ý thuyết các quyền chọn tổng hợp trong toán tài chính

Đối với một thị trường phái sinh tài chính nóichung, thị trường Quyền chọn nói riêng thì vấn đề định giá các sản phẩm pháisinh hay định giá Quyền chọn luôn là đề tài được nhiều nhà khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYỄN HỮU HẢI

LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYỄN HỮU HẢI

LÝ THUYẾT CÁC QUYỀN CHỌN TỔNG HỢP

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số : 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Hùng Thao

Hà Nội - 2014

Lời mở đầu iii

Danh sách các hình và bảng biểu v

1 Tổng quan về Quyền chọn và mô hình định giá Quyền chọn 1 1.1 Quyền chọn 1

1.2 Các loại Quyền chọn 2

1.2.1 Quyền chọn Mua 2

1.2.2 Quyền chọn Bán 5

1.3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn 5

1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua 6

1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán 8

1.4 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes 9

1.4.1 Mô hình Black -Scholes 9

1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua 12 1.4.3 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán 15

1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn 17

1.5.1 Độ đo tương đương 17

1.5.2 Thay đổi độ đo - định lý Girsanov 18

1.5.3 Định giá với mô hình Black- Scholes 20

2 Các Quyền chọn tổng hợp 24 2.1 Quyền chọn châu Á 24

2.1.1 Một vài khái niệm 24

2.1.2 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình hình học 26 2.1.3 Giá Quyền chọn Mua châu Á dạng trung bình số học 30 2.1.4 Một bất đẳng thức giữa Quyền chọn châu Âu và Quyền chọn châu Á 33

2.2 Quyền chọn trong giỏ 36

2.2.1 Một số khái niệm 36

2.2.2 Giá của một Quyền chọn Mua trong giỏ 36

i

2.3 Quyền chọn Quanto 38

2.3.1 Khái niệm 38

2.3.2 Giá của một Quyền chọn Mua Quanto 39

2.4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn 41

2.4.1 Phương pháp Monte Carlo 42

2.4.2 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Âu 43

2.4.3 Thuật toán Monte Carlo định giá Quyền chọn Mua châu Á 43

2.4.4 Kỹ thuật giảm phương sai trong phương pháp Monte Carlo 45

Kết luận và hướng nghiên cứu 49

Phụ lục 1 50

Phụ lục 2 55

Tài liệu tham khảo 59

Toán học tài chính đã ra đời hơn 100 năm qua, được đánh dấu bởi công trìnhcủa Louis Bachelier về Lý thuyết đầu cơ tài chính Xuất phát từ thực tiễn Toánhọc tài chính đã ra đời và đó là khoa học sử dụng các công cụ toán học đểnghiên cứu các vẫn đề thị trường tài chính nhằm đưa ra các định giá cho cácsản phẩm tài chính nói chung Thị trường Quyền chọn là một trong số nhữngthị trường tài chính quan trọng Đối với một thị trường phái sinh tài chính nóichung, thị trường Quyền chọn nói riêng thì vấn đề định giá các sản phẩm pháisinh hay định giá Quyền chọn luôn là đề tài được nhiều nhà khoa học quantâm.

Đã có nhiều công trình của các nhà khoa học về định giá Quyền chọn Đặcbiệt, vào năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêmtoán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quantrọng về định giá Quyền chọn Kể từ đó đã ra đời mô hình Black - Scholes đểđịnh giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục Cũng

từ đó mô hình đó cùng với công thức Black - Scholes đã tác động có tính chấtcách mạng đến thị trường chứng khoán tại Mỹ Người ta thấy rõ sự đơn giản

và hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và các hợp đồng Quyềnchọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường

Với những hợp đồng Quyền chọn không chỉ đơn thuần viết trên một loạitài sản cơ sở, mà được viết trên sự tổng hợp tài sản cở sở theo một nghĩa nào

đó Thí dụ như Quyền chọn được viết trên tập hợp n cổ phiếu S1, , Snvới cáctrọng số α1, , αn khác nhau Quyền chọn dạng này được gọi là Quyền chọntheo giỏ (Basket option) Đối với Quyền chọn theo giỏ thì tài sản cơ sở khôngmang dáng điệu của phân phối logarit - chuẩn như trong Quyền chọn châu Âu.Chính vì vậy mà không tồn tài một công thức đóng kiểu Black - Scholes chogiá Quyền chọn theo giỏ này Không chỉ có Quyền chọn theo giỏ mà tài sản cơ

sở của một số Quyền chọn tổng hợp khác như Quyền chọn châu Á hay Quyềnchọn Quanto cũng không mang dáng điệu của phân phối logarit - chuẩn Chính

vì lẽ đó đã dẫn đến khó khăn cho việc định giá các loại Quyền chọn tổng hợpnày Để khắc phục khó khăn đó các nhà khoa học đã tìm cách xấp xỉ tài sản cơ

iii

sở của các Quyền chọn tổng hợp bởi biến logarit - chuẩn Với mục đích để cóthể sử dụng được các ước lượng trong mô hình định giá Black - Scholes Đâycũng chính là nội dung chính của luận văn.

Bố cục của luận văn gồm 2 chương và phụ lục:

Chương 1 Trình bày tổng quan về các hợp đồng Quyền chọn, chiến lược sử

dụng Quyền chọn để phòng ngừa rủi ro trong đầu tư và mô hình định giáQuyền chọn Black - Scholes Sự tồn tại một độ đo mác-tin-gan hay còn gọi

là độ đo xác suất rủi ro trung tính được khẳng định bởi định lý Girsanov chochúng ta thấy một cách tiếp cận khác để định giá các sản phẩm phái sinh nóichung (cụ thể ở đây là các Quyền chọn)

Chương 2 Trình bày các Quyền chọn được viết trên sự tổng hợp các tài sản

cơ sở như Quyền chọn châu Á, Quyền chọn theo giỏ và Quyền chọn Quanto.Chúng ta gọi chúng là các Quyền chọn tổng hợp vì lẽ đó Chúng là một lớp cáchợp đồng tài chính quan trọng trong toán tài chính và được sử dụng rộng rãitrong thực tế Phần tiếp theo của chương trình bày phương pháp Monte Carlođịnh giá Quyền chọn châu Âu và châu Á cùng với một số kỹ thuật giảm phươngsai khi sử dụng phương pháp Monte Carlo như kỹ thuật biến điều khiển và kỹthuật đại diện đối nhau Chương trình thuật toán Monte cho giá Quyền chọnchâu Âu và Quyền chọn châu Á dạng trung bình số học được viết trên ngônngữ lập trình C/C++

Phụ lục 1 Giải thích thêm về mô hình Black - Scholes

Phụ lục 2 Phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes.

Dù đã cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn khôngtránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn Tác giả luôn mong muốn đón nhậnđược những ý kiến đóng góp từ Thầy cô và bạn đọc

Hà Nội - 2014Học viên

Nguyễn Hữu Hải

Hình 1.1: vị thế người mua Quyền chọn Mua

Hình 1.2: vị thế người bán Quyền chọn Mua

Hình 1.3: vị thế người mua Quyền chọn Bán

Hình 1.4: vị thế người bán Quyền chọn Bán

Hình 1.5: sự biến thiên giá cổ phiếu theo mô hình (1.4)

Hình 1.6: giá Quyền chọn Mua châu Âu viết trên cổ phiếu S, khi giá thực thi

Hình 2.1 : thuật toán Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu

Hình 2.2 : thương pháp Monte Carlo cho giá Quyền chọn Mua châu Âu với

Trước khi trình bày nội dung của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới thầy PGS.TS Trần Hùng Thao người đã trực tiếp hướng dẫn tận tìnhchu đáo em trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể các thầy cô giáotrong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội

đã dạy bảo em tận tình trong suốt thời gian em học tập tại khoa

Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáotrong bộ môn Toán - Trường ĐH Nông Nghiệp HN cũng như gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thànhluận văn

Hà Nội - 2014Học viên

Nguyễn Hữu Hải

vi

Tổng quan về Quyền chọn và mô hình

định giá Quyền chọn

1 Quyền chọn

2 Các loại Quyền chọn

3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn

4 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes

5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn

Định lý Girsanov.

1.1 Quyền chọn

Quyền chọn (Option) là một hợp đồng tài chính giữa hai bên người mua

và người bán đối với một số tài sản tài chính nào đó (thường là cổ phiếu, trái

phiếu, tiền, vàng và các loại tài sản trừu tượng khác như chỉ số chứng khoán hay lãi suất ) Trong đó người mua có quyền (không phải nghĩa vụ) mua hoặc

bán một số lượng tài sản tài chính vào một ngày trong tương lai với giá cả đượcthỏa thuận vào ngày hôm nay

Mức giá cố định mà người mua hợp đồng Quyền chọn có thể mua hoặc bántài sản gọi là giá thực thi Quyền chọn mà người nắm giữ hợp đồng chỉ đượcthực thi hợp đồng vào thời điểm đáo hạn ghi trong hợp đồng đó là Quyền chọnkiểu châu Âu Còn loại hợp đồng Quyền chọn ít hạn chế hơn đó là Quyền chọnkiểu châu Mỹ Đối với Quyền chọn kiểu này thì người nắm giữ hợp đồng cóthể thực thi Quyền tại bất kỳ thời điểm nào trước ngày đáo hạn

Trong một hợp đồng Quyền chọn có hai bên Bên mua Quyền chọn và bênbán Quyền chọn Bên mua Quyền chọn phải trả cho bên bán Quyền chọn một

1

số tiền còn được gọi là phí Quyền chọn.

a) Bên bán Quyền chọn: là bên phát hành Quyền chọn, sau khi thu phíQuyền chọn thì bên bán có nghĩa vụ sẵn sàng giao dịch (mua hoặc bán) tàisản cơ sở đã thỏa thuận trong hợp đồng với bên mua khi bên mua thực hiệnquyền trong thời gian thỏa thuận Đối với bên bán Quyền chọn thì lợi nhuậntối đa là phí Quyền chọn, còn lỗ thì không giới hạn Trên thị trường có hai loạingười bán Quyền chọn đó là người bán Quyền chọn Mua (Seller Call Option)

và người bán Quyền chọn Bán (Seller Put Option)

b) Bên mua Quyền chọn: là bên nắm giữ Quyền chọn, phải trả cho bên bánphí Quyền chọn để được "quyền" mua hoặc bán một tài sản cơ sở nào đó Đốivới bên mua thì trong thời hạn của hợp đồng có 3 sự lựa chọn Thứ nhất thựchiện hợp đồng Quyền chọn nếu giá trên thị trường biến động theo xu hướng

có lợi cho họ Thứ hai bán hợp đồng Quyền chọn cho bên thứ 3 trên thị trường

để hưởng chêch lệch Thứ ba là để Quyền chọn tự động hết hiệu lực mà khôngcần thực hiện một giao dịch mua bán nào trên thị trường Trường hợp này xảy

ra khi giá trên thị trường biến đổi theo hướng bất lợi cho họ Cũng như bên bánQuyền chọn thì trên thị trường cũng có hai loại người mua Quyền chọn đó làngười mua Quyền chọn Mua (Buyer Call Option) và người mua Quyền chọnBán (Buyer Put Option)

Giá Quyền chọn (tức phí Quyền chọn) thay đổi theo thời gian và theo giátài sản cơ sở Giá Quyền chọn phải phản ánh được cơ hội đem lại lợi nhuậncho bên mua Quyền chọn Do đó nếu giá tài sản cơ sở biến động mạnh và thờigian đáo hạn càng dài thì giá Quyền chọn càng cao

1.2 Các loại Quyền chọn

Một Quyền chọn cho phép chủ sở hữu nó có quyền được mua tài sản vớigiá thực thi trước hay vào đúng ngày đã ấn định trong hợp đồng gọi là Quyềnchọn Mua (Call option) đơn giản ta gọi là (Call) Một Quyền chọn cho phépchủ sở hữu nó có quyền được bán tài sản với giá thực thi trước hay vào đúngngày đã ấn định trong hợp đồng gọi là Quyền chọn Bán (Put option) hay còngọi là (Put)

1.2.1 Quyền chọn Mua

Hợp đồng Quyền chọn Mua là một hợp đồng tài chính diễn ra giữa hai bên

Nó cho phép người nắm giữ hợp đồng "quyền" được mua một số lượng tài

sản nhất định với một mức giá ấn định trước gọi là giá thực thi (strike price

or exerise price) vào trước hay vào thời điểm đáo hạn của hợp đồng Đổi lại,người mua hợp đồng (holder) phải trả cho người bán hợp đồng một khoản tiền(call premium)

Nếu giá tài sản cơ sở tăng như dự đoán thì người mua hợp đồng sẽ thu đượcmột khoản lời trong khi chi phí đầu tư là một khoản nhỏ (phí hợp đồng) hơn

là phải bỏ ra một khoản tiền lớn mua toàn bộ tài sản đó Trong trường hợpnày người ta nói hợp đồng Quyền chọn Mua có lãi (in-the-money call option).Ngược lại hợp đồng Quyền chọn Mua bị lỗ (out-of-the-money call option).Đối với người bán hợp đồng này thì họ thu được một khoản lời đúng bằng phíhợp đồng Nhưng khi người mua thực hiện hợp đồng thì người đó lỗ khônggiới hạn Nếu giá tài sản cơ sở biến đổi theo xu hướng bất lợi cho người muahợp đồng thì họ không nhất thiết phải thực thi hợp đồng, tự cho hợp đồng hếthiệu lực Khi đó họ lỗ một khoản bằng phí mua Quyền chọn

Đối với hợp đồng Quyền chọn Mua Người mua Quyền chọn lúc nào cũng

kỳ vọng giá tài sản cơ sở tăng trong khi người bán thì lại kỳ vọng điều ngượclại Xuất phát từ những nguồn thông tin khác nhau, các phân tích và đánh giákhác nhau cho nên dẫn tới nảy sinh những kỳ vọng khác nhau giữa người mua

và người bán Điều đó dẫn tới việc Quyền chọn (call và put) như thế diễn ra

Vị thế của người mua, người bán và phí Quyền chọn được mô tả như hìnhdưới đây

Hình 1.1: Vị thế người mua Quyền chọn Mua Hình 1.2: Vị thế người bán Quyền chọn MuaTrong hình 1.1 cho thấy vị thế người mua Quyền chọn Mua (tức người nắmgiữ Quyền chọn Mua) thua lỗ tối đa đúng bằng khoản phí Quyền chọn mà họ

đã bỏ ra để mua cái "Quyền" được mua tài sản nào đó Trong khi đó lãi đối với

họ là vô hạn tuỳ theo mức độ tăng giá của tài sản cơ sở Ngược lại trong hình1.2 lại mô tả vị thế của người bán Quyền chọn mua Người này thua lỗ là vôhạn tuỳ theo sự tăng giá của tài sản cơ sở và họ lãi tối đa đúng bằng khoản phíQuyền chọn mà họ nhận được từ người mua Quyền chọn

Thí dụ 1.1 (Thí dụ về hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Âu)

Giả thử ta đang nắm giữ một hợp đồng Quyền chọn Mua một cổ phẩn củahãng XZ và hợp đồng sẽ đáo hạn sau 20 ngày kể từ ngày hôm nay Giả thửgiá thực thi ghi trong hợp đồng là 90 đô la đối với một cổ phiếu Nếu giá thịtrường hôm nay là 8512 đô la, ta sẽ nghĩ rằng hợp đồng chẳng đáng mua là mấybởi giá thực thi vượt quá cao so với giá thị trường hiện tại Cũng có khả năngđến ngày đáo hạn giá thị trường lại tăng cao, chẳng hạn là 98 đô la vào lúc đáohạn Khi đó ta thực thi hợp đồng để kiếm một khoản lợi nhuận là

98 đô la − 90 đô la = 8 đô la

Tuy nhiên lợi nhuận thực sự không phải là 8 đô la mà chỉ là 8 − 4.5 = 3, 5 đô

la Bởi vì giá thực thi là 90 đô la cao hơn giá thị trường vào ngày đầu tiên ( tức

20 ngày trước ngày đáo hạn) và cao hơn một khoản là 4,5 đô la Nếu ta xem tỷ

số 3.54.0 = 0.875 Có thể xem số 87,5% là tỷ lệ lãi đầu tư khi mua hợp đồng ấy.Như vậy là lãi lớn

Nhưng giả thử rằng, không may đến ngày đáo hạn giá thị trường của mỗi cổphiếu của hãng XZ chỉ là 89,5 đô la thôi Như vậy bản hợp đồng Quyền chọnMua này thực chất chẳng đáng mua và sự đầu tư là hoàn toàn thất bại Điều đónói rằng có sự rủi ro và không chắc chắc của việc mua hợp đồng Quyền chọnMua

Thí dụ 1.2.(Thí dụ về hợp đồng Quyền chọn kiểu châu Mỹ)

Giả thử chúng ta nắm giữ một hợp đồng Quyền chọn Mua kiểu Mỹ đối vớimột cổ phần của hãng IBM và sẽ hết hạn trong 15 ngày kể từ ngày hôm nay.Giả thử rằng giá thực thi ghi trong hợp đồng là 105 đô la Nếu giá thị trườnghôm nay đối với cổ phiếu IBM là 107 đô la Chúng ta có thể chờ đến ngày đáohạn với hy vọng trong 15 ngày tới đây giá cổ phiểu IBM trên thị trường sẽ caohơn 107 đô la

Nhưng, giả thử rằng sang tuần tới , cổ phiếu của IBM bỗng nhiên nhảy lên

112 đô la Khi đó với một hợp đồng kiểu Mỹ ta có thể thực thi ngay lập tức vàkiếm lời 7 đô la mỗi cổ phiếu Sau khi khấu trừ đi một khoản phí hợp đồng,chẳng hạn 4.5 đô la thì lãi thực sự của người nắm giữ hợp đồng trên mỗi cổphiếu là 7 − 4.5 = 2.5 đô la Tỷ lệ lãi khi đầu tư sẽ là

2.54.5 = 0.555

Đó là sợi suất khi đầu tư mua hợp đồng Quyền chọn Mua

1.2.2 Quyền chọn Bán

Trên thị trường ngoài sự xuất hiện của hợp đồng Quyền chọn Mua (calloption) thì có sự xuất hiện của loại hợp đồng Quyền chọn khác đó là hợp đồngQuyền chọn Bán (put option) Nó là một hợp đồng tài chính giữa hai bên Theo

đó người mua hợp đồng (holder) bán cho người bán hợp đồng một lượng tàisản nhất định với giá cả đã được ấn định trước trong hợp đồng vào trước hoặcđúng thời điểm đáo hạn (expiration date) ghi trong hợp đồng Đổi lại ngườimua hợp đồng phải trả cho người bán một khoản gọi là phí Quyền chọn.Cần chú ý rằng trong hợp đồng Quyền chọn Bán thì người nắm giữ hợpđồng lại chính là người có quyền bán tài sản Người nắm giữ hợp đồng sẽ cólợi khi thị trường cổ phiếu có xu hướng xuống giá mạnh Khi đó người nắmgiữ hợp đồng quyết định thực thi quyền bán và người bán hợp đồng buộc phảimua tải sản đã ghi trong hợp đồng Ngược lại người viết hợp đồng (tức người

có nghĩa vụ mua tài sản đã ghi trong hợp đồng nếu người nắm giữ hợp đồngyêu cầu thực hiện hợp đồng) sẽ thu được khoản lãi khi giá cổ phiếu tăng hoặcgiảm nhẹ hơn khoản phí hợp đồng nhận được

Hợp đồng Quyền chọn Bán được xem như một công cụ được nhà đầu tư bảohiểm cho tài sản của mình, khi nhà đầu tư dự đoán giá cổ phiếu sẽ tụt xuốngtrong tương lai và đồng thời không muốn bán hẳn số tài sản đó hoặc để đầu

cơ thu lợi trước dự đoán đó Trong trường hợp nào đi chăng nữa thì rủi ro củangười nắm giữ hợp đồng cũng chỉ giới hạn trong phí hợp đồng

Vị thế của người mua, người bán và phí Quyền chọn được mô tả như hìnhdưới đây:

Hình 1.3: Vị thế người mua Quyền chọn Bán Hình 1.4: Vị thế người bán Quyền chọn Bán

1.3 Chiến lược phòng ngừa rủi ro với Quyền chọn

Trong quá trình đầu tư chứng khoán các nhà đầu tư luôn phải chịu một mức

độ rủi ro nhất định Điều mà các nhà đầu tư quan tâm là tìm kiếm một giải

pháp hạn chế rủi ro phù hợp cho mình Dựa trên những đặc tính hấp dẫn củaQuyền chọn thì việc kết hợp giữa cổ phiếu và Quyền chọn một cách nào đócũng là một chiến lược phòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tư Điều hấp dẫn đángnói của Quyền chọn đó là có khả năng tạo ra nhiều chiến lược đa dạng đểphòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tư Đa dạng tới mức gần như nhà đầu tư nàocũng có thể tìm được một chiến lược đáp ứng mức rủi ro phù hợp với mình vàphù hợp với dự báo của thị trường.

Tuỳ thuộc vào khẩu vị rủi ro và mức độ lợi nhuận của nhà đầu tư mà họ đưa

ra chiến lược phòng ngừa phù hợp Dưới đây là các chiến lược phòng ngừa cơbản Để thuận lợi và đơn giản trong việc diễn đạt ta đưa ra một số ký hiệu quyước như sau:

Ct là giá Quyền chọn Mua hiện tại

Pt là giá Quyền chọn Bán hiện tại

St là giá cổ phiếu hiện tại

T là thời điểm đáo hạn

ST là giá cổ phiếu lúc đáo hạn

1.3.1 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Mua

Một trong trong những chiến lược phổ biến nhất của dưới kinh doanh Quyềnchọn chuyên nghiệp là mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua đối với một loại

cổ phiếu Chiến lược này nhà đầu tư gọi đó là chiến lược bán một Quyền chọnMua có phòng ngừa Vì nhà kinh doanh Quyền chọn đang nắm giữ cổ phiếunên nếu người mua Quyền chọn Mua thực hiện Quyền chọn thì nhà kinh doanhQuyền chọn chỉ giao cổ phiếu mà không phải mua trên thị trường một mức giákhá cao Nhìn theo một quan điểm khác nếu người sở hữu cổ phiếu mà khôngbán Quyền chọn thì sẽ gặp phải rủi ro đáng kể khi cổ phiếu xuống giá Bằngcách bán một Quyền chọn mua đối với cổ phiếu đó, người nắm giữ cổ phiếu

sẽ giảm được rủi ro đáng kể khi trên thị trường cổ phiếu đó xuống giá Vì lúcnày khoản lỗ sẽ được bù đắp bởi khoản phí bán Quyền chọn Mua Khi đó lợi

nhuận từ việc mua cổ phiếu là

Ns(ST − St), Ns> 0, và lợi nhuận từ việc bán Quyền chọn Mua là

do giá cổ phiếu giảm nên người nắm giữ cổ phiếu chịu một khoản lỗ tươngứng là ST− St Vậy lợi nhuận của nhà đầu tư trong trường hợp này là

π = ST− St+Ct

- Nếu giá cổ phiếu tại thời điểm đáo hạn cao hơn giá thực hiện thì lúc đóngười nắm giữ Quyền chọn yêu cầu thực hiện hợp đồng Lúc này người bánQuyền chọn chịu khoản lỗ tỷ lệ thuận với mức chênh lệch giữa giá thị trường

và giá thực hiện và số lượng Quyền chọn trong hợp đồng

Tóm lại, lợi nhuận của chiến lược mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua làlợi nhuận của chiến lược thực hiện hai vi thế song song với phương trình lợinhuận là

π = ST− St− ST+ X +Ct = X − St+Ct

Bây giờ ta xét một thí dụ nhà đầu tư sử dụng Quyền chọn cho mục đích đầu

cơ kiếm lời của mình Nhưng chiến lược này cũng mang lại thiệt hại lớn chonhà đầu tư nếu nhận định trị trường của nhà đầu tư thiếu chính xác

Thí dụ1.3 Giả thử cổ phiếu IBM đang niêm yết trên thị trường là 86 đô la

mỗi cổ phiếu Nhà đầu tư phán đoán cổ phiếu IBM sẽ tăng trong vài thángtới Ta xét hai chiến lược đâu tư sau: thứ nhất nhà đầu tư bỏ ra một khoản tiền8.600 đô la để mua 100 cổ phiểu IBM, thứ hai là nhà đầu từ sẽ dùng khoảntiền 8.600 đô la để mua 1.912 Quyền chọn Mua cổ phiếu IBM loại đáo hạn 5

năm tháng sau , nó đang chào bán với giá thực thi 90 đô la và phí Quyền chọn

là 4.5 đô là mỗi Quyền chọn Mua

Nếu đúng như dự đoán giá cổ phiếu IBM tăng lên 100 đô là vào thời điểm 5tháng sau thì khi đó lợi nhuận từ chiến lược mua cổ phiếu là 100 ∗ (100 − 86) =1.400 đô la, trong khi đó lợi nhuận của chiến dịch mua Quyền chọn Mua là1.912 ∗ 10 − 8.600 = 10.520 đô la Như vậy lợi nhuận từ chiến lược sử dụngQuyền chọn gấp hơn 7.5 lần chiến lực đầu tư mua cổ phiếu

Ngược lại, nếu diễn biến thị trường có xu hướng xấu đi, tức giá cổ phiếuIBM trượt giá xuống 80 đô la trong 5 tháng tới Lúc đó nhà đầu tư sẽ lỗ

100 ∗ (86 − 80) = 600 đô la với chiến lược mua cổ phiếu, còn với chiến lượcmua Quyền chọn thì nhà đầu tư lỗ 8.600 đô la dùng mua 1.912 Quyền chọnMua

Như vậy cho thấy nếu nhà đầu tư nhận định xu hướng biến đổi của giá cổphiếu IBM thiếu chính xác thì sẽ dẫn đến thiệt hại lớn khi sử dụng chiến lượcQuyền chọn để đầu cơ

1.3.2 Chiến lược sử dụng Quyền chọn Bán

Chiến lược mua cổ phiếu và bán Quyền chọn Mua sẽ hạn chế được phần nàorủi ro cho người nắm giữ cổ phiếu khi thị trường cổ phiếu xuống giá Trongmột thị trường lên giá, hầu hết cổ phiếu sẽ được mua lại bằng cách thực hiệncác Quyền chọn Một chiến lược để nhận được sự bảo vệ khi thị trường xuốnggiá mà vẫn có thể chia lợi nhuận khi thị trường lên giá đó là mua Quyền chọnBán bảo vệ, tức nhà kinh doanh mua cổ phiếu và mua Quyền chọn Bán Quyềnchọn Bán cung cấp một giá bán tối thiểu cho cổ phiếu Ta có lợi nhuận từ việcmua Quyền chọn Bán là

nhuận là π = ST− St− Pt Phương trình lợi nhuận cho thấy lợi nhuận từ việcthị trường cổ phiếu lên giá sẽ bị trừ đi phí mua Quyền chọn Bán.

- Nếu giá cổ phiếu lúc đáo hạn nhỏ hơn giá thực hiện, lúc này người nắmgiữ Quyền chọn yêu cầu thực hiện Quyền chọn Phương trình lợi nhuận củangười mua cổ phiếu ở trường hợp này là

π = ST − St+ X − ST− Pt = X − St− Pt.Quyền chọn trong trường hợp này như một công cụ bảo hiểm cho cổ phiếu.Đối với thị trường xuống giá thì tổn thất của nhà đầu tư được bù đắp phần nàobởi việc thực hiện Quyền Trong một thị trường lên giá thì bảo hiểm là khôngcần thiết và mức lợi nhuận do cổ phiếu tăng giá sẽ bị giảm đi một phần đó làphí mua Quyền chọn Bán để bảo vệ Như vậy, Quyền chọn Bán ấn định mộtmức lỗ tối đa khi cổ phiếu xuống giá nhưng lại khiến cho nhà đầu tư lợi nhuận

ít hơn khi cổ phiếu tăng giá Nó tương tự như một hợp đồng bảo hiểm tài sản

Thí dụ 1.4 Giả thử ông A đang nắm giữ một số cổ phần chứng khoán của

công ty dầu khí OCean Ông ta biết rõ hoạt động của công ty này Hiện tạicông ty này đang bán 90 đô la đối với một cổ phiếu và ông này tin rằng giá cổphiếu trên thị trường của công ty sẽ có nhiều thay đổi Do đó ông ta bắt đầubán các cổ phiếu này đi để cho mục đích tài chính khác của mình

Để thực hiện kế hoạch của mình ông ta bắt đầu một chương trình mua một

số hợp đồng Quyền chọn Bán, loại đáo hạn vào khoảng 2 tháng nữa với giáthực thi là 85 đô la Với kế hoạch này ông ta phải bỏ ra một khoản chi phí 2.5

đô la để mua một hợp đồng Quyền chọn Bán đối với một cổ phiếu của mình.Chiến lược này bảo vệ cho ông trong khả năng cổ phiếu tụt giá vì một khi giá

cổ phiếu thấp xuống trong tương lai sẽ gây sức ép phải thực thi Quyền Bán.Điều đó sẽ cho phép ông ta thu được ít nhất 85 đô la cho mỗi Quyền chọn Bán.Như vậy ông ta được đảm bảo một giá trị tối thiểu cho các cổ phiếu mà ông

ấy bán Nếu giá cổ phiếu dừng ở mức trên 85 đô la, thì việc thực thi các QuyềnBán chẳng có ý nghĩa gì đối với ông ta Số tiền phí 2.5 đô la cho mỗi Quyềnchọn Bán xem như một loại phí bảo hiểm đảm bảo cho ông ta có khả năng bánđược cổ phiếu với mức giá trên hoặc bằng 85 đô la cho mỗi cổ phiếu

1.4 Mô hình Black-Scholes và công thức Black - Scholes

1.4.1 Mô hình Black -Scholes

Ta xem St là giá cổ phiếu tại thời điểm t Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tácđộng ngẫu nhiên của thị trường, nên ta có thể xem St là một quá trình ngẫu

nhiên với thời gian liên tục St = S(t, ω).

Mô hình Black - Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên

trong đó µ, σ là các hằng số, còn W là chuyển động Brown

Bây giờ ta sẽ tìm hiểu tại sao dẫn đến phương trình vi phân nói trên Ta giảthử có một thị trường M hoạt động liên tục, có lãi suất không đổi, không chia

cổ tức trước thời điểm đáo hạn, không có chi phí giao dich và không trao đổichứng khoán Ký hiệu St là giá cổ phiếu tại thời điểm t, dSt là lượng giá cổphiếu thay đổi trong thời gian nhỏ [t,t + dt] Một cách tự nhiên là ta có thể giảthử độ thay đổi tương đối về giá là dSt/St tỷ lệ thuận với độ dài dt với hệ số tỷ

hệ số tỷ lệ σ nào đó Do đó ta đặt

dSt

Hệ thức này cho thấy σ càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn, cho nên

σ được gọi là độ biến động (volatility) của giá cổ phiếu St Ở đây cả µ và σ

là hằng số Sau này người ta mở rộng mô hình xem cả µ và σ phụ thuộc vào tmột cách ngẫu nhiên

Thí dụ 1.4 Xét một cổ phiểu S với giá được niêm yết ngày hôm nay (t = 0)

trên thị trường cổ phiếu là 90 đô la Ta xem cấu trúc của quá trình giá cổ phiếu

St thay đổi thế nào trên một số mốc thời gian Ta giả định là dt = 1/365 (theo

tỷ lệ xích hàng năm), độ dịch chuyển của cổ phiếu là µ = 0, 4 và độ biến động

σ = 0, 2

Khi đó theo phương trình (1.4) ta có

dSt

St = µdt + σ dWt,

dSt

St = 0, 4( 1

365) + 0, 2dWt

Ta xem dWt như một biến ngẫu nhiên chuẩn với trung bình 0 và phương sai

là dt, tức là dWt ∼ N(0,√dt2) Do vậy ứng với trường hợp này thì phương saicủa dWt là dt = 1/365

Bước 1, ta có S0 = 90, giá trị của dW chọn từ dW ∼ N(0, 1/365), chọn

Hình 1.5: Sự biến thiên của giá cổ phiếu theo mô hình (1.4)

1.4.2 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Mua

Nếu ta gọi V (S,t) là giá của Quyền chọn Mua (call option) tại thời điểmhiện tại t với giá chứng khoán vào thời điểm đáo hạn T là ST, giá thực thi củaQuyền chọn là X Khi đó

Nếu ST ≥ X thì lợi nhuận sẽ là ST − X ≥ 0, khi đó nhà đầu tư sẽ mua callvới giá thực thi X

Nếu ST < X thì nhà đầu tư không cần thực thi hợp đồng vì không bắt buộcphải mua, vì nếu mua sẽ lỗ Do vậy lợi nhuận sẽ là

max(0, ST − X)

Để cho gọn ta ký hiệu đại lượng ấy là (ST− X)+và được gọi là phần dươngcủa (ST− X) Bản thân nó là một biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trungbình của nó bởi kỳ vọng toán E[(ST− X)+]

Mệnh đề 1.1 Giá Quyền chọn Mua V (S, 0) tại thời điểm hôm nay (t = 0) của

một hợp đồng Quyền chọn viết trên cổ phiếu S, với giá thực thi X vào thời điểm đáo hạn T được cho bởi công thức

V(S, 0) = e−rTE[(ST− X)+], (1.5)

trong đó ST là giá chứng khoán tại thời điểm Quyền chọn đáo hạn T

Ở đây, các nhà đầu tư cho rằng giá Quyền chọn Mua có thể bị chiết khấuvới tốc độ r theo luật mũ, nên giá trị thực sự của Quyền chọn Mua vào thờiđiểm hiện tại t = 0 là

V(S,t) = StN(d1) − X e−r(T −t)N(d2),trong đó N là ký hiệu cho hàm phân bối chuẩn tắc N(0, 1)

V(S, 0) = S0N(d1) − X e−rTN(d2)trong đó,

d1= 1σ

√

T[lnS0

X + (r + σ2/2)T ]

d2= d1− σ√T

Bây giờ ta xét một thí dụ về một hợp đồng Quyền chọn Mua châu Âu viếttrên một cổ phiếu S với giá cổ phiếu của ngày hôm nay (t = 0) được niêm yếttrên thị trường là 90 đô la và thời điểm đáo hạn của hợp đồng là sau 1 năm kể

từ ngày hôm nay (tức T = 1) Ta sẽ quan sát giá của Quyền chọn này thay đổithế nào khi ta giả thử giá thực thi của hợp đồng này tăng dần

Hình 1.6: Giá Quyền chọn châu Âu viết trên cổ phiếu khi giá thực thi tăng dần

Bảng số liệu ở hình 1.6 cho thấy giá của một Quyền chọn Mua châu Âu (calloption) giảm dần khi mà giá thực thi của hợp đồng tăng dần lên

Hình 1.7: Giá một Quyền chọn Mua châu Âu với sự thay đổi của độ biến động

Số liệu trong hình 1.7 là kết quả ta đang xét một Quyền chọn Mua châu Âuvới giá thực thi 105 đô la loại đáo hạn sau một năm và giá cổ phiếu được niêmyết trên thị trường hôm nay là 90 đô la Kết quả cho thấy giá Quyền chọn tăngtheo sự tăng lên của độ biến động thị trường Điều đó cho thấy giá Quyền chọnphán ảnh đúng như ý nghĩa của hệ số độ biến động σ trên thị trường

Kết quả trong hình 1.8 dưới đây cho chúng ta thấy rằng giá một Quyền chọn

Mua châu Âu (call option) tỷ lệ thuận theo thời gian đáo hạn của hợp đồng.Hợp đồng có thời gian đáo hạn càng dài thì giá Quyền chọn Mua càng tăngcao.

Hình 1.8: Giá Quyền chọn Mua châu Âu tỷ lệ thuận theo thời gian đáo hạn của hợp đồng

Ngày nay mô hình Black - Scholes đã được mở rộng theo nhiều hướng khácnhau nhằm phản ánh chính xác hơn những diễn biến của thị trường chứngkhoán Tuy nhiên mô hình cổ điển trên vẫn còn nguyên giá trị của nó, vẫnđược sử dụng rộng rãi ở nhiều nơi Công thức Black - Scholes được trình bàymột cách cụ thể hơn ở mục 1.5 chương này hoặc có thể tìm hiểu thêm ở [2]

1.4.3 Công thức Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán

Công thức Black -Scholes nói trên đã cho chúng ta được công thức địnhgiá một hợp đồng Quyền chọn Mua kiểu châu Âu Liệu có tồn tại hay khôngmột công thức kiểu Black - Scholes cho giá Quyền chọn Bán châu Âu Dẫndắt dưới đây sẽ trả lời cho câu hỏi nói trên Ta giả thử rằng bạn cần bán mộtQuyền chọn Mua có bảo kê Nói cách khác bạn muốn mua cổ phiếu với giá

S và bán một Quyền chọn Mua với giá C Bạn lo ngại giá cổ phiếu giảm sútnên bạn mua một Quyền chọn Bán với giá P cùng thời hạn và giá thực thi nhưQuyền chọn Mua Với một kế hoạch như vậy thì giá vị thế của bạn ngày hômnay thế nào, chúng ta phân tích như sau

Chúng ta biết rằng giá vị thế ngày hôm nay của bạn là

S+ P −CGiả thử giá thực thi chung cho cả Quyền chọn Bán và Quyền chọn Mua là X Khi đó ta có giá vị thế ngày hôm nay như sau:

a) Nếu giá cổ phiếu S ≤ X thì giá đó là X Trong trường hợp này bạn giao

cổ phiếu cho người mua Quyền Mua, còn Quyền bán của bạn không có giá trịgì

b) Nếu giá cổ phiếu S < X thì giá vị thế vẫn bằng X Ở trường hợp này bạn

giao cổ phiếu cho người bán Quyền Bán, còn Quyền Mua của Bạn thì khônggiá trị gì

Dù xảy ra tình huống nào đi nữa thì giá vị thế ngày hôm nay của bạn đều bằngnhau và bằng X Nói cách khác bạn ở một vị thế tất định, nên ta suy ra

(S + P −C)erτ = X ,trong đó r là lãi suất không rủi ro, còn τ là khoảng thời gian từ hôm nay t đếnlúc đáo hạn T , tức τ = T − t Do đó ta có

Hệ thức (1.6) được gọi là công thức cặp đôi Mua - Bán (Put - Call parity) Hệ

thức này cho thấy có mối liên hệ giữa giá Quyền chọn Mua và giá Quyền chọnBán châu Âu Cũng từ hệ thức này cho thấy tồn tại một công thức kiểu Black

- Scholes cho giá Quyền chọn Bán châu Âu

Bây giờ ta sử dụng công thức cặp đôi Mua - Bán nói trên để định giá chomột hợp đồng Quyền chọn Bán châu Âu dựa trên một cổ phiếu với các giảthiết như trên Hệ thức cặp đôi Mua - Bán có thể được viết lại như sau

P= C − S + e−rτX.Giá Quyền chọn Mua C được tính theo công thức Black - Scholes, nên ta được

P= SN(d1) − e−rτX N(d2) − S + e−rτX

Ta có N(d1) + N(−d1) = N(d2) + N(−d2) = 1 Do vậy

P= −SN(−d1) − e−rτX N(d2) (1.7)trong đó,

d1= 1σ

1.5 Phương pháp mác-tin-gan định giá Quyền chọn

Mác-tin-gan ra đời đã có nhiều thay đổi lớn trong toán học nói chung và vớitoán tài chính nói riêng Mác-tin-gan đã cung cấp cho chúng ta một cách thứctiếp cận khác đối với lĩnh vực toán tài chính Bây giờ chúng ta giới thiệu cách

sử dụng mác-tin-gan để tiếp cận việc định giá một hợp đồng Quyền chọn.Trongviệc định giá Quyền chọn, ta phải thay đổi độ đo xác suất P sang một độ đokhác Bởi vì bản thân giá cổ phiếu St chưa phải là mác-tin-gan dưới độ đo banđầu

1.5.1 Độ đo tương đương

Định nghĩa 1.1 Giả thử (Ω, P, F ) là không gian xác suất Một độ đo xác suất

Q trên (Ω, F ) được gọi là liên tục tuyệt đối theo P nếu

A∈F ,P(A) = 0 ⇒ Q(A) = 0

Q được gọi là tương đương với P nếu

A∈F ,P(A) = 0 ⇔ Q(A) = 0

Định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại một độ đo Q liên tục tuyệt đối theo

độ đo P cho trước

Định lý 1.1 Xét (Ω, P, F ) là một không gian xác suất và Q là một độ đo xác

suất trên (Ω, F ) Khi đó Q liên tục tuyệt đối theo P khi và chỉ khi tồn tại một

biến ngẫu nhiên không âm Z sao cho

F t

= Zt.Thì Zt là P−mác-tin-gan Thật vậy với mọi 0 ≤ s < t ≤ T ta có

E(Zt|Fs) = E E(Z|Ft)|Fs
= E(Z|Fs) = Zs

Bổ đề 1.1 Giả thử Zt là qúa trình đạo hàm Radon - Nikodyn của Q theo P Khi đó

i) Với 0 ≤ t ≤ T và nếu X làFt− đo được, thì

EQ(X ) = E(XZt)ii) với 0 ≤ s < t ≤ T và nếu X làFt− đo được, thì

là chuyển động Brown dưới độ đo xác suất ban đầu P Tuy nhiên khi thay đổisang một độ đo Q khác thì quá trình Wt có là chuyển động Brown dưới độ đo Qhay không? Chúng ta luôn mong muốn dưới độ đo mới Q thì Wt vẫn là chuyển

động Brown Điều đó có thể thực hiện được hay không Định lý Girsanov dưới

đây sẽ trả lời câu hỏi đó

1.5.2 Thay đổi độ đo - định lý Girsanov

Định lý 1.2 Cho (Ω, P, F , FW) là một không gian lọc xác suất, trong đó

FW =Ft là bộ lọc tự nhiên của chuyển động Brown Wt Với 0 ≤ t ≤ T gọi θt

là quá trình thích nghi với bộ lọc thoả mãn điều kiện

E

exp12

θsdWs−1

2

Z t 0

θs2ds

, 0 ≤ t ≤ T (1.11)

Khi đó có một độ đo xác suất Q với mật độ LT, nghĩa là

là chuyển động Brown dưới độ đo Q.

Theo vi phân Itô ta có

d ˜St = σ ˜St(dWt+ θ dt),trong đó θ = µ −rσ Đặt

lý Girsanov dưới đây sẽ trả lời cho điều này

Định lý 1.3 ˜Wt được xác định như trên cũng là chuyển động Brown dưới độ

đo Q, được xác định bởi

Chính vì vậy mà độ đo Q nói trên được gọi là độ đo mác-tin-gan.

1.5.3 Định giá với mô hình Black- Scholes

Bây giờ ta xét một Quyền phụ thuộc đó là Quyền chọn châu Âu (ST− X)+,với ST là giá chứng khoán tại thời điểm đáo hạn T còn X là giá thực thi Giảthử giá chứng khoán St tuân theo chuyển động Brown hình học

dSt = µStdt+ σ StdWt,trong đó Wt là chuyển động Brown dưới độ đo ban đầu P Theo định lý Gir-sanov có một độ đo Q cho quá trình giá chiết khấu ˜St = e−rtSt với mật độ

Z= e−θWT −12θ2T

(1.22)Khi đó ta có

d ˜St = σ ˜Std ˜Wt,trong đó ˜Wt = Wt+ θt cũng là chuyển động Brown dưới độ đo mới Q

Mệnh đề 1.3 Giá Vt của Quyền phụ thuộc (còn gọi là phái sinh) (ST − X)+

tại thời điểm hôm nay t là

Từ đẳng thức (1.24) cho thấy giá Quyền chọn hôm nay (t=0) là tất định dưới

độ đo Q, nên không phụ thuộc vào yếu tố rủi ro Do vậy mà độ đo Q còn được

gọi là độ đo xác suất rủi ro trung tính hay độ đo xác suất trung hoà rủi ro.

Các Quyền chọn tổng hợp

1 Quyền chọn châu Á

2 Quyền chọn trong giỏ

3 Quyền chọn Quanto

4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn

Không giống như trong mô hình Black - Scholes Quyền chọn phụ thuộc vàomột tài sản logarit - chuẩn Ở chương này ta đề cập một số Quyền chọn màđược giả thiết ngay từ đầu là không phụ thuộc vào một tài sản lôgarit - chuẩnhay một tài sản mà giá của nó quan sát trực tiếp được Vậy nên không thể biểuthị giá của Quyền chọn này bởi một công thức theo kiểu Black - Scholes được

Để khắc phục khó khăn này, người ta đã tìm cách xấp xỉ giá tài sản cơ sở bởimột biến ngẫu nhiên lôgarit - chuẩn

Đó là những Quyền chọn được viết trên sự tổng hợp của tài sản cơ sở Loạitài sản này có thể chỉ gồm một tài sản cơ sở nhưng ta biết trung bình giá của

nó tại một số thời điểm nhất định hoặc có thể là một sự tổng hợp hai tài sảnnhưng được tính theo hai chỉ tệ khác nhau và được xét cùng với tỷ giá hối đoáicủa hai chỉ tệ đó hoặc cũng có thể là gồm nhiều tài sản khác nhau, lấy ra nhiềuhay ít khác nhau từ một cái giỏ gồm nhiều tài sản

2.1 Quyền chọn châu Á

2.1.1 Một vài khái niệm

Quyền chọn châu Á (Asian option) hay còn gọi là Quyền chọn trung bình(average option) Đó là một Quyền chọn tài chính mà giá của nó phụ thuộc

24

vào giá trung bình của tài sản cơ sở trong suốt một khoảng thời gian ấn địnhtrước Trung bình có thể là trung bình dưới dạng hình học (geometric average)hoặc trung bình dưới dạng số học (arithmetic average) Trung bình cũng có thểđược xét với thời gian liên tục hay các mốc thời gian rời rạc Nói cách khác cómột vài loại Quyền chọn châu Á nhưng ở đây ta chỉ quan tâm tới Quyền chọnchâu Á mà giá của nó phụ thuộc vào giá trung bình của tài sản cở sở trongtrường hợp rời rạc đã được ấn định trước.

Ta xét một Quyền chọn Mua châu Á (Asian call option) viết trên cổ phiếu

S với giá thực thi X và thời điểm đáo hạn T Hàm thu hoạch lúc đáo hạn củaQuyền chọn châu Á dạng trung bình hình học trong thời gian rời rạc

Cg(S,t) và Pg(S,t) Khi đó ta có đánh giá sau

Mệnh đề 2.1 Các bất đẳng thức sau được thoả mãn trong trường hợp rời rạc

Cg(S, 0) ≤ Ca(S, 0),

Pg(S, 0) ≥ Pa(S, 0)

Giả thử rằng giá của tài sản tuân theo phân phối logarit - chuẩn và chúng

ta biết rằng tích của các biến ngẫu nhiên có phân phối logarit - chuẩn cũng là

Các Quyền chọn tổng hợp< /b>

1 Quyền chọn châu Á

2 Quyền chọn giỏ

3 Quyền chọn Quanto

4 Phương pháp Monte Carlo định giá Quyền chọn< /b>... Nói cách khác cómột vài loại Quyền chọn châu Á ta quan tâm tới Quyền chọnchâu Á mà giá phụ thuộc vào giá trung bình tài sản cở sở trongtrường hợp rời rạc ấn định trước.

Ta xét Quyền chọn. .. tài sản

2.1 Quyền chọn châu Á

2.1.1 Một vài khái niệm

Quyền chọn châu Á (Asian option) hay cịn gọi Quyền chọn trung bình(average option) Đó Quyền