Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc của các quần thể sinh học

Đại học quốc gia Hà nộiTrường Đại Học khoa học tự nhiênNguyễn Hữu Trí Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc của các quần thể sinh học Luận văn thạc sĩ toán học Hà Nội - 2012... Đ

Đại học quốc gia Hà nộiTrường Đại Học khoa học tự nhiên

Nguyễn Hữu Trí

Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc

của các quần thể sinh học

Luận văn thạc sĩ toán học

Hà Nội - 2012

Đại học quốc gia Hà nộiTrường Đại Học khoa học tự nhiên

Nguyễn Hữu Trí

Về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc

của các quần thể sinh học

Chuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 60 46 01

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: TS Đặng Anh Tuấn

Hà nội - 2012

2.2 Sự hội tụ đến giá trị cân bằng 45

2.3 Sự tồn tại nghiệm sóng chạy 57

Tài liệu tham khảo 62

Mở đầuQuần thể sinh học là một hệ động lực trong thực tế có tác động của cácyếu tố khách quan Khi xem xét một hệ sinh thái chúng ta gắn nó với một môhình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, và người ta thường giảthiết hệ thống hoạt động liên tục, hoặc rời rạc đều Từ đó, các phép tính giải tíchliên tục và rời rạc được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả thiếtthời gian lý tưởng được đặt ra.

Trong luận văn này chúng tôi trình bày một nghiên cứu về sự tồn tại nghiệmsóng chạy của mô hình rời rạc trong di truyền học và tăng trưởng dân số Đây

là mô hình được Weinberger nghiên cứu và cho kết quả trong bài MATH SIAMANAL Vol No 3, May 1982 H." Long-time behavior of a class of biologicalmodels"

Mục 2.1 Tốc độ lan truyền

Mục 2.2 Sự hội tụ đến giá trị cân bằng

Mục 2.2 Sự tồn tại nghiệm sóng chạy

Kết luận

Trong phần này chúng tôi đánh giá đóng góp của luận văn và đề cấp tớihướng nghiên cứu trong thời gian tiếp theo đó là tìm hiểu ứng dụng lý thuyết củaWenberger cho các lớp mô hình trong đó toán tửQ[u] có thể không compact

Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Hữu Trí

Chương 1

Tổng Quan

Trong chương này chúng ta trình bày một số thuật ngữ và định nghĩa cơbản liên quan đến mô hình sinh thái và hệ rời rạc của một số các quần thể sinhhọc

1.1 Một số mô hình trong di truyền học và tăng

trưởng dân số

Chúng ta xem xét một mô hình được gọi là bước đệm trong di truyền họccủa một quần thể Chúng ta phân loại cá thể của quần thể của một loài lưỡng bộinhất định Nếu xét một gen gồm hai alen A và a Thì trong quần thể sẽ có bakiểu gen: AA, Aa, aa, trong đó kiểu gen đồng hợp tử là: AA, aa và kiểu gen dịhợp tử là: Aa

Môi trường sống tự nhiên hoặc nhân tạo được phân chia thành các vùngphân biệt gọi là " Hốc " Các cá thể của cùng một loài sống trong một vùng riêngbiệt đó được gọi là một quần thể

Có sự cách ly sinh sản ở một mức độ nhất định với các quần thể lân cậncùng loài Và sự di cư, nhập cư của các cá thể làm thay đổi tần số alen, và thành

phần kiểu gen của quần thể.

Các cá thể trong một quần thể giao phối ngẫu nhiên với nhau để sinh rathế hệ sau

Tỷ lệ số lượng alenA với tổng số alen của gen đó trong quần thể được gọi

là tần số alen của alenA, gọi tần số alenAở thế hệ thứntrong quần thể là: un(i)

khi đó tần số alen của alen a là: 1 − un(i) Theo định luật Hardy- Weinberg thìthành phần kiểu gen tương ứng:AA; Aa; aa của quần thể tương ứng là

sau đó tỷ lệ sống sót tại thời điểm di cư là

(1 + si)(un(i))2 : 2un(1 − un) : (1 + ti)((1 − un(i))2

Chúng ta giả định rằng tổng số các cá thể trong các cá thể liên quan đến

sự phân loài thứ i sống sót sau khi di cư là pi không phụ thuộc vào kiểu gen củachúng Giả sử rằnglij là một phần cá thể của mỗi kiểu gen trong các cá thể liênquan đến sự phân loài thứidi cư trở thành một phần của các cá thể liên quan đến

sự phân loài thứ j Khi đó phần gen trong các cá thể liên quan đến sự phân loàithứj sau khi di cư cho bởi công thức:

là phần gen của deme thứ i trước thời điểm di cư và

Một trường hợp đặc biệt, rằng các sinh vật đang sống trong mặt phẳngR2.Biểu diễn bởi bản đồ chia thành các ô vuông

đều giống nhau ở tất cả các "Hốc", và hệ số dịch chuyển lij chỉ phụ thuộc vào

sự khác biệt của vectorxi− xj giữa trung tâm của các "Hốc" Hiện tại ta chỉ giả

định rằngs, t, p không phụ thuộc vào u, do đó chúng là một hằng số Sao cho

Ta định nghĩa toán tử Q như sau:

Định nghĩa củaucho thấy rằng ta chỉ phải xét hàmu(x)sao cho0 6 u 5 1

Dễ dàng nhận thấy rằng g tăng từ 0 đến 1 giống như u tăng từ 0 đến 1 và Q[u]

nhận giá trị trong đoạn [0; 1]

(ii) Nếu s và σ là các số âm Từ (1.1.7) ta có các tính chất:

g(u) > u, với 0 < u < π1,

g(u) < u, với π1 < u < 1 (1.1.9)

Chú ý rằng chưa có lý do cụ thể để 1 + s và 1 + σ không phụ thuộc vào

u khi các thành phần dân số cạnh tranh Nếu plà hằng số vẫn có được các côngthức (1.5); (1.6), công thức (1.1.7) cho thấy rằng thậm chí s và σ vẫn phụ thuộcvào u và khi đó (1.1.8) vẫn thỏa mãn

Quy mô dân số cỡ ptrước khi chuyển đổi có thể phụ thuộc vào thành phầncấu tạo di truyền của dân số và do đó trên u Từ (1.1.3) cho thấy rằng trong mộtmôi trường đồng nhất mij là một hàm của u(xi) cũng như củaxi− xj Nói chungcác mô hình di chú có thể phụ thuộc vào kiểu di truyền và khả năng sinh sản.Nếu ta giả định không có sự tác động sau di cư, khi đó ta có thẻ đoán được cácgiá trị lA(x − y, u) của giao tử A và la(x − y, u) của một giao tử sinh ra tronghốc tại x bởi một deme sinh ra tại y nếu phần gen ban đầu là u Trong trườnghợp này ta có hệ

y∈H[lA(x − y, u(y)) − la(x − y, u(y))]. (1.1.12)

Nếu có giao phối không ngẫu nhiên, phần gen mới là một hàm như vế phải của(1.1.12).

Điều kiện trên có thể sửa đổi theo các cách khác nhau Các hốc này có thểbao gồm hình bình hành, hình lục giác, hoặc khu vực khác thay vì hình vuông.Chúng ta có thể xem giới hạn giữa các vùng là rất nhỏ, do đó un(x) sẽ trở thànhcác hàm liên tục theo biến x và trong công thức (1.5) toán tử Q thay bởi

u với các mối liên hệ về điều kiện ban đầu

Nếu ta định nghĩa un(x) = u(nτ, x), trong đó u(t, x) là nghiệm củaphương trình

Nếu x, y ∈ H thì x + y, x − y ∈ H, điều này chứng tỏ phần tử 0 ∈ H.Như vậyH là một nhóm đối với phép cộng.

Định nghĩa 1.2 Gọi B là tập các hàm số liên tục trên H nhận giá trị trên[0; π+],( nếu π+ = ∞ thì B là tập các hàm số liên tục trên H nhận giá trị trên[0; ∞] )

Với mỗi y thuộc H ta định nghĩa toán tử dịch chuyển:

Tyu(x) ≡ u(x − y)

Một hệ tiến hóa được xác định theo quy luật

un+1 = Q[un],

trong đóun+1 và un là các phần tử của Bvà Q là một toán tử trong B Các tínhchất của hệ tiến hóa là các tính chất củaQ

Từ các nhận xét trên ta giả thiết toán tửQ như sau:

Toán tửQ là liên tục với sự thay đổi của u, và thỏa mãn tính chất:

(i) Q[u] ∈ B, ∀u∈ B

(ii) Q[Ty[u]] = Ty[Q[u]], ∀u∈ B, y∈H

(iii) Các hằng 0 5 π0 < π1 5 π+ sao cho

Q[α] > α α ∈ (π0; π1), Q[π0] = π0, Q[π1] = π1, π1 < ∞ (1.2.1)(iv) u 5 v suy ra Q[u] 5 Q[v]

(v) un → u khi n → ∞ là hội tụ đều trên tập bị chặn trongH, khi đó

Q[un](x) → Q[u](x), với mỗi x ∈ H

Ngoài ra toán tửQ còn thỏa mãn các tính chất sau:

Q[α] < α, α ∈ (π1, π+) nếu π1 < π+ (1.2.2)

Hai tập lồiK1 vàK2 trongRn, và một sốε1 > 0 Giả sử rằng nếuπ1 < π+

và nếu π1 = π+ và cùng với các tính chất trên, khi đó nếuu < π1 + ε1 trong H

và u < π1 trong K1 hoặc K2 thì ta có

Q[u](0) < π1 (1.2.3)

Với hằng số b > 0 sao cho

u(x) = 0, với |x| 5 b ⇒ Q[u](0) = 0 (1.2.4)

Mọi dãy hàm vn trong B với vn 5 π1 có một dãy con vnk sao cho dãy

Q[vnk] hội tụ đều trên mọi tập bị chặn trong H (1.2.5)

Chúng ta bắt đầu với hàm u0 trong B khi đó sẽ dự đoán với n đủ lớn ta

được dãy hàm un được xác định theo quy tắc:

(vi) Nếu α là một hàm hằng khi đóQ[α] cũng là một hàm hằng.

Thật vậy: α là hàm hằng khi và chỉ khi

(vii) Dãy số αn hội tụ đến α được xem như một dãy hàm hằng hội tụ đều

đến hàm hằng α Qua tác động của Q thì dãy hàm hằng Q[αn](x) hội tụ đến

Q[α]

1.3 Hai mệnh đề cơ bản

Trong phần này chúng ta đưa ra hai đề xuất cơ bản được sử dụng trong cácchứng minh của phần sau

Mệnh đề 1.1 (Nguyên lý so sánh) Cho R là một toán tử từ B vào B Toán

tử R được gọi là bảo toàn thứ tự nếu thỏa mãn:

v = w ⇒ R[v] = R[w] (1.3.1)Nếu dãy vn thỏa mãn bất đẳng thức:

Chứng minh Chọn

vn = wn+1, ∀n ∈ Nthì

v0 = w1 = R[w0] = w0,

và áp dụng (1.3.1) tính chất của R ta có:

v1 = w2 = R[w1] = R[w0] = w1 = v0

v2 = w3 = R[w2] = R[w1] = w2 = v1

vn = wn+1 = R[wn] = R[wn−1] = wn = vn−1suy ra wn+1 = wn, ∀n ∈ N

1.4 Xây dựng tốc độ sóng

Trong phần này ta sẽ xác định tốc độ sóng c∗(ξ) tương ứng với toán tử Q

thỏa mãn điều kiện (1.2.1) Tốc độ sóng sẽ được điều chỉnh trong các kết quả

định lý ở phân tiếp theo Ta sẽ định nghĩa c∗(ξ) - tốc độ sóng, và đưa ra một sốkết quả liên quan Tốc độ sóng c∗(ξ) được định nghĩa là giá trị vô hướng như làhàm của đơn vị vector ξ Chúng ta có thể hiểu c∗(ξ) là tốc độ sóng theo phương

ξ Để xác địnhc∗(ξ)ta chọn hàmϕcó tính chất được định nghĩa theo định nghĩa(1.4) Những hàm có tính chất trên sau này ta ký hiệu là hàmϕ(s) Ta chọn hàm

ϕ(s) như sau:

Hàmϕ(s) là một hàm số nhận giá trị thực thỏa mãn các tính chất:

(i) ϕ là một hàm liên tục không tăng

(ii) ϕ(−∞) ∈ (π0, π1) (1.4.1)

(iii) ϕ(s) = 0, ∀s = 0.

Định nghĩa 1.3 Với số thực c và vector ξ, toán tử được xác định theo côngthức:

Rc,ξ[a](s) ≡ max{ϕ(s), Q[a(c, ξ; x ã ξ + s + c)](0)} (1.4.2)

Hai tính chất của R suy ra từ định nghĩa

(i) Với Q thảo mãn tính chất (1.2.1) khi đó ta có:

Dưới đây là một số tính chất của dãy an:

Bổ đề 1.1 Dãy an(c, ξ, s) không giảm theo n, không tăng theo s và c, và liêntục theo c, ξ, và s

Chứng minh +) Ta chứng minh an không giảm theo n

Ta có

a0(c, ξ; s) = ϕ(s),suy ra

Suy ra dãy an(c, ξ; s) là dãy không giảm theo n

+) Ta chứng minh an không tăng theo s và c theo phương pháp quy nạp.Với n = 0 thì a0(c, ξ; s) = ϕ(s) là một hàm không tăng theo định nghĩacủa hàm ϕ(s), suy ra nếu ∀c0

5 c; ∀s0 5 s thì

ϕ(s0) = ϕ(s)

Như vậy an(c, ξ; s) không tăng theo s và c với mọi n.

+) Ta chứng minh an(c, ξ; s) liên tục theo các biến c, s, ξ bằng phươngpháp quy nạp

Với n = 0 thì a0(c, ξ; s) = ϕ(s) là một hàm liên tục theo định nghĩa củahàm ϕ(s) Suy ra a0(c, ξ; s) liên lục theo các biến c, s, ξ

Giả sử an(c, ξ; s)liên tục theo các biến c, s, ξ là đúng

Tức là mọi dãy (cυ, ξυ, sυ) hội tụ đến (c, ξ; s) khi υ → ∞ thì an(cυ, ξυ; sυ) hội

Giả sử (cυ, ξυ, sυ) hội tụ đến (c, ξ; s) khi υ → ∞, suy ra dãy (cυ, ξυ, sυ)

bị chặn, tức là có các số M1 > 0; M2 > 0; M3 > 0 tồn tại υ0 > 0 sao cho

∀υ > υ0 thì

|c| 6 M1, |ξ| 6 M2, |s| 6 M3,và

|cυ| 6 M1, |ξυ| 6 M2, |sυ| 6 M3.Suy ra

|x ã ξ + c + s| 5 |x|.|ξ| + |c| + |s| = M1 + RM2 + M3và

Vì an là hàm liên tục theo tất cả các biến trên tập compact M suy ra an

liên tục đều trên M, nghĩa là ∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀(c1, ξ1, s1), ∀(c2, ξ2, s2)thuộc M thỏa mãn

|(c1, ξ1, s1) − (c2, ξ2, s2)| < δthì

|an(c1, ξ1, s1) − an(c2, ξ2, s2)| < 

Vì dãy (cυ, ξυ, sυ) hội tụ đến (c, ξ; s) khi υ → ∞, tức là ∀δ > 0, ∃υ0 > 0sao cho ∀υ > υ0 thì

|cυ − c| < δ

3, |ξυ − ξ| < δ

3R, |sυ − s| < δ

3.Suy ra

|x ã ξυ + cυ + sυ − (x ã ξ + c + s)| 5 |x|.|ξυ − ξ| + |cυ − c| + |sυ − s|

< R δ3R +

|(cυ, ξυ, x ã ξυ + sυ + cυ) − (c, ξ, x ã ξ + s + c)| < δthì

|an(cυ, ξυ, sυ) − an(c, ξ, s)| < ,hay an(cυ, ξυ; x ã ξυ + cυ + sυ) hội tụ đều đến an(c, ξ; x ã ξ + c + s) trên mọitập bị chặn trong H

ϕ(sυ) → ϕ(s)và

lim

υ→∞an+1(cυ, ξυ, sυ) = an+1(c, ξ; s)

Vậy an(c, ξ; s)liên tục theo các biến c, s, ξ với mọi n ∈ N

Bổ đề 1.2 Cho hai dãy hằng số được xác định

Chứng minh Từ tính chất (1.2.1iii),

αn → α, γn → γkhi đó

Mặt khác vì αn là dãy không giảm từ đó suy ra

Q[α] = α

Điều này vô lý vì theo tính chất (iv) của Q ta có

Q[α] > α

α = π1,hay

lim

n→+∞αn = π1.Chứng minh tương tự suy ra γn tăng đến γ và thỏa mãn

γ = Q[γ]

Ta chứng minh (1.4.6) bằng phương pháp quy nạp

Với n = 0 ta có

a0(c, ξ; −∞) = ϕ(−∞) = α0.(1.4.6) là đúng

Giả sử (1.4.6) đúng với n, tức là

an(c, ξ; −∞) = αn,

ta chứng minh

an+1(c, ξ; −∞) = αn+1.Thật vậy

Từ

an(c, ξ; −∞) = αnhay

Như vậy:

∀ > 0, mỗi c cố định ∃k0 > 0 đủ lớn (chọn k0 = [R + c + s0] + 1) saocho ∀k > k0 ta có

x ã ξ − k + c < −k0thì khi đó dãy

uk(x) ≡ an(c, ξ; x ã ξ − k + c)thỏa mãn

|uk(x) − αn| = |an(c, ξ; x ã ξ − k + c) − αn| < 

Vậy dãy

uk(x) ≡ an(c, ξ; x ã ξ − k + c)hội tụ đều trên mọi tập bị chặn trong H khi k → +∞

Từ tính chất (1.2.1v) của Q suy ra

lim

k→∞Q[an(c, ξ; x ã ξ − k + c)] = Q[αn] = αn+1.Vì αn+1 = α0 = ϕ nên

lim

k→∞an+1(c, ξ; −k)] = αn+1

Do an+1 là một hàm không tăng theo s suy ra

an+1(c, ξ; −∞) = αn+1.Vậy

an(c, ξ; −∞) = αn, ∀n, ∀c, ∀ξ

Chứng minh tương tự thay k bằng −k ta có

an(c, ξ; +∞) = γn, ∀n, ∀c, ∀ξ

Từ kết quả của bổ đề 1.1 dãyan(c, ξ; s)tăng đến hàma(c, ξ; s)khin → ∞

khi đó:

+a(c, ξ; s) là một hàm không tăng theo s và c

+ Vì an(c, ξ; s) 5 an(c, ξ; −∞) = αn 5 π1 từ bổ đề 1.2 suy ra

a(c, ξ; −∞) = π1

(Nếuπ1 = +∞, a có thể nhận giá trị tại +∞ trên một khoảng)

+ Giá trị củaa(c, ξ; +∞) có thể là π1

+ Vìa(c, ξ; s) là hàm không tăng theo s, khi đó a(c, ξ; +∞) = π1 nếu vàchỉ nếu a(c, ξ; s) ≡ π1

Bổ đề sau đây sẽ làm rõ một số tính chất trong các trường hợp cụ thể

Bổ đề 1.3 Giá trị a(c, ξ; +∞) = π1 nếu và chỉ nếu tồn tại số n ∈ N sao cho

an(c, ξ; 0) > ϕ(−∞) (1.4.7)Chứng minh (i) Ta chứng minh00 ⇒ ”

Nếu a(c, ξ; +∞) = π1 thì a(c, ξ; s) = π1 vơi mọi s

Trong trường hợp s = 0, vì π1 > ϕ(−∞) và an(c, ξ; 0) hội tụ tớia(c, ξ, 0) = π1 khi n → +∞ nên phải có giá trị n sao cho

an(c, ξ; 0) > ϕ(−∞)

(ii) Ta chứng minh ” ⇐ ”

Mặt khác từ (1.4.7) cho n = n0, vì an và ϕ là các hàm không tăng, ϕ = 0khi s = 0 và ϕ 6 ϕ(−∞), từ điều kiện liên tục của an và ϕ do đó có một sốdương δ sao cho

an0(c, ξ; s + δ) = ϕ(s) = a0(c, ξ; s)với mọi s

Thật vậy:

Cho δ > 0 và a(c, ξ; s) là một hàm không tăng theo s, và được xác định

độc lập với s khi đó a(c, ξ; s) là hàm hằng

Từ các kết quả trên ta có định nghĩa sau.

Định nghĩa 1.5 Ký hiệu c∗(ξ)là tốc độ sóng tương ứng của toán tử Q, và c∗(ξ)

được xác định theo công thức:

c∗(ξ) ≡ sup{c|a(c, ξ; +∞) = π1} (1.4.9)Nếu a(c, ξ; +∞) = π1 với mọi c, thì quy ước c∗ = +∞

Mệnh đề 1.3.

lim

s→+∞a(c, ξ; s) = a(c, ξ; +∞) = π1

nếu và chỉ nếu c < c∗(ξ) và c∗(ξ) là hàm nửa liên tục dưới đối với ξ

Chứng minh Vì a(c, ξ; s) là giới hạn của một họ các hàm số liên tục khônggiảm do đó a(c, ξ; s) là một hàm nửa liên tục dưới theo c, ξ, và s

Từ bổ đề 1.3 suy ra rằng: a(c, ξ; +∞) = π1 nếu và chỉ nếu a(c, ξ; +∞) =ϕ(−∞), và tính nửa liên tục dưới của a được suy ra trong một tập mở chứa(c, ξ) có hai dãy hội tụ

Và từ định nghĩa của c∗(ξ) suy ra c∗(ξ) là hàm nửa liên tục dưới

Dãy an phụ thuộc vào việc chọn hàm số ϕ(s) Do c∗(ξ) có được từ cáchchọn và có phụ thuộc hay không vào việc chọn hàm ϕ(s)? Ta có kết quả bổ đềsau

Bổ đề 1.4 Cho ϕ(s)b là hàm liên tục không tăng thỏa mãn tính chất

bϕ(−∞) ∈ (π0, π1), ϕ(s) = 0b khi s = 0 (1.4.10)

Ta định nghĩa dãyban(c, ξ; s) bởi công thức

ban+1(s) = max{(ϕ(s), Q[b ban(x ã ξ + s + c)](0)}, ab0(s) = ϕ(s).b (1.4.11)Sao choban(x, ξ; s) tăng tới một hàm không tăngba(x, ξ; s) Thì

ba(c, ξ; +∞) = a(c, ξ; +∞)

Chứng minh Từ định nghĩa của dãy hằng

b

αn+1 = Q[αbn], αb0 = ϕ(−∞)bThì αbn tăng đến π1 vì ϕ(−∞) < π1 có một số dương n0 sao cho

b

αn0 > ϕ(−∞)

và từ (1.4.2) ta có

ban0(c, ξ; −∞) = αbn0.Khi đó nếu n0 = 1 có hàm t = t(c, ξ) sao cho

b

an0(c, ξ; −t) > ϕ(−∞) (1.4.12)Vìban0 và ϕ = a0 không tăng theo s và ϕ = 0 khi s = 0 nên ta có

ban0(c, ξ; s − t) > ϕ(s) (1.4.13)

Từ ban không giảm theo n,

b

an+1(c, ξ; s − t) =ban0(c, ξ; s − t) = ϕ(s),bvới n = n0, từ tính chất của Q khi đó với k = 0 ta có

Từ bổ đề 1.4 cho thấy rằng c∗(ξ) trong định nghĩa 1.7 được xác định theocông thức (1.4.9) có giá trị tương tự khi thaya bởiba Tuy nhiên c∗(ξ)không phụthuộc vào cách chọn hàmϕ.

Đây là điều quan trọng để thấy rằng khi s → +∞ khi c = c∗(ξ)

là bị chặn, và là tập đóng.(vì c∗(ξ) là nửa liên tục dưới)

Ta phủ tập này bởi hữu hạn các lân cận đủ để chứa được giá trị n0 và xétvới số t nhỏ nhất thỏa mãn (1.4.12) và (1.4.14) thấy rằng nếu

c = c∗(ξ) 5 Cvà

ak(c, ξ; t) 5 ϕ(−∞)b

thì ak là dãy không tăng theo c, từ bất đẳng thức c = c∗(ξ) và c∗

(ξ) 5 C Cho

k → ∞sẽ tìm được một số t sao cho

a(c, ξ; s) 5 ϕ(−∞),b với s = t,khi c = c∗(ξ) và c∗

khi đó cho kết quả theo bổ đề sau

Bổ đề 1.5 Nếu π1 là hữu hạn, cho mỗi c và ξ thì giới hạn a(c, ξ; +∞) thỏamãn phương trình