Thiết bị giảm chấn sử dụng chất lỏng thiết lập bài toán và một số kết quả mô phỏng số

Sự tiêu tán năng lượng xảy ra do nhiều hiện tượng: hiện tượng gãy sóng mặt thoáng chạm đáy, va đập vào các màng ngăn, hiện tượng nhớt ở lớp biên,… Trong khóa luận này, tác giả đề cập đến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Đông Anh

LLL

MỤC LỤC

Mở đầu……….… 1

Chương 1: Thiết lập mô hình ……… 9

1.1 Thiết lập mô hình và một số khái niệm……… 9

1.2 Hệ phương trình cho trường hợp 2 chiều……… … 19

1.2.1 Hệ phương trình với chất lỏng lý tưởng ……… ………….19

1.2.2 Hệ phương trình với chất lỏng thực……… 19

Chương 2: Giải số hệ phương trình cho trường hợp chất lỏng lý tưởng…… 21

2.1 Phương pháp sai phân……… … …21

2.1.1 Liên hệ phân tán thu nhận từ rời rạc hoá 22

2.1.2 Rời rạc hoá 24

2.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu……… 26

2.3 Cách giải ……… 27

2.4 So sánh kết quả tính bằng phương pháp số với phương pháp giải tích………… ……… 28

2.5 Kết luận ……… 30

Chương 3: Giải số hệ phương trình 2D cho trường hợp chất lỏng thực……… 31

3.1 Phương pháp sai phân……… …31

3.2 Điều kiện biên và điều kiện ban đầu……… ….31

3.3 Cách giải……… …32

3.4 Kết luận 33

Kết luận chung ………34

Phụ lục……… 35

Danh mục công trình của tác giả……… 42

Tài liệu tham khảo………43

CHƯƠNG I THIẾT LẬP MÔ HÌNH

1.1 Thiết lập mô hình và một số khái niệm

Hiện tượng sóng sánh của chất lỏng trong bình chứa xuất hiện rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là lĩnh vực vận tải chất lỏng Do đó đã có nhiều công trình nghiên cứu sâu về vấn đề này Các nghiên cứu cho thấy đây là một quá trình phi tuyến phức tạp Sự tiêu tán năng lượng xảy ra do nhiều hiện tượng: hiện tượng gãy sóng (mặt thoáng chạm đáy), va đập vào các màng ngăn, hiện tượng nhớt ở lớp biên,…

Trong khóa luận này, tác giả đề cập đến bài toán được thiết lập để mô tả hiện tượng dao động sóng sánh của chất lỏng xuất hiện trong bể chứa hình chữ nhật chịu tác dụng của kích động điều hòa theo phương ngang

- Xét bể chứa chữ nhật có chiều rộng 2R theo phương x với mức nước khi chất lỏng đứng yên trong bể là H Bể chứa bị kích động điều hòa theo 2 phương x và y tương ứng là XG và YG Hệ trục tọa độ được chọn như trong Hình

3

Để đơn giản hóa, ta đưa vào các giả thuyết sau:

- Chất lỏng trong bể là không nén được, không nhớt và không rối

- Áp suất trên bề mặt chất lỏng là hằng số

- Thành bể là cứng và mực nước khi bể đứng yên là hằng số

Hình 3: Bể chứa và hệ tọa độ tương ứng

Dưới đây là ký hiệu của các đại lượng dùng trong bài:

a: biên độ dưới dạng không thứ nguyên của dao động của bể chứa g: gia tốc trọng trường

H: mực nước trong bể khi bể chứa đứng yên

k: số sóng

k1: số sóng tham biến

n: số đoạn chia theo phương x

Oxyz: hệ tọa độ Đề-các gắn với bể chứa

us, vs: vận tốc trên bề mặt, tương ứng theo phương x và y

XG, YG: di chuyển của bể chứa theo phương x và y do kích động điều hòa gây ra

Với chất lỏng có độ nhớt nhỏ, ảnh hưởng của ma sát trong chỉ đáng kể ở lớp biên sát biên cứng Từ giả thiết này, chất lỏng ngoài lớp biên được coi như

có dạng [9]

 , ,   

F x y t G z

trong đó F và G là những hàm ngẫu nhiên

y F c y F

y F

trong đó k là hằng số thu được khi tách biến, và được gọi là số sóng; us và

vs là các thành phần vận tốc trên mặt thoáng, tương ứng theo phương x và y

Khi cho trước số sóng k, ta sẽ tính được phân bố của vận tốc theo phương

trong đó X x y t, , và U u v, , w,q với kí hiệu  z có nghĩa là z

được thay vào sau khi đã tính đạo hàm riêng của U theo X hoặc z

Sử dụng các biểu thức (8) và (9) sau khi tích phân phương trình liên tục

rồi khử biến độc lập z từ các biến phụ thuộc, ta thu được một bài toán 2 chiều đặc trưng bởi các biến , ,u v s s

Tích phân phương trình (1) theo z ta được[9]:

H

H

kH kH

Sau đó ta tích phân phương trình (4) theo z và chọn hằng số tích phân sao cho p p0 tại z , khi đó ta thu được phương trình:

Thay phương trình (12) vào phương trình (2) và (3) để khử p, cho tại

G z

Bây giờ ta viết lại các phương trình (10), (15), (16) dưới dạng không thứ nguyên Trước tiên, ta sử dụng các biến không thứ nguyên được định nghĩa như sau[9]:

 

2 2 2

1

00

Mặt khác hàm thế cũng thỏa mãn phương trình Laplace, nên ta có thể rút được mối liên hệ sau:

2 3

1.2 Hệ phương trình cho trường hợp hai chiều

Dưới đây ta sẽ thiết lập bài toán cho bể chứa chữ nhật với dòng chảy 2 chiều song song với mặt phẳng xz

1.2.1 Hệ phương trình với chất lỏng lý tưởng

nhất bằng không nên hệ phương trình cơ bản cho bể chứa hình chữ nhật như sau[9]:

1

12

Để tính sự phản hồi của dao động ở lân cận cộng hưởng bậc nhất, số sóng

vế phải phương trình viết cho u, ta được hệ mới cho trường hợp hai chiều như sau[9]:

12

CHƯƠNG II GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO TRƯỜNG HỢP CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

2.1 Phương pháp sai phân

Một số mô hình toán học đã được đề cập để giải quyết hiện tượng sóng sánh của chất lỏng trong bình chứa, nhưng nói chung, do tính phức tạp của hiện tượng nên cần phải thực hiện các thí nghiệm vật lý để xác định Trong trường hợp tổng quát, các phương pháp số được áp dụng để mô tả chuyển động sóng sánh của chất lỏng Vì vậy, khi chất lỏng sóng sánh với biên độ lớn, trong những bình chứa có hình dạng phức tạp thì các phương pháp số là lựa chọn duy nhất

Để tính toán sự cộng hưởng dao động trong bể chữ nhật, các phương trình được rời rạc hóa thành các phương trình vi phân thường để giải số

Các phương trình (30) và (31) là viết cho số sóng k bất kỳ Sóng trên mặt thoáng ban đầu thỏa mãn một tính chất phân tán phụ thuộc vào số sóng k Nếu trong phương trình (30), thay k bằng k1, thành phần thứ 3, được gọi là phần phân tán sẽ mất đi và do đó không thể xem xét sự lan truyền của sóng trên bề mặt được nữa Nhưng chúng ta cũng biết là phương pháp rời rạc hóa sẽ đưa ra được các tính chất phân tán khi truyền sóng qua hệ rời rạc Vì thế, thay k bằng k1 trong các phương trình cơ bản (30) và (31) rồi khử thành phần phân tán, sự phân tán ban đầu của sóng trên mặt thoáng sẽ được thay thế bằng các thành phần rời rạc Bằng cách này ta mới có thể xem xét đặc trưng phân tán

2.1.1 Liên hệ phân tán thu nhận từ rời rạc hóa

Khử các thành phần phi tuyến và gia tốc trọng trường trong phương trình (30) và (31), thay k=k1, ta thu được hệ phương trình sau:

00

Bể có chiều rộng bằng 2, được chia thành n đoạn cho u và n+1 đoạn cho

 Trong mỗi đoạn, các biến u i i 1 ~n hay ii0 ~n được sắp xếp như trong Hình 6 Độ rộng của mỗi đoạn là

2

x n

Đây chính là mối liên hệ phân tán thu được khi rời rạc hóa Có thể thấy rằng sự lan truyền bị yếu đi khi n tăng lên

Bây giờ chúng ta sẽ tính số đoạn chia n để liên hệ (36) xấp xỉ được mối liên hệ (29) Ta có thể xem xét hai cách tính số đoạn chia, như sau [9]:

bằng chính phương trình (29), lúc này ta thu được

1

n



 Tỉ số của tần số góc tự nhiên bậc nhất 1k1 2 với tần số góc tự

trị tính được từ phương trình (29), từ đó rút ra được liên hệ[9]:

tanh2arcos

0.05 0.175 0.3 0.425 0.55 0.675 0.8 0.925

P/t (37) P/t (38)

Hình 4 là biểu diễn mối quan hệ giữa n và  trong hai biểu thức (37) và (38) Ta có nhận xét sau: trong phương trình (37), n không tiến tới giá trị trung

Hình 5: Mối quan hệ phân tán [9]

Hình 5 là biểu diễn mối quan hệ phân tán trong (29) và (36) với các giá trị được làm tròn để lấy tích phân trong (38) là n10, 5, 4 và 4 tương ứng với

2.1.2 Rời rạc hóa

Sau khi thay k bằng k1 trong hai phương trình (30) và (31), ta được hai phương trình mới như sau:

tanh 1tanh

k

k k k k

C

u

K u

x I

trong đó:

1 1

1 2 1 2

tanh 1

2tanh

k

k k

2

1 1

22

22

x I

2.2 Điều kiện biên và điều kiện đầu

x I

00

chứa, hệ phương trình vi phân thường (42), (43) với điều kiện biên (44) giải được bằng phương pháp số và ta có thể thu được sự cộng hưởng dừng nhất thời của dao động của chất lỏng trong bể chứa

Hệ phương trình (42), (43) và điều kiện biên (44) được giải bằng phương pháp Runge-Kutta  được cho giá trị là 0.1 ứng với số đoạn chia n được xác định từ phương trình (38) là 10 Bước thời gian được chọn là 1/60 chu kỳ dao động của bể chứa Kích động ngoài tác dụng vào bể được viết dưới dạng không thứ nguyên là:

sin

G

Cuối cùng, chu kỳ dao động tuần hoàn được tính bởi:

Hình 6: Sơ đồ sai phân tính toán theo x

2.4 So sánh kết quả tính bằng phương pháp số với phương pháp giải tích

Hai đại lượng cần quan tâm nhất là hình dạng mặt sóng   x t, và lực do chất lỏng sóng sánh tác động vào thành bình Lực tác động vào thành bình chính là lực của thiết bị tác động lên hệ chính, và được tính bằng tích phân của chênh áp

Theo [10], ta có công thức tính hai đại lượng này như sau:

t  (Giải số)  (Giải giải tích) u (Giải số) u(Giải giải tích)

0 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.8 -1.53E-03 -9.49E-04 1.50E-03 3.80E-04

1.6 -5.09E-03 -4.23E-03 2.73E-03 5.63E-04

2.4 -8.41E-03 -7.65E-03 1.03E-03 2.95E-04

3.2 -5.56E-03 -5.07E-03 -4.14E-03 -9.90E-04

4 4.06E-03 3.91E-03 -6.91E-03 -1.61E-03

4.8 1.39E-02 1.29E-02 -3.39E-03 -1.02E-03

5.6 1.29E-02 1.16E-02 4.64E-03 9.16E-04

6.4 2.90E-04 1.87E-04 9.57E-03 2.01E-03

7.2 -1.39E-02 -1.33E-02 6.84E-03 1.56E-03

8 -1.74E-02 -1.55E-02 -2.82E-03 -8.07E-04

8.8 -6.06E-03 -4.17E-03 -1.02E-02 -2.54E-03

9.6 1.07E-02 1.06E-02 -7.45E-03 -1.97E-03

10.4 1.58E-02 1.39E-02 5.88E-05 1.26E-05

11.2 9.39E-03 6.42E-03 6.07E-03 1.53E-03

12 -3.87E-03 -5.55E-03 6.00E-03 1.62E-03

12.8 -1.03E-02 -9.53E-03 9.81E-04 3.06E-04

13.6 -6.09E-03 -3.05E-03 1.56E-03 1.06E-03

14.4 1.26E-03 4.58E-03 4.95E-03 1.29E-03

15.2 1.97E-03 5.87E-03 8.78E-03 3.56E-03

16 3.36E-03 5.02E-03 6.57E-03 6.84E-03

16.8 8.83E-03 4.88E-03 -8.95E-03 -1.11E-02

17.6 2.44E-03 6.47E-03 -3.52E-02 -1.17E-02

18.4 4.10E-04 2.12E-04 -6.31E-02 -4.86E-03

19.2 3.73E-02 2.66E-02 -8.03E-02 -4.14E-02

20 -1.08E-02 -6.10E-02 -7.99E-02 -3.03E-02

20.8 -3.01E-02 -8.30E-02 -3.65E-02 -5.11E-02

21.6 -6.93E-02 -6.45E-02 5.60E-02 6.01E-02

22.4 4.87E-02 1.28E-02 1.86E-01 4.12E-02

23.2 4.51E-02 1.28E-01 2.79E-01 1.96E-02

24 2.32E-02 2.13E-01 -1.91E-01 -1.10E-01

24.8 2.21E-01 2.51E-01 -2.76E-01 -2.00E-01

theo hai phương pháp giải

2.5 Kết luận

Khi giải bài toán (42) - (43) bằng phương pháp số ta thu nhận được hai đại lượng quan trọng nhất khi nghiên cứu bài toán này là mặt sóng và vận tốc tại mặt thoáng So sánh với kết quả giải tích, ta thấy rằng sự phù hợp giữa hai phương pháp là khá tốt

CHƯƠNG III GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2D CHO TRƯỜNG HỢP CHẤT LỎNG THỰC

3.1 Phương pháp sai phân

Hệ phương trình để tính trong trường hợp này chỉ khác hệ phương trình

ở phươmg trình (43) Vẫn sử dụng phương pháp tiếp cận giống như trong chương II, ta có các phương trình cụ thể như sau[9]:

3.2 Điều kiện biên và điều kiện đầu

Điều kiện biên và điều kiện đầu của bài toán này được đặt giống như cho bài toán 2 chiều viết cho chất lỏng lý tưởng

Điều kiện biên:

x I

00

Dùng phương pháp Runge-Kutta để giải bài toán này với các giá trị của hệ

tính được từ phương trình (38) Bước thời gian được chọn là 1/60 chu kỳ dao động của bể chứa Kết quả thu được sau khi giải được so sánh với kết quả thực nghiệm lấy từ [9] như sau:

Hình 7: Dao động của bề mặt thu được bằng thực nghiệm lấy từ [9]

3.4 Kết luận

Khác với bài toán dao động của chất lỏng lý tưởng trong bình dưới tác dụng của kích động điều hòa, bài toán được thiết lập cho chất lỏng nhớt là một bài toán mang tính thời sự và vẫn đang được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp và các thuật giải khác nhau

Trong luận văn này, học viên sử dụng phương pháp Runge - Kutta để giải quyết vấn đề Kết quả thu được khá gần với kết quả thực nghiệm của [9]

KẾT LUẬN CHUNG

Trong bản khóa luận này, dựa trên cơ sở lý thuyết từ các tài liệu tham khảo, học viên đã giới thiệu được tổng quan về thiết bị giảm chấn bằng chất lỏng cùng với những ứng dụng thực tế của thiết bị này trong đời sống Học viên cũng trình bày được cách thiết lập mô hình dao dộng của chất lỏng trong bể chứa dưới sự tác động của kích động điều hòa và giải số được bài toán cho trường hợp 2 chiều bằng phương pháp Rung-Kutta Kết quả thu được cho trường hợp chất lỏng lý tưởng khá phù hợp với kết quả tính bằng phương pháp giải tích Trong khi đó, kết quả cho trường hợp chất lỏng nhớt,

trong [9] là khá tốt

Như vậy, khi biết các thông số của bể chứa, các thong số của chất lỏng, ta có thể đưa ra được mối quan hệ giữa chúng với phương trình mặt thoáng và vận tốc của chất lỏng tại mặt thoáng một cách trực quan khi sử dụng phương pháp số để giải

Kết quả của khóa luận này đưa ra một số vấn đề và hướng sau:

- Đưa ra quan hệ trực quan giữa hệ số cản của chất lỏng với các thông số của bể chứa và các thông số khác của chất lỏng

- Xác định các phương pháp khác để tiếp cận vấn đề để so sánh với phương pháp Runge-Kutta

- Nghiên cứu sâu hơn về phương pháp thực nghiệm để có các số liệu

so sánh giá trị hơn

I0=0.125*((-3.*e(1,jj)+4.*e(2,jj)-e(3,jj))**2)/dx/dx I1=0.125*((e(3,jj)-e(1,jj))**2)/dx/dx

I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*u(1,jj)

f2(1,1)=(e(1,jj)-e(2,jj)+h1*k1+c1*(I0-x=1.+0.5*(e(m,jj)+e(m+1,jj)) phim=phi(x,dek,tadek)

hm=hh(phim,tadek,sig) r=u(m-1,jj)+u(m,jj);km1=0.125*r*r cm=sig*del*del*phim

Im1=0.125*(e(m+1,jj)-e(m-1,jj))**2/dx/dx Im=0.125*(e(m-1,jj)-4.*e(m,jj)+3.*e(m+1,jj))**2/dx/dx f2(m,1)=(e(m,jj)-e(m+1,jj)+hm*km1+cm*(Im1-

Im))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*u(m,jj)

do i=1,m-1

ee(i+1)=e(i+1,jj)+0.5*dt*f1(i,1) enddo

r=1.+0.5*(e(1,jj)+e(2,jj));s=phi(r,dek,tadek) ee(1)=e(1,jj)-2.*dt*s*u(1,jj)/dx

p=1.+0.5*(e(m,jj)+e(m+1,jj));q=phi(p,dek,tadek) ee(m+1)=e(m+1,jj)+2.*dt*q*u(m,jj)/dx

do i=1,m

uu(i)=u(i,jj)+0.5*dt*f2(i,1) enddo

! tinh F*

do i=1,m-1

call VF1(i,j,ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i),uu(i+1),f1(i,2)) enddo

do i=2,m-1

VF2(i,j,ee(i-1),ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i-1),uu(i),uu(i+1),f2(i,2))

enddo x=1.+0.5*(ee(1)+ee(2)) ph1=phi(x,dek,tadek) h1=hh(ph1,tadek,sig) r=uu(1)+uu(2); k1=0.125*r*r c1=sig*del*del*ph1

I0=0.125*((-3.*ee(1)+4.*ee(2)-ee(3))**2)/dx/dx I1=0.125*((ee(3)-ee(1))**2)/dx/dx

I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(1)

f2(1,2)=(ee(1)-ee(2)+h1*k1+c1*(I0-hm=hh(phim,tadek,sig) r=uu(m-1)+uu(m);km1=0.125*r*r cm=sig*del*del*phim

Im1=0.125*(ee(m+1)-ee(m-1))**2/dx/dx Im=0.125*(ee(m-1)-4.*ee(m)+3.*ee(m+1))**2/dx/dx f2(m,2)=(ee(m)-ee(m+1)+hm*km1+cm*(Im1-

Im))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(m)

do i=1,m-1

ee(i+1)=e(i+1,jj)+0.5*dt*f1(i,2) enddo

r=1.+0.5*(ee(1)+ee(2));s=phi(r,dek,tadek) ee(1)=e(1,jj)-2.*dt*s*uu(1)/dx

p=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1));q=phi(p,dek,tadek) ee(m+1)=e(m+1,jj)+2.*dt*q*uu(m)/dx

do i=1,m

uu(i)=u(i,jj)+0.5*dt*f2(i,2) enddo

! tinh F**

do i=1,m-1

call VF1(i,j,ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i),uu(i+1),f1(i,3)) enddo

do i=2,m-1

VF2(i,j,ee(i-1),ee(i),ee(i+1),ee(i+2),uu(i-1),uu(i),uu(i+1),f2(i,3))

enddo x=1.+0.5*(ee(1)+ee(2)) ph1=phi(x,dek,tadek) h1=hh(ph1,tadek,sig) r=uu(1)+uu(2); k1=0.125*r*r c1=sig*del*del*ph1

I0=0.125*((-3.*ee(1)+4.*ee(2)-ee(3))**2)/dx/dx I1=0.125*((ee(3)-ee(1))**2)/dx/dx

I1))/dx+sig*a*ome*ome*sin(ome*t)+lamd*uu(1)

f2(1,3)=(ee(1)-ee(2)+h1*k1+c1*(I0-x=1.+0.5*(ee(m)+ee(m+1)) phim=phi(x,dek,tadek) hm=hh(phim,tadek,sig)