TIỂU LUẬN XỬ LÝ TÍN HIỆU NÂNG CAO SÓNG CON RỜI RẠC

Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu là rời rạc thì tínhiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc.. Nếudựa vào biên độ thì chúng ta có thể phân tín hiệu rời rạc ra làm hai lo

-* -TIỂU LUẬN XỬ LÝ TÍN HIỆU NÂNG CAO

SÓNG CON RỜI RẠC

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Minh

Nhóm thực hiện : Bùi Anh Tuấn

Nguyễn Ngọc Quân

Lê Thái Sơn

Lớp : M11CQDT01_B

MỤC LỤC

1 TÍN HIỆU VÀ BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU 2

1.1 Tín hiệu 2

1.2 Biến đổi tín hiệu 3

1.3 Biến đổi trực giao 4

1.4 Khung trong không gian vectơ 7

1.5 Phân tích thời gian - tần số 10

2 NGUYÊN LÝ CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET 17

2.1 Giới thiệu 17

2.2 Biến đổi wavelet liên tục 25

2.3 Biến đổi wavelet tham số rời rạc 26

2.4 Ứng dụng DWT trong việc xử lý số tín hiệu 29

2.4.1 Mô hình hệ thống ứng dụng DWT 29

2.4.2 Ứng dụng DWT trong việc triệt tín hiệu nhiễu 29

3 KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

1 TÍN HIỆU VÀ BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU

số Nếu dựa vào hàm số thì ta có thể phân loại tín hiệu liên tục ra làm hai loại:

- Tín hiệu tương tự: là loại tín hiệu mà hàm của tín hiệu là liên tục

- Tín hiệu lượng tử hoá: là loại tín hiệu mà hàm của tín hiệu là rời rạc

Nếu biến độc lập của sự biểu diễn toán học của một tín hiệu là rời rạc thì tínhiệu đó gọi là tín hiệu rời rạc Rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số Nếudựa vào biên độ thì chúng ta có thể phân tín hiệu rời rạc ra làm hai loại:

- Tín hiệu lấy mẫu: Nếu hàm của tín hiệu rời rạc là liên tục (không đượclượng tử hoá) thì tín hiệu đó được gọi là tín hiệu lấy mẫu

- Tín hiệu số: Nếu hàm của tín hiệu rời rạc là rời rạc thì tín hiệu đó được gọi

là tín hiệu số Như thế tín hiệu số là tín hiệu đã được rời rạc hoá cả về biến số vàbiên độ

Tín hiệu rời rạc được ký hiệu là s (nTs) trong đó Ts là chu kỳ lấy mẫu Nừu

ta chuẩn hoá biến số độc lập nTs bởi chu kỳ lấy mẫu Ts thì tín hiệu rời rạc s(nTs)sau khi đã chuẩn hoá trở thành s(n)

Để biểu diễn một tín hiệu s(n) ta có các cách sau:

- Biểu diễn dưới dạng toán học:

BiÓu thøc to¸n N n N s(n)

- Biểu diễn bằng dãy số: Đây là cách liệt kê tất cả các giá trị của s(n) thành

một dãy số

1.2 Biến đổi tín hiệu

Biến đổi một hàm hay một tín hiệu là biểu diễn tín hiệu theo dạng toán họckhác Biến đổi Fourier cho ta phổ của tín hiệu trong khi biến đổi hai chiều của mộtảnh nhằm mục đích tập trung năng lượng ảnh vào một vùng nhỏ để thực hiện nénảnh Một lăng kính sẽ hoạt động như một bộ biến đổi Fourier khi phân tích ánh sángtráng thành các phổ màu khác nhau (tần số) Như vậy biến đổi là việc phân tích tínhiệu thành các khối cơ bản, hay các hàm cơ sở, của miền biến đổi Trong miềnFourier các hàm cơ sở là hàm sin Mỗi tín hiệu đều có một các biểu điển duy nhấttrong miền Founer như là một tổng liên tục các hàm sin có biên độ, tần số và phakhác nhau

Cặp biến đổi Fourier của một tín hiệu liên tục là:

Việc sử dụng các hàm cơ sở đơn giản nhìn chung sẽ làm đơn giản hoá việcbiến đổi và tính toán Nhưng dù sao thì khối lượng tính toán cũng chỉ là một trong

số các nhân tố trong việc chọn loại hình biến đổi Các nhân tố khác là tính chất củabiến đổi và và khả năng thích hợp của biến đổi đối với một ứng dụng nhất định

Có nhiều lý do để biến đổi hoặc phân tích một tín hiệu, nhưng tựu trung lại ta

có thể nêu ra hai mục đích cơ bản sau:

- Làm bộc lộ những đác tính quan trọng của tín hiệu mà rất khó hoặc khôngthể nhận biết trong miền ban đầu

- Làm đơn giản hoá các vấn đề kỹ thuật phức tạp để dễ giải quyết

Ví dụ, xét biến đổi Laplace là sự tổng quát hoá biến đổi Fourier, nó biểu diễnmột hàm x(t) dưới dạng tổng liên tục của các hàm cơ sở est Do đó:

hệ thống tuyến tính bằng biến đổi Laplace

1.3 Biến đổi trực giao

Tập hợp các vectơ {x}, i = 1, 2, , n gọi là trực giao nếu tích vô hướng:

g dạng nx1 thuộc không gian đó đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của vectơ xi như sau:

Trong mã hoá ảnh, việc biến đổi một ảnh ra các thành phần trực giao của nó

là việc chia ảnh đó ra thành các thành phần không đồng dạng Do tính độc lập của

nó nên việc lấy ra một số thành phần trực giao từ ảnh biến đổi sẽ không ảnh hưởngđến thành phần khác Đặc tính trực giao quan tọng này được tổng quát hoá bởi định

lý hình chiếu Gọi {xi}, i = 1, 2, …, n là tập hợp các vectơ trực giao bao không gian

n chiều cao cho với với vectơ g ta đều có:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng các vectơ bị bỏ qua trong (1.8) là xi,

i = l + 1, l + 2,…, n Định lý hình chiếu phát biểu như sau [3]:

“Xấp xỉ tốt nhất của g là g ˆ theo nghĩa sai số bình phương nhỏ nhất, cụ thể là:

ˆ

Trong đó g là mọi xấp xỉ khác của g theo tập rút gọn các vectơ xi, i = 1, 2,

Do các xi là trực giao nên công thức trở thành:

Định lý Parseval phát biểu lằng năng lượng trong miền thời gian bằng nănglượng trong miền tần số

Tiếp theo chúng ta mở rộng việc khai triển trực giao đối với các hàm Tậphợp các hàm {fi(t)} là trực giao trên khoảng t1 đến t2 nếu:

Trong khi biểu diễn tín hiệu bỏi tập hợp trực giao {fi(t)}, ta chỉ có thể biểudiễn được chính xác tín hiệu nếu đó là một tập hợp đầy đủ Một tập hợp gọi là đầy

đủ nếu không tồn tại một hàm h(t) khác không, không thuộc tập hợp, thoả mãn:

1

t

* i t

h(t)f (t)dt  0

Nếu tồn tại hàm h(t) như thế thì nó sẽ trực giao với tập hợp đã cho và do đó

nó sẽ là một phần tử của tập hợp, nếu không tập hợp sẽ không đầy đủ Với cácvectơ, tập hợp đầy đủ là tập hợp các vectơ cơ sở bao không gian vectơ

1.4 Khung trong không gian vectơ

Việc phân tích một vectơ ra tập hợp trực chuẩn của các vectơ cơ sở đơn giảnchỉ là phép tính tích vô hướng Bây giờ ta mong muốn vẫn giữ nguyên phép tínhđơn giản như thế khi các vectơ cơ sở không còn là trực chuẩn (hoặc trực giao) nữa.Chú ý rằng các vectơ cơ sở không cần phải trực chuẩn, nó thậm chí có thể phụthuộc tuyến tính và do đó có thể là dư thừa Chỉ có một yêu cầu là chúng bao khônggian vectơ sao cho mọi vectơ thuộc không gian vectơ đều có thể được biểu diễntheo các vectơ đó Lý thuyết khung là sự tổng quát hoá nguyên lý phân tích trựcchuẩn và cho ta cách biểu diễn một vectơ mx1 như sau [3]:

xi bây giờ được gọi là phần tử của một khung và   xi gọi là khung đối ngẫucủa {xi} Để đơn giản ta giả sử xi là vectơ đơn vị Một khung {xi} là tập hợp cácvectơ theo công thức sau với mọi vectơ m có dạng m x 1 khác không:

2 i

1 sẽ tạo thành một cơ sở trực chuẩn và (1.17) được duy trì với x i  xi

Tóm lại, lý thuyết khung cung cấp cách biểu diễn một vectơ theo tập hợp cácvectơ cơ sở mà các vectơ này không cần thiết phải trực chuẩn hay độc lập tuyếntính Các hệ số vẫn là tích vô hướng của vectơ với vectơ cơ sở Việc khôi phục yêucầu các vectơ cơ sở mới gọi là đối ngẫu Khi   xi thoả mãn (1.18) thì mọi vectơ gđều có thể được tổng hợp theo (1.17) Nếu A = B = 1 thì xi = xi, và {xi} tạo thànhmột cơ sở trực chuẩn Lý thuyết khung sau này được dùng để phân tích và khôiphục một hàm bằng các wavelet

Nếu {xi} là một khung chặt thì xi = cxi, trong đó c là một hằng số Để tìmkhung đối ngẫu {xi} khi {xi} không chặt, gọi:

với mọi véc tơ có dạng m x l Do đó X phải thoả mãn:

Một trong các nghiệm dạng nghịch đảo là:

Nghịch đảo trong công thức trên tồn tại do ta đã giả sử rằng {xi} là khungđầy đủ Thay thế trực tiếp (1.22) vào (1.21) tất nhiên sẽ cho kết quả là ma trận đơn

vị, Dù sao thì (1.22) cũng chỉ là nghiệm chuẩn nhỏ nhất Ta sẽ có các nghiệm khác

là X + X với X là mọi vectơ thoả mãn X 0 và XXT = 0 Do đó khung đốingẫu là không duy nhất như mong muốn, trừ phi chúng ta thêm điều kiện chuẩn hoánhỏ nhất

Sau đây ta sẽ chứng minh rằng {xi} là trực chuẩn nếu và chỉ nếu A = B = 1trong (1.18)

Giả sử {xi} là một tập hợp trực chuẩn, do đó với mọi vectơ g có dạng mxl tađều có:

Kết hợp công thức này với (1.18) cho ta A = B = 1

Tiếp theo, giả sử A = B = 1 Gọi:

là một ma trận dương đối xứng do X có đầy đủ các hàng Do đó tồn tại một ma trậnđơn vị P sao cho:

là một ma trận đường chéo có các phần tử là các trị riêng của F Do đó:

x   x /  Nhưng nếu  = 1, tức là A = B = 1 thì xi = xi và {xi} lỐ trực chuẩn

Nếu một biến đổi có biến đổi ngược thì năng lượng tín hiệu trong miền banđầu phải bằng năng lượng trong miền biến đổi nhân với một hằng số §ây gọi là tínhđồng nhất Một ví dụ điển hình của tính đồng nhất là định lý Parseval Do đó việckhôi phục tín hiệu theo các hàm cơ sở chỉ khả thi nếu năng lượng được giữ trongmột hằng số Khung nhìn chung không thoả mãn tính đồng nhất Vì vậy khi khôiphục ta phải đưa các đối ngẫu vào

1.5 Phân tích thời gian - tần số

Rất nhiều tín hiệu là tín hiệu không đừng Công suất và phổ của tín hiệu thayđổi theo thời gian Do đó việc mô tả đầy đủ tín hiệu không dừng trong miền tần sốphải chứa cả khía cạnh thời gian Điều này dẫn đến việc phân tích thời gian - tần sốcủa một tín hiệu

Nếu phổ của tín hiệu phụ thuộc thời gian thì ta phải sử dụng các phân đoạn

đủ ngắn của nó (với giả sử rằng phổ là hằng số trên mỗi phân đoạn) để tính toánphổ Việc lấy một đoạn của một hàm thời gian được gọi là lấy cửa sổ Như thể hiệntrên hình 1.2, điều này tương đương với việc nhân tín hiệu với một hàm cửa sổ códạng:

1 víi t' t t' +T w(t)

Cửa sổ sẽ dịch chuyển đọc theo trục thời gian, có thể chồng lên nhau nếu cầnthiết, để tạo ra các đoạn của tín hiệu s(t) để phân tích Ví dụ, ta có thể có đồ thị 3chiều của biên độ phổ theo thời gian và tần số, hoặc đồ thị 2 chiều của tần số theothời gian với độ lớn của phổ thể hiện bởi độ đậm nhạt của màu Các đồ thị như thếgọi là các phổ đồ (spectrogram) trong phân tích tiếng nói.

Một phân đoạn có chiều dài T của tín hiệu là:

Hình 1.3: Cửa sổ phổ của: (a) một hình sin; (b) hai hình sin

Do việc lấy cửa sổ nên S( )   chính là S( )  được trải ra bởi cửa sổ W( )  Bây giờ nếu s(t) chứa hai sóng sin có cùng biên độ và tần số là 1 và 2 thì S( )  được thể hiện trên hình 1.3b, trong đó hình dạng phổ phụ thuộc vào khoảng cách

đủ lớn Nếu chúng ta đánh giá tần số của một sóng sin từ phổ của đoạn đã lấy cửa sổthì sai số đánh giá sẽ lớn nếu đoạn chỉ chứa một phần nhỏ của một chu kỳ, đặc biệtkhi có mặt của nhiễu

Trong phân tích thời gian - tần số của một tín hiệu không dừng, có hai yêucầu xung đột nhau Độ rộng cửa sổ T phải đủ lớn để cho ta độ phân giải tần sốmong muốn nhưng cũng phải đủ ngắn để không làm mờ đi các biến cố phụ thuộcthời gian Nếu tín hiệu chứa hai xung cách nhau d giây thì T phải nhỏ hơn d giây để

có thể phân biệt hai xung Độ phân giải tốt theo thời gian hay tần số biểu hiện sựđịnh vị tốt theo thời gian hay tần số Một cửa sổ rất hẹp, lý tưởng là một xung, cho

ta độ phân giải (định vị) hoàn hảo theo thời gian nhưng độ phân giải (định vị) tồitheo tần số do nó có băng tần vô hạn Mặt khác một bộ lọc băng hẹp sẽ cho ta định

vị tốt theo tần số nhưng định vị tồi theo thời gian do đáp ứng xung của nó khônggiảm xuống đủ nhanh theo thời gian [3]

Các sóng sin là cục bộ trong miền tần số nhưng lại trải dài trong miền thờigian Chúng có chiều dài vô hạn Được sử dụng như hàm cơ sở trong phân tíchFourier, chúng dựa vào sự triệt tiêu để biểu diễn (tổ hợp) sự không liên tục theo thờigian Đây là nguyên nhân của hiệu ứng Gibb Do đó trong việc biểu diễn các hàmhữu hạn (các hàm khác không trong một khoảng thời gian hữu hạn), các hình sin

không hiệu quả bằng các hàm cơ sở hữu hạn Hiệu quả ở đây được đo bằng số các

hệ số cần thiết trong miền biến đổi để biểu diễn một hàm nhất định

Trong khi thiết kế hình dạng cửa sổ để đạt được độ phân giải thời gian haytần số mong muốn, có một giới hạn cơ bản mà theo đó ta có thể đưa ra giá trị T.Giới hạn này xuất phát từ nguyên lý bất định, trong đó phát biểu rằng mọi cặp biếnđổi s(t) và S() đều phải thoả mãn:

t

1 2



Trong đó:

2 2 2

t s(t) dt s(t) dt

  

2 2

2

2

s( ) d s( ) d

 là

mô men bậc hai của t Ta có thể làm rõ hơn công thức (1.33) với  là thời gian vàbăng tần hiệu dụng của tín hiệu như sau: nếu một tín hiệu có băng tần  thì thờigian tồn tại của nó phải lớn hơn 1/(2) và ngược lại Sau này ta sẽ thấy rằng biếnđổi wavelet, thông qua việc sử dụng độ rộng cửa sổ khác nhau, có thể đạt được thay  nhỏ theo yêu cầu (ít nhất là về mặt lý thuyết), mặc dầu tất nhiên ta không thểđồng thời đạt được cả hai [3]

Hàm thoả mãn dấu bằng trong (1.33) là hàm Gausian Thật vậy, gọi:

s(t) =

2 2 t

t 2

t

1 e 2







(1.36)

Khi đó:

2 2

1

Do vậy s(t) thoả mãn dấu bằng trong (1.33) [3]

Có một số phương pháp phân tích thời gian - tần số, đáng chú ý là biến đổiFourier thời gian ngắn (STFT) sử dụng để tạo ra phổ đồ trong phân tích tiếng nói vàphân bố Wigner - Ville

Tất cả các phương pháp phân tích thời gian - tần số đều có thể được tổng quáthoá bởi tích phân sau:

2 u

ta sẽ được phổ đồ, tức là đồ thị bình phương biên

độ của STFT như sau:

2 NGUYÊN LÝ CỦA BIẾN ĐỔI WAVELET

2.1 Giới thiệu

Biến đổi wavelet, tương tự như STFT, cũng ánh xạ một hàm thời gian vàomột hàm hai chiều a và  (thay cho  và ) Tham số a gọi là tỷ lệ (scale), nó tỷ lệmột hàm bằng cách nén hoặc dãn hàm đó Tham số  gọi là tham số dịch(translation), nó dịch hàm wavelet dọc theo thời gian Tín hiệu s(t) được giả sử làkhả tích bình phương, ký hiệu là s(t) =  L2 (R), có nghĩa là:

CWT (a, ) = 1 s(t) t

a a

CWT (a, ) = 1 s(at ') t '

a a

sổ thay đổi có nghĩa là nén hoặc dãn nên tần số sóng mang sẽ trở thành 0/a khi độrộng cửa sổ từ T lên aT Nhưng số chu kỳ nằm trong cửa sổ vẫn giữ nguyên Hình2.1 minh hoạ sự khác nhau này Độ phân giải tần số tỷ lệ thuận với độ rộng cửa sổ ở

cả STFT và biến đổi wavelet Nhưng trong biến đổi wavelet, tần số trung tâm sẽdịch tương ứng với sự thay đổi độ rộng cửa sổ

Hình 2.1: So sánh giữa biến đổi STFT và biến đổi Wavelet

Wavelet cơ sở (t) có thể là thực hoặc phức, do vậy kết quả của biến đổicũng có thể là thực hoặc phức Khi (t) là phức thì liên hợp phức của nó được dùngtrong các công thức (2.2) và (2.3) Với một số ứn dụng, có một số tiện lợi khi sửdụng wavelet phức do pha của biến đổi wavelet có thể chứa các thông tin hữu ích

Sau đây ta đưa một số ví dụ về các wavelet cơ sở (t) và biến đổi Fouriertương ứng của nó.

1 Gausian có điều chế (Morlet):

1 (t) = 0 tại t = 0 hoặc tương ứng là   (t)dt = 0 cụ thể là chúng không cóthành phần một chiều.

2 Chúng là các tín hiệu thông dải

3 Chúng suy giảm nhanh về về 0 theo thời gian

Tính chất 1 là kết quả của điều kiện chấp nhận được của một wavelet, điềukiện này đảm bảo biến đổi wavelet có biến đổi ngược Tính chất 2 được suy ra từtính chất 1 Điều kiện suy giảm nhanh là ko cần thiết về mặt lý thuyết để (t) trởthành một wavelet Dù sao trong thực tế thì (t) nên là hàm hữu hạn để có khả năngđịnh vị tốt trong miền thời gian

Hình 2.2: Một số loại wavelet và biến đổi Fourier của chúng

Hình 2.3: Wavelet Haar và wavelet con của nã

Từ công thức (2.2) ta thấy có 4 cách tính CWT như sau:

1 Tính theo tích vô hướng tương quan chéo của s(t) và (t/a)/ a tại độ dịch

/a Do đó nó tính độ “tương đồng” giữa s(t) và (t/a)/ a , đầu vào s(t) hoặc là cácthành phần của s(t) có chung với (t/a)/ a

2 Nó là đầu ra của bộ lọc thông dải có áp xung à (t/a)/ a , đầu vào s(t) tạithời điểm /a

3 Do (2.3) tuơng tự như (2.2), ta cũng có thể tính theo tích vô hướng haytương quan chéo giữa một tín hiệu tỷ lệ s(at) với à a (t) tại độ dịch /a

4 Từ (2.3) ta cũng thấy rằng CWT cũng là đầu ra của bộ lọc thông dải có đáứng xung a (- t), đầu vào s(at), tại thời điểm /a

Các cách này tăng số phương án thực hiện biến đổi wavelet Việc lựa chọnphụ thuộc vào các thuật toán hiện có và phụ thuộc vào ứng dụng Ví dụ, có thể thựchiện biến đổi wavelet theo hai sơ đồ trên hình 2.4 và 2.5 [3]