vấn đề: bài tập liên quan tới tính chất hình học

Một tài liệu hiếm từ Lovebook, tài liệu ôn thi ĐH môn toán, đây là tài liệu hỗ trợ đắc lực cho các bạn trong việc chinh phục chuyên đề hình học giải tích Oxy và Oxyz. Tài liệu được biên soạn từ các anh chị thủ khoa trong lovebook, bộ tài liệu này là một tập hợp những kinh nghiệm của họ truyền cho chúng ta.

2/5/2015 BÀI TOÁN LIÊN

QUAN ĐẾN TÍCH CHẤT HÌNH HỌC

Chuỗi tài liệu độc

Nhà sách Lovebook

VEDU CORP

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

Chuyên đề: Bài toán liên quan đến tính chất hình học

Bạn hiểu không? Nếu không hãy chạy đi tìm cuốn tự điển xem áp chót là gì Làm ngay đi Chương này vẫn sẽ chờ bạn tại đây ngay khi bạn trở lại Tôi hứa đấy!

Hoan hô những bạn đã biết áp chót là gì

Hoan hô cả những bạn chạy đi tìm từ điển

Với những bạn hơi bị lười, thôi để tôi nói ngay: Áp chót là chương trước chương cuối của cuốn sách

Đó, vậy thôi Đây là chương áp chót trong cuốn sách “Chinh phục hình học giải tích trong mặt phẳng” Thật không thể tin nổi, mới ngày nào chúng ta cùng nhau khám phá phương trình đường thẳng, vậy mà bây giờ chúng ta đã gần tới đích rồi Còn thử thách cuối cùng đang đợi bạn chinh phục trước khi tôi dám khẳng định 100% bạn có thể làm được câu Oxy trong đề thi đại học

Tôi phải nói trước, chương này không hề dễ Có những bài được lấy từ tạp chí Toán tuổi trẻ, đề thi của các trường chuyên

Đúng như tên gọi “liên quan đến tính chất hình học”, mỗi bài toán trong chương này sẽ gồm 2 phần rõ ràng: phần hình phẳng và phần giải tích Ở phần hình học phẳng, các tính chất liên quan đến hình tròn sẽ được khai thác triệt để, từ tâm nội tiếp, ngoại tiếp đến góc chắn cung, tiếp tuyến, tứ giác nội tiếp

Còn bây giờ chúng ta lên đường

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

Hệ quả: Với tam giác đều cạnh là a, ta có:

3 Hệ thức lượng trong tam giác thường :

II Định lý Ta-lét và tam giác đồng dạng:

1 Định lý Ta-lét trong tam giác:

Nếu một đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác thì nó định ra trên hai đoạn thẳng còn lại những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

+) Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông…

Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì:

+) Tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng

+) Tỉ số hai diện tich bằng bình phương tỉ số đồng dạng

III Các tính chất của đường tròn:

1 Góc ở tâm:

+) Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn (góc AOB )

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

Định lý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng số đo cung AC cộng số đo cung CB

2 Góc nội tiếp chắn cung:

+) Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó

*Tính chất:

+) Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

1sđA 1

1sđA

3 Cung và dây căng cung:

Xét 2 cung nhỏ trong một đường tròn:

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

+) Hai cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau và ngược lại hai dây bằng nhau được căng bởi 2 cung bằng nhau:

+) Cung lớn hơn căng dây cung lớn hơn và ngược lại: AB CD AB CD 

Liên hệ đường kính và dây căng cung:

+) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm một cung thì đi qua trung điểm dây căng cung đó +) Trong một đường tròn, đường kín vuông góc với dây không đi qua tâm thì chia cung căng dây đó thành hai cung bằng nhau

Định lý dây song song:

+) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

4 Tiếp tuyến – Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây căng cung:

a) Tiếp tuyến:

Nếu hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:

+) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm: MA = MB

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến: AMO BMO

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm: AOM BOM

+) Tia kẻ từ điểm đó vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm: OM AB

b) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây căng cung:

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

Định lí: Trong một đường tròn , số đo của góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị chắn: BAx1

2sđAB

Hệ quả: Góc nội tiếp và góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau:



BAx AMB

IV Tứ giác nội tiếp:

Chứng minh tứ giác nội tiếp:

-Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm

-Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù nhau

-Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau

-Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc trong đối diện bù nhau

-Nếu MA.MB = MC.MD hoặc NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nội tiếp

-Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; …

Lợi ích: Chứng minh được các góc nội tiếp chắn cung bằng nhau

M  AB  CD; N  AD  BC

P  AC  BD

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

PHẦN 2 BÀI TẬP NHỎ

Đây là những bài toán hình học phẳng cơ bản nhằm mục đích giúp các bạn nhớ lại những kiến thức cũ đã học từ cấp 2 để có thể tiếp cân được một cách dễ dàng nhất với các bài toán giải tích phẳng sử dụng tính chất hình học Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H Dựng hình bình hành BHCD Gọi I là giao điểm của HD và BC

CMR: 1 Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và nêu cách dựng O

2 Gọi G là giao điểm của AI và OH Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC

BAC CDB 180  tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

2 Xét hai tam giác ΔEAP và ΔEPD :

Từ (1) và (2) ta có EB = EP nên AE là trung tuyến của tam giác PAB

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

2 CMR 4 điểm A, E, D, B nằm trên cùng một đường tròn

3 Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Lời giải:

1 Xét tứ giác CEDH ta có:

CEH = 90°

CEH CDHCDH = 90°



(do tổng hai góc đối bằng 180 ) 

2 Theo giả thiết :

BE là đường cao BE AC BEA 90  

AD là đường cao AD BC BDA 90  

Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới góc 90 E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm

A, E, D, B nằm trên cùng một đường tròn

3 Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm AH OA OE  AOE cân tại O

E1A1 E1E3E1E2E3E2BEA 90  

Tam giác DEB cân tại D nên E3B 1

Mà B1A (cùng phụ với góc ACB) 1 E1E3E1E2E3E2BEA OED 

Mặt khác BEA 90 OED 90  DE OE 

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là giao điểm 2 đường chéo, E là điểm đối xứng của D qua C Biết điểm  

1 3M

2 2; nằm trên đường thẳng BC, điểm

3 3I

2 2; và phương trình đường thẳng AE

là x = 1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Lời giải:

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

Có C là trung điểm DE, mặt khác BC DE BC là trung trực của DE NE = DN = AN  AND cân tại A mà

N nằm trên BC N là trung điểm BC Mặt khác IN lại vuông góc với BC nên tam giác INM vuông tại N Do đó N

là giao của đường tròn đường kính IM với đường thẳng x = 1 Gọi O là trung điểm IM thì tọa độ  

3

O 12

DN = BM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau tại F Chứng minh rằng AC CF 

H

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

Ta có hình bình hành ANFM có AN=AM nên nó là hình thoi

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

Theo định lí đảo Thales thì HK//AB

Ta lại có AH, Bk là đường cao của tam giác AIB, AH BK E  E là trực tâm tam giác AIB

 IE AB IE HK (do HK//AB)

PHẦN 3 BÀI TẬP LỚN:

Bài 1: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC cóA 4;3 , đường phân giác trong góc A có phương trình x –y –1=0  

và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I  

32;

2 Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC gấp 2 lần diện tích tam giác IBC

Định hướng: Tôi biết nhiều bạn có thói quen làm hình Oxy nhưng lười không vẽ hình Nào bây giờ hãy thử làm bài toán này mà không vẽ hình xem Tôi dám cá rằng bạn sẽ ngồi ngắm giám thị cả buổi Cầm thước kẻ và compa lên và vẽ hình thôi Bạn đã thấy xuất hiện điều kỳ diệu chưa? Nếu bạn nào đã nhận ra thì hãy thưởng tự thưởng cho bản thân ngay nhé, còn chưa thì để tôi chỉ cho bạn thấy Kéo dài phân giác trong góc A và cắt đường tròn ngoại tiếp tại D Bằng mắt thường ta cũng có thể thấy D là điểm chính giữa cung BC Nhắc lại kiến thức và khái niệm liên quan đến cung trong đường tròn:

+) Tính chất liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn: nếu hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai cung tương ứng

bị chắn bởi hai góc đó cũng bằng nhau

+) Tính chất liên hệ giữa cung và dây căng cung: nếu hai cung bằng nhau thì hai dây căng cung tương ứng của hai cung đó cũng bằng nhau Dây căng cung là đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung

Quay lại bài, AD là phân giác trong góc BAC nên BAD DAC BD CD BD CD (tính chất 2 góc chắn cung bằng nhau thì hai cung tương ứng bằng nhau dẫn đến 2 dây căng cung bằng nhau) ID BC do I và D cùng nằm trên trung trực của BC Từ đó viết được pt ID Gọi pt BC vuông góc ID thông qua ẩn m và dựa vào dữ kiện khoảng cách để tìm ra m và có pt BC

y =2

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

Vậy phương trình  BC :3x+4y =0

 Bình luận: Bài toán trở nên “đẹp” hơn rất nhiều nhờ hình vẽ Đây là một tính chất rất hay nhằm tạo ra mối liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp với phân giác trong – hai yếu tố tưởng chừng như chẳng có gì liên quan lại có thể đến với nhau Đây mới là bài đầu tiên, càng về sau càng có nhiều “mối quan hệ ngầm” vô cùng thú vị

và có những sợi dây liên kết các yếu tố gần như không tưởng

Bài 2 (Ams lần 1 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có đỉnh A 1;5 Tâm đường tròn nội tiếp và  ngoại tiếp của tam giác lần lượt là I 2;2 và    

AI, AK và IK Rõ ràng việc lập pt IK và AK sẽ không giúp ích được gì Vậy ta phải dựa vào phân giác AI Kéo dài

AI cắt (K) tại D là điểm chính giữa cung BC DB =DC B và C thuộc (D) Vẽ (D) và thật kì diệu I cũng nằm trên (D)  phải chứng minh ID = BD = CD hay IBD cân tại D thông qua tính chất tứ giác ABDC nội tiếp và góc ngoài tam giác Có phương trình (D) ta tìm được B và C

 IBD=BIDIBD cân tại D IB = ID 

Từ  và  ID = BD = CD I, B, C thuộc đường tròn tâm D bán kính ID = 10

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

Bài 3: Trong hệ trục Oxy cho tam giác ABC có trực tâmH -1;3 , tâm đường tròn ngoại tiếp   I 3;-3 , chân đường  cao kẻ từ A là điểm K -1;1 Tìm tọa độ A, B, C  

 Định hướng: Từ kinh nghiệm của bài trước, khi gặp bài toán ít dữ liệu và liên qua đến tâm các đường tròn chắc chắn sẽ phải kẻ thêm đường phụ Điểm khác biệt của bài toán này nằm ở trực tâm H thay vì tâm đường tròn nội tiếp Đề bài không cho bất cứ thông tin nào liên quan đến đường phân giác trong, nhưng cứ vẽ vào vì

ta vừa có 2 tính chất đặc biệt liên hệ giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và phân giác Kẻ phân giác trong AD, ID cắt BC tại M thì M là trung điểm BC Nếu chỉ dừng ở đây thì vẫn chưa làm được mà ta cần kẻ tiếp hình Nào nhìn cho kỹ kẻo kẻ nhầm đường một phát là toi đấy Mấu chốt sẽ liên quan đến điểm M mà ta vừa tạo ra Chỉ có 2 điểm chưa nối vào M đó là A và H Trời ơi đến đây mà bạn nào nối AM thì buồn lắm đấy ==” Nối HM và tiện tay dắt dê nối luôn AI rồi cho AI và HM cắt nhau thử xem “2 đứa nó” cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn đấy, thú vị không? Đặt tên cho cháu nó là E, cháu nó là thiên tài đấy tin không? Này nhé AIE là đường kính nên ACE ABE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) dẫn đến    EC ACvà  EB AB Mặt khác do H là trực tâm nênBH AC và  CH AB từ đó ta sẽ có tứ giác BHCE là hình bình hành tâm M Với tọa độ các đỉnh cho cùng với tính chất vuông góc ta viết được phương trình HK, BC, ID và từ đó có tọa độ M, E, A

 Bài giải:

+ Kẻ đường tròn ngoại tiếp ABC + Kẻ phân giác trong góc ABC cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D D là điểm chính giữa cung BC Nối ID cắt BC tại M

Lovebook.vn Your dreams – Our mission

B

2 2

x =1

x =5Vậy A -1;-5 , B 5;1 , C 1;1 hoặc       A -1;-5 , B 1;1 , C 5;1     

Xét cách giải khác như sau:

Gọi M là trung điểm BC    IM  BC



/ /(HK)

IM :quaI 3;-3 là  IM : x =3M 3;1  Gọi G là trọng tâm ABC Theo tính chất của đường thẳng Ơ-le I, G, H thẳng hàng  G IH Do G là

2

32

Tiếp theo các bạn làm tương tự như cách 1

Bình luận : Cách làm này các bạn chỉ nên đọc để tham khảo bởi vì đường thẳng Ơ-le không có trong sách giáo khoa Nhưng nhìn chung thì ngắn gọn hơn cách 1 phải không nào !

K là trung điểm HM  M -1;-1 IM = 2 5

phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC:   2 2

x -3 + y +3 =20

Bài toán liên quan đến tính chất hình học

 Bình luận : Đây có lẽ mới là cách làm tối ưu cho bài toán này Thế nhưng để có thể làm được như vậy cần sự sáng tạo và cảm nhận hình học tuyệt vời Phải nói thêm rằng các bạn làm được bài này theo cách nào cũng đã quá tuyệt vời rồi, thế những hãy ‘’vượt giỏi’’ bằng cách nghĩ thêm được nhiều cách giải khác cho một bài toán

Đó là kinh nghiệm của một người đã được huy chương vàng toán quốc tế !

Bài 4: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H 2 1 ; và tâm đường tròn ngoại tiếpI 1 0 ; Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – 2y – 1 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh B,

C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểmE 6 1 ; và hoành độ điểm B nhỏ hơn 4

Định hướng: Tiếp tục với sê – ri “các loại tâm”, bài toán này đề cập đến tâm ngoại tiếp và trực tâm Nhưng bài này có một sự ảo không hề nhẹ với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Quả thật nếu cho dữ kiện như vậy thì mỗi việc vẽ hình thôi đã là vô cùng khó khăn rồi Có một điều các bạn cần phải rèn luyện được, đó là “cảm nhận hình học” Hay nói theo cách khác đó là “nghĩ theo cách của người ra đề” Không bao giờ người ra đề lại đi cho một bài quá khó đến mức không ai giải được ở chuyên đề Oxy này mặc dù đây là câu điểm 8 Và thông thường thì gợi ý cách làm đã nằm sẵn trong các dữ kiện đề bài rồi Dữ kiện “đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểmE 6 1 ; ” có thể hướng đến hai luồng suy nghĩ:

- Đã có tọa độ H, ta tìm thêm một điểm nữa thuộc đường tròn sẽ viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Tìm thêm phương trình BC và giải hệ ta được tọa độ B và C

- Đề bài cho một dữ kiện rất mù mờ đó là “Trung điểm của BC nằm trên đường thẳng có phương trình x – 2y –

1 = 0” Phải chăng muốn hướng ta đến việc gọi trung điểm của BC ra ?

Hướng đi thứ nhất ngay lập tức đâm vào ngõ cụt bởi không có cơ sở nào để tìm ra thêm một điểm, mặt khác nếu có viết được thì cũng không có phương trình BC để giải hệ tìm tọa độ B và C Theo phương án 2, ta sẽ tham

số hóa tọa độ trung điểm BC là M 2t 1 t  ;  Việc bây giờ sẽ là tìm tâm ngoại tiếp HBC thông qua M Phán đoán rằng tâm J đó sẽ cách đều B và C nên I, M, J thẳng hàng Đến đây phải “liều” thôi, ta cứ lấy thử J đối xứng với I qua BC vì đó là trường hợp đặc biệt nhất Lấy compa vẽ thử đường tròn tâm J bán kính JB nào Kỳ diệu chưa,

đó chính là tâm ngoại tâm ngoại tiếp tam giác HBC Ta có AI = IB = IC mà J đối xứng I qua BC nên IB = IC = JB

=JC từ đó AH song song và bằng IJ  tứ giác AHJI là hình bình hành JH = AI = JB =JC Bây giờ ta tham số hóa điểm J theo M, cụ thể là J 4t 1 2t  ;  Ta có JH = JE, giải phương trình tìm được “t” và có tọa độ M và J Đến đây thay vì viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và phương trình BC, ta chỉ việc giải phương trình JB = JE và kết hợp dữ kiện hoành độ điểm B nhỏ hơn 4 sẽ ngắn gọn hơn

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC nên M 2t 1 t  ;  Gọi J là điểm đối xứng của I qua BC, khi đó J là tâm ngoại tiếp tam giác HBC J 4t 1 2t  ;  Do E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC nên ta có: