ĐỀ TÀI: “Phương pháp giải bài toán xác suất lớp 11”

Để có thể giải quyết được các bài toán Tổhợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹnăng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các b

PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU

1

Lý do chọn đề tài

Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đềcập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất Để có thể giải quyết được các bài toán Tổhợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹnăng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toánvào những tình huống cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp

11 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấuđáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cốxung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một sốkiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắccộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Dođặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt

so với các bài toán đại số, giải tích, hình học Chính vì vậy, đứng trước một bàitoán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đãlàm đúng

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơbản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để

giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài toán xác suất lớp 11”.

Đề tài của tôi gồm 3 phần:

Phần I: Lời nói đầu

Phần II: Nội dung

A: Cơ sở lý thuyếtB: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11C: Một số bài tập tham khảo

Phần III: Kết luận

2 Mục đích yêu cầu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suấtđồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vàonhững tình huống cụ thể

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn

- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xácsuất, các bài toán xác suất

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chươngtrình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu

a) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất

b) Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số tìnhhuống cụ thể

5.

Phương pháp nghiên cứu

a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh

c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải

quyết các bài toán ở những lớp trước

Phần II: NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1) Biến cố và phép thử biến cố

 Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được

kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó

 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là

không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là 

 Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạngmệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

- Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không)

- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

 Phép toán trên biến cố

Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử vàcác kết quả của phép thử là đồng khả năng

+ Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là Và xảy ra

khi và chỉ khi không xảy ra

+Tập A B được gọi là hợp của các biến cố A và B

+ Tập được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là

A.B

+ Nếu thì ta nói và là xung khắc.

+ Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến

cố kia

2) Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết

quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số ( )

( )

n A

n  là xác suất của biến cố , kí

hiệu là P(A) Vậy ( ) ( )

c) Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P A B( )P A P B( ) ( )

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11

B1 Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ

điển của xác suất Xác suất của biến cố A là: ( ) ( )

Cho một lục giác đều ABCDEF Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6

thẻ Lấy ngẫu nhiên hai thẻ Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút làcác điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

a) Cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác

Phân tích:

Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo củamột lục giác đều Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểmnào thẳng hàng có thể tạo ra được 2

là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên haithẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”.

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng

ngang Tìm xác suất sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Phân tích:

Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài toán đếmtrong tổ hợp Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:(1) Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang

Như vậy bài toán trên được giải như sau:

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và

kĩ thuật của toán tổ hợp Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất

Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê

Bài toán 3.

Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặtxuất hiện của hai con súc sắc bằng 8

Hướng dẫn học sinh:

Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’

Không gian mẫu:

(1,1),(1, 2), (1,3), (1,6) (2,1),(2, 2),(2,3), (2,6)

Nhận xét: Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của

biến cố là nhỏ Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xétthiếu phần tử

Bài toán 4 ( Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013)

Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn

từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Xác định số phần tử của S chon ngẫu nhiên một

Phân tích: Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số

phần tử của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân

Tương tự học sinh giải bài toán sau đây :

Bài toán 5 ( Đề thi đại học khối B năm 2013)

Có hai chiếc hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bitrắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp

ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu

Lời giải :

Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42

Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8

Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là 3.4 = 12

Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là: P = 8 12 10

và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) tronglần quay thứ 2.

Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp

liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn Ở đây ta sẽ biểu diễn tập

hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách

xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lầngieo Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo Giáo viên có thể gợi

ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:

o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?

o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?

Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vìnếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưathể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên Với câuhỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6 Từ đó học sinh cóthể xác định được không gian mẫu.

Bài toán 8 Một người say rượu bước bốn bước Mỗi bước anh ta tiến lên phía

trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau Tính xác suất để sau bốn bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát

Mỗi bước tiến hay lùi đều có xác suất là 1

2, nên mỗi trường hợp có xác suất là1

B2 Dạng 2: Biến cố đối

Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phứctạp Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn.Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy

Bài toán 9.

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của các biến cố:

a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.

Phân tích:

Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuấthiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hailần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa

Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp Tuy nhiên nếu

để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Không có lần nào xuất hiệnmặt ngửa” Do đó bài toán này sẽ được giải như sau:

Lời giải:

Không gian mẫu

a) Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:

: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”

Và ta có A= SSS  n(A) = 1  P(A) =1

8 Vậy P(A) = 7

8 b) Tương tự ta có: B = SSS NNN,   n( B ) = 2  P( B ) = 14 suy ra P(B) =3

Phân tích: Đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là

phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp

o Đối với biến cố A

 Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất

 Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai

 Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm trong cả hai khả năng trên)

o Đối với biến cố B Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức

là có 10 khả năng xảy ra: 1,2,…,10

o Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,

“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối

o Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối

Bài toán 11 Chon ngẫu nhiên 3 người biết rằng không có ai sinh vào năm

nhuận Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau

( cùng ngày, cùng tháng)

Hướng dẫn :

Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đôi một khác nhau”

Số trường hợp có thể là 3653 Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363

Vậy P = 1- 365.364.3633 1 0,9918 0,0082

Bài toán vận dụng

Bài toán 12 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi

vàng Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Tính các suất để 4 viên bi được chọnkhông có đủ 3 màu

Lời giải: Số kết quả có thể là:  = 4

B3.Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân

Bài toán 13.

Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất sao cho:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn

Phân tích:

a) Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tửcủa biến cố học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp Tấtnhiên là cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai Học sinhkhá hơn thì sử dụng tính toán để đếm số phần tử như sau:

Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”

B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”

X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Thấy rằng và là hai biến cố độc lập và 3 1

6 2

(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)

Do vậy ta có:

b) Gọi là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:

 Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiệnmặt lẻ

 Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn

 Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn

Và ta có “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cảhai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ

Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối

Ta có và , độc lập nên ta có:

Và do đó P(Y) = 1- P(Y) = 1- 1 3

4 4

Nhận xét: Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất Muốn sử dụng

được quy tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập Vậy hai biến cốthường độc lập trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả

mà chỉ đưa ra một số trường hợp quen thuộc

lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia Tương tự đối với con súc sắc.

*) Hai xạ thủ bắn súng thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh hưởng tới người kia Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến

cố liên quan đến người kia Tương tự đối với một người bắn hai phát súng

*) Có hai cái hòm đựng bóng Lấy từ mỗi hòm ra một quả bóng thì biến cố lấy ra bóng của hòm này sẽ độc lập với biến cố lấy bóng ra ở hòm kia Tương tự đối với bài toán lấy bi, lấy cầu

Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì và ; và B; A và cũng độc lập

Cũng giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ hợp, đối với biến cốxảy ra khả năng này hoặc khả năng kia thì ta sử dụng quy tắc cộng xác suất Cònvới biến cố thực hiện lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân

Bài toán14.

Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng Tìm xác suất để khi lấy

ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng

Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng nghĩa là không cóchi

tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng Bài toán này không thể giải theo dạng 1

mà phải sử dụng phép tính xác suất Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất

Lời giải

Gọi là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”

là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”

là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”

Khi đó Do A1 và A2 xung khắc nhau nên P(A) = P(A1) + P(A2)

Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là 6

Có 8 chi tiết không bị hỏng nên 6

( )

n A C = 28

Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là C85

Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là 1

a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ

b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu

Phân tích: Bài toán này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài

dòng và phức tạp Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việcgiải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Lời giải

a) Gọi:

A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”

B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”

X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”

Mặt khác A và B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) = 7

12.3

5= 720b) Gọi:

Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

Ta có Mặt khác và độc lập nên

Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán luôn tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố này) Chúng ta để ý các xác suất sau:

o Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì

 Xác suất xuất hiện mặt sấp là 1

2

 Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1

2

o Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì

 Xác suất xuất hiện từng mặt là 1

Bài toán 16