Phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ số 1

Mở đầu 3Chương 1 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân ẩn với hệ số biến 1.1 Trường hợp hạng của hệ số cả là hằng.. Đã chứngminh được rằng, bài toán Cauchy với 0.6 có chỉ số 1 và điề

Mở đầu 3

Chương 1 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân ẩn với hệ số biến

1.1 Trường hợp hạng của hệ số cả là hằng 13

1.1.1 Khái niệm chỉ số 13

1.1.2 Bài toán Cauchy 21

1.1.3 Bài toán khởi tạo giá trị ban đầu 28

1.2 Trường hợp hệ số cả có hạng thay đổi 33

Chương 2 Bài toán biên nhiều điểm cho phương trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên 41 2.1 Khái niệm bài toán chính qui 42

2.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán chính qui 49

2.3 Tính giải được của bài toán không chính qui 58

Chương 3 Phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 và phương trình vi phân đại số chỉ số 1 76 3.1 Lược đồ sai phân Euler hiện cho bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 1 77

3.1.1 Tính tương thích giữa khái niệm chỉ số 1 của phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn 77

3.1.2 Sự hội tụ của lược đồ Euler hiện 82

3.2 Lược đồ sai phân Euler hiện cho bài toán biên nhiều điểm đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 1 91

3.2.1 Mối liên hệ giữa tính chính qui của bài toán liên tục và

rời rạc 93

3.2.2 Sự hội tụ của l−ợc đồ Euler hiện 99

Danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án 113

kxk- chuẩn Euclid của véc tơ x.

AT, Aư1, kAk- chuyển vị, nghịch đảo, chuẩn của ma trận A (tương thích vớichuẩn Euclid của véc tơ)

dimX- số chiều của không gian X

span{v1, , vn}- không gian sinh bởi các véc tơ v1, , vn.

An= UnΣnVT

n - khai triển kì dị của ma trận An.

diag(M, N )- ma trận đường chéo khối

Phương trình sai phân thường xuất hiện khi người ta mô tả những hiện tượng tiếnhoá quan sát được trong tự nhiên Chẳng hạn, xét quá trình phát triển dân sốtừng năm một của một quốc gia hay một vùng nào đó Nếu gọi xn+1 là số dântại thời điểm năm n + 1 thì xn+1 là một hàm của số dân xn tại thời điểm nămtrước đó Sự liên hệ này được mô tả bởi hệ thức:

xn+1 = f (xn, n), n∈ Nn 0

Phương trình sai phân theo một biến độc lậpnvà một hàm phải tìmun là phươngtrình hàm có dạng

F (un+1, un, , un ưk, n) = 0, n∈ Nn 0, (0.1)

ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm theo các biến un+1, un, , un ưk, n

vàn0 là một số nguyên dương đã cho Trong trường hợp k là hữu hạn, (0.1) đượcgọi là phương trình sai phân cấp k + 1 Tương tự như phương trình vi phân, mọiphương trình sai phân cấp k + 1 đều đưa được về hệ phương trình sai phân cấp 1

dạng

f (xn+1, xn, n) = 0, n∈ Nn 0, (0.2)

ở đây xn (n ∈ Nn 0) và f là những véc tơ và hàm véc tơ Vì vậy khi xét phươngtrình sai phân có cấp hữu hạn trong không gianRm ta chỉ cần đề cập đến phươngtrình sai phân cấp 1 dạng (0.2)

Một hướng tiếp cận quan trọng khác là coi phương trình sai phân như kết quảcủa việc rời rạc hoá các phương trình vi phân, tích phân, vi-tích phân và đạo hàmriêng Vấn đề này sẽ được trình bày kĩ hơn ở phần sau

Lý thuyết phương trình sai phân tìm được nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựccủa toán học cũng như các khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết

điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp,khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử, di truyền học, kinh tế học,tâm lý học và xã hội học, Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình sai phân là

3

một vấn đề thời sự của toán học được nhiều nhà khoa học quan tâm Trong thờigian gần đây đã có nhiều tài liệu chuyên khảo viết về phương trình sai phân (xem[1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]) Ngoài ra, còn có hàng ngàn bài báo khoahọc về phương trình sai phân và ứng dụng Có cả một tạp chí quốc tế (Journal

of Difference Equations and Applications) chuyên đăng tải những vấn đề này

Ta biết rằng nếu kerfy0(y, x, t) ={0} thì (0.2) có thể đưa về dạng

xn+1= g(xn, n), n∈ Nn 0 (0.3)

Nhưng nếu fx0n+1(xn+1, xn, n) suy biến, tức là kerfy0(y, x, t) 6= {0} thì nói chung(0.2) không đưa được về dạng (0.3) Trong trường hợp này, (0.2) được gọi làphương trình sai phân ẩn Khi ấy, các kết quả của phương trình sai phân thường(0.3) nói chung không còn đúng Hiện tượng này xảy ra giống như khi ta xétphương trình vi phân đại số

f (x0, x, t) = 0, t ∈ J := [t0, T ], (0.4)

ở đây ma trận fx00(x0, x, t) không khả nghịch với mọi giá trị của các biến

Hiện nay, một trong những hướng phát triển mạnh của lý thuyết phương trình

vi phân là nghiên cứu phương trình vi phân suy biến (0.4) Đây là một lĩnh vực

được nhiều nhà khoa học quan tâm vì rất nhiều bài toán trong thực tế dẫn đếnphương trình vi phân đại số (0.4) Các ví dụ về bài toán suy biến đưa đến nghiêncứu phương trình vi phân đại số là bài toán điều khiển tối ưu, bài toán nhiễu kì

dị, bài toán nửa rời rạc khi sai phân hoá phương trình đạo hàm riêng bằng phươngpháp đường thẳng, bài toán về mô hình mạng điện (xem [16], [14], [13])

Phương trình vi phân đại số đã được Gantmacher nghiên cứu từ khá lâu (xem[19]) Nhưng mãi đến những năm 80, phương trình vi phân đại số mới được đặcbiệt quan tâm Đã xuất hiện hàng loạt công trình nghiên cứu về vấn đề này (xem[16], [14], [15]) Bằng cách sử dụng biến đổi Kronecker cho một cặp ma trận,người ta nhận được công thức nghiệm của phương trình vi phân đại số tuyến tính

ôtônôm

với A là ma trận suy biến Cho đến cuối thập kỷ 80, một loạt các kết quả vềphương trình tuyến tính

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = q(t), t∈ J, (0.6)

ở đây ma trận A(t) suy biến với mọi t∈ J, đã được công bố và viết thành các tàiliệu chuyên khảo (xem [21], [23], [13]) Có nhiều cách đưa ra khái niệm chỉ sốcho phương trình (0.6), là khái niệm để đo ”khoảng cách” giữa phương trình viphân đại số và phương trình vi phân thường Phương trình vi phân đại số có chỉ

số càng lớn thì độ phức tạp để xử lý chúng càng cao ở đây, ta chỉ đề cập đếnkhái niệm chỉ số 1 của phương trình (0.6) theo nghĩa của Griepentrog và Ma rz.Khái niệm chỉ số lớn hơn 1 theo nghĩa của Griepentrog và Ma rz và các khái niệmchỉ số theo cách khác có thể tìm được trong [20] Theo Griepentrog và Ma rz thì(0.6) được gọi là có chỉ số 1 nếu tồn tại một phép chiếu trơn Q(t) lên kerA(t)

sao cho ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với mọi t ∈ J Đã chứngminh được rằng, bài toán Cauchy với (0.6) có chỉ số 1 và điều kiện ban đầu

Khác với bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường, ở đó điều kiện ban

đầu thường được viết dưới dạng x(t0) = x0, bài toán giá trị ban đầu đối vớiphương trình vi phân đại số chỉ đòi hỏiP (t0)(x(t0)ư x0) = 0 Không phải giá trị

x0 nào cũng có thể sử dụng để khởi tạo x(t)

Bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân đại số (0.6) với điều kiệnbiên

cũng đã được Griepentrog và Ma rz nghiên cứu (xem [21]) Bài toán (0.6) và (0.8)giải được duy nhất nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận bắn D := C0X(t0) + CTX(T )

thoả mãn các điều kiện kerD=kerA(t0) và ImD=Im(C0, CT) Các kết quả sâu sắchơn về bài toán biên nhiều điểm đối với phương trình vi phân đại số có thể tìm

được trong các bài báo của Lentini và M arz (xem [29]) hoặc P K Anh (xem [3])

Lý thuyết định tính về phương trình vi phân đại số như tính ổn định củanghiệm, bán kính ổn định của phương trình và đặc biệt là các phương pháp số đểgiải các bài toán về phương trình vi phân đại số cũng được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34],[36], [38], [39], [41])

Cũng giống như phương trình vi phân đại số, trong thực tế có nhiều bài toándẫn về nghiên cứu phương trình sai phân ẩn Có hai mô hình thực tế tiêu biểu

về vấn đề này là mô hình dân số Leslie (xem [16], [14]) và mô hình kinh tếLeontief (xem [14], [17])

Mô hình dân số Leslie được mô tả bởi phương trình sai phân

Đặt∆tlà đơn vị thời gian,m∆tlà tuổi thọ tối đa của cá thể vàA1 := (0, ∆t], A2 :=(∆t, 2∆t], , Am := ((mư1)∆t, m∆t] Trong đópk(n)là khả năng sao cho nhữngphụ nữ có độ tuổi thuộc Ak trong thời gian n∆t sẽ có độ tuổi thuộc Ak+1 trongthời gian (n + 1)∆t Nói cách khác, pk(n) là tỷ lệ sống sót của các bà mẹ ở độtuổi Ak vào thời gian n∆t Còn bk(n) là số trẻ sơ sinh nữ được sinh ra trong thờigian (n + 1)∆t bởi những bà mẹ có độ tuổi thuộc Ak, tức là bk(n) là tỷ lệ sinh

Ta thường gọi ma trận Tn là ma trận Leslie Trong thực tế, khi nghiên cứu về

sự phát triển dân số của một vùng nào đó nhiều khi ta biết phân bố số dân theotừng độ tuổi của vùng đó tại thời điểm hiện tại là xn 0 = x0 và ta cần tìm phân

bố số dân theo từng độ tuổi của vùng ấy tại một thời điểm trước đó xn 0 ưk, tức là

ta cần giải bài toán

Với phép đổi biến ui = xn 0 ưi (i = 0, k) và phép đặt Mi = Tn 0 ưi (i = 0, k), bài toán(0.10) trở thành 

Trong đó, nền kinh tế được chia thành m lĩnh vực sản xuất, xn là véc tơ gồm m

thành phần mà thành phần thứi của nó là giá trị sản xuất hàng hoá của lĩnh vựcsản xuất thứ i trong thời điểm n, A là ma trận sản xuất, Axn là phần tiêu haotrong sản xuất, B là ma trận đầu tư, B(xn+1ư xn) là giá trị lợi nhuận sinh ra và

Mặt khác, nhiều phương trình sai phân ẩn chính là kết quả của việc rời rạchoá phương trình vi phân đại số (0.6) Ascher, Brenan, Campbell và Petzold (xem[13], [8]) đã xét lược đồ sai phân ẩn

Ngoài ra có rất nhiều bài toán điều khiển trong kĩ thuật liên quan đến phươngtrình sai phân ẩn

Những mô hình thực tế, cũng như việc rời rạc hoá phương trình vi phân đại

số cho ta thấy việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn là một vấn đề thời

sự được nhiều người quan tâm Trong thực tế, phương trình sai phân ẩn cũng

đã được đồng thời đề cập đến khi nghiên cứu về phương trình vi phân đại số.Campbell, Meyer (xem [16]) đã dùng biến đổi Kronecker giống như đã sử dụngtrong phương trình vi phân đại số (0.5) để đưa phương trình sai phân ẩn tuyếntính ôtônôm

Axn+1= Bxn+ qn, n∈ Nn 0,

ở đâyA là ma trận suy biến, về một hệ gồm một phương trình sai phân thường vàmột phương trình sai phân ẩn dạng đặc biệt Các kết quả nhận được về phươngtrình sai phân ẩn dạng trên đã được Campbell (xem [14]), Dai (xem [17]) ápdụng cho các bài toán điều khiển dạng

trong đó ma trận E suy biến

Gần đây Navarro, Ferrer và Jodar (xem [35]) đã đưa ra công thức nghiệm vànghiên cứu tính ổn định của nghiệm cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính

đã đưa ra điều kiện giải được duy nhất nghiệm và công thức nghiệm của bài toánCauchy cho phương trình sai phân ẩn không dừng

Tnun+1+ un= ϕn, n∈ N0,

ở đó Tn là ma trận có chỉ số 1 và dãy {rankTn}∞n=0 là dừng Tuy nhiên, các kếtquả của nhóm tác giả nói trên chỉ là trường hợp riêng của một số kết quả đượctrình bày trong Chương 1 của luận án này

Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính và sai phân ẩn tuyến tính

ôtônôm thì cách tiếp cận để giải quyết chúng giống nhau Tuy nhiên, khi chuyểnsang phương trình không dừng, các kĩ thuật áp dụng cho phương trình vi phân

đại số không còn hữu hiệu đối với phương trình sai phân ẩn nữa

Luận án tập trung nghiên cứu một số vấn đề về phương trình sai phân ẩntuyến tính không dừng

Anxn+1 = Bnxn+ qn, n∈ N0, (0.12)

ở đó An là các ma trận suy biến với mọi n ∈ N0 Các vấn đề liên quan đếnphương trình (0.12) được nghiên cứu trong luận án bao gồm:

1 Khái niệm chỉ số 1 của phương trình (0.12)

2 Sự tồn tại nghiệm và công thức nghiệm tường minh của bài toán giá trị ban

đầu và bài toán biên nhiều điểm

3 Mối liên hệ giữa phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 và phương trình vi phân

đại số chỉ số 1

Khái niệm chỉ số của phương trình sai phân ẩn đưa ra ở đây thể hiện độ suybiến của phương trình sai phân ẩn Nói cách khác, nó đo ”khoảng cách” giữaphương trình sai phân ẩn và phương trình sai phân thường Đối với phương trình

vi phân đại số tuyến tính không dừng, ta dùng các phép chiếu lên các không giankerA(t)và phần bù của nó để tách phương trình vi phân đại số thành một hệ gồmmột ràng buộc đại số và một phương trình vi phân thường Còn đối với phương

trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng, ta lại sử dụng khai triển kì dị của các

ma trận An và các ma trận ”tựa chiếu” để tách phương trình sai phân ẩn thànhmột hệ gồm một phương trình sai phân thường và một ràng buộc đại số Cáchtiếp cận mới này đã thu được một số kết quả tốt cho phương trình sai phân ẩntuyến tính không dừng (0.12) Cách tiếp cận này cũng được giới kĩ thuật quantâm khi (CSA’s Internet Database Service) đưa công trình [32] vào (CSA CivilEngineering Abstracts)

Luận án được hình thành trên cơ sở ba bài báo [4], [5], [32] và được sắpxếp thành ba chương Chương 1 dành cho việc trình bày khái niệm chỉ số 1

của phương trình sai phân ẩn dựa vào khai triển kì dị của An và các phép chiếulên kerAn Chương này cũng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và đưa ra công thứcnghiệm tường minh của bài toán Cauchy đối với (0.12) khi hệ số cả có hạnghằng hoặc có hạng thay đổi Một số kết quả về bài toán khởi tạo giá trị ban đầucũng được đề cập đến ở chương này Trong Chương 2, chúng tôi xét bài toánbiên nhiều điểm cho phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 Các kết quả nhận đượctrong chương này là đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệmcủa bài toán biên nhiều điểm Hơn nữa, điều kiện giải được cũng như công thứcnghiệm tường minh của bài toán không chính qui cũng được thiết lập Chương 3trình bày mối liên hệ giữa phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 và phương trình viphân đại số chỉ số 1 Khi áp dụng lược đồ Euler hiện cho bài toán Cauchy đốivới phương trình vi phân đại số chỉ số 1 ta sẽ nhận được phương trình sai phân

ẩn chỉ số 1 Hơn nữa, nghiệm của bài toán rời rạc hội tụ về nghiệm của bài toánliên tục tương ứng khi bước lưới rời rạc đủ bé Trong chương này ta cũng chỉ ra

sự không tương thích giữa khái niệm chính qui của bài toán liên tục và bài toánrời rạc nhận được khi áp dụng lược đồ Euler hiện Sự hội tụ của lược đồ Eulerhiện cho bài toán biên nhiều điểm cũng sẽ được trình bày Trong cả ba chươngcủa luận án, các kết quả lý thuyết được minh hoạ bằng các ví dụ tính toán bằng

số trong môi trường MAPLE Cuối cùng là phần kết luận, danh mục công trình

đã công bố liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo

Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân ẩn

với hệ số biến thiên

Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được của bài toán giá trị ban

đầu cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng:

Anxn+1 = Bnxn+ qn, n∈ N0, (1.1)

ở đây An, Bn∈ Rm ìm, qn ∈ Rm và An là ma trận suy biến với mọi n∈ N0.Phương trình (1.1) xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng và có thể được xemnhư là kết quả của sự rời rạc hoá phương trình vi phân đại số

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = q(t), t∈ J := [t0, T ], (1.2)

trong đóA, B ∈ C(J, Rmìm), q ∈ C(J, Rm)và ma trậnA(t)suy biến với mọit∈ J.Thời gian gần đây đã có nhiều tác giả nhận được các kết quả về phươngtrình (1.2) như Ascher, Boyarincev, Brenan, Campbell, Gear, Griepentrog, Hairer,

Ma rz, Petzold, Rheinboldt, Trong các kết quả đã nhận được về phương trình(1.2), người ta đều giả thiết kerA(t) trơn theo t, do đó A(t) có hạng hằng Khitiếp cận phương trình (1.1), bằng cách sử dụng khai triển kì dị của các ma trận

An cũng như một số khái niệm và kĩ thuật của phương trình vi phân đại số, chúng

ta sẽ đưa ra khái niệm chỉ số1 của phương trình sai phân ẩn tuyến tính khi hạngcủa hệ số cả là hằng Trong [4] đã chỉ ra rằng khái niệm chỉ số 1 này hoàn toàntương thích với khái niệm chỉ số 1 của phương trình vi phân đại số theo nghĩacủa Griepentrog và M arz Tức là nếu (1.2) có chỉ số 1 thì phương trình sai phânnhận được từ nó bằng một cách rời rạc thích hợp cũng có chỉ số 1

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và tìm côngthức nghiệm tường minh của bài toán Cauchy Một số kết quả liên quan đến bài

12

toán Cauchy như là chọn véc tơ ban đầu P0x0 cũng được đề cập ở đây Hơn nữa,khác với phương trình vi phân đại số, trong đó rankA(t) luôn giả thiết là hằng,phương trình sai phân ẩn vẫn có thể giải được trong trường hợp rankAn khônghằng.

Kết quả chính của chương này được công bố trong bài báo [32]

1.1 Trường hợp hạng của hệ số cả là hằng

1.1.1 Khái niệm chỉ số

Giả sử rằng An là các ma trận suy biến, khác không, và có hạng hằng, tức làrankAn = r với mọi n∈ N0, trong đó 0 < r < m Khi đó xét một khai triển kì dịcủa An

ở đây Σn là ma trận đường chéo với các giá trị kì dị σn(1) ≥ σn(2) ≥ ã ã ã ≥ σn(r) > 0

trên đường chéo chính, hay Σn có dạng

Σn = diag(σ(1)n , σn(2), , σn(r), 0, , 0);

Un, Vn là các ma trận trực giao, tức là

UnTUn = UnUnT = VnTVn = VnVnT = I

Đặt Vư1 = V0, Qn= VnQ∗VT

n , Pn= I ư Qn, n∈ N0 với Q∗ :=diag(Or, Im ưr), trong

đó Or, Im ưr là kí hiệu của các ma trận vuông không cấp r và ma trận đơn vị cấp

mư r Từ dạng của Σn vàQ∗ ta có ΣnQ∗ = O, do đó Qn là phép chiếu lên kerAn.Trước khi trình bày khái niệm chỉ số 1 của phương trình (1.1), chúng ta cần

có một số kết quả bổ trợ Các kết quả này được phát biểu trong hai bổ đề sau

Bổ đề 1.1. Giả sử rằng ma trận Gn := An+ BnVn ư1Q∗VT

n (n ∈ N0) là không suy biến Khi đó ta có

(i)

n Qn)Pn = AnPn + BnVn ư1VT

n QnPn. Do QnPn = O nên đẳngthức cuối trên cho ta GnPn = AnPn Kết hợp hệ thức vừa nhận được với (1.4)

ta suy ra GnPn = An, hay Pn = Gư1n An Từ đó suy ra (1.5) Tiếp theo, từ

Gn = An + BnVn ư1Q∗VnT ta có Gnư An = BnVn ư1Q∗VnT Nhân VnVnTư1 vào bênphải hai vế của đẳng thức này và lưu ý rằng VT

Chứng minh. (i) Giả sử Gn khả nghịch và kí hiệu Sn:={ζ : BnVn ư1VTnζ ∈ ImAn},

ta cần chứng minh rằng Gbn cũng khả nghịch Để chứng minh điều này, trước hết

ta chứng tỏ Sn∩ kerAn ={0} Thật vậy, lấy x∈ Sn∩ kerAn tuỳ ý Do x∈ Sn nêntồn tại véc tơ ζ ∈ Rm sao cho BnVn ư1VTnx = Anζ Nhân QnGư1n vào bên trái hai

vế của đẳng thức này ta nhận được

QnGư1n BnVn ư1VTnx = QnGư1n Anζ

Sử dụng đẳng thức (1.5) trong Bổ đề 1.1, ta có QnGư1n Anζ = QnPnζ = 0, do đó

QnGư1n BnVn ư1VTnx = 0 Tương tự như Qn, ta đặt Qn = VnQ∗VTn, thì Qn cũng làmột phép chiếu lên kerAn Mặt khác, từ x∈ kerAn, suy ra tồn tại z ∈ Rm để x =

Qnz Hơn nữa, An ư1Vn ư1VTnx = Un ư1Σn ư1VTnư1Vn ư1VTnx = Un ư1Σn ư1VTnQnz =

Un ư1Σn ư1Q∗VTnz Vì Σn ư1Q∗ = O nên ta nhận được An ư1Vn ư1VTnx = 0 Từ đâysuy raVn ư1VTnx∈ kerAn ư1, hay tồn tại véc tơ η∈ Rm sao choVn ư1VTnx = Qn ư1η.Như vậy đẳng thức QnGư1n BnVn ư1VTnx = 0 được viết lại là QnGư1n BnQn ư1η = 0

Từ hệ thức (1.7) trong Bổ đề 1.1, ta nhận được VnQ∗VT

n ư1η = 0, hay Q∗VT

n ư1η = 0

Điều này có nghĩa là Vn ư1Q∗VnTư1η = 0, hay Qn ư1η = 0 Vì Vn ư1VTnx = Qn ư1η

nên Vn ư1VTnx = 0, hay x = 0 Vậy ta nhận được Sn∩ kerAn ={0} Bây giờ ta sẽchứng minhGbnkhả nghịch Giả sửGbnx = 0, tức là(An+BnVnư1Q∗VTn)x = 0, hay

BnVn ư1VTnQnx = ưAnx∈ ImAn Vậy ta có Qnx ∈ Sn Mặt khác, Qnx∈ kerAn,suy ra Qnx ∈ kerAn∩ Sn Do kerAn ∩ Sn = {0} nên Qnx = 0 Kết hợp đẳngthức này với BnVn ư1VTnQnx = ưAnx ta có Anx = 0, tức là x ∈ kerAn Vì vậy

x = Qnx = 0 Điều này có nghĩa là Gbn là ma trận khả nghịch.

(ii) Trước hết, ta để ý rằng cả Qn ư1 và Qnư1 là hai phép chiếu lên kerAn ư1,

= Vn −1Q∗VnTG−1n An+ Vn −1Q∗VnTG−1n BnQn −1Vn −1Q∗VTn.

Sử dụng hệ thức (1.5), ta có Vn −1Q∗VnTG−1n An= Vn −1VnTQnPn = O Từ đẳng thức(1.6), suy ra

Vn −1Q∗VnTG−1n BnQn −1Vn −1Q∗VTn = Vn −1Q∗VTn,

do đóVn −1Q∗VnTG−1n Gbn= Vn−1Q∗VTn, hayVn −1Q∗VnTG−1n = Vn −1Q∗VTnGb−1

n Đẳngthức (1.9) đ−ợc chứng minh

Bổ đề 1.2 chứng tỏ định nghĩa về chỉ số 1 của phương trình (1.1) dưới đâykhông phụ thuộc vào việc chọn khai triển kì dị của các ma trận An.

Định nghĩa 1.1. Phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.1) được gọi là có chỉ số

Dễ thấy, kerAn=span{(1, ư1)T

}, điều này chứng tỏ rankAn ≡ 1 Hơn nữa, An =

Ví dụ 1.2. Xét phương trình (1.1) với An, Bn và qn cho bởi

Khi đó kerAn=span{(1 + n, 1)T

} với mọi n∈ N0, suy ra rankAn ≡ 1 Khai triểnkì dị của An là An = UnΣnVnT với

√

1+(1+n) 2

√ 1+n 2 6= 0, ∀n ∈ N Điều này chứng tỏ phương trình (1.1) vớidữ liệu (1.12) có chỉ số 1

Ví dụ 1.3. Xét phương trình sai phân ẩn (1.1) với

Để có sự so sánh khái niệm chỉ số của phương trình sai phân ẩn mà ta vừa

đưa ra với khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số, sau đây ta sẽ nhắclại một số định nghĩa về khái niệm chỉ số của phương trình vi phân đại số

Định nghĩa 1.2. ([14], [21]) Cho A là một ma trận Khi đó

k := min{n ∈ N0 : kerAn= kerAn+1}

được gọi là chỉ số của ma trận A và kí hiệu là ind(A).

Định nghĩa 1.3. ([14], [21]) Cặp ma trận {A, B} được gọi là chính qui nếu

det(λA + B) không là đa thức đồng nhất 0.

Bổ đề 1.3. ([14], [21]) Cho {A, B} là cặp ma trận chính qui và c, c là các số thực sao cho c6= c, det(cA + B) 6= 0, det(cA + B)6= 0 Khi đó

ind((cA + B)ư1A) = ind((cA + B)ư1A)

Từ Bổ đề 1.3 ta có định nghĩa về chỉ số của cặp ma trận dưới đây không phụthuộc vào việc chọn số thực c

Định nghĩa 1.4. ([14], [21]) Cho {A, B} là cặp ma trận chính qui Khi đó chỉ số của cặp ma trận {A, B}, kí hiệu ind(A, B), là chỉ số của ma trận (cA + B)ư1A, trong đó c là số thực sao cho det(cA + B)6= 0.

Định nghĩa 1.5. ([21]) Phương trình vi phân đại số (1.2) được gọi là có chỉ số 1

nếu:

(i) Tồn tại phép chiếu trơn Q ∈ C1(J, Rmìm) lên kerA(t): Q2(t) = Q(t),

ImQ(t) = kerA(t) với mọi t∈ J.

(ii) Ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t) không suy biến với mọi t ∈ J.

Bổ đề 1.4. ([21]) Cho {A, B} là cặp ma trận chính qui và Q là phép chiếu bất

kỳ lên kerA Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương đương.

(i) ind(A, B) = 1.

(ii) Ma trận G := A + BQ không suy biến.

Nhận xét 1.1. Từ điều kiện (i) của Định nghĩa 1.5, ta có thể suy ra được rankA(t)

là hằng Theo Bổ đề 1.4, ta có chỉ số của cặp ma trận{A(t), B(t)} trong phươngtrình vi phân đại số chỉ số 1 luôn bằng 1 với mọi t ∈ J, trong khi đó chỉ số củacặp ma trận{An, Bn} trong phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 lại không nhất thiếtbằng 1 với mọi n ∈ N0, thậm chí có thể tồn tại k ∈ N0 mà cặp {Ak, Bk} khôngchính qui Đây chính là điểm khác biệt giữa hai khái niệm chỉ số của phươngtrình sai phân ẩn và phương trình vi phân đại số

1.1.2 Bài toán Cauchy

Tương tự như phương trình vi phân đại số (xem [21]) nếu ta đặt điều kiện ban

Từ đẳng thức trên ta nhận đ−ợc x(2)0 =−1, ở đây x0 = (x(1)0 , x(2)0 )T

∈ R2 Vậy nếulấy x0 = (α, β)T

∈ R2, ở đó β 6= −1, thì bài toán Cauchy

Định lý 1.1. Giả sử phương trình (1.1) có chỉ số 1 Khi đó bài toán Cauchy (1.1),

(1.15) luôn có duy nhất nghiệm với mọi vế phải qn∈ Rm, ở đó n∈ N0, và nghiệm

Kết hợp công thức trên với (1.21), ta có

xn = ePn −1[(

nQ−1 i=0

Pn −1−iG−1n−1−iBn −1−i)u0

Pn −1−iG−1n−1−iBn −1−i)P−1x0 (1.23)+

Pn −1 Từ đó suy ra

e

Pn −1Pn −1 = ePn −1, n∈ N (1.26)

Kết hợp các hệ thức (1.24), (1.25), (1.26) với (1.23) ta nhận đ−ợc công thứcnghiệm ( 1.18)

Bây giờ, giả sử chúng ta có hai khai triển kì dị của ma trận An = UnΣnVnT =

UnΣnVTn áp dụng các hệ thức (1.8), (1.9), (1.10), (1.16) và (1.17), ta suy ra

Pn ư1(Mn(n)ư1x0+

nPư2 k=0

Mn(n)ư2ưkGư1k qk+ Gư1nư1qn ư1)ư Vn ư1Q∗VT

n Gư1n qn

= ePn ư1Mnư1(n)x0+

nPư2 k=0

∈ Rm cho trước, ta chỉ cần biết véc tơ ban đầu u0, dãy ma trận {Mi}ni=0ư1

và dãy véc tơ {ri}ni=0ư1 Còn đối với bài toán Cauchy (1.1), (1.15), trong đó (1.1)

có chỉ số 1 lại cần cho trước P0x0, các dãy ma trận {Ai}n

i=0 , {Bi}n

i=0 và dãy véctơ {qi}n

i=0 Chú ý rằng ở đây ta cần thêm cả các ma trận An, Bn và véc tơ qn.

Ví dụ 1.4. Xét bài toán Cauchy (1.11) với điều kiện đầu

12

 −



−11

e

Pn −1Mn(n)−2−kG−1k qk+ ePn −1G−1n−1qn −1− Vn −1Q∗VnTG−1n qn

= 2(n− 1)!

nP−2 k=0

1k!





= 2(n− 1)!

nP−2 k=0

1k!

−2 3 2

2n ư1ưk(k2+ 2kư 1)

k + 1



10



 ,

n∈ N2, ở đây x0 = (α, β)T

1.1.3 Bài toán khởi tạo giá trị ban đầu

Trong Định nghĩa 1.1 về chỉ số 1 trình bày ở Mục 1.1.1, ma trận Vư1 trong côngthức xác định G0 = A0+ B0Vư1Q∗VT

0 được lấy là ma trận V0, tức là ta đã áp đặtcho Vư1 Thực ra, chúng ta chỉ cần Vư1 là ma trận trực giao sao cho G0 khảnghịch Khi đó tất cả các kết quả về phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.1)vẫn đúng Từ đó đặt ra bài toán là cho trước hai ma trận A0 = U0Σ0V0T, B0 vớirankA0 = r (0 < r < m), hãy tìm tất cả các ma trận trực giao Vư1 sao cho ma

G0 = diag(Σ0, Om −r) + U0TB0V−1diag(Or, Im −r)với Σ0 := diag(σ(1)0 , , σ(r)0 )∈ Rrìr

khả nghịch Do đó G0 là không suy biến khi và chỉ khi ma trận Ge0 khả nghịch.

Giả sử ma trận X := U0TB0V−1 đ−ợc phân tích thành ma trận khối dạng sau:

Om −r,r là ma trận không cấp (m− r) ì r Vậy G0 là ma trận khả nghịch khi

và chỉ khi ma trận X4 ∈ R(m −r)ì(m−r) không suy biến Từ đó ta có thể khẳng

định tập hợp tất cả các ma trận trực giao V−1 cần tìm là tập hợp tất cả các matrận trực giao V−1 sao cho ma trận X := UT



 ,

với α6= π2 + kπ

VÝ dô 1.7. LÊy A0, B0 nh− sau:

x1 = eP0(G−1n B0x0+ G−10 q0)− V0Q∗VT

1 G−11 q1,

xn= ePn −1(Mn(n)−1x0+

nP−2 k=0

√ 2

và Vư1 là một ma trận trực giao bất kì cho trước Khi đó một câu hỏi đặt ra là

có tồn tại chăng một bài toán Cauchy dạng

cũng có chỉ số 1 và nghiệm của hai bài toán này liên hệ với nhau bằng một côngthức tường minh? Ta lấy {Vn}n=0, là một dãy ma trận trực giao bất kì Khi đó

ta viết lại bài toán (1.35) dưới dạng

Do Vn, Vn là các ma trận trực giao và Gn khả nghịch với mọi n∈ N0 nên Gbn là

không suy biến với mọi n ∈ N0 Vì vậy bài toán giá trị ban đầu (1.36) có chỉ

số 1 Hơn nữa, nghiệm của (1.35) và (1.36) được liên hệ với nhau bởi hệ thức

yn = Vn ư1VnTư1xn, n∈ N0.

1.2 Trường hợp hệ số cả có hạng thay đổi

Trong mục này ta nghiên cứu tính giải được của bài toán Cauchy với hệ số biếnthiên khi hạng của hệ số cả thay đổi Cần lưu ý rằng hiện nay người ta chưanghiên cứu phương trình vi phân đại số (1.2) với rankA(t) không hằng Bởi vậykết quả dưới đây có những khác biệt với các kết quả đã biết trong lí thuyếtphương trình vi phân đại số

Trước hết ta xét phương trình (1.1) mà các hệ số An có nhân lồng nhau, tứclà

Bổ đề 1.6. Điều kiện (1.37) là tương đương với hệ thức

Chứng minh. Giả sử đẳng thức (1.38) thoả mãn, ta sẽ chứng minh (1.37) là đúng.Thật vậy, lấy x∈ kerAn+1 thì do Qn+1 là phép chiếu lên kerAn+1 nên Qn+1x = x,hayPn+1x = 0 Vậy ta nhận đượcPnPn+1x = 0, nhưng từ (1.38) ta suy raPnx = 0,hay x∈ kerAn Điều này chứng tỏ (1.37) đúng.

Ngược lại, xét véc tơ x∈ Rm bất kỳ, ta có Qn+1x∈ kerAn+1 ⊂ kerAn Vì vậy

QnQn+1x = Qn+1x, hay (I ư Pn)(I ư Pn+1)x = (I ư Pn+1)x Từ đẳng thức cuốicùng này, ta nhận được PnPn+1x = Pnx,∀x ∈ Rm, tức là PnPn+1 = Pn Bổ đề đã

được chứng minh

Trước khi thiết lập tính giải được và xây dựng công thức nghiệm cho phươngtrình (1.1) thoả mãn điều kiện (1.37), ta cần một số kết quả bổ trợ mà chứngminh của chúng được tiến hành tương tự như trong Bổ đề 1.1

Bổ đề 1.7. Giả sử ma trận Gn := An+ BnQn là không suy biến Khi đó ta có (i)

Định lý 1.2. Giả sử điều kiện (1.37) thoả mãn và các ma trận Gn:= An+ BnQn

khả nghịch với mọi n ∈ N0 Khi đó bài toán Cauchy (1.1), (1.15) là giải được với mọi vế phải qn Hơn nữa, nghiệm xn được cho bởi công thức

x0 = (Iư Q0Gư10 B0)x0 ư Q0Gư10 q0,

xn= (I ư QnGư1

n Bn)[(

nQư1 i=0

Pn ư1ưiGư1nư1ưiBn ư1ưi)x0 (1.42)

+

nPư2 k=0

ở đây ξi ∈ Rm (i = 0, nư 1) là những véc tơ bất kỳ.

minh Định lí 1.1, ta đưa được bài toán Cauchy (1.1), (1.15) về hệ tương đương

Chú ý Trong phần này đẳng thức (1.25) không còn đúng nữa, vì vậy trong công

thức nghiệm (1.42) ta không khử được các phép chiếu Pi như trong công thứcnghiệm (1.18)

Nhận xét 1.3. Với giả thiết của Định lý 1.2, bài toán Cauchy (1.1), (1.15) luôn

có nghiệm xn phụ thuộc vào n véc tơ bất kỳ ξi (i = 0, nư 1) và các phép chiếu

Qi, 06 i 6 n Trong trường hợp đặc biệt, khi kerAn là hằng thì Pn ≡ P, Qn≡ Q

và từ giả thiết của Định lý 1.2 suy ra phương trình (1.1) có chỉ số 1 Lúc này

theo đẳng thức (1.41), ta suy ra PiGư1i BiQi ư1ξi ư1 = P Gư1i BiQξi ư1 = 0, tức là cáccông thức nghiệm (1.42) và (1.18) trùng nhau.

Bây giờ ta xét phương trình (1.1) có các hệ số An thoả mãn điều kiện

rankAn+1 ≥ rankAn, ∀n ∈ N0

Ta cũng xét khai triển kì dị của An là An= UnΣnVnT với

Σn:= diag(σn(1), , σ(rn )

n , 0, , 0) và rn:= rankAn

Kết quả sau đây suy ra từ Định lý 1.2

Hệ quả 1.1. Xét phương trình (1.1) với hạng củaAnkhông giảm, tức làrankAn+1 ≥rankAn với mọi n∈ N0 Giả sử với mọi n∈ N0 các ma trận An+ BnVn ư1Q∗nVnT, trong đó Q∗

n := diag(Or n, Im ưr n), đều không suy biến Khi đó phương trình (1.1) giải được với mọi vế phải qn.

Chứng minh. Ta viết lại phương trình (1.1) như sau

n đều khả nghịch với mọi n∈ N0 Theo Định lý 1.2, (1.47)

có nghiệm yn với mọi vế phải qn Vì vậy xn = Vn ư1yn là nghiệm của (1.1) vớimọi vế phải qn.

Ví dụ 1.9. Xét phương trình sai phân (1.1) với các dữ liệu

},kerAn = span{(0, 0, 0, 1)T

}, n ∈ N2

Từ đó ta có

kerAn= kerA2 ⊂ kerA1 ⊂ kerA0, ∀n ∈ N3

Dễ thấy,Q0 = diag(0, 1, 1, 1), Q1 = diag(0, 0, 1, 1), vàQn= diag(0, 0, 0, 1) =: Q, n∈

N2 tương ứng là các phép chiếu lên kerA0, kerA1, và kerAn (n∈ N2).

Ta có detG0 = 4, detG1 = 30, detGn=ưn3(nư 1)(n2+ 2n + 3) 6= 0, ∀n ∈ N2, suy

ra Gn là ma trận không suy biến với mọi n ∈ N0 Theo Định lý 1.2, bài toánCauchy (1.1) với dữ liệu (1.48) và điều kiện ban đầu

P0(x0ư x0) = 0,

là giải được và có công thức nghiệm xác định bởi (1.42).

Ví dụ 1.10. Xét phương trình sai phân (1.1), trong đó

Nhận xét 1.4. Sử dụng khai triển kì dị và các phép chiếu lên các không giankerAn, chúng ta đã đưa ra khái niệm chỉ số 1 của phương trình sai phân ẩn tuyếntính Khái niệm này cho ta biết mức độ suy biến của phương trình hay cũng

có thể coi nó là ”khoảng cách” giữa phương trình sai phân thường và phương

trình sai phân ẩn Các tài liệu chuyên khảo về hệ suy biến (xem [16], [14],[17]) mới chỉ đề cập đến phương trình ôtônôm Sử dụng ma trận nghịch đảo suyrộng Drazin, người ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình sai phân ẩn

ôtônôm

Axn+1= Bxn+ qn, n∈ N0,

ở đây {A, B} là cặp ma trận có chỉ số k bất kỳ Còn trường hợp phương trìnhkhông dừng thì các kết quả đưa ra còn rất hạn chế (xem [14], [16], [9], [10],[11])

kết luận

Để nghiên cứu bài toán với hệ số biến thiên, chúng ta đã sử dụng ý tưởng củaGriepentrog và M arz trong phương trình vi phân đại số Khái niệm chỉ số củaphương trình được đưa ra để đặc trưng cho những phương trình mà việc tìmnghiệm của chúng được tiến hành bằng cách tách thành phần nghiệm xn thànhhai thành phần Pn ư1xn∈ Sn ư1 và Qn ư1xn∈ kerAn ư1, ở đây

Sn ư1 :={z ∈ Rm : Bn ư1Vn ư2VnTư1z ∈ ImAn ư1}

Thành phần Pn ư1xn là thành phần nghiệm của một phương trình sai phân thường

và thành phần còn lại Qn ư1xn thoả mãn một ràng buộc đại số Nhưng giữa bàitoán liên tục và bài toán rời rạc có nhiều tính chất khác hẳn nhau Vì thế công

cụ bổ trợ trong luận án ngoài các phép chiếu lên các không gian con kerAn, tacòn phải sử dụng đến các khai triển kì dị của các hệ số cả để móc nối thành phầnnghiệm xn ư1 ở bước trước với thành phần nghiệm xn ở bước sau Với cách tiếpcận như vậy, trong chương này chúng ta đã trình bày công thức nghiệm tườngminh của phương trình sai phân ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên chỉ số 1 Hơnnữa, công thức này không phụ thuộc vào việc chọn khai triển kì dị của các matrận hệ số cả Chương này cũng xây dựng được lớp véc tơ ban đầu P0x0 để bàitoán Cauchy đối với phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 có duy nhấtnghiệm, đồng thời thiết lập mối liên hệ về nghiệm của cùng một phương trình saiphân ẩn chỉ số 1 nhưng có điều kiện ban đầu khác nhau Ngoài ra, trong chương