Một số phương pháp song song giải hệ phương trình vi phân

Việc xây dựng và nghiên cứu các phương pháp tính toán hữu hiệu- các phương pháp song song trên các máy tính hiệu năng cao đã trở thành nhu cầu cấp thiết trong giải tích số nói chung và t

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Tổng quan về các phương pháp Runge-Kutta 1.1 Các khái niệm cơ bản của phương pháp Runge-Kutta (RK) 8

1.1.1 Tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta (RK) 10

1.1.2 Cấp chính xác của phương pháp Runge-Kutta 12

1.2 Các phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK) 13

1.3 Các phương pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp 16

1.4 Các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK) 19

1.4.1 Sự ổn định của các phương pháp PIRK 22

1.4.2 Sự hội tụ của các phương pháp PIRK 23

1.4.3 Một số phương pháp PIRK khác 23

1.5 Kết luận 25

Chương 2 Các phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh Dạng Runge-Kutta liên tục 2.1 Các phương pháp hiệu chỉnh RK liên tục 28

2.2 Các phương pháp PIRKC 32

2.2.1 Tốc độ hội tụ 35

2.2.2 Miền ổn định 36

2.3 Các thử nghiệm số 37

2.3.1 So sánh với các phương pháp song song 39

2.3.1.1 Bài toán hai vật thể 40

2.3.1.2 Bài toán Fehlberg 41

2.3.1.3 Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động của ngoại lực 41

2.3.2 So sánh với các phương pháp tuần tự 42

2.4 Kết luận 43

Chương 3 Các phương pháp lặp song song Giả Runge-Kutta hai bước 3.1 Các phương pháp hiệu chỉnh giả Runge-Kutta hai bước (các phương

pháp PTRK) 45

3.2 Các phương pháp lặp song song giả RK hai bước (các phương pháp IPIPTRK) 50

3.2.1 Các điều kiện cấp cho công thức dự báo 51

3.2.2 Tốc độ hội tụ 53

3.2.3 Miền ổn định 54

3.3 Các thử nghiệm số 56

3.3.1 So sánh với các phương pháp song song 59

3.3.1.1 Bài toán hai vật thể 60

3.3.1.2 Bài toán Fehlberg 60

3.3.1.3 Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động của ngoại lực 61

3.3.2 So sánh với các phương pháp tuần tự 62

3.4 Kết luận 63

Chương 4 Các phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh Dạng Runge-kutta hai bước một liên tục 4.1 Các phương pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bước một liên tục 65

4.2 Các phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bước một liên tục ( các phương pháp TBTPIRKC) 68

4.2.1 Tốc độ hội tụ 70

4.2.2 Miền ổn định 71

4.3 Các thử nghiệm số 73

4.3.1 So sánh với các phương pháp song song 75

4.3.1.2 Bài toán Fehlberg 75

4.3.1.3 Bài toán chuyển động của vật thể rắn không có tác động của ngoại lực 76

4.3.2 So sánh với các phương pháp tuần tự 77

4.4 Kết luận 77

Kết luận của luận án 79

Danh mục các công trình đã công bố 80

Tài liệu tham khảo 82

Danh môc c¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t

ERK (Explicit Runge-Kutta method) ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta hiÓn

IRK (Implicit Runge-Kutta method) ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta Èn

IPIPTRK (Improved parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta methods)

c¸c ph−¬ng ph¸p lÆp song song gi¶ Runge-Kutta hai b−íc c¶i tiÕn IVPs (Initial Value Problems) c¸c bµi to¸n gi¸ trÞ ®Çu (bµi to¸n Cauchy)

ODEs (Ordinary differential equations) c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng

PIRK (Parallel-iterated Runge-Kutta method) ph−¬ng ph¸p lÆp song song

d¹ng Runge-Kutta

PIRKC (Parallel-iterated Runge-Kutta method with continuous output

formulas) c¸c ph−¬ng ph¸p lÆp song song d¹ng Runge-Kutta liªn tôc PTRK (Pseudo Two-step Runge-Kutta method) c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶ hai b−íc

d¹ng Runge-Kutta

PC (Predictor-corrector method) ph−¬ng ph¸p dù b¸o-hiÖu chØnh Kutta

Runge-TBTRKC (Continuous twostep-by-twostep Runge-Kutta method) c¸c ph−¬ng

ph¸p d¹ng Runge-Kutta hai b−íc mét liªn tôc

TBTPIRKC (Twostep-by-twostep PIRK-type PC methods with continuous

output formulas) c¸c ph−¬ng ph¸p lÆp song d¹ng Runge-Kutta hai b−íc mét liªn tôc

B¶ng 2.2 C¸c gi¸ trÞ NCD/ cho bµi to¸n (2.3.2) nhËn ®−îc b»ng c¸c

ph−¬ng ph¸p song song PC cÊp kh¸c nhau ……….40

seqN

p

B¶ng 2.3 C¸c gi¸ trÞ / cho bµi to¸n (2.3.3) nhËn ®−îc b»ng c¸c

ph−¬ng ph¸p song song PC cÊp kh¸c nhau ……….………… 41

NCD Nseq

p

B¶ng 2.4 C¸c gi¸ trÞ NCD/ cho bµi to¸n (2.3.4) nhËn ®−îc b»ng c¸c

ph−¬ng ph¸p song song PC cÊp

seqN

p kh¸c nhau ……….….42

B¶ng 2.5 So s¸nh víi c¸c ph−¬ng ph¸p tuÇn tù cho bµi to¸n (2.2.3)………43

B¶ng 3.1 C¸c nh©n tè héi tô cho c¸c ph−¬ng ph¸p song song PC cÊp p kh¸c

B¶ng 3.3 C¸c gi¸ trÞ cho bµi to¸n (2.3.2) cña c¸c ph−¬ng ph¸p

song song PC cÊp

/

seq NCD N

p kh¸c nhau víi pr bé xö lý… ………….… 60

B¶ng 3.4 C¸c gi¸ trÞ cho bµi to¸n (2.3.3) cña c¸c ph−¬ng ph¸p

PC song song cÊp

/ seq NCD N

p kh¸c nhau………61

B¶ng 3.5 C¸c gi¸ trÞ cho bµi to¸n (2.3.4) cña c¸c ph−¬ng ph¸p

PC song song cÊp

/ seq NCD N

p kh¸c nhau ……… ……….61

B¶ng 3.6 So s¸nh víi c¸c ph−¬ng ph¸p tuÇn tù cho bµi to¸n (3.3.3) …….62 B¶ng 4.1 C¸c cÆp ( ( ), ( )

p ……… ………75

B¶ng 4.3 C¸c gi¸ trÞ cho bµi to¸n 2.3.3 nhËn ®−îc b»ng c¸c

ph−¬ng ph¸p PC song song

/ seq NCD N

p ……….……….76

B¶ng 4.4 C¸c gi¸ trÞ cho bµi to¸n 2.3.4 nhËn ®−îc b»ng c¸c

ph−¬ng ph¸p PC song song cÊp

/ seq NCD N

p ……….….………… 77

B¶ng 4.5 So s¸nh víi c¸c m· tuÇn tù víi bµi to¸n Fehlberg 2.3.3…… ….78

Mở đầu

Nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật được qui về việc tìm nghiệm hệ phương trình vi phân thỏa mãn một số điều kiện nào đó (điều kiện ban đầu, điều kiện biên, v.v…) Đa số các hệ phương trình vi phân mô tả những hệ cơ học, vật lý học, hoá học, sinh học v.v… rất phức tạp, không có hy vọng giải đúng mà thông thường chúng ta phải giải bằng các phương pháp gần

đúng Các phương pháp số là các phương pháp có hiệu quả nhất khi giải gần

đúng các hệ phương trình vi phân này (xem trong [1, tr 145-150] Các phương pháp Runge-Kutta là các phương pháp số khá hoàn hảo mà các phương pháp khác không có như cấp chính xác cao, tính ổn định rất tốt, hơn nữa nó có khả năng song song hóa cao Vì thế phương pháp RK được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải số phương trình vi phân Chính vì vậy trong khuôn khổ của luận án này chúng tôi nghiên cứu và xây dựng các phương pháp song song dạng Runge-Kutta để giải các bài toán giá trị ban đầu (IVPs) không cương của hệ phương trình vi phân dạng

y'( )t = ( , ( ))f t y t , y, f ∈ \d, = , (1)

0( )

y t y0 t 0≤ t ≤ T0,

hoặc dạng thuần nhất

y'( )t = ( ( ))f y t , y, f ∈ \d, = ,

0( )

Điều kiện i) ở định nghĩa trên gọi là điều kiện Lipschitz

Runge (1895) đã mở rộng phương pháp Euler bằng cách thêm vào một bước Euler vào điểm giữa của đoạn tích phân, trong khi đó Kutta (1901) đã

xây dựng phương pháp cấp 3, cấp 4 nổi tiếng trong đó đánh giá thêm hàm vế phải tại điểm giữa và điểm cuối của bước tích phân (xem trong [7, tr 45 – 46])

Các phương pháp Runge-Kutta tổng quát s ư nấc để giải bài toán (1)

x( ij s s)

Trong (2)-(3) để xác định được các ta phải giải

,

Yn i s d phương trình (hầu hết là phi tuyến) kích thước s d , vì thế cần phải thực hiện một khối lượng tính toán rất lớn, đặc biệt là trong trường hợp phương pháp Runge-Kutta ẩn Chính vì vậy trước đây khi các phương tiện tính toán (chủ yếu là máy tính điện tử) chưa phát triển, các phương pháp Runge-Kutta chưa phải là phổ biến và chưa

được quan tâm nghiên cứu nhiều Sau khi Butcher (1976) xây dựng được kỹ

thuật tính toán rất hiệu quả bằng cách ánh xạ ma trận Runge-Kutta A về dạng

chuẩn tắc Jordan (xem trong [9], [7, tr 48-50]), thì tình hình đã thay đổi và các phương pháp IRK được quan tâm nghiên cứu nhiều và trở nên thông dụng hơn Một CODE tự động viết bằng ngôn ngữ FORTRAN77 có cấp chính xác bằng 5 dựa trên giải pháp của Butcher và phương pháp IRK Radau IIA có tên

là RADAU5 đã ra đời (xem trong [29]) Khi giải trực tiếp bài toán (2)-(3) bằng phương pháp lặp Newton cải tiến, để khắc phục các tính toán với chi phí cao khi sử dụng phân tích LU , nhiều tác giả đã dựa trên kỹ thuật của Butcher

để xây dựng các phương pháp Runge-Kutta hiệu quả với các hạn chế khác nhau lên cấu trúc của ma trận A như: ma trận A có dạng tam giác dưới (các phương pháp đường chéo ẩn (DIRKs)), các phần tử trên đường chéo chính bằng nhau (các phương pháp đường chéo ẩn đơn (SDIRKs)); ma trận A chỉ

có một điểm phổ sao cho nó đồng dạng với ma trận có λ trên đường chéo chính và -λ trên đường chéo phụ (các phương pháp ẩn đơn (SIRKs)), v.v…, (xem trong [7, tr 49-51])

Một trong những lớp phương pháp Runge-Kutta có cấp chính xác cao

và tính ổn định tốt là lớp phương pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp

Sự trùng khớp là kỹ thuật có từ lâu được ứng dụng rộng rãi trong giải tích số

ý tưởng cơ bản của kỹ thuật này bao gồm một hàm được chọn (thường là đa thức) và tập các điểm trùng khớp, sau đó yêu cầu tại các điểm trùng khớp hàm

được chọn có dáng điệu biến đổi giống như hàm chưa biết mà chúng ta đang

cố gắng xấp xỉ số Sự tự do trong lựa chọn véctơ c cho phép xây dựng được các phương pháp IRK dạng trùng khớp sưnấc với cấp chính xác cao và tính

ổn định rất tốt như phương pháp Gauss-Legendre của Butcher có cấp chính xác2s, Randau IA và Randau IIA của Axelsson và Ehle có cấp chính xác

2sư1, phương pháp Lobatto IIIA, IIIB, IIIC của Ehle và Chipman có cấp chính xác 2sư2 với các thành phần của véctơ c là các nghiệm khác nhau của

đa thức Legendre (xem trong [2], [28], [29])

Cùng với sự phát triển của khoa và học công nghệ, các mô hình toán học cũng ngày càng phức tạp do sự phức tạp của dữ liệu, do kích thước dữ liệu của bài toán quá lớn, do yêu cầu về độ chính xác cao và tốc độ xử lý nhanh

đặc biệt khi phải giải quyết các bài toán trong chế độ thời gian thực Chính vì thế các phương pháp số kinh điển trước đây được xây dựng và nghiên cứu để

sử dụng trên các máy tính truyền thống chỉ có một bộ xử lý tỏ ra không còn hữu hiệu và đáp ứng được các yêu cầu của khoa học tính toán hiện đại

Từ khi máy tính song song xuất hiện với một sức mạnh tính toán lớn, tình hình đã thay đổi đáng kể, rất nhiều phương pháp song song dạng Runge-Kutta có hiệu quả, độ chính xác cao và tính ổn định tốt đã được ra đời

Việc xây dựng và nghiên cứu các phương pháp tính toán hữu hiệu- các phương pháp song song trên các máy tính hiệu năng cao đã trở thành nhu cầu cấp thiết trong giải tích số nói chung và trong giải tích số của phương trình vi phân nói riêng Hầu hết các phương pháp song song dạng Runge-Kutta được xây dựng và nghiên cứu trong những năm gần đây đều bắt nguồn từ các phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) để giải bài toán (1) Trong số các công trình tiêu biểu phải kể đến các công trình của các nhà toán học lớn như Bellen, Burrage, Butcher, Cash, Chu, Houwen, Gear, Jacson, Jacson, Lie, Miranker, Nosett, Iserles, v.v… qua các công trình [3], [4], [5], [6], [7], [8], [11], [12], [13], [30], [31], [32], [33], [35], [36], [37], [38], [39], [42] ở Việt Nam GS Nguyễn Hữu Công là một trong những người đầu tiên nghiên cứu và

đã đạt được nhiều kết quả đáng kể trong lĩnh vực này

Chúng ta viết lại phương pháp (2)-(3) dưới dạng tích tenxơ như sau

mà lời giải của nó được xấp xỉ bằng một phương pháp lặp

Trong cách thứ nhất, không giải trực tiếp (4) mà sử dụng phương pháp lặp từng bước một với số lần lặp cố định Trong cách thứ hai, (4) được giải trực tiếp bằng phương pháp lặp Newton cải tiến, các hệ phương trình (chủ yếu không tuyến tính) trên mỗi bước lặp Newton được giải bằng quá trình lặp song song Khi giải phương trình hiệu chỉnh (4) bằng phương pháp Newton cải tiến

ta xây dựng lược đồ lặp (xem trong [34, tr 1-14]) như sau

( )(Y ( )j Y (j 1) ) (Y (j 1 , ) ) 1, , ,

I A hJư ⊗ ư ư = ưR ư j= m (5) trong đó J nlà Jacobian của hàm vế phải f tại và là giá trị khởi tạo của quá trình xử lý lặp được xác định bằng công thức dự báo Nếu áp dụng các phương pháp giải trực tiếp - phương pháp Newton cải tiến thì giá tính toán thông thường quá cao khi

n

t Yn( )0

sd lớn, do giá của việc phân tích LU cao Dựa trên

kỹ thuật của Butcher, để giảm giá tính toán phân tích LUtrên mỗi bước lặp ta

sử dụng ánh xạ để nhận được hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số có dạng

cách chọn Q sao cho là dạng đường chéo hoặc dạng tam giác, khi đó

hệ phương trình sau khi thực hiện ánh xạ có thể chia thành các hệ con có kích thước nhỏ hơn

1

Q AQư

sd và có thể giải song song Trong [28] các phương pháp RK kiểu Gauss-Legendre hoặc kiểu Radau đều có ma trận Butcher với chỉ một giá trị riêng thực Vì thế ta có thể đưa đến các hệ phương trình phức kích thước hoặc các hệ phương trình thực với kích thước 2

d d.

Cách thứ hai, không giải trực tiếp các phương trình trong (4) mà xây dựng lược đồ lặp sau đây (xem trong [34])

D

Với sự ra đời của máy tính song song và các phần mềm tính toán tự

động có hiệu quả, các phương pháp song song dạng Runge-Kutta đang trở thành các phương pháp số có hiệu quả trong lĩnh vực giải tích số của phương trình vi phân và khoa học tính toán hiện đại

Xây dựng các phương pháp song song dạng Runge-Kutta mới có hiệu quả đang là mối quan tâm lớn của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải tích

số của phương trình vi phân Luận án của chúng tôi cũng không nằm ngoài mục đích trên là nghiên cứu và xây dựng các phương pháp song song dạng Runge-Kutta mới có hiệu quả nhằm góp phần vào lĩnh vực nghiên cứu thời sự này Ngoài 2 phần mở đầu và kết luận, luận án được trình bày thành bốn chương

Chương 1 dành cho việc trình bày tổng quan các phương pháp RK, giới thiệu các khái niệm và các kết quả nghiên cứu chính về các phương pháp RK cần thiết cho các chương sau

Chương 2 đề xuất phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta liên tục Xuất phát từ việc khảo sát lược đồ lặp song song

dự báo-hiệu chỉnh dựa trên phương pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta dạng trùng khớp giải bài toán (1), bằng cách sử dụng các xấp xỉ số liên tục làm các giá trị

dự báo trên mỗi nấc trong quá trình lặp, chúng tôi nhận được các phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RK liên tục với các dự báo có cấp chính xác cao (Định lý 2.2) Các thử nghiệm số cho thấy phương pháp mới của chúng tôi hiệu quả hơn so với các phương pháp song song và các phương pháp tuần tự DOPRI5 và DOP853 có trong các tài liệu

Chương 3 trình bày phương pháp lặp song song giả RK hai bước Từ

một phương pháp s ư nấc giả RK hai bước có cấp chính xác p với w nấc ẩn *

(xem trong [22]), chúng tôi áp dụng một xử lý lặp song song dự báo-hiệu chỉnh cấp chính xác cao theo phương thức Kết quả chúng tôi nhận được phương pháp song song dự báo-hiệu chỉnh gọi là các phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai-bước (IPIPTRK) với công thức dự báo cải tiến (cấp chính xác cao) Phương pháp mới sử dụng số bộ xử lý tối ưu bằng

Các thử nghiệm số cho thấy phương pháp lặp song song giả RK hai bước (IPIPTRK) hiệu quả hơn các phương pháp song song và tuần tự DOPRI5 và DOP853 đã biết

pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dựa trên véctơ trùng khớp của các phương pháp hiệu chỉnh RK liên tục Trên bước thứ , công thức tính liên tục không chỉ được sử dụng cho việc dự báo các giá trị nấc trong các phương pháp lặp dự báo-hiệu chỉnh mà còn sử dụng để tính các giá trị tại bước thứ

n

2

n+ Trong trường hợp đó quá trình tính toán có thể thực hiện hai bước một Kết quả là các phương pháp lặp song song dạng RK hai bước một liên tục (các phương pháp TBTPIRKC) cho ta quá trình tích phân nhanh hơn Các thử nghiệm số cho thấy các phương pháp TBTPIRKC có hiệu quả hơn so với các phương pháp lặp song song dạng RK (PIRK) và các phương pháp Runge-Kutta tuần tự DOPRI5 và DOP853 đã biết

Các kết quả của luận án đã được trình bày tại các seminar của Bộ môn Toán học tính toán Khoa Toán- Cơ-Tin học trường Đại học khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Các kết quả của này được trình bày trong chương 2, chương 3 và chương 4

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh và Khoa Toán- Tin học trường Đại học khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Hữu Công và GS TSKH Phạm Kỳ Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc đối với các thầy giáo hướng dẫn của mình, những người thầy tận tuỵ và có một niềm say mê lớn lao dành cho khoa học

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo, các bạn

đồng nghiệp trong khoa Toán- Cơ-Tin học trường ĐHKHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, Khoa Toán và Khoa CNTT Đại học Vinh đã dành cho tác giả sự

động viên và nhiều sự giúp đỡ quí báu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ-Tin học trường ĐHKHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, Ban Giám hiệu và các phòng chức năng của trường Đại học Vinh, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ

Chương 1

Tổng quan về Các phương pháp Runge-Kutta

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả nghiên cứu chính của các phương pháp Runge-Kutta cần thiết cho các chương sau Trong phần thứ nhất chúng tôi đưa ra các khái niệm cơ bản của phương pháp Runge-Kutta tổng quát Phần thứ hai trình bày các kết quả nghiên cứu chính về các phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK) Phần thứ ba trình bày các khái niệm các phương pháp Runge-Kutta ẩn dạng trùng khớp, các điều kiện cấp C( s ) B( s ) và một số kết quả đã biết Các khái niệm và các kết quả , nghiên cứu chính về các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta được trình bày trong phần bốn

1.1 Các khái niệm cơ bản của phương pháp Runge-Kutta (RK)

Các phương pháp Runge-Kutta trình bày sau đây là để giải số bài toán giá trị

đầu không cương (IVPs) cho hệ phương trình vi phân cấp một (như đã nói trong phần mở đầu) dạng

y'( )t = f t y t , , ( , ( )) y f ∈ \d, = ,

0( )

y'( )t = f y t , , ( ( )) y f ∈ \d, y t( )0 = y0, t 0≤ t ≤ T0. (1.1.2) Không mất tổng quát, để thuận tiện trong tính toán, biểu diễn và chứng minh, nhiều khi chúng ta chỉ xét bài toán giá trị đầu cho các hệ phương trình vi phân thường dạng thuần nhất

Phương pháp số đơn giản nhất giải bài toán (1.1.1)-(1.1.2) là các phương pháp Euler Các phương pháp Euler là phương pháp một bước, có độ chính xác không cao Cấp chính xác của các phương pháp Euler đều bằng

một Các phương pháp Euler ẩn là A ư ổn định còn miền ổn định của các

phương pháp Euler hiển là rất hạn chế

Runge (1895) đã mở rộng các phương pháp Euler bằng cách thêm vào

đánh giá hàm vế phải f kiểu Euler ở giữa đoạn lấy tích phân, Kutta (1901)

đã xây dựng các phương pháp cấp 3 và cấp 4 nổi tiếng bằng cách thêm các

đánh giá hàm vế phải f tại điểm giữa và điểm cuối của bước lấy tích phân

Trong các phương pháp số, các phương pháp Runge-Kutta là các

phương pháp có nhiều tính chất khá hoàn hảo như cấp chính xác cao, tính ổn

định tốt, đặc biệt chúng tiềm ẩn tính song song hoá cao khi xử lý trên máy

tính song song mà các phương pháp khác không có

Chúng ta xét phương pháp Runge-Kutta tổng quát s ư nấc để giải bài

toán (1.1.1), hoặc (1.1.2) như đã nói trong phần mở đầu được xác định như sau

A= a , các véctơ s ư chiều c = ( )c i s và b=( )b i s là các ma trận và các véctơ tham số của phương pháp là các véctơ nấc

biểu diễn xấp xỉ lời giải chính xác tại các điểm ,

Để nghiên cứu tính ổn định (tuyến tính) của phương pháp Runge-Kutta

(1.1.3)-(1.1.4), ta dựa vào phương trình thử , trong đó biến đổi

Re λ < ) Giả sử (I zAư )ư1 tồn tại, khi đó sự ổn

định của phương pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) phụ thuộc vào hàm

ổn định R z( ): 1= +zbT (I zAư )ư1e Thật vậy áp dụng phương pháp

Runge-Kutta (1.1.5)-(1.1.6) vào phương trình thử (xét cho trường hợp vô hướng chỉ

R z = +zb I zAư ư e gọi là hàm ổn định của phương pháp kiểu Runge-

Kutta (1.1.3)-(1.1.4) Ta có các định nghĩa sau:

c) Phương pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) được gọi là ổn định tuyệt

đối ( A ư ổn định mạnh) nếu nó là A ư ổn định và R(ư∞ <) 1

d) Giá trị lớn nhất β để cho R z( ) < với mọi nằm trong khoảng 1

được gọi là biên ổn định của phương pháp

1.1.2 CÊp chÝnh x¸c cña ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta

Trong môc nµy chóng ta xÐt cÊp chÝnh x¸c cña c¸c ph−¬ng ph¸p Kutta tæng qu¸t ViÖc x©y dùng ph−¬ng ph¸p cã cÊp chÝnh x¸c cao vµ gi¶m thiÓu sè lÇn tÝnh to¸n hµm vÕ ph¶i lµ thö th¸ch chung khi x©y dùng c¸c ph−¬ng ph¸p RK gi¶i c¸c bµi to¸n (1.1.1) V× vËy viÖc nghiªn cøu cÊp chÝnh x¸c lµ yªu cÇu cÇn thiÕt khi x©y dùng c¸c ph−¬ng ph¸p RK cã hiÖu qu¶

Runge-§Þnh nghÜa 1.1.4 Ph−¬ng ph¸p Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) cã cÊp chÝnh

x¸c p nÕu y t( n+1)−y n+1=O h( p+1) víi y t(n+1) lµ nghiÖm chÝnh x¸c cña bµi to¸n (1.1.1)

Thay vào phương trình (1.1.4) các giá trị xấp xỉ tương ứng bằng các giá trị chính xác y n= y t( )n , Yn i, = y t( n+c h) i , ta có

Định nghĩa 1.1.5 Phương pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) có cấp chính

xác trung gian (cấp chính xác nấc) nếu q y t(n +c h i )ưYn i, =O h( q+1) với mọi i=1, 2, , s , ( y n = y t( )n )

Trong thực hành tính toán, cấp xấp xỉ trung gian (cấp chính xác nấc) của phương pháp lặp RK có vai trò rất quan trọng khi chúng ta cần giải các bài toán cương Cấp chính xác nấc lớn nhất của một phương pháp Runge-

Kutta s ư nấc là s (xem trong [7, tr 80]) Trong phần 1.4 chúng tôi sẽ trình

bày các phương pháp RK có cấp chính xác cao và chỉ ra rằng nếu cấp chính xác nấc càng cao thì số lần tính toán hàm vế phải càng nhỏ, đó là các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta đã được quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong lĩnh vực giải số phương trình vi phân

1.2 Các phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK)

Các phương pháp Runge-Kutta hiển được phát triển cho đến cuối những năm 60, vì trong thời gian này các công cụ tính toán chưa đủ mạnh Việc nghiên cứu và xây dựng các phương pháp RK ẩn (IRK) chưa được quan tâm nhiều, do độ phức tạp tính toán của các phương pháp này quá lớn Trong các thập kỷ đó các công trình nghiên cứu chủ yếu tập trung cho các phương pháp ERK Các phương pháp ERK là các phương pháp số có hiệu quả nhất khi giải bài toán không cương (1.1.1) Việc xây dựng các phương pháp ERK có cấp chính xác cao là quá trình xử lý hoàn toàn khác với việc xây dựng các phương pháp RK ẩn Trong trường hợp bộ hệ số không xác định duy nhất, các phương pháp hiển có cấp chính xác nấc cao nhất là , trong khi đó đối với các phương r

Euler và vì thế cấp chính xác nấc lớn nhất là 1 Butcher (1964) là người đầu tiên cố gắng xây dựng phương pháp luận cho việc xây dựng các phương pháp ERK có cấp chính xác cao và đã chứng minh các kết quả sau đây (xem trong [7, tr 88- 89])

Định lý 1.2.1 Không tồn tại phương pháp Runge-Kutta hiển s ư nấc có cấp

thể thay đổi bước lưới Phương pháp kẹp đôi một phương pháp ERK s ư nấc

với cấp chính xác w với một phương pháp ERK (s+ ư nấc có cấp chính xác 1)

lần đầu tiên được Sarafyan (1966), Fehlberg (1968) và England (1969) xem xét (xem trong [7, tr 89-92]) Hairer đã xây dựng được phương pháp ERK có cấp chính xác đến 10 (xem trong [27])

pháp đánh giá sai số Trong trường hợp phương pháp ERK thì = 0

và (8, 9) Cặp (5, 6) của Verner là cơ sở của CODE DVERK được sử dụng cho các bài toán cương khi không yêu cầu độ chính xác cao Prince và Dormand (1981) đã tìm được các cặp (5, 6) và (7, 8) với sự đánh giá sai số

đáng tin cậy, sau đó được Hairer và Wanner phát triển thành các CODE DOPRI5 và DOP853 (xem [28]) Cặp (7, 8) có 13 nấc và thích hợp cho việc

đánh giá dung sai (TO ) của sai số chặt chẽ hơn Các kết quả xây dựng và nghiên cứu về các phương pháp Runge-Kutta hiển được liệt kê trong bảng 1.1 Trong bảng đó chỉ ra các quan hệ giữa số nấc

L

s và cấp chính xác p của các phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK)

Bảng 1.1 Cấp chính xác của các phương pháp Runge-Kutta hiển

1.3 Các phương pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp (Collocation)

Các phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) đã được nghiên cứu một cách đầy đủ trong nhiều công trình (xem trong [7], [10], [28], [29]) Đây là một lớp các phương pháp số được xây dựng và quan tâm nghiên cứu nhiều trong vài chục năm nay Các phương pháp này có một số tính chất khá hoàn hảo như cấp chính xác cao, tính ổn định tốt và hội tụ nhanh Đó là các lớp các phương pháp Gauss-Legendre của Butcher, Randau IA, IIA của Axelsson và Ehle, Lobatto IIIA, IIIB, IIIC của Ehle và Chipman (xem trong [2, tr 13], [28]) Mặc dầu các phương pháp IRK có những tính chất tốt như vậy nhưng trước đây vì quá phức tạp khi phải tính toán lớn trong mỗi bước để xác định các véctơ xấp xỉ trung gian (các công cụ tính toán chính như máy tính chưa phát triển) nên chúng vẫn chưa phải là các phương pháp được dùng phổ biến như những phương pháp dạng Adams hoặc công thức sai phân lùi BDF Sau khi Butcher (1976, [9]) đưa ra một giải pháp khá hữu hiệu để khắc phục tình trạng này thì các phương pháp IRK mới bắt đầu trở nên thông dụng hơn Một chương trình máy tính viết bằng ngôn ngữ FORTRAN77 tự động tính toán cho các phương pháp có cấp chính xác bằng 5 dựa trên giải pháp của Butcher và phương pháp IRK Randau IIA có tên là RADAU5 đã ra đời (xem trong [28], [29]) Sau đây chúng tôi chỉ trình bày về một lớp các phương pháp Runge-Kutta ẩn là các phương pháp IRK dạng trùng khớp Các phương pháp Runge-Kutta ẩn cũng có thể xem xét tuỳ theo chúng có phải là các phương pháp trùng khớp hay không Lớp các phương pháp IRK dạng trùng khớp đã được quan tâm nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả, (xem trong [14], [20]) Sự trùng khớp là ý tưởng có từ lâu được ứng dụng rộng rãi trong giải tích số và nó bao gồm một hàm được chọn (thường là đa thức) và tập các điểm trùng khớp, sau đó yêu cầu tại các điểm trùng khớp hàm được chọn có hành vi biến đổi giống như hàm chưa biết mà chúng ta đang cố gắng xấp xỉ số (xem trong [41, tr.194-197])

Thật vậy chúng ta xây dựng một đa thức P( t ) cấp svà tập các điểm trùng khớp {t n+c h, i i =1, ,s} sao cho

c i j

L x dx

∫ , i=1, ,s, b j :=

1 0

( )

j x dx L

∫ , j=1, ,s, (1.3.1) trong đó L ( x ), j j =1, ,s là các đa thức nội suy Lagrange của P ( t )'

Bằng cách đó ta nhận được phương pháp Runge-Kutta ẩn sưnấc với các thành phần của véctơ c là các điểm trùng khớp, véctơ bvà ma trận A xác

định bởi (1.3.1) Các phương pháp Runge-Kutta ẩn có thể nhận được bằng cách này thuộc lớp các phương pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp Giả sử bây giờ ta xét phương pháp RK (1.1.3)-(1.1.4) cho bài toán (1.1.1) với ,

Nhận xét nếu , khi đó (1.3.2) chính là điều kiện tổng của hàng

Điều kiện (1.3.2) là cần và đủ để một phương pháp IRK là dạng trùng khớp (xem trong [41, tr 195-196]) Các phương pháp: Gauss, Radau IIA và Lobatto IIIA là các phương pháp dạng trùng khớp; Radau IA, Lobatto IIIB và Lobatto IIIC không phải là các phương pháp dạng trùng khớp

1

σ =

Chúng ta có thể xây dựng các phương pháp IRK dạng trùng khớp bằng cách lựa chọn véctơ trùng khớp , sau đó xác định ma trận c A , véctơ bằng các điều kiện cấp Sau đây chúng tôi trình bày các điều kiện cấp để xác định

ma trận

bT

A , véctơ theo véctơ c Không mất tổng quát, để thuận lợi trong

biểu diễn chúng ta xét trường hợp vô hướng, các khẳng định trong trường hợp vô hướng vẫn đúng cho trường hợp tổng quát Khi đó phương pháp Runge-Kutta (1.1.3)-(1.1.4) có dạng

Để thuận lợi trong biểu diễn và chứng minh, ta có thể viết phân tích

theo chuỗi Taylor của hàm ( )f x tại

0

x theo luỹ thừa h dưới dạng hình thức

( ) '

y t + h - y t(e n)- '(e c ) ( q 1

n

hAy t + h =O h + Bằng khai triển Taylor tại theo luỹ thừa và nhóm các hệ số ta có

điều kiện cấp như sau

y t + y t(en+ch), y t( )n vào (1.3.4) và yêu cầu

y t( n+1)ư ( )y t n ưhbT y t'(e n+ch) =O h( p+1)

áp dụng khai triển Taylor tại theo luỹ thừa và nhóm các hệ số ta

có điều kiện cấp

Nhận xét rằng với phương pháp IRK dạng trùng khớp có thể xây dựng

được các phương pháp sao cho p s q s= , = (xem trong [14], [20]) Dựa vào véctơ với các phương pháp lựa chọn các hoành độ người ta xây dựng được một lớp các phương pháp IRK dạng trùng khớp cấp chính xác cao và

A -ổn định đó là các phương pháp Gauss-Legendre, Randau IIA,

Lobatto IIIA Một số kết quả nghiên cứu chính về các phương pháp RK dạng trùng khớp được đưa ra trong bảng 1.2

1.4 Các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (các phương

pháp PIRK)

Sự ra đời các máy tính song song (siêu máy tính) đã mở ra một giai

đoạn phát triển mới của giải tích số nói chung và giải tích số cho phương trình

vi phân nói riêng Nhiều công trình nghiên cứu về các phương pháp song song dạng RK đã ra đời Các kết quả nghiên cứu về các phương pháp song song dạng Runge-Kutta gắn liền với các tên tuổi của các nhà toán học lớn như: Miranker, Bellen, Houwen, Gear, Nosett, Jacson, Cash, Chu, Lie, Iserles, (xem [3], [4], [5], [6], [7], [8], [11], [12], [13], [30], [31], [32], [33], [35], [36], [37], [38], [39], [42]) ở Việt nam GS Nguyễn Hữu Công là một trong những người đầu tiên nghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả đáng kể trong lĩnh vực này

s L-ổn định

A- ổn định mạnh

A-ổn định A- ổn định

Hầu hết các phương pháp RK song song được nghiên cứu từ giữa thập

kỷ 80 và phát triển rất nhanh từ đầu thập kỷ 90 lại đây Việc xây dựng các giải thuật song song được tiếp cận theo các mức khác nhau Cách tiếp cận thứ nhất, hiện thực nhất là thay đổi và thiết kế lại các giải thuật tuần tự thành giải thuật song song phù hợp với các kiến trúc máy tính song song khác nhau Cơ

sở chính của cách tiếp cận này là khai thác sự tính toán các giá trị hoặc các khối các giá trị của các bước một cách đồng thời trên các bộ xử lý Cách tiếp cận này được gọi là song song hoá thông qua phương pháp Cách tiếp cận thứ hai, gọi là song song song hoá thông qua bài toán Với cách tiếp cận này bài toán được chia thành các bài toán nhỏ hơn có khả năng giải đồng thời trên các

bé xö lý cña m¸y tÝnh song song C¸ch tiÕp cËn thø ba, gäi lµ song song ho¸ qua c¸c b−íc tøc lµ tiÕn hµnh tÝnh to¸n song song trªn sè lín c¸c b−íc (xem trong [7, tr 166-235]) §Ó thuËn lîi trong biÓu diÔn sau ®©y chóng ta chØ xÐt c¸c ph−¬ng ph¸p lÆp song song gi¶i bµi to¸n (1.1.1) ë d¹ng thuÇn nhÊt

XÐt ph−¬ng ph¸p IRK s − nÊc gi¶i bµi to¸n (1.1.1)

1

(Y ),,

s

ij n j j

cña (1.4.1)-(1.4.2)) vµ cã sè lÇn tÝnh to¸n hµm vÕ ph¶i s = * p

Chøng minh XÐt (1.4.3)-(1.4.5) d−íi d¹ng tÝch tenx¬ vµ kh«ng mÊt tæng qu¸t

chØ giíi h¹n mét ph−¬ng tr×nh (tr−êng hîp v« h−íng) ta cã

Yn( )l = ⊗e u n+ h A I F( ⊗ ) (Yn( 1)l− ) =1, , m

n , l , (1.4.6)

Yn( )l = ⊗e u n+ h(bT⊗I F) (Y( )m ), (1.4.7)

O h( p+1) h T ⎡⎢f( n) f( n(m ⎤⎥

=O h( p+1) +O h( )(Yn−Yn( )m )=O h( p+1)+O h( m+2)

Tõ ®©y râ rµng ta cã cÊp chÝnh x¸c cña ph−¬ng ph¸p (1.4.3)-(1.4.5) nhiÒu nhÊt

lµ p , chän tèi −u m+ = +2 p 1 hay m p= − §Þnh lý ®−îc chøng minh 1

1.4.2 Sự hội tụ của các phương pháp PIRK

Để xét tính hội tụ của phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (PIRK), áp dụng vào phương trình thử (chỉ xét trường hợp vô hướng) ta có

Chúng ta nhận thấy tốc độ hội tụ của phương pháp phụ thuộc vào bán

kính phổ (zA)ρ của ma trận zA, (ρ( )zA = zρ( )A ) Từ đó ta dễ thấy rằng để các phương pháp lặp song song (1.4.3)-(1.4.5) hội tụ thì Với yêu cầu

thì điều kiện hội tụ sẽ là

pháp PIRK Người ta có thể khai thác sự tự do trong việc chọn véctơ trùng khớp của các phương pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta để cực tiểu nhân tố hội

Sau đây chúng ta xét các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta

(PIRK) có công thức dự báo có cấp chính xác cao hơn cấp chính xác của công

thức dự báo trong (1.4.3)-(1.4.5) Trong (1.4.3)-(1.4.5) chúng ta lấy công thức

Phương pháp này với p m = ư sẽ có cấp chính xác p (Định lý 1.4.1) 1

và số lần tính toán hàm vế phải s* = Bây giờ chúng ta xét phương pháp với p

công thức dự báo có cấp chính xác cao hơn khi đó số lần lặp m sẽ

giảm do đó số lần tính toán hàm vế phải giảm, vì thế giá tính toán sẽ thấp Ta

Từ định lý này cho thấy nếu xây dựng được công thức dự báo có cấp

chính xác trung gian q lớn thì giảm được giá tính toán, chọn tối ưu

Ma trận B trong (1.4.13) được xác định bằng điều kiện cấp sao cho

công thức dự báo có cấp chính xác khi đó phương pháp (1.4.3)-(1.4.5) có

Sử dụng khai triển Taylor vế phải theo luỹ thữa của tại nhóm các

hệ số và cho hệ số đầu tiên bằng không ta có

h t n q

( ) 1

j j

trong đó ma trận luỹ thừa là ma trận của các phần tử luỹ thừa Khi đó ta

có thể viết lại (1.4.14) dưới dạng

P BQư =0 hay B PQ= ư1 (1.4.15)

Nếu ma trận B được xác định theo (1.4.15) thì dễ thấy (tương tự Định

lý 1.4.1), các điều kiện (1.4.12) trong Định lý 1.4.2 được thoả mãn

Nhận xét rằng nếu xét phương pháp IRK gốc (1.4.1)-(1.4.2) có cấp

chính xác 2s thì ta có thể xây dựng được phương pháp PIRK có cấp chính xác

Trong chương này chúng ta đã trình bày các khái niệm cơ bản của

phương pháp Runnge-Kutta Một số lớp phương pháp Runge-Kutta thường

được sử dụng để giải bài toán giá trị đầu không cương cho hệ phương trình vi phân thường cấp 1 là phương pháp Runge-Kutta dạng trùng khớp, phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (phương pháp PIRK) Nỗ lực chung nhất của các nhà toán học khi nghiên cứu, xây dựng các phương pháp RK là với cấp chính xác cho trước áp dụng các kỹ thuật khác nhau để giảm phí tính toán hàm vế phải Các khái niệm cơ bản được giới thiệu ở đây cùng với một số lớp phương pháp được xét trong chương này phục vụ cho việc trình bày các kết quả của chúng tôi trong các chương tiếp theo

Chương 2

Các Phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh

Dạng Runge-Kutta liên tục Các phương pháp số nói chung đều cho chúng ta lời giải số tại các điểm lưới vì thế khi muốn tính toán giá trị ngoài các điểm lưới ta thường phải xây dựng lại từ đầu các điểm lưới mới Trong chương này chúng tôi đề xuất một phương pháp cho phép nhận được các lời giải số tại điểm bất kỳ như mong muốn Phương pháp này được gọi là phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta liên tục Bằng cách sử dụng các lược đồ lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dựa trên phương pháp hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta trùng khớp liên tục để giải bài toán giá trị đầu ( ) không cương cho các hệ phương trình vi phân cấp một, chúng ta nhận được phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh (PC) dạng RK liên tục Các xấp xỉ số liên tục được sử dụng để dự báo các giá trị trên các nấc trong quá trình xử lý lặp dự báo-hiệu chỉnh Bằng cách đó chúng ta nhận được các phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RK liên tục với các dự báo có cấp chính xác cao áp dụng các phương pháp song song PC nhận được cho các bài toán thử chứng tỏ các phương pháp song song PC mới hiệu quả hơn khi so sánh với các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta (các phương pháp PIRK) và các mã tuần tự DOPRI5 và DOP853 đã biết

IVPs

Trong các phương pháp số khác nhau đã được nghiên cứu cho đến nay, các phương pháp có hiệu quả nhất để giải bài toán (1.1.1) là các phương pháp Runge-Kutta hiển (ERK) Các phương pháp ERK tuần tự có cấp đến 10 có thể tìm thấy trong các tài liệu (xem trong [25], [27], [28]) Sự ra đời các máy tính song song có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển các phương pháp số để giải số các bài toán giá trị ban đầu không cương ( ) của các hệ phương trình vi phân thường cấp một (O dạng (1.1.1) Để khai thác khả năng của các máy tính song song, một vài lớp các phương pháp song song dự báo-hiệu chỉnh khác nhau dựa trên các phương pháp hiệu chỉnh RK đã được nghiên cứu

IVPsDEs)

trong [5 - 7], [15 - 17], [19], [21], [23], [32 - 33], [35] Thách thức chung trong các phương pháp đã nhắc đến trong các công trình trên là với cấp chính xác cho trước làm thế nào để giảm số lần yêu cầu tính toán tuần tự hàm vế

phải f trên mỗi bước khi sử dụng các máy tính song song Trong chương này

chúng tôi khảo sát một lớp đặc biệt các phương pháp lặp song song PC dạng

RK dựa trên các phương pháp hiệu chỉnh RK dạng trùng khớp liên tục Các xấp xỉ số liên tục sẽ được sử dụng như các giá trị khởi đầu của nấc trong các quá trình xử lý lặp dự báo-hiệu chỉnh Bằng cách đó chúng tôi nhận được các phương pháp PC song song và được gọi là các phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RK liên tục (các phương pháp PIRKC) Như vậy chúng tôi có được các phương pháp dự báo-hiệu chỉnh với các giá trị đầu ra dày đặc

và các dự báo có cấp chính xác cao Kết quả là phương pháp PIRKC đòi hỏi số

lần tính toán tuần tự hàm vế phải f ít hơn trên mỗi bước trong quá trình xử lý

lặp dự báo-hiệu chỉnh Trong phần 2.1 chúng tôi sẽ xét các phương pháp hiệu chỉnh dạng RK liên tục Phần 2.2 chúng tôi sẽ xây dựng và nghiên cứu các phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta liên tục (các phương pháp PIRKC) Tiếp theo, trong phần 2.3 chúng tôi đưa ra sự so sánh các thử nghiệm

số giữa phương pháp PIRKC với các phương pháp lặp song song dạng RK truyền thống (các phương pháp PIRK) và với các mã tuần tự DOPRI5 và DOP853 đã biết

2.1 Các phương pháp hiệu chỉnh Runge-Kutta liên tục

Một phương pháp số không hiệu quả nếu số điểm cần phải tính xấp xỉ trở nên quá lớn (xem trong [28 tr 188]) Trong các tài liệu hầu hết các phương pháp Runge-Kutta hiển kẹp đôi hiệu quả đã sử dụng công thức tính đầu ra liên tục Trong phần này chúng tôi xét một mở rộng liên tục của phương pháp Runge-Kutta ẩn Sử dụng các xấp xỉ số liên tục làm các dự báo trên các nấc chúng tôi đã xây dựng được phương pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RK liên tục với các dự báo có cấp chính xác cao, được xét trong phần

2.2 Điểm xuất phát của chúng tôi là phương pháp Runge-Kutta s ư nấc ẩn

dạng trùng khớp (collocation) xác định như sau

ở đây trong (2.1.1)-(2.1.3), 0 ≤ ≤ 2, ξ u n+ξ ≈ y(t n+ξ , với t n+ξ = t n+ ξh

và là bước lưới ký hiệu véctơ nấc biểu diễn các

y t + c h y t + c h

n A = (a ij là ma trận cấp s s , véctơ s - chiều x ( ), ( ) ( ( ))b

b = bj ξ = b j ξ và c=( )c j là các ma trận và các véctơ tham số của phương pháp Theo nguyên tắc trùng khớp phương pháp xác định bằng

(2.1.1)-(2.1.3) có cấp chính xác p và cấp chính xác nấc q, cả hai ít nhất bằng

s Phương pháp này sẽ được xem như là phương pháp hiệu chỉnh dạng RK

liên tục và có thể biểu diễn bằng bảng Butcher (xem trong [10])

T

T( )

( ) , ( ) ( ), = ( ) = g

j

j i

Véctơ b( )ξ trong công thức tính liên tục (2.1.3) là hàm véctơ theo ξ , thoả mãn các điều kiện liên tục b( ) 00 = và 1b( ) b= và sẽ được xác định bằng các điều kiện cấp Với bước lưới cố định, các điều kiện cấp được suy ra bằng cách thay

h n

u +ξ , , trong (2.1.3) tương ứng bằng các giá trị của lời giải chính xác

n

u Yn j,

( n )

y t +ξ , y t( )n và y t(n+ ch) Ta có (y t n+ξ) - y t( )n bT '( e ) =

n

ư + c O (h s+1) (2.1.5)

Sử dụng khai triển Taylor cho hàm đủ trơn tại lân cận của , vế

trái của (2.1.5) theo luỹ thừa của h và nhận được các điều kiện cấp cho b(

(xem trong [17]) Để đơn giản chúng ta chỉ xét cho trường hợp vô hướng, các kết quả vẫn đúng trong trường hợp tổng quát Từ (2.1.5) sử dụng khai triển chuỗi Taylor ta có

( )

y t

n t

+ +

trong đó t* là điểm nào đó thuộc đoạn [t n,t n+1]

Từ (2.1.6) ta có các điều kiện cấp để xác định b( )ξ như sau

Từ (2.1.4) và (2.1.9), chúng ta dễ dàng nhận thấy véctơ b( thoả mãn các

điều kiện liên tục:

Dễ thấy rằng nếu điều kiện cấp (2.1.7)-(2.1.9) thoả mãn, chúng ta nhận

được quan hệ cấp địa phương

y t( n+ξ)ưu n+ξ =O (h s+1 (2.1.10) Thật vậy, từ (2.1.3) chúng ta có

phương pháp hiệu chỉnh liên tục (2.1.1)-(2.1.3) (cấp của phương pháp xác

định chỉ bởi (2.1.1) và (2.1.2)) lớn hơn ,s khi đó công thức tính liên tục

(2.1.3) có thể đạt được cấp chính xác p*= + , nghĩa là quan hệ cấp (2.1.10) s 1

là quan hệ tổng thể Thật vậy, chúng ta hãy xét ước lượng sai số tổng thể (không cần giả thiết cục bộ u n= y t( )n )

, 1

Nếu hàm f liên tục và thoả mãn điều kiện Lipschitz, khi đó ta có các

ước lượng cấp tổng thể sau đây thoả mãn:

Định lý 2.1.1 Nếu hàm f là Lipschitz liên tục và nếu phương pháp hiệu

chỉnh Runge-Kutta (2.1.1)-(2.1.2) có cấp chính xác , p thì công thức tính liên tục xác định bởi (2.1.3) tạo ra một xấp xỉ liên tục có cấp chính xác

Trong phần này chúng ta xét lược đồ lặp song song dự báo-hiệu chỉnh

sử dụng các phương pháp hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta liên tục Lược đồ lặp

đó được xác định như sau

§Þnh lý 2.2.1 NÕu hµm f lµ Lipschitz liªn tôc vµ nÕu ph−¬ng ph¸p hiÖu

chØnh d¹ng Runge-Kutta liªn tôc (2.1.1)-(2.1.3) cã cÊp chÝnh x¸c , p th× ph−¬ng ph¸p PIRKC (2.2.1)-(2.2.4) cã cÊp chÝnh x¸c

vµ t¹o ra mét xÊp xØ liªn tôc cã cÊp chÝnh x¸c

min( , 1)

q= p m s+ +

* min( , 1)

q = p s +