận rằng các nhà đầu tưmuốn đầu tư trong các phân đoạn kỳ đáo hạn cụ thể, tuy nhiên các nhà đầu tưkhông bao giờ muốn có một công cụ dài hạn hơn công cụ ngắn hạn với cùngmột mức lãi suất Như vậy, cấu trúc giữa kỳ hạn và lãi suất dẫn đến một sốkhác biệt cơ bản trong hành vi của nhà đầu tư, nhưng luôn luôn có một giá tạitất cả các kỳ hạn sẽ cung cấp sự hấp dẫn cho nhà đầu tư tiềm năng Và cácnhà đầu tư sẽ từ bỏ các công cụ có kỳ hạn ưa thích của họ để đầu tư các phânkhúc mà họ không ưa thích nếu họ được đền bù thỏa đáng Do đó, các phânđoạn thị trường mặc dù khác nhau nhưng vẫn phụ thuộc lẫn nhau và tạo nêncác cấu trúc kỳ hạn và hàm chiết khấu là những hàm trơn (smooth function)

1.2.4 Vai trò của đường cong lãi suất

Các thành phần tham gia thị trường vốn nợ luôn quan tâm đến hình dạng,mức độ của đường cong lãi suất hiện tại, cũng như những xu hướng củađường cong trong tương lai Chúng giúp thị trường có thể đánh giá các biếnđộng tài chính, dự báo lãi suất tương lai Đường cong lãi suất cho phép cácnhà lập chính sách điều chỉnh chính sách tiền tệ theo hướng nới lỏng hay thắtchặt và cung cấp cơ sở chuẩn cho nhà đầu tư, chủ thể phát hành định giá tráiphiếu Dựa vào đó nhà đầu tư có thể xây dựng và quản lý danh mục đầu tưtrái phiếu, ước tính lạm phát tương lai, xây dựng và quản lý chiến lược phòngngừa rủi ro lãi suất Như vậy, có thể thấy việc hình thành ĐCLS chuẩn sẽ giúpthị trường càng ngày càng minh bạch và có tính thanh khoản hơn Một số vaitrò chính của ĐCLS có thể được tóm tắt như sau

• Định giá, tính lãi suất cho các công cụ thị trường nợ

19 Preferred Habitat Hypothesis

Đường cong lãi suất cơ bản tính toán các chi phí tiền trong cấu trúc kỳhạn nợ Lãi suất của trái phiếu chính phủ từ các công cụ ngắn hạn nhất đếndài hạn nhất thiết lập các tiêu chuẩn về lãi suất cho tất cả các công cụ nợ kháctrên thị trường được phân tích Tổ chức phát hành nợ và các ngân hàng bảolãnh phát hành do đó có thể sử dụng các ĐCLS để định giá trái phiếu mà tổchức phát hành và tất cả các công cụ nợ khác Thông thường, ĐCLS giaongay thường được sử dụng để định giá công cụ nợ phát hành mới

• Là chỉ báo các mức lãi suất trong tương lai

Các đường cong lãi suất thể hiện hình dạng tương ứng kỳ vọng thịtrường của lãi suất trong tương lai Những thành viên tham gia thị trường tráiphiếu phân tích hình dạng hiện tại của ĐCLS để cố gắng xác định những xuhướng tương lai của lãi suất thị trường Điều này có lẽ là một trong nhữngchức năng quan trọng nhất của ĐCLS Các ĐCLS được xem xét kỹ lưỡng nộidung thông tin của nó không chỉ bởi các nhà đầu tư trái phiếu và các nhà quản

lý quỹ mà còn bởi các tổ chức tài chính doanh nghiệp như trong việc thẩmđịnh dự án Ngân hàng trung ương, Kho bạc Nhà nước và các cơ quan chínhphủ cũng phân tích ĐCLS cho nội dung thông tin của mình, không chỉ liênquan đến lãi suất mà còn liên quan đến mức lạm phát kỳ vọng

• Đo lường và so sánh lợi nhuận trên kỳ đầu tư

Những nhà quản lý danh mục đầu tư sử dụng các ĐCLS để đánh giá giátrị tương đối của các khoản đầu tư trên kỳ đầu tư ĐCLS cho thấy lợi nhuậntại các điểm kỳ hạn khác nhau Do đó rất quan trọng để các nhà quản lý quỹthu nhập cố định có thể sử dụng nó để đánh giá điểm của đường cong cungcấp cho mức lãi suất tốt nhất so với các điểm khác

• Định giá các chứng khoán phái sinh

Giá của chứng khoán phái sinh được xác định dựa vào ĐCLS Tại kỳ hạn

ngắn, các sản phẩm như FRA được định giá theo ĐCLS tương lai, nhưng lãisuất tương lai phản ánh quan điểm của thị trường về lãi suất giao ngay ngắnhạn Đối với kỳ hạn dài hơn, swap lãi suất định giá theo ĐCLS, trong khi cáccông cụ kết hợp tính năng tùy chọn như các trái phiếu chuyển đổi (convertiblebonds) hay trái phiếu có thể thu hồi (callable bonds) cũng phản ánh mức lãisuất đường cong hiện tại

1.2.5 Mối liên hệ giữa các loại đường cong lãi suất

Như được đề cập trên trong công thức 1 ở phần 1.1.1, các ĐCLS giaongay, ĐCLS kỳ hạn tức thời và đường cong hệ số chiết khấu có mối liên hệqua lại với nhau thông qua các công thức toán học như sau

) (

) ( ' ) (

) (

1 ) (

) (

0

).

(

t d

t d t f

dm m f t t s

e t d

t

t t s

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐƯỜNG CONG LÃI SUẤT VÀ KINH NGHIỆM QUỐC TẾ

2.1.1 Bài toán xây dựng đường cong lãi suất

Đường cong lãi suất của một công cụ nợ được hình thành dựa trên cácthông tin hiện tại được phản ánh trên thị trường của công cụ nợ đó Để thuthập được những thông tin trên TTTP Chính phủ, một số loại trái phiếu cótính chất đại diện cho thị trường sẽ được chọn làm mã đại diện (benchmark)

và được quote giá hàng ngày bởi các nhà tạo lập thị trường (maket maker).Các loại trái phiếu được chọn thường có tính thanh khoản cao nhất hoặc phảiđáp ứng được những tiêu chí tối thiểu về khối lượng niêm yết, khối lượnggiao dịch và tần suất giao dịch Những thông tin về giá quote cho cácbenchmark của các nhà tạo lập thị trường được dùng làm cơ sở dữ liệu đểhình thành nên cấu trúc kỳ hạn lãi suất của trái phiếu chính phủ

Như đã đề cập ở Chương I, đường cong lãi suất giao ngay là nền tảngtrong việc giải thích, định giá hay tham chiếu cho các công cụ tài chính khác.Ngoài ra các ĐCLS có mối liên hệ qua lại với nhau: nếu một đường congđược xây dựng thì có thể suy ra các đường cong còn lại Với những lý do trên,ĐCLS giao ngay thường được xây dựng và sử dụng rộng rãi ở các thị trườngtrên thế giới

Có thể phát biểu bài toán xây dựng đường cong lãi suất như sau

• Đầu vào: thông tin n loại trái phiếu về lãi coupon, mệnh giá, kỳ hạn còn lại và giá hiện tại: (C i,M i,t i,P i) i=1, 2, …, n (còn gọi là dữ liệu quan sát hay dữ liệu đầu vào)

• Đầu ra: xác định đường cong lãi suất giao ngay s(t).

Yield

Maturity

Hình 2.1 Minh họa bài toán xây dựng đường cong lãi suất

Đường cong lãi suất được hình thành cần có hai yếu tố là dữ liệu quansát và phương pháp xây dựng Để hình thành được một đường cong chuẩntrước hết dữ liệu đầu vào phải tốt nhất, điều này có nghĩa các dữ liệu quan sátđược thu thập phải phản ánh chính xác nhất thực trạng trên thị trường Do đó,các mã benchmark là các trái phiếu được chọn lọc phải đảm bảo tính đại diệncho thị trường nhất, thể hiện ở các tiêu chí sau đây

- Có cùng mức độ rủi ro và chất lượng

- Có tính thanh khoản cao

- Được quote giá thường xuyên với một khối lượng chào giao dịch đủlớn trên thị trường

Dựa trên những dữ liệu được thu thập, để tạo được một đường cong có

độ chính xác cao cần phải có phương pháp xây dựng ĐCLS phải tối ưu nhất.Các tiêu chí sau đây để đánh giá một phương pháp tốt

- Phương pháp phải có độ chính xác cao tức xấp xỉ chính xác cao giáhay lãi suất tính theo phương pháp so với dữ liệu quan sát, và các đường congđược xây dựng có đầy đủ các hình dạng thống kê

- Đảm bảo đáp ứng về độ trơn của đường cong

- Ổn định khi có sự thay đổi trong dữ liệu quan sát

- Đảm bảo tính hiệu quả và kịp thời trên cơ sở các nguồn lực có sẵn nhưmức độ có sẵn và đáng tin cậy của số liệu, năng lực xử lý số liệu của máy tính,

Do tầm quan trọng của ĐCLS, việc xây dựng ĐCLS đã được thực hiện ởhầu hết các thị trường trên thế giới Trong quá trình phát triển thị trườngngười ta đã nghiên cứu và ứng dụng rất nhiều phương pháp xây dựng ĐCLS

Các phương pháp về sau càng ngày càng được chỉnh sửa và cải tiến để hìnhthành nên các đường cong có độ chính xác hơn Các phương pháp đã đượcnghiên cứu và sử dụng trên thế giới được chia thành hai loại là phương pháptrực tiếp và phương pháp gián tiếp Phương pháp trực tiếp là phương pháptính chính xác lãi suất tại các kỳ hạn chuẩn theo dữ liệu quan sát, trong khiphương pháp gián tiếp là phương pháp tính gần đúng lãi suất trên toàn bộ các

kỳ hạn Đường cong lãi suất được xây dựng bởi các phương pháp gián tiếpthường chuẩn hơn, đường cong có hình dạng và độ trơn phù hợp với thực tếhơn so với các phương pháp trực tiếp Các phương pháp gián tiếp có ba modelđược nghiên cứu trong việc xây dựng ĐCLS bao gồm

- Regression-type models

- Equilibrium models

- Empirical models

Trong đó, Empirical models gồm các phương pháp Parsimonious model

và Spline based model, do có nhiều ưu điểm vượt trội so với hai models cònlại, xây dựng đường cong có độ smooth và độ chính xác tốt nên models được

sử dụng thông dụng trên hầu hết các thị trường

2.1.2 Phương pháp trực tiếp

Phương pháp Bootstraping là phương pháp trực tiếp khá nổi tiếng và đãtừng được sử dụng bởi một số thị trường trên thế giới trước đây Sau đây,chúng tôi sẽ trình bày cách thức xây dựng ĐCLS của phương pháp này

Giả sử dữ liệu quan sát có thông tin đầy đủ các trái phiếu có kỳ hạn

chuẩn 1, 2,…, m năm (0,M 1 ,1,P 1 ), (C 2 ,M 2 ,2,P 2 ),…, (C m ,M m ,m,P m ) 20

Khi đó giá của trái phiếu kỳ hạn 1 năm được tính

P 1 = M 1 e -s(1).1

Suy ra lãi suất giao ngay kỳ hạn 1 năm

20 Giả sử trái phiếu kỳ hạn 1 năm là loại trái phiếu zero-coupon còn các trái phiếu có kỳ hạn trên 1 năm là loại trái phiếu trả lãi

1

ln)

1(

M

P

s =−Giá của trái phiếu kỳ hạn 2 năm là

P 2 = C 2. e -s(1).1 +(C 2 +M 2 ).e -s(2).2

Nên lãi suất giao ngay kỳ hạn 2 năm bằng

( )

2 2

1 1 2 2

ln.2

1)

2(

M C

e C P s

2 2 3 1 1 3 3

ln.3

1)3(

M C

e C e

C P s

s s

Nhận thấy lãi suất giao ngay s(1) được tính chính xác theo P 1 và M 1 Lãi

suất s(2) được tính theo s(1) và những thông tin quan sát C 2 ,M 2 ,P 2 đã biết

Tương tự s(3) được tính theo s(1), s(2) và các thông tin đã biết C 3 ,M 3 ,P 3.Lập luận tương tự, một cách truy hồi ta có thể tính toán và biết được các

lãi suất giao ngay s(4), s(5),…, s(m) như sau

k k

k k s k

s k

s k k

M C

e C e

C e

C P k k

k=4,5,…,m

Như vậy, phương pháp tính chính xác các lãi suất giao ngay tại các kỳ

hạn chuẩn 1,2, ,m năm

Đối với các kỳ hạn không chuẩn (t khác 1, 2,…, m), phương pháp

Bootstraping sử dụng phép nội suy tuyến tính hay nội suy bậc ba (linear/cubic

interpolation): Cấu trúc kỳ hạn lãi suất trong các khoảng kỳ hạn [k,k+1]

(k=1,2,…,m-1) được xấp xỉ bởi đường thẳng l k (x) hoặc đa thức bậc ba g k,3 (x)

(tham khảo…) Từ đó, lãi suất giao ngay s(t) (t khác 1, 2,…, m) được xấp xỉ bởi l k (t) hoặc g k,3 (t).

Hình 2.2 Phương pháp nội suy xấp xỉ tại các kỳ hạn không chuẩn

Đặc điểm phương pháp Bootstraping là dễ dàng trong việc tính toán vàkhít chính xác các dữ liệu tại các kỳ hạn chuẩn Tuy nhiên, dữ liệu quan sát để

sử dụng phương pháp Bootstraping phải có các kỳ hạn chuẩn, điều kiện nàyrất khó để đáp ứng nhất là đối với thị trường kém thanh khoản Ngoài ra, do

sự ghép nối các đường cong tại các nốt kỳ hạn chuẩn lại với nhau mà khôngđược làm trơn nên ĐCLS được xác định thường không trơn

Để khắc phục những nhược điểm trên của phương pháp trực tiếp, cácnhà nghiên cứu đã đề xuất ra các phương pháp gián tiếp Đường cong lãi suấtxác định bởi các phương pháp này thường phản ánh tương đối chuẩn nhữngdiễn biến của thị trường từ những đầu vào của dữ liệu

2.1.3 Phương pháp gián tiếp

Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến các phương pháp gián tiếp được

sử dụng khá phổ biến trên thế giới hiện nay là Empirical models Các phươngpháp gián Empirical models được chia thành hai loại là Parsimonous model

và Spline based model

a Parsimonious Model

Dựa vào thông kê và công cụ toán học, người ta xây dựng mô hình cho

các đường cong lãi suất Dạng hàm của đường cong được xác định và chứa các

tham số a,b,c, chẳng hạn dạng của ĐCLS giao ngay hay ĐCLS kỳ hạn tức thời

s(a,b,c…), f(a,b,c…) Các tham số a,b,c,… sẽ được xác định sao cho tối ưu

nhất độ chính xác giữa dữ liệu quan sát và kết quả sử dụng mô hình Như vậy,

để xác định ĐCLS chúng ta cần phải xác định được các tham số này

Hình 2.3 Đường cong được xây dựng bởi Parsimonous Model là một hàm

xác định trên toàn trục kỳ hạn

Các phương pháp thuộc loại parsimonious model được trình bày dướiđây đã và đang được sử dụng hiện nay phổ biến nhất trên các thị trường thếgiới Chúng bao gồm các phương pháp Nelson-Siegel, phương pháp Bliss vàphương pháp Svensson

• Phương pháp Nelson-Siegel

Phương pháp Nelson-Siegel là phương pháp parsimonious đầu tiên đượcthiết lập do Nelson-Siegel vào năm 1987 Qua thống kê và sử dụng công cụ toánhọc, Nelson-Siegel đã nghiên cứu và đề xuất mô hình chung cho hàm lãi suất kỳhạn tức thời sau có thể bao quát được hầu hết các dạng đường cong lãi suất

=

τ τ

β τ β

Sử dụng mối quan hệ giữa các ĐCLS (công thức 1), chúng ta dễ dàngsuy ra lãi suất giao ngay

+

=

τ τ

β τ

τ β β

t t

t s t

d( ) exp( ( ) ) exp 0 ( 1 2) 1 exp 2 exp

τ τ

β τ

τ β β β

Các tham số β 0 , β 1 , β 2 và τ được Nelson-Siegel xây dựng để diễn tả cụthể hơn về cấu trúc của lãi suất theo kỳ hạn Sau đây chúng ta sẽ phân tích sâuhơn về ý nghĩa các tham số này

- Tham số β 0 là nhân tố quyết định lãi suất dài hạn

Thật vậy, khi cho biến kỳ hạn t tiến tới vô cùng vào công thức hàm lãisuất kỳ hạn tức thời và sử dụng công thức khá quen thuộc sau

0 ) exp(

lim ) exp(

+∞

→ +∞

x x

Ta có

0 ) (

+∞

→ f t

Điều này có nghĩa khi t đủ lớn thì f(t) ≈ β 0 Như vậy, có thể xem β 0 là

lãi suất dài hạn hay nhân tố quyết định lãi suất dài hạn

- Tổng β + 0 β 1là nhân tố quyết định lãi suất ngắn hạn

Tương tự, khi cho biến kỳ hạn tiến tới 0, dễ có lim0 ( ) = β 0 + β 1

→ f t

có nghĩa khi t đủ bé (rất gần 0) thì f(t) ≈ β + 0 β 1

- Tham số β 2 là nhân tố quyết định độ dốc (độ cong) của hump

Hàm lãi suất kỳ hạn tức thời f(t) là tổng tuyến tính của ba hàm số 1, e -m , m.e -m (m=-t/τ) với các hệ số tương ứng là các tham số β 0 , β 1 , β 2 mà đồ thị của

các hàm này được thể hiện ở hình 2.4 Nhận thấy đồ thị của hàm m.e -m tronghình có 1 hump là nhân tố hình thành hump của ĐCLS và β 2 là hệ số tương

ứng của hàm m.e -m nên khi thay đổi β 2 thì độ dốc (độ cong) của đường cong

sẽ thay đổi theo độ lớn của | β2|

- Tham số τ là nhân tố quyết định vị trí của hump

Thực vậy, do τ là ẩn số trong biểu thức m=-t/τ nên khi thay đổi τ thì vị trí

hump của đường cong sẽ thay đổi theo trục hoành

Hình 2.4 Các nhân tố của đường cong kỳ hạn tức thời

Để xác định các tham số β 0 , β 1 , β 2 và τ, trước hết Nelson-Siegel tính giá

lý thuyết (giá được tính khi sử dụng mô hình) của trái phiếu thứ i

P

1

, ,

trong đó m i,1 , m i,2 ,…, m i,ni =t i là các khoảng thời gian trả lãi coupon và

mệnh giá của trái phiếu thứ i

Sau đó, các tham số sẽ được xác định sao cho giá mô hình và giá quansát “khít” nhất, được thể hiện qua việc tối thiểu tổng các bình phương độ lệchgiữa giá quan sát và giá được tính khi sử dụng mô hình

min

Nhận xét hàm chiết khấu d(t) là hàm số của các tham số β 0 , β 1 , β 2 và τ

nên giá lý thuyết P i * cũng là hàm của các tham số này Như vậy, tổng

Từ các nghiên cứu và thử nghiệm đánh giá trên các thị trường khác nhau,người ta nhận thấy đường cong được xây dựng bởi phương pháp Nelson-Siegel có thể nhận được các hình dạng chuẩn như tăng, giảm, phẳng và có 1hump và có độ khít với dữ liệu quan sát tương đối chính xác

• Phương pháp Bliss

Năm 1997, phát triển từ phương pháp Nelson-Siegel, nhà nghiên cứu

Bliss đã đề xuất tham số tau τ trong hai số hạng của hàm kỳ hạn tức thời nên

khác nhau là τ1 và τ2 và xây dựng mô hình hàm hàm lãi suất kỳ hạn tức thờinhư sau







 − +







 − +

=

2 2

2 1

1

) (

τ τ

β τ

β

m f

Các tham số β0,β1,β2 được giải thích như phương pháp Nelson-Siegel,tham số τ 1 và τ 2 xác định tốc độ hội tụ cho β 0 và β1 Các tham số này đượcxác định sao cho tổng các bình phương độ lệch giữa giá quan sát và giá được

Đặc điểm phương pháp Bliss: Đường cong có thể có các dạng: tăng,giảm, flat và có 1 hump Tuy nhiên, đường cong linh hoạt hơn phương phápNelson-Sielgel do có thêm tham số τ 2 (khác τ1, giúp tốc độ biên thiên của

21 H O Hartley, The Modified Gauss-Newton Method for the Fitting of Non-Linear Regression Functions

by Least Squares, Technometrics, Vol 3, No 2 (May, 1961), pp 269-280