Hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Đại học quốc gia Hà nộiTrường Đại Học khoa học tự nhiên Đinh Văn Khâm Tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học Đề tài: Hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian Hà Nội - 2012... Đại học quốc

Đại học quốc gia Hà nội

Trường Đại Học khoa học tự nhiên

Đinh Văn Khâm

Tóm tắt luận văn thạc sĩ khoa học

Đề tài:

Hệ động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Hà Nội - 2012

Đại học quốc gia Hà nộiTrường Đại Học khoa học tự nhiên

Đinh Văn Khâm

Tóm tắt luận văn:

Hệ động lực ngẫu nhiên

trên thang thời gian

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Hà nội - 2012

Mục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian 3

1.2 Định lý khai triển Doob - Meyer 11

1.3 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 18

1.3.1 Tích phân theo martingale bình phương khả tích 18

1.3.2 Tích phân theo martingale địa phương bình phương khả tích 24 2 Công thức Itô và ứng dụng 27 2.1 Biến phân bậc hai 27

2.2 Công thức Itô và ứng dụng 31

3 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 43 3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 43

3.2 Tính Markov của nghiệm 52

Kết luận và kiến nghị 55

Lời cảm ơnTrong quá trình thực hiện luận văn này tôi đã nhận được sự giúp đỡ to lớncủa các thầy giáo, cô giáo, gia đình và bạn bè.

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, Trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQG Hà Nội.Thầy là người đã hướng dẫn tôi làm khóa luận tốt nghiệp đại học năm 2000, giờthầy lại tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này

Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô của Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng sau đại học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã giảngdạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, trang bị cho tôi những kiến thức nềntảng đủ để làm việc Đặc biệt, tôi chân thành cảm ơn NCS Nguyễn Thanh Diệu,Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, đã có những ý kiến đóng góp quý báu để bảnluận văn hoàn chỉnh hơn

Tôi cũng không quên gửi lời cảm ơn tới các đồng chí lãnh đạo cùng bạn

bè đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy - Ninh Bình, nơi tôi côngtác, đã hết sức tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập cũng như thựchiện luận văn của tôi

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ, các anh chị em và gia đình nhỏ của tôi

đã luôn bên tôi trong những ngày đã qua

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Mọi ý kiến đóng góp tôi xin được đón nhận với lòng biết ơn chân thành

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012

Học viên

Đinh Văn Khâm

Mở đầuPhương trình động lực ngẫu nhiên là mô hình toán học cho các hệ động lựctrong thực tế có tác động của yếu tố ngẫu nhiên Do đó, nó có nhiều ứng dụngtrong sinh học, y học, vật lý học, kinh tế, khoa học xã hội , và được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu.

Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian,người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là cácthời điểm quan sát cách nhau một khoảng cố định Từ đó, các phép tính giải tíchliên tục (phép tính vi phân) và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để môtả hệ thống tương ứng với các giả thiết thời gian lý tưởng được đặt ra Nhưng thực

tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục cũng không hoàntoàn cách đều nhau Đôi khi các quan sát còn xen lẫn các khoảng thời gian liêntục với các thời điểm rời rạc Thí dụ như một loài sâu bệnh, chúng chỉ phát triểntrong suốt mùa hè nhưng đến khi mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián

đoạn Vì vậy, trong nhiều trường hợp phương trình vi phân hoặc sai phân không

đủ mô tả các thông tin cần thiết của mô hình

Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc phục nhược điểm này của giảitích cổ điển Lý thuyết này được đưa ra lần đầu tiên năm 1988 bởi nhà Toán họcngười Đức Stefan Hilger trong Luận án tiến sỹ của ông (xem [5]); nhằm thốngnhất và mở rộng một số vấn đề của giải tích rời rạc và liên tục Các kết quả nghiêncứu về giải tích trên thang thời gian cho phép xây dựng mô hình toán học củacác hệ thống tiến triển theo thời gian không đều, phản ánh đúng quy luật trongthực tế Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút được sự quan tâm nghiên cứu củanhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều công trình được công bố trên cáctạp chí toán học có uy tín ([1, 2, ]) Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt đượcchỉ dừng lại ở việc nghiên cứu hệ động lực tất định trên thang thời gian Vì thếcác kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi

trường không có nhiều biến đổi Hiển nhiên, các mô hình thực tế không như vậy

và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vào môi trường Do đó, việcchuyển các kết quả của giải tích trên thang thời gian của các mô hình tất địnhsang mô hình ngẫu nhiên là một nhu cầu cấp thiết Trên cơ sở các kết quả nghiêncứu của phương trình vi phân và sai phân ngẫu nhiên và lý thuyết thang thời gian,trong luận văn này chúng tôi đề cập tới"Một số vấn đề của hệ động lực ngẫunhiên ngẫu nhiên trên thang thời gian".Luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian Nội dungchương này gồm có 3 mục Mục 1.1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tíchtất định trên thang thời gian Mục 1.2 trình bày định lý khai triển Doob- Meyer

đối với submartingale trên thang thời gian Mục 1.3 trình bày tích phân ngẫunhiên theo martingale bình phương khả tích, martingale địa phương bình phươngkhả tích và mở rộng đối với semimartingale trên thang thời gian

Chương 2 Công thức Itô và ứng dụng Nội dung Chương 2 được viếtthành 2 mục Mục 2.1 Chúng tôi trình bày định nghĩa về biến phân hỗn hợp củahai quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian Mục 2.2 Trình bày về công thứcItô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian và các ứng dụng

Chương 3 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Nội dung của chương này được chia thành 2 mục Mục 3.1 đưa ra định nghĩanghiệm và điều kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình động lựcngẫu nhiên trên thang thời gian Mục 3.2 trình bày về tính Markov nghiệm củaphương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Chương 1

Tích phân ngẫu nhiên trên

thang thời gian

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang

thời gian

Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ tài liệu [1] Thangthời gianlà một tập con đóng, khác rỗng của tập số thựcR, thường ký hiệu thangthời gian là T Ta trang bị cho thang thời gian T một tôpô cảm sinh của tôpôthông thường trên tập hợp các số thực

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử T là một thang thời gian ánh xạ σ : T → T xác

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T là một thang thời gian Một điểm t ∈ T được gọi

là trù mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếuσ(t) > t, trù mật trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếuρ(t) < t và là điểm cô lập (isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải

Với mỗi a, b ∈ T, ký hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T : a 6 t 6 b},tương tự, ký hiệu các tập hợp (a, b]; (a, b); [a, b) tương ứng là các tập hợp

Ký hiệu

I1 = {t : t cô lập trái}, I2 = {t : t cô lập phải}, I = I1 ∪ I2 (1.1)Mệnh đề 1.1.3 Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phảicủa thang thời gian T là tập không quá đếm được

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử T là thang thời gian ánh xạ à : Tk

Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm số f : T → R Hàm số f được gọi là

i) chính quy (regulated) nếu f có giới hạn trái tại những điểm trù mật trái và

có giới hạn phải tại những điểm trù mật phải

ii) rd−liên tục (rd−continuous) nếu f liên tục tại những điểm trù mật phải

và có giới hạn trái tại những điểm trù mật trái Tập hợp các hàm rd− liêntục ký hiệu là Crd hoặc Crd(T, R)

iii) ld−liên tục (ld−continuous) nếu f liên tục tại những điểm trù mật trái, cógiới hạn phải tại những điểm trù mật phải Tập hợp các hàm ld− liên tục

ký hiệu là Cld hoặc Cld(T, R)

Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T Khi đó, chúng ta viết

fρ : T → R là hàm số xác định bởi fρ = f◦ρ, nghĩa là fρ(t) = f (ρ(t)) với mọi

iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd− liên tục

iv) Toán tử bước nhảy lùi ρ là hàm số ld− liên tục

v) Nếu f là hàm số ld− liên tục thì fρ cũng là hàm số ld− liên tục

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R.Hàm số f được gọi là có ∇− đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có

đạo hàm) tại t ∈ kT nếu tồn tại f∇(t) ∈ R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại mộtlân cận U của t để

|f (ρ(t)) − f (s) − f∇(t)(ρ(t) − s)| 6 ε|ρ(t) − s| với mọi s ∈ U

f∇(t) ∈ R được gọi là ∇−đạo hàm của hàm số f tại t

Nếu hàm số f có ∇−đạo hàm tại mọi điểm t ∈ kT thì f được gọi là có

∇−đạo hàm trên T

Ví dụ 1.1.9 +) Nếu T = R thì f∇(t) ≡ f0(t) chính là đạo hàm thông thường.+) Nếu T = Z thì f∇(t) = f (t) − f (t − 1) chính là sai phân lùi cấp một

Định lý 1.1.10 Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ kT.Khi đó,

i) Nếu hàm số f có ∇− đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t

ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇− đạo hàm tại t và

iii) Nếu g(t)gρ(t) 6= 0, thì hàm số f

g có ∇−đạo hàm tại t và ta có quy tắc

 fg

và được xác định bởi

Chúng ta thấy rằng m1 là hàm tập cộng tính đếm được trên M1 Ký hiệu àA∇

là mở rộng Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là

∇A−độ đo Lebesgue- Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T Dễ dàngchứng minh được các kết quả sau

Với t0 ∈ kT, tập một điểm {t0} là ∇A− đo được và

àA∇({t}) = At − At−

Với a, b ∈ T và a 6 b,

àA∇((a, b)) = Ab− − Aa; àA∇([a, b)) = Ab− − Aa−; àA∇([a, b]) = Ab − Aa−

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [2].

Lấy E ⊂ kT là một tập àA∇−đo được và f : T → R là một hàm số

àA∇−đo được Ký hiệu R

Efτ∇Aτ là tích phân của hàm số f liên kết với độ đo

àA∇ trên E và được gọi là∇A−tích phân Lebesgue - Stieltjes.Nếu A(t) = t vớimọit ∈ T ta có àA∇ là ∇− độ đo Lebesgue trên T và R

Efτ∇τ là ∇− tích phânLesbesgue Trong Luận văn này, chúng tôi sử dụng ký hiệu Rb

i) Nếu T = R thì

Z b a

f (τ )∇τ =

Z b a

f (τ )dτ

ii) Nếu T là thang thời gian gồm tất cả các điểm đều là điểm cô lập thì

Z b a

Các bước xây dựng ∆− tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng

∇− tich phân Lebesgue (xem [1]) Trong trường hợp tổng quát chúng ta không

có mối quan hệ giữa ∇− tích phân và ∆−tích phân Trong trường hợp đặc biệthàm số dưới dấu tích phân liên tục ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.15 Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ Tk,

a ∈ kT, a < b Khi đó đẳng thức sau đúng

Z b a

f (τ−)∇τ =

Z b a

hk(τ, s)∆τ với k ∈ N0

thì hk(t, s) là hàm số liên tục theo t Do đó ta có

hk+1(t, s) =

Z t s

hk(τ−, s)∇τ

u(τ−)∇τ ∀ t ∈ Ta,

suy ra

u(t) 6 uaep(t, a) ∀ t ∈ Ta

1.2 Định lý khai triển Doob - Meyer

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử A = {At}t∈Ta là một quá trình liên tục phải Khi đó,

A được gọi là quá trình tăng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Aa = 0 và A = (At) là quá trình (Ft)−phù hợp;

ii) Quỹ đạo của A là hàm số tăng theo t trên Ta hầu chắc chắn

Quá trình tăngA = {At}t∈Ta được gọi làkhả tíchnếuEAt < ∞, ∀ t ∈ Ta.Mệnh đề 1.2.2 Giả sử A là một quá trình tăng, khả tích và M là martingale

bị chặn Khi đó, với mọi t ∈ Ta ta có

EMtAt = E

Z t a

Mτ∇Aτ

Chứng minh Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t]

π(n) : a = t(n)0 < t(n)1 < ã ã ã < t(n)k

thỏa mãn

max

i (ρ(t(n)i+1) − t(n)i ) 6 2−n (1.7)Trong Luận văn này, để đơn giản cho việc trình bày chúng tôi bỏ qua chỉ số(n)

n→∞

Z t a

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử A = (At)t∈Ta là một quá trình tăng khả tích Khi đó,

A được gọi là tăng tự nhiên nếu với mọi martingale M bị chặn thì đẳng thứcsau đây được thỏa mãn

EMtAt = E

Z t a

2) Nếu A = At là quá trình tăng tự nhiên thì A = (At)t∈Ta là quá trình(Ft−)− đo được.

Chứng minh 1) Vì A = {At} là quá trình liên tục, àA

Ta lại có, As là Fs− - đo được với mọi giá trị s ∈ I1 ∩ (a, t] Suy ra

E(Ms − Ms−)(As− As−) = E E(Ms− Ms−)(As − As−)|Fs−

= E(As− As−)E{(Ms − Ms−)|Fs−} = 0

Do đó,

E

Z t a

(Mτ − Mτ−)∇Aτ = 0

Sử dụng Mệnh đề 1.2.2 suy ra

E

Z t a

Mτ−∇Aτ = E

Z t a

Mτ∇Aτ = EMtAt,

nghĩa là (At) là quá trình tăng tự nhiên

2) Giả sử A = (At) là quá trình tăng tự nhiên ,chúng ta cần chỉ ra rằng At

là Ft−− đo được với t ∈ Ta Với mỗi martingale Mt xác định trên Ta và

a 6 s < t, áp dụng (1.8) ta có

E

Z t s

Mτ−∇Aτ = E

Z t a

Mτ−∇Aτ − E

Z s a

Mτ−∇Aτ

= EMtAt − EMsAs.Theo tính chất của tích phân Lebesgue-Stieltjes, ta có

lim

σ(s)↑tE

Z t s

Mτ−∇Aτ = EMt−(At − At−)

Suy ra

EMt−(At − At−) = EMtAt − EMt −At−,hay

Do đó, (Mτ) là (Fτ)− martingale Thay vào (1.9) ta có

E At − E[At | Ft−]
2 = E(Mt − Mt−)(At − E[At | Ft−]) = 0

ii) Nếu T = R thì mọi quá trình tăng khả tích, liên tục (At) là quá trình tăng

tự nhiên

Định lý 1.2.6 (Định lý khai triển Doob-Meyer) Giả sử X = (Xt)t∈Ta là martingale liên tục phải thuộc lớp (DL) Khi đó, tồn tại duy nhất một martin-gale M và một quá trình tăng tự nhiên A sao cho đẳng thức sau thỏa mãn

sub-Xt = Mt + At ∀ t ∈ Ta h.c.c

Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính duy nhất Giả sử tồn tại 2 martingale

M, M0 và 2 quá trình tăng tự nhiên A, A0 sao cho

Bτ−∇Aτ − E

Z t a

Tiếp theo, chúng ta chứng minh sự tồn tại M và A Từ tính duy nhấtchúng ta thấy rằng chỉ cần chứng minh tồn tại quá trình M và A trên đoạn[a; b] với mỗi b ∈ Ta Không mất tính tổng quát, giả sử rằng Xa = 0 Xétdãy phân hoạch π(n) : a = t(n)0 < t(n)1 < ã ã ã < t(n)k

n = b của [a, b] thỏa mãnmax

i (ρ(t(n)i+1) − t(n)i ) 6 21n và π(n) ⊂ π(n+1) áp dụng định lý khai triển Doob Meyer đối với dãy submartingale, X(n) = (Xtj)tj∈π(n) ta có

weak− lim

k→∞E(Mb(nk)|G) = E(Mb|G),với G là σ− trường con của σ− trường F

Lấy Π = Wn∈Nπ(n) và a 6 s 6 t 6 b với s, t ∈ Π cố định Suy ra rằng

At − As = Xt− Xs − [E(Mb|Ft) − E(Mb|Fs)]

= Xt− Xs −weak- lim

k→∞

hE(Mb(nk)|Ft) − E(M(nk )

Từ tính khả đoán của A(m k ) suy ra



E

Z b a

ξs−∇As = lim

n→∞E

Z b a

ξsπ(n)∇As = EξbAb

Do đó,

E

Z b a

ξs−∇As = EξbAb,nghĩa là A = (At) là quá trình tăng tự nhiên

LấyM ∈ M2 VìM2 là submartingale, nên tồn tại duy nhất một quá trìnhtăng tự nhiên hM i = (hM it)t∈Ta sao cho Mt2 − hM it là một martingale Quátrình tăng tự nhiênhM it được gọi là đặc trưngcủa martingale M

1.3 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian

1.3.1 Tích phân theo martingale bình phương khả tích

Ký hiệuL là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (φt)t∈Ta

xác định trên Ta ì Ω với quỹ đạo liên tục trái trênTa và (Fρ(t))− phù hợp

Lấy P là σ− trường các tập con của Ta ì Ω sinh bởi các quá trìnhngẫu nhiên trên L Dễ thấy rằng P được sinh bởi họ các tập {(s, t] ì F :

s, t ∈ Ta, s < t, F ∈ Fs}

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phần tử của σ− trường P được gọi là một tập khả đoán.Một quá trình ngẫu nhiên φ được gọi là khả đoán nếu nó đo được đối với σ−trường P

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quátrình khả đoán

Chú ý 1.3.2 i) Nếu T = N thì quá trình φt là khả đoán nếu φt là quá trình

Ft−1−đo được

ii) Nếu T = R thì φt là quá trình khả đoán nếu đo được đối vớiσ− trường sinh bởi họ các quá trình ngẫu nhiên liên tục trái

Mệnh đề 1.3.3 ([6]) Giả sử Φ là không gian tuyến tính gồm các quá trìnhngẫu nhiên φ : Taì Ω → R đo được, bị chặn thỏa mãn:

i) Φ chứa tất cả các quá trình φ bị chặn và φ ∈ L;

ii) Mọi dãy đơn điệu {φn} ⊂ Φ sao cho lim

n→∞φn = φ là quá trình bị chặnthuộc Φ

Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán

Giả sử M ∈ M2 là một martingale bình phương khả tích Ký hiệu

L2(M )là không gian tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, khả đoán

φ = {φt}t∈Ta, thỏa mãn

kφk2T,M = E

Z T a

φ2τ∇hM iτ < ∞, ∀ T > a

Với mỗib > a cố định GọiL2((a, b]; M )là hạn chế của không gianL2(M )trên

(a, b] Trên không gian L2((a, b]; M ) xét chuẩn được xác định bởi

kφk2b,M = E

Z b a

φ2τ∇hM iτ

Hai quá trìnhφ, φ ∈ L2((a, b]; M ) được gọi là trùng nhaunếu kφ − φkb,M = 0

Một quá trình φ xác định trên [a, b] được gọi là quá trình đơn giản, nếutồn tại một phân hoạchπ : a = t0 < t1 < ã ã ã < tn = b của [a, b]và dãy các biếnngẫu nhiên bị chặn {fi} sao cho fi là Fti−1− đo được với mọi i = 1, n và

Chúng ta ký hiệu tập hợp tất cả các quá trình đơn giản làL0

Bổ đề 1.3.4 L0 trù mật trong L2((a, b]; M ) với metric xác định bởi

d(φ, ϕ)2 = kφ − ϕk2b,M = E

Z b a

|φτ − ϕτ|2∇hM iτ

Chứng minh Rõ ràng, L0 ⊂ L2((a, b]; M ) Lấy φ ∈ L2((a, b]; M ) Đặt

φK(t, ω) := φ(t, ω)1[−K,K](φ(t, ω))

Khi đó, φK ∈ L2((a, b]; M )và kφ − φKkb,M → 0 khi K → +∞ Do đó, chúng

ta cần chỉ ra với mỗi quá trình φ ∈ L2((a, b]; M ) bị chặn thì có thể xác định

được dãy φ(n) ∈ L0, n = 1, 2, ã ã ã , sao cho kφ − φ(n)kb,M → 0 khi n → ∞.Lấy

Υ = {φ ∈ L2((a, b]; M ) : φ bị chặn và tồn tại φ(n) ∈ L0

sao cho kφ − φ(n)kb,M → 0 khi n → ∞}

Υ là không gian tuyến tính và nếu φ(n) ∈ Υ, kφ(n)k < K với hằng số K > 0nào đó và φ(n) ↑ φ thì φ ∈ Υ Với mỗi φ ∈ L, đặt

φ(n)(t) := φ(σ(ti)), nếu t ∈ (ti, ti+1] với i = 0, kn− 1,

trong đó {ti} là một phân hoạch của [a, b] sao cho max

i (ρ(ti+1) − ti) 6 2−n.Suy ra φ(n) ∈ L0 và kφ(n)− φkb,M → 0 khi n → ∞

Kết hợp với Mệnh đề 1.3.3, suy ra Υ chứa tất cả các quá trình khả đoán bịchặn Do đó, Υ = L2((a, b]; M )

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử φ là một quá trình thuộc L0, có dạng (1.11) Khi đó,

Z b a

đại lượng ngẫu nhiênFb− đo được và mệnh đề sau đây được thỏa mãn

Mệnh đề 1.3.6 Giả sử φ là một quá trình thuộc L0 và α, β là các số thực Khi

đó,

iii) Rb

a[αφτ + βξτ]∇Mτ = αRabφτ∇Mτ + βRabξτ∇Mτ h.c.c

Với mỗi φ ∈ L2((a, b]; M ), từ Bổ đề 1.3.4 suy ra tồn tại dãy {φ(n)} ⊂ L0

sao cho kφ − φ(n)kb,M → 0 khi n → ∞ Mặt khác,

E

Z b a

φ(n)τ ∇Mτ −

Z b a

ξ = L2 − lim

n→∞

Z b a

φ(n)τ ∇Mτ

Giới hạn ξ không phụ thuộc vào việc chọn dãy {φ(n)}

Định nghĩa 1.3.7 Giả sử φ ∈ L2((a, b]; M ), ∇− tích phân ngẫu nhiên củaquá trình φ theo martingale bình phương khả tích M ∈ M2 trên (a, b], ký hiệu

là Rb

a φτ∇Mτ và được xác định bởi

Z b a

φτ∇Mτ = L2 − lim

n→∞

Z b a

|φτ − φ(n)τ |2∇hM iτ = 0

Ví dụ 1.3.8 i) Nếu T = N và φ ∈ L2((a, b]; M ) thì (φn) là dãy các biến ngẫunhiên (Fn−1)− đo được và

Z b a

ii) Nếu T = R thì L2((a, b]; M ) chứa tất cả các quá trình khả đoán (quá trình

đo được đối với σ− trường sinh bởi các quá trình liên tục trái) Hơn nữa,

Z b a

φτ∇Mτ =

Z b a

φτdMτ,

trong đó Rb

a φτdMτ là tích phân ngẫu nhiên Itô được xác định theo nghĩa thôngthường như trong [6]

Sau đây là một số tính chất cơ bản của∇−tích phân ngẫu nhiên

Mệnh đề 1.3.9 Giả sử φ, ξ ∈ L2((a, b]; M ) và α, β là hai số thực Khi đó cáckhẳng định sau được thỏa mãn

ξφτ∇Mτ = ξ

Z b a

φ2τ∇hM iτ|Fai h.c.c (1.16)

Chứng minh Đẳng thức (1.15) suy ra trực tiếp từ định nghĩa ∇−tích phân ngẫunhiên và tính chất của kỳ vọng có điều kiện Hơn nữa, với mọi A ∈ Fa ta cóE

1Aφτ∇Mτ

2#

= E

Z b a

1Aφ2τ∇hM iτ = E



1A

Z b a

φ2τ∇hM iτ

.Như vậy,

φ2τ∇hM iτ



∀ A ∈ Fa,nghĩa là

E

hZ b a

φτ∇Mτ2|Fai = E

hZ b a

φ2τ∇hM iτ|Fai h.c.c,suy ra (1.16) được chứng minh

Định nghĩa 1.3.11 Giả sử φ ∈ L2((a, b]; M ) Với mỗi t ∈ [a, b], định nghĩa

I(a) = 0; I(t) =

Z b a

1(a,t]φτ∇Mτ ∀ a < t 6 b,

và gọi là ∇− tích phân ngẫu nhiên dạng bất định của quá trình φ theo gale bình phương khả tích M, ký hiệu là Rt

martin-a φτ∇Mτ

Định lý 1.3.12 ([3]) Giả sử φ là một phần tử bất kỳ thuộc L2((a, b]; M ) Khi đó,

∇− tích phân ngẫu nhiên dạng bất định {I(t)}t∈[a,b] là một (Ft)−martingalebình phương khả tích Hơn nữa, ta có ước lượng sau

E

sup

a6t6b

Z t a

φτ∇Mτ

2

6 4E

Z b a

|φτ|2∇hM iτ (1.17)Chứng minh Rõ ràng {I(t)}t∈[a,b] là quá trình Ft− phù hợp, bình phương khảtích Tính chất martingale của I(t) suy ra từ

E I(t)|Fs
= E I(s)|Fs
+ E

 Z t s

φτ∇Mτ Fs



= I(s)

1.3.2 Tích phân theo martingale địa phương bình phương

khả tích

Lấy M ∈ Mloc2 , tức là tồn tại dãy (Ft)−thời điểm dừng (βn)n∈N với

βn ↑ ∞ h.c.c, sao cho M(n) = (Mt∧βn) là quá trình martingale bình phương khảtích với mọi n ∈ N Ký hiệu hM(n)it là đặc trưng của Mt(n) Chúng ta chứngminh được rằng tồn tại duy nhất một quá trình tăng, (Ft)−khả đoán hM it, gọi

là đặc trưngcủa M, sao cho

hM it∧βn = hM(n)it

Ký hiệu Lloc

2 (Ta; M ) là không gian gồm tất cả quá trình ngẫu nhiên khả

đoán, nhận giá trị thực φ = {φt}t∈Ta thỏa mãn

φτ∇Mτ(n)

Với mọi n ∈ N, đặt Ωn := {βn > b} Rõ ràng Ωn ↑ Ω khi n → ∞ và

I(m)(φ) = I(n)(φ)trênΩm, ∀ n > m Suy raI(m)(φ) sẽ trùng nhau với xác suất

1 bắt đầu từ m0 = m0(ω) nào đó Do đó, tồn tại duy nhất một biến ngẫu nhiên

I(φ)thỏa mãn

I(φ)(ω) = I(n)(φ)(ω) ∀ n > m; ω ∈ Ωm (1.19)

Chúng ta thấy rằngI(φ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy {βn}

Định nghĩa 1.3.13 I(φ) trong công thức (1.19) được gọi là ∇− tích phân ngẫunhiên trên (a, b] của quá trình φ ∈ Lloc

2 (Ta; M )theo martingale địa phương bìnhphương khả tích M ∈ Mloc

2 Ký hiệu ∇− tích phân ngẫu nhiên là Rb

φ(m)τ

− ∇Mτ(m) = L2 − lim

n→∞

Z b a

trong đó Mt(m) = Mt∧βm Hơn nữa, nếu m1 < m2 thì

với mọi ω ∈ Am1 ∩ Ωm1 và n ∈ N Có nghĩa là ξm = ξm1 trên Am1 ∩ Ωm1

∀ m > m1 Mặt khác, Am ∩ Ωm ↑ Ω nên

ξ =

Z b a

N ∈ Mloc2 Chúng ta biết rằng tích phân theo quá trình A có biến phân giớinội trên tập compact, có thể hiểu là ∇−tích phân Lebesgue-Stieltjes tính theoquỹ đạo Do đó, chúng ta có thể mở rộng định nghĩa tích phân theo martingale

địa phương bình phương khả tích cho tích phân theo semimartingale bằng cách

đặt

Z b a

φτ∇Mτ =

Z b a

φτ∇Aτ +

Z b a

φτ∇Nτ,với φt là quá trình (Ft)−phù hợp, sao cho hai tích phân ở vế phải tồn tại

Ký hiệu Lloc

2 (Ta; M ) không gian gồm tất q trình ngẫu nhiên khả

đốn, nhận giá trị thực φ = {φt}t∈Ta...

I(m)(φ) = I(n)(φ )trên? ??m, ∀ n > m Suy raI(m)(φ) trùng với xác suất

1 m0 = m0(ω) Do đó, tồn biến ngẫu nhiên

I(φ)thỏa mãn

I(φ)(ω)... class="page_container" data-page="29">

Định nghĩa 1.3.13 I(φ) công thức (1.19) gọi ∇− tích phân ngẫunhiên (a, b] trình φ ∈ Lloc

2 (Ta; M )theo