Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên

Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là:Trong các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện cáctác giả đặt lên các toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường kháphức tạp, thậm chí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TẠ NGỌC ÁNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

TẠ NGỌC ÁNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2012

Mục lục

Kết luận và kiến nghị 69

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B

MỞ ĐẦUPhương trình toán tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứucủa lý thuyết toán tử ngẫu nhiên Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lýthuyết phương trình toán tử tất định Trong vòng 60 năm trở lại đây,hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc và thu được nhiều kết quả Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạtđược của lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào mộttrường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên Các nghiêncứu về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầubởi O Hans và A Spacek trong những năm 1950 (xem [35, 70]) Họ đãchứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính

là phiên bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach Sau các côngtrình của Spacek và Hans, phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểmbất động nổi tiếng khác cũng được chứng minh Lý thuyết phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được tiếp thêmsức mạnh sau sự ra đời của cuốn sách Random integral equations (1972)

và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976)của A T Bharucha-Reid (xem [19, 20]) Nhiều tác giả đã thành côngtrong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặcchứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động chotoán tử tất định (chẳng hạn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]) Vào nhữngnăm 1990, một số tác giả như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan đãchứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đócác tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nào đó, nếu các quỹ đạo củatoán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên

có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 71, 77]) Gần đây,một số tác giả như N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đã đưa ramột số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kếtquả của các tác giả trước và trên cơ sở đó phiên bản ngẫu nhiên củanhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh(xem [58, 63, 64, 65]) Nếu lớp các toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn cácđiều kiện của định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát là rộng rãithì việc ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho toán tử tất địnhkhông còn nhiều thú vị, việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động củatoán tử ngẫu nhiên thực sự trở thành việc chứng minh sự tồn tại điểmbất động của một toán tử tất định Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là:Trong các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện cáctác giả đặt lên các toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường kháphức tạp, thậm chí nhiều khi ta khó có thể tìm được ví dụ về toán tửngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện đó.

Khi nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi cũng

hy vọng đạt được kết quả tương tự như trường hợp bài toán điểm bấtđộng ngẫu nhiên Tức là, đưa ra được điều kiện để một phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên nếu có nghiệm tất định thì có nghiệm ngẫu nhiên.Bằng việc sử dụng các kết quả của lý thuyết ánh xạ đa trị, chúng tôi đãchứng minh được rằng với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xácđịnh trên không gian metric khả ly đầy đủ, nếu phương trình toán tửngẫu nhiên có nghiệm tất định với mỗi ω thì phương trình đó có nghiệmngẫu nhiên Chú ý rằng điều kiện đo được của toán tử ngẫu nhiên làkhá yếu, chẳng hạn các toán tử ngẫu nhiên liên tục sẽ thỏa mãn điềukiện này Áp dụng kết quả đạt được cho bài toán điểm bất động ngẫu

nhiên chúng tôi nhận được, mở rộng các kết quả quả Xu, Tan, Yuan,Shahzad, và nhận được hầu hết các định lý điểm bất động ngẫu nhiêntổng quát hiện có Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lýđiểm bất động cho toán tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng chotoán tử ngẫu nhiên.

Toán tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần

tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên Mỗi phần tử củakhông gian metric có thể được xem như một biến ngẫu nhiên suy biếnnhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1 Từ cách quan niệm như vậy

ta coi không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy

toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X chúng ta có thể xây dựng được

f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi Φ có điểm bất động.Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kết quả về điểm bất động của ánh

xạ trong không gian metric xác suất, O Hadzic và E Pap đã có nhữngliên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên(xem [33, 34]) Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miền xác định của toán

tử ngẫu nhiên và các kết quả của Hadzic và Pap, chúng tôi đưa ra kháiniệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ mỗi biến ngẫu nhiênnhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong không gian metric Bước đầu, chúng tôi đã chứng minh được một

số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên dựa trêncác tính toán thuần túy xác suất mà không sử dụng các công cụ của lýthuyết không gian metric xác suất Chúng tôi cũng nhận được các kếtquả tương tự như của Hadzic và Pap

Nội dung của luận án liên quan đến các kết quả nghiên cứu về phươngtrình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên Luận

án gồm 3 chương

Chương 1 thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày một số kếtquả của các tác giả khác mà được sử dụng trong phần sau của luận án.Những kết quả đó chỉ được trích dẫn và không có chứng minh chi tiết.Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phươngtrình toán tử ngẫu nhiên Nội dung chính của chương này là các định lý

về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình toán tử ngẫu nhiên.Chương 3 liên quan đến bài toán điểm bất động của toán tử ngẫunhiên Áp dụng các kết quả về phương trình toán tử ngẫu nhiên cho bàitoán điểm bất động ngẫu nhiên chúng tôi nhận được và mở rộng một sốđịnh lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên Phiên bản ngẫu nhiêncủa một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định cũng được trìnhbày Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra khái niệm toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho toán

tử đó

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH ĐặngHùng Thắng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tớiGS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và chỉ bảotôi trong suốt nhiều năm qua

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán Cơ Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tôi nhiều tài liệu

-bổ ích

Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ýkiến đóng góp quý báu

Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên,

đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kếtquả nghiên cứu

Tôi xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quanHọc viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điềukiện cho tôi được học tập và nghiên cứu

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, đã hỗ trợ kinh phí chochúng tôi trong quá trình nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thành viên của đại giađình, đã luôn động viên, chia sẻ và là chỗ dựa vững chắc về mọi mặt

Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2012

Nghiên cứu sinh

Tạ Ngọc Ánh

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊChương này nhắc lại, thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bàymột số kết quả về ánh xạ đa trị và điểm bất động cho toán tử tất địnhcủa các tác giả khác mà chúng tôi sử dụng trong các phần sau của luận

án Chúng tôi chỉ trích dẫn nội dung mà không trình bày chứng minhchi tiết các kết quả đó

Cho Ω là tập khác ∅, được gọi là không gian mẫu Họ A các tập con của

Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn các tính chất ∅ ∈ A, Ω\A ∈ A

tử của σ-đại số A được gọi là một tập đo được Bộ hai (Ω, A) gọi là mộtkhông gian đo được Ánh xạ P : A → [0; 1] được gọi là độ đo xác suất

xác suất của tập A σ-đại số A gọi là đầy đủ với độ đo xác suất P nếumọi tập con của tập có xác suất 0 là tập đo được Bộ ba (Ω, A, P ) gọi

là không gian xác suất Một không gian xác suất gọi là đầy đủ nếu A làσ-đại số đầy đủ

Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X làσ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X Trong suốt luận án,khi nói đến σ-đại số các tập con của không gian metric chúng ta hiểu đó

là σ-đại số Borel Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không

gian Polish [37] Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được Khi

đó, σ-đại số trên X × Y ký hiệu bởi A ⊗ B, được xác định là σ-đại số nhỏnhất chứa các tập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B Với hai không giantôpô X, Y bất kỳ ta có B(X × Y ) chứa B(X) ⊗ B(Y ) Tuy nhiên, nếu X

và Y là các không gian Polish thì B(X × Y ) = B(X) ⊗ B(Y ) (xem [71]).Cho (X, d) là một không gian metric Khoảng cách giữa hai tập conkhác rỗng A, B của X được xác định bởi

d(A, B) = inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

Khoảng cách từ điểm a ∈ X đến tập B ⊂ X được xác định bởi d(a, B) =inf{d(a, b)|b ∈ B} Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A, B ∈C(X) được xác định bởi

Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric Ánh

xạ ξ : Ω → X gọi là A-đo được nếu

với mọi B ∈ B(X) Nếu (Ω, A, P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X

là ánh xạ A-đo được thì ξ được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị Tập hợp các biến ngẫu nhiên

Một trong các công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm củamột phương trình toán tử ngẫu nhiên hay sự tồn tại điểm bất động của

toán tử ngẫu nhiên đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được củamột ánh xạ đa trị Trong mục này chúng tôi sẽ trích dẫn các kết quả màchúng tôi sẽ sử dụng trong các phần sau của luận án.

Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric Ánh

với mọi B là tập con mở của X Trong một số tài liệu, tính đo được của

F còn được gọi là đo được yếu (xem [37]) Đồ thị của ánh xạ F là mộttập con của Ω × X xác định bởi

Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)}

nếu u(ω) ∈ F (ω) với mọi ω ∈ Ω

Các định lý sau đây sẽ được sử dụng để chứng minh các kết quả ởcác chương sau của luận án

Định lý 1.2.1 ([37, Định lý 3.3]) Cho (Ω, A) là không gian đo được,(X, d) là không gian metric khả ly và F : Ω → C(X) là ánh xạ đa trị.Xét các khẳng định sau:

a) F là A-đo được;

b) Với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω 7→ d(x, F (ω)) là A-đo được;

c) Gr(F ) là tập A ⊗ B(X)-đo được

Khi đó, ta có a) ⇔ b) ⇒ c)

Định lý 1.2.2 ([37, Định lý 5.7]) Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất,

tập A ⊗ B(X)-đo được thì tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ : Ω → Xsao cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c

Bổ đề 1.2.3 ([40, Bổ đề 2.4]) Cho (X, d) là không gian metric khả

ly, ξ : Ω → X và F : Ω → C(X) là các ánh xạ đo được Khi đó,

ω 7→ d(ξ(ω), F (ω)) là ánh xạ đo được

Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫunhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω 7→ f (ω, x) làmột biến ngẫu nhiên Y -giá trị Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X đượcgọi là toán tử ngẫu nhiên trên X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R đượcgọi là hàm ngẫu nhiên

Với mỗi x cố định, f (ω, x) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong

Y Do đó, ta có thể coi toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y như một quytắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong Y Nói cách khác, toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y chính là ánh xạ

ngẫu nhiên là một khái niệm mở rộng của quá trình ngẫu nhiên

Ví dụ 1.3.3 Cho X là không gian metric, (fn)∞n=1 là dãy ánh xạ tất định

sử rằng với mỗi x ∈ X chuỗi

∞

P

n=1

xác định một toán tử ngẫu nhiên từ X vào R

Định nghĩa 1.3.4 Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên.Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếuvới mọi x ∈ X ta có f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c., trong đó tập các ω mà

f (ω, x) 6= g(ω, x) nhìn chung phụ thuộc vào x

Theo quan điểm xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c.thì ta có thể coi chúng trùng nhau Vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao

ta có thể đồng nhất toán tử ngẫu nhiên với bản sao của nó

nhiên đa trị từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị

ω 7→ T (ω, x) là A-đo được

Định nghĩa 1.3.6 Cho f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên, T :

ánh xạ x 7→ f (ω, x) và x 7→ T (ω, x) tương ứng được gọi là quỹ đạo của

f và T tại ω

đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là A ⊗ B(X)-đo được

2 Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → 2Y được gọi là đo được nếu

3 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi

ω quỹ đạo f (ω, ) của f là toán tử liên tục từ X vào Y

4 Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → C(Y ) được gọi là liên tụcnếu với mỗi ω quỹ đạo T (ω, ) của T là toán tử liên tục từ X vàoC(Y ) (với khoảng cách Hausdorff trên C(Y ))

5 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu vớimỗi ω quỹ đạo f (ω, ) là toán tử Lipschitz; nghĩa là, tồn tại số thựcL(ω) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

Ví dụ 1.3.8 Cho (Ω, A, P ) = ([0; 1], B, µ), trong đó B là σ-đại số Borel,

µ là độ đo Lebesgue trên [0; 1] và X = Y = [0; 1] Hai toán tử ngẫunhiên f, g : Ω × X → Y được xác định bởi

Định lý 1.3.9 ([37, Định lý 6.1]) Cho X, Y là các không gian Polish

và f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó, f là toán tửngẫu nhiên đo được Hơn nữa, nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thìánh xạ ω 7→ f (ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị

toán tử tất định

Phần này trình bày một số khái niệm và định lý điểm bất động cho toán

tử tất định của các tác giả khác mà chúng ta sẽ sử dụng ở các chươngsau của luận án

Định nghĩa 1.4.1 Cho X là không gian metric, C là tập con đóng của X

1 Ánh xạ f : C → X gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần tử

x ∈ C sao cho f (x) = x Ta gọi x là điểm bất động của f

2 Hai ánh xạ f, g : C → X gọi là có điểm bất động chung nếu tồn tạiphần tử x ∈ C sao cho f (x) = g(x) = x Ta gọi x là điểm bất độngchung của f và g

tử x ∈ C sao cho x ∈ T (x) Ta gọi x là điểm bất động của T

tồn tại phần tử x ∈ C sao cho x ∈ S(x) và x ∈ T (x) Ta gọi x làđiểm bất động chung của S và T

5 Ánh xạ đơn trị f : C → X và ánh xạ đa trị T : C → 2X gọi là cóđiểm trùng nhau nếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho f (x) ∈ T (x).

Ta gọi x là điểm trùng nhau của f và T

Định lý 1.4.2 ([28, Định lý 2.1]) Cho (X, d) là không gian metric đầy

đủ và f : X → X là toán tử thỏa mãn

d(f (x),f (y)) ≤ a max{d(x, f (x)) + d(y, f (y))}

+c.[d(x, f (y)) + d(y, f (x))]

với mọi x, y ∈ X, trong đó a > 0, b ≥ 0, c > 0 và a + b + 2c = 1 Khi đó,

f có duy nhất điểm bất động

Định nghĩa 1.4.3 Cho X là không gian metric Hai ánh xạ f, g : X →

X được gọi là giao hoán nếu

Định lý 1.4.4 ([41, Hệ quả 3]) Cho K là tập con khác rỗng, compact

và lồi của không gian Banach khả ly X; f và g là các ánh xạ từ K vào

K trong đó f liên tục và g không giãn Nếu f và g giao hoán thì f và g

có điểm bất động chung

Định nghĩa 1.4.5 Cho (X, d) là không gian metric Các ánh xạ f :

X → X và T : X → CB(X) gọi là tương thích nếu với mọi x ∈ X ta có

Định lý 1.4.6 ([43, Định lý 2]) Cho (X, d) là không gian metric đầy

đủ, f : X → X, T : X → CB(X) là các ánh xạ liên tục, tương thíchthỏa mãn T (X) ⊂ f (X) và

H(T (x), T (y)) ≤ λ max{d(f (x), f (y)), d(f (x), T (x)), d(f (y), T (y)),

1

với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 ≤ λ < 1 và T (X) = ∪

T có duy nhất điểm trùng nhau

Định lý 1.4.7 ([45, Định lý 1.4]) Cho (X, d) là không gian metric,

f : X → X và T : X → C(X) là các ánh xạ thỏa mãn T (X) ⊂ f (X),trong đó T (X) = ∪

H(S(x), T (y)) ≤ λ max{d(x, y), d(x, S(x)), d(y, T (y)),

1

với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 < λ < 1 Khi đó, S và T có điểm bất độngchung

Định nghĩa 1.4.9 (Xem [12]) Cho (X, d) là không gian metric và A, B

là hai tập con đóng khác rỗng của X Phần tử x ∈ A được gọi là điểm

xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ f : A → B nếu

d(x, f (x)) = d(A, B)

nói ánh xạ f : X → Y có tính co nếu

Định lý 1.4.11 ([12, Định lý 2.1]) Cho (X, d) là không gian metric và

A, B là hai tập con compact khác rỗng của X Giả sử rằng hai ánh xạ

f : A → B và g : B → A thỏa mãn các điều kiện sau:

Định lý 1.4.12 ([21, Định lý 1]) Cho X là không gian Hilbert thực,

f : X → X là ánh xạ liên tục và thỏa mãn: Tồn tại hằng số c > 0 saocho

2

với mọi x, y ∈ X Khi đó, f là song ánh và có ánh xạ nghịch đảo liên tục

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊNTrong lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên, định lý tồn tạinghiệm là một trong những vấn đề quan trọng, nó đảm bảo cho nhữngnghiên cứu về lời giải phương trình đó trở nên có ý nghĩa Trong nhữngnăm qua, định lý tồn tại nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên

đã thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả (xem [6], [18], [31], [36],[39], [42], [44], [54]) và được ứng dụng hiệu quả trong việc chứng minh

sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên và phươngtrình vi phân ngẫu nhiên ([19]) Trong chương này, chúng tôi trình bàycác kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tửngẫu nhiên Nội dung chính là các định lý về sự tương đương giữa tồntại nghiệm ngẫu nhiên và tồn tại nghiệm tất định của phương trình toán

tử ngẫu nhiên Một số điều kiện đủ để phương trình toán tử ngẫu nhiên

có nghiệm ngẫu nhiên cũng được chứng minh Công cụ chủ yếu được sửdụng để đạt được các kết quả đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn

đo được của ánh xạ đa trị Các kết quả của chương này được đăng trongcác bài báo [1] và [3] (trong danh sách công trình khoa học của tác giả).Nội dung của chương được chia thành hai phần: 2.1 Phương trình toán

tử ngẫu nhiên đơn trị và 2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị

trị

Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric

Định nghĩa 2.1.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phươngtrình có dạng

trong đó f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên (đã biết) từ Xvào Y Để đơn giản, ta gọi phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị làphương trình ngẫu nhiên

Ngoài phương trình ngẫu nhiên dạng tổng quát (2.1), ta cũng xétmột số phương trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt Khi vế phải của (2.1) làbiến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Y ta có phương trình

định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi

ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho

f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω))

Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.1)

2 Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tạibiến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho

f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c

Khi đó, ta gọi ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.1).

Ta nhận thấy rằng nếu biến ngẫu nhiên ξ là nghiệm ngẫu nhiên củaphương trình (2.1) thì ξ(ω) cũng là nghiệm tất định của (2.1) với hầuhết ω Do vậy, một phương trình ngẫu nhiên nếu có nghiệm ngẫu nhiênthì nó có nghiệm tất định với hầu hết ω Tuy nhiên, ví dụ sau chỉ rarằng điều ngược lại chưa chắc đúng

Ví dụ 2.1.3 Cho Ω = [0; 1] và σ-đại số A trên Ω gồm tất cả các tập con

A ⊂ Ω có tính chất: A là đếm được hoặc Ω \ A là đếm được Độ đo xácsuất P trên A xác định bởi:

Dễ dàng kiểm tra được (Ω, A, P ) là một không gian xác suất đầy đủ.Xét X = [0; 1] Ta xác định hai ánh xạ f, g : Ω × X → X như sau:

xạ đó là một trong các tập ∅, Ω, {x} hoặc Ω \ {x} nên chúng đều thuộcvào σ-đại số A Vì vậy, với mỗi x cố định, ω 7→ f (ω, x) và ω 7→ g(ω, x)

là các ánh xạ đo được Do đó, f và g là các toán tử ngẫu nhiên Tanhận thấy, với mỗi ω ∈ Ω, u(ω) = ω là nghiệm tất định duy nhất củaphương trình (2.1) Giả sử ξ là một nghiệm ngẫu nhiên của phương trình(2.1) Khi đó ξ(ω) = ω h.c.c Do đó, ánh xạ u : Ω → X định nghĩa bởi

u(ω) = ω là đo được Tuy nhiên, nếu lấy B = [0; 1/2) ∈ B(X) thì ta có

này mẫu thuẫn với tính đo được của u Từ đó suy ra phương trình (2.1)không có nghiệm ngẫu nhiên

Một câu hỏi được đặt ra là: Khi nào một phương trình ngẫu nhiên

có nghiệm tất định với hầu hết ω thì có nghiệm ngẫu nhiên? Đến naychúng ta vẫn chưa có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi đó Tuy nhiên, Định

lý 2.1.4 sau đây sẽ cho chúng ta một điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tạinghiệm tất định với hầu hết ω tương đương với sự tồn tại nghiệm ngẫunhiên

Định lý 2.1.4 Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω × X → Y

là các toán tử ngẫu nhiên đo được từ X vào Y Khi đó, phương trìnhngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó cónghiệm tất định với hầu hết ω

Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f (ω, x) = g(ω, x)

có nghiệm duy nhất thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫunhiên duy nhất

Chứng minh Trước hết, nếu biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X là nghiệm ngẫunhiên của phương trình (2.1) thì tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho

f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) với mọi ω ∈ D Do đó, ξ(ω) chính là nghiệm tấtđịnh của phương trình (2.1) với hầu hết ω

Ngược lại, giả sử phương trình (2.1) có nghiệm tất định với hầu hết

ω Không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng phương trình f (ω, x) =

ngẫu nhiên của phương trình f (ω, x) = g(ω, x).

Cuối cùng, giả sử rằng với hầu hết ω phương trình f (ω, x) = g(ω, x)

có nghiệm tất định duy nhất và ξ, η là hai nghiệm ngẫu nhiên Từ đó suy

ra ξ(ω) = η(ω) h.c.c Do đó, phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiênduy nhất

Hệ quả 2.1.5 Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω×X → Y làhai toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó, phương trình f (ω, x) = g(ω, x)

có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có nghiệm tất định với hầu hết ω.Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f (ω, x) = g(ω, x)

có nghiệm duy nhất thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫunhiên duy nhất

Chứng minh Theo Định lý 1.3.9, f và g là các toán tử ngẫu nhiên đođược Do đó, kết luận được suy ra từ Định lý 2.1.4

Theo Định lý 2.1.4, nếu toán tử ngẫu nhiên đo được thì mỗi định lý

về sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử tất định sẽ sinh ra mộtđịnh lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên Nhưnhững minh họa chúng ta có các định lý sau:

Định lý 2.1.6 Cho X là không gian Hilbert khả ly, f : Ω × X → X làtoán tử ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn: Tồn tại biến ngẫu nhiên m(ω)

Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X, phương trìnhngẫu nhiên f (ω, x) = η(ω) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất

hội tụ h.c.c về nghiệm của phương trình f (ω, x) = η(ω) với mọi xấp xỉ

Chứng minh Từ giả thiết suy ra tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho vớimỗi ω ∈ D ta có

nhất phần tử u(ω) ∈ X sao cho f (ω, u(ω)) = η(ω) Do đó, phươngtrình f (ω, x) = η(ω) có nghiệm duy nhất với hầu hết ω Theo Hệ quả2.1.5, phương trình f (ω, x) = η(ω) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất, kýhiệu là ξ

hội tụ về u(ω) với mọi xấp xỉ ban đầu x0(ω) ∈ X Từ fα(ω, u(ω)) = u(ω)

ta có f (ω, u(ω)) = η(ω) hay u(ω) là nghiệm của phương trình f (ω, x) =

h.c.c đến nghiệm ngẫu nhiên ξ của phương trình f (ω, x) = η(ω)

Định lý 2.1.7 Cho X là không gian Hilbert khả ly, h : Ω × X → X

là toán tử ngẫu nhiên Lipschitz, nghĩa là tồn tại ánh xạ L : Ω → (0; ∞)

Giả sử k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương sao cho L(ω) <k(ω) h.c.c Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Xphương trình ngẫu nhiên

có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất

Chứng minh Phương trình ngẫu nhiên (2.5) được viết lại dưới dạng

f (ω, x) = η(ω) trong đó f là toán tử ngẫu nhiên xác định bởi f (ω, x) =h(ω, x) + k(ω)x Vì h là toán tử ngẫu nhiên liên tục nên cũng f là cáctoán tử ngẫu nhiên liên tục Do tính chất Lipschitz của h, nên với mọi

trong đó m(ω) = k(ω) − L(ω) > 0 Từ Định lý 2.1.6 suy ra phương trình

f (ω, x) = η(ω) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất

Định lý 2.1.8 Cho X là không gian Banach khả ly Giả sử rằng A :

Ω → L(X) là một ánh xạ sao cho với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω 7→ A(ω)x làmột biến ngẫu nhiên X-giá trị và λ(ω) là một biến ngẫu nhiên nhận giátrị thực sao cho

kA(ω)k < λ(ω) h.c.c

Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X, phương trìnhngẫu nhiên

có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất

Chứng minh Ta viết lại phương trình (2.6) dưới dạng f (ω, x) = g(ω, x)trong đó f, g là các toán tử ngẫu nhiên xác định như sau: f (ω, x) =

liên tục Theo giả thiết, tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho kA(ω)k <λ(ω) với mỗi ω ∈ D Do đó, với mỗi ω ∈ D, tồn tại duy nhất phần tửu(ω) ∈ X sao cho A(ω)u(ω) − λ(ω)u(ω) = η(ω) Hay nói cách khác,phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm duy nhất với hầu hết ω Theo

Hệ quả 2.1.5, phương trình A(ω)x − λ(ω)x = η(ω) có nghiệm ngẫu nhiênduy nhất

Ví dụ 2.1.9 Cho K : Ω × [0; 1] × [0; 1] → R và η : Ω × [0; 1] → R là cáchàm ngẫu nhiên liên tục; λ(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương

Theo [19, Định lý 4.6], với mỗi ω cố định, ánh xạ x 7→ A(ω, x) là toán

tử liên tục trên X; với mỗi x = x(t) ∈ X, ánh xạ

trình (2.7) có thể được viết lại dưới dạng A(ω, x) − λ(ω)x = η(ω), trong

đó η(ω) = η(ω, t) là biến ngẫu nhiên X-giá trị Do đó, từ Định lý 2.1.8,phương trình (2.7) có nghiệm duy nhất ξ(ω) = ξ(ω, t) là biến ngẫu nhiênX-giá trị

Để kết thúc phần này, chúng ta xem xét vấn đề thay thế toán tửngẫu nhiên trong một phương trình ngẫu nhiên bởi bản sao của nó Cho

f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên Theo quan điểm xác suất, nếuhai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c thì ta có thể coi chúng trùng nhau

Vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao của nó xác định cùng một ánh xạ

nhiên với bản sao của nó mà không làm thay đổi ý nghĩa của vấn đềđang nghiên cứu Khi nghiên cứu về phương trình ngẫu nhiên, chúng tacũng mong muốn rằng khi thay thế toán tử ngẫu nhiên bởi bản sao của

nó thì không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình Tuy nhiên, ví

dụ sau đây cho thấy thực tế điều đó không phải luôn luôn đúng

Ví dụ 2.1.10 Cho (Ω, A, P ) = ([0; 1], B, µ) và X = Y = [0; 1], trong đó

là hai toán tử ngẫu nhiên xác định bởi

toán tử ngẫu nhiên đo được Do đó, điều kiện đo được của toán tử ngẫunhiên chỉ đảm bảo rằng nếu phương trình ngẫu nhiên có nghiệm tất địnhthì phương trình đó sẽ có nghiệm ngẫu nhiên nhưng nó không đảm bảođược sự tương đương giữa các phương trình ngẫu nhiên khi thay thế

toán tử ngẫu nhiên bởi bản sao của toán tử ấy.

Một câu hỏi được đặt ra là: Khi nào chúng ta có thể thay thế mộttoán tử ngẫu nhiên trong một phương trình bởi bản sao của nó mà khônglàm thay đổi tập nghiệm của phương trình ? Định lý sau đây trả lời mộtphần của câu hỏi đó

Định lý 2.1.11 Cho X là không gian metric khả ly, Y là không gian

Chứng minh Ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu ξ là một nghiệm của phương

η(ω)

lim

f2(ω, ξ(ω)) = η(ω) ∀ω ∈ Ω0 hay ξ cũng là nghiệm của phương trình

Định nghĩa 2.2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị là phươngtrình có dạng

từ X vào Y

trình toán tử ngẫu nhiên đa trị là phương trình có dạng

Để đơn giản, ta cũng gọi phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị làphương trình ngẫu nhiên

nghiệm tất định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao

cho với mỗi ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho

S(ω, u(ω)) ∩ T (ω, u(ω)) 6= ∅

Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.10)

2 Ta nói rằng phương trình ngẫu nhiên (2.10) có nghiệm ngẫu nhiênnếu tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho

S(ω, ξ(ω)) ∩ T (ω, ξ(ω)) 6= ∅ h.c.c

Khi đó, ta gọi ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.10).Một cách tương tự, ta cũng định nghĩa nghiệm ngẫu nhiên và nghiệmtất định với hầu hết ω cho phương trình ngẫu nhiên (2.11)

Như chúng ta đã biết, trong Định lý 2.1.4, điều kiện đo được của cáctoán tử ngẫu nhiên đảm bảo cho sự tương đương giữa tồn tại nghiệmngẫu nhiên với tồn tại nghiệm tất định với hầu hết ω Trong trường hợpphương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị, Định lý 2.2.3 sau đây chỉ ra rằngđiều kiện đo được của các toán tử ngẫu nhiên vẫn còn nguyên ý nghĩa.Định lý 2.2.3 Cho X, Y là các không gian Polish và S, T : Ω × X →C(Y ) là các toán tử ngẫu nhiên đa trị đo được Khi đó, phương trìnhngẫu nhiên S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅ có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi

nó có nghiệm tất định với hầu hết ω

có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có nghiệm tất định với hầu hếtω

Chứng minh Nếu phương trình (2.10) có nghiệm ngẫu nhiên là ξ thìξ(ω) là nghiệm tất định của (2.10) với hầu hết ω.

Ngược lại, giả sử (2.10) có nghiệm tất định với hầu hết ω Khônggiảm tổng quát ta có thể coi phương trình (2.10) có nghiệm u(ω) với

nghiệm ngẫu nhiên của phương trình S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅

Sử dụng các lập luận tương tự như trên chúng ta nhận được kết quả

Định lý 2.2.3 chỉ ra rằng tính đo được của các toán tử ngẫu nhiên

S, T cùng với sự tồn tại nghiệm tất định với hầu hết ω kéo theo sự tồntại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.10) Tuy nhiên, ví dụ 2.2.4sau đây chỉ ra rằng điều ngược lại không đúng, nghĩa là điều kiện đođược của S và T chỉ là điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiêncủa phương trình (2.10)

Ví dụ 2.2.4 Cho Ω = {0, 1}, A = {∅, Ω}, X = [0; 1], Y = [2; 3] và

T : Ω × X → C(Y ) là ánh xạ xác định bởi T (0, x) = T (1, x) = Y vớimọi x ∈ X Lấy D là một tập con của X và không là tập Borel Ta xácđịnh toán tử S : Ω × X → C(Y ) bởi

Dễ dàng kiểm tra được rằng với mỗi x ∈ X cố định, các ánh xạ đa trị

ω 7→ S(ω, x) và ω 7→ T (ω, x) là A-đo được Do đó, S và T là các toán

tử ngẫu nhiên đa trị Lấy tập mở B = (2; 3) Do

nên S là toán tử ngẫu nhiên không đo được Tuy nhiên, biến ngẫunhiên X-giá trị ξ xác định bởi ξ(ω) = c với mọi ω, trong đó c là mộtphần tử bất kỳ của X, là một nghiệm ngẫu nhiên của phương trìnhS(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅

là các toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục (n = 1, 2, ) Khi đó, phương

nó có nghiệm tất định với hầu hết ω

Chứng minh Theo Định lý 2.2.3, ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu T : Ω × X →C(Y ) là toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục thì T là toán tử ngẫu nhiên đatrị đo được Theo Định lý 1.2.1, để chứng minh tính đo được của T , tachứng minh tính đo được của ánh xạ (ω, x) 7→ d(y, T (ω, x)) với mỗi y ∈

vậy, với mỗi x cố định, ω 7→ T (ω, x) là ánh xạ đo được nên theo Định lý

đo được Từ đó suy ra ánh xạ (ω, x) 7→ d(y, T (ω, x)) đo được với mỗi

y ∈ Y

2.2.3 ta nhận thấy: Nếu ta thay thế điều kiện toán tử ngẫu nhiên

đo được trong các định lý đó bởi điều kiện yếu hơn là toán tử ngẫunhiên có đồ thị đo được thì khẳng định trong các định lý đó vẫnđúng

• Theo sự hiểu biết của chúng tôi, các tác giả trước đây mới chỉ dừnglại ở việc nghiên cứu phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị Cácphương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị được nghiên cứu tập trungchủ yếu ở dạng đặc biệt (2.2) và (2.3) (chẳng hạn xem [19, 31, 36, 39,

42, 44]) Đối với toán tử ngẫu nhiên đa trị, các tác giả tập trung vàobài toán điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các toán

tử (chúng ta sẽ trình bày ở Chương 3 của luận án) Chúng tôi xét

phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị dạng (2.10) và (2.11) khôngnhững mở rộng phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị mà cònthống nhất được phương trình toán tử ngẫu nhiên, bài toán điểmbất động ngẫu nhiên, bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên thànhmột bài toán chung.

Kết luận: Trong chương này, chúng tôi đã chỉ ra rằng điều kiện đođược của toán tử ngẫu nhiên trong không gian Polish là điều kiện đủ

để một phương trình toán tử ngẫu nhiên nếu có nghiệm tất định thì cónghiệm ngẫu nhiên Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.7, Định lý 2.1.8 cho tacác điều kiện đủ để phương trình toán tử ngẫu nhiên có nghiệm ngẫunhiên Định lý 2.1.11 chỉ ra rằng nếu toán tử ngẫu nhiên là liên tục thìkhi thay toán tử đó bởi bản sao liên tục của nó ta được phương trìnhmới tương đương với phương trình cũ

Chương 3 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊNKhái niệm điểm bất động ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóakhái niệm điểm bất động của toán tử tất định cho toán tử ngẫu nhiên.Trong những năm gần đây, bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã nhậnđược sự quan tâm của nhiều tác giả Phiên bản ngẫu nhiên của nhiềuđịnh lý điểm bất động nổi tiếng cho toán tử tất định đã được chứngminh Một số tác giả như H K Xu, K K Tan, X Z Yuan, N Shahzad

đã đưa ra các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, khẳng địnhrằng với một số điều kiện nào đó nếu hầu hết các quỹ đạo của toán tửngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên có điểmbất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 63, 77]) Theo đó, cùng vớimột số một số giả thiết, chúng ta có thể ngẫu nhiên hóa các định lý điểmbất động cho ánh xạ tất định Tuy nhiên, các điều kiện để có thể ngẫunhiên hóa được các định lý điểm bất động của ánh xạ tất định mà cáctác giả trước đưa ra thường khá phức tạp, nhiều khi khó chỉ ra ví dụ vềtoán tử ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện đó

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về bài toánđiểm bất động của toán tử ngẫu nhiên Chúng tôi nhận được các kếtquả về bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên như các trườnghợp đặc biệt của phương trình toán tử ngẫu nhiên mà đã được trình bàytrong Chương 2 Chúng tôi chỉ ra rằng, với điều kiện toán tử ngẫu nhiên

đo được xác định trên không gian Polish, nếu các quỹ đạo của toán tửngẫu nhiên có điểm bất động thì toán tử ngẫu nhiên có điểm bất độngngẫu nhiên Từ đó, chúng ta nhận được các kết quả của các tác giả trước

như những trường hợp đặc biệt Ngoài ra, khái niệm toán tử hoàn toànngẫu nhiên cũng được trình bày Với khái niệm đó, chúng tôi xem xéttoán tử ngẫu nhiên một cách toàn cục (không theo từng quỹ đạo) Một

số định lý điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co, co xácsuất sẽ được chứng minh Khác với định lý điểm bất động cho toán tửngẫu nhiên, định lý điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiênkhông dễ dàng được suy ra bằng áp dụng các kỹ thuật chứng minh tương

tự từ các định lý điểm bất động cho toán tử tất định Sự khác biệt đóphần nào do các điều kiện mang tính xác suất (toàn cục) của toán tửhoàn toàn ngẫu nhiên

Nội dung của chương gồm 3 phần: 3.1 Điểm bất động của toán tửngẫu nhiên đơn trị, 3.2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị và3.3 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Các kết quả trongchương này được công bố trong các bài báo [2, 3, 4] và [5]

Trong những năm gần đây, bài toán điểm xấp xỉ tốt nhất của ánh

xạ tất định là một trong các hướng nghiên cứu thu hút được sự quantâm của nhiều tác giả, nhiều kết quả về sự tồn tại cũng như thuật toántìm điểm xấp xỉ tốt nhất được đưa ra Trong phần này, chúng tôi đưa ra