Đạo hàm trung bình và các phương pháp phối hợp để giải một số bài toán biên

Bái toan bien vói phildng trinh poatxóng 42 ChliÓnS d- Mot so philong phap phoi hop giai Bái toan bien khóng dúng tren mién có bien ky di 46 $1- PhUdng pháp bien doi Laplaxd 46 $2... v T

TRUONG DAI HQC TONG HOP HA NOl

Khoa Toan - Co - Tin hoc

" ' • • ' ' ' ' ' ^ \

DAO HAM TRÜNG BÍNH VA CÁC PHÜONG PHÁP PHOI HCÍP

• •

DE GIÁI MÓT SO BÁI TOAN BIEN

Chuyén ngánh: Toan hoc tính toan

MUC LUC Chijdng 1 : M¿ dáu

$1 Dao hám trxmE binh tích phan

$2- Mót so khái niém bo trO w

2.1 Nghiém xáp xi 6

2.2 Phiidng pháp can bang sai so 7

g ¿: Cae bal toan bien co nghiem khong trun 12

6

$1_ Bái toan bien d^ng phúc tap có nghiém gián cJoan 12

$2- Bái toan bien dang phúc ta.p có nghiém khóng trdn 17

$3 Bái toan bien dang don gian có nghiém khóng trdn 19

OJlUOn^ ü - Cae bai toan bien co he so khong tron 20

$1 Bái toan bien mot chiéu d^ng don gian 20

$2_ Bái toan bien mot chiéu dang tóng quát 26

ChllÓn^ 4' Cae bai toan bien eo bien ky di 30

$1 Bái toan bien vói phuong trinh laplaxd 30

$2 Bái toan bien vói phildng trinh poatxóng 42

ChliÓnS d- Mot so philong phap phoi hop giai

Bái toan bien khóng dúng tren mién có bien ky di 46

$1- PhUdng pháp bien doi Laplaxd 46

$2 Phildng pháp duóng thang 50

$3- PhUdng pháp láp tích phán 52

Phu luC 64

iij Néu tai Xo ta cc5'F(xo,h) ~ Ah

trong dó A - Toan tü tuyen tính giói ngi, thi F dUdc ggi la khá vi trung binh, co dao ham trung binh theo tích phán t§.i Xo, vá viét F'(xo, h)= Ah

Nhán xét: De muc dinh nghién cúu cüa luán án nén ó dáy chi

sü dung d&o ham trung binh tích phán theo dinh nghia tren

Ta có thé md róng dinh nghia tren báng cách thay thé biéu thúc tronfe i) bói biéu thúc:

5

-(F * G ) ' (Xo) = F ' ( Z ¿ ) G ' ( X O ) ( Z O ^ G C X O )

ii) Neu F có dao hám Gateaux tai Xo thi F cúng có dao hám ,t

"^^•^ng binh tai dó vá ta có: F'(xo) = F'(xo)

iii) Ton tai ^ hám F có dao hám trung binh tai xo, nhUng D kbóng có dao hám Gateaux tai dó

Vi du: F(x) - Ixl khóng có dao hám Gateaux tai xo - O nhUng:

iv) Hám F có diém góe tai Xo (hinh 1 ) Nhung có thé^dao hám

trung binh tai dó

v ) Hám F khóng lien "cuc t^i x o , nhUng có thé co GQ^O ham

trung binh t5LÍ dó (hinh 2 )

Xo

fíirih 9

v i ) Hám F có dao hám húu han hai phía tai Xo thi co aao

hám rrung binh tai dó vá "ca có:

_ F^(Xo-rO) + F'(xo-O) F'(xo) =

6

-Nhan xet: Các t m h chat i i ) , i i i ) , i v ) , v ) suy tú tính chat

v i ) báy gió ta chúng minh tính chat v i )

Thát váy do gia thiét F có dao hám hai phía tai xo nén de dáng suy ra hám:

F(Xo-i-5h) - F (Xo) F (Xo-5h) t.xo;

Vói các dieu kién:

3(U) - 3 Tren phán bién •'^; (2.1.2)

(u) Tren phán bién "

Trong dó o lá mién dude giai vói

L , S, G lá các toan tü vi phán, b, s, g lá các hám da cho Giá sü U lá nghiém dúng cüa bái toan (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) má ta khóng thg tim dUde báng phUóng pháp giái tích

Ta tim nghiém xáp xi U cüa U dtlói dang:

n U* = i: «1 'f>i + «o (2.1.4)

ó dáy ai(i=0,n) lá các hé só can tim; { *í^i(x) } (1=1,=^ ) lá

hé hám dáy dü, túc lá hé thoa man các dieu kién sau:

Trong viee tim nghiem xap xi U sao cho các ham sai se R,

Ri, Ra dude xác dinh bdi (2.1.6), (2.1.7), (2.1.8) có giá tri bé túy y tren Q + r, da xuát hién nhieu phucng pháp khá

ly thú Dé phuc vu cho viéc nghién cúu d các chüdng sau, chúng tói trích dan phiidng pháp can báng sai só dUdc trinh báy trong [1]

22 PhUdng pháp can bang sai so

-Giá thiét rang VW déu viét dUde duói dang:

Z B i f i (2.2.2 i=l

- j

lá:

"trong dó {^^i} la hé hám dáy du ; {3 i} các hé so

Thé thi moi ham u thoa man dieu kién bien ~inh dúngtúc

Ri = Rs - O (2.2.2)

2-3- các phép bién doi toan tU:

2.3.1 Phép bién doi LapIaxO mót chiéu:

i) Dinh nghia: Phép bien Bol Laplaxó mot chleu lá phép bien

361 Bat túóng úng mol hám f(t) mot hám F(s) Búóc xác Binh bol Báng thúc:

F(s): = ^ C f ( t ) , s] f(t) e ^"^ dt

ii) Dieu kién dü dé ton tai phép bién dói Laplaxd mgt chiéu:

Phép bién dói Laplaxd mót chiéu cua hám f(t) ton tai theo nghia hgi tu tuyét dói néu:

+ 0O

f(t)(e a) Ton tai J if(t)[e dt

o b) Ton tai ^ [f(t), s]

9 iii) Phép bién dói ngUdc Laplaxd mót chiéu:

Phép bién dói dat tUdng úng moi hám^F(s) mgt hám f(t) má

y [f(t),s] = F(s) dude ggi lá phép bién dói ngUOc Laplaxd mgt chiéu cüa hám f(t); vá viét;

f(t) = ^ "^[F(s)] iv) S\t ton tai cüa phép bién dói ngU0c Laplaxd

a) Néu F(S) lá hám giái tích vá có cap nhó non (-1) thi ton tai^^[F(s)]

v) Tính chát cua phép bién dói Laplaxd:

a) Gia thiét Fi(s), F2(s) lá các bién dói Laplaxd cüa các hám fi(t), f2(t) tUdng úng Thé thi V «, B ik các háng so ta có;

^ [ocfi(t) + tif2(t),s] = ocFi(s) + BF2(S)

b) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t), vá

ton tai f (t) Vt > O khi dó:

^ [f'Ct),s] = 3F(o)-F(0+0)-Zexp(-t±s) [f(ti+O )-x(-i-O ) ]

e) Giá sü F(s) lá phép bién doi Laplaxd cüa hám f(t) khi dó vói moi háng só a ta có:

f(t):

+ Néu f(t) lien tuc thi-ta có:

3 ^ [ f - t ) , s] = sF(s) - f(0+0) + Neu f(t) có giói han hai phía hüu han tai tx, t2 thi

Ífcf'(t), 3] = iF(s) - f ( 0 + 0 ) - i:exp(-tiS) [ f(ti+0)-f(ti-0) j

V

2.3.2 Phep bién dói T.FJPlaxd hai chiéu:

i) Dinh nghia: Phép bién dói Laplaxd hai chiéu lá phép bién dói dat tUdng ung moi ham í.\x.) mgt ham Fís) co dang:

11

= x ^ [ f ( t )

F(s) =oCo[f(t),s)] = f(t)e ^ dt

ii) Quan hé giüa bién dói Laplaxd hai chiéu vá mgt chiéu:

Giá thiét ton tai các phép bién dói Laplaxd mgt chiéu

vá hai chiéu cho hám f(t) thé thi:

^ [ f ( t ) , s ] = ^ [ f ( t ) , s ] + ^[f(-t),s]

iii) Tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu:

Nhiéu tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu

¿xií^c suy tú tính chát cüa phép bién dói Laplaxd mgt chiéu

Trong trUÓng hOp riéng ta có;

a) ^B'[f(t),s] = ^ [f(t),s] néu f(t) = O khi t ^ 0

a) ¿ f s [f(t),s] - ^[f(t),s] ^ neu f(t)=0 khi t i c

5

12

-CHÜQNG I I : CAC BAI TOAN BIEN CO NGHIEM KHONG TEON

Trong chuong náy trinh báy các bái toan bién có nghiém khóng "crdn da dugc Mactruc [3] dua ra khi mó hinh hóa bái toan ó nhiem mói trudng gáy nén boi mgt nguon nhiem bán có kích thuóc khóng lón so vói pham vi anh hUdng

$1: Bái toan bién dang phÚc tao có nghiém gián doan

•7 ^

Xet qua t r m h khuyech tan va di chuyen cua thUe the eo van toe cüa khói khóng khi khác khóng, dude mó ta bdi phUdng trinh [ 3 ] :

vói eáe giá thiét "Pfx) - giói ngi Vx ^ (-*», - * - ' " ) , ' x , B, u , Q

lá các háng só da biét, a > O, u"" (x-Xo) - hám don v i ,

13

do thi nghiém (1.3) có dang

Hinh 4

Nhán xe-fc: tai x = Xo nghiém ^ ( x ) gián doan leal 1, nén khóng

có dao hám Gateaux; nhüng có dao hám trung binh tích phán

Váy e á ^ dao hám có mat trong bái toan (1.1) vá 1.2 có thé hiéu lá dao hám trung binh

Báy gid ta giái bái toáin ( 1 1 ) , ( 1.2) vói giá thiét cae dao hám d dó lá các dao hám trung binh bang phUdng pháp phói hdp phép bién dói laplaxd vá dao hám triing binh

Dinh lv2: Nghiém^ cua bái toan (1.1) vá (1.2) Búóc tim theo phúóng pháp phói hOp Bao hám trung binh vá phép bién Bói Laplaxó trung vói nghiém giái tich (1.3)

Thát váy, dat ^ (x) - (p(x) - xu (x-xo) (1.4)

ta tháy (1.19) trung vói (1.3) váy dinh ly dude chúng minh

$2 Bái toan bién dang DMC tao vÓi nghiém khóng trón

18 vói oác gia thiet oc, B , vi , Q lá các háng so da biet 'P(x) van giá thiet lá hám giói nói- 5"(^->^o) - í)irác Nghiém giái tich cüa (2.1), (2.2) có dang [3]

-Q

e x p < 44Bvi+<x^

Do thi cüa nghiém (2.3) lá:

Hinh 5: Do thi nghiém (2.3) khi oc>0

Whan -xf^.t.- i) Do thi nghiém (2.3) cüa bái toan (2.1), (2.2) lá hám khóng trdn tai x=xo Nén tai dó khóng ton ta.i dao hám Gateaux, nhUng van có ád-o hám trung binh

ii) Bái toan (2.1), (2.2) lá tnJÓng hdP dác biét cüa bái toan (1.1), (1.2) khi X =0 vá chinh lá bái toan (1.7), (1.3) Váy ta có ménh dé sau:

Menh dé 1: Nghiém cüa bái toan (2.1), (2.2) dude tim theo phUdng pháp phói hdp dao hám trung binh vói phep bién dói Laplaxd trung vói nghiém giái tich (2.3)

Vói các gia thiet B , vi , Q lá các hang so, 'P(x) - giói nói

Nghiém cüa bái toan (3.1), (3.2) có dang [3]:

Q

B exp

fíTnh 6- Do thi nghiém (3.3) cüa bai toan (3.1), (3-2)

Mhan yRt.! Bái toán (3.1), (3.2) lá triJdng hdP riéng cüa bái

toan (1.1), (1.2) khi >^ =0 vá '-x=0 Váy ta có ménh de sau:

Menh de 2: Nghiém cüa bái toán (3.1), (3.2) dUde tim báng phUdng pháp phói hdP vá nghiém giái tich (3.3) lá "crüng nhau Bái toán (3.1), (3.2) duoc xét khi mó tá sU khuyech tan vá dieh chuyén eüa thUc thé vói van toe cüa khóng khi bang khóng

20

-CHUONG I I I CÁC BÁI TOÁN BIÉN CÓ HÍ SO KHONG TRON

Trong chUdng náy, dánh trinh báy các bal toán bién có

hé só khóng trdn da duOc các tac giá nhU Ladujenxkaia [5]

lanhenkó [8], Xamarxki [7] v.v giai báng phUdng pháp xáy

dUng cae liide do sai phán dUa theo các nguyén ly bién phán

U dáy tac giá sü dúng khái niém dao hám trung binh dé

di^ng các lUdc dó sai phán giai các bái toán dó

$1 Bái toán bién mót chiéu dang ddn gián

Ngoái ra giá thiét p(x), q(x), *Í^(X) ton t^ii các dao

hám trung binh vá giói nói

Tren [0,1], xét hai hé diem lUdi fxic}, {xit-*-i/2}

22 Xét tich vó hüdng:

-(f(x), g(x) = f (X)g(X)dx (1.6)

Thé thi

( O

1 Alt-1/2

23 Trong dó

Pi - P ( x i ) , 'Pi - *f>(xi) Xét toán tü A dUde xác dinh bói hé thúc

Trong dó ^ ^ (í - Khóng gian nghiém cua (1.1), (1.2)

Véc td F:= (fi,f2, , fn-i) vói các thánh phán:

- 24

De y ráng (1.13) lá hé phiidng tuyén tính, ma trán A lá ma trán dói xúng, xác dinh dUóng, ^ang ba duóng chéo chinh Váy giái (1.13) ta tim duOc nghiém ^

Khi dó nghiém xáp xi cua (1,1), (1.2) có dang

n-1 (P(X) - T 4?jU)j(x)

j = l

(1-15)

Báy gid ta chuyén sang khao sát sU hgi tu cüa nghiém bái toán sai phán (1.13) vé nghiém dúng eua bái toán xuát phát (1.1), (1.2)

Dát h = max Ixk-t-i - Xkl

k Sinh Iv 3: Vói búóc h Bu bé thi hé (1-^3) có nghiém duy nhát

vá nghiém cua (l.Í3) hói tu ve nghiém Búng cúa bái toán (1.1), (1.2) vói cap hói tu 1/2

Chúng minh: S^X ton tei nghiém cua (1.13) suy tú tinh xác dinh dUdng cua ma tran A Gia sU (1.13) co nghiem ^> De chúng minh ^ hói tu vé nghiém cüa (1.1), (1.2) ta chi can chúng minh tinh xáp xi vá ón dinh eua lUde dó sai phán (1.13)

Ta có:

u l-xi I 1-1

A (f<>)íi-f I ¡ F M F + VNÍF" % I? i-i (1.16) Trong dó:

(f W

A k

r xk-^i p' (x)í3' (x)¥>(x)dx

Ta chuyén sang dánh giá sU ón dinh cüa lUdc do (1.13)

(tP k-Kl-¥> k )

Pk-2 A k - l / Pk-2

h K (íPk-tPk-i) A k q k ^ k

- 27

= > íp'N I crh

h Vi I (•P , f )P^

Nhán xét: Dé dUde cap hói tu cao hon ta có thé su dung

phuong pháp Rísaexdn hoac táng dó trOn cüa nghiém, hay có thé xét tren he luói tUa déu

hám khóng táng, thi cap hói tu cua nghiém 9 cua he (1.13)

vé nghiém Búng ^P cúa bái toán xuát phát lá 1

Viéc chúng minh dinh ly náy tUdng tú chúng minh dinh ly 3 chi khác lá chuán dUde chon lá:

Trong dó giá thiét p ( x ) , r ( x ) , q(x) , ^ ( x ) lá các hám gián

doan loa-i 1- Ngoái ra 'P(x) lá da thtfc bác m tren moi doen

luói [xk, xk-^i] Thé thi tú ly thuyét xáp x i , ta dung hám

gk(x) lá da thUc xáp xi cüa íP(x) di qua (m-t-1) diém xko, Xki,

Ta cüng có thé sü dung hé hám cd sd lUdng giác nhü sau:

Tren moi doan [xi, xi-^i], ta xáp xi nghiép bang da thúc:

Dinh Iv 5: Bái toán (2.1), (2.2) néu bó xung Biéu kién:

^No (0) = <PNn (1) = 0; ^Ni-i (xi) = ^Ni(xi) i= 1,2, ,n

ihi 3Q léch cúa nghiém gan Búng (2 6) So vói nghiém Búng cúa

bái toán (2.1), (2.2) BúOo úóc lúóng bói cóng thúc

tp - (P*^i I í const

-l2C0,l] N*^

trong dó N = min Ni, <x - dó trdn cua nghiém,

L

30

CHÜQNG IV CAC BAI TOAN BIEN CO BIEN KY DI

Các bái toán trinh báy trong chUdng náy duoc các tac giá nhu lanhenkó [3], Xamarxki [7], Gódunóp [2] v.v Xét vói các dieu kién bién Diricklé, Náyman bang các phUdng pháp khai trien tóng, phUdng pháp phán ra v.v O dáy tac giá xét cho dieu kién bién dang tó hdP báng phudng pháp phói hdP dao hám trung binh vói phUdng pháp phán tü bién

$1 Bái toán bién vÓi philóng trinh Laplaxó:

Xét bái toán sau:

a(x)u(x) + B(x)q(x) = y(x) K ^ r (1.2)

2 , ^^^>^ B Trong dó V - toán tu Laplaxd^

q(x):= (n lá pháp tuyén ngoái cüa bién r )

Trong dó W - hám trong lUdng

Tích phán tüng phán hai lán vé trái cüa (1.3) ta dudc

( V W)udn = aw

u dr 3n

De y ráng ó hé thúc (1.7), x ^ r , | ^ Q + r , vi váy

(1.7) chính lá sU ráng buóc eáe giá tri cüa nghiém u(x) tai

cae diem trong mien ^ vá cae diem tren bien ^

Nhán xét: (1.7) cho phép tim nghiém u( | ) , ( | ^ ^) cüa bái

toán (1.1), (1.2) néu biet u( | ), q( | ) khi % ^ ^•

Xét I <: r , khi dó tích phán d vé trái cüa (1.7) chúa ky

di yéu tai í ^ x ^Dé khac phuc, ta xét hinh cáu tám S , bán

kính £ , vá giá thiét bién cüa hinh cáu lá r^^ ; ta có:

32

-lim

3u ( I ,x) u(x) dr(x) =u( I ) lim

' ¿3u ( I ,x)

3n(yi) L-^0 J an(x)

^e

drcx) (1.11)

Khi dó (1.12) có dang

(1.14)

C( I )u( I ) + u(x)q ( I ,x)dr(x) q(x)u (| ,x)dr(x) (1.15

Dáng thúc (1.15) lá phUdng trinh can tim giá tri u{ % )

tren bién r Néu dói hoi tim nghiém eüa (1.1) vói dieu kién

bién Náyman thi vé phái cüa (1.15) da biet, khi dó (1.15) lá

ph-adng trinh Phdredóm loai 2; Neu dói hoi tim nghiém cüa phUdng trinh (1.1) vói các dieu kién bién Dirielé thi vé

trái cüa phUdng trinh (1.15) da biét, khi dó (1-15) lá

phUdng trinh Phdredóm loai 1 Giái cae phUdng trinh tUdng

úng ta tim diJdc các giá tri cüa các hám u(x), q(x) tren bién,

sau dó theo (1.7) ta tim dUdc giá tri cüa u(x) tai các diém

trong cüa mién ¿"i

33

-Xét bái toán ( 1 1 ) , (1.2) trong trUÓng hdp hai chieu Chia bién f thánh N phán tü r i , r^, , Í'N Gia thiét tren moi phán tü E'j (j = l,N) các hám u ( x ) , q(x) có bác tUdng úng

C , u , q , lá các giá tri tUdng úng cua các hám C{ $ ) ,

iJÍ I ) , *^( I ) ^'í f ¿ ^üt thú 1 cüa phán tü r ± (i=l,N ;£^0,H) PhUdng trinh (1.15) 4\i0c viét cho tat cá các nút cua các phán tü, ta dude h é :

1 1 1 1

C u +

N j^l

N u(x)q*(| ,x)dr(x) = Z

Giá thiet tren mol phán tü rj (j = 1, N ) , các hám u(x)

vá q(x) áxic^c viét duói dang:

35

-g j i i

g j i t gNM -t- g l O

trong cüa mién tí dUOc tim theo (1.7)

Dinh Iv 6: Neu hé (1.29) có nghiém Thi nghiém cúa hé phúóng trinh 1.29 hói tu vé nghiém Búng cúa bal toán (1.1), (1.2) theo chuán náng lúóng

(Thilrp minh: Thát váy, giá sü u lá nghiém cüa bái toán ( 1 1 ) , ( 1 2 ) , Un lá nghiém cüa hé (1.29)

do { 'f*i } - né dáy dü nén V E > O bé túy y, déu ton tai n

sao cho:

n ^ -> 1/2 (u - Z íí>iUi) dr ^ < í

1=1

< > III U - Un

Váy dinh ly duoc chúng minh

37

-Dinh Iv 7 Vói gia thiét cúa Binh ly 6, vá gia thiét các hám

u, q thay Bói khóng nhiéu tren các phan tú bién r¿ (j = 1,N)

thi sú ton tal duy nhát nghiém cúa (1.29) tuóng Büóng vói sú ton tai duy nhát nghiém cúa bái toán (1.1), (1.2),

Dinh ly náy lá hién nhién, vi vói giá thiét các hám u ,

q thay dói khóng nhiéu tren rj (j=i,N) nén các hé (1.29) vá (1.15) lá t-Udng duóng

Hháii xét: Su ton tai duy nhát nghiém cüng nhu tinh giái duOc

eua hé (1.29) Tuy thuóc váo bái toán cu thé, cháng han nhu diéu kién bién, mién duoc giái, v.v

Xét diéu kién bién Dirielé ta có két quá nhu sau:

Binh Iv B: Vói các gia thiét cúa Binh ly 6, Binh ly 7, vá giá thiét B(x) = O thi hé (1.29) lá hé phúóng vrinh Bói xúng

Dinh ly náy lá hién nhién, vi de dáng tháy G ma trán dói xúng

Báy gió ta xét mót vái trUÓng hdp don gian cua bái toáun ( 1 , 1 ) , ( 1 2 ) , vói bién r lá duóng gáp khúc khép kín

1.1 n^o ham 11 Q có giá tri khong doi tren moi doan bien:

Trong phán náy, ta gia thiét các hám u, q có giá tri khóng doi tren moi phán tü bién f'j; khi dó tren f j (j = yl) ta chgn mgt nút tai trung diém cüa nó (Hinh 1 0 )