Phân tích động lực học hệ máy - công trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Tuy nhiên, hầu hết các chương trình máy tính dùng trong phân tích kết cấu bằng Phương pháp Phần tử hữu hạn vẫn chưa giải quyết được trường hợp trong kết cấu công trình có những phần tử đ

MỤC LỤC

Tổng quan 2

Danh mục các ký hiệu 5

Chương 1: Một số mô hình giải tích của hệ Máy-Công trình 7

1.1 Phần tử thanh có vật rắn chịu kéo 8 1.1.1 Ma trận chuyển tiếp của phần tử thanh hồi chịu kéo 8

1.1.2 Ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu kéo 9 1.1.3 Giải bài toán trị riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo 10

1.2 Phần tử thanh có vật rắn chịu xoắn 14

1.2.1 Ma trận chuyển tiếp của phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn 14

1.2.2 Ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu xoắn 15

1.2.3 Giải bài toán trị riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu xoắn 16

1.3 Phần tử dầm có vật rắn chịu uốn 16

1.3.1 Ma trận chuyển tiếp cho phần tử dầm đàn hồi 16

1.3.2 Ma trận chuyển tiếp phần tử vật rắn chịu uốn 18

1.3.3 Giải bài toán trị riêng của dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn 20

Chương 2: Mô hình phần tử hữu hạn cho các phần tử đàn hồi có vật rắn 30

2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi 30

2.1.1 Tư tưởng của phương pháp 30

2.1.2 Cơ sở toán học của phương pháp 31

2.2 Một số phần tử hữu hạn của các vật đàn hồi thông dụng 34

2.2.1 Phương pháp sử dụng ma trận hàm dạng 34 2.2.1.1 Phần tử thanh chịu kéo

2.2.1.2 Phần tử thanh chịu xoắn 35

2.2.1.3 Phần tử dầm chịu uốn 36

2.2.2 Phương pháp khai triển ma trận độ cứng động lực 37

2.2.2.1 Phần tử thanh chịu kéo 37

2.2.2.2 Phần tử thanh chịu xoắn 39

2.2.2.3 Phần tử dầm chịu uốn 39

2.3 Mô hình phần tử hữu hạn cho các phần tử đàn hồi có vật rắn 41

2.3.1 Mô hình “Phần tử kéo” 42

2.3.2 Mô hình “Phần tử xoắn” 43

2.3.3 Mô hình “Phần tử uốn” 43

2.4 Các ví dụ áp dụng 47

2.4.1 “Phần tử kéo” 47

2.4.2 “Phần tử xoắn” 50

2.4.3 “Phần tử uốn” 51

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56

Phụ lục 57

Phụ lục 1: Chương trình tính cho thanh chịu kéo 57

Phụ lục 2: Chương trình tính cho thanh chịu xoắn 60

Phụ lục 3: Chương trình tính cho dầm chịu uốn 63

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

i, j đơn vị ảo, chỉ số của phần tử

Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị

Pˆ biên độ phức véc tơ lực suy rộng của ngoại lực N(N.m)

q véc tơ tọa độ suy rộng

T1, T2 ma trận chuyển tiếp phần tử

x, y, z tọa độ đề các

Z

Z, ˆ véctơ trạng thái các đầu phần tử

, 1 tỉ số khối lượng giữa vật rắn và dầm đàn hồi

2 tỉ số mô men quán tính giữa vật rắn và dầm đàn

hồi

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp Phần tử hữu hạn là một công cụ phổ biến nhất, cho tới nay, trong việc phân tích động lực kết cấu công trình Tuy nhiên, hầu hết các chương trình máy tính dùng trong phân tích kết cấu bằng Phương pháp Phần

tử hữu hạn vẫn chưa giải quyết được trường hợp trong kết cấu công trình có những phần tử được mô hình là vật rắn tuyệt đối với kích thước lớn so với kích thước của kết cấu Để giải quyết vấn đề này thông thường có hai giải pháp: Giải pháp thứ nhất là sử dụng các phần tử đàn hồi có độ cứng lớn và giải pháp thứ hai là phân chia các vật rắn về các nút Với cách thứ nhất khi gặp các phần tử có độ cứng rất lớn, việc tính toán trên máy tính trở nên rất khó khăn, thậm chí không thể thực hiện được Với cách thứ hai, điều này đã phân chia vật rắn thành các chất điểm rời rạc không liên quan đến nhau Cách làm này trên thực tế đã loại bỏ hoàn toàn sự có mặt của vật rắn như là một đối tượng cần nghiên cứu Ý tưởng của luận văn là tìm cách phát triển Phương pháp Phần tử hữu hạn để mô tả cả kết cấu và vật rắn đồng thời như một hệ hỗn hợp Máy-Công trình để làm tăng độ chính xác khi mô tả các đối tượng rất thường gặp trong thực tế

Mục đích của luận văn là xây dựng mô hình Phần tử hữu hạn cho các

hệ hỗn hợp: vật đàn hồi - vật rắn phục vụ cho việc phân tích động lực học các công trình trong thực tế kỹ thuật

Nội dung của luận văn gồm phần Mục lục, mở đầu, tổng quan, danh mục các ký hiệu, hai chương, kết luận và phần phụ lục các chương trình tính toán bằng phần mềm MAPLE Trong đó:

 Chương 1: Một số mô hình giải tích của hệ Máy-Công trình

 Chương 2: Mô hình phần tử hữu hạn cho các phần tử đàn hồi có vật rắn

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, người đã hướng dẫn tận tình để luận văn được hoàn thành Tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm Hợp tác đào tạo và Bồi dưỡng Cơ học, Viện Cơ học

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Phạm Anh Tuấn, KS Nguyễn Văn Đắc, KS Đỗ Thị Ngọc Oanh và các đồng nghiệp Phòng Cơ điện tử, Viện Cơ học và người thân trong gia đình đã động viên, giúp đỡ và đóng góp các ý kiến quý báu trong quá trình hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 30 tháng 9 năm 2003

Tác giả

TỔNG QUAN

Trong những năm gần đây, lĩnh vực Động lực học Máy-Công trình đã được sự quan tâm của nhiều nhà Cơ học trong và ngoài nước Tuy nhiên, trong một thời gian dài Động lực học máy và Động lực học công trình được nghiên cứu gần như tách biệt không có mối liên hệ ảnh hưởng lẫn nhau Việc này có nhiều nguyên nhân, nhưng chủ yếu là do hai nguyên nhân chính: Thứ nhất là đối tượng nghiên cứu của hai ngành khác nhau, và thứ hai là các công

cụ tính toán chưa đủ mạnh để giải quyết đồng thời cả hai đối tượng trong cùng một hệ khảo sát

Đối tượng của Động lực học máy là các cơ cấu máy chuyển động lớn trong không gian ba chiều Mô hình cho hệ Máy là hệ hữu hạn các vật rắn liên kết với nhau bằng các khớp Vì vậy các mô hình đưa ra để giải quyết là mô hình Hệ nhiều vật rắn không biến dạng Thông thường với một số ít, vài trục hoặc vài trăm bậc tự do là có thể giải quyết các bài toán động lực học Máy và cho kết quả phản ánh khá chính xác mô hình các cơ cấu máy trong thực tế kỹ thuật Công cụ để giải quyết các mô hình của Động lực học máy trong những năm gần đây là các chương trình mô phỏng hệ nhiều vật như ADAMS, ALASKA, NEWEUL

Với Động lực học công trình vấn đề lại hoàn toàn ngược lại Đối tượng

ở đây là các kết cấu đàn hồi có chuyển động bé, và chúng là các hệ liên tục,

có vô số bậc tự do Để có thể giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả chúng ta vẫn phải rời rạc hoá chúng thành hệ hữu hạn bậc tự do Vì vậy để mô

tả chính xác được các kết cấu này cần một số lượng rất lớn, thậm chí lên tới hàng vạn, các bậc tự do Công cụ chủ yếu để giải quyết các bài toán này là các phần mềm Phân tích kết cấu như SAP, NASTRAN, ANSYS

Tuy nhiên, như một thực tế khách quan, các đối tượng của hai ngành trên luôn có sự tương tác qua lại, ảnh hưởng lẫn nhau Khi các cơ cấu máy chuyển động lớn trong không gian làm ảnh hưởng tới trường ứng suất, biến dạng của các chuyển động bé, và ngược lại mỗi sự biến đổi của trường ứng suất, biến dạng của các chuyển động bé lại ảnh hưởng đến độ chính xác, độ

ổn định của các cơ cấu máy chuyển động lớn trong không gian Nên việc nghiên cứu đồng thời mô hình bao gồm cả chuyển động bé và chuyển động lớn trong một hệ tổng thể là một nhu cầu rất cần thiết đối với việc giải quyết các bài toán kỹ thuật với yêu cầu độ chính xác và độ tin cậy cao Vì vậy nghiên cứu Động lực học Hệ Máy-Công trình là vấn đề rất quan trọng và mang tính thời sự

Nghiên cứu Động lực học Hệ Máy-Công trình cho tới bây giờ có hai hướng giải quyết Hướng thứ nhất đứng trên quan điểm của Động lực học Máy để giải quyết các bài toán có các phần tử đàn hồi Hướng thứ hai đứng trên quan điểm của Động lực học công trình nghiên cứu các bài toán có các

phần tử vật rắn Nhờ sự phát triển của công cụ tính toán nên có thể giải quyết đồng thời hai hai đối tượng trong cùng một hệ duy nhất

Đối với hướng thứ nhất, đã được các nhà Cơ học trong và ngoài nước nghiên cứu và thu được rất nhiều thành tựu Tư tưởng chủ đạo của phương pháp này là mô hình phần tử đàn hồi bằng một tổ hợp đặc biệt các vật rắn không biến dạng Các thuộc tính đàn hồi được quy đổi sao cho mô hình thay thế này tương đương với phần tử đàn hồi theo một tiêu chí đặt ra, chẳng hạn như tần số riêng, dạng riêng Có thể kể đến các công trình nghiên cứu nổi bật: Phương pháp thu gọn bậc tự do của Guyan (1965), mô hình siêu phần tử trong

bộ chương trình ALASKA của GS Peter Maier ở Cộng hòa Liên bang Đức

Lý thuyết về các phương pháp này đã được Ahmed A Shabana trình bày trong cuốn sách “Dynamics of Multibody systems” Ở Việt Nam hướng nghiên cứu này đã được các nhà khoa học đề cập trong những năm gần đây,

có thể kể đến một số công trình như: Luận án của TS Vũ Văn Khiêm (1996), Trường đại học Bách khoa Hà Nội về “Tính toán dao động tuần hoàn của cơ cấu có các khâu rắn và khâu đàn hồi bằng phương pháp số” dưới sự hướng dẫn của GS Nguyễn Văn Khang; Luận án của TS Chu Văn Đạt (2001), Học viện Kỹ thuật Quân sự về “Ứng dụng mô hình siêu phần tử Động lực học trong Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi phẳng” dưới sự hướng dẫn của PGS Phan Nguyên Di và Đề tài “Động lực học máy và tương tác với công trình biển” do GS Nguyễn Cao Mệnh (Viện Cơ học) chủ trì

Trong hướng nghiên cứu thứ hai, tư tưởng chủ đạo là phát triển các công cụ phân tích Động lực học công trình để giải quyết các bài toán hệ đàn hồi có phần tử vật rắn Có thể kể đến một loạt các công trình nghiên cứu sau: H.D Nelson (1976) với công trình “The Dynamics of Roror-Bearing system Using Finite Elements”; M.Sakata, K Mimura and S.K.Park (1989) với công trình “Vibration of bladed flexible rotor due to Gyroscopic moment”; Vahit Mermertas and Haluk Erol (2001) với công trình “Effect of mass attachment

on the free vibration of cracked beam”; F.Oncescu, A A Lakis and G.Ostiguy (2002) với công trình “Investigation of the stability and steady state response of asymmetric rotors, using Finite Element Formulation”; P.D Cha (2002) với công trình “Natural frequencies of a linear elastic beam carrying any number of sprung masses” và rất nhiều công trình khác Ở Việt Nam hướng nghiên cứu này còn khá mới mẻ GS Nguyễn Xuân Hùng (Viện

Cơ học ứng dụng Thành phố Hồ Chí Minh) đã bước đầu có một số công trình nghiên cứu về phân tích Động lực các cơ cấu mềm bằng phương pháp ma trận

độ cứng động lực Tuy nhiên, cho tới tận bây giờ, các công trình nghiên cứu nêu trên vẫn dừng lại ở việc quan niệm các vật rắn là các vật điểm: nghĩa là các vật rắn có các khối lượng và mômen quán tính nhưng tập trung tại một điểm và bỏ qua các kích thước không gian của vật rắn Khi kích thước không gian của vật rắn không đáng kể cách tập trung khối lượng về các nút là chấp

về các nút vô hình dung đã loại bỏ sự có mặt của vật rắn như là một đối tượng cần nghiên cứu, làm giảm mức độ chính xác của mô hình

Vì vậy việc khảo sát đồng thời các vật rắn có kích thước trong kết cấu đàn hồi là rất cần thiết Hướng nghiên cứu này là rất mới, còn nhiều vấn đề cần được các nhà khoa học tập trung giải quyết và hoàn toàn có triển vọng phát triển Đấy là lý do để tác giả chọn luận văn “Phân tích Động lực học Máy-Công trình bằng Phương pháp Phần tử hữu hạn”

Chương 1 MỘT SỐ MÔ HÌNH GIẢI TÍCH CỦA HỆ MÁY-CÔNG TRÌNH

Trong chương này sẽ trình bày cơ sở khoa học để thiết lập phương trình đặc trưng dao động của một số mô hình giải tích đơn giản của hệ Máy-Công trình bao gồm cả vật đàn hồi và vật rắn tuyệt đối Các mô hình cụ thể được khảo sát ở đây là hệ thanh, dầm đàn hồi có vật rắn chịu kéo, xoắn và uốn Từ

đó tính được các tần số riêng của các mô hình này Phương pháp giải được chọn là phương pháp ma trận chuyển tiếp Ngoài ra, trong phần này các đại lượng cơ học như dịch chuyển, góc xoay, lực cắt được biểu diễn trong miền không gian tần số thay thế cho miền không gian thời gian bằng việc sử dụng khái niệm biên độ phức Với cách làm này, các phương trình đạo hàm riêng theo biến thời gian t sẽ được đưa về phương trình đại số Để thuận tiện cho việc theo dõi các phần tiếp theo, khái niệm về biên độ phức được trình bày ở đây

, lúc đó ta có thể biểu diễn u (t) dưới dạng:

t i e u t

u( )  ˆ (  ) 

)

(

ˆ 

u được gọi là biên độ phức của u (t), i là số ảo

Khái niệm về biên độ phức có thể mở rộng cho hàm bất kỳ, khi đó biên

độ phức của hàm u (t) là biến đổi Phuriê của chính nó:

và ngược lại, biết uˆ ()ta có thể tính được u (t) bằng phép biến đổi ngược:

u( ) ˆ ( ) i t

Dưới đây sẽ đưa ra các mô hình giải tích đã nêu trên và cơ sở thiết lập các ma trận chuyển tiếp cho từng phần tử đàn hồi, phần tử vật rắn riêng rẽ ứng với mỗi mô hình này Tích của các ma trận này cho ta ma trận chuyển tiếp của toàn bộ phần tử đàn hồi có vật rắn Sử dụng các điều kiện biên ta sẽ thu được phương trình đặc trưng dao động của toàn hệ Từ đó sẽ tính được các tần số dao động riêng

1.1 Phần tử thanh có vật rắn chịu kéo

Khảo sát phần tử thanh đàn hồi chịu kéo, với quy ước chiều dương của

chuyển vị u(x,t) và các lực kéo N(x,t) được chỉ ra trên hình 1.1 Với các tham

số , E, A, Lj lần lượt là mật độ khối lượng, môđun đàn hồi, diện tích thiết diện và chiều dài của thanh Trục toạ độ trùng với trục của thanh

Khi đó phương trình dao động tự do, không cản của dầm tại thiết diện bất kỳ được mô tả bởi phương trình:

0 ) , ( )

, (

2 2 2

t x u

E  (1.1.1)

Đưa (1.1.1) sang miền không gian tần số bằng phép biến đổi Phuriê đã

e x u t x

u( , )  ˆ ( ,  )  , ta thu được:

0 ) , ( ˆ ) , (

x u d

(1.1.2)

E

 (1.1.3) Nghiệm của (1.1.2) có dạng: uˆ (x,) Asin(x) Bcos(x)

Các hằng số A, B phụ thuộc vào các điều kiện biên ở hai đầu thanh:

j j L x j

x j

j

x

u EA N x

u EA u L u u

1 0

Hình 1.1 Chuyển vị và lực đầu phần tử thanh chịu kéo

Từ các điều kiện này ta có mối liên hệ:

) sin(

) sin(

1 )

cos(

ˆ

ˆ

j j

j j

j j

j

j

N

u L L

EA

L EA L

j u N

j j

) sin(

) sin(

1 )

cos(

j j

j j

j

L L

EA

L EA

L T



 j j

j T Z

Z (1.1.6) Phương trình (1.1.6) cho ta mối liên hệ giữa véc tơ trạng thái tại hai đầu của phần tử đàn hồi chịu kéo thông qua ma trận chuyển tiếp Ý nghĩa của phương pháp ma trận chuyển tiếp là nếu biết ma trận chuyển tiếp, biết véc tơ trạng thái tại một đầu, ta có thể xác định được véc tơ trạng thái tại đầu còn lại của phần tử

Khảo sát mô hình vật rắn chịu kéo và quy ước chiều các lực kéo đầu nút của phần tử vật rắn và chiều dương của dịch chuyển như trên hình 1.2

Hình 1.2 Phần tử vật rắn chịu kéo

Vì phần tử là vật rắn, nên ta có mối liên hệ giữa chuyển vị của hai đầu:

1 ˆ

, (x t N j N j1 

u

m  (1.1.8) hay N j  m u (x,t) N j1 (1.1.9)

Chuyển phương trình (1.1.9) xang biên độ phức ta có:

1

2ˆ( , ) ˆ ˆ

0 1

ˆ

ˆ

j j j

j

N

u m

N

u

 (1.1.11) viết gọn lại dạng ˆ ˆ 1

Khảo sát mô hình phần tử thanh có vật rắn chịu kéo trên hình 1.3

Hình 1.3 Mô hình thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo

Phân tách thanh thành ba trường, tương ứng với ba ma trận chuyển tiếp 1

T ,T body, T2 Các ma trận này được tính dựa theo công thức (1.1.5) và (1.1.12) Khi đó ma trận chuyển tiếp của toàn bộ phần tử được xác định:

   T  T2  T body  T1 (1.1.13) Trong đó:

) sin(

) sin(

1 )

cos(

1 1

1 1

1

L L

EA

L EA

L T

) sin(

) sin(

1 )

cos(

2 2

2 2

2

L L

EA

L EA

L T

2



m

T body

Đặt 1 L1, 2 L2 Thực hiện phép nhân các ma trận, ta thu được ma trận

chuyển tiếp T của thanh là một ma trận vuông cấp hai, có các phần tử được

xác định như sau:

) sin(

) sin(

) cos(

) sin(

1 )

m EA

) sin(

) sin(

) sin(

1 ) cos(

1 2

2 2

1 2 2 2

EA T

Ta có thể viết lại ma trận chuyển tiếp dưới dạng rút gọn:

1 2

1 2 2

1

2 1 2

2 2

1 2

1 2 2

1

cos sin )

cos(

cos cos )

sin(

sin sin ) ( ) sin(

1 sin

cos )

EA

EA

m EA

EA

m

(1.1.15) Mối liên hệ giữa các véc tơ trạng thái có thể viết dạng:

0

1 ˆ

Z 

với Z ˆ Z1, ˆ0 là các véc tơ trạng thái hai đầu của thanh có vật rắn chịu kéo

Từ (1.1.15) ta dễ dàng nhận thấy, trong những trường hợp đặc biệt:

 Khi m 0, phương trình này cho ta ma trận chuyển tiếp của phần

tử đàn hồi chịu kéo nén, có chiều dài LL1 L2

 Khi L1  0 ,L2  0 ta thu được ma trận chuyển tiếp của vật rắn

Ở hai đầu của thanh luôn có hai điều kiện biên: hoặc ứng với điều kiện

về chuyển vị hoặc điều kiện về lực kéo Với các điều kiện biên này, ta sẽ xác định phương trình đặc trưng của phần tử thanh trong từng trường hợp cụ thể Chẳng hạn như:

 Đối với thanh bị ngàm một đầu, điều kiện biên có dạng:

0 ) , 0 ( t 

2 1 2

x N

nên phương trình đặc trưng có dạng T22  0, hay:

0 cos sin )

2 2

Khi m 0, ta thu được phương trình đặc trưng của phần tử đàn hồi bị ngàm một đầu:

0 ) cos(1 2  (1.1.16)

 Đối với thanh bị ngàm hai đầu, ta có các điều kiện biên:

0 ) , 0 ( t 

0 sin sin ) ( ) sin(

1

2 1 2 2 2

Khi m 0, ta thu được phương trình đặc trưng của phần tử đàn hồi bị ngàm hai đầu :

0 ) sin(12  (1.1.17)

Hệ thức (1.1.16), (1.1.17) trùng hợp với kết quả trong [1], [2]

Để khảo sát ảnh hưởng của khối lượng m tới các tần số riêng của thanh đàn hồi có vật rắn này, ta khảo sát phương trình đặc trưng của nó khi bị ngàm đầu bên trái như trên hình 1.4

Hình 1.4 Thanh đàn hồi có vật rắn chịu kéo bị ngàm đầu bên trái

Viết lại phương trình đặc trưng đã nêu ở trên dưới dạng:

0 cos sin )

2 2

hay:

) cos(

) sin(

) cos(

1 1

1 1 2

) sin(

) (

cos

2 1

2 1

L L

L L A

) cos(

) sin(

) (

) (

cos

2 1

2 1

2 1

L L

L L

L L

Phương trình (1.1.18) là phương trình đại số phi tuyến Ứng với một giá trị của  Giải phương trình này bằng phương pháp số ta thu được một tập

vô hạn các trị riêng k

Để thấy được ảnh hưởng của khối lượng m lên các tần số riêng của hệ

ta xét ví dụ cụ thể sau: Với L 1=0.3, L2=0.3, cho  thay đổi trong khoảng

Với các số liệu trong bảng, ta nhận được sự phụ thuộc giữa các trị riêng

và tham số khối lượng ở dạng đồ thị được đưa ra trên các hình 1.5, 1.6

Đồ thị giữa tần số riêng và tham số khối lượng  có hình dáng hoàn toàn tương tự, chỉ sai khác một hằng số phụ thuộc vào vật liệu của thanh đàn hồi đã được đưa ra ở công thức (1.1.3)

Hình 1.5 Trị riêng thứ nhất của dao động dọc trục

Hình 1.6 Sáu trị riêng đầu tiên của dao động dọc trục

Nhận xét kết quả:

 Các trị riêng giảm khi khối lượng tăng lên

 Sự phụ thuộc giữa tham số khối lượng và trị riêng của dao động

là quan hệ gần tuyến tính

1.2 Phần tử thanh có vật rắn chịu xoắn

Khảo sát phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn, với quy ước chiều dương của góc xoay và các mômen xoắn đầu phần tử được chỉ ra trên hình 1.7

Hình 1.7 Phần tử thanh đàn hồi chịu xoắn

Khi đó phương trình dao động tự do, không cản của thanh tại thiết diện bất kỳ được mô tả bởi phương trình:

0 ) , ( ) ( )

, (

2 2 2

I x

t x

(1.2.1) Trong đó I p (x), I x (x) lần lượt là mômen quán tính cực và mômen chống xoắn của thiết diện Khi thiết diện tròn thì I p(x) I x(x)

Đưa phương trình (1.2.1) sang không gian tần số bằng phép biến đổi

e x t

 ( , )  ˆ ( , ) , ta thu được:

0 ) , ( ˆ ) , (

x d



Tương tự như phần tử thanh chịu kéo, sử dụng các điều kiện biên cho góc xoay và mômen xoắn hai đầu ta thu được ma trận chuyển tiếp của thanh đàn hồi chịu xoắn

) sin(

) sin(

1 )

cos(

j j

x

j x

j j

L L

GI

L GI

L T

Hình 1.8 Phần tử vật rắn trong thanh chịu xoắn

Khảo sát phần tử vật rắn trong thanh đàn hồi chịu xoắn, có mômen

quán tính quanh trục xoắn là J G, trên hình 1.8 Hoàn toàn tương tự phần tử vật rắn chịu kéo, bằng cách sử dụng nguyên lý Đalămbe, viết phương trình cân bằng mômen cho phần tử vật rắn, ta thu được mối quan hệ:

0 1

ˆ

ˆ

j j G

j

j

M J

j j

2



G j

J

T (1.2.5) được gọi là ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn chịu xoắn

xoắn

Khảo sát thanh có vật rắn chịu xoắn trên hình (1.8) Tương tự như thanh chịu kéo ta thu được ma trận chuyển tiếp của thanh chịu xoắn là tích của các ma trận chuyển tiếp của từng các trường trong thanh Ma trận chuyển tiếp của phần tử đàn hồi được xác định theo công thức (1.2.3), ma trận chuyển tiếp của phần tử vật rắn được xác định theo công thức (1.2.5) Việc phân tích ảnh hưởng của mômen quán tính lên các tần số riêng của thanh đàn hồi có vật rắn chịu xoắn cũng hoàn toàn tương tự trường hợp chịu kéo Với lưu ý rằng

các tham số khối lượng m, môđun đàn hồi E và diện tích thiết diện A trong trường hợp chịu kéo được thay thế bằng các tham số mômen quán tính J G,

môđun trượt G và mômen chống xoắn thiết diện I x Ngoài ra với bài toán xoắn

thanh có thiết diện bất kỳ ta phải chú ý tới hệ số

Khảo sát phần tử dầm đàn hồi chiều dài L j , tiết diện không đổi A, môđun đàn hồi E, mật độ khối , mômen quán tính thiết diện J, và các lực, mômen đầu dầm như trên hình 1.9

Hình 1.9 Mô hình dầm đàn hồi

W,

Phương trình dao động tự do của dầm đàn hồi chịu uốn, đã được trình bày trong [1], [2], [3] có dạng:

0 ) , ( )

, (

4 4 2

t x w A

 (1.3.1)

Đưa phương trình (1.3.1) xang biên độ phức ta thu được phương trình:

0 ) , ( ˆ ) , (

x w d

(1.3.2) trong đó:

) ( )

( )

( )

( )

, (

với K 1, K2, K3, K4 là các hàm Krưlốp được định nghĩa như sau:

) sin (sinh 2

1 ) ( ), sin (sinh 2

1 ) (

) cos (cosh

2

1 ) ( ), cos (cosh

2

1 ) (

4 2

3 1

x x x

K x x x

K

x x

x K x x

x K

3 2 1

2 1

1 1

) 0 ( ˆ ˆ , )

0 ( ˆ ˆ

) 0 ( ˆ ˆ , ) 0 ( ˆ ˆ

EJC w

Q EJC w

M

C w

C w

w

j j

j j

Thay các hệ số C j (j=1 4) đã được xác định từ hệ thức (1.3.5) vào

phương trình (1.3.4) ta thu được:

) (

ˆ ) (

ˆ ) (

ˆ ) ( ˆ )

,

(

3 1 3

2

2 1 2

1 1

EJ

L Q x K EJ

L M x K

L x K w x

), ( ˆ ˆ

), ( ˆ ˆ ), ( ˆ

ˆj w L j j w L j Q j EJ w L j M j EJ w L j

ta sẽ có:

) ( ˆ ) ( ˆ ˆ

) ( ˆ ˆ

) (

ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ )

( ˆ

) (

ˆ ) (

ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ

) (

ˆ ) (

ˆ ) (

ˆ ) ( ˆ ˆ

1 1 4

1 1

2 2

1 3

2 1 1

1 4

1 3

2

3 2 1 2

1 1

1 4

1

4 3 1 3

2 1 2

1 1

1

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j

j j

j j

j j

j j

j

L K Q L K M EJ

L K w EJ Q

L K

Q L K M L K EJ L

EJK M

L K EJ

Q L K EJ

M L K L

K w

L K EJ

Q L K EJ

M L

K L

K w w

j j

j j

j j

1 1

1 1

1         

 

ta có thể viết gọn lại hệ thức (1.3.7) dạng ma trận:

1 ˆ ˆ



 j j

j T Z Z

( )

( )

(

) ( ) / 1 ( )

( )

( )

(

) ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 ( )

( )

(

) ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 ( ) ( ) / 1 ( )

(

1 4

3 2 2

3

2 1

4 3

2

3 2 2

1 4

4 3 3

2 2

1

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j j

j

K K

EJK EJK

K K

EJK EJK

K EJ K

EJ K

K

K EJ K

EJ K

K T

là ma trận chuyển tiếp của dầm đàn hồi Ở đây j L j

Khảo sát mô hình vật rắn chịu uốn với các thông số trên hình 1.10

Hình 1.10 Mô hình vật rắn chịu uốn

Chuyển động của vật rắn được mô hình là chuyển động song phẳng nhưng chỉ với hai bậc tự do phù hợp lý thuyết dầm Ơle Các toạ độ suy rộng

Mj G



Fqt Qj-1

tại các thiết diện bất kỳ là độ võng w (t) và góc xoay (t) Ký hiệu w G(t), G(t)

lần lượt là độ võng và góc xoay của thiết diện đi qua trọng tâm G Vật rắn có khối lượng m, chiều dài L, mômen quán tính đối với trục qua G là J G Hệ lực tác động lên vật rắn bao gồm:

 Các lực cắt và mômen uốn đầu dầm: Q j-1, Qj, Mj-1, Mj

 Lực cản của môi trường tỉ lệ với vận tốc: D j WG (t)

 Các lực và mômen quán tính F qt và M qt

Do phần tử là vật rắn nên ta có các quan hệ sau:

j j

j t L w

Q     1   Chuyển xang biên độ phức, ta nhận được:

) ( ˆ )

( ˆ ) ( ˆ )

) (

( ˆ ) (

) (

ˆ

1 1

2 1

j G

1 1

( ) ( ˆ ) (

) ( ˆ ) (

ˆ

1 2

j j

j j

j G

Mˆ ()2 ˆ() ˆ 1() ˆ 1() [ ˆ() ˆ 1()]

Sắp xếp các số hạng, ta nhận được:

) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ] [

) ( ˆ )

(

ˆ

1 1

Từ (1.3.9), (1.3.10), (1.3.12), (1.3.13) ta có thể viết dưới dạng ma trận

hệ thức sau:

1 ˆ ˆ



 j j

j T Z Z

trong đó:

j j

j j

j j

j j

1 1

1 1

) (

) (

1 ]

) [(

) (

0 0

1 0

0 0

1

2 2

2 2

H D i m D

i m

L J

HL

iD m L

D i m

L

T

j j

j G

G j G

Khảo sát mô hình dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn với giả thiết chiều của các lực và mômen đầu dầm, chiều dương của độ võng, góc xoay cùng các thông số được chỉ ra trên hình 1.11

Hình 1.11 Phân tích lực các phần tử của dầm có vật rắn

Ma trận chuyển tiếp của toàn bộ phần tử dầm có vật rắn chịu uốn khi không có cản được xác định như sau:

   T  T2  T Rigid  T1

trong đó T 1, T2 được xác định từ công thức (1.3.8), T Rigid được xác định từ

công thức (1.3.14) cho trường hợp D j=0

Ký hiệu 1 L1,2 L2 Thực hiện phép nhân các ma trận ta thu được T là

ma trận vuông cấp bốn, có các thành phần dưới đây:

 

) ( ) (

) ( )

( )

)(

( /

) ( )

(

) ( /

) ( /

) ( ) (

1 2 3 2

4 2 2

3 2 1 3 2 3

1 4 3

2 2

4 2

2 2

3 2

2 2

1

1 1 2

2 4 2 2 2

3 2 1

EJ L K EJ K

K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K

K EJ m K EJ mL

K K

T

G G

) ( /

) ( )

( ) (

) ( )

( )

)(

( ) ( )

(

/ ) ( /

) ( /

) ( ) (

1 3 3 2

4 2 2 2

3 2 1

4 2 4

1 1 3

2 2

4 2

2 2

3 2 2 2

1

1 2 3 2

2 4 2 2 2

3 2 1

12

K EJ K

EJ L K EJ K

K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K

K EJ m

K EJ mL

K K

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

( 1

/ ) ( /

) ( /

) ( ) (

1 4 3 2

4 2 2

3 2

1 1 2 3

1 2 3

2 2

4 2

2 2

3 2 2 2

1

2 1

3 3 2 2 4 2 2 2

3 2 1

EJ L K EJ

K K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K EJ

EJ K

EJ m

K EJ mL

K K

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

( J

1

/ ) ( /

) ( /

) ( ) (

1 4 3 2

4 2 2

3 3 1

3 2 3

1 3 3

2 2

4 2

2 2

3 2 2 2

1 2

3 1 4 2

2 4 2 2 2

3 2 1

EJ L K E

K K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K E

EJ K

EJ m

K EJ mL

K K

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

(

) ( /

) ( /

) ( ) (

1 2 2 2

3 2

2 3 1 3 2 2

1 4 2

2 2

3 2 2

2 2 1 2

4

1 1 2

2 4 2 2 2 2

3 2 1

EJ L K EJ K

K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K

K EJ m

K EJ mL

K K

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

(

/ ) ( /

) ( /

) ( ) (

1 3 2 2

3 2

2 2 1 4 2 2

1 1 2

2 2

3 2 2

2 2 1 2

4

1 2 2 2 2 3 2

2 2 2 4

EJ L K EJ K

K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K

K EJ m

K EJ mL

K K

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

( 1

/ ) ( /

) ( /

) ( ) (

1 4 2 2

3 2

2 1

1 2 2

1 2 2

2 2

3 2 2

2 2 1 2

4

2 1

3 2 2 2 3 2

2 2 2 4 23

EJ L K EJ

K K

K EJ

mH K

EJ

mHL J

K K

L K EJ

EJ K

EJ m K EJ mL

K K

T

G G

( )

)(

( ) ( )

( 1

/ ) ( /

) ( /

) ( ) (

2 2

1 3 2

2 2

3 2 2

2 2 1 2

4 2

3 1

4 2 2 2 3 2

2 2 2 4

mH K

EJ

mHL J

K K

L K EJ

EJ K

EJ m K EJ mL

K K

T

G G

 

) ( ) (

) ( )

( )

)(

( ) ( )

(

) ( / ) ( )

( ) (

1 2 2

2 2

1 3 1 3 2 1 2

1 4

2 2

2 2 2

1 2 4 2

3 2

1 1 2 2 2 2 2

1 2 3 2

L K EJ K

EJK

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK

K m

K mL

K EJK

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

( [

/ ) ( / ) ( )

( ) (

1 3 2

2 2

1 2 1 4 2 1

1 1

2 2

2 2 2

1 2 4 2

3 2

1 2 2 2 2 2 2

1 2 3 2

L K EJ K

EJK

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK

K m

K mL

K EJK

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

( 1

/ ) ( / ) ( )

( ) (

1 4 2

2 2

1 1

1 2 1

1 2

2 2

2 2 2

1 2 4 2

3 2

2 1

3 2 2 2 2 2

1 2 3 2

L K K

K

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK EJ

EJ K

m K mL

K EJK

T

G G

) ( )

( )

)(

( ) ( )

( 1

) ( / ) ( )

( ) (

1 1 2

2 2

1 1

2 2 1

1 3

2 2

2 2 2

1 2 4 2

3 2 2

1 4 2 2 2 2 2

1 2 3 2 3

L K K

K

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK EJ

K m

K mL

K EJK

EJ

T

G G

) ( )

( )

)(

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

1 2 2 1 2

4 3

1 3 2 4 3

1 4 2 2

1 2 2

4 2

3 2 2

2 3

1 1 2 2 1 2 2

4 2

2 3

L K EJ K

EJK

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK

K m K mL

K L EJK T

G G

) ( )

( )

)(

( )

( )

(

/ ) ( )

( )

( )

( )

(

1 3 2 1 2

4 2

1 4 2 4 2

1 1 2 2

1 2 2

4 2

3 2 2

2 3

1 2 2 2 1 2 2

4 2

4 2

2 3

L K EJ K

EJK

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK

K m K mL

K K

EJK T

G G

) ( )

( )

)(

( )

( )

( 1

/ ) ( )

( )

( )

( )

(

1 4 2 1 2

4 1

1 2 4

1 2 2 2

1 2 2

4 2

3 2 2

2 3

2 1

3 2 2 1 2 2

4 2

4 2

2 3

L K K

K

K mH K

mHL J

K EJK

L EJK EJ

EJ K

m K mL

K K

EJK

T

G G

) )(

( )

( )

( )

( [

1

/ ) ( )

( )

( )

( )

(

1 1 2 1 2

4 1

2 2 4 1 3 2

1

2 2

4 2

4 2

3 2 2

2 3 2

3 1

4 2 2 1 2 2

4 2

4 2

2 3

L K K

K K

mH K

mHL J

K EJK

EJK L

EJK EJ

EJ K

m K mL

K K

L EJK T

G G

W

1 1

1 1

Q M

W

Zˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( )

0 0

0 0

là các véc tơ trạng thái hai đầu của phần tử dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn

Ma trận chuyển tiếp T được xác định theo công thức (1.3.15)

Do các điều kiện biên nên trong bốn thành phần của hai véc tơ trạng

thái Zˆ o,Zˆ1 luôn có hai thành phần hoàn toàn xác định Vì vậy trong mỗi

trường hợp cụ thể ta chỉ cần tính định thức của ma trận cấp hai là thu được

phương trình đặc trưng dao động của phần tử này

Ta khảo sát bài toán trị riêng của dầm hai gối tựa có các thông số được

chỉ ra trên hình 1.12

Hình 1.12 Phần tử dầm đàn hồi có vật rắn chịu uốn

Với dầm hai gối tựa này, điều kiện biên ở mỗi đầu là độ võng và

mômen uốn bằng không Khi đó phương trình đặc trưng của hệ trở thành:

0

14 32 34

12T T T 

T (1.3.16)

Để đơn giản, ta xét trường hợp: L 1=L2=L0/2, H=LG=L/2 Thay các biểu

thức tính các phần tử của ma trận T đã được tính ở (1.3.15) vào (1.3.16) ta thu

được phương trình đặc trưng có dạng như sau:

1 E E 

E (1.3.17) trong đó:

) cos sinh cosh

(sin

cos cosh 2

sin sinh cos

cosh )

cos sinh cosh

(sin 2

1

3

2 2 3

(sin

cos cosh 2

sin sinh cos

cosh )

cos sinh cosh

(sin 2

1

3

2 2

nguyên l Dễ dàng nhận thấy Khi 1=0, l=0, hệ phương trình (1.3.19),

(1.3.20) trở thành cossin 0 hay viết dưới dạng quen thuộc:

0 sin L0 

Đây chính là phương trình đặc trưng của dầm đàn hồi hai gối tựa đã được trình bày trong các tài liệu [1], [2]

2 1 2

 Nghiệm của phương trình (1.3.19) chỉ phụ thuộc vào khối lượng m của vật rắn, mà không phụ thuộc vào chiều dài L

 Nghiệm của phương trình (1.3.20) phụ thuộc cả mômen quán tính

JG của vật rắn và phụ thuộc cả chiều dài L

Để thấy được ảnh hưởng của khối lượng m, mômen quán tính J G và

chiều dài L của vật rắn lên các tần số riêng của hệ Ta xét trường hợp cụ thể

là mô hình rôto trên hình 1.13 với các thông số như sau:

Đối với hai phần tử đàn hồi:

 Chiều dài: L 1=L2=0.4(m)

 Mô đun đàn hồi: E=0.21110 12 (N/m 2 )

 Dầm có thiết diện tròn, đường kính: d=0.01(m)

2

2 L R

m

Hệ được tính toán cho 2 trường hợp:

05.0 Giải hệ (3.1.19), (3.1.20) ta thu được sáu tần số riêng đầu tiên được

đưa ra trong bảng 3.2

Bảng 3.2 Các tần số riêng của dầm có vật rắn chịu uốn, khi m thay đổi

1 f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) f6 (Hz) 0.0 31.828 85.227 286.45 369.767 795.695 889.261 0.1 29.049 84.399 264.679 361.455 742.250 863.992 0.2 26.884 83.589 251.454 353.743 716.033 842.449 0.3 25.136 82.797 242.620 346.596 700.742 824.107 0.4 23.668 82.022 236.315 339.476 690.783 808.447

Hình 1.13 Các thông số phần tử dầm

, E, J, d, L0 L , E, J, d, L0

1 f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) f6 (Hz) 0.6 21.411 80.525 227.926 328.155 678.638 783.403 0.7 20.493 79.850 224.977 322.875 674.669 773.317 0.8 19.684 79.092 222.604 317.966 671.525 764.494 0.9 18.963 78.399 220.612 313.398 668.972 756.727 1.0 18.300 77.720 218.929 309.138 666.859 749.847 1.5 15.848 74.540 213.330 291.601 660.000 724.781 2.0 14.167 71.684 210.175 278.670 656.490 709.113 2.5 12.928 69.100 208.150 268.787 654.002 698.469 3.0 11.965 66.756 206.740 261.017 652.011 690.790 3.5 11.190 64.619 205.705 254.760 651.576 685.001 4.0 10.548 62.662 204.910 249.62 650.725 680.500 4.5 10.005 60.864 204.28 245.330 650.058 676.880 5.0 9.539 59.206 203.77 241.694 649.500 673.929

Các kết quả được vẽ thành đồ thị trên hình 1.14, 1.15, 1.16

Hình 1.14 Tần số f 1 của dầm chịu uốn, khi khối lượng m thay đổi

Hình 1.15 Các tần số riêng f 1, f2 , f3 của dầm có vật rắn chịu uốn

Hình 1.16 Các tần số f 4, f5 , f6 của dầm có vật rắn chịu uốn

Trường hợp 2: Cố định 1  1 0 cho l thay đổi từ 02.0 ta thu được các tần số

riêng cho trong bảng 3.3

Bảng 3.3 Các tần số riêng của dầm chịu uốn, khi chiều dài L thay đổi

l f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) f6 (Hz) 0.0 18.315 122.452 218.929 426.450 666.859 803.938 0.01 18.315 120.159 218.929 422.694 666.859 816.355 0.02 18.315 117.865 218.929 417.750 666.859 818.892 0.03 18.315 115.582 218.929 412.003 666.859 821.169 0.04 18.315 113.32 218.929 405.737 666.859 820.915

f4

1 f(Hz)

l f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f4 (Hz) f5 (Hz) f6 (Hz) 0.1 18.315 100.628 218.929 367.246 666.859 797.416 0.2 18.315 84.015 218.929 322.859 666.859 760.883 0.3 18.315 72.470 218.929 298.937 666.859 741.504 0.4 18.315 64.400 218.929 285.098 666.859 731.094 0.5 18.315 58.538 218.929 276.320 666.859 724.397 0.6 18.315 54.124 218.929 270.328 666.859 719.853 0.7 18.315 50.704 218.929 266.004 666.859 716.582 0.8 18.315 47.979 218.929 262.747 666.859 714.120 0.9 18.315 45.783 218.929 260.299 666.859 712.334 1.0 18.315 43.941 218.929 258.253 666.859 710.772 1.5 18.315 38.063 218.929 252.153 666.859 706.114 2.0 18.315 34.919 218.929 249.136 666.859 703.804

Nhìn vào bảng, ta thấy các tần số riêng f 1, f3 , f5 không phụ thuộc vào

tham số chiều dài l Các đồ thị được vẽ trên hình 1.17, 1.18

Hình 1.17 Tần số thứ hai của dầm khi chiều dài vật rắn thay đổi

Hình 1.18 Các tần số f 2, f4 , f6 của dầm có vật rắn chịu uốn

Nhận xét:

Thông qua việc giải các bài toán các mô hình giải tích cho các kết cấu thanh, dầm đàn hồi có vật rắn chịu kéo, xoắn, uốn ta có một số nhận xét sau đây:

riêng của dao động, kích thước không gian của vật rắn không ảnh hưởng đến các tần số riêng của hệ

mômen quán tính J G là ảnh hưởng tới tần số riêng, kích thước không gian của vật rắn không ảnh hưởng trực tiếp đến các tần số riêng của

hệ Khi thiết diện của thanh là hình tròn, bài toán kéo và xoắn là

hoàn toàn đồng nhất về mặt toán học Với lưu ý rằng các tham số

khối lượng m, môđun đàn hồi E và diện tích thiết diện A trong

trường hợp chịu kéo được thay thế bằng các tham số mômen quán

tính J G , môđun trượt G và mômen chống xoắn thiết diện I x Ngoài

ra với bài toán xoắn thanh có thiết diện bất kỳ ta phải thêm vào hệ

trong mối liên hệ giữa trị riêng và tần số riêng

cũng như kích thước vật đều có mặt trong phương trình đặc trưng để xác định các tần số dao động riêng Khi có vật rắn, dao động của dầm phân tách thành hai dạng dao động ứng với các chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của vật rắn

Chương 2

MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO CÁC PHẦN TỬ ĐÀN HỒI CÓ VẬT RẮN

2.1 Phương pháp Phần tử hữu hạn cho phần tử đàn hồi

Trong nhiều thập kỷ nay Phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method) là công cụ hiện đại dùng để mô hình hoá và phân tích các

hệ vật rắn biến dạng trong thực tế kỹ thuật Ý tưởng của phương pháp là đưa

hệ liên tục, vô số bậc tự do về hệ rời rạc hữu hạn bậc tự do Bằng cách này ta

có thể giải quyết hầu hết các bài toán động lực học công trình Sau đây xin trình bầy một số vấn đề cơ bản của phương pháp

2.1.1 Tư tưởng của phương pháp

Chia vật thể thành một số hữu hạn các phần tử, sao trạng thái ứng suất, biến dạng của chúng có thể xác định được một cách đơn giản bằng các phương pháp giải tích Các phần tử được liên hệ với nhau bằng các nút có toạ

độ xác định trong không gian Chuyển động của các nút được mô tả bằng các tham số gọi là bậc tự do của nút Tổ hợp các bậc tự do của các nút tạo thành véctơ các bậc tự do độc lập gọi là véctơ chuyển vị nút của vật thể cần khảo sát

n u u u

U  1, 2, Trạng thái ứng suất và biến dạng tại các thiết diện bất kỳ của vật thể được biểu diễn qua véc tơ chuyển vị nút sau đó nhờ các định luật và các nguyên lý cơ bản của động lực học chẳng hạn như nguyên lý di chuyển khả

dĩ, hay phương trình Lagrange loại II thiết lập được phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ:

P KU U C U

M      (2.1.1)

Với M, C, K lần lượt là ma trận khối lượng, hệ số cản và độ cứng của

hệ hữu hạn bậc tự do, hay còn gọi là mô hình Phần tử hữu hạn của hệ đã cho

P là véctơ tải trọng đã đưa về nút

Tư tưởng của phương pháp được thể hiện bằng quy trình giải bài toán:

Bước 1: Chọn hệ toạ độ tổng thể trong không gian cố định

Bước 2: Chia lưới các phần tử và do đó sẽ tạo ra các phần tử được xác

định bởi các điểm nút

Bước 3: Xác định các bậc tự do của các nút và do đó sẽ được véctơ

chuyển vị nút của cả hệ Phải chú ý các điều kiện biên và các ràng buộc để tạo

ra các véc tơ chuyển vị nút là tổ hợp các bậc tự do độc lập

Bước 4: Xét từng phần tử như một vật thể đàn hồi với mục đích thiết

lập mối quan hệ giữa trạng thái ứng suất và biến dạng bên trong phần tử với các chuyển vị nút (Tìm các hàm dạng)

Bước 5: Thiết lập các ma trận của phần tử nhờ các nguyên lý của Cơ

học Đồng thời xác định véctơ tải trọng ngoài đưa về nút

Bước 6: Ghép nối các ma trận phần tử trên cơ sở đảm bảo tính liên tục của chuyển vị nút Thu được các ma trận M, C, K và véc tơ P

Bước 7: Giải phương trình (2.1.1)

2.1.2 Cơ sở toán học của phương pháp

Ký hiệu trường chuyển vị của phần tử:

r e   e (2.1.2) trong đó (x,y,z) là ma trận hàm dạng của phần tử

Mặt khác, theo hệ thức Côsi ta có quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị phần tử:

) ( )

(t B U t U

e   

 (2.1.4)

với D là ma trận chứa các hàng số vật liệu đàn hồi

Động năng và thế năng của phần được xác định như sau:

dV r r T

e

V

T

e    2

1

(2.1.5)

dV D dV

e

e T T e e

V

T e

e      



2

1 2

1

(2.1.6)

sử dụng các mối quan hệ (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) ta có thể biểu diễn động năng

và thế năng của phần tử qua các tọa độ nút của phần tử như sau:

1 1



e e T e e

T T V

T e

1 )

( ) ( 2

e e

M U T

T e

e T e N

2

1 2

1 2

a M a

M  được gọi là ma trận khối lượng tổng thể Và thế năng toàn hệ được xác định như sau:

KU U U a K a U U

K

T e

e T e N

e

2

1 2

1 2

e K a a

K được gọi là ma trận độ cứng tổng thể,

e

a được gọi là ma trận định vị của phần tử,

U , U véc tơ chuyển vị và vận tốc nút của hệ tổng thể

Hoàn toàn tương tự như trên ta thu được biểu thức của hàm hao tán:

U C U U a C a U U

C U R

T e

e T e N

2

1 2

1 2

e C a a

C được gọi là ma trận cản tổng thể của hệ, trong trường hợp dao động tự do thành phần này được bỏ qua

Sử dụng phương trình Lagrange loại II cho toàn hệ ta có:

T

P U

R U

L U

L dt

 LT được gọi là hàm Lagrange Chú ý rằng phương trình này được viết dưới dạng ma trận hàng Muốn đưa về dạng ma trận cột

ta thực hiện phép chuyển vị

 P là véc tơ lực suy rộng của các lực không thế, được tính theo

biểu thức tổng công khả dĩ của ngoại lực lên các di chuyển khả dĩ

của các tọa độ nút Trong bài toán dao động tự do P được bỏ qua

Để đưa phương trình (2.1.14) về dạng ma trận (2.1.1) ta chứng minh

bổ đề sau:

trận hằng, vuông và đối xứng, q là ma trận cột có số hàng bằng số hàng của A

thì ta luôn có:

A q q

Viết lại biểu thức của S:

q A   q A q q  Aq q Aq

q

S T  ( T )T T  T T  T (2.1.16) Mặt khác:

với a, b là các véc tơ cột cùng kích thước, luôn có:

q

a b q

b a b a q

T T

q

Aq q q

q Aq q

2 )

Chú ý các hệ thức (2.1.11), (2.1.12), (2.1.13), đưa vào phương trình Lagrange (2.1.14), áp dụng bổ đề (2.1.5) vào các số hạng ta có:

C U U

R K U U

L M U U

Đạo hàm theo biến thời gian t số hạng thứ nhất rồi thực hiện việc chuyển vị để đưa phương trình Lagrange về dạng ma trận cột, ta thu được hệ phương trình (2.1.1) đã nêu ở phần trên:

P KU U C U

M     

Giải hệ phương trình này ta nhận được các thông số của chuyển vị nút