MÒ DAU Trào luu hien nay cùa tòpo -dai so là khào sàt su p h à n rà on dinh cua càe khòng gian tòpo, dac biet là càe khòng gian phàn loai.. Bay chinh là mot trong nhùng nguyén nhàn thùe
Trang 1MUC LUC
Mór d a u 1 Chucmg 0: P h a n c h u a n hi 5
0.1 P h à n tu' lùy dang va phàn rà on dinh 6
0.2 Ly thuyét bieu dien tóng quàt 8
0.3 Módun Weyl va càe bieu dién bàt khà quy cùa Fp[Mn] va Fp[GLn] 11
Chuong 1: Càe h a n g tur C a m p b e l l - Selick 15
1.1 Càe bang t u cùa Campbell va SeHck 16
1.2 Biéu dién bàt khà quy cùa P*„ trén Fp 22
1.3 Bieu dién modula cùa Pp*n xGal(Ppn/Pp) 24
C h u a n g 2: P h à n rà B{Z/p)^ qua bieu dién cùa nhóm F^^ vói m \ n 34
2.1 Biéu dién bàt khà quy cùa F*m trén Fp 34
Trang 2MÒ DAU
Trào luu hien nay cùa tòpo -dai so là khào sàt su p h à n rà on dinh cua càe
khòng gian tòpo, dac biet là càe khòng gian phàn loai Bay chinh là mot trong
nhùng nguyén nhàn thùe day manh h a n viéc nghién cuu doi dong dieu va bieu dién nhóm cùa càe nhóm cu t h e T u nàm 1984, khi Carlsson chùng minh d u g c
D u doàn Segai [5], mot su phàt trien gàn day co y nghla n h à t trong ly thuyét dóng luàn, càe nhà tòpo -dai so t r a nén quan t à m nhieu h a n ve bài toàn tìm nhùng phàn rà on dinh thành càe bang t u két cùa khòng gian p h à n loai cùa nhóm hù*u han
Cho p là mot so nguyén tó, G ià mot nhóm h ù u han va P G + là khòng
gian phàn loai cùa G vói mot diem goc rói T u day ve sau, chùng t a xét moi
khòng gian phàn loai là càe khòng gian d u g c day dù hoà tai p Moi phàn rà
cùa P G + là t u a n g d u a n g vói mot phàn tich cùa phàn t u d o n vi trong vành càe lóp dong luàn cùa càe ành xa on dinh { P G + , P G _ ^ } t h àn h tong n h ù n g phàn t u lùy dang Càe phàn tich khòng tàm thuóng n h u the t h u ó n g khó tìm
dugc Mat khàe ky thuàt ve ành xa nhàp chung tò rang néu P là p -nhóm
con Sylow cùa G thì càe bang tu cùa P G + xuàt hièn trong so càe bang t u
cùa P P + Vi vay chùng ta co the t r u ó c hét tàp trung vào càe p - nhóm Theo D u doàn Segai, tón tai mot dang càu vành giùa {BP^,BP^.}^ (day dù hoà p - adic cùa { P P ^ , P P + } ) va - 4 ( P , P ) ; (day dù hoà p - adie cùa vành Burnside A{P,P)) N h ó dò bài toàn tÓpó ve phàn rà on dinh P P + t h à n h
càe hang t u két dugc quy ve bài toàn thuàn tuy dai so ve p h à n tich p h à n
t u d a n vi cùa vành 4 ( P , P ) ; thành mot t^ng cùa càe p h à n t^ lùy d à n g t r u c
giao Dà co nhieu tàc già dóng góp vào ehù de này, chang han Mitchell-Priddy (1983, 1984), Mitchell (1985), Harris (1985, 1992), Carhsle (1985), Nishida (1985), Wood (1986), Kuhn (1987), Harris-Kuhn (1988), CarHsle-Kuhn (1989),
Trang 3Campbell-Sehck (1990), Haxris-Hunter-Shank (1991), Martino-Priddy (1992) Benson-Feshbach (1992)
P h à n r à on dinh doi vói p-nhóm aben d u g c Harris va K u h n nghién cuu [17], [20] Trong khi dò , Maxtino, Priddy, Benson va Feshbach nghién cuu chù yéu doi vói p-nhóm khòng aben [4], [28] Trong truóng h g p p-nhóm aben co nhieu két qua thù vi va hàp dàn h a n t r u ó n g hgp khòng aben Trong luan àn cùa mlnh [17], Harris d à chixng tò r à n g mot phàn tich truc giao (nguyén thùy)
bàt ky cùa phàn t u d a n vi trong A(P, P ) 0 Zfp luón luón d u g c nàng dén mot phàn tich t r u c giao (nguyén thùy) trong A{P,P)^ Khi P aben, bang càch nghién cuu càu truc nhàn cùa A{P^P)^ Harris tìm d u g c mot phép nhùng cua P^[End(P)] vào A{P.P) ® Z/p T u dò Harris quy ve bài toàn d ò phùc tap
h a n , dò là p h à n tich phàn t u don vi cùa P^[End(P)] t h à nh mot tóng càe phàn
t u lù}' dang truc giao Luu y rang két qua này khòng dùng doi vói càe nhóm
khòng aben Tiép dén, Harris va Kuhn quy bài toàn ve t r u ó n g h g p p - nhóm aben sa càp (Z/p)^ [20] Tuy nhién bài toàn ve phàn rà òn dinh cùa B(Z/p)^l
là hai toàn khó va mang tùih thói su nò d u g c su quan tàm cua nhieu nhà toàn
hoc trén the giói
V"é mat ly thuyét, phàn rà òn dinh cùa B{Z/p)1 t h à n h càe bang t u két khòng p h à n tich dnqc là t u a n g d u a n g vói phàn tich cùa 1 t h àn h càe phàn t u lùy d a n g t r u c giao nguyén thùy trong Fp[Mn{Z/p)] Phàn rà này là min n h à t ,
n h u n g nói chung bau hét càe phàn t u lùy dang chua d u g c biet dén mot càch
t u ó n g minh Tuy nhién Harris va Kuhn chùng minh d u g c Fp là mot t r u ó n g
p h à n rà cùa Pp[M„(Z/p)] [20], nén do bòi cùa moi bang t u khòng phàn tich
d u g c trong p h à n rà này bang so chieu cùa módun bàt khà quy t u a n g ùng Nàm 1990, Campbell va Selick d u a ra mot phàn rà t u nhién cùa if®" t h à n h mot tong truc tiép cùa ;;" - 1 >^-módun [8], goi là càe bang t u co trong luang
Trang 4Pn[j) vói j E Z / ( p " - 1 ) Bang mot két qua cùa Adam, Gunawardena va Miller
[3], càe bang t u eó trong lugng cùa Campbell va Sehck này cho mot phàn tich cùa phàn t u d a n vi trong Pp[M„(Z/p)] thành mot tong cùa p " - 1 phàn t u luy
dang truc giao Dieu này d u a dén mot phàn rà on dinh cùa B{Z/p)1 t h à n h
p " — 1 bang t u két Trong bài bào cùa minh [16], Harris mó tà càe bang t u
này n h u là két qua chinh chùng d u g c ky bieu là Yn{j)^ vói j G Z/(p^^ — 1)
va goi là càe bang t u Campbell-Selick De làm dieu này, Harris d u a ra mot
tàp góm càe phàn t u lùy dang truc giao nguyén thùy dj trong Fp[Gn] càm sinh phàn rà cùa Campbell va Sehck, do dò càm sinh càe Yn{j) (a day F*u va
Gn = FpTi xGal{Fp^/Fp) d u g c xem là nhùng nhóm con cùa nhóm GL„{Z/p))
Thàt ra càe phàn t u dj khòng phài d u a n g nhién thuóc Fp[Gn] n h u Harris trình
bay T u viéc mó tà cùa Campbell va Selick de dàng thày rang 5'n(.? ) — ^'n(7P)i
Harris dat Yn{i) — Yn{i) \/ W V„(zp''~^ ) trong dò Zj là so mù k ducaig nhò nhàt vói rp ' = ?-(mod 7?" — 1) Harris con dua ra mot tàp gom càe phàn t u lùy dàng truc giao nguyén thùy / , trong Fp{F*n] càm sinh càe bang t u két }'„(?) Càe /, d u g c mó ta t u ó n g minh trong khi càe dj thì chua va su xuàt hión cùa
càe bang t u khòng phàn tich d u g c cùa P(Z/p)!j trong y'„(j) va V;,(?) rat khó
xàc dinh
Mue dieh cùa luan àn này là nghién cuu phàn rà óii dinh cùa khòng gian
phàn loai B{Z/p)'^ qua bieu dién modula cùa mot so nhóm tu3^én tinh Dóng
góp cùa chùng tói trong luan àn bao góm: 1) ho sung vào càe két qua cùa Harris; 2) tìm mot phàn rà òn dinh cùa P ( Z / p ) " thành càe bang t u két ma càe phàn t u lùy dàng t u a n g ùng d u g c mó t à t u ó n g minh va dò boi cùa càe hang
t u khòng phàn tich d u g c trong moi bang t u này déu d u g c biet dén va 3) tìm
d u g c mot so két qua ve ma tran Cartan cùa Fp[Mn{Z/p)] va Fp[GLn{Z/p)] de
phuc vu cho bài toàn phàn rà dò Cu the là càe két qua d u g c trình bay duói
Trang 5day
Trong chuang 1, chùng tòi tìm d u g c tàp sinh toi tbiéu cùa dai so P„(0)
khi p = 2 Dieu dac biet là Pn(0) chua càe bàt bién Dickson va viéc t à p sinh toi thiéu n h u A - módun cùa dai so Dickson vàn là bài toàn m a Két qua này tuy chua tìm d u g c mot tàp sinh tói thieu n h u A - módun, vàn co n h ù n g dóng góp nhàt dinh vào viéc khào sàt bang t u Yn{0) va buóc dàu eung càp mot thóng
tin cho bài toàn m a ve dai so Dickson dò Tiép dén, chùng tòi tìm d u g c mot phép t u a n g ù n g 1-1 giùa tàp day dù góm càe bieu dién bàt khà quy cùa P*n
trén Fp va tàp góm càe da thùc d a n he bàt khà quy f{x) co bàc d trong Fp[x] sao cho e? I n va f{x) ^ x Ngoài ra chùng tòi bò sung khang dinh cùa Harris, nghla là chùng minh dj £ FplGn]-
Trong chuang 2, vói m | n chùng tòi mó tà phàn rà on dinh cùa B{Z/p)1 qua biéu dién modula cùa nhóm Fj% vói phép nhùng cùa Fj% vào F*n nào dò Khi 77? = L B{Z/p)]l d u g c phàn rà thành p - 1 hang t u m a càe p h à n t u lùy
dàng t u a n g u n g dugc mó tà t u ó n g minh va dieu thù vi nhàt là do bòi cùa càe bang t u khòng phàn tich dugc trong moi bang t u này déu d u g c biét dén Khi 777 = 77 chùng tòi mó tà su xuàt bién cùa mot so bang t u khòng p h à n tich
dugc cùa B{Z/p)\ trong càe bang t u r„(7) (cùng n h u trong i;(.?)) Dac hict khi p = 2 va 77 > 3, chùng tòi chùng minh dugc ràng moi bang t u Yn{j) luón
luón chua it n h à t mot hang t u Steinberg
Trong chuang 3, chùng tói tìm d u g c mot so két qua ve m a tran C a r t a n de
phuc vu cho bài toàn phàn rà on dinh cùa B{Zjp)\ Dàu tién chùng tòi mó tà
cu the m a tran Cartan C va G' cùa Fp\M^{Zlp)\ va Fp\GL^{Zlp)\ khi n = 2
va p là sÓ nguyén tÓ bat ky Khi n > 2, chùng tòi d u a ra mot sÓ thòng tin de xàc dinh cu the mot so phàn t u cùa m a tran cartan C va G'
Trang 6òn dinh va n h ù n g phàn t u luy dàng trong vành càe ành xa o n dinh d u g c mò
tà Ké dén, chùng tòi tóm tàt mot so két qua t u ly thuyét bieu dién tóng quàt cùa càe dai so Cuoi cùng chùng tòi nhàc dén mot so khài niém va ket qua ve
Fp[Mr,{Z/p)]- va Fp[GL„{Z/p)]-hìéu dién
K Y H I É U
Trong suót luan àn này, chùng tói su dimg càe quy u ó c ve ky biéu sau day
Fj,n: t r u ó n g dac so p co p " phàn t u
F%: nhóm nhàn góm eàc phàn t u khà dào trong Fpr,
GaI{Fj,T, /Fp): nhóm Galois cua truóng Fpn trén Fp
G„ = P^*n xGal{Fp^/Fp): tich n ù a truc tiép cùa F'n va GaI{FpT,/Fp)
Mn — Mn[Z/p): vành càe m a tran vuóng càp n lày he so trén Z/p
Fp[M„]: vành n ù a nhóm cùa n ù a nhóm nhàn M ^
GLn = GLn{Z/p): nhóm tu3'-én tinh tong quàt trén {Z/p)^
Fp[G]: vành nhóm cùa nhóm G, vói G là mot nhóm con cùa nhóm
GLn-E[UQ, ,Wn-i] (t.u Fp[tQ, , ^ n - i ] ) ky biéu là dai so ngoài (t.u d a thùc) co n phàn t u sinh UQ, ,Wn_i (t.u t o , ,tn-\) trén Fp
H = H*{B{Z/p); Fp) d u g c xem n h u là mot módun trén dai so Steenrod A
v à v i é t J7®" ^Fp[to, ,tn-i]^E[uo, , t / „ _ i ] , vai fiiuk) = tk vkV\tk) =
ti- Chù y ràng J?®" là doi dong dieu cùa BiZ/p)""
Trang 70 1 P h a n tur l u y d à n g va phàn rà on d i n h
Trong doan này, chùng ta sé thày bài toàn tòpo ve p h à n rà òn dinh BPJ^
( P là mot p-nhóm) thành càe bang t u két d u g c quy ve bài toàn thuàn tuy dai
so ve phàn tich phàn t u d a n vi cùa vành -4(P, P ) ^ thành mot tong cùa càe phàn t u luy dàng truc giao Bang càch nghién cùu cu the càu trùc nhàn cua vành 4(P, P ) d u g c cho bòi May [27], bài toàn này d u g c Harris quy ve bài toàn dai so de h a n là phàn tich phàn t u d a n vi cùa Pp[End(P)] t h à n h mot tóng càe phàn t u luy dàng truc giao [17]
\ ' e khài niém pham trù on dinh, chùng tói t h a m khào a [32] Dac biét càe dinh nghla ve pho, ành xa òn dinh, két, telescope, v.v co the tìm thay à dò Vói eàc khòng gian d u g c dành dàu X va }', ky biéu {X Y} là nhóm càe ành
xa òn dinh t u A' vào F , nglùa là nhóm càe ành xa giùa càe phò treo cùa chùng
j ^ o o ^Y^ Y°^ ^']- Khòng gian dugc dành dàu A' va phò treo cùa nò Yl ^ *3cu
d u g c ky biéu là A" Trong truóng hgp A'' = V {A' A*} là mot vành Vói e là mot phàn t u cua {A' A'}, ky bieu eA' là telescope Tel(A' —^ A' -^ A ' )
D I N H LV 0.1.1 ([20], 2.1) (i) Co mot tuang ùng 1-1 giùa càe jìluni tich phan
tu luy dàng l — Y^i tTong {X X} va càe phàn ticli két X :^ VXj
(ii) Cho ( va e' là càe phan tu luy dàng trong {A' A'} Khi dò tX C:^ t'X néu
va cliì néu e{A', A^} = e'{A', A''} nhu là càe {X,X]-módun phài
DjNH LY 0.1.2 ([17], 1.6) Clio P là mot p~nhóm Khi dò co mot tuang
ùng 1-1 giùa càe tap gòni càe phan tu luy dang trong { P P + , P P + } va trong
{ P P + , P P + } P , trong dò Op là mot day dù hoà p-adic
Bay gió két qua cùa du doàn Segai sé d u g c mó tà Chùng tói b a t dàu vói
dinh nghla ve nhóm Burnside A{G, G'), trong dò G va G' là n h ù n g nhóm h ù u han bàt ky Ky bieu A'{G, G') là tap càe lóp t u a n g d u a n g cùa càe G x G'-tàp
G ' - t u do h ù u han T a p này tao thành mot mónòit cong vói phép toàn hgp rói
Trang 8Goi 4(G G') là nhóm Grothendieck cùa mònóit nà}' Khi dò 4(G G') là nlióm
aben t u do vói ca so là eàc G x G'-tap G'-tu do truyén ùng càe tàp này eó the d u g c mó tà bò*i
dinh nghìa này, a là mot dóng càu vành
DlNH LY 0.1.3 (Dlf D O À N CÙA S E G A L [5],[26]) Néu P là mot p-nhóm thì
o;:A{PP);^{BP+.BP+};
là mot dàng cau vành
T u eàc két qua trén, Harris dà chùng minh d u g c rang
D I N H LY 0.1.4 ([17] l S ) Cho P là mot p-nhóm khi dò (i) càe phàn rà on
dinh cùa BPJ^ tuang duang vói càe phàn ticli phàn tu luy dang truc giao cùa phan tu dan vi trong A(P, P)^ va (n) mot hang tu on dinh là khòng phàn tich dugc néu va clu néu phàn tu luy dang tuong ùng là nguyén thùy
Nhó dinh ly sau va Bo de 2.1 trong [17], Harris d à quy bài toàn ve viéc
nghién cùu vành h ù u han A{P,P) 0 Z/p, vói P là mot p-nhóm
Trang 9D I N H LY 0.1.5 ([14], 3.4) Néu 1 = 6i -f • • •-htk là mot phàn tich thành nhùng
phàn tu luy dàng truc giao trong A{P,P) ® Z/p, thì ton tai càe phàn tu luy dàng e, G 4(P, P ) ^ vói TT{e,) = e,, sao cliol -éi -\ \-tf, là mot phàn tich thành nhùng phàn tu luy dàng truc giao trong A{P, P)p-
(Ò day TT : A(P, P ) ^ —* A(P, P ) (g) Z/p là phép cliiéu.)
Bang càch nghién cùu càu trùc nhàn cùa A{P, P ) , Harris d à tìm d u g c mot
d a n càu i : Fp[End(P)] —> 4(P, P ) 0 Z/p va két qua sau:
DINH LY 0.1.6 ([17], 2.7) Clio P là mot p-nhóm aben (i) Néu 1 ~ Ci-f-
f-e^-Jà mot phàn ticli thành nhùng phàn tu luy dàng truc giao trong Fp[End{P)],
thì 1 = i(ei ) + •••-!- t{e^) cùng là mot phàn tich truc giao trong A{P, P) ® Z/p (ìi) Néu càe Ci là nguyén thùy thì càe i(e,) cùng là nguyén thùy
T u eàc ket qua trén va eàc ành xa
P , [ E n d ( P ) ] ^ ^ 4 ( P P ) ; - Z / P ^ ^ 4 ( P P ) P ^ ^ [BP^.BP^]
de dàng thày rang néu e là mot phàn t u luy dang trong Fp\Ei\c\(P)] thì i{( ]
là mot phàn t u luy dàng trong 4(P P ) (_•: Z/p khi dò tón tai mot phàn t u luy dàng e trong -4(P, P ) ^ sao cho - ( ? ) = /.(e), cuoi cùng e» = a{e) là mot phàn t u lùy dàng trong {BP^.BP^}
D I N H LY 0.1.7 ([17], 2.8) fij A'eu e , , ,tk là nhùng phan tu luy dang trong
Fp[End{P)] vói Y e: = 1- thì BP^ ~ e,,BP^ V V e^^BP^ là mot phan rà
on dinh cùa BP^, trong dò càe e,* dirgc xàc dinh nhu trén, va (ii) càe d là nguyén thùy néu va chi néu eàc e^^BPj^ là khòng phàn tich dugc
Tuy nhién ve sau chùng ta vàn viét e P P + thay vi e^BP^
0 2 Ly t h u y é t bié'u d i é n tò'ng q u à t
Trang 10Doan này tóm t à t mot so két qua t u ly thuyét biéu dién tong quàt cùa dai
so Trong doan này A dugc cho là mot dai so h ù u han cliiéu co d a n vi trén
mot truóng A' Tón tai mot tàp duy nhàt góm eàc idéan bai phia khòng p h à n
tich dugc P i Bs gg\ là eàc khoi, sao cho A = ®f=iPn tong truc tiép cùa càe dai so ([7], 55.2) Moi khói chùa mot phàn t u d a n vi , h^, va P , = Ah^ Càe
hi là eàc phàn t u lùy dàng truc giao, thuóc tàm, tàm nguyén thùy, va 1 = ^ ò^
([7], Bài tàp 55.2) Néu M là mot A-mòdun trai bàt ky thì M = ©f^jAfòj Néu chi mot trong càe bang t u này, chang han Mò^ ^ 0, thì M d u g c goi là thuóc khói Bj Rò ràng néu M là khòng phàn tich d u g c thì M phài thuóc vào mot khói nào dò Chùng ta eó thè xem A n h u là mot 4-módun trai va phàn tich nò thành nhùng idéan trai Néu chùng ta viét A = ©,^=]Pi, vói càe Pj là n h u n g idéan trai khòng phàn tich dugc, thì Pi dirge goi là 4-mòdun khòng phàn tich
dugc cliinh Càe P, nói chung khòng duy nhàt; tuy nhién, néu -4 — ^ — ^Qj là
mot i^hàn tich khàe nhu thè, thì h = k' va P, = Q, vói moi ? Mot so tinh chat
cwa eàc módun này duge tóm tàt trong dinh ly sau
DlNH LY 0.2.1 ([7] 5 4 5 54.11, 54.13) Mot idéan P cùa A là mot niòdun
khòng phàn tich dune cliùili cua A neu va elii neu P = Ac vói e là mot phàn
tu luy dàng nguyén thuy trong A Néu P là mot A-mòdun khòng phàn tich dugc clunh thì P/p{P) là bàt kha quy, trong dò p{P) là giao cùa càe módun con Clic dai cùa P Hai A-inódun khòng phàn tich dugc chinh P va Q là dàng cau néu va chi néu P/p{P) = Q/p{Q) Moi A-mòdun bàt khà quy dang càu vai P/p{P) vói módun khòng phàn tich dugc chinh P nào dò
Do dinh ly trén, eó mot t u a n g ù n g 1-1 giùa càe lóp dang càu cùa càe
^ - m ò d u n bàt khà quy V va eàc A-mòdun khòng phàn tich d u g c chinh P{V)
O day P{V) ky biéu là j4-mòdun khòng phàn tich d u g c chinh eó V là m ò d u n
t h u a n g bàt khà quy duy nhàt cùa nò (Mòdun này t h u ó n g d u g c goi là phù xa
ành cùa V.)
Trang 11Mot 4-mòdun V dugc goi là tuyét doi bài khà quy néu m a ròng V ' la bàt khà quy vói mói m ó ròng dai so F cùa A* Néu moi A-mòdun bàt kha quy
là tuyét dói bàt khà quy thì A' duge goi là truóng phàn rà doi vói 4
D I N H LY 0.2.2 ([17], 3.5) Già su K là mot truóng phàn rà doi vói A Goi {Vj}'^j là mot tap day dù góm eàc A-mòdun bàt klià quy, Pj = P{Vj) là càe
phù xa ành cùa chùng va Uj = dimA'(V}) Khi dò A = © ^ ^ J H ^ P ^
Ma tran Cartan cùa dai so A d u a ra mot dang thuàn Igi cho viéc p h à n
ành mói quan he giùa eàc mòdun bàt khà quy va càe mòdun khòng phàn tich
d u a e chinh cùa A Theo dinh ly Krull-Schmidt, mot mòdun trai khòng phàn tich duge eliinh eó mot chuói hgj) thành va càe nhàn t u h g p thànli l)àt khà quy là duy nhàt Goi c,-^ là so làn Vi xuàt bién nhu là mot nhàn t u hgp t h àn h trong Pj Khi dò ma tran Cartan là G = (c^j), mot ma tran co / x / trén Z
DINH LY 0.2.3 ([7] 54.12) Ciio M là mot A~ mòdun trai eó mot cliuòi ha])
thành va Ac là mot niòduii khòng phàn tich dune clii'nh cua A Dicìi kién can
va du de M eó mot nhàn tu hap thành A-dàng càu vói 4c//y(.4c) là cM ^ 0
D I N H LY 0.2.4 ([7] 54.IG) Già su K là mot truóng phàn rà doi vói A Cho
M là mot A-mòdun trai Vói mot phan tu luy dang nguyén thuy e G -4 bàt ky,
so nhàn tu hgp thành cùa M ma A-dàng càu vói Ae/p{Ae) clu'nh là dim/^-(eM)
D I N H LY 0.2.5 ([7], 30.16) Già su K là mot truóng hùu han va G là mot
nhóm hùu han Cho M , A^ là nhùng KG~mòdun eó nhùng biéu dièn ma tran M,Àf tuang ùng Khi dò M va N co cùng càe nhàn tu hgp thành néu va chi néu vói moi g E G, càe ma tran M{g), Af{g) co cùng càe nghiém dac trung
Cuoi cùng, chùng ta eó nhùng két qua ve dai so nhóm Fp[GLn] va dai so
n ù a nhóm Fp[Adn]
10
Trang 12D I N H LY 0.2.6 ([20], 4.1) M„ eó p'' biéu dièn bài khà quy phàn biét trén Fp
va Fp là mot truóng phàn rà
D I N H LY 0.2.7 ([20], 4 4 ) GLr, co p'''\p - 1) bié'u dién bat khà quy phàn
biét trén Fp va Fp là mot truóng phàn rà
0.3 M ò d u n W e y l v a càe b i e u d i e n b à t khà q u y ella Fp[Mn] v a P ^ [ G i „ ]
Trong doan này chùng tòi sé de càp dén càch xày dung m ò d u n Weyl va
càe biéu dién b à t khà quy cùa M^ va GA„ trén t r u ó n g Fp Càe cóng viéc này
d u g c James va Kerber thue bién trong [21] va tiép sau dò là theo Harris va Kuhn trong [20]
Mot day khòng tàng o — ( o i , «2, • • • • cin) gom càe so nguyén khòng àm eó
tong bang r??, d u g c goi là mot phàn hoach cùa 777 P h à n hoach a này eó the dugc minh boa bang biéu dò Young [a] t u a n g ùng bao góm 777 nùt x dat tai eàc bang Hàng t h ù / cùa [a] bao góm o, nùt 1 < ? va moi bang dcu l^àt dàu
tai cùng mot còt Càe dò dai Q^ cua càe còt cua [a] tao t hà nh mot phàn hoach
o ' = (o j - a ' , ) khàe cùa 777 Phàn hoach o' này dugc gpi là phàn hoach lién
két vói a !Mot o-bàng eó dugc t u [a] bang càch thay thè càe nùt x cùa [o]
bài eàc so i cua { 1 , , rn} Mot bang Young suy ròng eó dang [a] va nói dung (/?! /?2 - • • ) co d u g c t u [a] bang càch thay càe nùt cùa bieu do b a n g n h ù n g so nguyén d u a n g sao cho so nguyén i xuàt bién dùng 0j làn Mot bang Young suy ròng d u g c goi là n ù a tiéu cliuan neu càe so theo mòi bang là khòng giàm tinh
t u trai sang phài va theo moi còt là tàng thàt su tinh t u trén xuóng duói
Cho W là khòng gian vecta n-chiéu trén t r u ó n g F bàt ky, vói ca s a
wi,W2, • • • i ^ n trén dò GLn{F) tàc dong theo càch t u nhién Ky biéu L*"^* là
tich tenxa m làn cùa W GLn{F) tàc dóng lén A^""^ bang tàc dòng chéo va Sm tàc dóng lén L^^' bang hoàn vi eàc chi so
Trang 13Vói phàn hoach Q = (O] G„ ) cùa rn, dat
V " = ^ (sgn^JTT ,
1 *;
trong dò (G^ a'f.) là phàn hoach hén két vói a Néu c h a r P = 2 va G là
2-ky di (nghia là, G , + ] ~ QI+2 > 0 vói i > 0 nào dò), dat
W = {u' e L^"^^ I sw = 0 vói moi s e FS„, sao cho sV'w'' = 0} H V^I^"'*
Trong mpi t r u ó n g hgp khàe dat
W = {w e A*"'* I sw = 0 vói moi s G P 5 „ , sao cho sViv'' = 0}
Vi tàc dóng cùa GLn(F) giao hoàn vói tàc dóng cua 5„, lén L^'"'\ W^ là mot
G Z „ ( P ) - m ó d \ m Nò dirge goi là módun Weyl
\ ói moi hang "^ouiig suy róng T co dang [o] goi T ( 1 ) T ( 2 ) T{ni) là
eàc so bang trong T theo tln'r tu tu trén xuóng dirói cua eàc còt lién tiéj) t u
trai sang phài Dat icr = ^Ì'T{Ì) C- w'r(2) O ' • ' 0
^f'r(m)-Hai bang Tj va T2 duge goi là ttrang d u a n g hàng néu T2 eò thè nhàn d u g c
t u T] bang hoàn vi t h ù t u xuàt hien cua càe so trong mòi hàng cùa T]
Néu T là mot bang Young suy ròng eò dang [a], dat
FT ~ V^ 2^{^'Ti I Al là t u a n g d u a n g bang vói T)
D I N H LY 0.3.1 ([21], 8.1.16). {ET \ T là mot a-bàng nùa tiéu chuan } là
mot ca sa cùa W^
M È N H D E 0.3.2 ([21], 8.1.17, 2.3.19) dim^ T^^'^ = Y{,/m-i+j)/{a,-] +
a ; - z + l)
12
Trang 14M É N H D E 0.3.3 ([21], 8.1.18) Càe già tri riéng doi vói tàc dòng cùa ma tran
chéo diag(xi, , Xn) trong GLn{F) lén W^ là
{j ^ I A là mot a-bàng nùa tiéu ciiuan},
trong dò x ^ = xf ^ x^^ x^" néu T eó nói dung (/?], /92, , /3n )•
Trén W^ tón tai mot dang song tuyén <i>° sao cho <f)^{mx, y) = (j)^{x, m^y) vói 777 G Mn{F), va x,y e W^ {m^ là chuyén vi cùa m) Dat
Wl = {w e W I (f>''{w,v) = 0 vói mpi V e W}
Khi dò W^ ià mot M „ ( P ) - m ò d u n
D I N H LY 0.3.4 ([21] 8.3.7) So chieu cùa W/W^ bang hang cùa ma tran
Grain doi vói ca sa nùa tiéu ehuàii cua W^
Vói phàn hoach o = (o] o,, ) cùa in dat Ai = G^ — o,+ i vói 1 < / <
77 — 1 va A„ = G„ Khi dò chùng ta co day A = ( A] A„ ) va chùng ta eó thè
viét 5(Ai, ,A„) bay 5(A) thay vi W^ /W^ Dào lai, vói mói day A == (A, A„) góm càe so nguyén khòng àm, tón tai duy nhàt day a = {a-[, Q „ ) thoà man
Gì — a,+i = Xj (1 < 7 < 77 — 1) va Gn = A„ Khì dò Q' là mot phàn hoach cùa 777A- trong dò 777^ = Ai + 2A2 -\ h nẬ Dat
A = { ( A l , ,A„) I 0 < A ^ - < p - l , l < ^ ' < r 7 } ,
Á = { ( A l , ,A„) I 0 < Ai- < ; 7 - l , l < ^ ^ < n - l , 0 < A„ < p - 2 }
Chùng t a eó d u g e eàc két qua sau trong truóng h g p F = Fp
D I N H LY 0.3.5 ([20], §6)
Irr{Fp[Mn]) = {S^x) I A G A} , Irr (P,[GA„]) = {5^^) | A G Á} ,
Trang 15trong dò S[^^= Res^lJS^x))
Hang t u òn dinh cùa BiZ/pY^ t u a n g ùng vói S(A) (t.u 5[^j) d u g e ky biéu là A(A) (t.u Xi^.) Dae biét, goi M(77) là bang ttr t u a n g ù n g vói m ò d u n Steinberg Si ^ j Q NÒ cùng d u g c goi là bang t u Steinberg Khi dò M(77) - A(r7) V A(77 - 1) trong dò A(r7) == ^'"^ SP^^ {S^)/SPP'^~\S^) va
SP^'(S) ky biéu là tich doi xùng t h ù k cùa phò càu 5 ([31])
DINH LY 0.3.6 ([20], §6)
(i)B{Z/p)l- V dim5(A)A(A, , P ( ^ / ; ^ ) ; ^ V d i m 5 ; , , X ; ^ ^ ,
A€A AGA' f^'j) - ^ ' ( A i , , A „ _ , , 0 ) - A'(A, A , _ , ) '
0'0'^'iX, A„) - V ( A , , , A ) , i ^ e u 0 < A„ < p - l ,
(^^') - ^ ( A , A „ _ , 0 ) - - ^ ( A , A „ _ , 0 ) V A ( A , A , _ j , ; - ! ) •
H E QUA 0.3.7 ( i j d i m 5 ( \ ^ ^^^^ = d ì m 5 ( A , A.) néu 1 < A„ < ;) - 2 va
^ " ^ ^ * ^ ( A , A _ , U ) = ^ Ì " i ' ^ ( A , A , , 0 ) = d i n i 5 { A , A „ _ , , 7 - ] )
(ii)àìmS^x, A,) < dim5(A, A O
o}-C H I ^ N G MINH: (i) co duge t u Dinh ly 0.3.6 va dinh ly KrulbSclunidt (ii) eó
d u a c t u càe Dinh Iv 0.3.1 va 0.3.4
14
Trang 16Chircrng 1
CAC HANG T i r CAMPBELL - SELICK
Trong [8], Campbeh va Sehck d u a ra mot phàn rà t u nhién cùa if®" t h à n h mot tong truc tiép cùa (p" - 1) >il-mòdun, goi là càe bang t u eó trong lugng
P „ ( j ) vói j G Z/{p^ - 1)- Càe bang t u này dac biét de làm viéc vi chùng
co càe ca sa góm eàc d o n thùe trong mot dai so h ù u han sinh nào dò B a n g mot két qua cùa Adam, Gunawardena va Miller ([3]), eàc bang t u eó trong lugng cùa Campbell va Sehck này cho mot phàn tich cùa p h à n t u d a n vi trong
Fp[Mjj] thành mot tong cùa p" — 1 phàn t u luy d à n g t r u c giao T u Phàn
0.1 cùa C h u a n g 0, chùng ta thày dieu này dira dén mot ])hàn rà òn dinh cùa
B(Z/py^ thành p " — 1 bang t u két Trong [16], Harris mò tà eàc bang t u này
nhu là két qua chinh, chùng duge ky biéu là V„(j), vói j G Z/[p^^ — 1) va
goi là càe bang t u Campbell - Selick De làm dieu này, Harris d u a ra mot
tàp góm càe phàn t u lùy dàng truc giao nguyén thù}' d.j trong P^,[G„] càm sinh phàn rà cùa Campbell va Sehck, do dò càm sinh eàc Ynij) ( à day P*n va
Gn = F*r xGal{Fpn/Fp) dugc xem là nhùng nhóm con cùa n h ó m GLn{Z/p))
T h à t ra càe phàn t u d^ khòng phài d u a n g nhién thuóc Fp[Gn] n h u Harris trình bay T u viéc mò tà cùa Campbell va Selick de dàng t h à y r à n g Yn{j) ~ V„(jp): Harris dat Yn{i) ~ Yn{i) V V Yn{ip''''^) trong dò z^ là so m ù k d u a n g nhó nhàt vói ip^ = i(mod p " - 1) Harris con d u a ra mot t a p góm eàc p h à n t u lùy dàng truc giao nguyén thùy / , trong Fp[F^n] càm sinh eàc bang t u két Yn(i) Càe / : duge mò tà t u ó n g minh trong khi eàc dj thì chua va su x u à t bién cùa càe bang t u khòng p h à n tich d u g e cùa B{Z/p)'^ trong Yn{j) va Yn{i) r a t khó
xàc dinh
Trang 17l a m a tran chéo diag(uJ L^''' - ' ' ' " ' ' ) trong GLn[Fp^^ )• M a ròng B mot càrh
nhàn tinh dén dai so da thi'rc chùng ta eó
B:Fpn[tQ ^ , _ i ] = Fpn[xo , j : r , - i ]
Càu trùc A d a i so cùa Fp[to tn-i] <3ugc m ò ròng dén Ap" [to ^7-1]
de tàc dóng cùa A là A;,^.-tuyén tinh Tàc dòng càm sinh cùa A lén eàc ,r dugc cho bòi V^{x,) = x^_^ trong dò eàc chi so duói d u g c lày theo modulo
77 Àp dung cóng thùc Cartan Fp[xo, ,Xn_i] là mot >l-módun con cùa
Fpn [io tn-i]- (Néu p là le, toàn t u Bockstein tàc dóng t à m t h u ó n g , va néu
p = 2.1ày V^ - Sq\) Trong [8] Campbell va Selick d à chùng minh ràng
(1.1.1) Fplxo, ,Xr,-i] = A,,[to tu-i] (dang càu A - módun)
Chùng minh su dung phép hg]:» thành
t\, :Ap[zo x „ _ i ] ^ A , , - [ T O , ^ H - i ] ' Fp»[ti) ^,_]]
A
Fj,[iu ^ , - i ]
t r o n g d ò A : A,,n [to t„^]] » Fpri[to t„ \] d u g c cho hai X{y) = u:y
~\-o (>*.'(/) + ••• + </'" i^y)- Chù y ràng A là ^-tiiyen tinh ma khòng là nhàn tinh
\''l DU 1.1.2: Vói p = 2 va 77 = 2 3 , 4 , 5 , 6 , tìm d u g c mot càch de dàng càe da thùe bàt khà quy p{x) G F2[x] sao cho nghiém LJ G A2n cùa chùng thoà man
ord(u;) = 2" — 1 va {UJ.O;^, U:' } là mot ca sa cùa Fo^ trén A2
Trang 18Mot ca sa mói {yo , y n - i } <3ugc xàc dinh t u {UQ, Un-i] gióng
nhu { x o - 2:„_]} duge xàc dinh t u {io, - , t r , - i ) - Vói /?(yA-) = x^t, (1.1.1)
duge m ò ròng dén dàng càu A m ò d u n Ap[xo ^ n - i ] &E[yo, yn-i] —
Fp[to i „ _ ] ] c ó A [ u o t / „ - i ] Dat P„ (t.u P A „ ) = A^[.ro , x „ _ i ]
(t.u A^Jxo x „ _ i ] ® A[yo, - -Vn-i])- Dinh nglùa eàc trong l u g n g 1^(777)
trong Z/{p" - 1) doi vói càe d a n thùe 777 trong PA,, bó'i u ' ( l ) = 0 iv{xi;) —
uiyt,) = ; / va iv{y=) = w(y) + w{z) Goi P„{j) (t.u PE,,[j)) là khòng
gian con cùa P„ (t.u PE^^) nhàn càe don thùe eó trpng krgng j làm ca so
T u dóng càu x/ —> x/_j.] cùa P„ chùng tò rang P „ ( j ) (t.u PEr,{j)) dàng càu vói P„(7j>) (t.u PEnUp)) Dat P„(7) = P „ ( ? ) e - - 0 P „ ( 7 y ' - i ) (t.u PA„(7) = PEn{i) e • • • e PA,,(7j:7-'"~^ )) Néu dat Z/77, = < < / » > tàc dóng lén
Z/{p^ — 1) bài 4>{i) = ip thì P n ( 0 (t.u PEn{i)) eó the d u g e mó tà n h u sau
Goi Ji là quy dao chùa z, va I là tàp gom mot phan t u t u mòi qu}- dao Khi
dò P „ ( 0 - ^jeJiPnU) (t.nr PA„(2) = ^J^J,PEr^{J)), z, là bàn so cùa J,, va
Pn = ^iei^n(i)- Vi P^ bào toàn trong lugng (va ^ tàc dóng t à m t h u ó n g néu
p > 2) nén co mot phàn rà
P„ (t.u P A „ ) = e Pnij) (t.u e PEnU))
Trang 19n h u là càe >4-mòdun Phàn tich này cho mot càu trùc P7,(0) (t.u P A „ ( 0 ) ) - d a i
so phàn bàc co bò sung trén P„ (t.u P A „ ) Dang càu (1.1.1) là mot d à n g càu
>^-mòdun chù khòng phài là mot d a n g càu vành Nò cam sinh mot d à n g càu
>l-módun (khòng là dang càu vành)
P„(0) ^ (A;,[io, tr^^iD^r- ,
P A „ ( 0 ) ^ (A;,[io, , < „ - i ] ( ^ ^ [ u o , , 2 i „ _ i ] ) ^ ^
Tuy nhién khi han che den càe bat bien Dickson, ành xa này là nhàn tinh ([19], 3.9) Do dò PAn(O) chùa mot dai so con d a thùe n h u (iif®") r" chùa dai so Dickson
Sau day chùng tòi trình bay mot so két qua ve Pn(0) khi p = 2 Mòi d a n thùc trong P„(0) co dang X = x^°x^' x ^ l - \ vói a o + 2 G i + - • - + 2 " - ^ G „ _ I = 0
(mod 2" —1) Dan t h ù c khàe hàng eó bàc nhò n h à t trong P T I ( 0 ) là xoxj x „ _ ] Dat
1 0 /
A' = {^^x 2 " - l Er^'- n-\
«7' -1 X : i r I O < ^ ^ < U - I , ^ 2 ' - ^ G , < 2 7 1 - 1
!}•
1 = 1
CHÙ-NG MINH: Xét d a n t h ù c khàe h à n g bàt ky x G Pn(0) Già s u x chua
r -h 1 nhàn t u p h à n biet x,- (0 < r < TÌ — 1) Khi dò trong t à p {^^x \
0 < ^ < 7 7 — l } c ó n h ù n g phan t u chùa nhàn t u XQ- Tón tai k sao cho
19
Trang 20^k.-^ _ ^^o^^'i _ ^^*r 1 < /" < • • • < ?r < " — 1, là phàn t u trong so càe phàn
t u dò co Qo + X^j^i 2''a,^ = (2" - 1)/ là nhò n h a t
Néu J2U^ 2'^-'Q,, < 2"-' - 2" - ' , thi
Don t h u c t h ù n h à t thuóc A", d a n t h ù c t h ù hai thuòe < X > Vi thè x G< A" >
Néu E ; = I 2 ' - ' a ^ > 2 " - ' - T ' - \ thì §'+" x = ^ o " < ' i „ < ' 1 „ x ^ l , ,
co
a „ + 2 - ^ - ' a „ + • • • + 2'^ 'Q., + 2 " - " Q O = ( 2 " - l ) / - a o ^ , „ - , ^ (2"-V),(^ + ^o) > ( 2 - - 1 K ,
2M 2*» ~
do tinh nhò n h à t cùa (2" - 1)/ Dieu này kéo theo oo > (2'^ - 1)/ va vi / > 1
chùng ta eó Oo > 2'' — 1 Bang càch chon o[ sao elio 1 < o, ^ n, 1 < 7 < 7-,
thieu Dinh ly d u g c chùng minh
C H Ù Y 1.1.4 ([1]): De biét thém thóng tin càn thiét ve dai so Pn(0), chùng ta nén biét ve chuoi Poincaré cùa nò Bang càch bién doi cóng t h ù c trong ([16], 5.1), chùng tói t h u d u g c chuoi Poincaré A ( P „ ( 0 ) ; i ) cùa Pn(0) d u ó i dang de tinh toàn h a n
Trang 21ord(w') = rf
trong dò Ù- là mot càn t h ù (2" - 1) nguyén thùy cùa d o n vi trong C Dac
biét, khi 2" - 1 là mot so nguyén tó, chùng ta eò 77 cùng là mot so nguyén tó
Khi dò ::,• = n vói mÓi i E T = I - {0}, dieu này kéo theo | / * | = ^ ^ Vi mói uj\ 1 < 7 < 2" - 2, là mot càn t h ù (2" - 1) nguyén thuy cùa d o n vi, nén
15
;9 , 1 cj8 , Aj7
+ 9i^ -h 15i° + 9i' - 23i° -h 15i" + 21i^ - 15^
-\- 15i^ - 22i + 1 5 ) / ( i - l)2(i^ - l)(i^^ - 1)
21
Trang 22MÉNH D E 1.1.5 ([1]) P2(0Ì là dai s6 F2[Q2,o^Q2^.Y]/{Q'2^ ^Q2.oY -^Y')
trong dò Q2,o- Q2.1 ^^ càe bài bién Dickson va Y = x\
CHÙ-NG MINH: Dai so Dickson trong t r u ó n g h g p n = 2 là
1.2 B i e u d i e n bàt khà quy cùa Fpu t r é n Fp
F*n là mot nhóm aben va p khòng cliia hét càp cua P*^ nén co p" — 1 biéu
dién mot ciiiéu p h à n biét cùa F\ d u g c xàc dinh trén P^' Chùng d u g c ky biéu bai P j , j G Z/{p^ — 1), vói Rj{0) = u)^ Càe phàn t u luy dang trong Fp^ [P*n] lién két vói càe biéu dién này là €j = — Y^l^~^ UJ~^^0^ ([7], 33.8) Tàc dòng
cùa Z/n =< (p > lén P " chuyén Rj t hà nh Rjp va Cj t h àn h e^p Chùng ta d à
eó J, là quy dao chùa i va / là tàp chùa mot p h à n t u t u mói quy dao Vói mói
2 G / , chùng ta co the xem i = min Ji Bang viéc dinh nghla fi = Xlv^j ^j? vói i G / , Harris d à chùng minh d u g c két qua sau:
MÈNH D E 1.2.1 ([16], 3 5 ) Vói moi i G / , ft là mot phàn tu luy dang trong
Fp[F*n] va Fp[Fpn]fi là mot Fp[F*rr]-mòdun bat khà quy
Trang 23B o D E 1.2.2 ([11])- Vói moi i G I , z, là mot uóc cùa v va z, = nùn{k > 0 |
ord[u:']\{p' -l)]
Ti
CHÙ-NG MINH: Già su 77 = qz, -h r trong dò 0 < r < _, Khi dò u-^' = u.^''' = ( ((u,'"''''' )^"'' ) - )''""' )^'^ — u)^^'• Vi z, là so nguyén d u a n g nho n h à t sao cho
uj' — u.''''*"' nén r = 0 Dieu t h ù hai duge suy ra t u (u;'^Y ~^ ~ ^''^ ' •^^~' - ^•
B o D E 1.2.3 ([11]) Tàc dòng cùa 6 lén khòng gian vecta Fp[F*n]fj co càe già tri riéng là
L.' , ti.' ' , ,LJ '
CHÙ-NG MINH: Tàc dóng cùa 0 lén Fp[F*n]f: co u-' là mot già tri riéng néu va ehi néu P^» [Epn]ej là mot nhàn t u h g p thành cùa Fp» [F*n]fj Dieu này xày ra néu va chi néu Cjfj 7^ 0 (Dinh ly 0.2.3) Vi càe (j là truc giao nén r^/, ^ 0 néu
va cln néu j G Ji
DINH LY 1.2.4 ([11])- Co mot phép tuang ùng 1-1 giùa tàp day du gòni càe
bieu dièn bat kha quy cua F% trén Fp va tap gom eàc da thùc dan lir bat kha quy f{x) co bàc d trong Fp[x] sao cho d \ 7? va / ( x ) ^ x
CHU-NG MINH: T u Ménh de 1.2.1, Bo de 1.2.3 Dinh ly 0.2.5 va Eie/-/"^ =" 1^
chùng ta co d u g c mot phép t u a n g ù n g 1-1 giùa tap góm càe biéu dién bàt khà
quy cùa P*n trén Fp va tàp góm càe day (UJ\LO^^\ . UJ^^' ' )^ "^ ^ P
Vói i G P dat / , ( x ) = (x uj'){x i^^'^') (x u:'^''~') Vi (x
-(u;')^) (x-(u;^^-''"^)^) = / , , ( x ) n é n / , , ( x ) G P p [ x ] Già s u / , , (x) - p(x)/7.(x),
trong dò p(x), h{x) G Fp[x] va u>^ là mot nghiém cùa g{x) Khi dò UJ\ O,'^^, ,
Lo^^ ' là z^ nghiém p h à n biét cùa ^ ( x ) , vi vay /7(x) = 1 Do dò / ; là mot d a
thùe don he b à t khà quy co bàc Zi trong Fp[x] vói z^ \ n (Bo de 1.2.2) Vói
i.i' G / , rò ràng ràng fzii^) = /z,-, (^) néu va ehi néu i ~ i'
23
Trang 24Cho /rf(x) là mot da thùc d a n he bàt khà quy eó bàc d trong Pp[x], trong
6.6 d\n va / ^ ( x ) 7^ x Già su LO' là mot nghiém cùa / d ( x ) Khi dò uj' e< LJ >
nghìa là tón tai ? G / sao elio LO' G {U-'' LO'^'^ } Già su u:'.u;'^' a*'''
là e/' nghiém phàn biét cùa / ^ ( x ) , trong dò d' = mm{k > 0 | u.^' = a-'?' } Tuang t u nhu trén (x - a ; ' ) (x - LO'^ ) là mot d a t h ù c dcm he bàt khà quy eò bae d' trong Fp[x] va nò là mot uóc cùa / ^ ( x ) Do dò d' = d - z, Dieu
ClU'-NG MINH: TU mot két qua eò dién (xem [25]) ban so cùa t à p góm càe da
thùe d a n he bàt khà quy eó lìàc d trong Fp\.r] sao cho d \ 77 là ^^/i„ i''(r/)- trong
dò v[d) ~ ^ X^rf'irf/'(^')7^~ ^'^^ ì' 1^ bàm Mòbius :
( 0 néu 777 chia hét cho q~ vói q là mot so nguyén tó nào dò
(—1)'" néu 777 là tich cùa 7' so nguyén tó phàn biét,
1 n é u 777 = 1
Két qua d u g c kéo theo t u dieu này va (1.2.4)
1.3 B i e u d i é n m o d u l a ciia F*nxGal{Fpn/Fp)
Dat Gn = F*n xGal{Fpr./Fp), khi dò
va nò là mot nhóm con cùa GLn{Z/p) Goi A" là mot t r u ó n g so dai so va là mot t r u ó n g phàn rà doi vói G„, Q{ ' ^ \ / r ) là mot t r u ó n g n h u thè Goi R là
Trang 25vành eàc so nguyén dai so trong Á, va P là mot idéan nguyén tó trong R vói
p là so nguyén tó duy nhàt trong P Truóng A" = R/P là mot t r u ó n g h ù u
han va cùng là mot t n r ó n g phàn rà doi vói G„ Goi I- là mot càn t h ù (/)" - 1 ) nguyén thùy cùa d a n vi trong Á, nò d u g c chon sao cho pr{Cj) = u: trong dò
pp • Ji —^ Jl/p là phép ehiéụ Goi 7^ là mot càn t h ù 7? nguyén thùy cùa d a n vi
trong Á Vói mèi ? G / , va Á = 1 , , r, = f- Á[G„]-biéu dièn f^tc duac xàc
dinh bài eàc ma tran
Càe f,; là bàt khà quy, phàn l)iét va tao thành mot tàj) day du càe biéu dién
l)àt khà quy cùa Gj, trén Á ([IGj 3.14) Goi Tjk là 7v'-l)iéu (hén cua G,> d u g c xàc dinh giòng nlnr F,;- clu viéc thay làn lugt Z va u hai uo va ;/ = }>^'(Ì^) trt)ng eàc ma tran cùa (1.3.1) Chù y ràng 7/ là mot càn t h ù -^ nguyén tlniy eua dcni
vi trong dò 7/ = ^7;' vói [s.p) = 1 Goi s, là so nguyén sao cho 7-, = j - = •^(/>"'
va (.s.;7) = 1
C H Ù Y 1.3.2: Vói Á = QC^), trong dò a là mot càn t h ù (p" — \)n nguyén thùy cùa d a n vi trén Q, chùng ta eó Á = R/P = Fp{a) trong dò a = pr(a) là mot càn t h ù [p" — l)s nguyén thuy cùa d a n vi trén Fp ([7] p.5S8) Do dò néu Á' là so nguyén d u a n g nhò nhàt sao cho p^' = l ( m o d (p" - 1).^) thì Á = P^Ậ
MÉNH D E 1.3.3 ([16], 3.16) (i) Càe Ta là bat khà quy, va (ii) {T,k \ r e
Fk — 1 , ,5,} là mot tàp day dù gòni càe bieu dien bat khà quy cùa G„ trén
K
MÈNH D E 1.3.4 ([11]) Già su n co phàn ticli thành nhàn tu nguyén to là
n = p^^ , p^' trong dò pi = p Khi dò so càe biéu dién bat khà quy cua G„
25
Trang 26trén K là
E E v-''v^r'''' -vV-^'' p"' •'' +(-irp
0 < ^ , < Q , 1 < I ] < - • < l r < '
~vV -vT
CHÙ-NG MINH: T u Ménh de 1.3.3, chùng ta thày rang so càe biéu dién bàt
khà quy phàn biét cùa G„ trén A' là Xlie/-^^ ~ S d | n Sr,=(f'^'- -^^^ '^^^ "^^^
so d ~ Pj ' p / cùa 77 Vói r, — d, chùng ta eó T: = p"^ ^ • • -vV ' "^'^
5, = p^'~^' p j " " ^ ' Theo Dinh ly 1.2.4 va He qua 1.2.5, so càe 7 sao cho
Zj = d > 1 là 4'>{d), va so càe ? sao cho e, = 1 là p — 1 Dieu này suy ra ket qua
mong muón
B ò D E 1.3.5 ( [ i l ] ) Già su n eó phàn ticli thàjih nhàn tu nguyén to là n —
; ; p p ^ ' iroji^" dò p\ — p Khi dò vói càch sàp xep theo cliieu tàng cua eàc
uóc so cua 77 ma tran Carian C cua eàc biéu dièn modula cua Gj, là mot ina tran cJico goni (oi -h l ) ( a , -j- 1) klioi trong dò klioi tuang ùng vói uóc so
d = 1 là ma tran
r à khoi tuang ùng vói uóc so d = p-^^ • • -Pt' > 1 ^à ma tran
(a day kljn dugc hieu là m a iran cliéo ed m x m vói càe phan tu trén duón<^ chéo déu bang k)
CHÙ-NG MINH: Fa-, Fa- d u g c sàp t h ù t u theo chieu tàng cùa càe uóc so
r,-cùa 77, va theo chieu tàng r,-cùa k vai moi i Vói Zi — p^^ .pf% chùng t a eó
Trang 27Do dò trong ma tran phàn tieh D còt x,,^- tirang ùng vói F,.^ là:
t r u ó n g phàn rà dói vói G„ Thàt vay, goi C*''^' (t.u (f^-^M là dac t r u n g cùa
K[G,,] (t.u A'[G„])-niòdun bàt khà quy T,^ (t.u F,,;^.)- T u (1.3.1) chùng ta
co _,
( I^"' -h Z^'"^' + • • • + I ' " ' ' ' " néu r = 0
C<'-^*((9'v/') = ì r/ -.(;."' + i:^-;'4- + ::)-?"-•-') n é u r = c,
\ 0 trong càe truóne; hgp khàe
trong dò 7 G / va h ^ 1 7-, ^ ^ Dat H',, = I-'" + ••• - h l ' " ' ' ' ^ ' " ' v/i
i r „ , = p7-(Tr„i) thì i r „ , G P,, vì ir/^'^ = ir,,, Do dò chùng ta co d u g c
f ir», néu 7' = 0,
0 trong càe t r u ó n g h g p khàe ,
trong dò z G / va A' = 1 s^
T u dinh nghìa cùa Tik chùng ta co dimA-(F,j^-) — | J, | Do dò t u càe
Dinh ly 1.3.3 va 0.2.2, tón tai càe phàn t u lùy dàng truc giao nguyén thuy
{^ijk I z G 1,3 G J , , v à k = 1, ,.s,} trong K[Gn] vói Ylij^k ^^jk = 1- Harris
d à chi ra r a n g fi = Y^j^f^ ^ijk vói mòi i G / ([16], p l l 2 ) Cùng trong [16], Harris
dinh nghla
dj = ^ €ijk ,
27
Trang 28a co
YnU) = d,B{Z/p)l
Yn{^) = f^B(Z/p)l
vai j G Ji va 7 G A Yj,{j) dugc goi là bang t u Campbeh - Selick Chùng te
ngay Yn(i) ^ V^^J.-^ »(.?)• va so càe hang tu Yp) bang biéu thùc trong (1.2.6)
trong dò vói mói j G Ji, aV là so làn càe biéu dién Pp[P^*n]/, xuàt bién trong
mot chuói hgp t h à n h cùa Res^.^"5|;^j
Vi Pn(j) (t.u PEnU)) = PnU]>) (t-ir PEn{jp)) ncu t ù càc két qua trén
chùng ta eò r „ ( ; ) = Ynijp)
Trong dinh ly duói day, chùng ta sé thày càe phàn tir lùy dàng dj d u g e
xàc dinh trén Fp (chù khòng pliai d u a n g nhién thuoc Fp\Gn] n h u Harris trình
bay trong [16]) mac dù càc phàn t u lùy dàng e^jf^ a trong A"[G„]
D I N H LY 1.3.9 ([11]) Vói j e Ji, dj e Fp[Gn]
CHUANG M I N H : Chi càn chùng tò eàc bieu dién K[Gn]dj eó eàc dac t r u n g trong
Fp ([18], 1.17) Chùng ta eó I\[Gn]dj = © ^ L j I\[Gnhjf: Theo Bo de 1.3.5,
mói bang t ù I\[Gn]^ijk co Fa- là n h à n t ù h g p t h à n h duy n h à t vói dò bòi
bang dìm{K[Gn]^ijk)/^i va dìm{K[Gn]€tjk) = dìm{K[Gn]€rjk') vói moi k^^' G
{ 1 , , 5 i } Khi dò két qua d u g c kéo theo t ù ([7], 30.7), Chù y 1.3.6 va dang
thùe 7^*' -h ^^'' H \- ?^*'"' = 0
Trang 29CHÙ Y 1.3.10 ([11]): F)é dàng thày ràng càe phàn t ù lùy dàng /, thuòe tàm cùa A'[G„], vì vay /v [G„] dàng càu vói 0 , ^ ; A'[G'„]/, duói dang eàc vành Nói chung- mot so trong càe / , khòng là t à m nguyén thùy va eó thè duge phàn tieh thành tóng cùa n h ù n g phàn t ù lùy dang khói Diéu này eó the dugc xàe dinh
t ù bang dac t r u n g phùc (xem [7] §85)
Theo ([7], 86.13), mói phàn t ù lùy dàng khói 8j trong A'[G„] dugc xàc
dinh nhu sau
1
(1.3.11) èj ^Y^pr[hjr)Cr , h,r E c,c*"^vrM
T k€Bj
O day Bj ky biéu là khói cùa A'[G„] t u a n g ung vcd 6j Xr là mot phàn t ù cùa
lóp lién hgj) Cr cua (?„, va Cr là tóng cùa càc phàn t ù cùa
Cr-Trong càe vi du sau day chùng tòi mò tà cu the càc phàn t ù lùy dàng khói
trong A'[G„] vói 7? = 3.4.5 va p — 2
Trang 30Do dò t ù (1.3.11) eàc phàn t ù lùy dàng khói cùa /vfGs] là
S^ = Ci -h C2 + C3 -h i^^C4 + J^Cs , ^2 == Ci + C2 + C3 + UC4 + 1^'^Cs , 6^ =r Ci + C2 + C3 4- C4 + C5 , (^4 - Ci + Ca , (^5 = Ci + C2
Va càe phàn t ù lùy dàng / , thoà man:
/o = <5i + <^2 + ^3 , fi = ^4 ^ fa = h •
VI DI' 1-3.13 ([11]): Vói 77 = 4 and p = 2 eó duy nhàt mot da thùc thoà
man nhu trong Vi du 1.1.2 Khi dò C4 eó 9 lóp hén hgp Ci ~ {1},C2 =
1 -2
1
w, 'Ws