Phân tích & Thiết kế Giải thuật nâng cao Các giải thuật hình học

– Kết quả tìm kiếm là tất cả các điểm hình tròn xq,yq,r  Giải thuật tìm kiếm thường tổ chức dữ liệu theo cây cân bằng – gọi là cây TK phạm vi... Tìm kiếm 1 chiều theo phạm vi  Cho một

Các giải thuật hình học Computational Geometry

TS Trần Cao Đệ

– Một điểm trong mặt phẳng (x,y)

– Một điểm trong không gian (x,y,z)

 Các ứng dụng máy

học, xử lí ảnh cần xử lí

dữ liệu hàng trăm, hàng ngàn chiều

 Các bài toán thống kê, điều khiển cũng cần xử

lí dữ liệu nhiều chiều

 Một số bài toán quan trọng

– Tìm kiếm theo phạm vi (range searching query)

– Tìm bao lồi (convex hull)

Cây tìm kiếm phạm vi

 Một điểm trong không

gian d chiều được biểu diễn theo tọa độ bởi (x 0 ,x 1 ,…,x d-1 ).

 Tìm kiếm theo phạm vi

là tìm kiếm các điểm trong một phạm vi nào đó.

– Ví dụ tìm các điểm gần với (xq,yq) trong khoảng cách r

– Kết quả tìm kiếm là tất cả các điểm hình tròn ((xq,yq),r)

 Giải thuật tìm kiếm thường tổ chức dữ liệu theo cây cân bằng – gọi

là cây TK phạm vi.

Tìm kiếm 1 chiều theo phạm vi

 Cho một tự điển (tập

hợp các phần tử) có thứ tự

 Giải thuật tìm kiếm

1DTreeRangeSearch(k1,k2,v)

– Nếu v là nút ngoài (V=NULL): dừng

– Nếu v là nút trong

 Key(v)<k1: tìm đệ qui trên cây phải của v

 k1 ≤ key(v) ≤ k2: trả ra v

và tìm đệ qui trên cả 2 cây con

 Key(v)>k2: tìm đệ qui trên cây con trái của v.

return 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.rightChild(v)); else

return 1DTreeRangeSearch(k1,k2,T.leftChild(v)); }

23 12

21

18

61 42

55

49

90 74

23 12

21

18

61 42

55

49

90 74

81

– V là nút biên: nếu v là nút thuộc P1 hoặc P2

– V là nút trong: nếu v không là nút biên và v là nút thuộc cây con phải của nút thuộc P1 hoặc con trái của nút thuộc P2.

– V là nút ngoài: nếu v không là nút trong cũng không là nút biên.

Hiệu quả của giải thuật

Tìm kiếm 1 chiều theo phạm vi trên một cây TKNP cân bằng có chứa n nút cần:

tử trả về sau tìm kiếm

– Nếu Tv có sv nút thì ta phải duyệt 2sv+1 nút (Sv nút trong và sv+1 nút ngoài)

– Các nút trong nằm trên j cây con rời nhau có nút gốc là con của nút biên và

Tìm kiếm 2 chiều theo phạm vi

 FindAllInRange(x1,x2,y1,y2): Tìm kiếm tất cả các cặp thỏa:

– x1 ≤ x ≤ x2

– y1 ≤ y ≤ y2

kí hiệu T(v) là cây gắn với nút v.

 Mỗi nút của cấu trúc chính (cây T) lưu trữ

– Một phần tử có tọa độ x(v), y(v) và giá trị element(v), VÀ

– Cây tìm kiếm một chiều theo y, kí hiệu T(v) chứa các phần tử như cây con của T gốc v với các khóa là tọa độ y

Cấu trúc chính là một cây TKNP (cân bằng) theo tọa độ x

20

40 33

2

50 2

40

50 33

Xây dựng cây TK 2 chiều

O(nlogn) và có thể xây dựng trong thời gian O(nlogn)

– Cấu trúc chính dùng O(n) không gian

– Cấu trúc phụ dùng không gian tỷ lệ với số nút lưu trữ Một nút v trên cây T có thể có O(logn) tiền bối 

v được copy O(logn) lần

 Không gian lưu trữ O(nlogn)

– Thời gian xây dựng cũng là O(nlogn)

40- Giải thuật

– Tìm trên cấu trúc chính [x1,x2]

– Khi tìm thấy một nút trong v, tìm đệ qui trên cấu trúc phụ [y1,y2]

 Nút phân phối (allocation

node) : nút trong+nút con

của nút biên.

 Các nút biên chia làm 3 nhóm

– Nút giữa: giao của P1 và P2

– Nút trái: nút thuộc P1 nhưng không thuộc P2

– Nút phải: thuộc P2 nhưng không thuộc P1.

 Với mỗi nút phân phối: tìm trên cấu trúc phụ [y1,y2].

Ví dụ minh họa

Nút phân phối

Nút biên

Giải thuật tìm kiếm

– Input: cho các khóa x1,x2,y1,y2 và cấu trúc chính T; v là nút trên T; t là kiểu của nút

– Output: tập hợp các nút v mà các nút thuộc cây con gốc v có tọa độ thỏa mãn x1 ≤ x ≤ x2 và y1 ≤ y ≤ y2

} else if (t==“right”){

L=1DTreeRangeSearch(y1,y2,T.leftChild(v))

R=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.rightChild(v),”right”) } else { //t==“middle”

L=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.leftChild(v),”left”) R=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.rightChild(v),”right”) }

}

else { //của if đầu tiên

M= ∅ ;

if (x(v) < x1){

L= ∅ ; R=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.rightChild(v),t); } else { //x(v) > x2

L=2DTreeRangeSearch(x1,x2,y1,y2,T.leftChild(v),t); R= ∅ ;

Hiệu quả của giải thuật

 Giải thuật tìm kiếm 2 chiều theo phạm vi chứa n

phần tử lấy thời gian O(log 2 n+s) với s là số phần tử trả về sau tìm kiếm.

 Chứng minh: xem trang 554-Goodrich

Cây tứ phân (Quadtrees)

– Xử lí các điểm có tọa độ hạn chế (2048x2048)

– Các điểm tập trung

(x,y)

– mỗi nút trong ứng với một vùng hình vuông R

– Các nút con của một nút tương ứng với 4 hình vuông con ở 4 góc của R.

– Các nút được phân chia một cách đệ qui để mỗi vùng chứa 1 điểm Vùng chứa 1 điểm coi như là một nút ngoài

r

r1

r3

Ví dụ

f

a m k

b d

j i

e c

Nút trong Nút ngoài

Hiệu quả cây tứ phân

O(D*n), D là chiều sâu giới hạn của cây.

– Bắt đầu từ gốc r của cây.

– Nếu vùng R (tương ứng với r) ∩ A = ∅ : dừng

– Nếu R ⊆ A: tất cả các nút lá của cây gốc r đều

– Giải thuật tìm kiếm có thời gian > thời gian của giải thuật tìm brute forte!

– Trong thực hành thì TK trên cây tứ phân nhanh hơn tìm kiếm brute forte!

k-d-Trees

 Cây tứ phân không thể

tổng quát hóa cho nhiều chiều

– KG 3 chiều mỗi nút có 8 nút con;

– KG d chiều, mỗi nút có 2d nút con.

 Cây k-d: là cây nhị phân được xây dựng khá tương tự với cách xây dựng cây tứ phân.

– Mỗi nút tương ứng với một vùng hình chữ nhật

– Phân chia không gian chứa các điểm thành các hình chữ nhật, mỗi hình chứa 1 điểm

Hai loại cây k-d

 Dựa trên vùng (region

based)

– Chia vùng HCN thành hai HCN theo trục dài nhất Nếu có nhiều trục dài bằng nhau thì chia xoay vòng theo các trục

 Dựa trên điểm based)

(point-– Chia theo phân phối điểm Mỗi HCN chứa phân nửa số điểm

e g c p j f n l h a k m i b o d

– Tìm kiếm (từ nút gốc) nút ngoài v tương ứng với vùng R nhỏ nhất chứa p.

– Các điểm thuộc R và thuộc các vùng tương ứng với nút anh em của v đều được so sánh để tìm điểm

q gần nhất hiện tại

– Định nghĩa hình tròn s(p,pq)

– Duyệt cây tìm các vùng giao với s khác rỗng

– Trong khi duyệt nếu tìm thấy điểm q’ gần p hơn q, thay q=q’

Kỹ thuật trượt phẳng (Plane sweep technique)

tưởng: 1 chiều hóa bài toán 2 chiều

Giao đoạn thẳng trực giao

 Bài toán tổng quát: Cho n

đoạn thẳng, tìm giao của tất

cả các cặp đoạn thẳng

– Brute forte: xét n(n-1)/2 cặp, thời gian O(n2)

 Bài toán hạn chế: cho n

đoạn thẳng trực giao, nghĩa

là các đoạn song song với

Giải thuật trượt phẳng

 Cho trượt đường thẳng l thẳng đứng từ trái sang phải.

 Khi trượt, lưu các đoạn đang có giao điểm với l vào

tự điển S (tổ chức có thứ tự theo tọa độ y)

 Các sự kiện và hành động:

Gặp đầu trái của đoạn ngang h Thêm h vào tự điển S

Gặp đầu phải của đoạn ngang h Loại h khỏi tự điển S

Gặp đoạn thẳng thẳng đứng v Thực hiện tìm kiếm theo phạm

vi trên S với phạm vi là tọa độ y của hai đầu điểm v

Hiệu quả

trực giao cho trước là O(nlogn+s), với s là số giao điểm.

– Lưu giữ các cặp điểm gần nhất và các điểm gần với đường quét

 Như vậy, khi quét ngang 1

điểm p phải thực hiện các phép toán sau:

– Loại bỏ khỏi S các điểm r thỏa: x(p)-x(r) > d

– Tìm điểm q trong S sao cho d(p,q)<d Cập nhật lại a=p, b=q và d=d(p,q)

– Insert p vào S.

Đường quét

d Vùng khảo sát

d

Nhận xét

 Rõ ràng mỗi lần quét

qua một điểm p ta chỉ xét các điểm trong S và cần tìm điểm q với

d(p,q)<d

– Các điểm cần xét thuộc hình chữ nhật B(p,d) kích thước dx2d

– Điểm q cần tìm thuộc giao của B(p,d) với nửa hình tròn (p,d)

 Với mỗi điểm thuộc S, thực hiện tìm kiếm theo phạm vi với các khóa là tọa độ y.

 Tổ chức cây tìm kiếm là AVL hoặc red-black lưu trữ S.

p

q

Định lý

giữa hai điểm bất kỳ ít nhất là d.

là O(logn+6) đó là thời gian 1DRangeSearchTree.

p

q

– Xác định điểm kế tiếp được xử lí (được quét)

– Xác định điểm bị loại khỏi S.

 Gọi FirstIntrip và LastInTrip

là điểm đầu tiên và cuối cùng trong các điểm đang xét (theo thứ tự)

– Nếu X(FirstInTrip) < x(lastInTrip)-d, thì

 ta loại FirstInTrip

 FirstInTrip=Next(FirstInTrip)

– Sắp xếp các điểm O(nlogn)

– Thêm/xóa một phần tử vào/từ S là O(logn)

– Thực hiện tìm kiếm phạm vi trong S là O(logn)

– Thực hiện tìm kiếm khi quét qua n điểm O(nlogn).

Tìm bao lồi (convex Hull)

 Cho n>3 điểm (không

thẳng hàng) trong mặt phẳng, tìm đa giác lồi:

– có các đỉnh thuộc tập các điểm đã cho,

– chứa tất cả các điểm đã cho

 Đa giác là một chuỗi

khép kín các đỉnh đa giác

– Đa giác đơn: giao của hai cạnh bất kỳ (nếu có) là đỉnh của đa giác

– Đa giác lồi nếu nó là đơn và mọi góc trong đều nhỏ hơn π

– (p,q,r) là “cua phải” nếu chúng có hướng cùng chiều kim đồng hồ, tức là góc (p,q,r) < π nằm bên phải pq

– nếu (p,q,r)= π thì 3 điểm thẳng hàng.

p

q r

p

q

r

dương, âm hoặc bằng 0 tương ứng

Kiểm tra hai đoạn thẳng giao nhau

 Cho hai đoạn thẳng s1=p 1 q 1 ,s2=p 2 q 2 s1 và s2 giao

nhau nếu một trong các điều kiện sau thỏa:

1. (p1,q1,p2), (p1,q1,q2) khác hướng VÀ (p2,q2,p1), (p2,q2,p2) khác hướng.

2. (p1,q1,p2), (p1,q1,q2), (p2,q2,p1) và (p2,q2,q1) thẳng hàng, VÀ

hình chiếu lên trục x của s1 và s2 là giao nhau, VÀhình chiếu của s1 và s2 lên trục y là giao nhau

Tính chất cơ bản của bao lồi

 Vùng R là lồi nếu hai điểm

p,q thuộc R thì cả đoạn thẳng pq thuộc R.

– Điểm p là một đỉnh của bao lồi nếu và chỉ nếu tồn tại một đường thẳng l đi qua p sao cho tất

cả các điểm khác p thuộc về nửa mặt phẳng xác định bởi l

– Điểm p không phải là đỉnh của H nếu và chỉ nếu

p chứa trong một tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm khác trong S hoặc p thuộc một đoạn thẳng nối hai đỉnh khác

Giải thuật “gói quà” (gift wrapping)

 Chọn điểm A(xmin,ymin), A là

một đỉnh của bao lồi, gọi là điểm neo (anchor)

 Xét tia Ax

 Quay tia Ax ngược chiều

kim đồng hồ cho đến khi gặp một điểm B B là đỉnh

kế tiếp A trên bao lồi Thay A bởi B và tiếp tục quay tia Ax.

 Cho đến khi điểm B tìm thấy

trùng với điểm neo.

A

B

A

B

Định lý

của S, điểm p là đỉnh kế tiếp trên bao lồi khi quay ngược chiều kim đồng hồ thì (a,p,q) là “cua trái” với mọi điểm q của S.

C(a).isLess(p,q) nếu và chỉ nếu (a,p,q) là một “cua trái”

 Gọi p0,p1,…,ph-1 là các đỉnh bao lồi.

 Thời gian tìm điểm neo p0 là O(n)

 Ở bước i: thời gian tìm đỉnh

kế tiếp (tính C(pi-1)) là O(n)

 Có h đỉnh phải tìm vậy thời gian là O(hn)

 Trong trường hợp xấu nhất h=n thì thời gian “gói quà” là O(n2)

Giải thuật quét Graham (Graham Scan)

 Cho tập P các điểm trong

mặt phẳng

 Giải thuật tìm bao lồi H

– Tìm một điểm A nằm trên bao lồi, gọi là điểm neo; ví dụ điểm có tọa độ y nhỏ nhất Thêm A vào H

– Sắp xếp các điểm P-{A} theo C(A), tức là góc của hợp phương ngang (tia Ax).

– Xét các điểm p ∈ P-{A} theo thứ tự trên

hơn 2 điểm hoặc Nếu p hợp với hai điểm trước đó làm thành một cua trái

H trong trường hợp ngược lại và lặp lại test đối với p

Giải thuật quét Graham

Scan(S,a){

//Input: S là danh sách có thứ tự theo chiều ngược chiều kim đồng hồ; a là điểm neo//Output: S chứa các đỉnh của bao lồi (các đỉnh còn lại sau khi thực hiện giải thuật)

S.Append(a) Prev=S.first();//prev=a Curr=S.after(prev);

Do{

next=S.after(curr)

if isLeftturn(prev,curr,next) prev=curr else{

S.remove(curr);

prev=S.before(prev);

} curr=S.after(prev) } while curr!=S.last() S.Remove(S.last());//xóa điểm neo a

}

Hiệu quả của giải thuật quét Graham

Cài đặt giải thuật quét Graham

Hết chương 5