Thiết kế tạo bộ điều khiển PID điều khiển mạch điện

công cụ toán học đó, việc phân tích các đặc tính động học của các khâu điều khiển được tiến hành, cho phép phân tích được khả năng điều khiển cũng như tính ổn định của hệ thống, trên cơ

Đoàn Hữu Chức

THIẾT KẾ CHẾ TẠO BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

ĐIỀU KHIỂN MẠCH ĐIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hà Nội - 2007

Chương 1 Phân t ích thiết kế hệ thống điều khiển tự dộng 7

1.4.1 Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz 27

2.1 Bộ điều khiển PID liên tục 39 2.1.1 Sử dụng mô hình bậc nhất có trễ của đối tượng 40

2.2.2 Xác định tham số cho PID số bằng thực nghiệm 54

Bảng chữ viết tắt

PID Proportional - Integral - Derivative Tỷ lệ - tích phân - vi phân

CHƯƠNG 1 PHÂN TÍCH THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Hệ thống điều khiển tự động là hệ thống được xây dựng từ ba bộ phận chủ yếu:

- Thiết bị điều khiển C (Controller)

- Đối tượng điều khiển O (Object)

- Thiết bị đo lường M (Measuring device)

Đây là một hệ thống có phản hồi, còn gọi là hệ thống điều khiển vòng kín (closed-loop contrrol) Sơ đồ khối của hệ thống như ở hình 1.1 dưới đây:

Đây là một sơ đồ khối đơn giản và tổng quát nhất Các tín hiệu tác động trong

công cụ toán học đó, việc phân tích các đặc tính động học của các khâu điều khiển được tiến hành, cho phép phân tích được khả năng điều khiển cũng như tính ổn định của hệ thống, trên cơ sở đó cho phép có được các kết quả thiết kế tối ưu

Dưới đây là tổng quan những vấn đề vừa được nêu trên [5]

1.1 Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace rất quan trọng khi phân tích hay thiết kế một hệ thống điều khiển mà ở đó các tín hiệu x(t) thường gặp là tín hiệu nhân quả (nghĩa là x(t) =

0 khi t < 0) Dưới đây là những đặc điểm quan trọng nhất của phép biến đổi này

1.1.1 Phép biến đổi Laplace thuận

Nếu một tín hiệu x(t) thoả mãn các điều kiện:

- x(t) = 0 với t < 0,

- x t e t dt

0

)(  <  với một  dương đủ lớn,

- x(t) trong khoảng hữu hạn bất kỳ liên tục từng khúc,

- Tại điểm không liên tục t 0 thoả mãn x(t0) = [ x(t0 - 0) + x(t0 + 0)]/2,

- x(t) trong khoảng hữu hạn bất kỳ chỉ có hữu hạn các điểm cực trị ,

thì tồn tại một cặp biến đổi sau:

1

trong đó s = c+j và c> Giá trị  được gọi là bán kính hội tụ của tích phân

Hàm phức X(s) tính như trên được gọi là ảnh Laplace của tín hiệu gốc x(t)

Phép biến đổi Laplace có những tính chất quan trọng như sau:

Tính chất đơn ánh: Phép biến đổi Laplace là ánh xạ một - một, tức là nếu

x(t)  y(t) thì ta cũng có X(s)  Y(s)

Tính chất tuyến tính: Phép biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính Nếu x(t)

có ảnh là X(s) và y(t) có ảnh là Y(s) thì tổng tuyến tính của z(t) = x(t) + y(t) sẽ có ảnh là:

Ảnh của vi phân: Nếu X(s) là ảnh của x(t) thì

vi phân y(t) = dx(t)/dt sẽ có ảnh là: Y(s) = sX(s) (1.9)

Đạo hàm của ảnh: Nếu X(s) là ảnh của tín hiệu nhân quả x(t) và Y(s) là ảnh

của tín hiệu nhân quả y(t) = tnx(t) thì:

n

n n

ds

s X d s

0

)(lim)(lim





s t

s sX t

trong đó X(s) là ảnh Laplace của x(t)

Định lý về giới hạn thứ hai: Nếu tồn tại giới hạn

)(lim)(lim)0(

trong đó X(s) là ảnh Laplace của x(t)

Các tính chất về phép dịch trục cùng hai tính chất được phát biểu dưới dạng định lý giới hạn có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong việc xác định giá trị tín hiệu nhân quả x(t) trực tiếp từ ảnh Laplace X(s) của nó mà không cần thực hiện biến đổi ngược Tất nhiên để thực hiện được điều kiện là phải tồn tại giới hạn





t t

x )(lim hay

x Xét một số ví dụ về biến đổi Laplace

Ví dụ 1 Nếu tín hiệu x(t) được biểu diễn x(t) = k với t0 thì nó có ảnh Laplace là:

s

k dt e k s

0

)(

Ví dụ 2 Áp dụng tính chất phép nén của biến đổi Laplace và ví dụ 1 ta có ảnh của tín hiệu x(t) = e-  t1(t) sẽ có ảnh Laplace của nó như sau:

X( )

Ví dụ 3 Nếu tín hiệu tăng dần đều x(t) = t1(t) thì ảnh Laplace của nó là:

2 0

0 0

1)

(

s

dt s

e s

te dt te s

X

st st

Ví dụ 4 Từ ví dụ 2 ta có ảnh Laplace của tín hiệu x(t) = k(1 – e-t/T) như sau:

)1()(



T s

k s

!)

X



Ví dụ 6 Xét hai tín hiệu nhân quả:

x(t) = e-jat = cosat – jsinat

y(t) = ejat = cosat + jsinat

Theo kết quả của ví dụ 2 ảnh Laplace của hai tín hiệu này là

)

1)(

ja s s X



)

1)(

ja s s Y





Từ đó ta có:

2 2

} {cos

a s

s at

L



a s

a at

L





1.1.2 Phép biến đổi Laplace ngƣợc

Việc biến đổi Laplace ngược là việc tìm tín hiệu x(t) nào đó từ ảnh Laplace X(s) của tín hiệu đó Hiển nhiên có thể được thực hiện từ định nghĩa của phép biến đổi này trực tiếp từ biểu thức (1.2) Trong thực tế, với các lớp tín hiệu x(t) có dạng ảnh Laplace đặc biệt, hai phương pháp đơn giản thường được dùng là [2]:

1.1.2.1 Biến đổi ngược hàm hữu tỷ

Nếu đó X(s) có dạng hàm hữu tỷ:

n n

m m

s a s

a a

s b s

b b s A

s B s X

)()(

1 0

)(

)(

r

ki l

C s

B a

s

A A

s

Trong đó A, Aki, Bk, Ck là các hằng số, ak là điểm cực thực bội, rk, k +jk là điểm cực phức của X(s), nói cách khác chúng là nghiệm của A(s)=0 Sau đó xác định hàm gốc của các hàm phân thức tối giản nay

Ví dụ 7 Cho tín hiệu có ảnh Laplace biểu diễn như sau:

)1(

1)

s s s X





Sử dụng phương pháp trên để tìm x(t)

Phân tích X(s) thành tổng các phân thức tối giản thu được:

2

111

1)(

s s s s

để xác định ngược tín hiệu x(t) từ ảnh Laplace X(s) của nó, nếu như X(s) là hàm giải tích trừ một vài các điểm cực rời nhau và hữu hạn, tức là không có điểm cực tại s=  hay limX(s) <  khi s Những hàm có tính chất này được gọi chung

là hàm meromorph Bắt đầu từ biểu thức định nghĩa về biến đổi Laplace ngược (1.2)



et j

c j c

j ds e s X

1)

(2

1



Trong đó C là một đường cong khép kín chứa đường thẳng c + j với  chạy từ

- đến + và  là bán kính hội của tích phân (hình 1.2) Chiều của C là chiều được chọn để phù hợp với chiều của  từ - đến +

Hình 1.2 Mô tả phương pháp residuence

Ký hiệu miền được bao bởi C theo chiều dương là D, tức là miền sẽ luôn nằm phía trái khi ta đi dọc theo C và gọi s1, s2, ,sm là các điểm cực của X(s) Do c > 

nên tất cả m điểm cực này phải nằm trong D Mặt khác vì tích phân theo đường cong khép kín của một hàm có giải tích trong miền được bao bởi đường cong lấy tích phân đó luôn có giá trị bằng 0 Do đó công thức (1.14) được thay bằng công thức sau:

et m

k

ds e s X j

t

2

1)(

1

Trong đó Ck, k = 1, 1, ,m là những đường cong khép kín bao quanh riêng một điểm cực sk theo chiều dương (sk luôn nằm bên trái khi ta đi dọc theo Ck theo chiều đó) Như vậy, đường cong C trong biểu thức (1.13) nay đã được thay bởi nhiều đường cong Ck, k =1, 2, , m trong biểu thức (1.14)

Nếu ký hiệu tiếp:

ds e s X j s X

2

1)(

là giá trị thặng dư (residuence) của X(s)est

tại sk, k = 1, 2, , m thì biểu thức (1.15) trở thành:

st m

k

e s sX t

Ví dụ 8 Tính giá trị thặng dư của Ak/(s - sk)

Do hàm này chỉ có một điểm cực là sk nên ta

k

s s

A j

s s

Trong đó C là đường tròn bán kính  > 0 bao

quanh s k theo chiều dương như hình 1.3 Như vậy

dọc theo C biến s sẽ có phương trình:

j j

k k

k k

A d A e

d e

A j s

2 0 )

1)(2

1Re

1.2 Phép biến đổi Z

Khi tín hiệu điều khiển có dạng xung hay rời rạc ta sử dụng phép đổi Z Phép biến đổi Z được sử dụng để phân tích hay thiết kế hệ thống điều khiển số Dưới đây trình bày tóm tắt về biến đổi Z

1.2.1 Tín hiệu xung

Cho một tín hiệu x(t) liên tục (hàm thời gian x(t) liên tục từng đoạn) Nếu x(t) liên tục tại Ta thì giá trị x(Ta) của tín hiệu x(t) tại thời điểm Ta được xác định theo công thức trích mẫu như sau:

trong đó tích vế trái theo tích chất của hàm (t) ta có:

dt t x T t T

t t

)()()(

)()(

)(}

k

a k

Hàm s(t) được gọi là hàm lấy mẫu, hay hàm răng lược

Hình dạng răng lược của hàm s(t) là cho {xk} có dạng gần giống một chiếc lược với các răng lược không đều nhau Độ cao của từng chiếc răng biểu diễn giá trị của x(t) tại thời điểm có chiếc răng lược đó Do {xk} có dạng là dãy các răng lược hình xung dirac như vậy mà người ta gọi {xk} là tín hiệu xung

Công thức (1.18) biểu diễn tín hiệu xung {xk} thông qua hàm dirac là một cầu nối giữa tín hiệu liên tục và tín hiệu xung Nó có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, giúp cho việc nghiên cứu tín hiệu xung có thể được tiến hành hoàn toàn giống như một tín hiệu liên tục Ngược lại các kết quả thu được từ việc khảo sát tín hiệu liên tục cũng thông qua (1.18) mà chuyển được cho tín hiệu xung

()

()()

(

k

skT k k

st a k

k

st a k

e x dt

e T t x dt

e T t x dt

e t s t x s

Nếu kí hiệu z = esTa

công thức trên sẽ trở thành:

)()

(

0

*

z X z

x s

 0 lim nếu như tồn tại giới hạn này

Hình 1.4 Hàm lấy mẫu (a) và minh hoạ việc lấy mẫu tín hiệu (b)

Toán tử Z: {xk}X(z) có những tính chất sau:

Tính đơn ánh: Nếu {xk}  {yk} thì cũng có X(z)  Y(z), trong đó X(z) là ảnh Z

của {xk} và Y(z) là ảnh Z của {yk}

Tính tuyến tính: Nếu {xk} có ảnh là X(z) và {yk } có ảnh Y(z) thì tín hiệu xung

{zk} với zk = axk +byk sẽ có ảnh Z(z) = aX(z) + bY(z)

Phép dịch trái: Nếu X(z) là ảnh của {xk} ảnh Y(z) của {yk} với yk = xk-m sẽ là

i i m

z x z

X z z Y

0

)()

Định lý tỷ lệ: Nếu X(z) là ảnh của {xk} thì tín hiệu xung {yk} với yk = xk/kTa,





d X T z Y

z a

( X z z

z z Y



Ảnh của tích: Nếu X(z) là ảnh của {xk} thì tín hiệu xung {yk} với yk = kTaxk sẽ

có ảnh:

z dX zT z

Định lý về giới hạn thứ nhất: Nếu X(z) là ảnh của {xk} thì:

)(lim

1 z X z

x

z k





Để tường minh hơn về toán tử Z ta sẽ xét một vài ví dụ cơ bản nhất dưới đây

Ví dụ 9 Tín hiệu xung thu được từ việc lấy mẫu tín hiệu bậc thang 1(t) là {xk

1)

(

k

n k

z z

z z

1)

(

k

n k

z z

z z

z z z

a a

T T

z T

z k

T k

e z z e

e z X z

z Z

e x

}

1

{

).(

)1(}

{1

}

{

1

z dz

d zT kT

Z z

z Z

kT

kT

a a

a

a a

Có ba phương pháp chính để tìm ngược {xk} từ X(z):

- Phương pháp residuence

- Phương pháp biến đổi ngược hàm hữu tỷ

- Phương pháp phân tích X(z) thành chuỗi

1.2.3.1 Phương pháp thặng dư (residuence)

Tương tự như toán tử Laplace, từ X(z) ta cũng tính ngược ra được {xk} theo

,

1,0,)

(2

(2

k q

z

dz z z X j z

z X s

là giá trị thặng dư tại điểm zi, i = 1,2, ,q thì ta có:

1

1 1

lim)!

1(

1)

i

l i k

l z z i

k

z z z z X d l

z z X

với li là bậc của điểm cực zi Thay (1.22), (1.23) vào (1.21) ta đi đến:

1

1 1

1

1 1

])(

)([lim

)!

1(

1)

i

l i k

l z z i

q i

k z

z z X s

Như vậy phương pháp thặng dư bao gồm các bước:

- Xác định tất cả các điểm cực zi của X(z)zk-1 cũng như bậc li của chúng

- Tìm giá trị thặng dư của X(z)zk-1tại các điểm cực đó theo (1.23)

- Tính xk theo (1.24)

Ví dụ 12 Hãy tìm {xk} có ảnh Z như sau:

a a z z

a z z

)1()

Do X(z) có hai điểm cực là z1 = 1, z2 = a có bậc bằng 1 (chúng là nghiệm đơn của phương trình z2 - z(1+a)+a=0) nên

1)1(lim)

1(

)1)(

1(lim)1()(lim)

(

Re

1 2

1 1

1 1

a z a

a z z

z a z z

z z X z

z k

z k z

và

a a

z

a z a

a z z

a z a z a

z z z X z

a z k

a z k

1(

))(

1(lim)()(lim)

(

2

Bởi vậy xk = 1 - ak, với k  0

1.2.3.2 Phương pháp phân tích chuỗi

Cơ sở của phương pháp này là công thức định nghĩa của biến đổi Z (1.19) và tính chất dơn ánh của toán tử này Nếu X(z) đã cho phân tích được thành chuỗi theo

Do đó x0 = 0, x1 = 1, x2 = 1.6,

1.2.3.3 Phương pháp biến đổi hàm hữu tỷ

Dựa vào tính tuyến tính của toán tử Z ta có thể xác định {xk} từ ảnh Z của nó là X(z) bằng cách phân tích X(z) thành tổng tuyến tính của những thành phần cơ bản, được quen biết đến như là ảnh của các tín hiệu xung quen thuộc Khi đó thì {xk} chính là tổng tuyến tính của các tín hiệu xung quen thuộc đó

Để minh hoạ cho phương pháp này ta xét X(z) có dạng hàm hữu tỷ:

~ 1 0

1 0

)(

z X

n n

m m

z a z

a a

z b z

b b z z X



 q

i i l n

1

và X(z) sẽ phân tích được thành tổng tuyến tính:

j

j i ii q

i l

j

j i

i

z z

z A z

z

A z

z X

1 1

1 1( ) ( ))

Ký hiệu {xjj

k} là tín hiệu xung có ảnh :

j i ij

z z

z z

X

)()(

i

x

1 1

Vấn đề còn lại là xác định {xij

k} có ảnh Xij(z) cho trong (1.26)

1) Khi j=1: Theo kết quả của ví dụ 14, trong đó e-Ta

nay được thay bởi zi ta có:

k i i

i

z z z Z

}{

1 1

(1.28)

2) Khi j>1: Vì j

i ij

z z

z z

X

)()(



 có một điểm cực zi bội j nên theo (1.23) được

1 1 1

1

1 1

)!

1(

)2) (

1(lim

)!

1(

1})(

k j

z z j

k dz

z d j

z z

~

3 2

)2)(

1(

37)

(

z X

z z

z z z z X

Do X(z) có hai điểm cực là z1 = 1 bậc 1, z2 =2 bậc 3 nên ở đây q =2, l1 =1và

l2=3 Phân tích tích mẫu thành tổng tuyến tính các phân thức tối giản được:

))2(

7)

2(

42

31

3(

z z

*3

1

1 1 1

i k

i

1.3 Đặc tính động học các khâu trong hệ thống điều khiển tự động

Một hệ thống điều khiển gồm có các phần tử nối với nhau theo các phương pháp chung như nối tiếp, song song và kiểu hồi tiếp Tính chất của quá trình quá độ toàn

hệ thống phụ thuộc tính chất động học của các phần tử hợp thành Trong hệ thống,

số lượng các phần tử có thể có nhiều và đa dạng về bản chất vật lý, nhưng số lượng các phương trình mô tả động học của các khâu tối giản là có hạn Các phần tử thực làm việc ở phạm vi tần số nhất định Còn việc mô tả động học các khâu điển hình được thực hiện cho mọi tần số, từ  = 0 đến  Một khâu điều khiển có sơ đồ tổng quát như hình 1.5 dưới đây, trong đó x(t)

là lượng vào, y(t) là lượng ra Ảnh

Laplace tương ứng là X(s) và Y(s) với

hàm truyền hệ thống là W(s)

Mỗi một khâu điều khiển có thể được

diễn tả bởi một phương trình vi phân

Dựa vào đặc điểm của phương trình vi

phân ta có thể phân các khâu động học thành ba loại: khâu bậc 1, khâu bậc 2, khâu

vi phân và khâu tích phân [1]

1.3.1 Đặc tính tần số biên pha

Đặc tính tần số là quan hệ giữa lượng ra và lượng vào của một khâu ở trạng thái xác lập khi lượng vào biến đổi theo quy luật điều hoà: x X msint

Lượng ra của khâu đó sẽ có dạng: y Y msin(t)

Nếu một khâu đơn giản được mô tả bởi phương trình vi phân bậc hai:

x b dt

dx b dt

x d b y a dt

dy a dt

y d

2 0 2 1

2 2

t j m m

t j m m

e X j t

X dt

x d

e X j t

X dt dx

e X t X

t x

2

2

)()22sin(

)2sin(

sin)

(

(1.32)

W(s) x(t)

Đối với lượng ra y(t):

2 2

) (

) (

)()22sin(

)2sin(

)sin(

)(

t j m m

t j m m

e Y j t

Y dt

y d

e Y j t

Y dt dy

e Y t

Y t y

(1.33)

Bây giờ thế các số hạng của (1.2) và (1.3) vào (1.1) ta sẽ có:

t j m t

j

y a j a j

W( ) là hàm truyền đạt tần số (hay hàm truyền đạt phức) thì ta có:

2 1

2 0

2 1

2 0

)()

(

)()

()

(

a j a j

a

b j b j

b e

x

y j

2 0

2 1

2 0

)(

)()

(

a p a p a

b p b p b p X

p Y p

e A j

Trong đó A() là biên độ của W(j) còn () là pha của W(j) Nếu như W(j) có dạng như biểu thức (1.4) thì :

2 1 2 2 0 2

2 1 2 2 0 2

)()(

)()(

)(

a

b b

b A

1 2

0 2

1

)(

a arctg b

b

b arctg







Nếu như W(j) viết dưới dạng phần thực và phần ảo thì ta có:

Trong đó: P() là phần thực của W(j) và Q() là phần ảo của W(j)

Vì A() và P() là các hàm chẵn nên đặc tính của nó là đối xứng qua trục tung còn () và Q() là hàm lẻ nên đặc tính của nó là đối xứng qua gốc toạ độ

Nếu biết đặc tính P() và Q() ta sẽ xác định được đặc tính A() và ()

Ta sẽ có:

)()()

)(

)()

1.3.2 Khâu khuếch đại

Là khâu mà ở mỗi thời điểm, lượng ra tỷ lệ với lượng vào theo phương trình:

Khi đó sử dụng biến đổi Laplace, ta đạt được hàm truyền đạt dưới đây:

k s X

s Y s

)(

)()

Đặc tính logarit pha tần số chính là trục hoành: 0

)(

)()

- /2

Hình 1.7 Đặc tính biên pha - tần số của khâu tích phân

Đặc tính biên pha – tần số của khâu vi phân cho trên hình 1.8

1.4 Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động

Nhiệm vụ đầu tiên khi phân tích hệ thống điều khiển tự động đó là xác định tính

ổn định của hệ thống Thực ra nói một hệ thống ổn định là nói một số đại lượng được điều khiển nào đó ổn định [5]

Một hệ thống được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ tắt dần theo thời gian

Hệ thống không ổn định nếu quá trình quá độ tăng dần theo thời gian

Hệ thống ở biên giới ổn định nếu quá trình quá độ không đổi hoặc dao động không tắt dần

Một hệ thống điều khiển tự động thường được biểu diễn bởi phương trình vi phân tổng quát:

x b dt

x d b dt

x d b y a dt

y d a dt

y

d

m m

m n

n

n n

1

1 1

sẽ bao gồm hai quá trình: quá trình xác lập và quá trình quá độ, đặc trưng bằng nghiệm:

)()

()

Trong đó:

- y0(t) là nghiệm riêng của (1.49) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập

- yqd(t) là nghiệm tổng quát của (1.49) không có vế phải đặc trưng cho quá trình quá độ

Dạng nghiệm tổng quát của yqd(t) là:

qd t C e i y

1 1

0 n  n   n 

a s

a s

si có thể là các nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp

Cách biểu diễn toán học định nghĩa hệ thống ổn định là:

0lim

)(lim

t s i t

qd t

i

e C t

là sự ra đời của các tiêu chuẩn ổn định ta sẽ xét dưới đây

Các tiêu chuẩn ổn định chia làm hai loại chính sau:

- Tiêu chuẩn đại số: Tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính để hệ ổn định Đó là tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

- Tiêu chuẩn ổn định tần số: Thông qua đặc tính tần số của hệ thống để xét tính

ổn định Đó là tiêu chuẩn Mikhai lôv, tiêu chuẩn Nyquist

1.4.1 Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz

Trước khi đi vào xét cụ thể tiêu chuẩn, ta làm quen với một khái niệm đó là đa thức Hurwitz

n s a s a a s

được gọi là đa thức Hurwitz nếu có tất cả các nghiệm đều nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm, khác 0)

Chú ý rằng đa thức Hurwitz có tính chất đối ngẫu Tức là đa thức (1.55) là đa thức đối ngẫu khi và chỉ khi đa thức phía trái biểu thức (1.52) là đa thức Hurwitz Mặt khác ta cũng thấy rằng tất cả các hệ số ai của đa thức Hurwitz có cùng dấu và khác 0 Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần Xét ví dụ sau:

A(s) = s3 + s2 + 11s + 51 = (s+3)(s-1+4j)(s-1-4j) Tuy có tất cả các hệ số cùng dấu và khác 0 (đều dương) nhưng lại có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo là (14j) Do đó đa thức này không phải là đa thức Hurwitz

Tiêu chuẩn Routh đƣợc phát biểu nhƣ sau:

Điều kiện cần và đủ để cho hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hạng trong cột thứ nhất của bảng Routh dương

Cách lập bảng Routh như dưới đây:

1

3 0 2

1

0

a

a a a

a

a a a a



1

7 0 6 1 4

a

a a a a

0

2 1 3

0

1

b

b a a

b

b a a b

- Bảng được lập theo từng hàng, sau khi kết thúc hàng trên thì mới lập hàng dưới Hai hàng đầu tiên của bảng được lập từ các hệ số của đa thức Hàng đầu đầu

là các hệ số có chỉ số chẵn, hàng thứ hai là các hệ số có chỉ sổ lẻ

- Các phần tử trong mỗi hàng tiếp theo được tính từ hai hàng nằm ngay trước

nó Muốn tính phần tử ở một cột nào đó trong hàng, ta lấy bốn phần tử ở hai hàng nằm ngay trước bao gồm hai phần tử thuộc cột đầu tiên và hai phần tử thuộc cột đứng sát bên phải chứa phần tử đang phải tính Sắp xếp bốn phần tử theo thứ tự từ dưới lên trên và từ trái sang phải để được ma trận rồi tính định thức ma trận đó

- Quá trình lập bảng sẽ dừng khi gặp phần tử đầu tiên trong hàng bằng 0 Khi

đó ta kết luận hệ không ổn định

Để minh hoạ ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1 18 Cho đa thức:

A(s) = 5 + 16s + 18s2 + 8s3 + s4

Ta lập bảng Routh như sau:

Do tất cả giá trị trong cột đầu tiên đều

dương nên tất cả các nghiệm của đa thức

đã cho đều có phần thực âm

2(

4)

s s

s s

G

Ta sẽ tìm hệ số khuếch đại k để hệ thống được ổn định

Trước hết ta xác định hàm truyền đạt của cả hệ thống:

k s k s s s

s k s

kG

s kG s

G ht

8)42(452

)4(2)

(1

)()

Hình 1.9 Cho ví dụ 15

Để có hệ ổn định thì các giá trị cột đầu tiên đều phải dương, kết hợp các điều kiện ở cột đầu tiên ta có 0 < k < 0.247

thì hệ sẽ ổn định

Chú ý rằng trong bảng Routh trên

ta đã áp dụng tính chất đối ngẫu của

đa thức Hurwitz để lập bảng Do vậy

ta hạn chế được số bất phương trình

phải giải

Một dạng khác của tiêu chuẩn

Routh là tiêu chuẩn Hurwitz

Tiêu chuẩn Hurwitz đƣợc phát biểu nhƣ sau:

Điều kiện cần và đủ để cho hệ thống tuyến tính ổn định là hệ số a 0 > 0 và các định thức Hurwitz dương

Để xác định định thức Hurwitz ta dựa vào đa thức đặc trưng (1.55) và tiến hành các bước sau:

1 Dựng ma trận H (nxn) từ cá hệ số ai >0, i = 0,1,…,n của đa thức A(s)

5 3 1

6 4 2 0

7 5 3 1

0

0

a a a

a a a

a a a a

a a a a

3 1 2

a a

a a

4 2 0

5 3 1 3

0 a a

a a a

a a a

5 3 1

6 4 2 0

7 5 3 1 3

0

0

a a a

a a a

a a a a

a a a a

8k

b Số lần đổi dấu trong dãy D1, D2, D2/D1, D3/D2,…, Dn/Dn-1 bằng số các nghiệm nằm bên phải trục phức của A(s)

1.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số

Tiêu chuẩn Michailov:

Khác với tiêu chuẩn Routh – Hurwitz, tiêu chuẩn Michailov dựa vào hàm A(j), thu được từ A(s) bằng cách thay thế s bằng j, để xét tính Hurwitz của A(s) Tiêu chuẩn Michailov xét tính Hurwitz của A(s) dựa trên cơ sở đồ thị của A(j) nên được xếp vào nhóm tiêu chuẩn hình học

Tiêu chuẩn này được phát biểu như sau:

Đa thức hệ số thực A(s) = a0 + a1s + a2s2 + a3s3 + …+ ansn là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi đường đồ thị A(j) với  đi từ 0 đến + bao quanh gốc toạ độ một góc đúng bằng n/2 Nói cách khác:

A(s) là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi

2)(arg

Tiêu chuẩn Nyquist được sử dụng để xét tính ổn định của một hệ có phản hồi (hệ kín) Do vậy ta xét một số hệ kín có phản hồi âm với hai khâu tuyến tính được mắc như ở hình 1.10 dưới đây Hai khâu tuyến tính có hàm truyền hợp phức S(s) và R(s)

Khi đó hệ kín phản hồi sẽ được mô tả bởi:

S(s) R(s) y(t)

-

w(t)

S(s) R(s)

y(t)

- w(t)

R(s) S(s)

y(t)

- w(t)

Phản hồi thực

Điều khiển phản hồi Điều khiển thực

Hình 1.10 Một số dạng hệ phản hồi thường gặp

1 Phản hồi thực:

)()(1

)()()

(

s S s R

s S s R s G





2 Điều khiển phản hồi

)()(1

)()

(

s S s R

s S s

1)

(

s S s R s

Tiêu chuẩn Nyquist đƣợc phát biểu nhƣ sau:

Điều kiện cần và đủ để hệ hồi tiếp ổn định là:

Tuy nhiên dạng thường gặp nhất trong ứng dụng của tiêu chuẩn Nyquist là hệ

hở ổn định, tức là hàm truyền đạt G0(s) = R(s)S(s) của hệ hở là hàm bền Trong trường hợp như vậy thì n+

q=n0q = 0 Do đó:

0)]

(1[

sẽ là điều kiện cần và đủ để hệ kín ổn định Bằng lời, điều kiện (1.56) được diễn

tả là đường quỹ đạo biên pha 1+G0(s) không đi qua và cũng không bao gốc toạ độ Điều này tương đương với việc đường G0(s) không đi qua và không bao điểm -1+0j Nếu để ý thêm rằng các hệ số của G0(j) thuộc trường số thực thi do đường quỹ đạo

có dạng đối xứng qua trục thực, ta có hệ quả của tiêu chuẩn Nyquist như sau:

“(Trường hợp hệ hở ổn định): Xét một hệ hồi tiếp (kín), phản hồi âm có hàm truyền của hệ hở là hàm bền, tức là hệ hở ổn định Khi đó hệ hồi tiếp sẽ ổn định khi

và chỉ khi đường quỹ đạo biên pha G 0 (j) = R(s)S(s) với  đi từ 0 đến + và không bao điểm -1 +0j.”

Để tiện lợi cho việc kiểm tra xem đường quỹ đạo G0(jw) có đi qua hay bao điểm -1 +0j hay không khi w chạy từ 0 tới + ta có thể sử dụng quy tắc bàn tay trái như sau:

“Trong trường hợp hệ hở ổn định thì hệ kín sẽ ổn định khi và chỉ khi điểm -1 +0j luôn nằm phía bên trái đường quỹ đạo biên pha G 0 (j) của hệ hở nếu ta đi dọc trên G 0 (j) theo chiều tăng của  từ 0 tới +.”

1.5 Hệ thống điều khiển xung - số

Ngay nay các hệ thống thu thập, xử lý và truyền số liệu; các hệ thống công nghiệp sử dụng các mạch vi xử lý, các hệ thống lớn sử dụng máy vi tính đã trở nên phổ biến Các quá trình và hệ thống điều khiển có máy tính số có bộ điều khiển số,

có thiết bị biến đổi xung, đều thuộc lớp hệ thống xung số hoặc còn gọi là hệ thống rời rạc hoặc hệ thống gián đoạn (Discrete – Time System) [1]

Bộ điều khiển số ngày nay thực chất là một hệ vi xử lý Dưới đây minh hoạ sơ

đồ hệ điều khiển số điển hình (hình1.11)

Tín hiệu vào ra của đối tượng điều khiển là tín hiệu liên tục; còn tín hiệu vào ra của máy tính số (bộ điều khiển số) là tín hiệu rời rạc (tín hiệu số) Hệ thống có hệ phản hồi muốn đưa vào vi xử lý phải qua bộ chuyển đổi tương tự số A/D Còn tín hiệu ra của máy tính (vi xử lý) dùng để điều khiển đối tượng thường qua bộ biến đổi D/A Các tín hiệu truyền đạt trong hệ có cả tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc

Khi phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển xung – số ta sử dụng công cụ toán học, đó là phép biến đổi Z

Nếu một hệ thống điều khiển có phương trình sai phân dưới đây:

Với điều kiện đầu triệt tiêu, nhờ phép biến đổi Z từ biểu thức trên ta có :

) ( )

( ) ( )

(a0z na1z n1 a n Y z  b0z mb1z m1 b m U z (1.58) Tương tự như hệ liên tục ta định nghĩa hàm truyền đạt hệ thống xung số là W(z), băng tỷ số lượng ra và lượng vào theo biến z:

n n

n

m m

m

a z

a z a

b z

b z b z U

z Y z

)()

1 0

1 1

Nếu hệ thống được mô tả bởi phương trình trạng thái dưới dạng ma trận:

Thực hiện biến đổi Z ta có:

z U

z Y z

)(

)()

Trong đó I là ma trận đơn vị

Khi hệ thống điều khiển số có một phần tử tạo xung nối tiếp với một phần liên tục thì ta có thể xác định hàm truyền đạt qua hàm truyền đạt phần liên tục của hệ thống đó

Một hệ thống như vậy được minh hoạ ở hình 1.12 dưới đây

Về phương diện toán học: Phần tử xung thực có thể tách thành hai phần: phần tử xung lý tưởng và phần tử lưu giữ (nó có tác dụng định hình lại dạng xung thực ở dạng phần tử xung lý tưởng)

Phần tử xung lý tưởng, còn gọi là phần tử xung delta (Delta Impulse Sampler) Đầu vào phần tử xung lý tưởng là hàm liên tục u(t) còn đầu ra của nó là dãy xung

dạng hàm (t) (hàm Dirac) mà diện tích các xung tỷ lệ với biên độ tín hiệu vào u(t) tại từng thời điểm rời rạc cách nhau một khoảng với chu kỳ lấy mẫu T

Phần tử lưu giữ có đầu vào là U*

dạng xung Dirac còn đầu ra của nó là các xung thực

Trong các phần phân tích về sau ta sẽ gộp phần tử lưu giữ với phần liên tục tạo thành phần liên tục quy đổi Việc tách và ghép theo cách vừa trình bày chỉ tồn tại ở phương diện toán học Khi đó ta có sơ đồ tương đương của hình 1.14 vẽ trên hình 1.13

Đối với phần tử liên tục quy đổi sẽ gồm nối tiếp phần tử lưu giữ mô tả bởi hàm truyền liên tục WLG(s) và phần liên tục có WLT(s) Khi đó hàm truyền đạt phần liên tục quy đổi ký hiệu là WLTQD(s) là:

Sơ đồ hình 1.13 có thể được biểu diễn đơn giản bằng cấu trúc trên hình 1.14 với khoá ngắt K đặc trưng cho phần tử xung lý tưởng

Phần tử tạo xung

Phần liên tục quy đổi

U(t)

Hình 1.153 Sơ đồ tương đương của cấu trúc hình 1.14

Đối với phần tử lưu giữ, tuỳ thuộc vào dạng xung thực tế của phần tạo xung mà

WLG(s) có dạng khác nhau

Để tường minh ta xét một ví dụ dưới đây

Ví dụ 16 Cho tín hiệu ra phần tử xung thực tế là một xung chữ nhật có biên độ

là 1 và độ rộng xung là , vẽ trên hình 1.15 Xác định các hàm truyền?

Xung chữ nhật có thể biểu diễn bằng tổng đại số của hai hàm: 1(t) và -1(t-):

Phần tử lưu giữ có tín hiệu vào là dạng hàm dirac (t) nên biến đổi Laplace của nó: U*(s) = 1 Tín hiệu ra u1(t) của phần tử lưu giữ có ảnh Laplace:

U1(s) = L{1(t) – 1(t-)} = L{1(t)} – L{1(t-)}= (1- e-s)/s (1.67) Trong đó  = T,

U

s U s

LG

1)1

()(

)()

Hình 1.15 Minh hoạ cho ví dụ 16

Phần liên tục có hàm truyền đạt WLT(s) Phần liên tục quy đổi gồm nối tiếp phần

tử lưu giữ và phần liên tục:

)(

1)1

()()()

p e s

W s W s

LT LG LTQD

CHƯƠNG 2

BỘ ĐIỀU KHIỂN PID

Có một số phương pháp điều khiển tự động như điều khiển đóng-mở (ON-OFF, bang-bang), điều khiển tối ưu (Optimal Control), điều khiển thích nghi (Adaptive Control), .Nhưng cho đến nay bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân-vi phân gọi theo tiếng Anh là PID vẫn hết sức thông dụng và tỏ ra có hiệu quả cả trong hệ thống tương tự và

hệ thống xung số PID là chữ viết tắt chỉ ba thành phần cơ bản có trong bộ điều khiển

đó là: khuếch đại tỷ lệ P (Proportional), tích phân I (Integral) và vi phân D (Derivative)

như hình 2.1.a

Hình 2.1 Sơ đồ khối bộ điều khiển PID

Bằng việc điều chỉnh 3 hệ số K P , K I và K D tương ứng trong các khâu khuếch đại tỷ

lệ P, tích phân I và vi phân D, có thể cho phép bộ điều khiển PID xác lập được lượng

ra (process output) đạt tới điểm đặt (setpoint) một cách tối ưu Giá trị tỷ lệ K P xác định chính xác đáp ứng của bộ điều khiển tỷ lệ với độ lệch hiện tại (Error) của giá trị đo với

điểm đặt Giá trị tích phân K I xác định đáp ứng dựa trên tổng của các độ lệch theo thời gian do đó cho phép đạt được một độ lệch cực tiểu Giá trị vi phân K D xác định đáp ứng tỷ lệ với tốc độ thay đổi độ lệch, do đó được dùng khi cần cải thiện đáp ứng của hệ thống Tổng có trọng số của 3 tác động này được dùng để điều chỉnh xử lý qua một phần tử điều khiển (process)

Một vài ứng dụng có thể chỉ cần một hoặc hai thành phần Lúc đó, một bộ điều khiển PID sẽ được gọi là bộ điều khiển PI, PD, P hay I Bộ điều khiển PI thường hay được dùng nhất

2.1 Bộ điều khiển PID liên tục

Bộ điều khiển PID được sử dụng rộng rãi để điều khiển các hệ thống SISO theo nguyên lý điều khiển bù trừ hồi tiếp như hình 2.1.b Lý do bộ PID được sử dụng rộng rãi bởi tính đơn giản của nó cả về cấu trúc và nguyên lý làm việc Bộ PID có nhiệm vụ đưa độ lệch e(t) của hệ thống về giá trị 0 sao cho quá trình quá độ thoả mãn các yêu cầu cơ bản về chất lượng:

- Nếu độ lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần tỷ lệ up(t), tín hiệu điều chỉnh u(t) càng lớn

- Nếu độ lệch e(t) chưa bằng 0 thì qua thành phần tích phân uI(t), tín hiệu điều chỉnh vẫn được bộ PID tạo ra

- Nếu sự thay đổi của độ lệch e(t) càng lớn thì thông qua thành phần vi phân uD(t), phản ứng thích hợp của u(t) sẽ càng nhanh

Bộ điều khiển PID được mô tả bằng hình toán học vào ra như sau:

])()

(

1)([)(

t de T d e T t e k t

t I

s

I p

11)

Điều khiển tỷ lệ P với hệ số khuếch đại Kp có tác dụng làm giảm thời gian đáp ứng quá độ của hệ thống và giảm độ lệch tĩnh (so với điểm đặt) đến mức cực tiểu nhưng không thể loại trừ

Điều khiển tích phân I với hệ số KI cho phép loại trừ độ lệch tĩnh , nhưng lại làm cho đáp ứng quá độ xấu đi

Điều khiển vi phân D với hệ số KD làm tăng tính ổn định của hệ thống, giảm hiệu ứng quá điều chỉnh (overshoot) và cải thiện đáp quá độ

Chất lượng của hệ thống phụ thuộc vào các tham số Kp, TI và TD Muốn hệ thống

có được chất lượng tốt như mong muốn thì phải phân tích đối tượng rồi trên cơ sở đó chọn các tham số đó cho phù hợp Có nhiều phương pháp xác định các tham số trên cho bộ điều khiển PID, được sử dụng nhiều hơn cả là các phương pháp:

- Phương pháp sử dụng mô hình xấp xỉ bậc nhất của đối tượng

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp xác định tham số theo tổng T

Một điều cần quan tâm là không phải tất cả các trường hợp đều phải xác định các tham số trên Chẳng hạn nếu bản thân đối tượng đã có khâu tích phân thì trong bộ điều khiển không cần phải thêm khâu tích phân mới triệt được sai số tĩnh, hay nói khác đi là

s R

I p

11)

2.1.1 Sử dụng mô hình xấp xỉ bậc nhất có trễ của đối tƣợng

Phương pháp xác định tham số sử dụng mô hình xấp xỉ bậc nhất có trễ của đối tượng được trình bày dưới đây còn có tên gọi là phương pháp thứ nhất Ziegler - Nichols Phương pháp này có nhiệm vụ xác định tham số kp , TI và TD cho bộ điều khiển PID trên cơ sở đối tượng có thể được mô tả xấp xỉ bởi hàm truyền đạt dạng:

Ls

T

ke s S



1)

sao cho hệ thống nhanh chóng về chế độ xác định và độ quá điều chỉnh hmaxkhông được vượt quá một giá trị cho phép, khoảng 40% so với

) ( lim h t h

0.5 1

c Gọi A là điểm kết thúc khoảng thời gian trễ, tức điểm trên trục hoành có hoành

độ bằng L Khi đó T là khoảng thời gian cần thiết sau L để tiếp tuyến của h(t) tại A đạt được giá trị k

Trường hợp hàm quá độ h(t) không có dạng lý tưởng như hình trên song có dạng gần giống hình chữ S của khâu quán tính bậc 2 hoặc bậc n thì ba tham số k, L, T của

mô hình được xác định xấp xỉ như sau:

d k là giá trị giới hạn h tlim h(t)

Như vậy, có thể thấy là điều kiện để áp dụng được phương pháp xấp xỉ mô hình bậc nhất có trễ của đối tượng là đối tượng đã phải ổn định, không có dao động và ít nhất hàm quá độ của nó phải có dạng hình chữ S Sau khi đã có các tham số cho mô hình xấp xỉ của đối tượng, Ziegler - Nichols đã đề nghị sử dụng các tham số kp, TI, TDsau cho bộ điều khiển:

1) Nếu chỉ sử dụng bộ điều khiển khuếch đại R(s) = k p thì chọn k p = T/kL

s R

I p

11)

s

I p

11)

T D = L/2

Hình 2 3 Xác định tham số cho mô hình xấp xỉ biểu thức (2.4) của đối tƣợng