Biến đổi tích phân fourier trong các không gian Schwartz L1(Rn) và L2(Rn) và ứng dụng

MỞ ĐẦULý thuyết biến đổi tích phân Fourier đã và đang được ứng dụng mạnh mẽtrong Toán học hiện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuậtkhác.. Đặc biệt là áp dụng biến đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - Năm 2013

Mục lục

1.1 Các không gian cơ sở 6

1.1.1 Không gian Rn 6

1.1.2 Không gian Lp(Rn ) 6

1.1.3 Không gian Schwartz S(Rn ) 7

1.2 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian Schwartz 7

1.3 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L1(R) 10

1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và ví dụ 10

1.3.2 Bổ đề Riemann - Lebesgue 12

1.3.3 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó 14 1.3.4 Công thức nghịch đảo 16

1.3.5 Chập của hai hàm 18

1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier 21

1.3.7 Định lý khả tích 22

1.3.8 Khả tích Abel và khả tích Gauss 27

1.3.9 Một vài ứng dụng của định lý khả tích 28

1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn 30

1.3.11 Tính khả tích theo chuẩn 33

1.3.12 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier chúng 33 1.4 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L1(Rn ) 37

1.4.1 Bổ đề Riemann - Lebesgue, chập của hai hàm 37

1.4.2 Định lý về tính duy nhất 38

1.4.3 Công thức khả tích Gauss 40

1.4.4 Định lý khả tích Gauss 42

1.4.5 Ứng dụng của định lý khả tích, công thức nghịch đảo 43

1.4.6 Chuẩn, tính liên tục, đẳng thức Parseval 44

1.5 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L2 44

1.5.1 Phép biến đổi trong không gian Hilbert 44

1.5.2 Định lý Plancherel 45

1.5.3 Tổng quát về tính khả tích 52

1.5.4 Biến đổi tích phân Fourier trong L2(Rn ) 54

1.5.5 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của chúng 58

2 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 65 2.1 Bài toán Dirichlet trong nửa mặt phẳng 66

2.2 Bài toán Neumann trong nửa mặt phẳng 68

2.3 Bài toán Cauchy với phương trình khuếch tán 69

2.4 Bài toán Cauchy với phương trình sóng 74

KẾT LUẬN 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier đã và đang được ứng dụng mạnh mẽtrong Toán học hiện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuậtkhác Đặc biệt là áp dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạohàm riêng nói chung và bài toán giá trị ban đầu hay bài toán biên nói riêng làmột trong những ứng dụng thú vị đã được nhiều nhà khoa học quan tâm Vìvậy, biến đổi tích phân Fourier đã được các nhà khoa học nghiên cứu rất nhiều,các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú và đa dạng

Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi tích phân Fourier vàứng dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng Nội dung của luận văn gồmhai chương

1 Biến đổi tích phân Fourier

Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier trong các không gian Schwartz,

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS NguyễnMinh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người đã tậntình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, thông qua luận văn tác giả cũng xingửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phản biện đã đọc vàđưa ra những ý kiến quý báu giúp bản luận văn hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, KhoaToán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia

Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại

Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Hành chính tổ chức, KhoaKhoa học cơ bản trường Cao đẳng Thủy sản và gia đình đã luôn động viên, giúp

đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt khóa học

Do năng lực, kinh nghiệm và thời gian còn nhiều hạn chế nên luận văn chắcchắn không tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn của tác giả Vì vậy, tácgiả rất mong nhận được nhiều những ý kiến đóng góp của thầy cô, bạn bè vàđồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn cả về nội dung và hình thức.Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013

Tác giảNguyễn Văn Mạnh

Không gian Euclide Rn là không gian véc tơ trên trường số thực mà mỗi phần

tử của nó đều có dạng x = (x 1 , x 2 , , x n ) Tích vô hướng của hai phần tử x và

Lp(Rn ) là không gian véc tơ với phép cộng hai hàm số và nhân một số với hàm

số Chuẩn trong Lp(Rn ) được định nghĩa như sau

Khi đó Lp(Rn ) với chuẩn (1.2) là không gian định chuẩn đầy đủ (Banach)

1.1.3 Không gian Schwartz S(R n )

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là tập hợp

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau

Dãy {ϕk }∞k=1 trong S(Rn ) được gọi là hội tụ đến ϕ trong S(Rn ) nếu

lim k→∞ sup x∈R n

xα Dβϕ k (x) − xαDβϕ(x)

= 0, ∀α, β ∈Zn

+

Khi đó ta viết lim

k→∞ ϕk = ϕ Dãy {ϕk }∞k=1 trong S(Rn ) được gọi là dãy Cauchytrong S(Rn ) nếu một trong hai điều kiện sau đây xảy ra

1

lim k→∞

l→∞

sup x∈R n 1 + ||x||2
m

l→∞

sup x∈R n 1 + ||x||2
m X

|β|≤m

Dβϕk(x) − Dβϕl(x) ≤

= 0(1) khi R → +∞,

vì w(t) là bị chặn và w(t) → 0 khi t → 0, trong khi tH(t) → 0 khi t → +∞.

Nhận xét Chúng ta đã chứng minh được rằng dưới điều kiện thích hợp thì(i) SRK(x) → f(x) hầu khắp nơi, khi R → +∞,

(ii) SRK(x) → f(x) theo chuẩn trong L1

1.3.12 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier chúng

Chúng ta nhớ lại Định lý 1.2, Định lý nói rằng

(i) Nếu f (x) ∈ L1, và h(x) = ixf (x) ∈ L1, thì bh(α) = fb′(α),

(ii) Nếu f (x) ∈ L1 , g(x) ∈ L1, và g(x) = f′(x), thì bg(α) = −iα f (α),b

Bầy giờ ta sẽ chứng minh

Chứng minh Trường hợp đặc biệt, giả sử rằng bf (α),bg(α) ∈ L1(R). Trongtrường hợp này, ta có thể sử dụng công thức nghịch đảo và do đó, với hầu hếtmọi x,

Mặt khác, fR(x) hội tụ hầu khắp nơi tới f (x) bởi Định lý 1.6 Do đó, với hầumọi x,

f (x) = −

+∞

Z

x g(y)dy,

từ đó suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.18 Nếu f (x) ∈ L1 , g(x) ∈ L1, và nếu bg(α) = (−iα)nf (α)b ở đó n là sốnguyên dương, thì f có đạo hàm cấp n, tất cả đều thuộc L1.

Chú ý rằng kết luận trên hàm ý rằng tất cả(−iα)k f (α), k = 0, 1, , nb là nhữngbiến đổi tích phân Fourier

Chứng minh Trước hết ta sẽ chỉ ra rằng nếu bf (α) ∈ F, và(−iα)nf (α) ∈b F, n ≥

2, thì (−iα)f (α) ∈b F ( bf ∈F có nghĩa là bf là một biến đổi tích phân Fourier).Với, 1

α + i là một biến đổi tích phân Fourier vì vậy theo Định lý 1.4,

1 (α + i) n−1 ∈F.

#b

e−iαx(−iα)nf (α)eb −α2dα, (1.26)

vì quy tắc đạo hàm dưới dấu tích phân thông thường là chấp nhận được bất cứkhi nào tích phân dẫn là hội tụ đều trong mọi khoảng X hữu hạn Vì

(−iα)nf (α) =b fd(n) (α).

Vì vậy,

F[f(n)(x)] = (−iα)nf (α).bBây giờ sử dụng Định lý 1.18, ta thấy rằng mỗi đạo hàm f(k)(x), k = 0, 1, n − 1,

thuộc L1(R).

1.4 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L1(Rn

)

1.4.1 Bổ đề Riemann - Lebesgue, chập của hai hàm

Giả sử f (x 1 , , x n ) ∈ L1(Rn ) và bf (α 1 , , α n ), α là thực, được xác định bởi

Định lý 1.20 Nếu f (x 1 , , x n ) ∈ L1(Rn ), thì bf (α 1 , , α n ) tồn tại và bị chặn vớimọi α và

Do đó bf (α) tồn tại và bị chặn với mọiα

Chúng ta sẽ chứng minh Định lý như trước đó, với một tập con trù mật khắpnơi của lớp hàm thuộc L1 - gọi là hàm bậc thang Giả sửg(x) = 1 bên trong hộp

n chiều a i ≤ x i ≤ b i và g(x) = 0 bên ngoài hộp đó Khi đó

Theo Bổ đề Riemann - Lebesgue với hàm một biến, mỗi thừa số là bị chặn và dần

về không khi Pα2r → +∞ Rõ ràng rằng, nếu α r → +∞ với mỗi r thì bg(α) → 0,

sự hội tụ là hội tụ đều theo α Do đó bg(α) → 0 với hàm hộp, do đó cũng dần vềkhông với hàm bậc thang Mở rộng tới mọi hàm thuộc L1 được suy ra như mục1.3.1 Vì mọi hàm trongL1(Rn )là một giới hạn của hàm bậc thang của loại vừagiới thiệu trong L1

Chứng minh là tương tự như trường hợp một biến

Định lý 1.22 Nếu f, g ∈ L1, thì chập của chúng h(x) được xác định như sau

Trong trường hợp một biến, ta đã chứng minh được rằng hai hàm thuộc L1

có cùng biến đổi tích phân Fourier là bằng nhau hầu khắp nơi Bây giờ, ta sẽđưa ra chứng minh tương tự với nhiều biến Trước khi chứng minh, ta có vàinhận xét

Định lý 1.23 Nếu f (x 1 , , x n ) ∈ L1, và bf (α 1 , , α n ) = 0, thì f (x) = 0 hầu khắpnơi.

trong đóI là hộp được giới thiệu trước đó, do đó gIε triệt tiêu ngoài hộp lớn hơn,

vị trí của nó được xác định bởi I và ε Giả sử biến đổi tích phân Fourier của

gIε(x 1 , x n ) là bgIε(α 1 , α n ) Theo nhận xét ở trước định lý này ta có

R n

f (x + y)e−R2(Pyj2)/4 dV y (1.36)

là phần tử thể tích n − 1 chiều của khối cầu đơn vị y21+ + yn2 = 1 Vì vậy

trong đóσ là khối cầu đơn vị y21+ + yn2 = 1, σy là phần tử thể tích n − 1 chiều,

và wn−1 là thể tích n − 1 chiều của nó Hơn nữa, đặt

g x (t) := tn−1[f x (t) − f(x)] (1.39)Khi đó, từ (1.37) có thể viết như sau

1.4.4 Định lý khả tích Gauss

Định lý 1.24 Nếu f (x 1 , , x n ) ∈ L1(Rn ), và g x (t) là xác định như trong (1.39),

và nếu H(t), 0 ≤ t < +∞ là thỏa mãn tnH(t) đơn điệu giảm dần tới không, vìthế cũng suy ra H(t) ↓ 0, và H(t) = 0 1

t n+ε

khi t → +∞, thì với mỗi x cố định,điều kiện

Định lý 1.25 Nếu f (x 1 , , x n ) thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.24, và H

là thỏa mãn rằng, tồn tại một H 0 với tính chất |H(t)| ≤ |H0 (t)|, và bây giờ H 0

thỏa mãn giả thiết trên H trong Định lý 1.24, thì điều kiện

trong đó S ε là khối cầu bán kính ε tâm tại x 0, và V (S ε ) là thể tích của S ε Khi

đó, sự đúng đắn của (1.41) với hầu hết x 0 trong Rn là một phần của Định lýLebesgue - Vitali Do đó ta có

Định lý 1.26 Biến đổi tích phân Fourier của một hàm khả tích Lebesgue làkhả tích Gauss hầu khắp nơi.

Rõ ràng,

lim R→+∞

1 (2π) n

1.4.6 Chuẩn, tính liên tục, đẳng thức Parseval

Thì như trong mục 1.3.9, có thể thấy rằng w(h) → 0 khi |h| → 0, trong đó

|h| = (h21 + + h2n)1/2 (xem Định lý 1.12) Trường hợp tổng quát ta lại rút gọn

về "hàm sơ cấp" của loại w I (x)hàm mà bằng 1 trong hộp n chiều ký hiệu bởi I

và triệt tiêu bên ngoài Thực tế này cho ta thấy rằng nếu f (x) ∈ L1 và cả f và

g là bị chặn thì chập của chúng tồn tại với mọi x, bị chặn, liên tục và thuộc L1.Chứng minh là tương tự như Định lý 1.13 Vì vậy như trong các Định lý 1.14

và 1.15, suy ra rằng, nếu f (x) và g(x) là hai hàm bị chặn và thuộc L1, thì

1.5 Biến đổi tích phân Fourier trong không gian L2

1.5.1 Phép biến đổi trong không gian Hilbert

Trong phần này ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier trong L2(R) Vì,với một hàm bất kỳ f (x) ∈ L2 (R) thì tích phân xác định của biến đổi tích phânFourier bf (α) không tồn tại như một tích phân Lebesgue thông thường, lý thuyếttrong L2 sẽ có những đặc tính không có trong lý thuyết của L1 Chúng ta cầnmột vài khái niệm sau

1 Biểu thức song tuyến tính

(f, g) =

Z

R

được gọi là tích trong của f và g Tích trong tồn tại với mọi f, g ∈ L2 (R)

bởi vì bất đẳng thức Holder - Schwarz Nó cũng có những tính chất sau

2 Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier bf (α), f (x + h) có biến đổi tíchphân Fourier. .. data-page="11">

1.3 Biến đổi tích phân Fourier khơng gian L1(R)

1.3.1 Định nghĩa, vài tính chất đơn giản ví dụ

Định nghĩa 1.2 Biến đổi tích phân Fourier. .. data-page="15">

1.3.3 Đạo hàm hàm biến đổi tích phân Fourier nó

Mục đích ta chứng minh

Nhưng trước chứng minh, ta có ý

1 Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier bf