Các lớp phụ thuộc lôgic tổng quát trong mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ

Do đố một số kết quà nghiên ci/u cho cấc Iơp trườc đây có thể sẽ đư ợc phát triển, mỏ1 rộng và xem xét trong dạng tổng quát hơn.Luận án bao gồm : Lời mờ đầu, 4 chương và phần kết luận,

n.2.2 Các suy dẫn 38

II 3 Một vài kết quà về quan hệ Armstrong

trong lớp các phụ thuộc boole dương tổng quát 41 n.3.1 Sự tồn tại của các quan hệ Armstrong 42 n.3.2 Một vài trường hợp riêng 46

LỚP CÁC PHỤ THUỘC LÔGIC DƯƠNG ĐÁ TRỊ 55

m.l Các khái niệm về lôgic đa trị 56 m.2 Một số tính chất của logic đa trị 58 m.3 Các phụ thuộc lôgic đa trị

m.5 Suy dần trong lứp các phụ thuộc lôgic đa trị 79 IĨI.5.1 Biểu diễn các phụ thuộc trong dạng chuẩn tắc 80 III.5.2. Sự suy dẫn đối với các phụ thuộc

dạng chuẩn tắc không chứa dấu phủ định 84

Chương 4ị CẤC QUAN HỆ ARMSTRONG VÀ PHỦ

IV, 1 Các quan hệ Armstrong trong lớp

các phụ thuộc lôgic dương đa trị 94

Trang

IV 1.2 Sự tồn tại cùa các quan hệ Armstrong 98IV.2 Phủ trong lớp các phụ thuộc lôgic dương đa trị 107

IV.2.3 Mối liên hẹ giữa các phủ và các m-phù 110

Trang

LỜI MỞ ĐÂU

Cơ s ở dữ liệu (CSDL) là lĩnh vực của tin học nhằm nghiên cứu các cơ chế, nguyên lý và phương pháp tồ chức dữ liệu trên các vật mang tin để khai thác cđ hiệu quả dữ liệu trong các hệ thống tin học ưng dụng cũng như trong các hệ lưu trữ và tra cưu thông tin Như vậy cơ sớ dứ liệu chinh là một tập các dứ liệu về các đối tượng cần được quản lý, được lưu trữ trên các thiết bị mang tin cùa máy tính điện tử và được quản lý theo một cơ chế thống nhất nhằm thực hiện cớ hiệu quả các chtíc nâng sau đây: Tạo lập dữ liệu, cập nhật dữ liệu và khai thác dữ liệu

Đẻ tổ chức lưu trữ, quản lý và khai thác dữ liệu người ta thường sứ dụng mô hỉnh phân cấp, mô hình mạng và mô hình quan hệ Trong số ba mô hình cho việc tồ chưc và khai thác các

cơ s ở dữ liệu dd thỉ mô hình quan hệ được quan tâm hơn cả Sớ

dĩ mô hình quan hệ được quan tâm như vậy là vì nó được xây dựng trên một cơ s ở toán học chăt chẽ - đố là lỷ thuyết về các quan hệ cố áp dụng rộng rãi các công cụ đại số và lôgic Trong CSDL quan hệ các quan hệ cố hình ảnh trực quan khá gần gũi vơi quan niệm của người sử dụng về các bàng biểu thông thường Các ngôn ngữ thao tác trên CSDL quan hệ cd khà năng tồ hợp cao, dễ học và có hiệu quà Việc cập nhật dữ liệu trong mô hình quan hệ khá dễ dàng không những thế n<5 còn cho phép đàm bảo được tính an toàn dữ liệu, tính nhất quán dữ liệu và tinh độc lập

dứ liệu.

E F Codd là người đề xuất mô hình dữ liệu quan hệ năm

1970 Người ta xem cơ sớ dử liệu như là một tập hợp các quan

hệ Trong đố mỗi quan hệ cổ thể được hình dung trực quan như

là một bảng chiĩ nhật gồm cđ các hàng và các cột Ncíi đến một quan hệ trướx hết phải nổi đến tập thuộc tính của nổ - đố là một tập hữu hạn khác trống Mỗi thuộc tính được i/ng với một cột trong bàng chữ nhật Mỗi hàng trong bảng chứ nhật đổ được gọi là một bộ.

Đối vơi các mô hình dứ liệu chđng đều có nhứng đòi hỏi giống nhau như đàm bảo tinh toàn vẹn dứ liệu tưc là không phát sinh các dứ liệu mâu thuẫn, không làm mất dữ liệu , đảm bảo tính độc lập của chương trình khai thác đối vơi tổ chức vật lý cụ thể của dữ liệu, đảm bảo sự tối ưu trong lưu trữ và khai thác v.v Điều đáng ỉưu ý là khi dùng mô hỉnh quan hệ chúng ta cố thể dễ dàng diễn đạt các vấn đề trên một cách chặt chẽ.

Sự quan tâm ở đây là nghiên ci/u cáẹ ràng buộc dữ liệu hay còn gọi là cẩc phụ thuộc dữ liệu trong mô hình quan hệ Việc nghiên cứu các ràng buộc dữ liệu lần đầu tiên do E F Codd [11]

đề xuất Đố là một vấĩi đề cần thiết, cố ý nghĩa và giữ một vai trò quan trọng trong việc đảm bảo tính nhất quấn dữ liệu Mục đich của việc nêu ra khái niệm phụ thuộc dữ liệu là nhằm bào đảm cho dử liệu trong cơ sớ dữ liệu không mâu thuẫn, phản ánh đũng thế giơi hiện thực, tránh được dư thừa Thực tế là đa dạng

và phong phđ do đổ cấc dữ liệu phàn ánh các đối tượng trong

5

thực tế cũng cd mối quan hệ đa dạng, phong phư và phức tạp Cũng vì thế cần phải cố nhiều loại phụ thuộc dữ liệu khác nhau

để đáp ưng phù hợp vơi tình hình thực tế Phụ thuộc lôgic đầu tiên là phụ thuộc hàm được gicíi thiệu bởi E F Codđ vào năm

1970 Tiếp theo R Fagin và Zaniolo đã đưa ra phụ thuộc đa trị vào năm 1976 Năm 1979 c Beeri và J D Ullman đề xuất loại phụ thuộc kết nối Cùng vơi sự phát triển của lớp các phụ thuộc hàm, một số loại phụ thuộc lôgic khác cũng được giới thiệu: Đó

là phụ thuộc đối ngẫu, phụ thuộc mạnh, phụ thuộc yếu do

J Demetrovics và Gy Gyepesy đề xuất năm 1981.

Trong công trình của J Berman and W.J Blok [10] một lớp các phụ thuộc cân bằng được g i ớ i thiệu vào năm 1990 Lơp này cũng bao hàm lc?p các phụ thuộc hàm cũng như lơp các phụ thuộc Boole, lcíp các phụ thuộc Boole dương và một vài lơp phụ thuộc khác đa được đề cập đển trong các nghiên cứu của G Czedli ,

J Demetrovics và Gy Gyepesy [16,17] Trong công trình [35] năm 1992 các tác giả Nguyễn Xuân Huy and Lê Thị Thanh đề cập dến một số khái niệm và các kết quả cho lơp các phụ thuộc Boole dương tổng quát (PTBDTQ) Điều đáng lưu ý là lcýp này cững bao hàm lớp các phụ thuộc cân bằng.

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu phát triển lơp PTBDTQ ,

đề xuất một lơp phụ thuộc mơi đố là lơp các phụ thuộc lôgic duơng đa trị (PTLGDĐT) Lơp này là sự mờ rộng tự nhiên của lơp các PTBDTQ Như vậy lơp phụ thuộc mơi này là sự

m ớ rộng, bao hàm một số lơp phụ thuộc lôgic đa đư ợc nghiên CƯU Do đố một số kết quà nghiên ci/u cho cấc Iơp trườc đây có thể sẽ đư ợc phát triển, mỏ1 rộng và xem xét trong dạng tổng quát hơn.

Luận án bao gồm : Lời mờ đầu, 4 chương và phần kết luận,

Chương 1- Các quan hệ và các phụ thuộc hàm dành cho việc trình bày một s ố khái niệm c ơ bản về quan hệ, CO’ s ở d ử liệu quan

hệ Trong chương này cũng đề cập đến một số khái niệm liên quan đến phụ thuộc dữ liệu nổi chung và một vài kièu phụ thuộc dữ liệu cụ thể Phần tiếp theo của chương đề cập đến các phụ thuộc hàm, trình bày một tinh chất cơ bản cũng như một số vấn đề liên quan đến phụ thuộc hàm như hệ tiên đề Armstrong, tính xác đáng

và đủ của hệ tiên đè Armstrong, bao đống của tập các phụ thuộc hàm, bao đớng của tập thuộc tinh, thuật toán tìm bao đống của tập thuộc tinh, các quan hệ Armstrong và phủ.

Chương 2- L ớ p các phụ thuộc Boole dương tổng quát Trong chương này ngoài việc giứi thiệu một số khái niệm cơ bản và phát biểu một số kết qủa chính trong công trình [35] của các tác giả Nguyễn Xuân Huy và Lê Thị Thanh cũng trình bày một vài kết quả mơi : Một số điều kiện cần và đủ cho các suy dẫn trong lợp các phụ thuộc Boole dương tổng quát Kết quả đố là sự tổng quát hổa cùa một số phát biểu trong lốp cấc phụ thuộc hàm, phụ thuộc đối ngẫu, Một số dạng suy dẫn và một số khẳng định liên quan

đến sự tồn tại của các quan hệ Armstrong cũng được trình bày trong chương này.

Chương 3 - Lôgic đa trị và lơp các phụ thuộc lôgic dương đa trị Trươc hết giơi thiệu một kiểu lồgỉc đa trị mà nó là sự mở rộng của kiểu lôgic hai trị thông thường Một số khái niệm, tinh chất của lôgic đa trị và một số khía cạnh ứng dụng của lôgic đa trị vào việc nghiên cứu các phụ thuộc dữ liệu được trình bày Dựa vào lôgic đa trị xây dựng được một lờp các phụ thuộc lôgic dương đa trị (PTLGDĐT) mà nổ nhận các lc?p phụ thuộc hàm, phụ thuộc đối ngẫu, phụ thuộc mạnh, phụ thuộc Boole đương tồng quát, là nhứng lơp con của nố Trong chương này cũng phát biểu và chững minh định lý tương đương trong lơp các PTLGDĐT Đây là một định lý cố lợi Dựa vào định lỷ tương đương ta cơ thể nhận được một số kết quả đáng chú ý ờ các phần tiếp theo.

Cũng nhờ định lỷ tương đương, chương này sẽ đề cập một số kết quả liên quan đến sự suy đẫn trong lơp các PTLGDĐT Trươc hết là trình bày khái niệm các công thức cớ dạng chuẩn tắc

và chỉ ra rằng: Vời mỗi biểu thức lôgic chỉ chứa các biến lôgic và các liên kết lôgic A (hội ), V (tuyển) thì luôn luôn cố thể biều diễn được trong dạng chuẩn tắc Trên cơ sớ đố một số điều kiện cần và đủ về tính dẫn được của các PTBDTQ trong [35] được tổng quát hơa và được mờ rộng cho lốp các PTLGDĐT Mặt khác tứ một số kết qủa đạt được ta cổ thề thay thế việc nghiên

cứu tính dẫn được của các công thức f, g -> h trong đố f, g, h

là các PTLGDĐT chỉ chi/a các biến lôgic và các liên kết lôgic A,

V bới việc nghiên cifu tính dẫn được của các công thức f' , g' ->

h' vơi f \ g \ h' là các PTLGDĐT chuẩn tắc không chưa các dấu phủ định.

Chương 4- Các quan hệ Armstrong và phủ, dành cho việc trình bày một số kết quả liên quan đến các quan hệ Armstrong trong lơp các PTLGDĐT Ngoài một số khái niệm, kết quả chfnh trong phần này là sự phát biểu và chưng minh điều kiện cần và đủ để một quan hệ là quan hệ m-Armstrong cho một tập các PTLGDĐT

và tham số m cho trươx Bên cạnh đổ cũng nêu một khẳng định

là vơi một tập các PTLGDĐT và tham số m đa cho thì quan hệ m-Armstrong cho Tập các PTLGDĐT đố không phải luôn luôn tồn tại Phần tiếp theo đề cập đến một số vấn đề liên quan đến phù Bản luận văn đa đưa ra khái niệm về m-phủ và phử trong icíp các PTLGDĐT Một số điều kiện cần và đù cho một phụ thuộc, một tập các phụ thuộc là m-dư thừa được phát biểu Những kết quả tương tự cho phủ được trình bày, Trong đơ cũng phát biểu

và chưng minh một điều kiện cần và đủ để một PTLGDĐT f cố suy dẫn được từ tập £ các PTLGDĐT mà không phụ thuộc vào tham số m Một vài mối liên hệ giữa phủ và các m-phủ trong lớp các phụ thuộc lôgic đa trị cũng được nêu ra.

Nói chung ở đây mời đề cập đến những khái niệm và một số kết quả ban đầư về phủ trong lơp các PTLGDĐT Nhứng kết qủa

hay và sâu sắc về phủ trong lốp các thuộc hàm của các tác giả

D Maier, Hồ Thuần, Trần Thái Sơn, Ià những gợi ý tốt để cố thể phát triển những kết quả mc?i tổng quát hơn khi nghiên ci/u về cấu tníc của phủ không dư và các phủ tối thiểu trong lớp các PTLGDĐT.

Các kết qủa của tác giả trong luận văn được trình bày trong nứa cuối của chương 2 và hầu như toàn bộ các chương 3,4 Nhứng kết quả trích dẫn của các tác giả khác kể tứ chương 2 đều được để trong ngoặc mđc vuông [ ] Phần kết luận đành cho việc ttím tắt một số kết quà chinh đa đạt được và đề cập đến một vài khía cạnh

cố thể phát triển nghiên cứu tiếp

Trươc hết tác giả tò lòng biết ơn sâu sắc t(ýi

GS TS Nguyễn Xuân Huy đa hương dẫn nhiệt tình, truyền đạt những kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học , giảng dạy

và dành tình cảm tốt đẹp cho tác gỉa trong những năm vữa qua.

GS Nguyễn Hữu Ngự, GS Đặng Huy Ruận, PTS Nguyễn Xuân My

đa rất quan tâm, thường xuyên nhắc nhớ , động viên tác già hoàn thành luận án.

Tác già cũng rất biết ơn sự giúp đỡ và những gợi ý rất cố

ý nghĩa cùng vời những tình cảm quý báu của GS Hồ Thuần,

TS Nguyễn Cát Hồ, GS TS Đỗ Long Vân, GS Lê Tiến Vương,

GS Phạm văn At trong quá trình nghiên ci/u cũng như trong khi làm bản luận văn này.

Tác giả xin cảm ơn những tình cảm tốt đẹp của GS Đỗ Đưc Giáo, GS Hồ Sĩ Đàm , PTS Nguyễn Tuệ , PTS Trịnh Nhật Tiến , PTS Hoàng Chí Thành, PTS Đỗ Trung Tuấn đã cổ những gổp ý quý báu cho nội dung của bản luận vãn Nhân dịp này tác giả xin cám ơn toàn thể các anh và bè bạn ở bộ mòn Tin học, viện Tin học -Điện tứ và Khoa Toán -Cơ Tin Học trường Đại học tồng hợp Hà nội.

Tác già chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Phòng Tạp chi và các Phòng chư'c năng khác đã gitfp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành bàn luận văn này.

Còn nhiều ngưôi khác cũng rất quan tâm giiíp đỡ và động viên tác giả hoàn thành bản luận văn Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả những tình cảm quỷ báu đđ.

A € u miền trị của A cưng được ký hiệu là dom(A).

Một quan hệ R trên u là một tập con R hứu hạn của tich d i X ỏ 2 X X dn Tập t ấ t cả các quan h ệ trên u được

ky hiệu là REL(Ư) Mỗi phần tứ trong R được gọi là một bộ.

Các ký hiệu cơ bàn: Theo truyền thống của lý thuyết

cơ sờ dứ liệu, chđng ta chấp nhận các quy định sau đây : Các thuộc tinh được kỷ hiệu bằng chứ latin hoa đầu bảng A, B,C, Nổi đến một tập các thuộc tinh là nối đến một tập con nào đố của tập thuộc tinh u Ta sử dụng các chứ latin hoa X,YjZ ử cuối bảng để kỷ hiệu các tập thuộc tinh Các thuộc tính trong một tập được liệt kê như là một xâu kỷ tự,

chẳng hạn thay cho cách biểu diễn thông thường một tập các thuộc tính X={A,B,C} ta cđ thể viết X = ABC Nếu X, Y là hai tập thuộc tinh thì dùng kỷ hiệu XY để biểu diễn hợp và X-Y để biểu diễn hiệu của các tập X và Y C ắ c bộ trong một quan hệ được biểu diễn bằng chữ ]atin nhỏ t, u, V ,

Giả sử t € R và A e u khi đố ta ký hiệu t.A là giá trị của

bộ t đối vời thuộc tính A Vời tập X ç u, ta đặt t.x là tập { t.A Ị A €X }.

Thi dụ 1.1 Xét quan hệ s v (sinh viên) như sau :

s V(MSV,HT,NS,QUE,ĐV) cđ các thuộc tinh là : MSV (mã sinh viên), HT (họ và tên), NS (năm sinh), QUE (quê quán), trong đd miền trị của chưng cơ thể khai báo như sau : dom(MSV) : 0 99 (tập các số nguyên dương không c ó quá hai chi? số ), dom(HT) : A(25) (tập các xâu ký

tự trên một bảng chữ cho trươx gồm không quá 25 ký tự ), dom(NS) : 0 99 (là tập các số nguyên dương không quá 2 chtĩ số), đom(QUE): A(15) (tập các xâu ký tự trên một bảng chứ cho trươc mà chiều dài của xâu là không quá 15 ).

Một bộ t của quan hệ s v cố thể viết ờ một trong hai dạng sau: < MSV:04 ,HT : Đỗ Quang Thành, NS: 76,QUE : Nam Hà > hoặc đơn giản hơn t=<04, Đỗ Quang Thành,76,Nam Hà> v ề mặt trực quan, một quan hệ cđ thể biểu diễn như một bảng hai chiều, các cột là các thuộc tinh, các dòng là

các bộ

1.1.2 Cơ sớ dứ liệu quan hệ.

Dứ liệu được lưu trử theo nhứng cách thurc nhất định trên các thiết bị mang tin của hệ thống máy tinh và đưcỵc thay đổi theo thời gian gọi là cơ sờ dứ liệu Một cơ sử

dử liệu bao gồm một tập hứu hạn các quan hệ được gọi là

cơ sd dữ liệu quan hệ, viết tắt là CSDLQH hoặc viết gọn hơn trong tài liệu này là CSDL Như vậy mỗi một quan hệ

cố thể cổ sự thay đổi về số lượng và nội dung cấc bộ theo từng thời gian để phản ánh điíng những biến đổi của đối tượng trong thực tiễn

Hệ tháng phần mềm giiíp chúng ta quán xuyến toàn bộ việc tạo lập, cập nhật và khai thác cơ sớ dữ liệu quan hệ được gọi là hệ quản trị cơ sở dử liệu quan hệ

Một số thao tác đối vơi CSDL: Các thao tấc trên CSDL đều nhằm thực hiện cd hiệu quà một trong những chiic nãng sau đây: Tạo lập nhđng quan hệ mơi, cập nhật dữ liệu

và cuối cùng là khai thác thông tin từ CSDL.

Đê dữ liệu trong một CSDL phàn ánh đứng đối tượng thực mà nđ quản lý, đương nhiên cần phải cố thao tác cập nhật đối vối mỗi CSDL Thao tác cập nhật đối vcíi cơ sớ dữ liệu thực chất là thực hiện việc cập nhật dứ liệu trên từng quan hệ của CSDL Việc cập nhật đố bao gồm : Bổ sung những bộ mơi vào quan hệ, loại bỏ đi một số bộ của quan hệ hoặc là loại bỏ chính bản thân quan hệ đố, điều chỉnh nhứng thông tin chưa chinh xác ớ các bộ

Chư'c năng quan trọng nhất của CO' sở diĩ liệu là khai thác dữ liệu đã được lưu trữ một cách cố hiệu quả Điều đơ

cố nghĩa là việc tạo lập các quan hệ cũng như việc cập nhật

dứ liệu đều nhằm vào mục đích lưu trứ những thông tin CO’

s ở để từ đtí ta cớ thể rút ra được những thông tin mời cố ý nghĩa ho’n Trên CO’ sớ đố ta c ó thể trả lời được được một số câu hỏi ctí ỷ nghĩa xuất phát tứ yêu cầu của thực tế sinh động hoặc là từ đ ó ta cũng cố thể đề xuất ra những quyết định mcíi đúng đắn v ì thế mà chúc năng khai thác dữ liệu chủ yếu ỉà chi/c năng tìm kiếm.

1.1.3 Cấc phép toán trên quan hệ.

Như ta đa biết mỗi câu hỏi tìm kiếm thông tin thường dược thể hiện thông qua một biểu thức quan hệ nào đ(5 Trong đớ mỗi một hạng thức là một quan hệ còn các phép toán tác động trên chúng chính ỉà các phép toấn quan hệ quen biết trong lỹ thuyết cơ sd dứ liệu quan hệ Đố chinh là phép

hợp, phép giao, phép chiếu, phếp kết nối, đối vơi các quan

hệ Các phép đổ được định nghĩa như sau :

Phép chọn Cho t là một bộ trong quan hệ R và E là một biểu thtfc lôgic phát biểu trên tập các thuộc tính của quan hệ R Ta ndi bộ t thỏa man biểu thức E, kí hiệu là t(E) nếu sau khi thay mọi thuộc tính A trong E bằng giá trị t.A ta được một công thức lôgic nhận giá trị đứng.

Cho quan hệ ReREL(U) và biểu thức chọn E trên u Phép chọn quan hệ R theo điều kiện E cho ta một quan hệ p trên tập thuộc tính Ư sao cho p gồm và chỉ gồm các bộ của R thỏa biểu thtfc logic E.

Vậy p = { t € R I t(E) }.

KÍ hiệu p = R(E).

Phép chiếu Cho quan hệ R.€REL(U) và tập thuộc tinh

X £ u Phếp chiếu quan hệ R trên X cho ta quan hệ p C(5 tập thuộc tính là X và xác định p bởi p = { t.x Ịte R} Ki hiệu

p = R[XJ.

Phép kết nối Cho hai quan hệ R(X) và S(Y) Phép kết nối tự nhiên hai quan hệ R và s cho ta quan hệ p vơi tập thuộc tinh XY và các bộ được xác định như sau :

p = {t I t.x € R và t.Y e S}.

KÍ hiệu p = R * s.

Tich Descartes Cho các tập thuộc tính X, Y vơi X n > Ỵ = 0

và hai quan hệ R(X) và S(Y) Ký hiệu <u,v> là bộ được hình thành bằng cách ghép bộ V vào bộ u Ta cố thể định nghĩa tich Descartes của hai quan hệ R và s là một quan hệ p được xác định như sau : p = {<u,v> I u e R , V e S}.

Kỷ hiệu p = RxS.

Hai quan hệ cố cùng tập thuộc tính được gọi là tương thích Vơi các quan hệ tương thích, ta cơ thể định nghĩa cấc phép toán hợp, giao, hiệu trên tập các quan hệ tương tự như các định nghĩa hợp, giao, hiệu trong lỷ thuyết tập hợp Cụ

Phép hợp Hợp cùa hai quan hệ tương thích R(X) và S(X)

là một quan hệ p vơi tập thuộc tính ]à X Quan hệ p gồm và chỉ gồm những bộ t sao cho t e R hoặc t € s

p = Ịt I t E R hoặc t € S} Kỷ hiệu p = R + s.

Phép giao Giao của hai quan hệ tương thich R(X) và S(X) là một quan hệ Q vơi tập thuộc tinh là X Quan hệ Q gồm và chỉ gồm những bộ t sao cho t G R và t G s

Q = {t I t e R và t e S} Ký hiệu p = R.s.

Phép hiệu Hiệu của hai quan hệ tương thích R(X) và S(X)

là một quan hệ p v ờ i tập thuộc tính là X Quan hệ p gồm

và chỉ gồm nhứng bộ t sao cho t € R và t Ể s.

thế là

Vậy p = {t I t Ẽ R và t Ể SỊ.

Kỷ hiệu p= R-S

Phép chia Cho hai quan hệ R(X) vã S(Y) vời X Y Đặt M = X-Y Khi đổ phép chia quan hệ R cho quan hệ s là một quan hệ Q vơi tập thuộc tính là M và các bộ được xác định như sau:

Q ={u.M |u G R và (Vv € S)(<U.M,V> € R)Ị.

Ki hiệu p = R -ỉ- s

Phép chọn-chiếu Cho quan hệ Re REL(U), X Ç u và một biểu thức chọn E trẽn u Phép chọn-chiếu quan hệ R theo điều kiện E trên tập thuộc tinh X cho ta một quan hệ p trên tập thuộc tính X sao cho p gồm và chỉ gồm các bộ t.x vời điều kiện t e R và t thỏa biểu thi/c lôgic E.

Vậy p = { t.x I t G R và t(E) }.

Ki hiệu p = R(E,[X]).

quan hệ mời tứ cấc quan hệ đã cho Như vậy khi tạo lập các quan hệ cũng như khi khai thác dứ liệu thường dẫn đến những quan hệ mơi Trong các quá trình đố rất dễ gây ra những sai sổt thiếu chính xác đối vơi dữ liệu cần lưu trữ Không nhiĩng thế bản thân dữ liệu phải chứa đựng tính hợp

lÿ của nổ, hay nối cách khác dữ liệu cần phài thỏa mãn những ràng buộc nào đ(5 để phản ánh đứng thế giời hiện

thực VÍ dụ không thể cơ một sinh viên tại một thời điểm vứa dự xêmina ở giảng đường vữa thực hành ở phòng máy.

1 2 PHỤ THUỘC D ữ LIỆU.

Một vấn đề là làm thế nào để hạn chế được những bất hợp ly của dứ liệu được phát sinh ra trong quá trinh tạo lập hoặc khai thác dữ liệu Đê đáp i/ng yêu cầu đổ, một Iỷ thuyết mơi được đề cập đđ là lý thuyết về các phụ thuộc dữ liệu.

Nối đến phụ thuộc dứ liệu ỉà nối đến những ràng buộc, quy định mà dứ liệu trong một cơ s ở dữ liệu phải thỏa mãn Mục đích của việc đặt ra các ràng buộc đđ là phải nhằm bảo đảm cho dư liệu trong cơ sở dứ liệu phản ánh đung thế gicn hiện thực Các ràng buộc đữ liệu thường được mô tà khi tạo ỉập quan hệ Các hệ cơ sờ dử liệu cần cđ cơ chế phục vụ cho việc mô tà các ràng bufrc dữ liệu và quản lý các ràng buộc

đã mô tả Các cơ chế này cho phép ta kiểm tra dứ liệu khi nhập vào cơ sd dữ liệu và các dữ liệu được phát sinh trong các quá tnnh xứ lý và cập nhật Mục đich của việc kiểm tra là để xem dữ liệu cổ thỏa mãn các ràng buộc đã nêu hay không Tất nhiên là cd nhiều loại ràng buộc khác nhau và mỗi loại đều đòi hỏi một công cụ và loại hình quàn lỷ phù hợp Xuất phát tứ thực tế sinh động , một số loại phụ thuộc dứ liệu đã được đề cập đến nhằm làm đảm bảo cho dử liệu

lưu trứ là phù hợp , phản ánh đứng các đối tượng thực tế Sau đây chưng ta sẽ đề cập đến một vài loại phụ thuộc đáng quan tâm và nêu các khái niệm liên quan đến các loại phụ thuộc đổ.

1.2.1 Cấc định nghĩa.

Trong phần này ta sẽ đề cập đến khái niệm của một số loại phụ thuộc lôgic đã được các chuyên gia quan tâm tử nhiều năm và cho đến nay những phụ thuộc đtí vẫn còn là vấn đề cần nghiên cứu tiếp Đ(5 là cấc phụ thuộc hàm, phụ thuộc mạnh, phụ thuộc yếư, phụ thuộc đối ngẫu.

Định nghĩa 1.1.

Phụ thuộc hàm : Cho X, Y là các tập con của tập các thuộc tinh Ư Một phụ thuộc hàm ( viết tắt là PTH) là một phát biểu dạng X — » Y Nối rằng quan hệ R € REL(U) ià thỏa män PTH X - F-> Y nếu vơi mỗi cặp bộ u,V e R mà

u ,x = v x thì cũng có U.Y = V.Y Hay nđi cách khác, quan

hệ R thỏa mãn PTH X — > Y nếu vơi hai bộ u,V bất kỳ của

R mà chưng giống nhau trên X thì chung cũng phải giống nhau trên Y.

Phụ thuộc đối ngẫu: Cho X,Y Œ u Một phụ thuộc đối ngẫu (viết tat là PTĐN) là một phát biểu dạng X D > Y Nđi rằng quan hệ R e REL(U) là thỏa mãn PTĐN X —5—» Y

nếu vơi mỗi cặp bộ u,v G R mà chứng giống nhau tại một

thuộc tinh nào đổ trong tập X thì chưng cũng phải giống nhau tại một thuộc tính nào đố trong Y.

Phụ thuộc mạnh : Cho X, Y c Ư Một phụ thuộc mạnh (viết tắt là PTM) là một phát biểu dạng X - 5 ■ > Y Nối rằng quan hệ R e REL(U) là thỏa mãn PTM X —^ Y nếu vơi mỗi cặp bộ u,v G R mà chúng giống nhau tại một thuộc tinh nào đơ trong tập X thì chúng cũng phải giống nhau trên Y.

Phụ thuộc yếu: Cho X,Y CỊ ư Một phụ thuộc yếu ( viết tắt là PTY) là một phát biểu dạng X w > Y Nối rằng quan hệ R e REL(Ư) là thỏa man PTY X Y nếu vcýi mỗi cặp bộ u,V e R mà chúng giống nhau trên tập X thì chưng cũng phải giống nhau tại một thuộc tính nào đổ trên Y.

1.2.2 Lược đồ quan hệ (LĐQH)

Đinh nghĩa 1.2 Lược đồ quan hệ a là một cặp<U,E>, trong đtí u = {A i, Ả2, ,An } là tập các thuộc tinh, E là tập nào đố các phụ thuộc trên u Quan hệ R được gọi là quan

hệ của lược đồ cc nếu tập thuộc tinh của R là Ư và R thỏa tất

Thi dụ 1.2 Cho LĐQH a = <U,I> với u = ABCD, dom(A) = {ai ,ã2 }, dom(B) = {bi ,b 2 }, dom(C) = {c 1 ,C2 , C 3 }, dom(D) = {d 1 , ỏ2, d 3 },

1 3 1 Tinh chất cùa ltfp cấc phụ thuộc hàm.

Định \ ý 1.1 Lơp các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tinh u thỏa các tinh chất sau đây:

x z -> YZ

F4 Tinh tựa bắc cầu

Cho X,Y,Z,W £ u Nếu X-»Y và YZ w thì x z w

F5 Tinh phàn xạ chặt

Vơi mọi X ç u ta cổ X -> X

F 6 Md rộng vế trái và thu hẹp vế phải.

Cho X,Y e u Nếu X Y , thì vời mọi z , w ç u ta cò

Định nghĩa 1.4 Cho tập z các PTH và một PTH f trên

u Nối rằng PTH f được suy dẫn theo tiên đề ( hoặc suy dẫn theo lôgic) từ tập PTH I và kỹ hiệu là I I— f nếu f cđ thể nhận được tử tập E sau một số hứu hạn bươx ấp dụng các luật F l, F2, F3 Ký hiệu 1 + là tập { f 1 I I— f }.

Định nghĩa 1.5 Cho tập PTH E trên tập thuộc tinh Ư và

f là một PTH trên u Ta nối rằng PTH f được suy dẫn theo quan hệ tứ tập PTH I và viết I 1= f nếu vơi mọi quan hệ

R G REL(U) mà R thỏa s thì R cũng thò a f.

Định nghĩa 1.6.

Hệ tiên đề s cho c ấ c PTH được gọi là xác đáng nếu suy dẫn theo các luật của tiên đề s cũng chinh là suy dẫn theo quan hệ.

Hệ tiên đề s được gọị là đù nếu suy đẫn theo auan hệ cũng chính là suy dẫn theo các íuật của s.

Định 1 y 1 2 Cho tập PTH I và PTH f trên u Ta cđ

l ị — f khí chỉ khi I 1= f N(5i cách khác, suy dẫn theo tiên

đề và suy dẫn theo quan hệ là như nhau.

Hệ quả 1.1 Hệ tiên đề Armstrong là xác đáng và đủ.

Lưu ỹ rằng từ hệ tiên đề H c ổ thể suy ra được tất cả các quy tắc suy diễn còn lại ,tưc là các quy tắc F 4 , F 5 , F11,

đ a nêu trong mục 1.3.

1.3.2 Bao đ ố n g của tập thuộc tỉnh

Đ ịn h n g h ĩ a 1.7 Cho tập PTH ĩ, trên ư và X Ç u Bao đổng của tập thuộc tinh X, k í hiệu bới

x + = { A I X A G E+}

T rư ơ c hết ta chứng minh bổ đề sau đây :

Bổ đề 1.1 Cho các tập thuộc tính X,Y,Z e u Khì đơ X -> YZkhi và chỉ khi X Y và X -> z

C h ứ n g minh

a Giả Sứ cơ X->YZ (1) Theo tinh phản xạ suy ra Y Z ^ Y(2) Ấp dụng tinh chất bắc cầu cho (1) và (2) ta cố X -> Y Tương tự ta cũng chỉ ra được X -> z.

b Nếu cố X -* Y và X -» z, khi đd ắp dụng luật cộng tính hai vế sẽ cố ngay X -> YZ.D

Ta nêu một số tinh chất của bao đống các tập thuộc tinh

1 Tinh phản xạ X Ç x +

2 Tinh đơn điệu nếu X ç Y thì x + Ç Y+

Tính chất 6 X -> Y khi và chỉ khi Y ç X+ Thậtvậy :

a Giả sứ cd X -» Y (1) và A e Y Áp dụng tính phàn xạ của PTH ta cổ Y -> A (2) Sử dụng tinh bắc cầu cho (1) và (2) suy ra PTH X -»■ A Theo định nghĩa của bao đông suy ra A e x +.

b N g ư ợ c lại, già sử cố Y ç x + Do đđ vơi mọi AeY thì A e x + Theo định nghĩa của bao đđng ta cố PTH

X A Ấp dụng luật cộng tĩnh cho các PTH cố dạng X -» A

v ơ i A e Y ta đ ư ợ c X Y

TÍnh chất 9.

a Nếu x + = Y+ , theo tính chất phản xạ ta cố Y Ç Y+ và

X ÇZ x + và do đố X ç Y+ và Y Ç x + Ấ p dụng tinh chất 6 ta thu đ ư ợ c X -> Y và Y -» X

b Đảo lại giả sứ cổ X Y và Y ^ X Cũng ắp dụng tínhchất 6 suy ra X Ç Y+ và Y Ç x + Sứ dụng tính đơn điệu vàtính lũy đẳng của phếp lấy bao đcÍEg của tập thuộc tinh suy raY+ e X++ và X+ £ Y++

Do đố ta có x + = Y+

Các tĩnh chất khác c ũTi g đưực chứng minh d ễ đ à n g ũ

Thuật toán tìm bao đóng Cđ một thuật toán để tính bao đống của tập các thuộc tinh X [29] Thuật toán gồm các bvtớc

sau:

1 Xây dựng một dẫy x ( 0 ) , x ( l ) , , x ( k ) , n h ư sau:

x ( 0 ) & X

Già sừ rằng cấc x ( i ) đa đư ợc tinh, khi đố

XCi+1) = xO) u z(i) với zO) = ^ Y j sao cho Xj ÇZ x ( i ) ,

Yj cr x ( 0 và Xj -> Yj € s.

2 Nhận xét rằng x ( 0 ) C x ( i ) Ç Œ x ( k ) Œ—

3 VÌ u là tập hữ u hạn, do đố cđ một số nguyên bé nhất ksao cho : x ( k ) = x ( k + l )

Đ ịn h lý 1.3 Thuật toán tìm bao đổng là đưng đắn.

C hi/ng minh Ta sẽ chi/ng minh bằng quy nạp như sau :

b Giả sử i là số bé nhất sao cho x ( i ) = x ( i + l ) Ta sẽ

chư ng minh rằng x + c x ( i ) Giả sử ngư ợ c lại ta cố A e x + và

A Ể x ( i) , Ta xây dựng quan hệ R gồm hai hàng như sau :

a l *2 •••• ak ak + i an

a i a2-.- ak bk+ 1 bn ChUng giống nhautrên x ( i ) và vcýi mọi A 0 x ( i ) thì trên cột A chúng cổ giá trịkhác nhau

Ta sẽ chi/ng minh rằng R thỏa s, R thỏa X ->■ A, và do đổ

A eX(j), Điều đđ sẽ sinh ra mâu thuẫn Thật vậy, nếu R không thỏa I suy ra cổ PTH X'->Y'eL sao cho R không thỏa X'-^Yr.

Nếu X' ct x(i) thì suy ra R thỏa X' Y' Vậy chưng tỏ phài có

X ' £ x ( i ) Do R không thỏa X ' -> Y ' suy ra Y ' <z x ( i ) , do đ<5

x ( i + l ) ^ x ( i ) mâu thuẫn vời giả thiết x ( i + l ) = x(i) Vậy R thỏa

S Do A G x + nên X —» A e L+ Vậy R thỏa X -► A Vậy A e

x(i) Điều đố mâu thuẫn với A Ể x(i) Vậy x + C x(i)

Tử a và b suy ra định lý đã được chưng minh □

1.3.4 Quan hệ Armstrong và phù

a Quan hệ Armstrong.

Trong mô hình CSDL quan hệ các quan hệ Armstrong là một trong các đối tượng được quan tâm nhiều Quan hệ Armstrong cho tập £ nào đđ các phụ thuộc hàm là một quan hệ mà ntí thòa mân tất cả các phụ thuộc hàm có thể suy dẫn được từ £ và không thỏa măn bất kỳ một phụ thuộc hàm nào khác không suy ra được

tứ tập s.

Một vài kết quả cơ bản về quan hệ Armstrong cho lcýp các phụ thuộc hàm được nghiên cứu bời nh(5m C Beeri, M Dowd, R.Fagin và R.Statman [5] đa khẳng định rằng : v ơ i tập u cácthuộc tính thỉ :

a Đối vơi mỗi tập £ các phụ thuộc hàm trên u,lu ôn luôn tồn tại quan hệ Armstrong cho tập I

b Vơi mỗi tập £, cố cách thức cụ thể đề tỉm một quan hệ Armstrong cho tập E

C Cho một tập £ các phụ thuộc hàm Ta ký hiệu CL(£) là họ

các tập thuộc tinh đống đối vơi tập £ Khi đó CL(£) và phép giao

tập hợp r\ sẽ tạo thành một dàn, ký hiệu là (CL(E),n) Gọi

GEN(£) là họ các phần tử sinh của dàn (CL(£),o) v ơ i một quan

hệ R ta ký hiệu arg(R) là họ các tập con X £ u sao cho tồn tại

hai bộ u,veR mà u x = v x và mọi A ểX thì U-A * V.A Khi đố

điều kiện cần và đủ để quan hệ R là quan hệ Armstrong cho tập £

là : GEN(I) ç arg(R) Ç CL(I)

d Độ phiếc tạp thời gian để tỉm quan hệ Armstrong cho một

tập E các phụ thuộc hàm là lũy thừa theo số các thuộc tinh

e Khi sứ dụng các quan hệ Armstrong, các tác già đã tìm được mộf chứng minh ngắn gọn hơn cho một kết qủa về khơa

của J.Demetrovics cụ thể là: Cho s Jà một họ các tập con đôi một

không bao nhau của tập thuộc tính u khí đò tồn tại một quan hệ

R trên Ư sao cho sao cho quan hệ này nhận s là tập các khổa

b Phù.

Trong lý thuyết các phụ thuộc dữ liệu người ta thường quan

tâm một số vấn đề liên quan đến phù của các tập phụ thuộc Cố

thể ndi mục tiêu của hầu hết các nghiên cưu liên quan đến phủ

của một tập các phụ thuộc hàm đều nhằm vào việc đơn giàn hda

bàn thân tập phụ thuộc đố theo một nghĩa nào đố Xuất phát từ đò

một số khđi niệm liên quan đến phủ được gicýi thiệu : Cho hai

tập phụ thuộc hàm F, G Ta ndi rằng F và G là tương đương với

nhau nếu F+ = G+ Nếu G tương đương vơi F thì ta kỷ hiệu

G = F và khi đò G được gọi là phủ của F

Tập F các phụ thuộc hàm được gọi là dư th ừ a nếu cđ một tập con thực sự F ’ của F sao cho F ’ = F Nếu không tồn tại tập

F ’ như thế thì tập F được gọi là không dư thừa Cho F và G là các tập phụ thuộc hàm, G được gọi là phủ không dư của F nếu

G là phủ của F và G là tập không dư thừa

Tập phụ thuộc hàm F được gọi là tối thiểu nếu không tồn tại tập phụ thuộc hàm F[ sao cho F j 3 F và I F1 I < I F I Cho G

là một tập nào đố các phụ thuộc hàm Phủ F cùa G được gọi là phù tối thiểu nếu như F là một tập tối thiếu

Một số kết quả về phủ không dư và phủ tối thiểu đã trĩnh bày trong cắc nghiên ci/u của D Maier [29,30] và một số nhà nghiến cứ u khác Xuất phát tứ khái niệm phủ không dư và phủ tối thiểu D Maier đã chỉ ra được một số tinh chất đáng lưu ỹ về cấu trưc của phủ không dư , thuật toán tìm phủ tối thiểu Đố là những kết quả hay vì nố dựa trên sự phân tich sâu sắc và sự nhìn nhận tỉnh tế Dựa vào phủ tối thiểu việc tính toán bao đống của tập các thuộc tính, việc , tìm khđa sẽ khá thuận tiện trong nhiều trường hợp

Tiếp theo một số kết quả về phủ cũng đ ư ợ c phát triển Trong [25,26 ] tấc giả Hồ Thuần đa thiết lập mối quan hệ

g i ữ a khái niệm về các suy dẫn trực tiếp và các FD-đồ thị trên

bổ Sũng thêm n hững kết quả mời đáng lưu ý về các suy dẫn

tr ự c tiếp, cấu trưc phần bên phải của các phụ thuộc hàm trong các phủ không dư, Nhđm nghiên cứu gồm các tác gỉa Trần Thái Sơn, Đinh Thị Ngọc Thanh cũng đã chỉ ra đ ư ợ c một số kết quả về cấu trúc của phủ tối thiểu,

Chương 2

L Ơ P CẤC PHỤ THUỘC BOOLE DƯƠNG TỐNG QUẤT

Tiếp theo một số loại phụ tỊiuộc lôgic như phụ thuộc hàm, phụ thuộc đối ngẫu, phụ thuộc mạnh,.,.đã được đề xuất

và nghiên ci/u bcH một số các tác giả, một lơp các phụ thuộc cân bằng cũng đa đưcỵc gicíi thiệu trong công trình của

J Berman và w J Block [10] Lốp này bao hàm lcíp các phụ thuộc hàm và một vài ỉổp phụ thuộc đa được đề cập trong các công trình của G Czedli, J Demetrovics và Gy Gyepesy [16,17], Sau đđ cấc giả Nguyễn Xuân Huy và Lê Thị Thanh

đa giơ i thiệu một lcíp phụ thuộc mơi-đđ là lơp các phụ thuộc Boole dương tồng quát (PTBDTQ) Đáng lưu ý là lố p này cang bao hàm Icíp các phụ thuộc cân bằng

Chương này nhằm gicíi thiệu một số khái niệm và một vài kết qủa liên quan đến lơp các PTBDTQ và đồng

th ờ ỉ phát triển một số kết quả trong [35] về các suy dẫn trong ỉờp các PTBDTQ Đó là các điều kiện cần và đủ cho một số suy dẫn trong lơp các PTBDTQ Nhiĩng đề xuất trong [35] như vấn đề tồn tại của quan hệ Armstrong đối vơi một tập các PTBDTQ cho trươc, thu gọn quan hệ Armstrong cũng đ ư ợ c quan tâm và gơp một phần giải quyết Nhứng kết quả khẳng định được rằng đối v ơ i một tập các PTBDTQ cho tr ư ờ c thì quan hệ Armstrong cho nố nối chung

34

là không phải luôn luôn tồn tại Cổ xét đến một số trường hợp riêng Trong trường hợp thư nhất khí mọi miền trị của các thuộc tinh không cố phần tứ trung gian, ta cũng cơ một kết luận tương tự như trên về sự tồn tại của quan hệ Armstrong đối VỚ4 một tập các PTBDTQ và đồng thời chỉ ra rằng VƠ4 một quan hệ Armstrong trên u luôn tồn tại thuật toán tìm dạng thu gọn của nđ Trướng hợp thi/ hai đ ư ợ c xét khi mọi miền trị của các thuộc tính đều cơ phàn tứ trung gian Trong trư ờ ng hợp này chỉ ra rằng vơi một tập

I nào đố các PTBDTQ luôn tồn tại một thuật toán tìm quan

hệ Armstrong cho nổ Vtfi thuật toán đố quan hệ Armstrong tìm được là thu gọn và cơ số bộ bằng số phần tử của tập Be

II 1 C Á C ĐỊ NH N G H Ĩ A c ơ B Ả N

GỈa sử u = { A i , A2, -,An } là tập hữ u hạn khác trống các thuộc tinh, v ơ i mỗi Aị, 1< i < n cố một tập di gồm itnhất hai phần tứ gọi là miền trị của thuộc tính đđ

các phần tứ trong X, các liên kết lôgic V , A , và cáchằng lôgic 1 (TRUE), 0 (FALSE) Kỷ hiệu BF là tất cả cáccông thưc trên u.

Một ánh xạ X : U-» B = {0,1} được gọi là một đánh giá trên

Ư Nếu x(Aj) = Xj, 1 < i < n , khi đố ta ký hiệu X b á i

( x j , X2 xn) e Bn Giả SIỈ f e BF, X - (x i, x n) e Bn,khi đ ố f ( x ) k ỷ h i ệ u giá t r ị chân l ỹ của f đ ố i vơi đấnh giá X

Khi f là h ằ n g 1 thì f(x) = 1 đối vời mọi X G Bn Khi f là hằng 0 t h ĩ f(x) = 0 đối với mọi X e Bn Khi f l à biến Aj thì f(x) = X ị Khi f được tạo bởi các công thức g, h <E BF và cđ dạng f = g*h vơi * e Ịv , A , -> } thì f(x) đ ư ợ c xác định b<5*i g(x)* h(x) Khi f là phủ đình cuả h thỉ f(x) = -n(h(x)) Đối vơi

f ẹ BF và s C B F t ta ký hiệu

Bf = { X 6 Bn I f(x) = 1 }

B £ = { X € Bn | Vf e I cđ f(x) - 1 }

Đ ịn h n g h ĩa 2.2 Một công thi/c f e BF đ ư ợ c gọi là dương

nếu f(e) = 1 vơi e = (1,1, ,1) € Bn Kỵ hiệu BFp là tập tất cả các công th ức dương trên Ư Mỗi phần tử của BFp đ ư ợ c gọi là một phụ thuộc Boole dương tổng quát và đ ư ợ c gọi tắt là PTBDTQ

GỈa sử cổ R là một quan hệ trên Ư và u,v e R, khi đố đánh giá (c li( u A i, v A i) , a2(u.A2,v.A2), ,a n(u.An>v.An)) đ ư ợ c kỹ

hiệu b d i a(u,v) Đặt Tr = {a(u,v) I u,v 6 R} Khi R = 0 thì đặt Tr = 0

Đ ịn h nghĩa 2.3 Cho R € REL(Ư) và f e BFp Ntíi rằng quan hệ R thỏa PTBDTQ f, nếu Tr c Bf V c f i z C BFp, khi đơ R đ ư ợ c gọi là thỏa tập PTBDTQ X nếu Tf> C B^

I I 2 C Ấ C S U Y D Â N T RONG LỚ P CẤ C PHỤ THUỘC

B O OLE D Ư Ơ N G TỒ'NG q u á t ,

II.2.1 Đ ịn h ly tương đương

Định ỉỷ tương đương là một công cụ tốt để nghiên

c ư u một số vấn đề liên quan đến sự suy dẫn trong lơp các PTBDTQ Trong [ 1 0 ] định l ỷ tương đương đa được chứng minh cho lơ p các phụ thuộc Boole dựa trên các ánh xạ bằng.Tiếp theo trong [35] định lỷ tương đương đa đ ư ợ c phát biểu và c h úng minh dư ờ i dạng tổng quát hơn cho lơp các PTBDTQ d ự a trên các ánh xạ thỏa yêu cầu của định nghĩa

2.1

Đ ịn h n g h ĩa 2.4 Vối £ c BF, f 6 BF Nối rằng I là suy dẫn f hoặc f ỉà dẫn được tứ tập £, kỷ hiệu là E I— f, nếu bất kỳ X e Bs thì f(x) = 1 GỈa sứ I c BF Ndi rằng I suy dẫn f theo quan hệ hoặc f là dẫn đ ư ợ c theo quan hệ

tứ tập I và ký hiệu là £ 1= f , nếu vơi mọi R e REL(U) mà

R thỏa tập s thì R cững thỏa f Ký hiệu I 1=2 f, cố nghĩa

là v ơ i mọi R e REL(Ư), R chỉ cớ không quá hai bộ và nếu

R thỏa tập I thì R cũng thỏa f

37

Đ ịn h lý 2.1.[35](Định lý tương đương cho lơ p các PTBDTQ) Giả SIÍ I ç BFp, f G BFp Khi đố các điều sau

là tương đương :

I I I— f 2 s 1= f 3 2 1=2 f

II.2.2 Cấc suy dẫn

Cho tập I C BFp và f e BFp Hỏi rằng suy dẫn I 1= f

cd đũng hay không ? Để trả lời câu hỏi đố ta cd thể SIỈ dụng định lỹ tương đương 2.1 trong một số trường hợp Tuy vậy, khí xét f thuộc một lơp con cố những đặc trưng- riêng thi

cứ thể phát biểu một số điều kiện cần và đủ cho các suy dẫn

ỵ 1= f một cách cụ thể hơn Trong [35] đã xét một số kết quả liên quan đến suy dẫn I 1= f khi f có một trong nhũng dạng sau : A X - » A Y, A X - » v Y , v X - » A Y , v X - » v Y Trong phần này ta sẽ xét f trong dạng tổng quát hơn

Đ ịn h lý 2.2 Giả sử s ç BFp, và Xi, Yj ç u vơi

1 < i < k, và 1 < j< h Khi đố ta cơ :

1 I 1 = ( * X i ) v ( a X 2)v v(* X k)->(A Yi ) v ( AY2) v v ( AY h )khi và chỉ khi vơi bất kỳ X € và vơi mỗi i, 1 < i < k sẽtồn tại C l € Xi sao cho x (C i) = 0 hoặc tồn tại j, 1 < j < hsao cho v ơ i mọi 0-2 s Yj, ta cđ x(C2) = 1

2 I ỉ = ( a X i ) v ( a X 2)v v ( * x k ) -► ( v Y i ) A(vY2) A A(vYh)khi và chỉ khi vơi bất kỳ X e và vơi mỗi i, 1 < i < k sẽ

tồn tại C i e Xị sao cho x (C i) = 0 hoặc vơi mọi j, 1 < j < hthì tồn tại C2 € Yj sao cho x(C2) = 1.

3 z 1 = ( v X i ) A(vX2)A A(vXk) -» (AY1) V ( a Y2) v v ( a Yị1)

khi và chỉ khi v ơ i bất kỳ x e B ^ sẽ tồn tại i, 1 < ỉ £ k sao cho vơi mọi C j e Xi ta cơ x(Ci) = 0 hoặc tồn tại j, 1 < j < h sao cho v ơ i m ọ i C2 € Yj, thì x(C2) = 1

4 I I—(V X i ) A(v x 2) A A (V x k) -> ( v Y i ) a (vY2) A A(vYh )khi và chỉ khi v đ i bất kỳ X £ B j , s í tồn tại i, 1 < i < k sao cho v ơ i mọi C l G Xj thì x(Ci) = 0 hoặc vơi mỗi j, 1 £ j < h

sẽ tồn tại C2 e Yj sao cho x(C2) =

1-C h ứ n g minh Ta cổ thể xem định lý này như là một

tr ư ờ n g hợp riêng của định lý 3.3 (chương 3) Ở đơ cốchứng minh cụ thể.D

Đ ịn h n g h ĩa 2.5 v ơ i X € Bn , ta xác định

X' = { A i € u I x ( A j ) = 1 }

Giả sứ T Ç Bn khi đố ta đặt T' = {x' I X € T } Cho

Y ç u, X € Bn Nhận thâỷ rằng AY(x) = 1 khi và chỉ khi

Y ç x' và vY(x) = 1 khi và chỉ khi Y n x' * 0

Đ ịn h lỷ 2.3 Giả sử E £ BFp và Xi, Yj ç u vơi

1 < i < k, 1 < j < h Đặt T = B£, khi đố ta cố :

It 2 I— (A X i ) v ( A x 2)v v (*xk ) (A Y i ) v ( A Y2)v v(A Yh)khi và chỉ khi v ơ i bất kỳ Se T' ta cố : nếu tồn tại i , l < i < k sao cho XịQ s thì khi dd sẽ tồn tại j, l<j<h sao cho Yj Ç s

2 ỵ 1= (A X j ) v ( A X2)v v(A Xk) -> (v Y i ) A(v Y2) A A(v Yfo)khi và chỉ khi v ố i bất kỳ s e T' : nếu tồn tại i, 1 < i < k saocho X[ Ç s thì vơi mỗi j, 1 < j < h ta c<5 Yj n s * 0 .

3 I 1= ( v X i ) A(v X2)A A(vXk) -► (AY i) V (a Y2) V V (AYh) khi và chỉ khi \<ýi bất kỳ s e T' và vơi mỗi i, 1 < i < k đều cố

Xj rì s * 0 thì tồn tại j, 1 < j < h sao cho Yj C s,

4 I 1= (vXi)*(v X 2)A A(vXk) -> (vYi) A (vY2) a a (vYh) khi và chỉ khi vơi bất kỳ s € T' và v ố i mỗi i, 1 < i < k đều cố

Xị n s * 0 thì v ơ i mọi j, 1 < j < h ta đều cố Yj n s 5Ế 0

C h i/n g minh T rư ờ c hết ta chưng minh khẳng định 1 Đặt

g l = (AXi)v(AX2 )v v(*Xk), g2 = (AY i ) v ( aY2)v y(a Yị1)

a Giả sừ cổ I ! = ẽi~+&2 ( ỉ ) và S e T' Do s e T' suy ratồn tại X e sao cho X' = s (2) Nếu tồn tại i, 1 < i < k saocho Xj ç s khi đố do (2) suy ra X[ e x' Ta cổ (A Xị)(x) = 1

và Ẽi(x) = 1 Do X € Bỵ và do (1) suy ra ễ2(x) = 1 thì khi đố

sẽ tồn tại j, 1 £ j < h sao cho (AYj)(x) = 1 Từ nhận xét sau định nghĩa 2.5 suy ra Yj Ç s

b Giả sứ cổ tinh chất là vời mỗi S e T \ nếu tồn tại i,

1 < i < k sao cho Xj ç s thì khi đđ sẽ tồn tại j, 1 < j < h saocho Yj ç: s ta phải chứng minh £ 1= gi~*ẽ2 (3) Lấy bất kỳ

X G Bỵ đặt s = x' (4) Do X e suy ra s <= T' Nếu

g | ( x ) = 1 khi đố tồn tại i, 1 < i < k sao cho (AXj)(x) = 1 suy ra

X, Ç s Theo giả thiết sẽ tồn tại j, 1 < j < h sao cho Yj ç s