Nghiên cứu quá trình Mode-Lock trong Laser sợi trên cơ sở vật liệu quang tử cấu trúc NaNô

Với mong muốn nâng cao hiệu suất và giảm chiều dài trong các bộ khuếch đại sợi và laser sợi, người ta đã tìm cách tăng nồng độ pha tạp dẫn đến hiện tượng tụ đám và gây nên một số hiệu ứn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

ĐẶNG HOÀNG LONG

NGHIÊN CỨU QUÁ TRÌNH MODE-LOCK TRONG LASER SỢI TRÊN CƠ SỞ VẬT LIỆU

QUANG TỬ CẤU TRÚC NANÔ

Ngành: Khoa học và Công nghệ Nanô

Chuyên ngành: Vật liệu và Linh kiện nanô

Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SỸ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHẠM VĂN HỘI

HÀ NỘI – 2005

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

Chương 1: Laser sợi pha tạp Erbium 3

1.1 Sự khuếch đại quang sợi 3

1.1.1 Giản đồ mức năng lượng 3

1.1.2 Các phương trình tốc độ 5

1.1.3 Các tính chất của khuếch đại quang 11

1.2 Laser sợi 13

1.2.1 Ngưỡng phát laser 13

1.2.2 Công suất laser ra và hiệu suất chuyển đổi 16

1.3 Hiệu ứng nồng độ cao 20

Chương 2: Phương pháp mode-lock 24

2.1 Mở đầu 24

2.2 Nguyên lý hoạt động của chế độ mode-lock 27

2.3 Các phương pháp mode-lock 32

2.3.1 Phương pháp mode-lock chủ động 32

2.3.2 Phương pháp mode-lock bị động 36

2.4 Các yếu tố ảnh hưởng tới quá trình mode-lock trong laser sợi 37

Chương 3: Kỹ thuật thực nghiệm 40

3.1 Xây dựng hệ thí nghiệm 40

3.2 Các vật liệu và thiết bị dùng trong thí nghiệm 44

cao 44

(SOA) 45 3.2.3 Các thiết bị khác 49

4.2.3 Đặc điểm về dạng xung laser ra 58

Kết luận 62

Các công trình của tác giả có liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU

Ngay sau khi laser đầu tiên ra đời vào năm 1960 người ta đã quan tâm đến việc phát xung quang học ngắn Sự phát minh ra các phương pháp mode-lock vào khoảng cuối những năm 70 đã tạo ra các xung có thời gian cỡ nano giây Ngày nay vật lý và kỹ thuật phát xung laser ngắn đã phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều thành tựu

Laser xung cực ngắn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, cả trong khoa học lẫn trong công nghiệp Giá trị của xung laser cực ngắn nằm ở những đặc tính thời gian và tần số của chúng Trong phạm vi thời gian, các xung laser ra có cường độ lớn trong khoảng thời gian cực nhỏ lên đến femto giây Trong phạm vi tần

số, đoàn xung được tạo ra sau khi thực hiện mode-lock bao gồm một phổ rộng các mode cách đều nhau có mối quan hệ về pha chặt chẽ Laser xung cực ngắn có khả năng thăm dò tự nhiên đến thang đo thời gian cỡ femto giây, cho phép giải quyết một lượng lớn các nghiên cứu về phản ứng hoá học, sinh học, vật lý ở tốc độ cao Chẳng hạn những laser có khả năng khởi động và điều khiển các phản ứng hoá học tốc độ cao, sự nghiên cứu các quá trình tĩnh và hiện tượng biến đổi, giải quyết động lực học phân tử, khảo sát sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất đồng thời laser xung femto giây có ứng dụng lớn trong các thiết bị chính xác sử dụng trong y tế Đây là lĩnh vực khoa học hiện đại, đã và đang phát triển trên thế giới trên suốt hơn một thập kỷ qua Những ứng dụng tiềm năng nằm trong cả những lĩnh vực như thông tin, quá trình xử lý tín hiệu và điện tử tốc độ cao Trong lĩnh vực tần số, phổ rộng của những mode cách đều nhau có thể sử dụng như một thước đo tần số phía trong đồng thời cũng có thể sử dụng như một cầu tần số để nỗi các vùng tần số xa nhau Chính vì vậy, người ta luôn mong muốn tạo ra những laser xung cực ngắn Hiện nay các chất bán dẫn có cấu trúc nanô và các ion đất hiếm ( như Er3+-

,

Nd3+, ) pha tạp trong nền thuỷ tinh Silica thuộc lớp vật liệu quang đang được quan tâm nghiên cứu do những đặc tính ưu việt của nó Qua những nghiên cứu về sợi quang pha tạp Erbium cho thấy khả năng tạo các hiệu ứng khuếch đại trong vùng

bước sóng 1530-1570nm thuộc cửa sổ thứ hai của hệ thống thông tin quang Với mong muốn nâng cao hiệu suất và giảm chiều dài trong các bộ khuếch đại sợi và laser sợi, người ta đã tìm cách tăng nồng độ pha tạp dẫn đến hiện tượng tụ đám và gây nên một số hiệu ứng bất lợi tuy nhiên chúng đang dần được khắc phục Các chất bán dẫn cấu trúc nanô cũng có những đặc tính đặc biệt mà cấu trúc ba chiều (bán dẫn khối) không có Các vật liệu mới này giúp tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, mang tính cách mạng trong công nghệ vi điện tử, quang phi tuyến và rất nhiều các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật khác

Kết hợp những ưu điểm đó cùng các ứng dụng rất lớn của laser xung ngắn, bản luận văn này được thực hiện với mục đích nghiên cứu về đặc tính của laser sợi pha tạp Erbium và phương pháp mode-lock cho laser sợi trên cơ sở vật liệu quang

tử cấu trúc nanô

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận được chia thành 4 chương:

Chương 1: Trình bày về cơ sở lý thuyết của laser sợi Qua đó tìm hiểu các

tính chất và đặc trưng chủ yếu của laser sợi pha tạp Erbium

Chương 2: Nói về nguyên lý và các phương pháp tiến hành mode-lock cho

laser nói chung và laser sợi nói riêng Ngoài ra các yếu tố ảnh hưởng tới quá trình mode-lock cho laser sợi pha tạp Erbium cũng sẽ được đề cập đến

Chương 3: Chương này trình bày về phần kỹ thuật thực nghiệm: cách xây

dựng hệ thí nghiệm, các vấn đề vật lý và kỹ thuật liên quan trực tiếp đồng thời tìm hiểu về một số vật liệu quang tử cấu trúc nanô, các thiết bị được sử dụng trong quá trình thí nghiệm

Chương 4: Kết quả thí nghiệm và thảo luận Chương này sẽ phân tích các

quá trình vật lý, các đặc tính về phổ bức xạ, tần số và dạng xung laser ra Kết quả thu được ở chương này cũng cho thấy sự phù hợp giữa các tính toán lý thuyết, lý thuyết giải thích và thực nghiệm

Chương 1

LASER SỢI PHA TẠP ERBIUM

Laser bao gồm ba bộ phận chính là hoạt chất, buồng cộng hưởng và bộ phận kích thích hay bơm [5] Sợi pha tạp là hoạt chất dùng trong laser sợi, nguồn bơm là laser bán dẫn có bước sóng thích hợp Laser sợi có một số cấu hình khác nhau như dạng buồng cộng hưởng vòng (hình 1.1a) hoặc buồng cộng hưởng Fabry-Ferot tạo bởi hai gương (hình 1.1b)

Hình 1.1 Sơ đồ cấu hình laser sợi buồng cộng hưởng dạng vòng (a) và buồng

cộng hưởng Fabry-Perot tạo bởi hai gương (b)

Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng mô hình toán học cụ thể cho laser sợi Đầu tiên là xét đến sự khuếch đại quang sợi, từ đó rút ra biểu thức giải tích cho

hệ số khuếch đại và là cơ sở để tính toán quá trình phát laser: ngưỡng bơm, công suất laser ra, hiệu suất chuyển đổi Mô hình này áp dụng cho loại sợi pha tạp kiểu đơn mode, chiết suất nhảy bậc và chất pha tạp chỉ pha tạp trong vùng lõi với nồng

độ đồng đều trên toàn sợi

1.1 Sự khuếch đại quang sợi

Với khuếch đại quang sợi pha tạp Erbium, cách đơn giản nhất là xét sự khuếch đại trong hệ 3 mức Hầu hết các đặc trưng quan trọng của khuếch đại có thể thu được qua mô hình hệ 3 mức này [11]

Xét hệ 3 mức như hình vẽ với:

 Mức 1 là mức cơ bản (ion ở mức này gọi là ở trạng thái cơ bản)

 Mức 2 là mức siêu bền (ion ở mức này gọi là ở trạng thái kích thích)

 Mức 3 là mức trung gian (tương đương với mức hấp thụ photon bơm gọi

là dải bơm)

Trong cấu trúc mức năng lượng của Er3+

các mức 1, 2 và 3 tương ứng là các mức 4

I15/2, 4I13/2 và 4I11/2 [7]

Hình 1.2 Sơ đồ hệ ba mức năng lượng

Photon bơm bị hấp thụ bởi các ion tại mức 1 và nhảy lên mức 3 Do mức 3 có thời gian sống rất ngắn nên các ion này sẽ phân rã một cách nhanh chóng không bức

xạ xuống mức 2 Từ mức 2 điện tử chuyển dời xuống mức 1 đồng thời bức xạ ra các photon tự phát hoặc photon kích thích Bức xạ tự phát được đặc trưng bởi thời gian

sống tự phát ụ2 và bức xạ kích thích được đặc trưng bởi tiết diện hiệu dụng ú e Photon tín hiệu cũng có thể bị hấp thụ từ trạng thái cơ bản (gọi tắt là GSA: Signal

Sự hấp thụ photon

bơm từ trạng thái

cơ bản

Sự hấp thụ photon tín hiệu

Sự bức xạ photon tín hiệu

Trạng thái kích thích

Sự hấp thụ photon bơm từ trạng thái kích thích

Dải bơm

R 13

R 24

Trạng thái cơ bản

photon ground state absorption) từ mức 1 lên mức 2 và được đặc trưng bởi tiết diện

hấp thụ hiệu dụng ú a

Trong trường hợp lý tưởng của hệ laser ba mức thì tỷ số ó s = ú a /ú e bằng đơn

vị Tuy nhiên đối với thuỷ tinh silica pha tạp Erbium các mức 1 và 2 (tương ứng mức 4

I15/2 và 4I13/2) có sự tách mức Stark Do vậy đối với bước sóng tín hiệu thì tiết

diện hấp thụ và bức xạ hiệu dụng nói chung là không bằng nhau và tỷ số ó s không phải luôn bằng đơn vị Tỷ số này phụ thuộc vào bước sóng tín hiệu và đã được quan

sát bởi thực nghiệm trên laser sợi pha tạp Erbium [16] Tỷ số ó s là một thông số

quan trọng và có thể nhận một giá trị dương tuỳ ý Trong trường hợp đặc biệt ó s = 1

tương ứng với hệ thuần tuý ba mức, ó s = 0 tương ứng với hệ thuần tuý bốn mức Trong một số các laser thì các photon bơm cũng có thể bị hấp thụ từ mức 2 lên mức 4 Đây là cơ chế hấp thụ photon bơm từ trạng thái kích thích (gọi tắt là ESA: Pump excited state absorption) Trong thuỷ tinh pha tạp Er, mức 4 có thời gian sống rất ngắn và phân rã nhanh chóng xuống mức 2 thông qua bức xạ đa phonon Sự phân rã quay trở về mức 1 kèm theo sự bức xạ photon có bước sóng ngắn cũng có thể xảy ra nhưng rất yếu không đáng kể Do đó ESA là nguyên nhân mất mát tổng cộng của các photon bơm nhưng hoàn toàn không làm suy giảm độ tích luỹ của mức laser trên Do vậy trong quá trình tính toán đối với thuỷ tinh pha tạp Er chúng ta cũng phải tính đến ESA, tuy nhiên bỏ qua bức xạ từ mức 4 xuống mức 1 [9]

1.1.2 Các phương trình tốc độ

Khuếch đại quang của laser sợi do sự nghịch đảo độ tích luỹ có thể diễn tả toán học chính xác thông qua các phương trình tốc độ [11] Các phương trình này

mô tả mối quan hệ giữa mật độ photon bơm và photon tín hiệu vói độ tích luỹ N i tại

mức năng lượng thứ i Vói giả thiết thời gian sống ụ3, ụ4 của mức 3 và mức 4 nhỏ

hơn rất nhiều so với thời gian sống ụ2 của mức 2 kéo theo độ tích luỹ N3 và N4 có

thể bỏ qua trong độ tích luỹ toàn phần N0, tức là N0 ≈ N1+N2 Chúng ta có thể đưa ra

một cách dễ dàng các phương trình tốc độ cho các biểu diễn với N1 và N2:

13 2 2 0

1

/ 1

/ 1

R W

W

W N

N

e a e

13 2 13 0

2

/

W W

R W N

N

e a

e

Trong đó R13, Wa và We là tốc độ chuyển dời như trên hình 1 và được định

nghĩa R13 = ú p I p /hớ p , W a = ú a I s /hớ s và W e = ú e I s /hớ s trong đó ú p là tiết diện hấp thụ

hiệu dụng từ mức 1 lên mức 2 do GSA; hớ p , hớ s là năng lượng photon bơm và

photon tín hiệu; I p và I s là cường độ photon bơm và photon tín hiệu Tất cả đều là hàm theo bán kính sợi và vị trí theo chiều dài sợi

Hệ toạ độ được chọn là hệ toạ độ trụ (r, ,z) đặt theo trục của sợi vói z = 0 ứng

với vị trí đầu sợi mà photon bơm bắt đầu đi vào Trong hệ toạ độ này mật độ năng

lượng chuẩn hoá của mode bơm p n (r, ) và mode tín hiệu s0(r, ) là:

) ( cos ) ( ) , (r r r 2 n

) ( ) ,

Trong đó n là số nguyên mô tả số kiểu góc phương vị của nguồn bơm Các

mật độ mode này được chuẩn hoá theo nghĩa lấy tích phân theo bề mặt trên toàn bộ

tiết diện hiệu dụng của sợi (từ r = 0 đến ∞) là bằng đơn vị Các cường độ I s và I p

liên hệ với các mật độ mode này qua biểu thức:

) ( ) , ( ) 0 ( ) , , (r z P p r p z

) ( ) ( ) 0 ( ) , (r z P s0 r s z

trong đó P p (0) và P s (0) là công suất bơm và công suất tín hiệu tại vị trí z = 0 Các hàm p(z) và s(z) biểu diễn sự biến đổi của công suất bơm và tín hiệu khi truyền trong sợi và được chuẩn hoá sao cho p(0) = s(0) = 1

Có hai sự đóng góp làm thay đổi công suất bơm theo chiều dài sợi đó là GSA

và ESA, chúng đều làm giảm số lượng photon bơm Do đó sự biến đổi của I p (r, ,z)

biểu diễn qua công thức:

2

2 / 1

2

)

d dr r dz

dI

p p p

p

ở đó ú’ p là tiết diện hiệu dụng của ESA Tương tự ta có sự thay đổi của cường

độ tín hiệu I s (r,z) chịu ảnh hưởng bởi bức xạ từ mức 2 xuống mức 1 và hấp thụ từ

mức 1 lên mức 2 là:

0 2

0

1 2

0 2

0

)

d dr r dz

dI

s a e

Chúng ta sẽ giải các phương trình này để đánh giá kết quả đối với tín hiệu

nhỏ và tìm hệ số khuếch đại g0 = ln[s(l)] với l là chiều dài sợi Tín hiệu nhỏ có ý

nghĩa trong trường hợp khuếch đại thấp với tín hiệu vào nhỏ hoặc quá trình dao động của laser sợi tại ngưỡng phát Do vậy chúng ta giả sử có thể bỏ qua cường độ

tín hiệu (nghĩa là W a = W e = 0) Điều kiện này được áp dụng khi cường độ tín hiệu

nhỏ hơn rất nhiều so với cường độ bão hoà h s/ e 2 tại mọi điểm trong sợi

Thế phương trình (1.1), (1.3) vào (1.4a) và sử dụng điều kiện chuẩn hoá của

p n (r, ) trên tiết diện cắt của sợi dẫn đến phương trình vi phân sau cho p(z):

d dr r A r p z p

A r p z p r

p z P N dz

n

n n

p

0 2

0 0

),()(1

),()('1),()

Tích phân theo bán kính chỉ thực hiện được khi r = a bởi vì độ tích luỹ N i bên

ngoài lõi sợi là bằng 0 (lời giải tổng quát hơn trong trường hợp công tua pha tạp khác nhau từ công tua chiết suất sẽ được nghiên cứu riêng [4]) Các thông số bão

hoà và ’ được cho bởi:

A

P h p

p p

p

A z

p dz

dp

0

),(

2)1()

trong đó = ’ p / p và B n (r,z) được định nghĩa:

) ( ) ( 1

1 1

) , (

r r z Ap z

r B

n

2 / 1

)]

( ) ( 1

[

1 1

r r z

và p = p N0 là hệ số hấp thụ sóng phẳng của vật liệu làm lõi sợi tại bước sóng p; p là năng lượng bơm vi phân chứa trong lõi sợi:

n n n

0 2

)()

,

trong đó e n = 2 khi n = 0 và e n = 1 khi n > 0

Như vậy chúng ta đã xây dựng được biểu thức sự thay đổi của nguồn bơm khi đi trong sợi với tín hiệu nhỏ Tiếp theo chúng ta xây dựng biểu thức của hệ số khuếch đại trong trường hợp tín hiệu nhỏ

Tương tự cách biến đổi như trên, phương trình (1.4b) có dạng tương tự đối với trường hợp công suất tín hiệu:

d dr r A r p z p

A r p z p r

s z s N dz

n

n s

e

0 2

0 0 0

),()(1

),()()

()

Sau khi lấy tích phân một lần nữa theo ta thu được phương trình vi phân

sau cho tín hiệu nhỏ g0(z) = ln(s(z)):

a

n s

e s

dz

dg

0 0

trong đó s là năng lượng tín hiệu vi phân chứa trong lõi sợi:

dr r r s a

s) và phần xen phủ theo bán kính Phần xen phủ này biểu hiện sự chồng chập theo

không gian giữa mật độ mode tín hiệu s0(r) và mật độ mode bơm (có chứa số hạng

B n (r,z)) Với hệ laser ba mức thì s = 1 và sự khuếch đại sẽ tỷ lệ với (1 + s) = 2 Do

đó trong trường hợp mức laser dưới là mức cơ bản và các photon bơm bị hấp thụ bởi môi trường khuếch đại thì sự nghịch đảo độ tích luỹ tăng lên +2

Mặc dù lời giải chính xác đã được nghiên cứu bằng phương pháp giải tích số [4] nhưng chúng ta vẫn tìm hiểu các lời giải gần đúng để có thể hiểu một cách sâu

sắc hơn các tính chất vật lý của khuếch đại quang và sự phụ thuộc của nó vào các thông số “chìa khoá” Các phương trình (1.7) và (1.11) không thể giải một cách

chính xác bởi vì số hạng phi tuyến trong p n (r, ) xuất hiện trong các số hạng bão hoà

B n (r,z) Lời giải xấp xỉ có thể thu được bằng cách thế p n (r, ) trong các số hạng phi

tuyến bằng mật độ năng lượng bơm đồng đều dọc theo lõi sợi Để tính đến sự tách của mode bơm trong lớp vỏ thì sự phân bố năng lượng bơm này sẽ lấy bằng

R n /(Aỗ p ) khi ở bên trong lõi và bằng không ở lớp vỏ, trong đó A là tiết diện lõi và R n

là phần tích phân chéo sau:

a

n n

R

0

2)

với f n = 2 khi n = 0 và 0.75 khi n > 0

Dưới giả thiết về sự đồng đều của số hạng bão hoà, dạng xấp xỉ có thể được

biểu diễn một cách đơn giản bắt nguồn từ p(z) và g0(z) Lời giải cho p(z) là:

z R

z p R

z

p n

p n

) / ( ' 1

) ( ) / ( ' 1 ln '

' )]

p

R z

p

n

] 1 ) ( [ )]

(

Khi cường độ bơm vào là rất nhỏ so với cường độ bơm bão hoà hớ p /ú p ụ2 thì

số hạng loga trong phương trình (1.14) chiếm ưu thế và p(z) biến đổi theo hàm mũ theo z tại tốc độ chịu áp đặt bởi hệ số hấp thụ mode ỏ p ỗ p Sự bão hoà của chuyển dời hấp thụ kéo theo kết quả làm giảm hấp thụ nguồn bơm được mô tả thông qua số hạng thứ hai trong phương trình (1.14) Bơm ESA xuất hiện như một số hạng âm và góp phần làm tăng sự hấp thụ nguồn bơm [17]

Tương tự, lời giải xấp xỉ cho sự khuếch đại tín hiệu nhỏ g0(l) là:

n abs e s s

a

F A

P h l

l

Số hạng đầu tiên trong vế phải biểu diễn sự mất mát tín hiệu do GSA Số

hạng thứ hai là số hạng biểu hiện sự khuếch đại dương, tỷ lệ với (1 + ó s ), ú e ụ2/hớ p,

tích phân chéo F n /ỗ p , nghịch đảo của tiết diện lõi 1/A và công suất bơm tổng cộng bị hấp thụ theo chiều dài l:

)]

( 1 )[

0 ( p l P

F

0

0( ))

Thông số ợ được định nghĩa:

) ( 1

1 ln ) 1 ( ) ( 1

1 ln 1 )) ( 1 ( ) 1

(

1

l Gp

G E

l Ep G

E G l

p G

p

p p

p

(1.18)

Trong đó G và E là:

s n F

n s

p

n F

R

Yếu tố ợ được tính đến do ảnh hưởng của sự thiếu hụt tại trạng thái cơ bản và ESA Nó thoả mãn hệ thức ợ ≤ 1 và chỉ bằng 1 khi không có đồng thời ESA và tình trạng rỗng tại trạng thái cơ bản Khi có mặt ESA, ợ phản ảnh các photon bơm trong

P abs bị hấp thụ từ trạng thái kích thích và không góp phần làm tăng nghịch đảo độ tích luỹ

Trong trường hợp không có ESA (ó p = 0), phương trình biểu diễn sự khuếch đại (1.15) sẽ đơn giản hơn rất nhiều do ợ lúc này được cho bởi:

)(1

1ln))(1(

1

l Gp

G l

p G

E

Trong đó p(l) được tính theo phương trình (1.14b) với z = l

Thông số E trong phương trình (1.19) phụ thuộc vào thông số V của sợi V s =

2ðaNA/ở s và V p =2ðaNA/ở p Trong khoảng giá trị của thông số V tại đó sợi là đơn mode (V s < 2.4) và sự mất mát tại bước sóng ở s là không quá lớn (V s >1.3) thì E gần

như không đổi Khi ở p tiến tới ở s thì E tiến tới đơn vị và E tăng khi ở p khác ở s Trong trường hợp bước sóng bơm nhỏ hơn rất nhiều so với bước sóng tín hiệu như

với sợi pha tạp Erbium ở p ≈ 1.55ỡm và ở s = 0.532 ỡm thì E ≈ 1.22 và vẫn gần cỡ

đơn vị

Hệ số thể hiện sự xen phủ trong hệ laser ba mức ợF n /ỗ p (phương trình (1.15))

là hàm theo thông số bão hoà G (phương trình (1.19)) Khi độ trống tại trạng thái cơ bản thấp tức là công suất bơm thấp (G << 1) thì ợ ≈ 1và hệ số này đơn giản còn

F n /ỗ p Khi trạng thái cơ bản độ trống rất cao (công suất bơm cao, G >> 1) thì ợ ≈ E

và hệ số lúc này là F n / ỗ p E = R n ỗ s /ỗ p2 Trường hợp bước sóng tín hiệu và bước sóng

bơm rất gần nhau thì ợ ≈ 1 và độc lập với bậc bão hoà, hệ số đó bằng F n /ỗ p Do ợ nằm giữa 1 và E, giá trị E lại gần cỡ đơn vị nên ợ gần như độc lập với G và tốc độ bơm Tóm lại trong mọi trường hợp có thể giả sử rằng ợ là một hằng số Trong đa

số các thiết bị, trường hợp độ trống tại trạng thái cơ bản là đáng kể (G>>1) và độ

tích luỹ là dương thì việc biểu diễn xấp xỉ sự khuếch đại cho tín hiệu nhỏ chuyển về dạng đơn giản sau:

2 2

p

s n abs

p

e s s

a

R A

P h l

l

(1.21)

1.1.3 Các tính chất của khuếch đại quang

Tiếp theo chúng ta sẽ áp dụng các lý thuyết tính toán ở trên cho một trường hợp cụ thể của khuếch đại quang sợi pha tạp Erbium Các số liệu được lấy theo bảng 1 Thực tế, các giá trị của tiết diện hiệu dụng phụ thuộc vào sự có mặt của chất đồng pha tạp và nồng độ của chúng trong lõi Chúng có thể khác nhau chút ít ở các mẫu sợi khác nhau và kết quả định lượng cuối cùng có thể thay đổi đôi chút [10]

Giá trị N0 = 5.1 1018 cm-3 tương ứng với nồng độ Er khoảng 120 ppm

Bán kính lõi, a

Khẩu độ số, NA

2.5 ỡm 0.20

Bước sóng tín hiệu, ởs

Năng lượng tín hiệu vi phân, ỗs

Tiết diện bức xạ hiệu dụng, úe

1 0.98 ỡm 1.75ì10-21 cm212ì10-3

5.1ì1018 cm-3

Bảng1 Các thông số của sợi Silic pha tạp Erbium được sử dụng để tính toán

Hình 1.3 cho thấy giá trị của công suất bơm là hàm theo chiều dài sợi từ 0

đến 5m với công suất bơm ban đầu P p(0) là 10, 30 và 100 mW Công suất bơm bão

hoà với sợi này là Ah p/ p 2 = 1.9mW Do P p(0) lớn hơn rất nhiều so với 1.9mW nên độ trống của trạng thái cơ bản có vai trò quan trọng Sự chuyển dời do hấp thụ

về bản chất là không có và sự lan truyền của công suất bơm trong sợi gần như thay

đổi một cách tuyến tính với chiều dài sợi Trái lại với P p(0) = 0.2mW ( 0.11, xem phương trình 1.6), độ trống tại trạng thái cơ bản là rất nhỏ và sự thay đổi g ần như theo hàm mũ

Hình 1.3.Sự biến đổi của công suất bơm đã chuẩn hoá p(z) theo chiều dài sợi

0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

10mW

2mW

Khi có mặt ESA các tính chất chung cũng gần tương tự như đã thấy trên hình 1.3 với p = 0.25 (cho dù ở đây công suất bơm ESA tại 980nm là không đáng kể)

So sánh các đường cong tương ứng với công suất bơm P p(0) = 10 mW nhưng p = 0 cho thấy rằng ngay cả khi tổng công suất bơm ESA là nhỏ đã làm giảm đáng kể sự lan truyền của ánh sáng bơm Sự phụ thuộc của khuếch đại vào công suất bơm vào được biểu hiện trên hình 1.4 khi không có mặt ESA Khi công suất bơm tăng từ giá trị 0, ban đầu hệ số khuếch đại tăng rất nhanh từ giá trị âm do GSA Khi vượt qua giá trị âm hệ số khuếch đại tăng gần như tuyến tính do hấp thụ hầu như hoàn toàn các photon bơm Khi công suất bơm rất cao thì trên đường cong khuếch đại sẽ tồn tại một điểm giới hạn mà tại đó khuếch đại sẽ giảm xuống do sự khuếch đại của bức

xạ tự phát

Hình 1.4 Sự phụ thuộc của hệ số khuếch đại theo công suất bơm vào

Như vậy, chúng ta đã xây dựng mô hình toán học để tìm lời giải giải tích cho

hệ số khuếch đại cũng như sự biến đổi của công suất bơm theo chiều daì sợi và tìm hiểu một số tính chất của khuếch đại quang Tiếp theo trên cơ sở đó chúng ta sẽ tính toán đối với trường hợp laser sợi

1.2 Laser sợi

0 10 20 -40

1.2.1 Ngƣỡng phát laser

Ngưỡng phát laser được định nghĩa là thời điểm tại đó nguồn bơm cung cấp cho laser tạo ra sự khuếch đại bằng độ mất mát trong buồng buồng cộng hưởng [5] Tại thời điểm ngưỡng cường độ tín hiệu khứ hồi trong buồng cộng hưởng hầu như

bằng không và hệ số khuếch đại g0(l) chỉ đơn giản được tính theo công thức đối với

tín hiệu nhỏ Điều kiện ngưỡng được viết:

) (

(Số 2 ở đây tương đương với buồng cộng hưởng dạng Fabry-Ferot, nếu buồng cộng hưởng dạng vòng không có thừa số 2 và kết quả về sau lấy giá trị của

hệ số khuếch đại g giảm đi một nửa)

Với ọ là độ mất mát trong buồng cộng hưởng Sự mất mát này sẽ bao gồm ba yếu tố Thứ nhất là sự có mặt của GSA, ký hiệu là L Thứ hai là do sự phân bố truyền qua của coupler tại đầu ra của laser, giá trị này bằng –ln(1 – T1); trong đó T1

là hệ số truyền qua Thứ ba là sự mất mát ọ0 do sợi quang, bao gồm mất mát do tán

xạ và do ghép nối Để thuận tiện cho việc tính toán và để hiểu một cách trực giác

hơn về mặt bản chất vật lý, chúng ta tách riêng ọ chỉ là độ mất mát trong trường hợp

không có GSA Tức là:

) 1 ln( 1

Sử dụng phép biểu diễn cho tín hiệu nhỏ trong phương trình (1.15) và thế vào

phương trình (1.22) chúng ta giải được công suất bơm ngưỡng P th:

th th

L

trong đó L = 2ỏ a ỗ s l là độ mất mát tín hiệu do GSA,

ợ th là giá trị của ợ tại thời điểm ngưỡng

ờ = (ú e ụ2/hớ p )(F n /ỗ p )(1 + ó s )/A

Tương tự sử dụng phương trình (1.16), công suất bơm ngưỡng tại vị trí bắt

đầu khi đi vào sợi P th(0) được biểu diễn:

) ( 1

1 1 2 ) 0 (

l p L

với P th (l) là công suất hấp thụ nguồn bơm tại ngưỡng

Về mặt trực giác chúng ta có thể thấy để xảy ra điều kiện ngưỡng thì số hạng

khuếch đại dương ờợ th P th phải bằng sự mất mát tổng cộng trong buồng cộng hưởng

ọ T = ọ + L (bao gồm cả nguyên nhân do GSA ) Ngoài ra cũng còn một số các yếu

tố gây nên sự mất mát như quá trình truyền dẫn trong sợi hoặc do phản xạ nhưng sự mất mát do GSA là lớn hơn rất nhiều

Do ợ và p(l) phụ thuộc vào công suất bơm nên phương trình (1.24) và (1.25)

là các hàm không phụ thuộc tuyến tính theo công suất bơm Các biểu thức này có thể thu về dạng đơn giản hơn nếu sử dụng giả thiết bước sóng tín hiệu và bước sóng bơm là khá gần nhau Chẳng hạn với laser sợi pha tạp Erbium, bước sóng phát tín hiệu là 1550nm và bước sóng bơm là 980nm hoặc 1480nm Khi đó, biểu thức của ợ trong phương trình (1.18) rút gọn thành:

)()/('1

)/('1ln))(1)(

/('

1

l p F

F l

p

s n

s n

(1.26) Kết hợp hai phương trình (1.26) và (1.14a), khử thừa số loga và sự dụng mối

liên hệ của ợ trong điều kiện ngưỡng (phương trình 1.25) ta được:

)1(111))

(

s

s p

p th

L l

Hình 1.5 Sự phụ thuộc của ngưỡng bơm laser sợi pha tạp Er theo độ dài sợi tại

các giá trị mất mát trong buồng cộng hưởng ọ khác nhau

Như đã biết phần dương trong công thức tính hệ số khuếch đại tỷ lệ với công suất bơm (phương trình 1.15) trong khi yếu tố gây nên sự mất mát chủ yếu trong buồng cộng hưởng là GSA lại tỷ lệ theo chiều dài sợi Do vậy, công suất bơm cần thiết để đạt ngưỡng sẽ tăng một cách tuyến tính theo chiều dài sợi như đã thấy trên

hình 1.5 Đường tiệm cận hoàn toàn độc lập với giá trị ọ do mất mát tổng cộng chủ yếu bằng L khi sợi có độ dài lớn Đồ thị cũng cho thấy công suất bơm ngưỡng tăng

một cách đột ngột khi chiều dài sợi đủ ngắn Có hai cơ chế gây nên hiện tượng này Thứ nhất, với công suất bơm vào cố định thì công suất bơm bị hấp thụ giảm và phần dương trong công thức hệ số khuếch đại giảm Thứ hai, tín hiệu GSA giảm và độ

mất mát trong buồng cộng hưởng hầu như bằng ọ Kết hợp lại sự mất mát duy trì ở

một giá trị hữu hạn trong khi sự khuếch đại giảm dẫn đến công suất bơm ngưỡng tăng

1.2.2 Công suất laser ra và hiệu suất chuyển đổi

Tại thời điểm trên ngưỡng, cường độ tín hiệu tổng cộng đi trong sợi sẽ làm

thay đổi hệ số khuếch đại từ giá trị g 0 ứng với tín hiệu nhỏ thành giá trị g sao cho sự

khuếch đại vẫn bằng độ mất mát trong buồng cộng hưởng [5]:

) (

Sự phân bố của công suất bơm p(z) và hệ số khuếch đại g(z) khi tín hiệu lớn

được biểu diễn như sau:

a

e n

p p p

p

A z

p dz

dp

0

0( ) ( )]

1)[

,(

2)1()

a

s e

e n

e s s

e s

z s r As

z s r As z

r K z s r As z

s dz

dg

0 0

0

)()()1(1

)()(1

)[

,()()()

()1(2

(1.29b)

với các thông số bão hoà õ và õ’ định nghĩa theo phương trình (1.6), số hạng bão hoà tín hiệu õ e biểu diễn tỷ số của cường độ tín hiệu trên cường độ tín hiệu bão hoà được cho qua biểu thức:

A

P h s

s

e e

) 0 (

và số hạng K n (r,z) được định nghĩa:

) , ( 1

1 1

) , (

z r C z

r K

n

)) , ( 1 (

1 1

z r

trong đó:

) ( ) ( ) 1 ( 1

) ( ) ( )

, (

0 r s z s

r r z Ap z

r C

s e

n

Chúng ta thấy các phương trình (1.29) có dạng gần giống trong trường hợp tín hiệu nhỏ (phương trình (1.7) và (1.11)) nhưng điểm khác biệt của các phương trình này là có sự xuất hiện của số hạng bão hoà tín hiệu Tại chế độ bơm trên

ngưỡng, khi hệ số truyền qua của coulper T1 để cho ánh sáng laser ra là thấp thì

P s (z) gần như độc lập với z Giả thuyết này là hoàn toàn có cơ sở Người ta đã tính toán chi tiết khi hệ số truyền qua T1 không vượt quá 60% thì công suất tín hiệu

không thay đổi quá 10% trên toàn sợi Như vậy nếu giả thiết T1 đủ nhỏ thì ta coi

P z (z) không đổi, õ e là hằng số và do đó s ≈ 1 trong các số hạng bão hoà của phương

trình (1.29) Khi đó công suất laser ra sẽ thu được từ việc giải phương trình (1.29)

và từ việc giải P z(0) sao cho thoả mãn phương trình (1.28) Công suất laser ra liên

hệ với P z(0) qua biểu thức:

) 0 (

( 1

) / ( ) 1

( ) / )(

( ' 1 ) (

p n e s p

n

p n e s p p

n p

p

F R

z p

F R

z p z

p dz

dp

(1.34)

) / ( ) 1 ( ) / )(

( 1

) / )(

(

0 s e

s s

n

s n s

s e

S F

z p

F z p dz

dg

Trong đó các tích phân R n , F n , ỗ p đã được định nghĩa ở trên Tích phân S0

được định nghĩa như sau:

a

dr r r s A S

0

2 0

Lời giải của phương trình (1.34) và (1.35) cũng cho kết quả tương tự như trong trường hợp đối với tín hiệu nhỏ trong phương trình (1.14a) Tuy nhiên dạng của nó có thể qui về một cách đơn giản hơn khi không có mặt ESA và bước sóng

bơm và tín hiệu là khá gần nhau tức là R n /ỗ p ≈ F n /ỗ s và F n /ỗ p ≈ S0/ỗ s Hệ số khuếch

đại g(l) cho tín hiệu lớn có thể diễn tả như sau:

p

n abs

p

e s s

s p n s e

F A

P h

l F

l

) 1 ( )

/ )(

1 ( 1

1 )

Biểu thức này cho ta thấy một cách định tính hệ số khuếch đại trong trường hợp tín hiệu lớn bằng hệ số khuếch đại trong trường hợp tín hiệu nhỏ chia cho số

hạng [1 + õ e (1 + ó s )F n /ỗ p ] Số hạng này bắt nguồn từ hệ thức (1 + I/I s.sat ) với I =

P s (0)/A eff và I s.sat = hớ s /(ụ2(ú e + ú a))

Sử dụng điều kiện “khuếch đại = mất mát” tại thời điểm ngưỡng ( P s(0) = 0)

và trên ngưỡng (P s (0) ≠ 0) ta thu được biểu thức cho P s (0) và P out Công suất laser

ra P out có dạng:

th abs s

h

h T

(1.38)

Biểu thức cho thấy công suất laser ra tăng một cách tuyến tính theo công suất

bơm hấp thụ Hiệu suất chuyển đổi s là sự tỷ lệ giữa công suất bơm hấp thụ và công

suất laser ra:

p s

th abs

out

h

h T P P

P

Hiệu suất chuyển đổi của laser sợi tỷ lệ với T1/ọ Nếu như coupler tại đầu ra của laser được chọn sao cho ln(1 – T1) >> ọ0, thì T1/ọ ≈ T1(-ln(1 – T1)) sẽ tiến tới 1

khi T1 tiến tới 0 Như vậy hiệu suất chuyển đổi của laser sợi không thể vượt quá giới

hạn lượng tử hớ s /hớ p (bằng tỷ số năng lượng photon tín hiệu trên photon bơm)

Hiệu suất này phụ thuộc vào tất cả các yếu tố gây mất mát như mất mát do

ghép nối tại coupler ở đầu ra, do GSA và do sợi quang ọ0 Do vậy để nâng cao hiệu suất người ta thường dùng loại sợi đơn mốt có suy hao thấp tại bước sóng tín hiệu,

chiều dài đủ ngắn để giảm ọ0 nhưng hấp thụ tốt tại bước sóng bơm Ngoài ra, công suất laser ra cũng phụ thuộc đáng kể vào chiều dài sợi

Chúng ta áp dụng các tính toán trên cho laser sợi pha tạp Er Laser được bơm tại bước sóng 980nm và phát tại 1550nm Các thông số vẫn được lấy theo bảng 1,

giá trị ọ0 = T1 = 0.1

Hình 1.6 cho thấy sự phụ thuộc của công suất bức xạ laser vào công suất bơm hấp thụ Như theo tính toán, công suất laser ra này sẽ tăng một cách tuyến tính khi công suất hấp thụ tăng Sự tăng tuyến tính bắt đầu xảy ra khi ở trên vị trí ngưỡng một chút Qua đồ thị khi chiều dài sợi tăng thì công suất bơm hấp thụ tăng (gần như tuyến tính) nhưng hiệu suất chuyển đổi về bản chất vẫn không thay đổi

Hình 1.6 Sự phụ thuộc của công suất bứcxạ laser vào công suất bơm hấp thụ

Sự phụ thuộc của công suất bức xạ laser vào công suất bơm hấp thụ là chưa thực sự đầy đủ và dễ gây nhầm lẫn Ví dụ có thể suy luận từ hình 1.6 rằng sợi càng ngắn thì công suất laser ra càng cao Điều này không đúng do công suất bơm bị hấp thụ phụ thuộc mạnh vào độ dài sợi, sự phụ thuộc này không biểu diễn trên hình 16 Cách biểu diễn đầy đủ hơn là sự phụ thuộc của công suất bức xạ laser vào công suất bơm vào Hiệu suất chuyển đổi lúc này phụ thuộc rất nhiều vào chiều dài sợi Khi sợi ngắn, sự hấp thụ nguồn bơm là rất kém dẫn tới công suất laser ra thấp Khi độ dài sợi tăng lên, hiệu suất chuyển đổi tăng lên và sẽ tồn tại một giá trị tối ưu của độ dài sợi để công suất laser ra đạt cực đại Trên hình 1.7 nếu công suất bơm vào là 50mW thì độ dài tối ưu của sợi vào khoảng 7-8m

Hình 1.7 Sự phụ thuộc của công suất bức xạ laser vào công suất bơm vào cho

laser sợi pha tạp Er

1.3 Hiệu ứng nồng độ cao

Như chúng ta đã tìm hiểu ở phần trên, để nâng cao hiệu suất của laser sợi cần thiết phải giảm độ dài của sợi quang và tăng nồng độ chất pha tạp Khi tăng nồng độ pha tạp Er trong thuỷ tinh, người ta thấy xuất hiện nhiều hiệu ứng không mong muốn gây bất lợi cho khuếch đại Hiệu ứng này cũng có thể xảy ra với các sợi dài

có các ion Er bị giam giữ tại vùng giữa lõi sợi Các thành phần của thuỷ tinh nền có vai trò rất quan trọng trong việc xác định bản chất của các tương tác giữa các ion Er với nhau Hiệu ứng tương tác này đóng vai trò quyết định trong việc phát triển độ dài ống dẫn sóng xuống còn vài cm

Khi nồng độ các ion đất hiếm trở nên đủ cao thì các ion không còn được coi

là độc lập với nhau nữa mà chúng sẽ tương tác với nhau, tạo nên hiện tượng tụ đám

ở kich thước nhỏ cỡ nano mét Một hệ quả quan trọng của tương tác này là sự truyền năng lượng giữa các ion [17]

Sự truyền năng lượng bức xạ là quá trình trong đó một ion phát ra một photon và photon này lại bị hấp thụ bởi một ion khác Quá trình này làm thay đổi phổ phát xạ và gây ra sự mất mát phát xạ Tuy nhiên, trong đa số các trường hợ p,

không có sự truyền năng lượng đáng kể nào Quá trình quan trọng hơn lại là sự truyền năng lượng khích thích giữa các ion nằm gần nhau mà không có trao đổi các photon thực Năng lượng kích thích của một ion có thể truyền sang ion khác cùng ở trạng thái cơ bản là kết quả của “sự truyền năng lượng cộng hưởng” khi chúng ở gần nhau Sự truyền năng lượng có thể xuất hiện gián tiếp giữa hai ion có năng lượng kích thích khác nhau dưới sự có mặt của phonon Điều này có thể làm giảm

sự khuếch đại khi mức trên của chuyển dời khuếch đại bị rút bỏ do sự truyền năng lượng

Sự “chuyển đổi ngược” (upconversion) là hiện tượng bằng một cách nào đó ion ở trạng thái kích thích có thể nhận năng lượng để nhảy lên mức năng lượng cao hơn Có rất nhiều cơ chế hình thành sự chuyển đổi ngược

Sự truyền năng lượng cộng hưởng được chỉ ra trên hình 1.8a Hình 1.8b là sự truyền năng lượng của hai ion trong trạng thái kích thích, kết quả là một ion được đẩy lên mức năng lượng cao hơn Đây được gọi là “sự chuyển đổi ngược bậc thang” Quá trình “ đồng chuyển đổi ngược” là quá trình tinh vi hơn khi xét hai hoặc nhiều ion liên kết khá gần nhau hoạt động như một đơn phân tử

Hình 1.8c là quá trình đồng phát quang Quá trình đồng phát quang là quá trình hấp thụ hoặc bức xạ photon bởi hai ion tác động cùng một lúc Trên hình 1.13c hai ion liên kết ở cùng một trạng thái kích thích và phân rã cùng một lúc xuống mức

cơ bản tạo ra một photon có năng lượng băng hai lần năng lượng của một ion trong mức kích thích

Trong trường hợp của Er3+ cơ chế chuyển đổi ngược như trong hình 1.8b thường xảy ra trong đó trạng thái kích thích là 4

I13/2 với thời gian sống cỡ 10 ms khá lớn để diễn ra quá trình tương tác Trong quá trình chuyển đổi ngược, một ion bị khử hoạt tính quay về trạng thái cơ bản nên làm giảm độ tích luỹ của mức 4

I13/2 Chính vì thế nó làm giảm thời gian sống tổng cộng của trạng thái này

Hình 1.9 mô tả quá trình chuyển đổi ngược trong trường hợp cụ thể khi có mặt của ESA Với nguồn bơm 980nm, các ion Er tại mức cơ bản 4

I15/2 sau khi hấp thụ ánh sáng bơm nhảy lên mức kích thích 4

I11/2 Do sự xuất hiện của ESA, các ion tại mức kích thích có thể hấp thụ tiếp photon bơm và nhảy lên trạng thái cao hơn

Hình 1.8 Các cơ chế truyền năng lượng ion-ion

a) Sự truyền năng lượng cộng hưởng b) Sự chuyển đổi ngược bậc thang c) Sự đồng phát quang

có bước sóng cỡ 540 nm [7] Các quy trình trên được minh hoạ trên hình 1.9 dựa trên sơ đồ cấu trúc mức năng lượng của Er

Khi công suất bơm càng cao thì ngoài phần công suất đủ để tạo nghịch đảo

độ tích luỹ, phần công suất bơm dư thừa sẽ càng làm tăng hiệu ứng ESA và ánh sáng xanh được quan sát thấy có cường độ khá mạnh Trong phần thực nghiệm chúng tôi cũng đã quan sát thấy màu xanh phát ra từ sợi quang pha tạp Er nồng độ cao khi được bơm rất mạnh

Thêm vào đó còn có ảnh hưởng của sự dập tắt do nồng độ Sự dập tắt do nồng độ làm giảm hiệu suất lượng tử của ion Nồ ng độ các ion tăng làm tăng quá trình không bức xạ Sự dập tắt bởi nồng độ thường thể hiện qua sự giảm thời gian sống của trạng thái kích thích nhưng không phải lúc nào cũng quan sát thấy Khi các ion đất hiếm được đưa vào trong mạng thuỷ tinh, các ion này nằm tại các vị trí ở giữa được bao quanh bởi các ion oxy Do các ion đất hiếm đòi hỏi số phối trí lớn,

mà cấu trúc nền SiO2 không có đủ lượng oxy cầu nối cần thiết cho toạ độ của ion đất hiếm riêng biệt trong nền silica nên để cân bằng điện tích, các ion oxy này có thể tạo điều kiện cho việc các ion đất hiếm dịch lại gần chúng và dẫn đến sự tập hợp

thành đám của các oxit đất hiếm Ảnh hưởng do sự kết tập thành đám này có thể dẫn tới hiện tượng đồng phát quang thậm chí ngay cả khi nồng độ pha tạp thấp

Để tăng mật độ các ion đất hiếm nhưng lại hạn chế được sự tạo đám của chúng, người ta tìm cách hoà tan các ion đất hiếm Chẳng hạn để tăng độ hoà tan của ion đất hiếm có thể đồng pha tạp Al2O3 vào SiO2

(2.1)

Trong đó L là độ dài buồng cộng hưởng trong trường hợp buồng cộng hưởng

cấu tạo bởi hai gương Với laser sợi do buồng cộng hưởng dạng vòng không có quá

trình phản hồi trở lại nên độ dài buồng cộng hưởng lấy bằng 2L Áp dụng biểu thức liên hệ ở = c/ớ, ta tính được khoảng cách giữa hai tần số liên tiếp:

L

c

Hình 2.1 Quá trình hình thành các tần số dao động của laser

Tổng cộng ánh sáng laser ra có thể coi là một hàm theo thời gian phụ thuộc vào biên độ, tần số và mối quan hệ về pha giữa các mode dao động Nếu như không

có một mối liên hệ nào giữa các thông số trên thì những thay đổi ngẫu nhiên và các hiện tượng quang phi tuyến xảy ra bên trong môi trường hoạt chất sẽ làm cho các mode biến đổi theo thời gian và không thể kiểm soát được laser ra Nếu bằng một cách nào đó chúng ta duy trì các mode dao động này tại các tần số cách đều nhau và tạo cho chúng một mối quan hệ về pha xác định thì laser ra sẽ là một hàm biến đổi theo thời gian và hoàn toàn kiểm soát được Laser như vậy được gọi là khoá mode (mode-locked) hay khoá pha (phase-locked) [6] Dạng của laser ra sẽ phụ thuộc vào chính các mode dao động và mối quan hệ về pha giữa chúng Laser ra có thể là laser biến điệu về tần số, phát xung hoặc liên tục (ví dụ trên hình 2.2)

Hình 2.2 Sự phụ thuộc cường độ của laser vào mối quan hệ về pha giữa các mode

(a) một mode, (b) hai mode đồng pha, (c) tám mode với các pha ngẫu nhiên, (d) tám

mode đồng pha

Để nhìn nhận một cách đơn giản, chúng ta giả sử có m mode dao dộng dạng hình sin với tần số góc ự i Các dao động này có cùng biên độ E và đồng pha tại thời điểm t = 0 (E i = Esinự i t)

Giả thiết các tần số góc thoả mãn điều kiện:

k i k

trong đó k nguyên và Äự là một khoảng tần số cố định

Tại t = 0, biên độ dao động tổng hợp E T = mE và tất cả các vectơ biểu diễn các dao động thành phần sẽ nằm dọc theo trục x của giản đồ Fresnel (hình 2.3a) Sau một khoảng thời gian Ät nào đó các vectơ biểu diễn sẽ quay các góc ự i Ät tương

ứng và độ lệch pha giữa hai mode liền nhau là:

Như ta thấy trên hình 2.3c, khi ố = 2ð/m thì biên độ tổng cộng E T bịtriệt tiêu

Điều này xảy ra khi Ät = Äụ, trong đó:

m

Số lượng mode m càng lớn thì thời gian mà biên độ tổng hợp từ giá trị cực đại trở về không Äụ càng nhỏ

Hình 2.3 Giản đồ Fresnel cho m mode

Tại mỗi thời điểm ố = 2kð thì E T đạt giá trị cực đại E T = mE tại thời điểm T =

2kð/Äự (hình 2.3d) Tóm lại, với số mode dao động m lớn và khoảng cách về tần số

Äự cố định thì biên độ tổng cộng sẽ đạt giá trị cực đại với chu kỳ T và giảm rất nhanh về không tại thời điểm kT + Äụ Chúng ta có thể thấy rất rõ quy luật về pha

do sự giao thoa giữa các mode Do Äự = 2ðc/2L nên T = 2L/c

t = 0

ố = 0 ự1 ự2 ựm

ự1 ự2 ựm

E 2E mE

Như vậy laser ra bao gồm hàng loạt các xung kế tiếp nhau Độ rộng của mỗi xung sẽ tỷ lệ nghịch với số lượng mode góp phần vào các dao động của laser

2.2 Nguyên lý hoạt động của chế độ mode-lock

Các mode có thể tự dao động tự do trong vùng đa mode của laser mà tại đó

sự khuếch đại lớn hơn độ mất mát trong buồng cộng hưởng Số lượng các mode N

này có thể thay đổi từ một vài đến 104 Dưới các điều kiện như vậy thì cường độ tự

phát là thất thường với độ rộng phổ trung bình Äụ ≈ 1/Äớ L, vào cỡ nghịch đảo của

độ rộng đường cong khuếch đại Số lượng mode càng lớn thì giá trị Äụ càng nhỏ

Nếu các mode có hiệu số pha không đổi thì laser ra sẽ gồm một loạt các xung đơn

nối tiếp nhau, mỗi xung kéo dài Äụ và lặp lại sau khoảng thời gian T = 2L/c Dưới

điều kiện như vậy thì laser được gọi là hoạt động trong chế độ mode-lock [15]

Sự khác nhau căn bản về bản chất giữa chế độ lock và không lock là sự xuất hiện của số hạng thăng giáng (số hạng phách) do sự chênh lệch tần

mode-số giữa các mode Những mode-số hạng này gây ra sự dao động nhỏ trong trường hợp pha

là ngẫu nhiên nhưng lại hoàn toàn xác định theo thời gian khi trong trường hợp pha

)]

(cos[

2 2 2

2

1 1 1 1

t t E

e

t t E

e

(2.6) Trong cả hai trường hợp mode lock và chưa mode lock thì chế độ hoạt động

của laser sẽ phụ thuộc vào mối quan hệ giữa yếu tố pha ban đầu ử1(t) và ử2(t)

Khi đặt đầu thu tại lối ra, chúng ta sẽ thu được cường độ I của trường laser

bằng tổng bình phương của hai biên độ:

)]

(cos[

)]

(cos[

2

)]

([

cos)]

([

cos)

(

2 2 1

1 2

1

2 2 2 2 2 1

1 2 2 1 2 2 1

t t t

t E

E

t t E

t t E

e e I

(2.7)

Tuy nhiên do thời gian đáp ứng ụ D (độ nhạy) của hầu hết các detector đều lớn hơn nhiều chu kỳ dao động quang (~10-14s) Do đó, đầu thu sẽ hiển thị giá trị trung

bình I của cường độ I trong khoảng thời gian ụ D [3] Đó cũng chính là cường độ chúng ta đo được trong quá trình thực nghiệm:

D

dt t t

t E

E E E I

2 1 2 2 2 1

)]

( ) ( ) cos[(

hai mode tại ự 1 – ự2, tức là khi chúng ta có 2ð/ự 0 ô ụ f ô ụ D < 2ð/(ự 1 -ự 2 ) trong đó ự 0

là tần số trung tâm tương ứng với hệ số khuếch đại đạt cực đại Laser trong trường hợp này sẽ hoạt động ở chế độ đa mode (2 mode) và detector sẽ thu được cường độ không đổi theo thời gian

Bây giờ chúng ta xét trường hợp hai mode vẫn dao động một cách độc lập nhưng thời gian đặc trưng lại lớn hơn thời gian thăng giáng giữa hai mode, tức là

2ð/ự 0 ô ụ D ô 2ð/(ự 1 -ự 2 ) <ụ f Detector bây giờ sẽ thu được thăng giáng có chu kỳ

2ð/(ự 1 -ự 2) và pha của thăng giáng này biến đổi một cách tuỳ ý với thời gian đặc

trưng ụ f

Tổng quát hoá trong trường hợp có N mode với N lớn thì chúng ta sẽ thu

được sự dao động mạnh về cường độ như trên hình 2.2c Có hai đặc trưng về thời

gian mô tả sự dao động này là: thời gian chậm 2ð/(ự 1 -ự 2) tương ứng với sự thăng

giáng giữa các mode và thời gian 2ð/N(ự 1 -ự 2) do sự dao động về pha như đã thấy trên hình 2.3

Tiếp theo chúng ta xét trong trường hợp các pha ử 1 (t) và ử 2 (t) liên hệ với

nhau một các chặt chẽ sao cho ử1(t) - ử2(t) = 0 Từ phương trình 2.8 cho thấy với tất

cả các trường hợp của ụf thì cường độ thu được đều có dạng sin theo thời gian với

chu kỳ 2ð/(ự 1 -ự 2) (hình 2.2b) Dạng hình sin thu được xuất phát thuần tuý từ hiện

tượng giao thoa giữa hai sóng Nếu ử 1 (t) - ử 2 (t) thay đổi dẫn đến độ chênh lệch về

pha thay đổi thì sẽ làm phá huỷ một phần hoặc hoàn toàn dạng biến đổi hình sin này

Tổng quát hoá trong trường hợp có N mode giao thoa với N lớn thì số hạng biểu diễn sự thăng giáng do hai mode sẽ thế bằng N mode Dạng hình sin của cường

độ trong trường hợp hai mode sẽ trở thành dạng biến đổi với chu kỳ rất nhanh Đây

là trường hợp trong đó N pha là không đổi so với nhau từng đôi một, tức là ử i (t) -

ử j (t) = 0 với mọi i,j Quá trình chuyển về dạng hình sin trong trường hợp hai mode

về dạng hẹp hơn rất nhiều trong trường hợp đa mode là hoàn toàn phù hợp với lý thuyết vật lý [6]

Để làm sáng tỏ hơn sự thăng giáng trong trường hợp đa mode chúng ta xét

trường hợp laser có vô hạn các mode đã bị khoá pha: ử i (t) = ử j (t) với mọi i,j Trong cách biểu diễn phức, trường điện tổng cộng E(t) được viết:

t i E t

Äự là khoảng tần số giữa hai mode kế tiếp nhau (Äự = 2ðc/2L) Để thuận tiện

cho việc tính toán, chúng ta giả sử biên độ E n có phân bố dạng Gauss:

2ln

2exp

2

0 0

n E

E o là biên độ tại tần số trung tâm ự 0 và Äự 0 là độ rộng tại vị trí một nửa cực

đại của phân bố trường tổng cộng E(t) có thể viết lại như sau:

) exp(

expi 0t E in t

Vì vậy E(t) được coi như một sóng mang có tần số ự 0 và sóng mang này bị

biến điệu bởi hàm k(t) thay đổi rất chậm theo thời gian; k(t) được định nghĩa:

) exp(

) (t E in t

k(t) được viết dưới dạng chuỗi Fourier là một hàm tuần hoàn nhận giá trị thực

với chu kỳ T = 2ð/Äự = 2L/c Vì lý do đó, cường độ laser ra cũng thay đổi tuần

hoàn:

)()(

*)(t E t k2 t E

Trong trường hợp biên độ phân bố dạng Gauss, dạng cường độ laser ra có thể tính toán một cách dễ dàng Sử dụng phép xấp xỉ chuỗi Fourier qua phép lấy tích phân và biến đổi Fourier của dạng Gauss là dạng Gauss, ta tìm được tích phân này thông qua giá trị sau:

2 ln

2 exp ) ( '

2 2

p

t t

Trong đó ụ p là thời gian tồn tại xung, tính tại vị trí một nửa xung ra tổng cộng:

2 ln 2 2

0

Tuy nhiên trong cách tính xấp xỉ ở trên thì chu kỳ của hàm k2

(t) bị biến mất

do phép biến đổi toán học Trong thực tế, detector sẽ ghi được một loạt các chuỗi

xung, mỗi xung có dạng Gauss được mô tả bởi k’2

(t) với chu kỳ T = 2L/c

Dạng phân bố Gauss được chọn để đơn giản trong quá trình tính toán Tuy nhiên dạng phân bố thực tế của biên độ chỉ làm ảnh hưởng tới hình dạng xung Một

phân bố có hình dạng khác với cùng một khoảng cách về tần số và độ rộng phổ Äự 0

như vậy thì xung ra là một chuỗi các xung không có dạng Gauss nhưng thời gian

xung xấp xỉ ụ p ~ 1/Äự0 và chu kỳ T = 2L/c Để hiểu rõ về tính tuần hoàn của các

xung laser chúng ta có thể phân tích sự phân bố không-thời gian của sóng điện từ tĩnh tồn tại bên trong buồng cộng hưởng khi laser hoạt động ở chế độ khoá pha Các

tính toán tương tự có thể áp dụng cho sự thăng giáng của N mode nhưng cần phải

xác định rõ sự phân bố không-thời gian của mỗi mode trong buồng cộng hưởng Kết quả cho thấy nếu một thăng giáng xuất hiện tại một thời điểm và vị trí xác định ở

điểm B bên trong buồng cộng hưởng thì cùng lúc các mode sẽ phá huỷ thăng giáng

tại tất cả các điểm còn lại bên trong buồng cộng hưởng (hình 2.4) Điều này là do sự

có mặt của một số lượng lớn các mode có bước sóng ở n nhưng sai khác nhau một

lượng nhỏ Nếu tất cả các sóng đều đạt giá trị cực đại về biên độ tại điểm B thì sự

thăng giáng giữa chúng hoàn toàn phá huỷ tại mọi nơi bên trong trong buồng cộng

hưởng, ngoại trừ điểm B và những điểm ở khoảng cách rất gần quanh nó

Hình 2.4 Quá trình hình thành xung trong buồng cộng hưởng vòng (a) và buồng

cộng hưởng tuyến tính tạo bởi hai gương (b)

Với số lượng mode N càng lớn thì khoảng cách này càng ngắn Vì vậy tại thời điểm t, sóng điện từ bên trong buồng cộng hưởng tập trung tại vùng không gian nhỏ có độ dài l p = cụ p Chẳng hạn một xung cỡ pico giây (ụ p = 10-12s) thì sóng tại

thời điểm t tập trung trong vùng nhỏ độ dài l p = 0.3mm Các tính toán về giao thoa cho thấy vùng nhỏ này sẽ di chuyển đi lại bên trong buồng cộng hưởng (hình 2.4) Tại mỗi một thời điểm sẽ có một phần vùng này đi ra khỏi buồng cộng hưởng và đóng góp năng lượng vào chùm laser ra Do vậy chúng ta có thể dễ dàng hiểu được

tại sao chùm laser ra lại gồm một chuỗi các xung tuần hoàn có chu kỳ T = 2L/c

được xác định bởi thời gian di chuyển của vùng sóng điện từ trong buồng cộng hưởng

Khoảng xung ụp luôn luôn nghịch đảo với độ rộng phổ Äự0 của sự phân bố biên độ của các mode Rõ ràng laser luôn tồn tại một dải bức xạ lớn nhất để có thể phát những xung ngắn Hệ số tỷ lệ 2 2ln2/ liên hệ giữa ụ p và 1/Äự0 phụ thuộc