Phân tích phổ đáp ứng của hệ chịu kích động tham số ngẫu nhiên

Những nghiên cứu gần đây chủ yếu vẫn xoay quanh việc xác định các đặc trưng “một thời điểm” của đáp ứng như một quá trình ngẫu nhiên, như là eiá trị trung bình, phương sai hay mật độ xác

HOÀNG TH Ị LAN IỈUƠ NÍỈ

PHÂN TÍCH PHỔ ĐÁP ỨNG CỦA IIỆ CHỊU KÍCH ĐỘNG THAM s ố NGÂU NHIÊN

Chuyên ngành: ('(1IIỌC ÚN(Ỉ DỤNG

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TSKH NGUYỄN TIÊN KHIÊM

HÀ NỘI - 2003

Tòi xin cam đoan dây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, tínli toán trong luân văn đều là trung thực và chưa từng (tược ai cổng bố trong b;ìt kỳ một đề tài nào.

'T 1 / • *»

lác giá

Hoàng Thị Lan Hương

1.1 Các khái niệm cơ bản về xác suất, ngẫu nhiên và dao động ngẫu nhiên

1.1.1 Các khái niệm về lý thuyết xác suất

1.1.1.1 Neẫu nhiên và tiền định

1.1.1.2 Đại lượng ngẫu nhiên và các đặc tnrng xác suất

1.1.2 Các đặc trưng sô' của đại lượng ngẫu nhiên

1.1.2.1 Kỳ vọng

1.1.2.2 Phương sai của dại lượng ngẫu nhiên

1.1.2.3 Hàm tương quan và hiệp phương sai

1.1.2.4 Các tính chất của kỳ vọng và phương sai

1.1.3 Qúa trình ngẫu nhiên

1.1.3.1 Qúa trình ngẫu nhiên dừng

1.1.3.2 Qúa trình Ergodic

1.1.3.3 Biểu diễn phổ của quá trình ngẫu nhiên dừng

1.1.3.4 Qúa trình ngẫu nhiên chuẩn

1.1.3.5 Qúa trình ồn trắng

1.1.3.6 Cơ sở lý thuyết của quá trình Markov

1.2 Mô phỏng quá trình ngẫu nhiên

1.2.1 Mỏ phỏng đại lượng ngẫu nhiên theo mật dộ xác suất

1.2.1.1 Mò phỏng đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên đoạn [ 0 1 I

1.2.1.2 Mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên liên tục

1.2.2 Mò phỏng quá trình ngẫu nhiên theo mật độ phổ

12

Ị

3588889111111

12

12131313131515161717171920

1.3 Các phương pháp nghiên cứu về dao động ngẫu nhiên 22

1.3.2 Một số pliương pháp nghiên cúu dao động của hệ phi tuyến 26

1.3.2.3 Phương pháp tuyên tính hoá tưưng dương 29

Chương 2: Phương pháp tham số bé trong phân tích phổ hệ phi tuyến bé 3 3

chịu kích động tham số ngẫu nhiên

2.2.3 Phổ đáp ứng của hệ chịu kích dộng tham số ngẫu nhiên 52

Việc nghiên cứu ảnh hưởng của các tải trọng ngẫu nhiên lên các hệ cơ học phi tuyến là một vấn đề vừa mang tính truyền thống vừa hiện đại, có cả tính cấp

phi tuyến dưới tác dộng ngẫu nhiên vẫn còn là một bài toán hắc búa chưa giải quyết được triệt để như các hệ tuyến tính, các phương pháp nghiên cứu vẫn chỉ áp dụne có hiệu quả cho các hệ cụ thể Ý nghĩa thực tiễn là ử chỗ đại đa số các tác dộng dù là tái trọng bên ngoài hay tính chất bên trong của hệ cư học thực tế đều mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn là tiền định

Những nghiên cứu gần đây chủ yếu vẫn xoay quanh việc xác định các đặc trưng “một thời điểm” của đáp ứng như một quá trình ngẫu nhiên, như là eiá trị trung bình, phương sai hay mật độ xác suất dừng Việc phân tích các đặc trưng

“hai thời điểm” như hàm tương quan, mật độ phổ của đáp ứng trong các hệ phi tuyến còn chưa được quan tâm nghiên cứu một cách đúng mức Đề tài được chọn nằm trong hướng nghiên cứu này

Mục đích của dề tài: Phát triển phương pháp tiệm cận trong việc phân tích phổ hệ kích động tham số ngẫu nhiên với mục đích khám phá ảnh hường cùa kích dộng tham số ngẫu nhiên đến phổ của đáp ứng Cụ thể là xây dưng hàm mật

độ phổ của đáp ứng hệ một bậc tự do dựa trên một dạng mô phòng quá trình ngãi!

bé

Có nhiều cách mô phỏng quá trình ngẫu nhiên dựa trên hàm mật độ phổ Trong luận văn này sử dụng một cách mô phỏng ở đó quá trình ngầu nhiên dime dược biểu diễn như một quá trình điều hoà với tẩn số và pha là những đại lượng

lì CÂU nhiên với mật d ộ x ác suất c h o trước Kiểu m ô p h ỏng này c h o phép ta phát

trièn những công cụ đã biết khi nghiên cứu các hệ với kích dộng diều hoà Cụ thể

pháp chính được áp dụng trong luận văn này.

Đối tượng chính là hệ một bậc tự do chịu kích dộng tham số ngẫu nhiên dừng Hệ chịu kích động tham số thông thường là rất phức tạp ngay cả trons trường hợp tuyến tính với kích dộng điều hoà Tuy nhiên những nghiên cứu gÁn dày về các hệ chịu kích động tham số chủ yếu tập trung vào vấn đề ổn định của nghiệm dừng Khi kích động tham số là ngẫu nhiên có rất ít công trình đặt vấn

dề xây dựng các đặc trưng xác suất của nghiệm, đặc biệt là các đặc trưng hai thời điểm như hàm tương quan và mật đổ phổ Trong luận văn này dặt ra bài toán xây dựng hàm mật dộ phổ đáp ứng của hệ một bậc tự do dưới kích động tham số là quá trình ngẫu nhiên dừng Tuy nhiên, sau khi xây dựng phương pháp tiệm cận cho hộ phi tuyến tổng quát, tác giả cũng chỉ dừng lại ở việc phân tích phổ dáp ứng của hệ tuyến tính chịu kích động tham số ngẫu nhiên Việc phân tích phổ dáp ứng của hệ phi tuyến bé chịu kích động tham số ngẫu nhiên, một bài toán vô cùng phức tạp, sẽ là phương hướng nghiên círu tiếp theo của tác giả

Nội dune chính của luận văn được chia làm hai chương Chương một trình bày những khái niệm về dại lượng và quá trình ngẫu nhiên, các phương pháp mồ phỏng giải tích cũng như trên máy tính; tổng quan về các plurơng pháp nghiên cứu dao động ngẫu nhiên của các hệ cơ học một bạc tự do Đây chủ yếu là những kiến thức mà tác giả dã nhận được qua các bài giảng về lý thuyết quá trình ngẫu nhiên (Thầy Nguyễn Duy Tiến), dao động ngẫu nhiên (Thầy Nguyễn Cao Mệnh) trong chương trình cao học tại Trung Tâm hợp tác đào tạo và bổi dưỡng Cơ học Chương hai giành cho việc phát triển phương pháp tham số bé dể xây dựng hàm mật độ phổ đáp ứng của các hệ một bậc tự do Phần một của chương hai chú yếu

là đè trình bày phương pháp và những kết quả của llìíiy hướng dẫn trong việc nghiên cứu các hệ ôtônôm chịu kích dộng ngoài ngẫu nhiên Phần hai cùa chương này là kết quả mới của tác giả trong việc phát triển ý tướng cùa neười

ba chương hai giành cho việc nghiên cứu phổ dáp ứng cùa hệ tuyên tính chịu

k ích động tham số ngẫu nhiên dừng

Kết quả chủ vếu của luận văn này chứa trong mục hai và ba cùa chương hai Trong dó, mục hai là cơ sở phương pháp luân và mục ha trình bày kết quả nghiên cứu cụ thể cùng với ví dụ tính toán số

Việc tính toán sô được thực hiện trên máy tính bằng phán mềm MATLAB

và MAPLE

Tác già xin chân thành cảm ơn thày hướng dẫn, các bạn cùng lớp cao học và cán bộ phòng Chẩn đoán kỹ thuật, Viện Cơ học đã tận tình giúp đỡ trong việc hoàn thành luận văn này

CHƯƠNG 1

VÀ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN 1.1.1 Các khái niệm về lý thuyết xác suất

Xác suất của một biến cố là con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cô đó khi thực hiện phép thử, nó được định nghĩa theo hai cách:

lẩn, thì xác suất xuất hiện biến cố A ký hiệu P(A) là giới hạn của tần suất

phép thử Tập hựp s chứa tất cả các phần tử hay các kết cục có thể xảy ra cuaphép thừ Nếu các kết cục có thể có cùa phép thử được ký hiệu là £ ,,,£ ,2 £n thì

s = { ị ị 2 t n } Một tập hợp A c s được gọi là một biên cố Nếu A khôngchứa bất kỳ một kết cục nào thì ta có tập hợp trống (ị) Biến cô bù (biến có đòi).ĩ cùa A là tập hợp các phần tử thuộc s mà không thuộc A Nếu A xày ra

till A sẽ không xảy ra A ,u A2 xảy ra nêu hoặc A, hoặc A2 hoặc cả A,và A2 xay ra A ,n A2 xảy ra nêu cá Aị và A2 cùng dồng thời xảy ra A ,n A:= ộ till hai biến cỏ này được gọi là xung khấc.

Xác suất của biến cố A là một số thực thoả mãn các tiên đề sau:

Nếu A| và A2 là hai biến cố độc lập thì

L I 1.2 Đại lượng ngấu ttliiên và các đặc trung xác suất

Cho dại lượng ngẫu nhiên X, ta gọi hàm phân phối xác suất của X là

F(x,y) = P(X< X, Y< y)Một độ xác suất dồng thời là đại lượng:

P( x,<X<x2, Y<y) = F( x2,y) - F( x,.y)

p [ ( \ , y ) € D ] = ị p { x , y ) d x d y

-1.1.2 Các đặc trưng sô của đại lượng ngẫu nhiên

Với các dại lượng ngẫu nhiên, việc biết các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên có ý nghiã quan trọng giúp mô tả về mặt định lượng đại lượng ngẫu nhiên dang được xét khi không có đủ diều kiện để biết được luật phân phối cùa nó

Khi X có giá trị trung bình zero thì d[,y] = ơ : = eỊa'2], ơ = y [ D [ x ]gọi là độlệch chuẩn, nó phản ánh mức độ phân tán của X xung quanh giá trị trung bình cua nó.

Ị 1.2.3 Hàm tưong quan và hiệp phương sai

Xét hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y Kỳ vọng toán học của tích XY là:

4 T +"C

Rxv = j Ị { x - m x) ( y - m y ) p ( x , y ) d x d y

- r - T

Rvv được gọi là hàm tự tương quan của X và Y ( mô men tương quan)

Nếu X và Y là hai đại lượng độc lập nhau, nghĩa là p(x,y) =Pi(x)p2(y) thì

Phương sai và I11Ô men tương quan của hai dại lượng ngẫu nhiên có thể viết ờ

dưới dạng hiệp phương sai sau:

với c = const => !11CX= cinx ;

1.1.3 Qúa trình ngẫu nhiên:

Qúa trình neảu nhiên là một hàm số mà giá trị của hàm tại một đối số chotrước là một đại lượng ngẫu nhiên Thông thường ta chọn đối số là thời cimi t.vậy quá trình Iigẫu nhiên X(t) có thể có nhiều thể hiện X|(t) Sau đây ta xét các uiá thiết đơn giản hoá của quá trình ngẫu nhiên

1.1.3.1 Qúa trình ngẫu Iihiên dừng

Đó là quá trình mà các đặc trưng xác suất không phụ thuộc vào thời eian nehĩa là:

Rx(t.t/) = Rx( t - t /,0 ) = Rx(T) (1.1.23)

hiện ta có thể xác định đúng được trung bình IÌ1X và hàm tương quan Rx(t) Vậy với X là quá trình Ergodic thì:

1.1.3.3.ĩìiểii diễn p h ổ của quá trình ngầu nhiên dừng

Xét một hàm tuần hoàn f(t) có chu kỳ T, nó có thê được biểu diễn dưới dạng Fourier

Tập hựp các biên độ cn được gọi là phổ rời rạc của hàm f(t) Gia sử T->00, khi

dó l(t) được biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier

Xét quá trình ngÃu nhiên dừng x(t) với hàm tirơng quan Rx(t), áp đụngphép biến đổi Fourier ở trên cho hàm Rx(x) ta dược

Rr( r) = (co)exp{ico.t}dcứ = 2 |S r(rư)cos<yrí/r (1.1.30)

S x ( c o ) = — í/?r (r)exp{- i c o r } ( Ỉ T = — |7í v( r ) c o s r y r c / r ( 1 1 3 1 )

SN(CD) được tzọi là hàm mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên Đê hiểu (lược V Iiiihĩa của hàm Sx((o), ta xét trường hựp tới hạn với 1 = 0

T>

- T

1.1.3.4 Qúa trình ngấu nhiên chiiáìi hay Gauss

Qúa trình ngẫu nhiên chuẩn là quá trình mà hàm mệt độ phổ (hay hàm tưctng quan) chí cho dú thông tin dê xây dựng tập hợp vô hạn các pliAn phối xác suất Hàm mật độ xác suất của quá trình ngÃii nhiên chuẩn n chiều có dạna :V.

Sư dung phép biến đổi trên rồi áp dụng phép biến dổi Fourier ta nhận dược còne thức biểu diễn các liàin mật độ phổ bộc cao cua lịuá trình chuẩn qua hàm mật độ phổ bộc hai.

ơ : là cường dộ của ồn trắng, ô(t) là hàm denta Đirăc

Về mặt vật lý thì quá trình ồn trắng là không có thực vì có phương sai IỚI1 vô cùne và quá trình ngẫu nhiên này là không liên tục

1.1.3.6 Cơ sỏ lý thuyết cùa quá trình Markov.

Một qúa trình ngẫu nhiên dược gụi là quá trình Markov nếu

P[x(tn) < xn I x(tn.ị) = xn.„ x(t,) = X,] = P[x(tn) < xn I x(tn ,)]

Với mọi tn > tn.| t2 > t|, nghĩa là chỉ có giá trị xn , ngay trước xn là cỏ ảnh hường tới xác suất của xn, hay dáng điệu thống kê của quá trình Markov trong urơne lai dược xác định duy nhất bởi hiện tại, không phụ thuộc vào quá khứ

Về plurưng diện v ạt lý đặc điểm đó của quá trình ngÃu nhiên tương đương với quá trình không có quá khứ Đối với quá trình Markov, bất kỳ một phAn phối nhiều chiều nào cũng được biểu diễn qua hai chiều

P(xn tn: xn.„ x0, t„)=p (xn, tn I xn., tn.,)P (xn.,, tn., I x„.2 tn,2) p(x„ t0) trona dó các xác suất có điều kiện dược gọi là các xác suất chuyển tiếp

Xét ba thời điểm t0 T, t Tại t„ quá trình có toạ độ xn Khi dó p tuím then plurơiig trình Chapmen - Kolmogorov:

cUrực eọi là quá trình khuyếch tán Đối với quá trình khuyêcli tán từ phương trình Chapman-Kolmogorov có thê thiết lập phương trình cho mật độ xác sinít chuyển /?(.r,/|.r0,/0) ở dạng phương trình được gọi là phương trình Fokker- Plank-Kolmogorov (FPK).

1.2 MÔ PHỎNG QUẢ TRÌN H N(;ẨU NHIÊN

1.2.1 Mỏ phỏng đại lưựng ngảu nhiên theo Iiiật độ xác suất

1.2.1.1.Mô phỏng dại lượng ngẫu nhiên phân bố đểu trong đoạn p ì , / /

Việc mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên với luật phân phối bất kỳ luồn xuất phát

từ 111« phỏng đại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên đoạn [0 1] Ký hiệu cx

là dại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên đoạn [0 , 1J Ta đã biết a phân phối dều trên đoạn [ 0 , 1 ] trong dạng thể hiện a cần lấy vô hạn chữ sô' có nghĩa Việc tổ chức thí nghiệm, lập lại các bảng số ngẫu nhiên đều khône thế giải quyết được vấn đề trên (kể cả chế tạo các thiết bị đặc biệt) Bởi vậy cách làm thừa Iihận hơn cả là dựa vào một thuật toán nào dó để thu dược các thể hiện của a Người ta dùng số giả ngẫu nhiên thay cho a Thuật toán thường dùng nhất là như sau:

Irons đó br 0 là những số nguyên, k cố định, p là số nguyên dirơng X| x:

xk.| là những sổ nguyên dương không virựt quá p Xj)k là phần clư của phép chiaeiá trị cùa biểu thức trong ngoặc dơn từ (1.2.1) cho p Dùim hai thuật toán để

mò phỏng đại lượng ngẫu nhiên a phân bố đều trên đoạn [0 I ]

I Theo quan hệ MOD: x0= 1, xn= xn.| M mod p với M và p dược cho hỡi hiine

sau:

5.308.871.2962.Theo quan hệ lấy phần thập phãn

« 0 = 2 m

< w = { M a n }trong dó M là số nguyên, dương đủ lớn, m là số ngăn nhị phân cùa một ô nhớ trẽn IBM dùng để biểu diễn phần định trị cùa một số.(Thực hành M là 5 15 hay

5 ' 7 Ill là 36 hay 40) Còn ký hiệu { Ị là phép lây phần thập phân của biểu thứcnam trone ngoặc

ỉ 2.1.2 Mô phỏng dại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Gia sử dại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất p(x) với X e (a b)Công thức mô phỏng cho X là:

Thuật toán sau suy ra từ phương plìáp kliir dùng I11Ô phỏng dại lượng

nhiên có hàm mật độ xác suất cho bởi công thức sau :

(1.2.5)Jg(.r)í/.T

- 0 0

g ( x ) > 0 , V X

Để đơn giản ta giả thiết g(x) < M V X G [ a, b ]

Ta có thuật toán sau :

1 Lấy a )5 a 2 là hai đại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên đoạn [ 0 1 ]

2 X0 = a+ C X | ( b - a ) , Y = a 2M

3 Nếu Y > g(X0) thì chọn ot|, ot2 khác và quay lại (2), ngược lại lấy X = X0.Điều kiện (3) khó khăn trong thực hành bởi phép kiểm tra lôgic này tạo ra sốlần lặp không biết trước cho thuật toán

Phàn phôi chuán N(0,1)

20)1

Phàn phối xl

1.2.2 Mò phỏng quá trình ngầu nhiên theo mật độ phổ

Xét quá trình ngẫu nhiên dừng X(t) với giá trị trung bình zero và hàm mật độ phổ Sx(w) Điều đó có nghĩa là :

/mt = ('V(O) = 0 ; ự ( t ) X ( t + r)) = /?t ( r ) = |5 't (rư)exp{- ì( 0 t \ 1(0 = 2 jS t (fí;)cosr>mỉY()

Ta có : cos(Q/ + <p) = -ỉ-[e',!ỉ,+ợ,) + e 'í(I1'+*”] Do vậy quá trình ngẫu nhiên X(t) có

thè dược biểu diễn dưới dạng :

T ro n g đó pn = - ơ J 2 e"r , ọ n = p ’ = - ơ -Jĩe iỉp Q iìa trìn h ngãu nhiê n X ( t) với giá

trị trung bình zero và hàm mật độ phổ Sx(co) có thể được biêu diễn dưới clạtm

(1.2.1 2)

1.3CÁC PHƯƠNÍỈ PHÁP NGHIÊN c ứ u VỂ DAO ĐỘN(Ỉ

Xét một hệ dao động, phương trình dao động cỉưới dạng ma trận:

T ro n tỉ d ỏ : V = (Vị v 2 v n)' ; F = (f; |, F 2 F n)'

Là các véc tư chuyển vị và véc tơ lực tác (lụng lên hệ Các thành phần r,(t) là các hàm ngẫu nhiên với các dặc tiling ngẫu nhiên (lã biết, M K D là các ma trận khối lượng, độ cứng, lực cản Chúng là các ma trộn vuông cấp 11

Nuhiệni riêng cùa (1.3.8) dưới dạng ma trận:

tronII đo 111,(1) là véc tơ trung bình ciia F

Các tliànli phán của ma trộn tương quan:

(1.3.1 I)} = X £ j j / ? ;/(/.r)//(m( / ,r )R,, (T. r v/r.i/r

thiết u(t) là quá trình qui tâm mu = 0, với diều kiện đầu v„ = v„ = 0 Việc giáthiết u(t) là quá trình qui tâm không làm ảnh hương đến tính tổng quát của bài toán Hàm truyền của hệ được clịnli nghĩa bằng:

Hệ thức liên hệ giữa phổ dầu vào u(t) và phổ đầu ra v(t) là:

Svv(co) = H(to) H*(co)Suu(co)= I H((0) 12Sllu(co) (1.3.19)

1 làm tương quan chéo và mật độ chéo của đầu vào và đầu ra có dạng:

với II = (U| u2, un)r, Uj(t) là quá trình ngầu nhiên (.lừng với hàm tirơne Cjiiiin

Ả (r ) Gọi ma trận phổ của đầu vào là S11U((0) mà các thành phán cùa nó là

V (C.J) ma trận hàm truyền của hệ là H(co) mà các thành phán cùa nó là

lìM(co) Gọi Svv là ma trộn phổ cùa hàm v(t) mà các thành phản cua no là

vào Sm, và ma trận hàm truyền 11(d)):

s„((0) = H ((0)Smi((0)ll'((D) ( 1.3.22)

Xét dao tlộnn của hệ phi tuyến một bậc tự đo có khôi lượng 111.hệ số cán c và

độ cứng k, chịu tác dộng của lực ngẫu nhiên Y(t) phương trình dao độne có dạng:

G(t) là quá trình ồn trắng chuẩn có kỳ vọng bằng không, hàm tưưng quan RCl(t) = 2D5(t) Nghiệm của (1.3.25) là quá trình Markov do đó có thể thiết lặp phương trình FPK ở dạng

(1A2R1

| ’ ( Y ) = ị r u n d t i

trone dó c là hằng sò chuẩn hoá, V(x) là thế năng cùa lực đàn hói

Tìm c từ điều kiện chuẩn hoá:

\ Ô V ( ~ Ỷ ~ + a i x i ) p

X + fix f (oịx + £gtlịx) = fit) ( 1 3.33)

Ro(r ) = I J/ĩ( r , )/»(r 2 )/?r c — r, 4 - r 2 )í/r,í/r,

- r - r

IJ.2.3 Phưong pháp tuyến tính hoá tương dương

Xet phương trình dao dộng của hệ một bậc tự do:

Nêu f(t) là quá trình chuẩn, thì ta có thể tìm được:

1,3.2.4.Phưong pháp trung bìnli hoá.

Xét hệ một bậc tự do phi tuyến bé chịu kích dộng ngấu nhiên có dạng

.V + íy02.v = ẹf(x,x,t) + Jẽg(x,x,t)ệ(t), (1.3.44)trone dó e là tham số bé, £,(t) là quá trình ngẫu nhiên ồn trắng cường độ ơ 02 và các hàm phi tuyến/, g. Viết lại phương trình (1.3.44) về dạng phương trình lto

trong đó U'(ỉ) là quá trình ngẫu nhiên Viner Tiếp tục thực hiện phép biến đổi

với các quá trình ngẫu nhiên a(t), 0(t), được gọi là biên độ và pha của quá trình dao dộng đang xét, ta có thể đưa phương trình (1.3.45) về dạng dược gọi

là phương trình Ito dạng chuẩn tắc

Theo lý thuyết quá trình Markov, ta có thể lập phương trình FPK cho quá trình Markov hai chiều (a,ỡ) xác định bằng phương trình (1.3.47) như sau:

Phương trình FPK thu gọn sẽ đơn giản hơn và thuận tiên cho việc nghiên cứu hơn, đặc biệt là dể tìm hàm mật dộ xác suất dừng P{)(o,ỡ) Khi đó ta có phương trình

Điều dáng chú ý nhất là trong phương trình không chỉ không chứa thời eian

111 à còn không phụ thuộc vào tham sô bé

Nlur vậy việc áp dụng phương pháp trung bình hoá trong dao động ngầu nhiên như trình bày, đã được thực hiện một cách gián tiếp, thône qua việc trim a bình hoá phương trình FPK

õt