Bài toán biên giả vi phân trong không gian Hl,p (p khác 2.PDF

Petrovski như một điều dự báo về sự ra đời của Lý thuyết toán tử Giả vi phân, một trong những công cụ hữu hiệu để nghiêncứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến t

Mục lục

Trang phụ bìa 1

Lời cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 7

Mở đầu 9

Chương 1 Tổng quan 15 1.1 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển đối với phương trình vi phân elliptic 15

1.2 Bài toán biên cổ điển đối với phương trình parabolic 22

Chương 2 Bài toán biên cổ điển đối với phương trình GVP elliptic 30 2.1 Không gian hàm 30

2.1.1 Định nghĩa 30

2.1.2 Tính chất 31

2.2 Toán tử giả vi phân (GVP) trong Rn 34

2.3 Bài toán biên trên nửa không gian Rn + 40

2.4 Bài toán biên trên miền bị chặn 47

Chương 3 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình elliptic 62 3.1 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình GVP elliptic tuyến tính 62

3.2 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình GVP elliptic nửa tuyến tính 82

Chương 4 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình

4.1 Không gian hàm 884.1.1 Định nghĩa 884.1.2 Tính chất 914.2 Bài toán biên cổ điển đối với phương trình GVP parabolic

trên nửa trụ vô hạn 964.3 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình GVP

parabolic tuyến tính trên nửa trụ vô hạn 1024.4 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình GVP

parabolic nửa tuyến tính trên nửa trụ vô hạn 114

Kết quả nghiên cứu và bàn luận 122Kết luận 124Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 125Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 126Tài liệu tham khảo 127

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

Với mỗi z ∈ C ký hiệu =z là phần ảo, <z là phần thực.

Với mỗi p ∈ R, 1 < p < +∞, số p0 là số đối ngẫu của p, nghĩa là 1

p+ p10 = 1 Với mỗi a ∈ R, ký hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn a.

Rn = {x = (x1 , x2, , x n ) | x j ∈ R, j = 1, 2, , n} là không gian thực

n− chiều với chuẩn Euclid ||x|| = Pn

j=1

x2j
1 2

Nếu không có gì đặc biệt, ký hiệu Ω là tập mở trong Rn

Với mỗi k ∈ Z+ ký hiệu các tập nh− sau:

u(x) 6= 0}.

Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, ký hiệu

|u(x)| p
1

p, với p = ∞, ký hiệu

là không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn

||u|| L∞(Ω) = ess sup

x∈Ω

|u(x)|, trong đó, ess sup x∈Ω |u(x)| = inf{M > 0

m{x ∈ Ω |u(x)| > M} = 0} Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞, 0 ≤ s ký hiệu các không gian Sobolev W s,p (Ω).

Với s ∈ Z+ , không gian Sobolev

1 D αn

n , D j = ∂

i ∂x j

Với s 6∈ Z+ , không gian Sobolev W s,p(Ω)đ−ợc định nghĩa bằng phép nội suy

Khi p = 2, để đơn giản ta ký hiệu H s (Ω) = W s,2 (Ω).

Phép biến đổi Fourier trong Rn

Mở đầu

Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứu đầu tiên trongcác công trình của Euler, d'Alembert, Lagrange và Laplace như một công cụchính để mô tả cơ học cũng như là mô hình giải tích của vật lý Cho đến giờ,mô hình giải tích của vật lý vẫn là một trong những yếu tố cơ bản trong sựphát triển của Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng Vào giữa thế kỷ

19, đặc biệt với công trình của Riemann, Lý thuyết Phương trình vi phân đạohàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học.Cuối thế kỷ 19, H Poincare đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa Lý thuyếtPhương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác Sang thế kỷ

20, Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nhờcông cụ Giải tích hàm Đặc biệt khi Lý thuyết hàm suy rộng được xây dựngbởi S L Sobolev, L Schwartz được kết hợp với Giải tích Fourier nhiều bàitoán đã được giải quyết Chẳng hạn bài toán biên elliptic tuyến tính được giảiquyết khá trọn vẹn (có thể xem trong công trình của M S Agranovich [3] vàcác tài liệu tham khảo trong đó) Bằng lý thuyết nửa nhóm cùng các kết quả

từ toán tử elliptic, một số lớp bài toán parabolic, còn được gọi là phương trìnhtiến hóa, cũng đã được nghiên cứu bởi E Hille, K Yosida, F E Browder, H.Brezis, J L Lions, E Magnes, E B Davies, v.v Bài toán hyperbolic cũng

đã có được những kết quả đẹp qua các công trình của I G Petrovski, J Leray,

L Garding, v.v Theo L Hormander (xem trong [26]), các công trình vềtoán tử hyperbolic của I G Petrovski như một điều dự báo về sự ra đời của

Lý thuyết toán tử Giả vi phân, một trong những công cụ hữu hiệu để nghiêncứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng không chỉ tuyến tính màcả với phi tuyến

Lý thuyết toán tử GVP là sự phát triển của Lý thuyết tích phân kỳ dị kết hợpvới Giải tích Fourier Tích phân kỳ dị, chẳng hạn tích phân với nhân Poissonhay biến đổi Hilbert, biến đổi Riesz, được nghiên cứu từ lâu bởi nhiều tácgiả như Poisson, D Hilbert, v.v., nhưng có lẽ phải đến các công trình của

A P Calderon, A Zygmund, S G Mikhlin và sau đó là các học trò của

A Zygmund như E Stein, nó bắt đầu trở thành một công cụ thực sự trongviệc nghiên cứu Lý thuyết Phương trình vi phân đạo hàm riêng Lý thuyếttích phân kỳ dị kết hợp với Giải tích Fourier tiếp tục được J J Kohn, L.Nirenberg, L Hormander phát triển thành Lý thuyết toán tử GVP Một trongnhững kết quả đẹp dựa một phần trên Lý thuyết toán tử GVP là Định lý về chỉ

số Atiyah- Singer, sự giao thoa giữa nhiều ngành toán học Lý thuyết Phươngtrình vi phân đạo hàm riêng, Lý thuyết Tôpô- Đại số, Lý thuyết Hình học-

Đại số Dựa vào Lý thuyết toán tử GVP, F Treves, L Nirenberg([32], [33])

đã giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải được địa phương cho toán tử viphân kiểu chính (chú ý rằng nói chung không thể giải được toàn cục, chẳnghạn đối với phương trình elliptic người ta cũng chỉ có thể giải được một cách

địa phương) Cùng với nhiều công trình trước đó của L Hormander[26], Yu

V Egorov[18], R Beals, C Fefferman[5], N Lerner[28], v.v., gần đây N.Dencker ([12], [13], [14]) mới giải quyết trọn vẹn bài toán về tính giải được

địa phương cho toán tử GVP kiểu chính Một kết quả lý thú khác về tínhsubelliptic, tính chất nằm giữa elliptic và hyperbolic, là Yu V Egorov đã đưa

ra được điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic Kết quả này

được bắt nguồn từ công trình viết chung với V A Kondratiev về bài toán đạohàm nghiêng Khi khảo sát một vài lớp bài toán đạo hàm nghiêng cụ thể bằngcách chuyển thành toán tử GVP cùng với sự nghiên cứu các kết quả trước đócủa L Hormander, Yu V Egorov đã tìm ra được phép biến đổi chính tắc, rồi

từ đó đi đến điều kiện cần và đủ để một toán tử GVP là subelliptic

Bài toán đạo hàm nghiêng, nghĩa là bài toán biên cho phương trình vi phân

cấp 2, chẳng hạn phương trình Laplace ∆u = f, với điều kiện biên đạo

hàm nghiêng ∂u

∂ν

∂Ω = g trong miền Ω bị chặn trong không gian có số chiều

không nhỏ hơn 3, với biên trơn ∂Ω, theo Yu V Egorov, V A Kondratiev

được đặt ra bởi H Poincare Tuy nhiên, cho đến trước năm 1963, bài toán

đạo hàm nghiêng chỉ được xét khi trường véc-tơ D ν = ∂

∂ν không tiếp xúc

với biên Phải đến công trình [6] của A V Bisadze, năm 1963, bài toán

đạo hàm nghiêng mới được xét khi trường véc-tơ D ν tiếp xúc với biên, cụthể A V Bisadze xét bài toán biên cho phương trình Laplace trong hình cầu

B = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 ≤ 1} trong không gian 3 chiều với

điều kiện biên trên mặt cầu S = {(x1 , x2, x3) ∈ R3 | x21+ x22+ x23 = 1}

Khi |a| > 1, trường véc-tơ (x1 ư a) ∂

cầu S Để thuận tiện cho việc phát biểu sau này, chúng tôi gọi bài toán đạo

hàm nghiêng mà trường véc-tơ đạo hàm nghiêng tiếp xúc với biên là bài toán

đạo hàm nghiêng không cổ điển phân biệt với các bài toán đạo hàm nghiêng

được trước năm 1963 Việc nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ

điển gặp nhiều khó khăn Một trong những khó khăn là loại bài toán đạo hàmnghiêng không cổ điển này không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinskinhư các bài toán biên Dirichlet, Neuman hay các bài toán đạo hàm nghiêng

cổ điển Chúng tôi cũng xin được gọi bài toán biên không thỏa mãn Điềukiện Shapiro- Lopatinski là bài toán biên không cổ điển để phân biệt với bàitoán biên thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinski Sau công trình [6], A V.Bisadze và nhiều tác giả khác như R Borrelli, L Hormander, Yu V Egorov,

V A Kondratiev, M B Malyutov, V G Mazya, Nguyễn Minh Chương,

Lê Quang Trung, v.v , cũng có những kết quả lý thú về bài toán đạo hàmnghiêng không cổ điển Một trong các kết quả lý thú là công trình [17] của

Yu V Egorov- V A Kondratiev Trong công trình [17], Yu V Egorov- V

A Kondratiev đã giải quyết khá trọn vẹn bài toán đạo hàm nghiêng không cổ

điển, cụ thể là bài toán biên cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2

trong miền bị chặn Ω trong không gian với số chiều lớn hơn 2, với điều kiện biên đạo hàm nghiêng D ν u = g trên biên trơn ∂Ω, khi trường véc-tơ D ν tiếp

xúc với biên ∂Ω tại những điểm thuộc đa tạp con trơn (n ư 2)ư chiều Γ0của

biên ∂Ω Để giải quyết bài toán này, các tác giả đã phân Γ0 thành ba loại, tùy

theo hình dáng của nó đối với trường véc-tơ D ν ,và tập trung vào nghiên cứubài toán xung quanh Γ0 bằng cách sử dụng một phân hoạch đơn vị đặc biệt.Gần đây, các tác giả A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza, trong côngtrình [30], L Softova [36], [37] đã giải quyết được bài toán đạo hàm nghiêng

không cổ điển khi trường véc-tơ D ν tiếp xúc với biên trên một tập con củabiên Bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển được nghiên cứu theo nhiềucách cho nhiều loại phương trình khác nhau, trong [17], Yu V Egorov, V A.Kondratiev nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng cho phương trình vi phân

elliptic tuyến tính cấp 2, trong [19] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương

nghiên cứu bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phương trình vi phân

parabolic tuyến tính cấp 2, trong [20] Yu V Egorov, Nguyễn Minh Chương

nghiên cứu bài toán biên không cổ điển trong không gian Sobolev cấp biếnthiên, trong [39] Lê Quang Trung nghiên cứu bài toán biên không cổ điển chophương trình vi tích phân kỳ dị elliptic cấp cao, trong [21] Yu V Egorov,Nguyễn Minh Chương nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho phươngtrình vi tích phân kỳ dị elliptic nửa tuyến tính cấp cao Được sự gợi ý của Giáosư Nguyễn Minh Chương, tác giả nghiên cứu bài toán biên không cổ điển cho

phương trình GVP cấp cao trong không gian kiểu Sobolev H `,p , 1 < p < ∞.

Luận án này bao gồm các kết quả mà tác giả đã đạt được đối với các bài toánbiên cổ điển và không cổ điển cho phương trình GVP elliptic, parabolic cấp

cao tuyến tính, nửa tuyến tính trong không gian H `,p , 1 < p < ∞.

Luận án được chia thành bốn chương chính như sau

Chương 1 Tổng quan

Chương 2 Bài toán biên cổ điển đối với phương trình GVP elliptic

Chương 3 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình elliptic

Chương 4 Bài toán biên không cổ điển đối với phương trình parabolic

Trong Chương 1, chúng tôi trình bày tổng quan về các kết quả cho bài toánbiên không cổ điển đối với phương trình elliptic và bài toán biên cổ điển đốivới phương trình parabolic Về bài toán biên không cổ điển đối với phươngtrình elliptic, các kết quả đưa ra ở đây được lấy từ bài báo [17] của các tác giả

Yu V Egorov, V A Kondratiev và các kết quả gần đây trong bài báo [30]của các tác giả A Maugeri , D K Palagachev, C Vitanza Ngoài ra, chúngtôi cũng điểm qua các kết quả mà chúng tôi được biết Về bài toán biên cổ

điển đối với phương trình parabolic, các kết quả đưa ra ở đây được lấy từ bàibáo [4] của các tác giả M S Agranovich, M I Vishik và chúng tôi cũng

điểm qua các kết quả mà chúng tôi được biết, chẳng hạn các kết quả gần đâycủa L Softova ([36])

Trong Chương 2, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên cổ điển đốivới phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong không gianSobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối với bài toán biên elliptic tuyếntính, tính giải được đã được giải quyết trọn vẹn từ những năm 60 của thế kỷ

20 Tuy nhiên, một điểm đáng chú ý là thứ nhất để bài toán giải được thì vếphải cần phải thỏa mãn một số hữu hạn điều kiện (nghĩa là toán tử ứng vớibài toán biên không là toàn ánh), thứ hai nếu bài toán giải được thì số nghiệmcủa bài toán có thể nhiều hơn một (nghĩa là toán tử ứng với bài toán biênkhông là đơn ánh) Khi đó, việc sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để giảiquyết bài toán nửa tuyến tính sẽ gặp nhiều trở ngại Chúng tôi đã sử dụngphương pháp tham biến lớn để giải quyết trở ngại này, cụ thể là trong không

gian Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến phức q, khi |q| đủ lớn với mọi vế

phải nằm trong không gian Sobolev thích hợp bài toán cổ điển đối với phươngtrình GVP elliptic tuyến tính có duy nhất nghiệm Từ đó, bằng phương pháptuyến tính hóa chúng tôi có kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toánnửa tuyến tính

Trong Chương 3, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ

điển đối với phương trình GVP elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính trong

không gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Đối với bài toán biênkhông cổ điển, bài toán biên không thỏa mãn Điều kiện Shapiro- Lopatinskikiểu Egorov- Kondratiev, ta chỉ có đánh giá subelliptic mà không thể có đánhgiá kiểu elliptic, nghĩa là đánh giá có dạng sau

||u|| `,p,Ω ≤ C(||Uu|| `+δ,p,Ω,∂Ω + ||u|| 0,p,Ω)

trong đó, U là toán tử ứng với bài toán biên, còn 0 < δ Nếu U là toán tử ứng với bài toán biên elliptic thì ta có đánh giá với δ = 0 Do vậy, để nghiên cứu

bài toán biên không cổ điển chúng tôi xây dựng một lớp không gian mới kiểuSobolev với chuẩn phụ thuộc tham biến Với lớp không gian kiểu Sobolev nàychúng tôi đã có được các kết quả về Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm chomột số lớp bài toán biên không cổ điển tuyến tính Từ đó, chúng tôi cũng cónhững kết quả về Định lý tồn tại nghiệm cho bài toán nửa tuyến tính

Trong Chương 4, chúng tôi trình bày các kết quả về bài toán biên không cổ

điển đối với phương trình GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính trongkhông gian kiểu Sobolev với chuẩn phụ thuộc tham số Có nhiều cách để tiếpcận bài toán biên parabolic Thông thường, ta tiếp cận bài toán biên parabolic

từ bài toán biên elliptic tương ứng bằng một cách thích hợp Chẳng hạn, bằngphương pháp nửa nhóm ta chuyển bài toán biên parabolic dạng ∂u

∂t = Au, trong đó A là toán tử elliptic, về việc nghiên cứu nửa nhóm sinh bởi toán tử elliptic A Để nghiên cứu nửa nhóm này người ta nghiên cứu toán tử elliptic

A. Trong luận án này, chúng tôi dùng phương pháp sử dụng phép biến đổiLaplace để đưa bài toán biên không cổ điển parabolic về bài toán biên không

cổ điển elliptic Từ việc nghiên cứu bài toán biên cổ điển và không cổ điểncho phương trình elliptic ở các Chương trước, chúng tôi thu được các kết quảcho bài toán biên không cổ điển parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính Phépbiến đổi Laplace từ lâu đã chứng tỏ là công cụ hữu hiệu để giải bài toánparabolic Kết quả của Chương này càng chứng tỏ sự hiệu quả phép biến đổiLaplace trong việc nghiên cứu bài toán parabolic

Chương 1

Tổng quan

Các bài toán biên dưới đây được xét trong một tập mở, bị chặn, liên thông Ω

với biên ∂Ω trơn, trong không gian R n với số chiều n ≥ 2.

1.1 Bài toán đạo hàm nghiêng cổ điển đối với phương trình

tiếp xúc với biên tại một phần của biên ∂Ω Chúng tôi xin được gọi lớp bài biên trong trường hợp n ≥ 3 và trường véc-tơ D ν tiếp xúc với biên tại một

phần của biên ∂Ω là bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển Công trình của

Yu V Egorov- V A Kondratiev [17] đã giải quyết tương đối hoàn chỉnh bàitoán đạo hàm nghiêng không cổ điển cho phương trình tuyến tính elliptic cấp

2 trong một tập mở, bị chặn Ω với biên ∂Ω trơn, trong không gian R n có số

chiều n ≥ 3, khi trường véc-tơ D ν tiếp xúc với biên ∂Ω tại những điểm thuộc một đa tạp con trơn, (n ư 2)ưchiều Γ0 của biên ∂Ω nhưng không tiếp xúc với

Γ0. Dưới đây, chúng tôi xin được trình bày một số kết quả chính trong côngtrình [17].

Để giải quyết bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển này, trước tiên Yu V.Egorov- V A Kondratiev chia Γ0 thành ba lớp tuỳ theo trường véc-tơ D ν và

trường véc-tơ η pháp tuyến trong, đơn vị của biên ∂Ω như sau Giả thiết thêm

rằng Γ0liên thông và tại mỗi điểm của Γ0có một lân cận trên biên ∂Ω mà Γ0 chia lân cận đó thành hai tập liên thông Lấy P là một điểm của Γ0

(i) Điểm P thuộc lớp I nếu trong một lân cận nào đó trên biên ∂Ω của điểm

P tích vô hướng hη, νi chuyển từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua P theo hướng vectơ ν.

(ii) Điểm P thuộc lớp II nếu trong một lân cận nào đó trên biên ∂Ω của điểm

P tích vô hướng hη, νi chuyển từ dấu âm sang dấu dương khi đi qua P theo hướng vectơ ν.

(iii) Điểm P thuộc lớp III nếu trong một lân cận nào đó trên biên ∂Ω của

điểm P tích vô hướng hη, νi không đổi dấu khi đi qua P theo hướng vectơ ν.

Do trường véc-tơ D ν chỉ tiếp xúc với biên ∂Ω tại những điểm thuộc Γ0 , hay

tích vô hướng hη, νi khác 0 tại mọi điểm không thuộc Γ0 nên nếu trên Γ0 cómột điểm thuộc lớp I (II hay III) thì mọi điểm còn lại của Γ0cũng thuộc lớp I(II hay III, một cách tương ứng) Ta nói rằng Γ0 thuộc lớp I (II hay III) nếumọi điểm của Γ0thuộc lớp I (II hay III, một cách tương ứng)

Với cách phân loại như vậy, Yu V Egorov- V A Kondratiev đã đạt đượccác kết quả sau cho bài toán đạo hàm nghiêng không cổ điển

trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u.

Đánh giá (1.4) là tốt nhất theo nghĩa không có số δ > 0, C > 0 nào để với mọi u ∈ H s+1(Ω)có

||u|| Hs+δ(Ω) ≤ C ||Lu|| Hsư1(Ω) + ||∂u

∂ν

...

trong đó, U tốn tử ứng với tốn biên, cịn < δ Nếu U toán tử ứng với tốn biên elliptic ta có đánh giá với δ = Do vậy, để nghiên cứu

bài toán biên không cổ điển xây dựng lớp không. .. nghiệm cho tốn biên cho phươngtrình vi phân parabolic cấp với điều kiện biên không liên tục, cịn cơngtrình [10], Giáo sư đạt Định lý tồn nghiệmcho tốn biên cho phương trình giả vi phân parabolic... (nghĩa toán tử ứng vớibài toán biên khơng tồn ánh), thứ hai tốn giải số nghiệmcủa tốn nhiều (nghĩa tốn tử ứng với tốn biênkhơng đơn ánh) Khi đó, vi? ??c sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để giảiquyết