Một số vấn đề xung quanh dạng đại số của giả thuyết cổ điển về lớp cầu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- NGÔ ANH TUẤN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... ĐẠI HỌC Q

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGÔ ANH TUẤN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGÔ ANH TUẤN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH DẠNG ĐẠI SỐ CỦA GIẢ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ LỚP CẦU

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng

Lời cảm ơn

Tôi cảm ơn sâu sắc GS TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng, người đã truyền đạtnhiều bài học quí báu và tạo những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiêncứu

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lê Minh Hà, TS Võ Thị Như Quỳnh và

TS Phan Hoàng Chơn đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý và cung cấp cho tôi nhiều tàiliệu phong phú

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô

đã giúp đỡ và có những lời khuyên quí giá trong việc nghiên cứu Khoa học Tôicũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên Hà Nội

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình tôi, những người luôn ủng

hộ và giúp đỡ để tôi yên tâm làm việc

Bảng kí hiệu

F2 Trường với 2 phần tử

Vk 2- nhóm abel sơ cấp hạng k

BVk Không gian phân loại của nhóm Vk

GLk = GL(Vk) Nhóm tuyến tính tổng quát của Vk

H∗(X) Đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2

H∗(X) Đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2

A Đại số Steenrod (modulo 2)

Ext∗A(F2, F2) Đối đồng điều của đại số Steenrod

T orA∗(F2, F2) Đồng điều của đại số Steenrod

Mở đầu

Xét đồng cấu Hurewicz H : πs

∗(S0) ∼= π∗(Q0S0) → H∗(Q0S0), trong đó Q0S0 làmột thành phần liên thông của không gian vòng lặp vô hạn Ω∞S∞ = limnΩnSn

với tôpô compact mở Giả thuyết cổ điển về lớp cầu dự đoán rằng chỉ có cácphần tử với bất biến Hopf bằng 1 và các phần tử với bất biến Kervaire bằng 1nằm trong ảnh của đồng cấu Hurewicz (Xem Curtis [8], Snaith-Tornehave [34],Wellington [35].)

Trong công trình [22], Lannes và Zarati xây dựng các đồng cấu

k > 2 (xem [11]) Giả thuyết này được biết đến như là dạng đại số của giả thuyết

Sau đó, Nguyễn H V Hưng [13] đã xây dựng một biểu diễn ở cấp độ dây chuyềncho đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati vào năm 2001 Cụ thể, ông khẳng định

rằng phép nhúng Dk ⊂ Γ∧

k là một biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫucủa đồng cấu Lannes-Zarati Trên cơ sở định lý này, giả thuyết về sự triệt tiêu củađồng cấu Lannes-Zarati với k > 2 tương đương với giả thuyết nói rằng nếu q ∈ Dk+thì [q] = 0 trong T orAk(F2, F2) với k > 2 Do đó, hình thức tương đương nói trêncủa dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu chỉ ra một con đường chứng minh giảthuyết đó mà không cần dùng tới sự xác định tường minh của nhóm Extk

A(F2, F2).Nhắc lại rằng, cho tới nay nhóm Extk

A(F2, F2) mới chỉ được xác định tường minhcho các bậc đồng điều k ≤ 5

Dạng đại số của giả thuyết về các lớp cầu đã được chứng minh trong các trườnghợp riêng sau đây:

(1) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu trên mọi phần tử phân tích đượctrong ExtkA(F2, F2) với k > 2 (xem Hưng-Peterson [16].)

(2) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ k triệt tiêu trên ảnh của đồng cấu chuyển củaSinger với k > 2 (xem Hưng-Nam [15].)

(3) Đồng cấu Lannes-Zarati thứ 3 và thứ 4 triệt tiêu trên mọi phần tử có gốcdương (xem Nguyễn H V Hưng [14] và [11].)

(4) Gần đây, Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, và tác giả luận văn này đãchứng minh trong [18] rằng đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5 triệt tiêu trên mọi phần

tử có gốc dương

Luận văn được chia làm 3 chương

Trong chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm đại sốSteenrod, lý thuyết bất biến và đại số lambda

Trong chương 2, chúng tôi trình bày cách xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati

và nói về dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu Đồng thời, chúng tôicũng trình bày lại công trình của Nguyễn H V Hưng [13] nói về biểu diễn ở cấp

độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati

Trong chương 3, chúng tôi trình bày về các toán tử squaring và ứng dụng trongnghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati Cụ thể, trong Tiết 3.2 chúng tôi trình bàylại công trình của Nguyễn H V Hưng [14] nói rằng toán tử squaring cổ điển giaohoán thông qua đồng cấu Lannes-Zarati với toán tử squaring trên đối ngẫu của hệsinh tối tiểu của đại số Dickson xem như một A-môđun Trong Tiết 3.3 chúng tôitrình bày lại chứng minh của Nguyễn H V Hưng cho sự triệt tiêu của đồng cấuLannes-Zarati thứ 3 và thứ 4 Cuối cùng, Tiết 3.4 dành cho việc trình bày côngtrình gần đây của Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh, và tác giả luận văn cho

sự triệt tiêu của đồng cấu Lannes-Zarati thứ 5

Mục lục

1.1 Đại số Steenrod 1

1.1.1 Định nghĩa và tính chất 2

1.1.2 Cấu trúc của đại số Steenrod 4

1.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda 5

1.2.1 Lý thuyết bất biến 6

1.2.2 Phức dây chuyền Γ∧M 10

1.2.3 Một mở rộng của đại số lambda 12

1.2.4 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ 13

1.2.5 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ 14

2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 17 2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 17

2.1.1 Đồng cấu Lannes-Zarati 17

2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu 22

2.2 Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati 23

3 Toán tử squaring và đồng cấu Lannes-Zarati 33 3.1 Các toán tử squaring 33

3.1.1 Toán tử squaring cổ điển 33

3.1.2 Toán tử squaring Kameko 34

3.1.3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson 37 3.2 Tính giao hoán của các toán tử squaring qua đồng cấu Lannes-Zarati 38

3.3 Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợpk=3, 4 433.4 Chứng minh dạng đại số của giả thuyết về lớp cầu trong trường hợpk=5 48

Năm 1950, Cartan đã chứng minh

với x, y ∈ H∗(X) Công thức này được gọi là công thức Cartan

Năm 1952, Adem đã chứng minh rằng tất cả các quan hệ trong đại số Steenrodđều được sinh ra từ tập các quan hệ sau, gọi là các quan hệ Adem,

trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo modulo 2.

Năm 1953, Serre chỉ ra rằng đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi

là cở sở chấp nhận được

Milnor [29] đã nghiên cứu một cách sâu sắc cấu trúc của đại số Steenrod Ông

đã chứng minh rằng đại số Steenrod là một đại số Hopf, phân bậc, có bổ sung, đốigiao hoán, liên thông, và đối ngẫu của nó là một đại số đa thức

sjss Ta thấy rằng, khi J khôngphải là một dãy chấp nhận được, thì bắt đầu từ phải qua trái ta áp dụng quan

hệ Adem cho cặp đầu tiên js, js+1, với js < 2js+1, lúc này SqJ sẽ được phân tíchthành tổng các đơn thức có moment nhỏ hơn m(J ) Vì hàm moment bị chặn dướinên quá trình này sẽ dừng lại sau hữu hạn bước và do đó {SqI}, với I chấp nhậnđược, là một hệ sinh của A

Định lý 1, chương 3, trong [27] đã nêu ra một vài tính chất của toán tử Steenrodnhư sau:

(1) Sqi(x) = 0 nếu i > deg(x)

(2) Sq0 là ánh xạ đồng nhất

(3) Sqi(x) = x2 nếu i = deg(x)

Ta biết rằng đối đồng điều hệ số F2 của không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều

P (∞) là vành đa thức một biến F2[x] Tác động của các toán tử Steenrod trênvành đối đồng điều này được mô tả qua mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2 (Mosher-Tangora [27]) Với mỗi u ∈ H1(P (∞); F2), ta có Sqi(uj) =

j

i
uj+i

Chứng minh Trước hết, ta thấy với j = 1, mệnh đề hiển nhiên đúng

Giả sử mệnh đề đúng với mọi k ≤ j và mọi i ≤ k Ta chứng minh mệnh đềcũng đúng với j + 1 Thật vậy, theo công thức Cartan, ta có

Do tính chất Sqi(x) = 0 nếu i > deg(x), nên ta thấy

Sqi(uj+1) = Sqi−1(uj)Sq1(u) + Sqi(uj)Sq0(u)

Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta có Sqi−1(uj) = i−1j
uj+i−1 và Sqi(uj) =

j

i
uj+i Do đó, ta có

Sqi(uj+1) = 

j

i − 1

+ji



uj+i+1

=j + 1i



uj+i+1

Vậy mệnh đề cũng đúng với j + 1 Ta có điều cần chứng minh

Ta nói rằng Sqi là phân tích được nếu Sqi = P

0<t<iatSqt, với mỗi at là tíchcủa một dãy các toán tử Sq và ta nói rằng Sqi là không phân tích được nếu khôngtồn tại một quan hệ như vậy Ví dụ Sq1 là không phân tích được; Sq2 là khôngphân tích được vì Sq1Sq1 = 0; Sq3 là phân tích được vì theo quan hệ Adem

Sq3 = Sq1Sq2

Mệnh đề 1.3 (Mosher-Tangora [27]) Các toán tử Sq2k là không phân tích được,

và đại số Steenrod được sinh bởi Sq0 và Sq2k, với k ≥ 0

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Sqi là không phân tích được nếu và chỉnếu i là một lũy thừa của 2 Thật vậy, gọi α là phần tử sinh của H1(P (∞); Z2)(P (∞) là không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều), ta có Sq2 k

t<2 katSqt(α2 k

) = 0, đây là điều vô lý

Để chứng minh chiều ngược lại, ta đặt i = a + 2k với 0 < a < 2k và đặt b = 2k

Ta nhận thấy b−1a
= 1; do đó Sqi = Sqa+b là phân tích được

Từ đây, ta thấy ngay là đại số Steenrod được sinh bởi Sq0và Sq2k, với k ≥ 0

1.1.2 Cấu trúc của đại số Steenrod

Cho A là một đại số phân bậc có đơn vị Khi đó, A được gọi là một đại sốHopf nếu A được trang bị

(i) một toàn cấu đại số phân bậc (được gọi là phép bổ sung)  : A → F2;(ii) một đồng cấu đại số phân bậc (được gọi là phép đối nhân) ψ : A → A ⊗ A;(iii) các hợp thành

trong đó T : A ⊗ A → A ⊗ A là đồng cấu hoán vị T (a ⊗ b) = b ⊗ a

Định lý 1.4 (Milnor [29]) Đại số Steenrod A là một đại số Hopf, với phép bổsung  : A → F2 được xác định bởi

và phép đối nhân ψ : A → A ⊗ A được cho bởi

Hơn nữa, ψ giao hoán

Theo [29], tồn tại một tự đẳng cấu χ trên A, được gọi là đẳng cấu phản đốixứng (phản đồng cấu), thỏa mãn các điều kiện sau:

Sq1 theo cơ sở chấp nhận được

Theo Milnor [29] A∗ cũng là một đại số Hopf Đối nhân và phản đồng cấu trong

A∗ được cho bởi công thức sau:

A∗ Khi đó, bậc của Sq(r1, , rk) là r1 + 3r2+ · · · + (2k− 1)rk, và ta có kết quảsau đây

Định lý 1.5 (Milnor [29]) Tập tất cả các phần tử Sq(R) là một cơ sở cộng tínhcủa đại số Steenrod A, xem như một F2-không gian véctơ

Cơ sở của A nói trong Định lý 1.5 được gọi là cơ sở Milnor

1.2 Lý thuyết bất biến và đại số lambda

Chúng tôi trình bày mục này dựa theo bài báo của William M Singer [31]

Cho Ts ⊆ GLs là nhóm con bao gồm tất cả các ma trận tam giác trên với cácphần tử bằng 1 trên đường chéo chính Vành bất biến PTs

s đã được xác định bởiHuỳnh Mùi [26] Ông chỉ ra rằng PTs

trong đó tích lấy trên tất cả các λ = (λ1, , λk−1) với λi ∈ F2

Vành bất biến PsGLs đã được mô tả bởi Dickson [9] Ông đã chỉ ra rằng PsGLscũng là một đại số đa thức

Dickson đã mô tả Qs,i quy nạp theo s như sau

Qs,i = VsQs−1,i+ Q2s−1,i−1, (1.7)

với 0 ≤ i < s và qui ước rằng Qs−1,s−1 = 1 (s ≥ 1), Qs,i = 0 nếu i < 0 hoặc

i > s

Cho S(s) ⊂ Ps là tập con nhân tính sinh bởi tất cả các dạng tuyến tính khác

0 trong Ps Cho Φs là địa phương hóa: Φs = (Ps)S(s) Khi đó, GLs tác động trên

Φs như một nhóm các tự đẳng cấu đại số Từ (1.2), (1.4) và (1.5) ta có

∆s= (Φs)Ts = F2[V1±1, , Vs±1], (1.8)

Γs= (Φs)GLs = F2[Q±1s,0, Qs,1, , Qs,s−1] (1.9)Nếu ta đặt

v1 = V1, vk= Vk/V1V2 Vk−1 (k ≥ 2) (1.10)sao cho

Vk = v12k−2v22k−3 vk−1vk (k ≥ 2), (1.11)thì (1.8) được viết lại như sau

Ta đặt ∆ = ⊕s≥0(∆s); lúc này, kết hợp các ánh xạ 1.13 ta thu được đối tích

ψ : ∆ → ∆ ⊗ ∆ mà với đối tích này ∆ trở thành một đối đại số

Tương tự, ta đặt Γ = ⊕s≥0(Γs) Ta sẽ chỉ ra rằng Γ là một đối đại số con của

minh công thức cũng đúng cho s Thật vậy,

ψp,q(Qs,i) = ψp,q(VsQs−1,i+ Q2s−1,i−1) (do (1.7))

Q2p,0q−2jQ2p,i−jj ⊗ Qq,j (đổi biến j=k+1)

Vậy công thức (1.14) đúng cho s và mệnh đề đã được chứng minh

Singer định nghĩa Γ∧s là môđun con của Γs = Ds[Q−1s,0] sinh bởi tất cả các đơnthức γ = Qi0s,0 Qis−1s,s−1 với i1, , is−1 ≥ 0, i0 ∈ Z và i0+ degγ ≥ 0

Bổ đề 1.7 (Singer [31]) ψs−1,1(Γ∧s) ⊆ Γ∧s−1⊗ Γ1

Chứng minh Ta lấy γ = Qi0s,0 Qis−1s,s−1 ∈ Γ∧

s Mặt khác, Qs,i = Qs−1,0Qs−1,ivs+

Q2

s−1,i−1 với 0 ≤ i < s Do đó γ được viết như tổng của các phần tử có dạng

Q2i0+k1+k2s−1,0 +···+ks−1+2(i1−k1)Qk1s−1,1+2(i2−k2) Qks−2+2(is−1−ks−1)s−1,s−2 vi0+k1+···+ks−1

s Ta thấy(2i0+ k1+ k2+ · · · + ks−1+ 2(i1− k1)) + dimγ − (i0+ k1+ · · · + ks−1) ≥ 0.Điều đó có nghĩa là mỗi phần tử trong khai triển thành tổng của γ đều nằm trong

Γ∧s−1 Vì vậy ta có kết luận của bổ đề

Bổ đề 1.8 (Singer [31]) Cho γ = P v1j1 vsjs ∈ Γ∧

s Khi đó ta có j1 ≥ 0 trongmọi đơn thức xuất hiện trong khai triển của γ theo các biến v1, , vs

Chứng minh Đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.7

Bổ đề 1.9 (Singer [31]) Φ : Is → Js là một song ánh và ψ là ánh xạ ngược củanó.

Ta lấy một cơ sở của ∆s là một tập gồm các đơn thức sau {v1j1 vjs

Chứng minh Ta sẽ sử dụng mô tả của Γ2trong (1.9) để chỉ ra rằng π(Qr2,0Qs2,1) = 0với mọi r ∈ Z và s ≥ 0 bằng quy nạp theo s Với s = 0 ta có điều khẳng định vì

Sq2r+1Sqr+1 = 0 trong đại số Steenrod A

Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính ∂ : ∆s⊗ M → ∆s−1⊗ M bằng công thức

Mệnh đề 1.12 (Singer [31]) Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên H0(Γ∧M ) = F2⊗AM Chứng minh Xét phức dây chuyền

−→ Γ∧1 ⊗ M −→ Γ∧

0 ⊗ M −→ 0,

ta thấy từ phức này H0(Γ∧M ) = ker(∂0)/Im(∂1) Mặt khác, ta có ker(∂0) = Γ∧0⊗

M và từ định nghĩa của ∂1 ta suy ra H0(Γ∧M ) = Γ∧0 ⊗ M/A+

M = F2⊗AM Mệnh đề 1.13 (Singer [31]) Nếu 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 là một dãy khớpngắn của các A-môđun thì 0 −→ Γ∧M −→ Γ∧N −→ Γ∧P −→ 0 là dãy khớp ngắncủa các phức dây chuyền

Chứng minh Mệnh đề này là hiển nhiên vì với mỗi s ≥ 0 thì Γ∧s là một môđun tựdo.

Mệnh đề 1.14 (Singer [31]) Với bất kì một dãy khớp ngắn của các A-môđun

0 −→ M −→ N −→ P −→ 0, thì ta có dãy khớp dài sau

−→ Hs(Γ∧N ) −→ Hs(Γ∧P ) −→ Hs−1(Γ∧M ) −→ −→ H0(Γ∧P ) −→ 0.Chứng minh Mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.13

Mệnh đề 1.15 (Singer [31]) Hs(Γ∧A) = 0 nếu s > 0

Chứng minh Nếu SqI = Sqi1 Sqip là một đơn thức chấp nhận được trong Athì ta gọi l(I) = p là độ dài của nó Ta xác định một lọc tăng trên Γ∧A bằng cáchđặt

Fp(Γ∧A)s = Γ∧s ⊗ Span{SqI|I chấp nhận được; l(I) ≤ p − s}

Khi này Fp(Γ∧A) là một phức con của Γ∧A với mỗi p ≥ 0 Ta gọi E0Γ∧A làkhông gian phân bậc liên kết: với mỗi p ≥ 0, E0

pΓ∧A = FpΓ∧A/Fp−1Γ∧A làmột phức dây chuyền Một đơn thức y = Qi0s,0 Qis−1s,s−1 ⊗ Sqk1 Sqkp−s trong

Fp(Γ∧A)s/Fp−1(Γ∧A)s được gọi là chấp nhận được nếu Sqk1 Sqkp−s chấp nhậnđược trong A, và nếu js > 2k1− 2; trong đó, js = i0 + i1 + · · · + is−1 Bây giờ ta

0, s > q,với mọi q ≥ 0 Khi đó GqE0Γ∧A là một phức con của E0Γ∧A Ta kiểm tra thấy

Từ đây ta suy ra kết luận của mệnh đề

Định lý 1.16 (Singer [31]) Tồn tại một đẳng cấu tự nhiên Hs(Γ∧M ) ∼= T orsA(F2, M ).Chứng minh Các tính chất của hàm tử M −→ Hs(Γ∧M ) (s = 0, 1, 2, ) cho bởiMệnh đề 1.12, 1.14, và 1.15 cũng là các tính chất của hàm tử M −→ T orAs(F2, M )

Mà ta biết rằng hàm tử sau được đặc trưng bởi các tính chất này Định lý đượcchứng minh

1.2.3 Một mở rộng của đại số lambda

Cho L là một không gian véctơ phân bậc trên trường F2 với cơ sở bao gồmtất cả phần tử có dạng {λk | k ∈ Z, k ≥ −1}, với degλk = k Gọi T ens L là đại

số liên kết tự do sinh bởi L Lúc đó, T ens L là một đại số song bậc nếu ta viếtbidegλk = (1, k) Trong (T ens L)2 = L ⊗ L, ta định nghĩa một họ các phần tửthuần nhất

λ(p, q) =X

j≥0

pj



λ2q+j−1λp+q−j−1 (p, q ≥ 0) (1.19)

và định nghĩa Θ là đại số song bậc đạt được bằng cách lấy T ens L chia thươngcho quan hệ λ(p, q) = 0 (p, q ≥ 0) Các quan hệ này có hai loại Những quan hệchứa λ−1 xuất hiện trong các quan hệ λ(p, 0) = 0:



λj−1λp−j−1+ λp−1λ−1 = 0 (p > 0),

còn các phần tử sinh {λk | k ≥ 0} xuất hiện trong λ(p, q), với q > 0

Ta gọi Λ là đại số con của Θ được sinh bởi các phần tử {λk | k ≥ 0} Như vậy

Λ được xác định bởi quan hệ λ(p, q) = 0 với p ≥ 0 và q > 0 Định nghĩa này giốngvới định nghĩa gốc trong [5] nhưng tích được viết theo thứ tự ngược với tích viếttrong [5]

Trong [5], với mỗi s ≥ 1, một cơ sở của Λs là {λj1 λjs | 0 ≤ j1, j1 ≤2j2, , js−1 ≤ 2js}

Ta định nghĩa một đồng cấu d : Θ → Θ bởi

Vậy bổ đề được chứng minh.

1.2.4 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Θ

Mục đích của phần này là xây dựng một ánh xạ tuyến tính ks : Γs → (Θs)∗

Ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính trên F2, ks : ∆s → (L⊗s)∗ bởi

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh bổ đề cho trường hợp γ = Qa2,0Qb2,1, với

a, b là các số nguyên và b ≥ 0 Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo b Trướchết với b = 0, ta có hk2(Qa2,0), λ(p, q)i = hk2(v12av2a),P

j≥0

p

j
λ2q+j−1λp+q−j−1i =P

với χ là đạo hàm của T ens L được nhắc đến ở mục trước Lúc này, nếu ta gọi

γ = Qa

2,0Qb

2,1 thì do giả thiết quy nạp và tính giao hoán của biểu đồ trên, ta có

hk2(Qa−12,0 Qb+12,1 ), λ(p, q)i = hk2ρ(γ), λ(p, q)i

= hχ∗k2(γ), λ(p, q)i

= hk2(γ), χλ(p, q)i

= hk2(γ), λ(p + 1, q)i

= 0

Vậy bổ đề được chứng minh

Bổ đề 1.18 được khái quát thành mệnh đề sau

Mệnh đề 1.19 (Singer [31]) Cho β ∈ L⊗s nằm trong idean hai phía của T ens Lsinh bởi các phần tử λ(p, q), khi đó ta có hks(γ), βi = 0 với mọi γ ∈ Γs

Chứng minh Ta giả sử β = α1α2α3 với α1 ∈ L⊗r, α2 = λ(p, q) ∈ L⊗2, và α3 ∈

L⊗s−r−2, với r nào đó Từ đẳng thức (1.20), Mệnh đề 1.6, và Bổ đề 1.18 ta suy rađiều phải chứng minh

1.2.5 Các bất biến của GLs và đối ngẫu của Λ

Từ Mệnh đề 1.19, ta thấy hạn chế của ks : ∆s → (L⊗s)∗ tới Γs cho ta ánh xạsau

ks : Γs → (Θs)∗,

ta cho hợp thành với phép chiếu tự nhiên (Θs)∗ → (Λs)∗ để thu được ánh xạ tuyếntính sau

ls : Γ∧s → (Λs)∗.Mệnh đề 1.20 (Singer [31]) ls là một đẳng cấu với mỗi s ≥ 0

Chứng minh Ta lấy một cơ sở của (Λs)∗ là cơ sở đối ngẫu với cơ sở chấp nhậnđược và cho nó một thứ tự từ điển ngược Như ta đã biết, tập tất cả các đơn thức

γ = Qi0s,0 Qis−1s,s−1, với i0 ∈ Z, i1, , is−1 ≥ 0 và i0 + degγ ≥ 0, là một cở sở của

Γ∧s Từ cách xác định của ls ta tính được

ls(Qi0s,0 Qis−1s,s−1) = (λj1 λjs)∗ + các phần tử cơ sở nhỏ hơn

với (j1, , js) = Φ(i0, , is−1), trong đó Φ là song ánh được nhắc đến trong Bổ

đề 1.9 Đẳng thức này cho ta điều cần chứng minh

Bằng cách đồng nhất Γ∧s với (Γ∧F2)s ta thu được vi phân ∂ : Γ∧s → Γ∧

s−1 đượcđịnh nghĩa như ở công thức (1.18) Rõ ràng vi phân này thu được bằng cách hạnchế tới Γ∧s của ánh xạ ∂ : ∆s → ∆s−1 cho bởi

Khi đó cả vế trái và phải đều bằng nhau và bằng 0

Vậy mệnh đề được chứng minh

Bây giờ, ta gom các ánh xạ ls (s ≥ 0) để thu được ánh xạ l : Γ∧F2 → Λ∗

Mệnh

đề sau là hệ quả trực tiếp từ Mệnh đề 1.20 và 1.21

Mệnh đề 1.22 (Singer [31]) l : Γ∧F2 → Λ∗ là một đẳng cấu của các phức dâychuyền

Ta gom các ánh xạ ks (s ≥ 0) để tạo thành ánh xạ k : Γ → Θ∗, ta có mệnh đềsau đây.

Mệnh đề 1.23 (Singer [31]) k : Γ → Θ∗ là một đồng cấu của các đối đại số phânbậc

Ta sẽ trang bị cho Γ∧F2 cấu trúc của một đối đại số vi phân và chỉ ra rằng l

là một đẳng cấu của các đối đại số vi phân Ta có thể thấy là Γ∧F2 không phải làmột đối đại số con của Γ nhưng nó là một đối đại số thương của Γ Ta sẽ chỉ ranhận xét này như sau

Xét đồng cấu của các đối đại số k : Γ → Θ∗, cho k hợp thành với phép chiếu

Θ∗ → Λ∗ ta thu được đồng cấu đối đại số ¯k : Γ → Λ∗ Hạn chế của ¯k tới Γ∧ làđẳng cấu l : Γ∧ → Λ∗

Do đó nếu ta định nghĩa Γ− là không gian véctơ

Chương 2

Dạng đại số của giả thuyết cổ

điển về các lớp cầu

2.1 Đồng cấu Lannes-Zarati và dạng đại số của

giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

2.1.1 Đồng cấu Lannes-Zarati

Cho N là một A-môđun, ta ký hiệu F (N ) là một dải thức tự do của N Ta biếtrằng các vi phân trong một dải thức tự do có song bậc là (−1, 0) Khi đó, với mỗi

k ≥ 0, T orAk(M, N ) và ExtkA(N, P ) là các không gian véctơ phân bậc ExtkA(N, P )

là nhóm đồng điều thứ k của đối phức dây chuyền HomA(F (N ), P ), nó còn đượcbiết đến như là nhóm các lớp tương đương của các dãy khớp các A-môđun xuấtphát từ P , kết thúc ở N và đi qua A-môđun trung gian (xem [37])

Với f ∈ Extr

A(N, P ) và g ∈ Extk

A(Q, N ) ta viết f ◦ g ∈ Extr+kA (Q, P ) là phéphợp thành, hay còn gọi là tích Yoneda, của g và f

Cho N , P là các A-môđun, lúc đó, N ⊗ P cũng là một A-môđun với tác độngđường chéo Nếu F (N ) và F (P ) là các giải thức tự do tương ứng của N và P thì

F (N )⊗F (P ) là giải thức A-tự do của N ⊗P (xem [4]) Khi đó, với f ∈ Extr

A(N, P )

và g ∈ ExtkA(Q, R), tích chéo của f và g được kí hiệu là f ×g ∈ Extr+kA (N ⊗Q, P ⊗R) Đặc biệt, nếu f ∈ ExtkA(N, P ) được biểu diễn bởi dãy khớp từ P đến N , kýhiệu Q là ánh xạ đồng nhất trong Ext0A(Q, Q), thì f × Q ∈ ExtkA(N ⊗ Q, P ⊗ Q)

biểu diễn bởi dãy khớp nhận được từ dãy khớp ban đầu bằng cách tensor với Q.Một mối quan hệ giữa tích chéo và tích hợp thành được cho bởi quy tắc sau.Nếu f ∈ Extr

A(N, P ) và g ∈ Extk

A(Q, R) thì (xem [21], trang 229)

f × g = (f × R) ◦ (N × g)

Gọi P1 = F2[x] với |x| = 1 Gọi ˆP ⊂ F2[x, x−1] là môđun con sinh bởi {xp | p ≥

−1} Tác động thông thường của A trên P1 được thác triển chính tắc (duy nhất)thành một A-tác động trên F2[x, x−1] (xem [3], [36]) Khi đó, ˆP là một A-môđuncon của F2[x, x−1] Ta có một dãy khớp ngắn của các A-môđun

A-tử khớp phải Gọi Dk là hàm tử dẫn xuất thứ k của D, với k ≥ 0

Giả sử M1, M2 là các A-môđun Tích cap

F∗−r(M2) Ta viết f = [F ] Gọi Z ∈ Fk(M1) là một đại diện của z ∈ Dk(M1),

là các đẳng cấu bậc trong tương ứng là 1 và −1

Định nghĩa 2.2 (Lannes-Zarati [22]) Đồng cấu ϕk với bậc trong bằng 0 là đốingẫu của

ϕ∗k= Σ−1ik(1 ⊗

A α−1k )Σ : F2⊗

A Dk → T orAk(F2, Σ−kF2)

Nhận xét 2.3 Lưu ý rằng ta cũng ký hiệu bởi ϕ∗k là hợp thành của đồng cấu ϕ∗knói ở trên với đẳng cấu treo Σk: T ork,iA(F2, Σ−kF2) → T orAk,k+i(F2, F2).

Bây giờ, ta sẽ mô tả αk= ek(ΣF2) qua các đồng cấu nối

Giả sử rằng f ∈ Ext1

A(M3, M1) được biểu diễn bởi một dãy khớp ngắn của cácA-môđun 0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 0 Ta gọi ∆(f ) : Ds(M3) → Ds−1(M1) làđồng cấu nối liên kết với dãy khớp ngắn này Ta có thể kiểm tra thấy rằng

Bước 1 Theo Định lý 2.1, ek(Σ2F2) : Dk(Σ2−kF2) → Σ2Dk là một đẳng cấu.

Từ định nghĩa, ta có biểu đồ giao hoán

Giả sử k = p + q

(a) Ánh xạ đường chéo thông thường ∆ : Dk → Dp ⊗ Dq cảm sinh ánh xạđường chéo

∆ : Σ2Dk → ΣDp⊗ ΣDq.(b) Gọi M, N là hai A-môđun trái và F∗(M ), F∗(N ) là hai giải thức tự dotương ứng Khi đó, F∗(M ) ⊗ F∗(N ) là giải thức tự do của M ⊗ N Ta có thể chọn

F∗(M ⊗ N ) = F∗(M ) ⊗ F∗(N ) Chuyển qua hàm tử dẫn xuất D∗ ta thu được ánh

trong Dp−i(ΣPi) ⊗ Dq−j(ΣPj) với f ∈ ExtiA(Σ1−iF2, ΣPi), g ∈ ExtjA(Σ1−jF2, ΣPj)

2.1.2 Dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớp cầu

Nguyễn H V Hưng đã đưa ra dạng đại số của giả thuyết cổ điển về các lớpcầu trong [11] như sau:

Giả thuyết 2.5 (Hưng [11]) Đồng cấu Lannes-Zarati

ϕk : Extk,k+iA (F2, F2) → P (F2 ⊗

GLk

H∗(BVk))i

bằng 0 tại mọi phần tử có gốc i dương với k > 2

Giả thuyết 2.5 đã được Nguyễn H V Hưng chứng minh cho k = 3 trong [11]

và k = 4 trong [14]

Trong [12], Nguyễn H V Hưng đã đưa ra giả thuyết sau:

Giả thuyết 2.6 (Hưng [12]) Nếu q ∈ Dk+, thì [q] = 0 trong T orAk(F2, F2), với

k > 2

Giả thuyết 2.6 đã được Nguyễn H V Hưng chứng minh cho k = 3 trong [12]

Ta sẽ sử dụng công thức (2.3) để xây dựng một biểu diễn cấp độ dây chuyềncủa αk Đồng thời, ta cũng sẽ chỉ ra sự tương đương giữa hai Giả thuyết 2.5 và2.6

2.2 Biểu diễn ở cấp độ dây chuyền của đối ngẫu

của đồng cấu Lannes-Zarati

Giả sử M là một A-môđun trái phân bậc Ta gọi B∗(M ) là giải thức bar của

với I là iđêan bổ sung của A và tích tensor lấy trên F2 Môđun B∗(M ) = ⊕kBk(M )

là một môđun song bậc, một phần tử a0⊗ a1⊗ · · · ⊗ ak⊗ x của B∗(M ) được gánbởi bậc đồng điều k và bậc trong Pk

i=0deg(ai) + degx

Vi phân dk: Bk(M ) → Bk−1(M ) được xác định bởi

Giả sử N là một A-môđun phải phân bậc Khi đó, vì giải thức bar là một giảithức tự do nên ta có

2 vi−1vi Vì thế, ta có thể dễ dàng thấy rằng mọi

v ∈ F2[V1, , Vk] là một tổng của các đơn thức v1j1 vkjk thỏa mãn điều kiện

j1 ≥ j2+ · · · + jk

Mặt khác, đại số Dickson Dk là đại số con của đại số Mùi PTk

k Do vậy, bổ đề đượcchứng minh

Bổ đề 2.9 (Hưng [13]) Đồng cấu

πk,p : ∆k → Ak−1 = A ⊗ · · · ⊗ A (k − 1 lần)

v1j1 vpjpvjp+1p+1 vjkk 7→ Sqj1+1⊗ · · · ⊗ Sqjp+1Sqjp+1+1⊗ · · · ⊗ Sqjk +1

triệt tiêu trên Γk⊂ ∆k, với 1 ≤ p < k

Chứng minh Ta xét ánh xạ đường chéo ψ : ∆k → ∆p−1⊗ ∆2⊗ ∆k−p−1 xác địnhbởi công thức

Chứng minh Trước tiên ta thấy rằng Sqjk+1(Σ1−k1) = 0 với mọi jk≥ 0 Từ nhậnxét đó và từ định nghĩa của vi phân trên giải thức bar ta có