Tổng luận về lớp bài toán thiết kế mạng

Những kết quả này khá đa dạng, từ những phương pháp có tính tổng quát trên toàn bộ lĩnh vực thiết kế thuật toán xấp xỉ như phương pháp gốc-đối ngẫu, kỹ thuật làm tròn liên tiếp đến những

Võ Việt Hùng

TỔNG LUẬN

VỀ LỚP BÀI TOÁN THIẾT KẾ MẠNG

Chuyên ngành: Công nghệ thông tin

Danh mục các chữ viết tắt 1

Lời giới thiệu 2

Chương 1 Mở đầu 5

1.1 Một số khái niệm và ký hiệu trong lý thuyết đồ thị 5

1.2 Một số hàm trên đồ thị 7

1.3 Các định lý đối ngẫu trong lý thuyết QHTT 9

1.4 Mô hình lát cắt - Bài toán thiết kế mạng 10

Phần 1 Thuật toán dựa trên QHTT 13

Chương 2 Phương pháp gốc-đối ngẫu 14

2.1 Lý luận chung 14

2.2 Thuật toán Goemans-Williamson 17

2.3 Thuật toán 2 fmax-xấp xỉ cho bài toán SND 22

2.4 Thuật toán 2H fmax -xấp xỉ cho bài toán SND 27

Chương 3 Kỹ thuật làm tròn liên tiếp 31

3.1 Lý luận chung 31

3.2 Bài toán SND trên đa đồ thị vô hướng 32

3.3 Bài toán thiết kế mạng trên đồ thị có hướng 38

Phần 2 Thuật toán đồ thị 43

Chương 4 Các bài toán 2-liên thông 44

4.1 Lý luận chung 44

Chương 5 Các bài toán k-EC 52

5.1 Bài toán k-EC trên đồ thị đơn giản 52

5.2 Bài toán k-EC trên đa đồ thị 62

5.3 Phân tích Gabow 69

Chương 6 Các bài toán k-VC 75

6.1 Đồ thị vô hướng 76

6.2 Đồ thị có hướng 81

Chương 7 Một số đánh giá và phương hướng nghiên cứu 83

Tài liệu tham khảo 86

Danh mục các chữ viết tắt

QHTT: quy hoạch tuyến tính

QHN: quy hoạch nguyên (trong luận văn này, khi nhắc đến QHN ta ngầm hiểu là quy hoạch tuyến tính nguyên)

MC: minimum cardinality

MW: minimum weight

đpcm: điều phải chứng minh

NVLV: người viết luận văn

Lời giới thiệu

Nhu cầu thực tế của bài toán thiết kế mạng

Các bài toán thiết kế mạng có nhiều ứng dụng trên thực tế, chúng thường xuất hiện trong các vấn đề liên quan đến xây dựng hệ thống giao thông và hay gặp khi cần thiết kế mạng truyền thông Các hệ thống cần xây dựng này đều đòi hỏi phải đảm bảo hệ thống vẫn vận hành tốt bất chấp xảy ra hỏng hóc ở một số điều kiện nhất định Mục tiêu của bài toán thiết kế mạng là tìm ra mạng có chi phí nhỏ nhất mà có tính tin cậy như vậy Giả sử, ta coi mạng truyền thông là một đồ thị G với tập cạnh

E là tất cả các liên kết có thể có của mạng Ký hiệu cạnh e ab là đường truyền có

thể lập giữa trạm a và trạm b, e c là chi phí để lập đường truyền đó Khi đó, mạng cho phép các trạm kết nối được với nhau rẻ nhất chính là cây khung nhỏ nhất của đồ thị G Tuy nhiên mạng truyền thông như vậy quá nhạy cảm với các sự cố, bởi nó có thể bị tê liệt do hỏng thậm chí chỉ một đường kết nối hoặc một trạm làm việc Để mạng truyền thông tin cậy hơn người ta cần dựa trên những đồ thị liên thông cao hơn Một mạng gọi là k liên thông cạnh (hoặc đỉnh) nếu mạng cho phép các trạm vẫn liên lạc được với nhau ngay cả khi có tới k-1 đường kết nối (hoặc trạm) bị hỏng Nhu cầu lập mạng rẻ và chịu lỗi dẫn đến đòi hỏi giải quyết bài toán tìm đồ thị

bộ phận k-liên thông có giá nhỏ nhất

Giải xấp xỉ các bài toán thiết kế mạng

Ta biết rằng việc tìm phương án tối ưu trong các bài toán tối ưu hoá NP-khó là

“khó” như nhau Về mặt lý thuyết, điều này giúp người thiết kế thuật toán tránh được những công sức vô ích khi cố gắng giải bài toán NP-khó, tuy nhiên trên thực

tế, những bài toán tối ưu hoá mà ta hay gặp và cần giải lại hầu hết là những bài toán NP-khó Để “đối phó” với các bài toán NP-khó này, ta cần một thái độ thực tế hơn,

đó là chấp nhận hy sinh điều kiện tìm phương án tối ưu nhưng thay vào đó là tìm ra

“nhanh” (trong thời gian đa thức) phương án “gần” tối ưu Đây là vấn đề thiết kế thuật toán xấp xỉ, một trọng tâm nghiên cứu của lý thuyết thuật toán xấp xỉ

Lớp bài toán thiết kế mạng có vai trò trung tâm trong lý thuyết tối ưu hoá tổ hợp, nó bao gồm nhiều bài toán tổ hợp cơ bản, như bài toán cây Steiner, bài toán Survivable Network Design, … và phần lớn các bài toán này là NP-khó ngay cả khi ta chỉ xét chúng ở những dạng hết sức đơn giản Thời gian gần đây, mảng thiết kế thuật toán xấp xỉ cho các bài toán thiết kế mạng trở nên sôi nổi với sự xuất hiện của nhiều kết quả nghiên cứu đáng chú ý Những kết quả này khá đa dạng, từ những phương pháp

có tính tổng quát trên toàn bộ lĩnh vực thiết kế thuật toán xấp xỉ như phương pháp gốc-đối ngẫu, kỹ thuật làm tròn liên tiếp đến những kỹ thuật dựa trên lý thuyết đồ thị, mang đặc thù riêng của lớp bài toán như DFS-cây, họ vân hay lý thuyết cặp ghép Do tính thực tiễn cao và sự phong phú về lý luận của lớp bài toán, người viết luận văn (NVLV) lựa chọn đề tài nghiên cứu về thiết kế thuật toán xấp xỉ trong lớp bài toán thiết kế mạng cho đợt bảo vệ lần này

Đóng góp của luận văn

Các kết quả nghiên cứu về lớp bài toán thiết kế mạng của NVLV được trình bày trong luận văn bao gồm:

- NVLV cố gắng cung cấp một cách nhìn có hệ thống về các hướng tiếp cận gần đây đối với lớp bài toán thiết kế mạng, đồng thời đưa ra một số phân tích và đề xuất một

số hướng nghiên cứu trong lớp bài toán này

- NVLV trình bày một số kỹ thuật, kết quả nổi bật hoặc mới nhất (làm tròn liên tiếp, DFS, ứng dụng định lý Mader và lý thuyết cặp ghép) trong các bài toán SND, k-EC, k-VC và 2-liên thông

- NVLV chỉ ra một ví dụ cho thấy không thể áp dụng lập luận đếm để chứng minh

mọi phương án cực biên tối ưu đều có thành phần

2

1 trong bài toán SND trên đồ thị có hướng

- NVLV đưa ra một lược đồ phân bố chặt chẽ hơn và do đó có chứng minh tường minh hơn bất đẳng thức Cheriyan-Thrimella (trong khẳng định 3) của bài toán k-

EC

Bố cục của luận văn

Luận văn bao gồm hai phần “Thuật toán dựa trên QHTT” và “Thuật toán đồ thị” tương ứng với hai hướng tiếp cận chủ yếu của các thuật toán xấp xỉ trong lớp bài toán thiết kế mạng Trước khi bắt đầu phần 1, trong chương 1, NVLV điểm lại một

số khái niệm, định lý cơ sở và ký hiệu trong lý thuyết đồ thị và QHTT mà sẽ được

sử dụng ở các chương sau; Phần 1 gồm hai chương: chương 2 trình bày và phân tích một số vấn đề khi áp dụng phương pháp gốc-đối ngẫu vào giải bài toán SND Nội dung chương 3 là kỹ thuật làm tròn liên tiếp Trong chương này, NVLV cũng đưa ra

ví dụ cho thấy không thể áp dụng lập luận đếm để chứng minh mọi phương án cực

biên tối ưu đều có thành phần

2

1 trong bài toán SND trên đồ thị có hướng Phần 2 của luận văn bao gồm ba chương về các thuật toán xấp xỉ thuần tuý dựa trên đồ thị Chương 4 trình bày một số kỹ thuật đồ thị được áp dụng để giải xấp xỉ các bài toán 2-liên thông Chương 5 thảo luận về bài toán k-EC, NVLV cũng đưa ra chứng minh bất đẳng thức Cheriyan-Thrimella của mình trong chương này Chương 6 là ứng dụng của định lý Mader và lý thuyết cặp ghép trong giải xấp xỉ bài toán k-VC Cuối cùng, chương 7 là một số đánh giá và phương hướng nghiên cứu có thể phát triển trên cơ sở tổng hợp các chương 2, 3, 4, 5, 6

Chương 1: Mở đầu

1.1 Một số khái niệm và ký hiệu trong lý thuyết đồ thị

Trong các khái niệm và ký hiệu dưới đây, nếu không có những chỉ dẫn khác đi ta ngầm định là đang bàn trên đa đồ thị vô hướng G V,E

- uv là cạnh nối đỉnh u với đỉnh v , cũng dùng ký hiệu uv để chỉ một cung đi từ u đến v trong đồ thị có hướng M E, degM v là số cạnh của M kề với v

0

v A

- Xét đồ thị có hướng G V,E ,M E, S V , ký hiệu degM , out v là số cung

của M đi từ v ; degM , in v là số cung của M đi đến v , out S là tập các cung đi từ

S đến S , in S là tập các cung đi từ S đến S

- Giả sử G là đồ thị vô hướng Ký hiệu L G là đồ thị tuyến (line graph) của đồ thị

G , xây dựng đồ thị này như sau: G L nhận E làm tập đỉnh; với e, f E , ef là cạnh của G L khi và chỉ khi e, f là 2 cạnh kề nhau trong G (2 cạnh có chung một đỉnh mút) Giả sử G có hàm trọng số w trên tập các cạnh, ký hiệu G là đồ thị D

có hướng lập ra từ G bằng cách thay mỗi cạnh e uv bởi 2 cung uv và vu có

trọng số w e

- Đồ thị vô hướng G V,E gọi là k-EC nếu V k 1 và nếu xóa khỏi G ít hơn

k cạnh bất kỳ thì đồ thị còn lại luôn liên thông Tương tự, gọi G V,E là k-VC nếu V k 1 và nếu xóa khỏi G ít hơn k đỉnh bất kỳ thì đồ thị còn lại luôn liên thông

- Đồ thị có hướng gọi là liên thông mạnh nếu với mọi cặp đỉnh có thứ tự u, v đều có

đường đi có hướng từ u đến v Đồ thị có hướng G V,E gọi là k-EC nếu

G \ không là k-EC (k-VC) Định nghĩa tương tự cho đồ thị có hướng

- Giả sử u , v là 2 đỉnh khác nhau, ký hiệu u , v là số cạnh nhỏ nhất có thể xoá đi

để u không liên thông với v , ta cũng nói v u , là k-EC với nhau nếu u , v k Như vậy, trong đồ thị k-EC, u , v k u v V

- Tập cạnh M gọi là phủ đỉnh v nếu v kề với ít nhất 1 cạnh của M , ngược lại gọi

là không phủ Tập cạnh M gọi là tập bao quát nếu M phủ mọi đỉnh v của đồ thị

Tức là, degM v 1, v V

- Tập cạnh M gọi là một cặp ghép của G nếu không có hai cạnh nào của M có chung đầu mút Tức là, degM v 1, v V Cặp ghép M gọi là cặp ghép hoàn toàn nếu degM v 1, v V Đồ thị G gọi là factor-critical nếu v V , G \ v có một cặp ghép hoàn toàn Ký hiệu số hụt của đồ thị là def G , xác định như sau

M M n

G

def 2max , là cặp ghép của G

- A, B Vgọi là xuyên qua nhau nếu cả A\B,B\ A,A B đều khác rỗng Như vậy nếu A, B không xuyên qua nhau thì hoặc A, B rời nhau hoặc một tập chứa hoàn

toàn tập còn lại Ta nói một họ L gồm các tập con của V tạo thành một họ vân nếu

không có 2 tập nào trong họ xuyên qua nhau Họ vân L gọi là phủ tập cạnh F nếu

Hàm proper Hàm f :2V Z , f V 0 được gọi là proper nếu nó có các tính chất đối xứng và tối đại sau đây

- Tính đối xứng : f S f V \S , S V

- Tính tối đại: f A B max f A ,f B , A,B V ,A B

Trong trường hợp hàm f proper chỉ lấy giá trị trong tập 0,1 , ta nói f là hàm

Tính chất 1: Mọi hàm proper đều là hàm supermodular yếu

Chứng minh: Giả sử f :2v Z là hàm proper, ta sẽ chứng minh f thoả mãn

A B f B A f B A f B A f B

A B f B A f B

A B f B A f A

B f B A f A

f

A

B A f B A f B

A f B A f B

B f B A f B

thế thì hàm f(S) x( (S)) cũng là supermodular yếu

1.3 Các định lý đối ngẫu trong lý thuyết QHTT

Cho đến nay một mảng lớn trong lý thuyết thuật toán xấp xỉ được xây dựng trên cơ

sở lý thuyết quy hoạch tuyến tính (QHTT), mà kỹ thuật làm tròn liên tiếp và phương pháp gốc-đối ngẫu trong các chương 2, 3 là những minh chứng cụ thể Bởi vậy, trước tiên ta sẽ điểm lại một số tính chất toán học cơ bản của lý thuyết QHTT mà những nghiên cứu về thuật toán xấp xỉ hay dùng

QHTT là các bài toán tối ưu một hàm mục tiêu tuyến tính trong khi phải thoả mãn một hệ các bất phương trình tuyến tính (các ràng buộc) Gọi nghiệm của hệ các ràng buộc là phương án chấp nhận được Gọi z* là giá trị tối ưu của một QHTT (cực tiểu hoá), để nghiên cứu về cận dưới của z* người ta lập QHTT đối ngẫu với QHTT ban đầu (gọi là QHTT gốc) Cách xây dựng QHTT đối ngẫu đem lại nhiều tính chất thú vị: ví dụ, đối ngẫu của QHTT đối ngẫu là QHTT gốc Giá trị của các phương án chấp nhận được của QHTT đối ngẫu là chặn dưới giá trị tối ưu của QHTT gốc, và ngược lại mọi giá trị của phương án chấp nhận được của QHTT gốc

là chặn trên giá trị tối ưu của QHTT đối ngẫu Bởi vậy, nếu ta tìm được các phương

án chấp nhận được của cặp QHTT đối ngẫu có cùng giá trị hàm mục tiêu thì các phương án này là các phương án tối ưu Xem chi tiết về cơ sở toán học của lý thuyết QHTT ở [Goe01] và ứng dụng trong lý thuyết thuật toán xấp xỉ ở [Vaz01] Sau đây

ta sẽ phát biểu các tính chất toán học này ở dạng hình thức

QHTT cực tiểu hoá ở dạng chuẩn: n

j j

j x c

1

min thoả mãn

n j

x

m i

b x a

j

i n

j j ij

, ,1,0

, ,1,1

QHTT đối ngẫu là: m

i i

i y b

1

max thoả mãn

m i

y

n j

c y a i

j m

i i ij

, ,1,0

, ,1,1

Định lý 1 (định lý đối ngẫu): QHTT gốc có giá trị tối ưu hữu hạn khi và chỉ khi

QHTT đối ngẫu của nó cũng có giá trị tối ưu hữu hạn Hơn nữa, nếu * *

1

*

, ,x n x x

và y* y1*, ,y m* là các phương án tối ưu của các QHTT gốc, đối ngẫu tương ứng thì

m i i i n

Định lý 3 (các điều kiện độ lệch bù): Nếu x và y là các phương án chấp nhận

được của các QHTT gốc, đối ngẫu tương ứng thì x và y là các phương án tối ưu

khi và chỉ khi chúng thoả mãn các điều kiện sau đây:

- Điều kiện độ lệch bù gốc: với j 1,n hoặc x j 0 hoặc j

m i i

ij y c a

1

- Điều kiện độ lệch bù đối ngẫu: với i 1,m hoặc y i 0 hoặc i

n j j

ij x b a

1

Như ta sẽ thấy ở chương 2, các điều kiện độ lệch bù đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc thiết kế thuật toán cũng như phân tích tỷ suất hiệu quả của các thuật toán xấp xỉ xây dựng theo phương pháp gốc-đối ngẫu

1.4 Mô hình lát cắt – Bài toán thiết kế mạng

Định lý Menger: Cho đồ thị G V,E và A, B V Thế thì số đỉnh nhỏ nhất tách

A khỏi B bằng số đường đi A B rời đỉnh lớn nhất (trong định lý này, khái niệm rời đỉnh được hiểu với nghĩa nghiêm ngặt, tức là không chung đỉnh nào, kể cả đầu mút) (Xem [D00])

Hệ quả 1: Cho các đỉnh a b V

i Nếu ab E thì số đỉnh khác a, nhỏ nhất tách a khỏi b b bằng số đường đi a b

rời đỉnh lớn nhất

ii Số cạnh nhỏ nhất tách a khỏi b bằng số đường đi a b rời cạnh lớn nhất

Chứng minh: i áp dụng định lý Menger với A N a ,B N b

ii áp dụng định lý Menger trên đồ thị tuyến G L với A E a ,B E b

Giả sử v u, là 2 đỉnh phân biệt của đồ thị G, từ u , v cạnh tách u khỏi v ta lập

được một lát cắt u v có kích thước không lớn hơn u , v Vì vậy, u , v không nhỏ hơn kích thước mincut u v Đồng thời số đường đi u v rời cạnh lớn nhất không thể vượt quá kích thước mincut u v Theo định lý Menger, u , v bằng số đường đi u v rời cạnh lớn nhất Vì vậy, số đường đi u v rời cạnh lớn nhất cũng chính là kích thước mincut u v Từ nhận xét này, đối với nhiều bài toán liên thông trong lớp bài toán thiết kế mạng, người ta quy các yêu cầu liên thông giữa các cặp đỉnh về ràng buộc kích thước tối thiểu của mỗi lát cắt Mô hình hoá bài toán theo các lát cắt như vậy gọi là mô hình lát cắt (cut-covering) Ví dụ, trong bài toán k-EC, yêu cầu liên thông quy về S k, S V; hay trong bài toán SND là

V S S

f

S , với f S max r uv u S,v S , r là yêu cầu liên uv

thông của cặp đỉnh v u, Từ đây trở về sau, để chỉ f , tuỳ theo ngữ cảnh ta sẽ dùng

thuật ngữ hàm yêu cầu cắt hoặc hàm yêu cầu liên thông

Phát biểu bài toán

Bài toán thiết kế mạng (Network Design Problem) Cho đồ thị G (V,E) (có

hướng hoặc vô hướng, G là đa đồ thị hoặc đồ thị đơn giản) có hàm giá không âm

H , Tức là với mọi tập đỉnh S số cạnh của H rời khỏi S ít nhất là f S

Ta lập biến x e 0,1 cho mỗi cạnh e với ý nghĩa như sau, x e 1 nếu đồ thị bộ

phận chứa e và x e 0 nếu ngược lại Khi đó, QHN của bài toán thiết kế mạng (trong trường hợp đồ thị đơn giản không chứa cạnh lặp) theo mô hình lát cắt sẽ là:

V S S f S x

e 0,1,

),())((

Trên thực tế ta hay gặp một trường hợp riêng của bài toán thiết kế mạng, ở đó yêu cầu liên thông được chỉ ra bằng hàm yêu cầu liên thông nguyên không âm (.,.)r

như sau: với mỗi cặp đỉnh phân biệt u, v V phải có ít nhất r ( v u, ) đường đi u v

rời cạnh Bài toán này gọi là bài toán SND, phát biểu đầy đủ của bài toán như sau:

Bài toán Survivable Network Design (SND): Cho (đa) đồ thị vô hướng

e

e x c

min nhỏ nhất

Theo định lý Menger, ta có thể nghiên cứu bài toán SND trên mô hình lát cắt của bài toán thiết kế mạng với f(S) max r u,v u S,v S , tức là f S là yêu cầu cắt lớn nhất mà lát cắt S , S cần thoả

Chương 2: Phương pháp gốc-đối ngẫu

2.1 Lý luận chung

Sự phát triển của ngành tối ưu hoá tổ hợp trong thời gian qua chịu ảnh hưởng lớn của lý thuyết QHTT Nhiều ý tưởng, công cụ trong tối ưu hoá tổ hợp bắt nguồn từ những tính chất toán học được biết trong QHTT Phương pháp gốc-đối ngẫu là một trong những công cụ như vậy Dantzig, Ford, Fullkerson là những người đầu tiên đề xuất phương pháp gốc-đối ngẫu để giải các QHTT, mặc dù phương pháp tự nó không trở thành thuật toán để giải các QHTT nhưng nó đã được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực tối ưu hoá tổ hợp

Theo định lý về độ lệch bù trong lý thuyết QHTT (xem chương 1), cặp phương án đối ngẫu là các phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng thoả mãn các điều kiện độ lệch bù Vận dụng định lý này, phương pháp gốc-đối ngẫu xây dựng thuật toán giải

QHTT như sau: xuất phát từ một phương án đối ngẫu y chấp nhận được, ta hoặc là tìm được một phương án gốc x thoả mãn điều kiện độ lệch bù gốc đối với y (và qua đó y cũng thoả mãn điều kiện độ lệch bù đối ngẫu), điều này chứng tỏ x , y tìm được là các phương án tối ưu Trong trường hợp không tìm được phương án gốc x như vậy, ta sẽ lập được một phương án giúp cải tiến phương án y thành phương án đối ngẫu mới có giá trị hàm mục tiêu cao hơn Việc tìm phương án x để x , y đồng

thời thoả mãn các điều kiện độ lệch bù như vậy quy về giải một quy hoạch tuyến tính gọi là quy hoạch gốc hạn chế RP (Restricted Primal) Điểm đặc biệt của quy hoạch này là hàm mục tiêu không chứa hệ số và giá trị tối ưu của hàm mục tiêu bằng 0 tương đương với việc tìm được phương án gốc tối ưu Nếu giá trị tối ưu >0 thì từ phương án tối ưu của quy hoạch đối ngẫu DRP (Dual Restricted Primal) của

quy hoạch RP ta xây dựng được phương án đối ngẫu y mới có giá trị hàm mục tiêu

cao hơn Về tổng thể, việc giải QHTT bằng phương pháp đối ngẫu như trên thông qua việc giải một dãy các QHTT khác, cho nên nếu xét mục đích giải QHTT tổng quát thì phương pháp này không dẫn đến một đột phá nào Tuy nhiên đối với các

bài toán trong lớp P, các QHTT hạn chế không trọng số đơn giản hơn QHTT gốc nhiều và thường là có thể giải bằng các thuật toán tổ hợp Thực tế cho thấy, nhiều thuật toán giải các bài toán cơ bản trong tối ưu hoá tổ hợp hoặc được thiết kế hoặc

có thể phân tích dựa trên phương pháp này Ví dụ, các thuật toán tìm đường đi ngắn nhất của Dijsktra, tìm luồng cực đại của Ford-Fullkerson, xem [PS88]

Mặc dù vậy ta biết rằng, nói chung các phương án tối ưu của QHTT làm yếu (từ mô hình QHN) của các bài toán NP-khó không phải là các phương án nguyên và cũng không thể mô hình hoá chúng ở dạng các QHTT có kích thước đa thức trừ khi NP=P Vì vậy, không thể áp dụng trực tiếp phương pháp gốc-đối ngẫu ở trên để thiết kế thuật toán xấp xỉ cho các bài toán NP-khó

áp dụng phương pháp gốc-đối ngẫu thiết kế thuật toán xấp xỉ

Khi áp dụng phương pháp gốc-đối ngẫu để thiết kế thuật toán xấp xỉ, ta sẽ không cố thoả mãn tất cả các điều kiện độ lệch bù Thay vào đó, ta chỉ đảm bảo điều kiện độ lệch bù gốc (điều này đóng vai trò quyết định trong việc đánh giá tỷ suất hiệu quả sau này) Dựa trên QHTT làm yếu từ mô hình QHN, thuật toán lần lượt cải tiến cặp phương án tuyến tính đối ngẫu nhằm tăng tính chấp nhận được của phương án gốc

và tăng giá trị hàm mục tiêu của phương án đối ngẫu Khi phương án gốc còn chưa

là chấp nhận được thì tìm được hướng để tăng giá trị hàm mục tiêu của phương án đối ngẫu Quá trình cải tiến đảm bảo:

- Phương án gốc luôn nguyên và thoả mãn điều kiện độ lệch bù gốc nhưng có thể không là chấp nhận được

- Phương án đối ngẫu luôn chấp nhận được và có giá trị hàm mục tiêu tăng dần theo quá trình sửa đổi

Đánh giá tỷ suất hiệu quả

Xét cặp QHTT đối ngẫu của bài toán thiết kế mạng (xem chương 1), gọi F là tập

cạnh của đồ thị bộ phận mà thuật toán gốc-đối ngẫu tìm ra Tỷ suất hiệu quả của thuật toán được đánh giá thông qua so sánh giữa

F e e c F

c và giá trị của phương

án đối ngẫu

V S

S f S

y Do x thoả mãn điều kiện độ lệch bù gốc nên

V S

S F

e S e S

S F

e

c

:

Nếu f là hàm 0-1, và ta chứng minh được

rằng F S , y S 0 thì rõ ràng ta có thuật toán -xấp xỉ Trên thực tế điều kiện này quá chặt, trong phương pháp gốc-đối ngẫu của Goemans-Williamson, nếu tại mỗi bước cải tiến phương án đối ngẫu (tăng giá trị của y S) điều kiện trên đúng trên tổng thể các biến đối ngẫu được tăng (tức là nếu lấy giá trị trung bình trên tất cả các biến y tăng trong bước cải tiến hiện tại) thì ta vẫn có thuật toán S -xấp xỉ Xem [Hoc96] để biết thêm chi tiết về các nguyên tắc thiết kế thuật toán xấp xỉ theo phương pháp gốc-đối ngẫu

Cho đến trước khi phương pháp gốc-đối ngẫu ra đời, việc tìm thuật toán xấp xỉ hiệu quả cho các bài toán tối ưu hoá tổ hợp phụ thuộc nhiều vào cấu trúc của bài toán Điểm ưu việt của phương pháp gốc-đối ngẫu là ở chỗ, nó chỉ ra một sơ đồ tổng quát

để có thể thiết kế thuật toán xấp xỉ cho các bài toán tối ưu hoá tổ hợp dựa trên mô hình QHN của chúng Ngoài ra, so với phương pháp lặp liên tiếp, mà ta sẽ bàn ở chương 3 thuật toán thiết kế theo phương pháp gốc-đối ngẫu là thuật toán tổ hợp nó không đòi hòi giải QHTT và bởi vậy sẽ hiệu quả hơn trên thực tế

Nói chung, các bài toán thiết kế mạng đều là các bài toán NP-khó, ngay cả khi hạn chế chúng chỉ ở những dạng khá đơn giản Ví dụ, bài toán cây Steiner là NP-khó, thậm chí khi hàm giá thoả mãn độ đo Euclid; hay bài toán tìm đồ thị bộ phận 2-EC nhỏ nhất cũng là NP-khó ngay cả khi các cạnh có cùng trọng số đơn vị Bởi vậy, trong các nghiên cứu về bài toán thiết kế mạng, người ta dành nhiều sự quan tâm đến việc thiết kế thuật toán xấp xỉ cho chúng Trên thực tế, những thành công đầu tiên của phương pháp gốc-đối ngẫu trong thiết kế thuật toán xấp xỉ là những thuật toán xấp xỉ cho một số bài toán thiết kế mạng

Agrawal, Klein, Ravi [AKR91] là những người đầu tiên áp dụng phương pháp đối ngẫu để thiết kế thuật toán xấp xỉ Các ông đã xây dựng được thuật toán 2-xấp

gốc-xỉ cho bài toán SND, còn gọi là bài toán Generalized Steiner Network, trong trường hợp r u ,v 0,1 Goemans, Williamson [GW92] áp dụng phương pháp gốc-đối ngẫu giải bài toán SND với hàm proper 0,1 và cho kết quả là thuật toán 2-xấp xỉ Williamson, Goemans, Mihail, Vazirani [WGMV93] sau đó tìm ra thuật toán xấp

xỉ đầu tiên cho bài toán SND trên đồ thị đơn giản (không có cạnh lặp) Thuật toán

có tỷ suất hiệu quả là 2fmax , với fmax là yêu cầu liên thông lớn nhất trong bài toán Dựa trên các kết quả này, Goemans và đồng nghiệp trong [GGPSTW94] tiếp tục cải tiến và nâng thuật toán thành 2H fmax -xấp xỉ trong trường hợp đồ thị chấp nhận cạnh lặp và hàm proper tổng quát

Trong các phần sau của chương, NVLV xin trình bày những nét cơ bản của các kết quả trên

2.2 Thuật toán Goemans-Williamson

Bài toán Constrained Forest (CF) Cho đồ thị vô hướng G V,E , hàm giá không âm trên tập các cạnh c : E Q , hàm proper 0,1 f :2V 0,1 Tìm tập cạnh H E thoả f có giá

H e e c H

c nhỏ nhất

Mô hình QHN của bài toán:

E c e

e x c

min thoả mãn

E e x

V S S f x e

S e e

,1,0

,1

V

S

Bài toán rừng Steiner tổng quát: Cho p tập các đỉnh cuối N , ,1 N p (không nhất thiết rời nhau), tìm rừng có giá nhỏ nhất mà các đỉnh cùng của N i liên thông với nhau

l¹ing-îc0

:,1,f S i S N i N i

V

S

Bài toán điểm-đến-điểm: Cho tập các đỉnh nguồn C c1, ,c p , tập các đỉnh đích

p d

d

D 1, , Tìm rừng có giá nhỏ nhất mà mỗi thành phần liên thông của rừng đều chứa số đỉnh nguồn bằng số đỉnh đích

l¹ing-îc0

,1, f S S C S D

0

,1,

T S

T S S

e x c

min thoả mãn

E e x

V S S f x e

S e e

,0

,

QHTT đối ngẫu: S

V S

y S f

max thoả mãn

V S y

E e c y S

e S e S S

,0

,:

Các điều kiện độ lệch bù lần lượt như sau:

Điều kiện độ lệch bù gốc: x y c e e E

S e S S

:

Điều kiện độ lệch bù đối ngẫu: y x f S S V

S e e

y S

while F không thoả hàm proper f

Gọi là số lớn nhất mà nếu tăng tất cả các biến y C của các thành phần active C thành y C thì cũng không ràng buộc nào của QHTT đối ngẫu bị

vi phạm

Tăng biến y của mọi thành phần active C thành C y C

Giả sử cạnh e* trở nên chặt

S e S

e

y

* :

*

Thêm e* vào F

end

Thực hiện thủ tục reverse-delete trên F và nhận kết quả là rừng F'

Thuật toán Goemans-Williamson lập tập cạnh F bằng cách bổ sung tuần tự từng cạnh một cho F (ban đầu F rỗng) qua mỗi vòng lặp Giả sử F * là tập F kết thúc tại vòng lặp cuối cùng F* thoả mãn f nhưng có thể không phải là tập tối tiểu

thoả f Thuật toán gọi thủ tục reverse-delete để tìm tập con F' F* chỉ chứa

những cạnh nhất thiết cần để thoả f Thủ tục reverse-delete lần lượt xét các cạnh

theo trình tự ngược lại với thứ tự thêm chúng vào F để loại đi những cạnh e mà

e

F \* vẫn thoả f

Thuật toán bắt đầu từ cặp phương án gồm phương án đối ngẫu y S 0, S V, phương án gốc tương ứng (không là phương án chấp nhận được) là x e 0, e E Tại mỗi bước lặp, từ một phương án gốc x lập tập cạnh F tương ứng

Tại bước lặp bất kì, giả sử C là tập đỉnh của một thành phần liên thông của đồ thị

F

V , Ta gọi C là thành phần active nếu f C 1 Rõ ràng nếu C V là thành phần active thì tập cạnh F không thoả f tại C, F C 0 f(C) 1, nhưng

F thoả f tại mọi tập con thực sự C' của C , F C' 1 f C', C' C

Trong mỗi vòng lặp, thuật toán tìm lớn nhất mà nếu tăng tất cả các biến đối ngẫu

e

y

* :

*, tức là cạnh e* trở nên chặt Sau khi cạnh e* vw được thêm vào F, biến x trong phương án gốc đổi từ 0 lên e*

1 Hiển nhiên cạnh e* thoả mãn điều kiện độ lệch bù gốc Gọi C v ,C w là 2

thành phần liên thông chứa w v, trước khi thêm e* vào F, sau khi thêm e*, C v

và C w đều thoả mãn S F f S , tuy nhiên thành phần liên thông mới

w C

v

C

C ( ) có thể là thành phần active và do vậy không thoả f Thuật toán

tiếp tục bổ sung cạnh cho F, cho đến khi F thỏa f

Định lý 1 Gọi F' E là kết quả của thuật toán Goemans-Williamson, y là phương

án đối ngẫu khi kết thúc thuật toán, c(E OPT) là giá trị của phương án tối ưu Thế thì,

)(22

'

OPT V

S

S F

Bổ đề 2 Cho tập đỉnh C V có f C 0, thế thì C F' 1

Tính chất 3 Nếu S V mà f S 0 và B S có f B 0 thì f S \ B 0

Chứng minh: Dựa vào các tính đối xứng và tối đại của hàm proper f ta có :

0)(,

\max

f mà f C* 0 theo định nghĩa của F (nếu không * F * sẽ

không thoả f tại C*) Theo tính chất 3 suy ra f C * N\ * 0, dẫn đến cạnh e*phải được loại bỏ trong thủ tục reverse-delete, đi đến mâu thuẫn

Chứng minh định lý 1 Mỗi cạnh e thêm vào F đều thoả mãn điều kiện độ lệch

bù gốc nên y c e F

S e S

S S

e S

S F

Định lý được chứng minh nếu ta có thể chỉ ra rằng:

V S

S V

C f F

C f F

C C

1

hay

C C

C f F

C C

2.3 Thuật toán 2 fmax- xấp xỉ cho bài toán SND

Như đã xét ở chương 1, ta biết rằng bài toán SND là bài toán thiết kế mạng có các yêu cầu liên thông được chỉ ra bằng hàm yêu cầu liên thông (.,.)r : với mỗi cặp đỉnh

1,0

),())((

p h

x

V S S

h S x

(IPh)

trong đó

,0

)()

(,

1)

l¹ing-îcnÕu

S y S

h( )max thỏa mãn

V S y

E e c y S

h S

e S

e S

,0

,)

( :

Bổ đề 1: Nếu hàm f là proper thì f là hàm proper p

Bổ đề 2: Nếu hàm f là proper thì h là hàm uncrossable

Williamson, Goemans, Mihail, Vazirani xây dựng thuật toán Uncrossable theo phương pháp gốc-đối ngẫu tìm phương án chấp nhận được có giá không vượt quá 2 lần giá của phương án tối ưu của QHN IPh với hàm uncrossable h tuỳ ý Các ông

chứng minh được rằng, nếu 'F và y S lần lượt là tập cạnh và phương án đối ngẫu tìm ra bởi Uncrossable thì

S

S F

Thuật toán 2-xấp xỉ cho QHN IP h

Như đã trình bày ở phần trên, việc giải xấp xỉ bài toán SND quy về giải xấp xỉ IPh, với h là hàm uncrossable trên tập cạnh E h E\F p 1 tại pha p Thuật toán xấp xỉ

Uncrossable tương tự thuật toán Goemans-Williamson giải bài toán CF Tuy nhiên, việc xác định các tập phạm qui tối tiểu đối với hàm uncrossable không đơn giản như trong bài toán CF

Thuật toán Uncrossable: Xuất phát từ phương án gốc F và phương án đối ngẫu y S 0, S Nếu có tập phạm quy (đối với h), tức là có tập S mà h (S) 1trong khi F (S) thuật toán sẽ cải tiến cặp phương án đối ngẫu Việc cải tiến bắt đầu bằng việc xác định tất cả các tập phạm quy tối tiểu, gọi chung là các tập active

Ký hiệu tập các tập active là Thuật toán tăng đồng loạt các biến y C C cho đến khi ràng buộc của một cạnh e E h tại QHTT gốc trở nên chặt, tức là

việc này tăng giá trị hàm mục tiêu của phương án đối ngẫu Khi đó,

thêm cạnh e vào F, việc này tăng tính chấp nhận được của phương án gốc Khi F

trở thành phương án chấp nhận được, thuật toán chuyển sang xoá các cạnh không cần thiết của F, nhận được tập 'F

Trong thuật toán, thay cho việc tính tường minh các biến đối ngẫu y S, ta chỉ cần duy trì các biến d v để

S v S S y v

d

: khi bắt đầu mỗi vòng lặp Nhờ vậy, sau khi

đã xác định các tập active ta có thể tính lượng tăng tối đa của các biến đối ngẫu Như vậy, việc thuật toán chạy trong thời gian đa thức phụ thuộc hoàn toàn vào việc

có thể nhanh chóng tìm ra các tập active hay không Trong trường hợp là hàm

uncrossable tổng quát, h không nhất thiết phải có tính tối đại như hàm proper Vì vậy có thể xảy ra khả năng tồn tại các S , là một số thành phần liên thông nào đó i

của V , F , có h S i 0,hS i 1 Mà số các tập S tổ hợp từ các thành phần

liên thông có thể nhiều mức hàm mũ nên việc xác định các tập active không đơn giản Tuy nhiên, trong trường hợp cụ thể hàm h của bài toán, các tập active có tính chất đặc biệt để có thể xây dựng thuật toán xác định chúng trong thời gian đa thức

Định lý 3 Cho h là hàm uncrossable, F E h Thế thì, các tập phạm qui tối tiểu đối với h rời nhau

Chứng minh: Giả sử A, B phạm qui tối tiểu đối với h và A B Sử dụng tính chất submodular của hàm F và định nghĩa hàm uncrossable h, suy ra hoặc

Trong các bổ đề 4, 5, định lý 6, ta nói S là mincut u v tối tiểu để chỉ S là tập

đỉnh tối tiểu thoả mãn S, S là mincut u v và u S

Xét tại pha p, ký hiệu F là tập các cạnh đang được chọn Định lý 6 khẳng định

rằng với mọi tập active S có thể chọn ra u S,v S để S chính là mincut u v

tối tiểu Ta biết rằng, S là tập phạm qui thì h S 1 và F S , theo định nghĩa

hàm h, điều này dẫn đến f S p và 1

1 F S p

F p

Bổ đề 4 Gọi S là tập phạm qui tối tiểu đối với tập cạnh H F p 1 F và hàm

proper f Thế thì, tồn tại u S, f u p để T S chứa u đều có H T p

Chứng minh (bằng phương pháp phản chứng) Trước hết ta thấy u S, f u p

vì nếu không f S max f u u S p 1 (theo tính tối đại của hàm proper), trái với giả thiết Giả sử u i S có f u i p, đều T i S chứa u mà i

1

p

T i

H Ta sẽ chứng minh f T i p 1, khi đó:

T i f u u T i f

S

Giả sử có 2 tập T , i T j trong T i mà T i T j Ta có:

i j H j

i H j

H

i

1,

T \ Như vậy ta có thể thay T bằng họ các tập rời nhau i T ' mà i T i T' i

và H T'i p 1 Do S là tập phạm qui tối tiểu nên T ' thoả i f p, tóm lại ta có:

i i

p i

H T f T p f T

p 1 ' ' min , ' suy ra f T'i p 1 Theo tính chất tối

đại của hàm proper f ta suy ra f T i f T'i p 1



Bổ đề 5 Gọi S là tập phạm qui đối với tập cạnh H F p 1 F và hàm proper f

Thế thì, tồn tại u S, f u p để T S chứa u đều có H T p 1

Chứng minh: Lập luận tương tự bổ đề 4, riêng chi tiết từ H T'i p 1 cần rút ra

Định lý 6 Cho trước tập phạm qui tối tiểu S đối với H F p 1 F và hàm proper

f Thế thì, có cặp u, để S là mincut v u v tối tiểu

Chứng minh: Gọi u là đỉnh trong S như kết luận của bổ đề 4, v là đỉnh trong S

như kết luận của bổ đề 5 Do tính đối xứng của các hàm f và H nên S là tập

phạm qui Như vậy, T S để u T và H T p 1 (1); T S để v T

và H T p 2 (2) Gọi C là mincut u v tối tiểu, u C và q là giá trị của lát

cắt này Do H S p 1 nên q p 1 Do (1) nên S không thể chứa C , nếu

S

S

C , ta có: q p 1 H C H S

S C S

H

Theo (1) H C S p nên H C S q, mà C S cũng là một u v cắt dẫn đến mâu thuẫn với giá trị của mincut C Bởi vậy, S C, từ đây suy ra

đồ thị này Như vậy để xác định các tập active, trước hết ta tính các luồng cực đại

v

u của mọi cặp u, v và lấy ra các mincut tối tiểu có giá trị p 1 Từ định lý 6, ta biết rằng các tập active chỉ nằm trong tập hợp này Sau đó, ta sử dụng tư vấn tính hàm f để chọn ra các tập S có f S p Các tập này chính là các tập active cần tìm

2.4 Thuật toán 2H fmax -xấp xỉ cho bài toán SND

Goemans và các đồng nghiệp trong [GGPSTW94] cải tiến thuật toán WGMV được thuật toán 2H fmax -xấp xỉ (gọi là thuật toán GGPSTW) cho bài toán SND trên đồ thị đơn giản (không chứa cạnh lặp) và hàm proper tổng quát Vẫn giữ nguyên ý

tưởng của thuật toán WGMV nhưng khác với WGMV, tại pha p , thuật toán

GGPSTW sử dụng hàm f p(S) f(S) fmax p thay cho hàm

p S f S

f p min , Như vậy, tại mỗi pha thuật toán GGPSTW tìm cách thoả các tập S có yêu cầu cắt lớn trước, khác với WGMV tìm cách thoả các tập có yêu cầu cắt nhỏ trước Điều này không chỉ dẫn đến thuật toán có tỷ suất hiệu quả cao hơn

mà nó còn cho phép mở rộng áp dụng cho cả hàm supermodular yếu Để ý rằng, nếu

f supermodular yếu thì f p cũng supermodular yếu Sau fmax pha, tập cạnh

f S

h

p

F p

Định lý 1: Thuật toán GGPSTW là 2H(fmax)-xấp xỉ với bất kỳ hàm supermodular

yếu nào Nếu f là hàm proper thì thuật toán có thể cài đặt để hoạt động trong thời

gian đa thức

Từ tập F p 1 đã thỏa f p 1 việc cần bổ sung thêm cạnh để thoả

p f

h

P

F p

Chứng minh: Do S h là hàm 0,1 và ( ) ( )

1 S S

Xét QHTT gốc

E e e

e x c

min thoả mãn

E e x

V S S f S x

e 1,0

),())((

Lập QHTT đối ngẫu

E e e

S z y

S

f

E e z

V S y

E e z c y

e S

S e S

e e S

,0

,0

1 ,

:

(D)

Tại pha p , sau khi gọi thuật toán Uncrossable, giả sử ta được phương án đối ngẫu

y Lập vectơ z như sau:

l¹ing-îc

z

Bổ đề 3: Véctơ (y,z) là phương án chấp nhận được của (D) và

S p

e f S y

Chứng minh: Xét e E p E F p 1, do y là phương án chấp nhận được của

QHTT đối ngẫu của QHTT IPh nên y S c e, suy ra (y,z) thoả (1) Xét

S e

e E

Đẳng thức (2) có được là do y S 0 khi và chỉ khi S từng là tập phạm qui tối tiểu

trong pha p có h (S) 1 Vì vậy 0 1 1

1 S f S S

của QHTT làm yếu (của bài toán thiết kế mạng) Thế thì, thuật toán GGPSTW cho tập cạnh kết quả

F e

e H f Z H f Z c

f

Chứng minh: Từ bổ đề 3

e S

S

S

y p

c

f

* max

2H f Z IP



Tương tự trường hợp hàm uncrossable h trong thuật toán Uncrossable, nếu f là

hàm proper, Goemans và các đồng nghiệp chỉ ra rằng có thể tìm các tập active cho hàm h trong thời gian đa thức và vì vậy có thuật toán đa thức 2H fmax -xấp xỉ cho bài toán thiết kế mạng với hàm proper f Hàm yêu cầu cắt

S v S u v u r

S

f max , , trong bài toán SND là hàm proper nên ta cũng coi như có thuật toán đa thức 2H fmax -xấp xỉ cho bài toán này

Chương 3: Kỹ thuật làm tròn liên tiếp

3.1 Lý luận chung

Làm tròn liên tiếp là một mở rộng của kỹ thuật làm tròn-QHTT Jain là người đề khởi kỹ thuật này và đã áp dụng thành công trong việc tìm ra thuật toán 2-xấp xỉ cho bài toán SND trên đa đồ thị vô hướng, xem [Jan01] Jain cũng chỉ ra rằng với các hàm yêu cầu cắt supermodular yếu, phương án cực biên tối ưu luôn có

2

1

max x e Dựa trên thuật toán Frank, Melkonian và Tardos xây dựng thuật toán 2-xấp xỉ cho bài toán SND trên đa đồ thị có hướng và chứng minh rằng đối với các hàm hàm yêu cầu cắt crossing supermodular (xem định nghĩa hàm trong chương 1),

trong phương án cực biên tối ưu

4

1max x e Mở rộng khái niệm lát cắt, Cheriyan, Vempala và Vetta trong [CVV01a], [CVV01b], [CVV02] đưa ra khái niệm cặp tập hợp (setpair) và hàm skew supermodular trên các cặp tập hợp này Sau đó, dựa theo

ý tưởng kỹ thuật làm tròn liên tiếp, Chriyan, Vempala và Vetta đặc trưng hoá phương án cực biên bởi họ non-crossing các cặp tập hợp và áp dụng vào bài toán

MW k-VC tìm ra thuật toán O n -xấp xỉ với

Sơ đồ thuật toán xấp xỉ dựa trên kỹ thuật làm tròn liên tiếp

Xây dựng phương án xấp xỉ dần dần qua nhiều bước theo sơ đồ như sau:

- Dùng thuật toán Ellipsoid giải QHTT tìm ra phương án cực biên tối ưu x

- Dựa trên các thành phần x của x , chọn ra một số cạnh đưa vào phương án xấp xỉ e

- Lập QHTT cho bài toán phần dư (residue problem) bằng cách xác định lại các hàm yêu cầu cắt Quay trở lại giải QHTT này

Cơ sở toán học

Dựa vào tính chất hàm yêu cầu cắt ta có thể đặc trưng hoá phương án cực biên tối

ưu bằng một họ L các tập S , họ L này có những tính chất đủ đặc biệt để chứng

minh trong phương án cực biên tối ưu bao giờ cũng có thành phần có giá trị cao, (ví

dụ >1/2) Tức là những khẳng định dạng max x e , dựa trên kết luận này ta có thể chứng minh tỷ suất hiệu quả thuật toán làm tròn liên tiếp là 1 Mặt khác, cũng xuất phát từ tính chất hàm yêu cầu cắt, ta thấy rằng hàm sau khi chọn cạnh bổ sung vào phương án xấp xỉ vẫn giữ nguyên tính chất (tức là vẫn thuộc về một lớp hàm nhất định) Đặc điểm tự quy dẫn này của bài toán là cơ sở để thuật toán thực hiện tiếp phép làm tròn sau Trong một số trường hợp riêng của hàm yêu cầu cắt, ta có thể xây dựng một tư vấn phân loại cho QHTT lập ra, tức là một tư vấn, với đầu vào

là một phương án thì đầu ra là câu trả lời có chấp nhận được hay không, trong trường hợp không thì đưa ra ràng buộc bị vi phạm

3.2 Bài toán SND trên đa đồ thị vô hướng

Bài toán SND trên đa đồ thị vô hướng: Cho đa đồ thị vô hướng G V,E , hàm giá trên tập các cạnh c : E Q , hàm yêu cầu liên thông ,.r trên tập các cặp đỉnh không thứ tự r : V V Z , hàm u : E Z chặn trên số cạnh lặp có thể

có của một cạnh e Tìm đa đồ thị bộ phận của G có giá nhỏ nhất thoả mãn giữa 2 đỉnh u, v bất kỳ có ít nhất r , u v đường đi rời cạnh u v và tại mỗi cạnh e có không nhiều hơn e u bản sao e

Ta lập QHTT của SND theo mô hình lát cắt Gọi f :2V Z là hàm yêu cắt xác định như sau: với mọi lát cắt S , S f S max r u,v u S,v S , như vậy f S

là yêu cầu cắt lớn nhất mà S , S cần thoả

e

e e

S e e

u u

x

u Z

x

V S S f x

, ,1,0

e x c

min thoả mãn

e e

e

e e

S e e

u x

u

u x

V S S f x

00

Bổ đề 1: Gọi H là một đồ thị bộ phận của đa đồ thị G Cho f :2V Z là hàm supermodular yếu, lập f' S f S H S , S V Thế thì, 'f cũng là hàm

supermodular yếu

Chứng minh: Xem tính chất 3 ở chương 1

Định lý 2 Với mọi hàm supermodular yếu f , mọi phương án cực biên x của

Cập nhật f': f' S f' S H S

Output H

Thuật toán 3 đòi hỏi việc tìm ra phương án cực biên tối ưu trong thời gian đa thức

Nếu f là hàm supermodular yếu tổng quát thì việc có tìm được phương án như vậy hay không vẫn còn bỏ ngỏ Tuy nhiên nếu f là hàm yêu cầu liên thông như xác

định ở QHTT (1) thì dẫn đến tồn tại một tư vấn phân loại thời gian đa thức, dựa vào

tư vấn này ta có thể tìm được phương án cực biên tối ưu trong thời gian đa thức

Ta xây dựng tư vấn phân loại như sau: gọi x là phương án cần kiểm tra tính chấp

nhận được Lập đồ thị luồng trên đồ thị G bằng cách coi x là dung lượng của cạnh e

e Với mỗi cặp đỉnh u, v tư vấn so sánh Maxflow , u v và r , u v Nhận xét rằng,

điều kiện cần và đủ để x là phương án chấp nhận được là u, v Maxflow , u v v

u

r , Thật vậy, nếu u, mà v Maxflow , u v < r , u v theo định lý Mincut, sẽ có lát cắt S , S mà

Maxflow-S e e

x = Maxflow , u v <r , u v f S , hay S , S

là lát cắt vi phạm ràng buộc trong QHTT (2) Dễ thấy rằng tư vấn hoạt động trong thời gian đa thức

Ta sẽ thấy tư vấn phân loại này cũng là tư vấn phân loại cho QHTT( 'f ) qua bổ đề

4 Giả sử x' là phương án của QHTT( 'f ), lập phương án x cho QHTT( f ) như

sau:

H

e

x ' , e là số bản sao của của e nằm trong H H

Bổ đề 4: x' không thoả mãn rằng buộc tại lát cắt S , S khi và chỉ khi x cũng không thoả mãn ràng buộc tại lát cắt này

Chứng minh: x' S f' S

S S

x

S e

H

e S

x

S f S

x



Tóm lại, bằng việc duy trì tập cạnh H ta không cần tính tường minh hàm ' f trong

thuật toán 3 Mặt khác, cũng chỉ cần một tư vấn phân loại cho tất cả các hàm yêu cầu liên thông

Định lý 5: Giả sử mọi phương án cực biên của QHTT( f ) luôn có ít nhất một thành

phần

2

1

e

x Thế thì, thuật toán 3 là thuật toán 2-xấp xỉ

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học bất đẳng thức

e e H

e e c x

c 2 , với e là số bản sao của e trong tập cạnh H , theo số lần lặp H

của thuật toán

Nếu thuật toán lặp đúng 1 lần Phương án tìm được có giá

e e x

e e H

Nếu thuật toán lặp hơn 1 lần Sau lần lặp đầu tiên ta được tập cạnh H và còn

QHTT( f ) phải giải trên đồ thị có các giới hạn ' u đã cập nhật Giả sử e x là phương

án cực biên tối ưu, xˆ là phương án lấy các thành phần

(*) '

S f e x

S S

f x S

f

S

x

S e H x

S

e

e

H x

S e

S

x , ta có đpcm

Nếu ta coi QHTT( 'f ) là bài toán QHTT khởi đầu, thì số vòng lặp để tìm H ít hơn '

1 so với số vòng giải QHTT( f ) áp dụng giả thiết quy nạp, ta có

e e e

H c x c

e 2 , x' là phương án tối ưu của QHTT( 'f )

Do x x xˆ là phương án chấp nhận được của QHTT( 'f ), nên e H c e 2c x Mặt khác, e H c e 2c xˆ , vì vậy e H H c e 2c x , ta có đpcm

 Giả sử x là phương án cực biên của QHTT(2) Nếu có x e 0 thì ta coi như cạnh e

không có mặt trong đồ thị; ta muốn chứng minh tồn tại thành phần

2

1

e

x , bởi vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0 x e 1, e E, tức là loại bỏ được các rằng buộc liên quan đến u Giả sử số cạnh e E m , với mỗi tập S ta lập các véctơ

S 0,1 , trong đó thành phần ứng với cạnh e là 1 nếu e S và là 0 nếu ngược lại Gọi là tập các véctơ kề ứng với các ràng buộc tuyến tính xảy ra chặt, khi đó ta chứng minh được rằng dim span m , tức là trong có m véctơ kề độc lập tuyến tính Giả sử hàm f trong QHTT là hàm supermodular yếu tùy ý Ta gọi tập S là chặt nếu ràng buộc tương ứng với nó là chặt

Định lý 6 ứng với mỗi phương án cực biên của QHTT (2) có bộ m tập chặt thỏa

mãn:

- Các véctơ kề của nó độc lập tuyến tính