Tính toán tham số TMD theo phương pháp biến đổi laplace

TBTTNL là thiết bị được lắp vào hệ kỹ thuật với mục đích hấp thụ và chuyển một phần năng lượng dao động của hệ thành dạng năng lượng khác, từ đó làm giảm dao động và va chạm có hại của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

Mở đầu 1

Chương 1: Giới thiệu thiết bị tiêu tán năng lượng khối lượng dạng TMD 3

1.1 Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng 3

1.2 Ứng dụng của thiết bị TMD 5

1.2.1 TMD dạng chuyển động theo 2 hướng trực giao 5

1.2.2 TMD dạng con lắc đơn 6

1.2.3 TMD dạng con lắc nhiều tầng 7

1.2.4 TMD dạng con lắc cho các kết cấu mảnh 8

1.2.5 TMD giảm dao động của cầu 8

1.2.6 Một số nghiên cứu về thiết bị TTNL TMD tại Việt Nam 9

1.3 Giới thiệu phương pháp Laplace 11

1.4 Kết luận chương 1 14

Chương 2: Tính toán tham số tối ưu của TMD theo phương pháp biến đổi Laplace 15

2.1 Chuyển động của hệ chính khi chưa có TMD 15

2.2 Tính toán tham số tối ưu của TMD bằng phương pháp biến đổi Laplace 17

2.2.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ 17

2.2.2 Tính toán tham số tối ưu của TMD 19

2.2.3 Giải tìm nghiệm của hệ phương trình 27

2.3 Kết luận chương 2 31

Chương 3: Mô phỏng dao động của hệ có gắn TMD 33

3.1 Mô phỏng dao động của hệ 33

3.1.1 Chuyển động của hệ khi chưa lắp TMD 34

3.1.2 Chuyển động của hệ khi lắp thêm TMD 35

3.2 So sánh với một số phương pháp khác 37

Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 Phụ lục 46

CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

BĐL: Biến đổi Laplace

TBTTNL: Thiết bị tiêu tán năng lượng TTNL: Tiêu tán năng lượng

TMD: Tuned mass damper

MỞ ĐẦU

Trong quá trình làm việc dưới tác động của ngoại lực, trong máy móc thiết bị, kết cấu sẽ phát sinh những dao động không mong muốn Những dao động này ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc và làm giảm độ bền của các chi tiết cũng như bộ phận của máy, kết cấu Thông thường để giảm dao động có hại, người ta có thể tăng độ cứng vững của kết cấu hoặc khử nguyên nhân gây ra dao động Tuy nhiên không phải khi nào người ta cũng sử dụng được các phương pháp trên vì, hoặc phải chi phí tốn kém để tăng độ cứng vững của kết cấu, hoặc không thể khử hết được nguyên nhân gây ra dao động

Trong vài thập kỷ trở lại đây, trên thế giới đã phát triển công nghệ sử dụng các thiết bị tiêu tán năng lượng (TBTTNL) để giảm dao động TBTTNL là thiết bị được lắp vào hệ kỹ thuật với mục đích hấp thụ và chuyển một phần năng lượng dao động của hệ thành dạng năng lượng khác, từ đó làm giảm dao động

và va chạm có hại của hệ kỹ thuật Phương pháp này trong một chừng mực nhất định có thể bổ xung cho hai phương án trên

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu và ứng dụng các TBTTNL vào các công trình đòi hỏi có rất nhiều giai đoạn Trong đó có thể phân thành hai giai đoạn chính:

- Nghiên cứu dao động của công trình

- Nghiên cứu dao động của TBTTNL

Từ đó đối với từng công trình, ta có thể áp dụng từng dạng TBTTNL một cách phù hợp Vì kiến trúc của các kết cấu rất đa dạng nên hình dáng cấu trúc của thiết bị cũng không kém phần phong phú

Trong luận văn này ta sẽ xét đến sự dao động của cơ hệ một bậc tự do có gắn thiết bị TTNL dạng TMD

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phép biến đổi Laplace xây dựng phương trình chuyển động, từ

đó tìm ra 2 tham số tối ưu là tỷ số cản và tỷ số tần số tối ưu

Sử dụng phần mềm Matlab tính toán số cho cơ hệ So sánh với 2 phương pháp điểm cố định và phương pháp cực tiểu moment bậc 2 để đánh giá độ tin cậy của phương pháp trong luận văn

Mục đích của luận văn

Mục đích của luận văn là xây dựng 1 phương pháp tính toán mới, xác định các tham số đặc trưng của cơ hệ Chứng minh tính đúng đắn của phương pháp giải tìm nghiệm

Bố cục của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận

- Chương 1: Giới thiệu thiết bị tiêu tán năng lượng khối lượng TMD và phương pháp biến đổi Laplace

- Chương 2: Tính toán tham số tối ưu của TMD theo phương pháp biến đổi Laplace

- Chương 3: Mô phỏng dao động của hệ có gắn TMD

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU THIẾT BỊ TIÊU TÁN NĂNG LƯỢNG

DẠNG KHỐI LƯỢNG TMD VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE

1.1 Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng

Dao động là một hiện tượng rất phổ biến trong tự nhiên cũng như trong kỹ thuật Các phương tiện giao thông vận tải, nhà cao tầng, cầu giao thông… là các

hệ dao động trong kỹ thuật Dao động có thể có ích hoặc có hại tuỳ thuộc vào từng trường hợp cụ thể Đối với các hệ kỹ thuật, rất nhiều dạng dao động là có hại, không mong muốn xảy ra: phương tiện giao thông chịu kích động mặt đường, tàu thuỷ và các công trình ngoài khơi chịu tác động sóng gió, các tháp vô tuyến, các cao ốc chịu tác động của gió và động đất, các cầu giao thông nhịp lớn chịu tác động của phương tiện vận tải, cầu treo chịu tải trọng của gió bão, các thiết bị tuốc bin hoạt động với tốc độ cao…

Các loại dao động có hại này ngày càng nguy hiểm và có ảnh hưởng xấu đến điều kiện làm việc, làm giảm độ bền của các máy móc, thiết bị, công trình Đồng thời, cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, do sự tăng lên về quy

mô kết cấu, về tốc độ máy móc và cường độ kích động ngoài; sự cấp thiết về việc giảm giá thành các công trình lớn; yêu cầu cao về an toàn cho các công trình quan trọng mà công nghệ giảm dao động đã và đang là một trong những quan tâm hàng đầu của rất nhiều cơ quan nghiên cứu và ứng dụng

Trước đây, phương pháp phổ biến giảm dao động là tăng độ cứng vững của công trình hoặc khử nguyên nhân gây ra dao động Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, chi phí để tăng độ cứng vững của kết cấu sẽ rất tốn kém hoặc các kết cấu của công trình được thiết kế, xây dựng theo quan điểm cổ điển dựa vào

sự vững chắc của bản thân, của tải tĩnh đặt trong kết cấu, không có khả năng thích ứng với sự thay đổi luôn luôn của các lực tác dụng từ ngoài môi trường Vì vậy vấn đề đặt ra là phải thiết kế các bộ phận như thế nào để có thể lắp vào kết cấu, làm giảm những dao động có hại một cách tốt nhất và làm tăng độ an toàn, hiệu quả cũng như tuổi thọ của các công trình

Vì thế trong vài thập kỷ trở lại đây, trên thế giới đã phát triển công nghệ

sử dụng các thiết bị tiêu tán năng lượng (TBTTNL) để giảm dao động Các phương pháp giảm dao động và va chạm thường dựa trên cơ sở làm giảm hoặc cách ly lực kích động, thay đổi tần số riêng để tránh cộng hưởng, tăng cản cho

cơ hệ Về cơ bản chúng ta có thể coi các kích động tác động vào cơ hệ như là sự truyền một năng lượng vào cơ hệ, sự điều tiết năng lượng từ hệ chính tới hệ phụ được gắn vào cơ hệ được coi như sự hấp thụ hoặc tiêu tán năng lượng Sử dụng TBTTNL trong một chừng mực nhất định có thể bổ sung cho hai phương án trên với những ưu điểm: kinh tế, hiệu quả, tăng tuổi thọ công trình, cài đặt, bảo dưỡng và thay thế đơn giản

Đi theo hướng giảm dao động bằng các bộ hấp thụ và tiêu tán năng lượng (TTNL) ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp:

- hấp thụ dao động thụ động

- hấp thụ dao động tích cực

- hấp thụ dao động nửa tích cực (kết hợp cả hai phương pháp đầu)

Trong phương pháp hấp thụ thụ động, bộ hấp thụ dao động thụ động được gắn thêm vào hệ máy hay kết cấu Mục đích của việc sử dụng bộ hấp thụ dao động thụ động là để hấp thụ một phần năng lượng của hệ chính Sự hấp thụ được thực hiện bằng cách truyền một phần năng lượng dao động có hại từ hệ chính tới

bộ hấp thụ dao động thụ động Bộ hấp thụ dao động thụ động dạng khối lượng gọi tắt là TMD (Tuned Mass Damper) có thể mô tả như là một khối lượng được gắn với hệ chính thông qua lò xo và giảm chấn dạng cản nhớt Thiết bị TMD sử dụng khối lượng của bản thân để tạo ra chuyển động tương đối nên ưu điểm của

nó là không cần thay đổi hay bổ sung những yếu tố bên trong hệ chính

Hình 1.1 Mô hình b ộ hấp thụ động lực của Frahm (1909)

Hình 1.1 là mô hình cho thấy sự lắp đặt của bộ hấp thụ động lực khối lượng md nhằm làm giảm dao động cho hệ chính khối lượng m Mô hình này đã

được Frahm (1909) đưa ra lần đầu tiên Bằng cách điều chỉnh độ cứng kd và khối lượng md sao cho tần số riêng của bộ hấp thụ bằng đúng tần số kích động điều hoà f t ( ) , người ta có thể làm tắt dao động của khối lượng m Sau đó Den

Hartog (1956) đã phát triển lý thuyết bộ hấp thụ động lực có cản trong trường hợp kích động điều hoà và hệ chính không cản Áp dụng quy trình tính toán của Den Hartog, các tác giả khác đã đưa ra lời giải cho nhiều trường hợp khác nhau

về mục tiêu điều khiển và dạng kích động [6], [8], [9] Warburton (1982) là người đã tiến hành thống kê và lập bảng các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực cho nhiều trường hợp

Trong lĩnh vực điều khiển kết cấu, vì hệ kết cấu thường có nhiều bậc tự

do và có cản nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do không cản chỉ là lời giải gần đúng ban đầu Những nghiên cứu về TMD cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên đã được phát triển theo hướng sử dụng các phương pháp số [7], [10] Ngoài ra một số nghiên cứu về TMD phi tuyến [11], TMD va chạm cũng đáng chú ý Để tăng hiệu quả của TMD, những công nghệ hiện đại còn sử dụng các bộ điều khiển tích cực lắp đặt vào TMD Kỹ thuật này được sử dụng tương đối phổ biến ở Nhật Bản với tên gọi thiết bị HMD (Hybrid Mass Damper)

Việc tích hợp thiết bị TMD trong thực tế cũng mở ra nhiều nghiên cứu Khi lắp đặt vào kết cấu, thường thiết bị TMD cũng có biên độ dao động lớn hơn nhiều lần dao động của kết cấu Vấn đề nghiên cứu đặt ra là thiết kế hình dạng của thiết bị sao cho có thể sử dụng không gian một cách tối ưu Vì kiến trúc của kết cấu rất đa dạng nên hình dạng cấu trúc của TMD cũng không kém phần phong phú

TMD được sử dụng phổ biến để giảm dao động do gió, sóng biển Do yêu cầu kĩ thuật, khối lượng TMD không được ảnh hưởng nhiều đến hệ chính (thường không quá 3%-5% khối lượng hệ chính) Thông thường, kết cấu công trình là những hệ có khối lượng rất lớn nên đòi hỏi TMD cũng có khối lượng đáng kể, làm phát sinh một số yếu tố kỹ thuật cần tính đến trong thực tế

1.2 Ứng dụng của thiết bị TMD

Sau khi đã có những phân tích thích hợp, kết hợp với những thí nghiệm trên mô hình kết cấu thu nhỏ, thiết bị TMD đã chứng tỏ hiệu quả trong giảm dao động có các kích động gây ra Vì thế, các thiết bị này cũng được sử dụng rộng rãi để giảm dao động Chúng ta sẽ điểm qua một số ứng dụng của nó như sau

Những TMD đầu tiên được lắp đặt là TMD chuyển động tịnh tiến trên các rãnh chỉ có thể chuyển động theo 1 hướng nhất định Chiba Port Tower là toà

nhà đầu tiên tại Nhật Bản lắp đặt thiết bị TMD Thiết bị này có dạng chuyển động tịnh tiến nhưng được thiết kế để có thể chuyển động theo 2 hướng trực giao với nhau

Hình 1.1 Chiba Port Tower

Kết quả trước khi điều khiển và sau khi điều khiển với những điều kiện gió tương tự nhau cho thấy có thể giảm được chuyển dịch khoảng 30% và 40% theo các phương

TMD dạng con lắc đơn nổi tiếng nhất cho đến thời điểm này là TMD lắp vào Taipei 101, Đài Loan - là toà nhà cao nhất thế giới năm 2004 với độ cao 508m được xây trên vùng có khả năng xảy ra động đất và gió lớn Do chiều cao quá lớn nên theo tính toán gia tốc của tầng cao nhất có thể vượt 30%-40% so với gia tốc mong muốn

Hình 1.2 Taipei 101, Đài Loan và quả cầu nặng 660 tấn của TMD

Phương pháp giảm giao động là dùng một quả cầu nặng 660 tấn đặt tại tầng 88 được treo bởi hệ thống cáp thép với 16 dây cáp dài 42m từ tầng 92 đến tầng 88, xung quanh TMD có các hệ thống cản (Hình 1.2) Đây là TMD đầu tiên trên thế giới mà các du khách có thể được quan sát không hạn chế Với các hình dáng điêu khắc đẹp trên quả cầu, TMD cũng mang lại lợi ích không nhỏ về du lịch

Một trong những ứng dụng đầu tiên của con lắc nhiều tầng là tại Yokohama Landmark Tower (Yamazaki vcs 1992) trên hình 1.3

Hình 1.3 Yokohama Landmark Tower và TMD d ạng con lắc nhiều tầng

Con lắc nhiều tầng do Mitsubishi Heavy Industries chế tạo có cấu tạo như hình 1.4 với nguyên tắc hoạt động như hình 1.5

Hình 1.4 S ơ đồ cấu tạo con lắc nhiều tầng

Vị trí lắp đặt TMD

Dây cáp

treo

Khối lượng Khung thép

Hình 1.5 Nguyên t ắc hoạt động của con lắc đơn (bên trái)

và con l ắc 3 tầng (bên phải)

Thiết bị TMD trong trường hợp này là con lắc 3 tầng nên chiều dài cần thiết chỉ còn là 3m thay vì 9m khi sử dụng con lắc đơn

Đối với các kết cấu mảnh, một trong những giải pháp cho dạng kết cấu này là lắp đặt các TMD dạng vòng đai Ví dụ như TMD lắp vào ống khói thép tại Rayong, Thái Lan (Hình 1.6)

Hình 1.6 Ống khói tại Rayong, Thái Lan và TMD con lắc dạng đai

Các kết cấu cầu chịu tải trọng phương tiện và con người có thể bị dao động thẳng đứng Các TMD thường được lắp đặt dưới đáy của gầm cầu để giảm dao động thẳng đứng này Ta có thể thấy một số ví dụ về các TMD của hãng Gerb lắp đặt vào cầu như trên hình 1.7

Hình 1.7 TMD l ắp dưới gầm cầu để giảm dao động thẳng đứng

Nói chung, những trường hợp như trên trên hình 1.7 là các TMD loại nhỏ (khối lượng khoảng 1 tấn) lắp vào các cầu loại nhỏ, tần số cao nên không gặp trở ngại lớn nào về mặt kỹ thuật

Hình 1.8 C ầu Trans-Tokyo Bay Crossing, Nhật Bản

Bắt đầu từ năm 1989, theo Chương trình Biển Đông-Hải Đảo của Nhà nước đã tiến hành xây dựng các công trình biển (CTB) dạng DKI

Hình 1.9 Công trình bi ển dạng DKI

Các công trình này đã và đang góp phần vào sự phát triển, khai thác tiềm năng biển vô cùng phong phú Về mặt khoa học công trình biển, ta đã có một bước tiến bộ vượt bậc cả về số liệu khoa học, kinh nghiệm cũng như sự lớn mạnh của đội ngũ cán bộ khoa học Tuy nhiên, cùng với sự phát triển của khoa học và công nghệ thì sự phát triển và hoàn thiện các công trình biển là một nhu cầu tất yếu Do việc giảm ma sát giữa các cọc trụ của công trình và nền san hô cũng như do sóng, gió, dòng chảy lớn mà các công trình biển phải chịu nhiều dao động có hại khiến cho chất lượng và tuổi thọ các công trình ngày càng giảm Đặc biệt, sự dính bám giữa cọc và nền san hô (lực ma sát) bị suy giảm khi công trình dao động rung lắc nhiều (chiều sâu đóng cọc, số lượng cọc cho một công trình; trọng lực gia tải của công trình không tương xứng với sóng gió thực tế lớn hơn) Do liên kết yếu giữa công trình và nền san hô nên khi công trình bị rung lắc mạnh sẽ tạo ra các lực động tác dụng lên vùng san hô bao quanh chân công trình, làm cho khu vực này bị biến dạng dẫn đến ma sát giữa các cọc và nền giảm đi, khe hở tiếp xúc rộng ra Sự phát triển của khe hở tiếp xúc này sẽ làm cho ma sát tiếp xúc giảm, dao động của công trình tăng lên kéo theo lực động tác dụng lên vùng san hô bao quanh chân cọc cũng tăng theo Kết quả là khe hở tiếp xúc lại càng rộng ra Quá trình này nếu không được ngăn cản sẽ tiếp tục cho đến khi lực liên kết không còn thắng được các ngoại lực, dẫn tới hiện tượng cọc

bị nhổ

Hình 1.10 Mô hình k ết cấu

Các nhà khoa học đã nghiên cứu lắp thiết bị TTNL dạng con lắc lò xo vào công trình thông qua hệ thống khớp cầu và cáp treo nhằm giảm dao động theo nhiều phương phù hợp với dao động rung lắc không gian của công trình DKI Ngoài ra việc lắp thêm thiết bị cũng góp phần tăng trọng lực nhằm giảm bớt lực nhổ cọc

1.3 Giới thiệu phương pháp Laplace

Khi nghiên cứu các vấn đề cơ học, thông thường người ta phải tiến hành lập mô hình, viết phương trình chuyển động, thiết lập điều kiện đầu và điều kiện biên… Các phương trình thu được này thường là các phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân hay phương trình dạng hỗn hợp vi tích phân…

Phép biến đổi Laplace thay việc lấy đạo hàm và tích phân phức tạp bằng các phép toán đại số, hay nói khác đi, đưa phương trình vi phân và tích phân về phương trình đại số dễ giải hơn Phép biến đổi Laplace có thể được xếp vào lớp các phương pháp nhằm đưa bài toán n chiều về bài toán (n - 1) chiều

( ) { ( ) } , ( ) 1{ ( ) }

F s = L f t f t = L− F s (1.2) Điều kiện để tồn tại BĐL là tích phân (1.1) tồn tại:

- Phép tích phân xét đến mọi giá trị của hàm f t ( ) , ở đây đã được xử lý bằng cách nhân với st( 0 1, 0 )

e− e = e−∞ = cho thấy vai trò của f t ( ) không

như nhau với t ∀ Khi t càng lớn thì giá trị của f t ( ) càng có ít vai trò hơn

Để việc BĐL trở nên dễ dàng hơn, người ta sử dụng bảng một số hàm điển hình và tính chất quan trọng như sau Những bảng này được lấy từ [2]

B ảng 1.1 Một số hàm điển hình của phép biến đổi Laplace

STT Hàm theo biến thời gian Biến đổi Laplace Tính chất

STT Hàm theo biến thời gian Biến đổi Laplace Tính chất

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN THAM SỐ TỐI ƯU CỦA TMD THEO PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Từ phân tích ở chương 1, ta thấy rằng mặc dù các nghiên cứu về hệ dao động một bậc tự do đã được nghiên cứu rất nhiều, trong thực tế ta thấy tồn tại vô

số loại cơ cấu chuyển động Mỗi loại cơ cấu chuyển động lại có những đặc thù riêng của nó Để đảm bảo tính ứng dụng cao của các bộ hấp thụ dao động thụ động vào thực tế, ta cần nghiên cứu các bộ hấp thụ dao động đặc thù để giảm dao động cho các cơ cấu

Trong giới hạn của một luận văn cao học, học viên nghiên cứu bộ hấp thụ dạng TMD (tuned mass damper) cho hệ 1 bậc tự do được lắp thêm bộ TMD gồm một vật có khối lượng, liên kết với hệ chính bởi lò xo và bộ cản nhớt tuyến tính Tuy nhiên, khác với các phương pháp trước đây, ta thường sử dụng các phương pháp thông dụng như phương pháp điểm cố định, phương pháp cực tiểu moment bậc 2 hay phương pháp cực đại độ cản tương đương, ở luận văn này, học viên nghiên cứu sử dụng 1 phương pháp hoàn toàn mới Đó là dùng các phép biến đổi Laplace, tính toán các thông số của TMD nhằm giảm dao động có hại một cách tối ưu

Các bước nghiên cứu có thể tóm tắt như sau:

- Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động và tìm nghiệm tổng quát của hệ khi chưa lắp TMD

- Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ khi lắp thêm TMD

- Sử dụng các phép biến đổi Laplace, đưa hệ vi phân trở thành hệ các phương trình đại số

- Trên cơ sở hệ đại số, ta sẽ phân tích, tính toán để tìm các thông số tối ưu

và tìm nghiệm của hệ vi phân ban đầu

2.1 Chuyển động của hệ chính khi chưa có TMD

Để có cái nhìn tổng quan về hiệu quả của bộ hấp thụ dao động trong việc giảm dao động cho hệ chính, trước khi nghiên cứu và tính toán các thông số tối

ưu của TMD, ta khảo sát chuyển động của hệ chính khi chưa lắp đặt TMD

Xét một vật nặng khối lượng m được gắn vào 1 lò xo có hệ số độ cứng k

Bỏ qua khối lượng lò xo (Hình 2.1)

ω = là tần số dao động của cơ hệ

Từ lý thuyết phương trình vi phân, nghiệm của phương trình (2.5) có dạng như sau:

Trong đó C C1, 2 là các hằng số tuỳ ý Các hằng số này xác định từ các điều kiện đầu:

2.2 Tính toán tham số tối ưu của TMD bằng phương pháp biến đổi Laplace

2.2.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ

Xét hệ chính có khối lượng m1, lò xo có độ cứng k1, cản nhớt c1 được lắp thêm vào 1 bộ giảm chấn TMD có khối lượng m2, lò xo có độ cứng k2 và cản nhớt c2 như hình 2.2 Hệ chịu tác động 1 lực kích động f t ( ) vào hệ chính

1

x là toạ độ chuyển dịch tuyệt đối của hệ chính và x2là chuyển dịch tương đối của TMD so với hệ chính

Đưa vào các đại lượng:

Hệ phương trình chuyển động này là cơ sở cho phương pháp giải tích tiếp theo

2.2.2 Tính toán tham số tối ưu của TMD

Như ta đã nói, từ phương trình chuyển động, có rất nhiều phương pháp giải tích chọn tham số tối ưu của TMD cho hệ chính 1 bậc tự do Trong phần này ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace thay việc lấy đạo hàm và tích phân phức tạp bằng các phép toán đại số, hay nói khác đi, đưa phương trình vi phân và tích phân về phương trình đại số dễ giải hơn

Sử dụng phép biến đổi Laplace sau:

Các bước giải hệ hai phương trình (2.23) và (2.24) như sau

Nhân phương trình (2.23) với 2

Tiếp tục nhân phương trình (2.23) với ( 2 2)

=

Để đơn giản hoá, ta sẽ chỉ xét trường hợp hệ chính không cản, tức ξ1= 0

Các hệ số A A B được tính lại như sau: 1, ,2

Dựa vào định lý Viet ta có:

a s

cứng của TMD phải được chọn sao cho (2.34) trở thành đẳng thức Khi bất phương trình (2.34) trở thành đẳng thức thì vế phải của (2.35) bị triệt tiêu, dẫn tới tất cả các phần thực bằng nhau

Do các phần thực đã bằng nhau nên các nghiệm phải là các cặp nghiệm phức liên hợp mà ta ký hiệu là s1,2 = ± a ib và s3,4 = ± a ic Để tìm các hệ số a, b, c ta

sẽ thay nghiệm và giải ngược lại như sau:

Để giải hệ 4 phương trình (2.37) đến (2.40), ta sẽ lần lượt khử các tham số , ξ α

và a như dưới đây Lấy (2.39) chia cho (2.37), ta có:

( 2.39 ) 2 1 ( 2 2) 12

ω µ

Sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên sau:

4 1

ω µ

−

Ta thấy rằng vế phải của (2.45) không phụ thuộc vào độ cứng k2 hay độ cản c2

của TMD Chú ý rằng k2 đã được chọn để các phần thực bằng nhau Để môđun của phần ảo là nhỏ nhất thì độ cản c2 ảnh hưởng tới vế trái của (2.45) cần được chọn sao cho (2.45) trở thành đẳng thức Với cách lý luận tương tự với phần

thực, ta có thể suy ra độ lớn của các phần ảo cũng bằng nhau, tức là b = c Từ

(2.45) ta tính được giá trị chung là:

1

2 1 4

1 1

1

α

µ µ ξ

Nhận thấy rằng hai tham số tìm được bằng cách sử dụng phương pháp phép biến đổi Laplace trùng với 2 tham số tìm được bằng phương pháp cân bằng cực Việc sử dụng các phép biến đổi Laplace để tính toán thiết kế các thông số cho TMD hầu như chưa có Vì vậy chương sau sẽ so sánh kết quả với các phương pháp trên để đánh giá sự hiệu quả của việc sử dụng các phép BĐL

2.2.3 Giải tìm nghiệm của hệ phương trình

Với các nghiệm s s s s1, , ,2 3 4 tìm được như trên, mẫu số B được viết dưới dạng:

2.3 Kết luận chương 2

Chương 2 đã nghiên cứu lý thuyết, tính toán bộ hấp thụ dao động dạng TMD được lắp vào hệ chính không cản

Các kết quả nghiên cứu thu được như sau:

- Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ không cản có gắn TMD

- Sử dụng phương pháp biến đổi Laplace đưa hệ phương trình vi phân thành hệ đại số

- Từ hệ phương trình đại số, đã xác định được thông số tối ưu cho bộ giảm chấn TMD