Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hóa

Rutkas quan tâm đến PTSP dạng Axn+1 + Bxn = fn trong không gian Bannach và thuđược một số kết quả nhất định như áp dụng khai triển tiệm cận đểkhảo sát phương trình, đưa ra lời giải cho b

Mục lục

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án 5

Mở đầu 6

CHƯƠNG 1 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 12

1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính 12

1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính 14

1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 15

1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 15

1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 17

1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 19

1.4.1 Khái niệm chỉ số 1 19

1.4.2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1 23

1.5 Lý thuyết Floquet 27

1.5.1 Định lý Kronecker 27

1.5.2 Định lý Floquet 33

1.5.3 Định lý Lyapunov 35

1.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần

hoàn 42

CHƯƠNG 2 PTSP tựa tuyến tính ẩn 45

2.1 Một số định lý tồn tại nghiệm 45

2.1.1 Trường hợp phần chính tuyến tính có chỉ số 1 45

2.1.2 Trường hợp phần chính tuyến tính tựa chỉ số 1 53

2.2 Giải gần đúng bài toán Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61 2.3 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn 69

2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn 69

2.3.2 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn 71

CHƯƠNG 3 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 77

3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 77

3.2 PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 78

3.2.1 Khái niệm chỉ số 1 78

3.2.2 Một số tính chất của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 80 3.3 Bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 82

3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard 82

3.3.2 Tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 82

3.4 Sự ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn 88

Kết luận chung 96

Danh sách các bài báo đã được công bố 97

Tài liệu tham khảo 98

L(Rm) : không gian các ánh xạ tuyến tính trên Rm.

dim W , dim(W ) : số chiều của không gian W.

span{u, , v} : không gian sinh bởi các véctơ u, , v.

, x, y, , z

: ma trận cột tạo bởi các véctơ x, y, , z.

từ k đến s.

Pcan(t) : phép chiếu chính tắc từ Rm lên S(t) song

song với ker A(t).

Mở đầu

Trong những năm gần đây, phương trình sai phân (PTSP) ẩn làđối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiềulĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng.PTSP thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất, các bài toán sắp hàng,trong nghiên cứu mạch điện, trong các bài toán thống kê, trong kinh

tế, xã hội (chẳng hạn như mô hình kinh tế Leontief, mô hình phát triểndân số Leslie), bài toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v.v (xem[20, 21, 25]) Mặt khác, PTSP ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việcrời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại

số, những đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong nhữngnăm gần đây (xem [20, 21, 23, 33, 35-37, 40-42])

Cho đến nay, PTSP ẩn tuyến tính với hệ số hằng dạng Axn+1 +

Bxn = fn, trong đó A ∈ Cm×m suy biến, đã được nghiên cứu tương đốiđầy đủ và được tổng kết trong [20, 21, 25] Theo [20, 21], bài toán giá

trị ban đầu cho PTSP tuyến tính thuần nhất (tức là fn = 0) có nghiệm

duy nhất khi và chỉ khi tồn tại λ ∈ C sao cho λA + B không suy biến.

Theo đó, nếu ˆA := (λA + B)−1A có ind( ˆ A) = ν, dim(im ˆ Aν) = k thì ˆ A

khiển rời rạc xk+1 = Axk + Buk, k = 0, N − 1 Đồng thời, những kết

quả thu được từ PTSP suy biến hệ số hằng đã được áp dụng để khảosát bài toán về mô hình kinh tế đa mục tiêu Leontief (xem [20, 21, 25]).Tuy nhiên, những kết quả này không thể mở rộng trực tiếp cho PTSP

ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên

Nhóm nghiên cứu M Benadbdallakh và A G Rutkas quan tâm

đến PTSP dạng Axn+1 + Bxn = fn trong không gian Bannach và thuđược một số kết quả nhất định như áp dụng khai triển tiệm cận đểkhảo sát phương trình, đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu(xem [13, 14]), nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần

nhất từ các đặc tính của phổ của cặp toán tử {A, B} khi A, B là các

toán tử tuyến tính đóng trong không gian Bannach Từ đó đưa ra định

lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính (xem [15])

ẩn với hệ số hằng đã được nghiên cứu khá kỹ lưỡng, còn những kết quảnghiên cứu về PTSP ẩn với hệ số biến thiên chưa nhiều

Nhóm nghiên cứu Bondarenko và A G Rutkas quan tâm tới mộtlớp các PTSP ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt

Tnxn+1 + xn = fn,

trong đó Tn là ma trận suy biến với mọi n Họ đã đưa ra một số kết

quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên tuầnhoàn cho dạng phương trình này (xem [17, 18, 19])

Như đã đề cập đến ở trên, phương trình vi phân đại số là đối tượngđược đặc biệt quan tâm trong những năm gần đây PTSP ẩn là kết quả

tự nhiên thu được khi rời rạc hóa phương trình vi phân đại số Vì thế, khibắt đầu nghiên cứu đề tài này chúng tôi hi vọng có thể thu được nhữngkết quả tương tự như đã biết đối với phương trình vi phân đại số Mộttrong những kỹ thuật cơ bản khi nghiên cứu phương trình vi phân đại sốnói chung và phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nói riêng là kỹ thuậtđưa phương trình vi phân đại số chỉ số 1 về dạng chuẩn tắc Kronecker -Weierstrass Nói một cách đơn giản là đưa phương trình vi phân đại sốchỉ số 1 về hệ kế thừa gồm phương trình vi phân thường và phương trìnhđại số tuyến tính Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ

số hằng, cho bởi cặp ma trận {A, B}, dạng Kronecker - Weierstrass của

phương trình được định nghĩa thông qua dạng Kronecker - Weierstrasscủa cặp ma trận như sau:

Định nghĩa ([33], tr 197) Nếu tồn tại cặp ma trận khả nghịch P, Q thỏa

mãn A = P diag(Ir, U )Q và B = P diag(W, Im−r)Q trong đó U là ma

trận lũy linh thì {diag(Ir, U ),diag(W, Im−r)} được gọi là dạng Kronecker

- Weierstrass của cặp {A, B}.

Theo đó, dạng Kronecker - Weierstrass của phương trình vi phân đại số

thời gian nghiên cứu PTSP ẩn và đã thu được một số kết quả nhất định(xem [1-3, 5-12, 27-29, 39]).

Khái niệm về chỉ số của PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiêndạng

Anxn+1 + Bnxn = qn

đã được giới thiệu trong [11, 28, 39] và tính giải được của bài toán giá trịban đầu cũng như bài toán biên nhiều điểm đã được nghiên cứu trong [2,5-10, 39] Sau đó, trong [10], khái niệm chỉ số được mở rộng cho PTSPphi tuyến ẩn dạng

fn(xn+1, xn) = 0.

Hơn nữa, trong [1, 2, 12, 39], khái niệm tựa chỉ số và chỉ số lạ cho PTSP

ẩn cũng được thiết lập

Theo [5, 8], khi áp dụng công thức Euler hiện cho phương trình

vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, ta thu được PTSP tuyến tính ẩn chỉ

số 1 Hơn nữa, nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu và bàitoán biên hai điểm của hệ rời rạc hội tụ tới nghiệm của bài toán liên tụctương ứng Thêm vào đó, theo [11], mọi PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1đều đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass và mọi PTSP

tuyến tính ẩn tuần hoàn với Bn không suy biến đều tương đương vớiPTSP tuyến tính ẩn với hệ số hằng

Lý thuyết Floquet, lúc đầu được thiết lập cho phương trình viphân tuyến tính (xem [22, 32]), sau đó được xây dựng cho PTSP tuyếntính (xem [4, 34]), và phương trình vi phân đại số (xem [36]), được mởrộng cho PTSP tuyến tính ẩn (trong [11]) Từ đó khảo sát được tính

ổn định nghiệm của PTSP ẩn chỉ số 1, tuyến tính, tựa tuyến tính cũngnhư phi tuyến, đặc biệt là cho lớp các phương trình tuần hoàn Phươngpháp hàm Lyapunov được áp dụng cho PTSP tựa tuyến tính ẩn trong[9] Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ PTSP tuyến tính

ẩn chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được đưa ra trong [29]

Ngoài ra, PTSP ẩn tuyến tính ngẫu nhiên

A(ξn)X(n + 1) = B(ξn)X(n) + qn, n ∈ N,

trong đó {ξn : n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong

không gian Polish đã được nghiên cứu trong [27].

Luận án nghiên cứu PTSP ẩn phi tuyến dạng

trong đó, fn : (y, x) ∈ Rm ×Rm 7−→ fn(y, x) ∈ Rm khả vi và có đạohàm riêng ∂fn

∂y suy biến Một cách tự nhiên, chúng tôi dùng các công cụ,

phương pháp đã được sử dụng trong nghiên cứu phương trình vi phânđại số để khảo sát PTSP ẩn Cụ thể là thiết lập một số điều kiện chotính giải được duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu, tính ổnđịnh nghiệm của phương trình tuần hoàn Hơn nữa, chúng tôi dùng kỹthuật tuyến tính hóa viết lại phương trình phi tuyến (0.1) dưới dạng

đó đến hết cấp 1, hàm fn được viết lại thành tổng của phần tuyến tính

và phần dư phi tuyến Do đó, để nghiên cứu phương trình phi tuyến đưa

ra ban đầu, trước hết chúng tôi khảo sát PTSP ẩn tuyến tính (trongChương 1) Sau đó, PTSP ẩn tuyến tính có cộng thêm phần phi tuyếnnhỏ (gọi là PTSP ẩn tựa tuyến tính) được nghiên cứu trong Chương

2 Cuối cùng, ở Chương 3, chúng tôi sử dụng kết quả đã thu được vớiPTSP ẩn tuyến tính để khảo sát PTSP ẩn phi tuyến tổng quát (0.1)

Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [10, 11, 12]

và một vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó Luận án gồm có mởđầu, kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau:

1 Chương 1 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn: Trong chươngnày, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩn tắc Kronecker

- Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho PTSP ẩn tuyến tính(trong [11]) Áp dụng kết quả thu được cho bài toán Cauchy đối vớiPTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1 và PTSP tuyến tính ẩn có trễ tuầnhoàn chỉ số 1 Điều kiện ổn định nghiệm của PTSP ẩn tuyến tínhtuần hoàn chỉ số 1 cũng được thiết lập

2 Chương 2 PTSP tựa tuyến tính ẩn: Đưa ra khái niệm chỉ số 1 vàtựa chỉ số 1 Chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm cho bài

toán giá trị ban đầu của PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 và tựa chỉ số

1 Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị ban đầucho PTSP tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [12]) Đồng thời, chúng tôi

áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 để khảo sát tính ổn địnhnghiệm của PTSP tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 tuần hoàn

3 Chương 3 PTSP phi tuyến ẩn : Đề xuất khái niệm chỉ số 1 choPTSP phi tuyến ẩn Thiết lập tính giải được duy nhất nghiệm củabài toán giá trị ban đầu (trong [10]) Phần cuối của chương khảosát tính ổn định nghiệm của PTSP phi tuyến ẩn chỉ số 1 tuần hoàn

Trong việc khảo sát PTSP phi tuyến ẩn, kỹ thuật tuyến tính hóa được sửdụng triệt để Khái niệm chỉ số của phương trình, tính chất ổn định củanghiệm, sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho PTSP ẩn phi tuyếnđều được thiết lập thông qua các khái niệm và các tính chất tương ứngcho PTSP ẩn tuyến tính thu được bằng phương pháp tuyến tính hóa.Như vậy, các kết quả về PTSP ẩn tuyến tính thu được trong Chương 1

là nền tảng cho việc nghiên cứu PTSP ẩn tựa tuyến tính và phi tuyếntrong các chương tiếp theo Ngoài ra, một phần kết quả về PTSP tựatuyến tính ẩn trong Chương 2 cũng được mở rộng cho PTSP ẩn phituyến trình bày trong Chương 3

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội Các kết quả trong luận án đã được báo cáotại Xêmina "Phương pháp giải phương trình vi phân" của Khoa Toán -

Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia HàNội, dưới sự chủ trì GS TSKH Phạm Kỳ Anh, Xêmina "Các phươngpháp ngẫu nhiên và giải tích số" của Hội Ứng dụng toán học, dưới sự chủtrì của GS TS Nguyễn Quý Hỷ Một phần kết quả trong luận án đượcbáo cáo tại Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học của TrườngĐại học Khoa học Tự nhiên năm 2006 Các kết quả của luận án cũng đãđược tổng kết trong bài báo tổng quan [6] và được báo cáo tại Hội nghịToán học Toàn quốc 2008 tại Qui Nhơn

1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân

tuyến tính

Lý thuyết Floquet là một bộ phận của lý thuyết phương trình viphân thường, nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân tuyến tínhdạng

trong đó A : R −→ Rn×n là hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T Định

lý chính của lý thuyết là Định lý Floquet Nó cho ta dạng chuẩn của

ma trận nghiệm cơ bản, đồng thời đưa ra phép đổi biến là hàm tuầnhoàn, cho phép đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn về

hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng Định lý được phátbiểu như sau

Định lý Floquet ([22], tr.165) Nếu φ(t) là ma trận nghiệm cơ bản của

phương trình vi phân tuyến tính tuần hoàn

Từ định lý Floquet, người ta đã đưa ra những khẳng định quantrọng cho phép khảo sát các đặc tính của phương trình vi phân tuyếntính Một trong số đó là tính ổn định nghiệm của hệ thuần nhất

Theo định lý Floquet, hàm ma trận Q(t) trong công thức (1.1.3)

có vai trò là ma trận chuyển cơ sở x(t) = Q(t)y(t) Trong cơ sở mới,

phương trình (1.1.1) trở thành phương trình vi phân tuyến tính với hệ

số hằng, thực

y0(t) = Ry(t).

Hơn nữa, Q(t) liên tục, tuần hoàn nên bị chặn Vì thế, sự ổn định nghiệm được xác định bởi giá trị riêng của R.

Mặt khác, biểu diễn của φ(t) theo công thức (1.1.2) được gọi là

dạng chuẩn Floquet (Floquet normal form) của ma trận nghiệm cơ bản φ(t) của phương trình (1.1.1) Nếu sử dụng P (t) là ma trận chuyển cơ sở x(t) = P (t)y(t) thì phương trình (1.1.1) trở thành phương trình vi phân

tuyến tính với hệ số hằng phức y0(t) = By(t) Các giá trị riêng của eT Bđược gọi là các nhân tử đặc trưng (characteristic multiplier) của phương

trình (1.1.1) Số mũ đặc trưng hay số mũ Floquet của (1.1.1) là số µ ∈ C sao cho eµT là nhân tử đặc trưng của (1.1.1) Khi đó Re(µ) được gọi là

số mũ Lyapunov Nghiệm x = 0 của (1.1.1) ổn định tiệm cận nếu mọi số

mũ Lyapunov của (1.1.1) đều âm và không ổn định nếu có ít nhất một

số mũ Lyapunov dương

1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính

Sau khi được thiết lập cho phương trình vi phân và có những ứngdụng quan trọng trong khoa học, công nghệ, lý thuyết Floquet được mởrộng cho PTSP và phương trình vi phân đại số Trong phần này, chúng

ta nhắc lại vài nét sơ lược về lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính:

thoả mãn Xn = Fn−1Rn, với mọi n > 0 Qua đó, (1.2.1) đưa được về phương trình tương đương với hệ số hằng.

Dễ thấy, bài toán (1.2.2) có nghiệm duy nhất Xn = Bn−1 B0, Xn

1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1

Xét phương trình vi phân đại số

trong đó A, B ∈ C(R, L(Rm)), A(t) suy biến với mọi t ∈ R.

Định nghĩa chỉ số [33] Phương trình (1.3.1) được gọi là phương trình

vi phân đại số chỉ số 1 nếu các điều kiện sau được thoả mãn

i) N (t) := ker A(t) trơn, nói cách khác, N (t) có một cơ sở là các hàm khả vi liên tục, hay một cách tương đương, tồn tại phép chiếu trơn Q(t)

từ Rm lên ker A(t);

ii) Với phép chiếu trơn Q(t) lên N (t) đã chọn, đặt P (t) := I − Q(t) thì G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với mọi t ∈ R.

Trong định nghĩa trên, điều kiện i) cho thấy rankA(t) không đổi với mọi t ∈ R Điều kiện ii) suy ra G(t) phụ thuộc vào phép chiếu Q(t) Tuy nhiên người ta đã chứng minh rằng tính khả nghịch của G(t) không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q(t) và do đó định nghĩa chỉ số 1 ở

trên là đúng đắn (xem bổ đề dưới đây) Đặt

S(t) = {z ∈ Rm|B(t)z ∈ imA(t)} ⊂ Rm.

Ta có thể thấy mọi nghiệm của phương trình (1.3.1) đều nằm trong

không gian S(t) Dưới đây là tính chất cơ bản của phương trình vi phân

tuyến tính chỉ số 1

Bổ đề ( [33], tr 36) Cho phương trình vi phân đại số (1.3.1) Các mệnh

đề sau là tương đương.

với cặp { ¯A(t), ¯ B(t)} = {diag(Ir, Om−r), diag(W (t), Im−r)} Cũng theo

[36], sự tương đương động học (nói tắt là tương đương) giữa hai phươngtrình vi phân đại số đã được định nghĩa Từ đó cho phép khảo sát đặctính của một phương trình vi phân đại số thông qua phương trình tươngđương của nó

P (0) x(0) − x0

giải được duy nhất nghiệm với mọi x0 ∈ Rm.

Bây giờ, ta ký hiệu X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương

trình (1.3.1), tức là nghiệm của bài toán

Khi đó, nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.3.1), (1.3.3) biểu diễn

dưới dạng x t, x0

= X(t)x0 Ta cũng nhận xét thấy rankX(t) không

đổi Gọi U (t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình kế thừa của

Trong phần này, ta xét phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ

số 1 với hệ số tuần hoàn chu kỳ T

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = 0, trong đó A(t+T ) = A(t), B(t+T ) = B(t), với mọi t ∈ R Vì phương trình (1.3.1) có chỉ số 1 nên rankA(t) không đổi, vậy ta giả sử rankA(t) = r Gọi {nr+1(t), , nm(t)} là cơ sở của N (t) gồm các hàm khả vi liên tục, tuần hoàn và gọi {s1(t), , sr(t)} là cơ sở của S(t) gồm các hàm liên tục, tuần hoàn Đặt V (t) = s1(t) sr(t) nr+1(t) nm(t)

X(t) = Pcan(t)U (t)Pcan(0) = V (t) Z(t) 0

!

V−1(0),

trong đó Z(t) không suy biến (do rankX(t) = r không đổi) và Z(0) = Ir.

Vì Z(T ) không suy biến nên tồn tại ma trận hằng ˜ R ∈ Cr×r thoả mãn

Dưới đây là hai định lý chính trong lý thuyết Floquet cho phương trình

vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 [36]

Định lý Floquet Ma trận nghiệm cơ bản của phương trình vi phân đại

số tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 (1.3.1) có thể viết dưới dạng

ii) Nếu các ma trận đơn đạo của hai phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 tương đương nhau thì hai phương trình vi phân đại số đó tương đương nhau.

iii) Phương trình vi phân đại số tuyến tính tuần hoàn (1.3.1) có chỉ

số 1 tương đương với một phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Kronecker với hệ số hằng.

Bây giờ chúng ta quan tâm tới nội dung chính của chương này

là thiết lập lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn được trình bàytrong những phần tiếp theo

1.4 PTSP tuyến tính ẩn chỉ số 1

Chúng ta mở đầu phần này bằng việc xây dựng khái niệm chỉ số

1 cho PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng

trong đó An ∈ Rm×m suy biến với mọi n, Bn ∈ Rm×m, và xn, qn ∈ Rm.

1.4.1 Khái niệm chỉ số 1

Cho L là không gian con của Rm với số chiều là k, 0 < k < m Khi

đó, ta có thể phát biểu tính chất sau cho một phép chiếu tuyến tính bất

kỳ Q lên L (Q là phép chiếu lên L nếu Q2 = Q và imQ = L).

Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ Rm lên L luôn đưa được về phép chiếu chính tắc từ Rm lên không gian 

Vậy V−1QV = ˜ Q hay Q = V ˜ QV−1 Mệnh đề được chứng minh.

Bây giờ, chúng ta xét các không gian con k chiều Lα và Lβ của Rm

với các phép chiếu Qα và Qβ tương ứng lên Lα và Lβ Theo tính chất đã

nêu trong Mệnh đề 1.4.1, tồn tại Vα, Vβ sao cho

Qα = VαQV˜ −1

α , Qβ = VβQV˜ −1

β .

Do đó ta có thể thiết lập định nghĩa về toán tử nối và đưa ra một sốtính chất của nó Toán tử nối là công cụ quan trọng giúp chúng tôi địnhnghĩa PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1 đẹp hơn định nghĩa cũ [39], trên cơ sở

đó thiết lập định nghĩa chỉ số 1 cho PTSP ẩn tựa tuyến tính, phi tuyến

Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Qαβ = VαQV˜ β−1 là toán tử nối giữa hai không gian Lα và Lβ (gọi tắt là toán tử nối) Khi đó toán tử nối thoả

Vậy (1.4.3) và (1.4.4) được chứng minh

Trở lại PTSP (1.4.1) với điều kiện 1 6 rankAn = r 6 m − 1 với mọi n > 0 Ta có dim kerAn = m − r với mọi n > 0 Với mỗi

n > 0, gọi Qn là phép chiếu nào đó lên kerAn và một biểu diễn của nó là

Qn = VnQV˜ −1

n Đặt Pn = I −Qn Khi đó, các toán tử Qn−1,n = Vn−1QV˜ −1

n

và Gn := An+ BnQn−1,n là các toán tử xác định với n > 1 PTSP tuyến

tính ẩn chỉ số 1 được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.4.3 PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi là có chỉ số 1

nếu:

i/ rankAn = r, n > 0;

ii/ Sn ∩ ker An−1 = {0}, ∀n > 1, trong đó Sn := {ξ ∈ Rm: Bnξ ∈ imAn}.

Ngoài ra, giả thiết rằng dim S0 = r Gọi A−1 ∈ Rm×m là ma trận

thoả mãn điều kiện S0 ⊕ kerA−1 = Rm Nếu cặp {A0, B0} có chỉ số 1

thì ta có thể lấy A−1 = A0 Gọi Q−1 là phép chiếu nào đó lên ker A−1

và P−1 = I − Q−1 Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3

bây giờ đúng với mọi n > 0 và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với mọi

n > 0 Dưới đây là vài ví dụ về PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1.

Ví dụ 1.4.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.4.1) với

2√n 2 +1

−

√ 2(n+1)

2√n 2 +1

√ 2(6n−1)

2√n 2 +1 3n

√

n 2 +1

3

√ 2 2

√

n 2 +1

5

√ 2 2

√

n 2 +1

n + 1

√ 2n(−2

√

2(n 2 +1) 0T

nên

1.4.2 Các tính chất cơ bản của PTSP ẩn tuyến tính chỉ số 1

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một số tính chất cơ bảncủa PTSP tuyến tính ẩn Những tính chất này sẽ được sử dụng để thiếtlập những kết quả mới trong luận án

Hai Mệnh đề 1.4.4 và 1.4.5 được thiết lập trong [39] cho trường

hợp Qn là phép chiếu trực giao Dưới đây, chúng tôi sẽ đưa ra chứng

minh cho trường hợp Qn là phép chiếu bất kỳ

Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận Gn = An + BnQn−1,n là ma trận không suy biến thì ta có các đẳng thức sau

PnG−1n BnQn−1 = 0, QnG−1n BnQn−1 = Qn,n−1.

Chứng minh (i) Ta thấy, do Qn là phép chiếu lên ker An nên Qnx ∈

ker An với mọi x ∈ Rm Vì vậy, với mọi x ∈ Rm, AnQnx = 0 hay AnQn =

Mệnh đề 1.4.5 Các khẳng định sau là tương đương.

i/ Sn∩ ker An−1 = {0}.

ii/ Ma trận Gn := An+ BnQn−1,n không suy biến.

iii/ Rm = Sn ⊕ ker An−1.

Chứng minh i/ ⇒ ii/ Do Gn ∈ Rm×m nên Gn khả nghịch khi và chỉ

khi Gn là đơn ánh, tức là ker Gn = {0} Giả sử x ∈ ker Gn Khi đó,

Hơn nữa, do x ∈ ker An = imQn nên x = Qnx = 0 Vậy ker Gn = {0}

hay Gn không suy biến

ii/ ⇒ i/ Giả sử x ∈ Sn ∩ ker An−1 Khi đó, vì x ∈ ker An−1 =

imQn−1 cho nên tồn tại y ∈ Rm, x = Qn−1y Mặt khác, x ∈ Sn tức là

tồn tại η ∈ Rm thỏa mãn Anη = Bnx = BnQn−1y Sử dụng giả thiết tồn

tại G−1n , cùng với các tính chất nêu trong Mệnh đề 1.4.4 ta có

G−1n Anη = G−1n BnQn−1y = G−1n BnQn−1,nQn,n−1y

⇔ Pnη = Qn,n−1y.

Tác động Qn từ bên trái hai vế của phương trình trên, ta thu được

Qn,n−1y = 0 Vậy x = Qn−1y = Qn−1,nQn,n−1y = 0 hay Sn ∩ ker An−1 =

{0}.

iii/ ⇒ i/ Hiển nhiên có được từ định nghĩa tổng trực tiếp hai

không gian

i/ ⇒ iii/ Với mọi x ∈ Rm, đặt v = Qn−1,nG−1n Bnx, u = x − v.

Ta có, v = Qn−1,nG−1n Bnx = Qn−1Qn−1,nG−1n Bnx ∈ ker An−1 Hơn nữa,

Hệ quả 1.4.6 Tính khả nghịch của ma trận Gn = An+ BnQn−1,n không phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu Qn, Qn−1.

Từ Mệnh đề 1.4.5 và Hệ quả 1.4.6, ta có thể chỉ ra một vài tính

chất của các phép chiếu lên ker An, công cụ hữu hiệu giúp ta thu được

những kết quả chính trong chương này

Mệnh đề 1.4.7 Giả sử PTSP ẩn tuyến tính (1.4.1) có chỉ số 1 và giả

sử Qn−1 = Vn−1QV˜ n−1−1 là phép chiếu nào đó lên ker An−1(n > 1) Khi đó:

i) ˜ Qn−1 := Qn−1,nG−1n Bn là phép chiếu chính tắc lên ker An−1 song song với Sn;

ii) ˜ Qn−1 = ˜Vn−1Q ˜˜Vn−1−1, với ˜ Vn−1 = s1n, , srn, hr+1n−1, , hmn−1

là ma trận có các cột tương ứng là cơ sở của Sn và ker An−1, tức là Sn = span 

sin r i=1

Mặt khác, ˜Qn−1 = Qn−1Qn−1,nG−1n Bn, kéo theo im ˜ Qn−1 ⊂ imQn−1 =

ker An−1 Tiếp theo, với mỗi x ∈ ker An−1 bất kỳ, ta luôn có x = Qn−1x,

và với j = r + 1, m, ta có

˜

Qn−1hjn−1 = ˜Vn−1Q ˜˜Vn−1−1hjn−1 = ˜Vn−1Qe˜ j = ˜Vn−1ej = hjn−1.

Nói cách khác, ˜Qn−1 là phép chiếu chính tắc lên ker An−1 song song với

Sn Do chỉ có duy nhất phép chiếu lên ker An−1 song song với Sn nêntheo i/, ta có ˜Qn−1 = ˜Vn−1Q ˜˜Vn−1−1 Mệnh đề 1.4.7 được chứng minh.

Tính chất cuối cùng mà chúng ta sẽ đề cập đến trong phần này là

sự bất biến của tính chất chỉ số 1 của PTSP tuyến tính ẩn qua cặp biến

đổi tuyến tính không suy biến (En, Fn).

Định nghĩa 1.4.8 Hai PTSP ẩn tuyến tính

xn = Fn−1x¯n.

Mệnh đề 1.4.9 Hai PTSP ẩn tuyến tính tương đương đồng thời có hoặc

không có tính chất chỉ số 1.

Chứng minh Do En và Fn là các song ánh tuyến tính nên

rankAn = dim(imAn) = dim(imAnFn) = dim(imEnAnFn)

= dim(im ¯An) = rank ¯An.

Vì PTSP (1.4.1) có chỉ số 1 nên Sn ∩ ker An−1 = {0}, do đó

Fn−1−1 (Sn∩ ker An−1) = Fn−1−1 ({0}) = {0}.

Mặt khác,

Fn−1−1 (Sn ∩ ker An−1) = Fn−1−1 (Sn) ∩ Fn−1−1 (ker An−1) = ¯Sn∩ ker ¯An−1

cho nên ¯Sn ∩ ker ¯An−1 = {0} hay (1.4.8) là phương trình có chỉ số 1.Mệnh đề được chứng minh

1.5 Lý thuyết Floquet

1.5.1 Định lý Kronecker

Xét PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1) và giả sử rằng nó có chỉ số 1.Trong phần này chúng ta sẽ tìm cách xây dựng cặp biến đổi tuyến tính

không suy biến En và Fn để đưa phương trình (1.4.1) về dạng đơn giản

dễ giải hơn

Định lý 1.5.1 Mọi PTSP tuyến tính chỉ số 1 đều có thể đưa được về

dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass

Chứng minh Giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1 Theo định nghĩa,

ta có Sn ∩ ker An−1 = {0} với Sn = {ξ|Bnξ ∈ ker An} Theo Mệnh đề

1.4.5 và Hệ quả 1.4.6, điều này tương đương với ˜Gn := AnV˜n+ BnV˜n−1Q˜

không suy biến

Do đó, ta có thể chọn ma trận tỷ lệ En = ˜G−1n và phép đổi biến

Fn = ˜Vn Khi đó, theo Mệnh đề 1.4.9, phương trình (1.4.1) được biến đổi

tương đương về phương trình ¯Anx¯n+1 + ¯Bnx¯n = ¯qn, với ¯ An = ˜G−1n AnV˜n

Vậy với mỗi x ∈ Rm, ta có ˜ Q ¯ Bnx = ˜ Q ¯ Bn( ˜P x) + ˜ Q ¯ Bn( ˜Qx) = ˜ Qx, cho

Định lý 1.5.2 Bài toán Cauchy cho PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1) có chỉ

số 1 với điều kiện ban đầu

Chứng minh Theo Định lý 1.5.1, bằng cặp biến đổi tuyến tính không

suy biến (En, Fn) = ( ˜G−1n , ˜ Vn), ta đưa được phương trình (1.4.1) về dạng

đặt tương ứng với ¯Anx¯n+1+ ¯Bnx¯n = ¯qn Nhân cả hai vế của phương trình

trên từ bên trái lần lượt với ˜P và ˜ Q, ta có

Ta có thể xét phương trình sai phân như một hệ đại số tuyến tính.

Do đó để giải bài toán này có thể dùng các biến đổi tuyến tính sơ cấp

để đưa An về dạng hình thang đồng thời tách được hệ đã cho thành hai

phần: phần phương trình tuyến tính chỉ chứa xn và phần phương trình

sai phân tuyến tính Đối với trường hợp An là ma trận cấp 2, rankAn = 1nên có thể dễ dàng nhìn thấy các biến đổi sơ cấp cần thiết Khi cấp của

An cao hơn thì việc dùng các phép biến đổi sơ cấp không còn đơn giảnnhư vậy Sau đây, chúng ta sẽ xét một vài ví dụ dùng Định lý 1.5.2 đểgiải bài toán Cauchy (1.4.1), (1.5.4) trong đó, hai ví dụ đầu tương ứng

với trường hợp An là ma trận cấp 2 (có thể dễ dàng giải với các phépbiến đổi sơ cấp), và ví dụ sau đó cho thấy công thức nghiệm đưa ra trongĐịnh lý 1.5.2 là có ích

Ví dụ 1.5.1 Xét PTSP tuyến tính (1.4.1) với

An =

1 sin(n+1)

−1

4 sin(n+1) 1

Áp dụng công thức nghiệm ở Định lý 1.5.2, ta có được nghiệm

1.5.2 Định lý Floquet

Trong phần này, chúng ta sẽ xét PTSP tuyến tính ẩn tuần hoànchỉ số 1, được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5.3 Phương trình (1.4.1) được gọi là phương trình tuần

hoàn với chu kỳ N ∈ N nếu N là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn

An+N = An, Bn+N = Bn, và qn+N = qn ∀n > 0.

Do định nghĩa phương trình tuần hoàn, ta khởi tạo A−1 := AN −1.

Một cách tương tự như phương trình vi phân đại số, ta cũng có địnhnghĩa ma trận cơ bản của phương trình tuần hoàn (1.4.1)

Định nghĩa 1.5.4 Ma trận Xn ∈ Rm×m thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu

Tác động ˜ P và ˜ Q vào hai vế của

(1.5.8), ta thu được hai phương trình tương ứng

˜

P ¯ Xn+1+ ˜P ¯ Bn( ˜P + ˜ Q) ¯ Xn = 0 và Q ¯˜Xn = 0.

Vậy (1.5.8) trở thành ˜P ¯ Xn+1+ ˜P ¯ BnP ¯˜Xn = 0 và ˜Q ¯ Xn = 0 Hơn nữa, với

X0 = ˜P ˜ V−1−1 Do vậy, bài toán giá trị ban đầu của phương trình (1.5.8)

tương đương với

Do Sn và ker An−1 tuần hoàn nên ta luôn chọn được các cơ sở tuần hoàn

{sin}ri=1 của Sn và {hjn−1}mj=r+1 của ker An−1 Vì vậy, ma trận ˜ Vn tạo bởicác cột là các véctơ trong hai cơ sở trên cũng tuần hoàn Sự tuần hoàncủa ˜Vn đảm bảo tính tuần hoàn cho ˜Gn = An+ BnVn−1QV˜ n−1, G˜−1n và

Vì vậy, Wn tuần hoàn Nếu Bn không suy biến thì ¯Bn không suy biến

nên Wn và Zn cũng không suy biến Bây giờ, sử dụng tính tuần hoàn

của ˜Vn và ˜V−1 = ˜VN −1 ta thu được đẳng thức sau

lập định nghĩa về sự ổn định nghiệm của bài toán giá trị ban đầu choPTSP tuyến tính ẩn với điều kiện ban đầu

˜

Pn0−1(xn0 − γ) = 0 (1.5.11a) trong đó n0 > 0 bất kỳ nào đó Giả sử PTSP tuyến tính ẩn (1.4.1)

có chỉ số 1 Và giả sử nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu

là nghiệm của bài toán (1.4.1), (1.5.11b) khi γ thay đổi Ta có định nghĩa

Sự tương đương của (1.5.11a) và (1.5.11b) đảm bảo rằng nghiệm

x∗n ổn định nếu nó thỏa mãn các điều kiện giống như trong Định nghĩa

Chứng minh Ta sẽ sử dụng cặp biến đổi (En, Fn), trong đó

trong đó Cn = Zn+1−1 Rn+1WnZnR−n Do vậy, ˜ AnX˜n+1 + ˜BnX˜n = 0 kéo

theo Rn+1+ CnRn = 0 hay Cn = −R Vậy dạng Kronecker - Weierstrass

(1.5.12) của PTSP ẩn tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 được thỏa mãn.Định lý 1.5.7 được chứng minh

!

, qn = 0.

Dễ dàng thấy đây là phương trình tuần hoàn với chu kỳ N = 12 và det Bn = sin2 πn6 − cos2 πn6 6= 0 với mọi n.

Do đó, ker An−1 ∩ Sn = {0}, hay phương trình đã cho là PTSP tuyến

tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1, thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.5.7.Như vậy, ta có thể tính được

˜

π(n−1) 6

Wn = 1/gn = 1/(1 + sinπn6 sinπ(n+1)6 ) Theo Định lý 1.5.5, ta có

2 ) 4 (1+

√ 3

4 ) 4 =



88−48

√ 3 13

1 3

1 3

2 1

!

.

Hơn nữa,

−1 n+1Rn+1 0

2 ωnRn + sinπ(n−1)6

−ωnRnsinπn6 − 1

2

√ 3

1 3

Do đó, ker An−1 ∩ Sn = {0}, hay phương trình đã cho là PTSP tuyến

tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1, thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.5.7.Như vậy, ta có thể tính được

3 cos π(n+1)3 sinπn3 cos πn3 cos π(n−1)3

− sinπn3 cosπn3 cosπ(n+1)3 cos2 πn3 cos π(n−1)3

Hệ quả 1.5.8 Nếu mọi giá trị riêng của ma trận R (xác định theo Định

lý 1.5.7) của PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần nhất chỉ số 1 (với Bn

không suy biến ) có môđun nhỏ hơn 1 thì nghiệm tầm thường xn = 0 ổn

định tiệm cận mũ Trái lại, nếu R có một giá trị riêng với môđun lớn hơn 1 thì nghiệm xn = 0 không ổn định.

Chứng minh Theo Định lý 1.5.7, PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn thuần

bằng phép đổi biến xn = Fn−1x˜n, trong đó Fn là họ các ma trận tuần

hoàn không suy biến Do đó nghiệm xn = 0 ổn định tiệm cận mũ khi vàchỉ khi nghiệm ˜xn = 0 ổn định tiệm cận mũ Vậy ta chỉ cần chứng minh

sự ổn định nghiệm của phương trình hệ số hằng (1.5.12) là đủ Ta có(1.5.12) tương đương với

Ta thấy M nhận 0 là giá trị riêng bội m − r với không gian riêng tương

ứng là ker ˜P Các giá trị riêng còn lại của M chính là các giá trị riêng

của R Do đó mọi giá trị riêng của M đều có modun nhỏ hơn 1 Nói cách khác, bán kính phổ ρ(M ) < 1 Vì vậy, lim

n→∞xn = lim

n→∞MnP x˜ 0 = 0 Hơn nữa, chọn ε > 0 thỏa mãn ρ(M ) + ε < 1 thì với n đủ lớn

tầm thường ổn định Theo lý thuyết ổn định cho PTSP tuyến tính, nếu

R có các giá trị riêng với môđun không lớn hơn 1 và các giá trị riêng

với môđun bằng 1 là nửa đơn thì nghiệm tầm thường ổn định, không ổnđịnh nếu trái lại Dưới đây, ta sẽ đưa ra lời giải cho PTSP có trễ tuầnhoàn chỉ số 1 nhờ vào lý thuyết Floquet vừa xây dựng ở trên

1.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với