Áp dụng phương pháp tính vào việc dạy toán ở các lớp chuyên, lớp chọn phổ thông trung học

9SIJC

B O G I A O DUO VA D A G T A O TrtnoTig Dai hoc Tong ho»p Ha n o i

Luan an Phó t i e n sy khoa hoc

N ^ i o l hxro-ng dan : ^PTS Hoàng Diro Nguyen

ì

; j ' i f

Ha n o i 1991

• L iy ::L H b «:'* :.L l i t ^^ ^

HX» ;ko t a o n h A n t A i c h i c iitA'i n u : à u U mO t f i h i è m •.M.I qui-ut t r o n q cùa nqhànì) g x À u d u e « fiiX ÌÌMU t ^ ! i t n h x é n i v u ^:à c h ù i t g t a <Jà

t h i A n h JAp tiè t h t ì n y ICTp c h i A y ^ n 1 lùp c h g n rih^ùn ph^-'1: h i è n

n h O l n q hoc S Ì J Ì I Ì CO n à n q khi-éu n q a y tu k h i e A e: em c o n n h ò

ci<?^ c o kè' h ( j ; ; i c h b(°ii d u f t n g 0" Cd^p p h o hhsòrm t r u n g hi(^ e c h t ì m(!7i

t i n h nió'i c o niò t iUyp c b u y e r i i c h u / " ^ ! * t o J i n , chìUV'^n v a r * « « )

Nò tt LI: 0 f :: t hi i\ r j I' > l^.p tù e a <::, e m !' 10 «.:: B i r ì hi g 1 ò x L o a r t «, giù i v ^ n

n hf A' 1; c u a t i i\h « B a u k lì x hio t;: hiè' t e: A' p p hi(j t ho e i g e d ^ d e A e ern

110 e s ,i)'ì hi g :i ù :i s ^ -lit u! 0 e: ':;;l U h h t x v A f;;) e A •: : 1 ó p i i j (.;: f 1 u y é \ i - h! d" j 1 il* p*

l ì à y Qi^Mì t i a 2;^ 6:é'n 3 0 ein^ 4(/i;yc l i h A n\J.Óc cA^p h o c bó^tiq vA d o

cA e g i À o ':• iéfì e 6 k i i i h nQhx*!;ff( g:t olng dt^y CLI^Ì t ; l n h d^y d ^

B a I j 11)6 t i "f A lU h (T C C. ^ (- e in f.> h '^ x q u a ni «.!> 1' k y "l_ hi 1 t u •/ d^ 11 e: i i Q I Ì 1 -.^ x ^

em ri A u I'; hu r i q et -i t s o phic! x t r d v«? hio e ò phò" t ho r i q thiXò^ng

C u 0 I n A m 1 ó' );J 12 e A e e 01 p- ! 1 (it 1 <J L'' t h i e A e; k g e 1 nis 11 hi v ':.: ':> x )^""i

g a ò x cCia t i n h i d ^ l A p cilòi t L i y ^ r t d U i h L t o A n K\V.6Ì: V A t h x qLiOc t&

Oaix k\ìX c A c em y x u i n h i A t u O a t i u h cfy -ifL^li./c t L r / e n c h n i t v A o c A c 1CJp <::hiu.yécì ^ cÀ e tr'LJ:àny p11 u t h ò n g t r u e t g I r o e s ^ tt'y L.;Ì 1Ù'.; t h i

c h o i ! \ i^'.: i;:-m ÌMJC s a n h n x ò x c u a t r i j l ò ^ r i g , t h i i i h i 1 ti p c à c l.i'yp

c h u n t ù ' liiyp 1 0 ri éi'n ÌCfp 1 2 « CA e 1 6 p nA y s^!- (Us.ijr: e A e g i A a v i t ^ n

g x ó i c u a i r LfltYiiy d^y n h ^ m MA dif.(ing c A c em t r u t h A i i h

e A e hi V e 3 1 n hi g 1 ò i L:Ù a 11- LIIÒ n g ci t,j: t hi i e ! 10 r ì OQ C I^;: MI Ì Ì (.31 ò 1 e ù a

t ìn\) ve • t A t k é' t (.| LI a t ri t t r t:- n g e;; ^ e k u t h x rf ^i ;i h rj r „

CìnXung t r i n h h o c ò ce i:: lóp (shv.yén l A c h t j " d n q t i - i n h t ph(!? t h ò i i g

nhi.;:ny c o t:ti^ c a u h d n vA ttulgfc h o c tihixf^u g x i i h o n ( ITIOÌ tiAA'n

thf^MM 2 t i ^ t ) N Ó I d u o q <^^ c a c j c o \:h^ ].A

i:.\*i ciu-fyrm c A c p h i t l d r i g p h A p suy l u A r i ^ Ar p h u o r ' g p h t p M,i;

h o e ^ t u ! iglu-f^ii KAXa •

• !• h a i t h A c iiUf :i k h i a c a i ' h c u a k x é ' n t h u c e d t)i:5n ^té' iiov.: ; - M n h

ri-Ant c I t A c VA c o k h A t i A i i q -"An d o f u j ,

• Lo uhCcng e h t u y ù n -1 ^ irifV r 0 n g k i ^ ' n t h i ) : e phió" 1,ho i ig v( \Xa v A o

(OÒ t <;id k x=^ n t hù' e c 6 t hii^' c u a et a 1 h o e f i hA m phiA t f iixy t :t, n ì * s A n y

0 -IAÌ) d(} à a a ìu() t -^6 k i.^ n t ho: e e:, ù a t o A n hi o c h ^ ò r i rt a x v A o p hi &

khC^ nQ dM y <•-ho eà (.: e?in h o e s jj ) h ehLAy^I'^ t(J•?.ri 3 a i i g 1 > / A*n ^:* (J m.5

' a u l i t i ' / L.C- g x a o • • • r O q u a n ! i g h ; t è i i CL):H q i i a n hAm «

C:) 6 t h (!/ J L^^ r: ^ x g i ì* L^ a v A L) e i h o: t h é r t A e- é.& e A e e ni e 0 t hi t''

L.Li^p t h M ^ Ar* d o i i q dUcM:: t r c i r t q k h u cA e ^;;ITI c h i x a c 6 k i ^ n tf\ù.v

cCi a ("i-^ <"" •'f v^ 1 h o '•' ' (• '->\ ILI •' 'A 1 ! .1 ò I i t i ''i ^.- I /i y 11V ^ •' !• 1 111 i i,i • i -i i": [

Ai'',:i (iiij i.: 'ni^u kxOii LhiUc CUÌ:;« h 6 niòf) phi.i:Oiig p h à p 'At r '[tiV

t f ì ò n q nltAoi g LU p cA •: eni hK* e s.ÌJ!h c h ' ^ y ó n t o A n • • i-j:"^q

t lón 'tv' q j à ;( ••ji.iyA' i f(f(\ t I<:jn i, bii i t o A fi k ' h ó • • • • ' :

-gxO(:.> C.A L 'ani phA t crM(Vn t(V d u y s à f i g t^M::j v-A d^i l k^' • '-.ùX

t i ' 'iig r\ e ktì t h u h o ' BA n h g x ( j :i tii: t t nhi i; (•>'! t o A i i ( l u ó ^ c

-NhiVnq nói ' i u n g n é u f^y dlAy ce ^.hi^' q i ó , ' t h c l v ' - ^ '' ÌÌK:' h o c ' s x n h

Uyp l i ^ tcyp 1 2 d u ó ' x d ^ n i g c h i u y v T i ^:!:^'^

T'Ax X.i.t^u gttiH 01 c!)(<:vn'jq

L,-ho:cyrìg X gC/x t h i O n k h a i n l é n t v^^ ;->a;i phiAn /A niO t ;:{!) t i u h i

c d i A t cf>a c h u n q <:! i^-' a n q d u n u q i A i m o t s d bA i t o A t :i HI q u

t i n h cò'ng uùa ii n q rIAl.! h.i.èn iia rirO t i.i A.;i V c'i'i a l'Ia / s o ^

d<Oy S O = «

C h i r t - n q I [ g i ù ' x t\\x^ix p h i ù : i n g t r ì n h s a i p h A n vA cA e h q x A x ,

chò t c o i ì Q p h u : u n q t r i n h s a x p h A n cA^j.,' niO t v a c À p ì\ax rihAih y i x x

q L i y é ' l bA ì t o A n /& d^y s,6 X^ i.jh6' t h ò n q

C h u c / n g l 11 B M j t h i è n e A e k hA i ni ^ m vA e A e \ :Ì n h :iO ve

p h i l U n y p h A p l A p ^tt*/ g i ^ i c A c bA x t o A n ve? t i n i y i a x li.M'i* c ù a

m o t d^y st) ù phCf l ; h 6 n g vA C A L , bAx t o A n v ^ Uùc l i i C n g sai so

iigh.UMn gANi A'Ung c ù a m O t phi ':dng t r ; t n h

c h i ^ y n g :tV gxci^i hhixt^u cA e ( t a thLi:c Tsi^- IH;; sé[.f vA m o t ii.tì t : t n h

h.hci'c t f f j thi.iè'LA ve' ptìL'ioi tg i?tK> j) i.i, n h titA t r i n h bA / t r o n g >, ;i, •

chiLXUng t f ^ n t h i i viCu; g l a i k h ó n g c o n k h ó k h A n ìlia)

T ó i ; ; i n c h A n t t i à n h cAm d n rrii(!yn^;i ih;\ 1, Ho e ! Ó ' « M h i d p p k hìcia

ToA ri di t i Vi hi o c vA t f i ' phiii:(:/ng p h A p t i n h « ùa LIÌW:V,M,I I ; i a ct:u'^HA ki^M'i vA gxi^ip cìù tÙ :\ heiiAis t h A n h e ò n y t r i n h n g t i x é n

cCf.i\ n A y « T ó i v6 CLlng cAm d n c A c g J A e i so: v::An bó g.C ^ng

d A y c u a t(f bO foòn p h u : a n g ph<:t p t i n h J A e bxé t W T S

H o A n g f)ù:c M g i i y é n d'A' cu r i h x ( > u Ci k x é n L.tn' dA'n , y l ó p (tft

d O o g V K ' M I t ( ^ j i ti'(.:jng q n / * t r x i i h ngh.i(??ri l a L i d^' t A x n A y

L g Q u t f c H à o

Chufdng I

S a i phAn - c&c t i n h chA't va cicng d u n g

CA e b A i t o A n vó' dA'y B6 nhif ti m en-ii 1 uA t < 0a m61 dAy s(!? ;, 1111h 10*11 g 11 sCi hÌ;( rig •:i A'LI t ié n eùa ui0 t da y s6 u ^ 1A e A e bA i

t o A n kh(') vói ho*.: s x n h phf'.»' i h t ' j n g t r u n g i i o c uTuy nhxif?n vó'i khiAi ru.^(n s a x phAn vA t i n h ch.Vt cùa e h ù n y cAc em hiOL s x n h

):.)é c6 pho:ony phAp s u / right' A'^ g x a i cAf::, bA i t o A n i a a i I r è n

i J Q y è n e: A' Li p Wf L h A n g n ^ n t r o n g t A :i :i i 0 LA nAy ta e h ì xé

Df*'' t h u A f i l u x che> t l n l i t o A n t a :LAp t)Any sa.i phAn du:ox d a n g s a r i

d:^y^

T a chi:):ng t n i n h c f l n g thi:i:c;: ( 1 ) b A n y p h U t i f n y phA*p q t i i n*iip t h e o i s

K h i i I p t a c o !!^ ^ y ^ =•"• yk.>-x - / K •- C*•^l.y^ , -i •-• C x / k

T r o n g <tị F-'o x C x ) 1A ita thù'.c bA e n - i cCia x „

Do t i n h c h A ' t 1 1 t a c h i cA'n chi::';ng m i n h c h e età thLJ:c F'r, ( x ) -yO^

a / K hi ;,l i < n

Oùi i:^:^^l t a co Z l P o ( k ) =::^ Z \ ( X " ' ) ^^^=^ ( k "i-1 ) ^ •-k ^ ^^^: P o x ( k )

t r o n g d ù P r, -^ x ( ÌÌ ) 1A dt a t hi Ci: e: b A e:: n 1 e:: ù a x

g i A sCf Po ( x ) "••• ao «.x'"'"''^-+-ao -«Ì;-.-XX''' ^"^ ^-^u «-i-axx-i-ao

T h i Po ; ( kH-1 ) ^^^ a o - ( k-i-1 ) ^' "'^-•-ao- x ( k-i-l ) - - ^> -i- „ „ -i-a^

n ! C.bJlD g, ,JJJilnjhl

CA e d A y B6 il ph(f t h ò n g thu:eyng ],A cA e g i A t r i cà e ètigi'm

ngu.yùì) cùa m o t <;ta t h c ì i c n é n t a c6 th(?J' su: d u n g t i n h c h A ' t

" 1 1 BAi gJAi

Ta lAp bAng sai phAns

I k ! y,: \/\ỵ: IZẤV»^- I Â^^^y^ IZẤỵ.- IZA=^ỵ

Bai p h A n cÁp n c ù a d a thci:c Po ( x ) l A h A n g s(5 ( k h ò n y èt^yi )

n ^ n t a c o t h è ' ' l A ' p cTÂy co t Z A ' V C k ) bÁny g i A t r a cùa

IV' P.-, ( 0 ) s a u d 6 1 Á p et  y e ò t IS '" " ' F-' r, C k ) , „ „ , e u 6 i e ù n g 1 Á p

ctÂy c ò t P o ( k )

-fì^ t l n h giA t r i cuà età thcjlc K P - ( X ) ^^^ x' - x"^" 'i" 2 1»di cAc

giA t i ' i n g u y ^ r i x ^^ B ; 9 iilO t a lAp bAng s a x phAn cuA

p.^(K) : x"" •"• x" -•• 2 vCVi k -'^^ 0 il 1 i; 2 s » "'• 5 ^^ '.-^'P <^^y c:'> *^

ZA^yk b t ì i s « ::i040 t i n h nyo:(^c l^:i t a *li./(.yc /X'^^'yk j, - •• - i y» «

k I yk i ZA/ I A ' > ^ i A"y^^^ I CAW^- I ZA"y- t ZS'y^

VAy t a ttA t h a y p h é p lùy thLi:A bAng p h é p c ò n g ^còng v i O c nAy

cu ij nghiA lón k h i t a t i m giA t r i c ù a d a thci:c bAc cao lii\i x

khiA ICVn

2:./„ KMX!l t r a t i n h c h i n h xAc:; c ù a bAng s i ^ i lìbAn

CÌLia h a i v i du tr(^n t a thA'y tA'rn qL'.an t r o n g c ù a baiig s a i phAn

q u i i u A t t i m (ìif.oc c ù a diy s6 co tht-*' etùng hoAc giA t r a d a thiòlc c6 c h i n h i xAc ttiii t h u ó c vAo cAc tjiA t r a c ù a s a i phAri

~ 13 cAc CJA'P C6 dcing khftng ? T i n h chA't (V) cho chcing t a ki^m t r a

-t l n h c h l n h xAc cùa bAng s a i p h A n

V i du t r o n g bAng s a i phAn n^u t r o n g v i du cùa ù:ny dung 1 t a

- 16 '"

ChiftfnpII

F^ |-i CJ: cT r"ì gj Hb r" ± n H 3» «3t J~ p> t™i A r^

CCung vcyi s a i phAn - phudng t r i n h s a i phAn co t A c dung rA't

t t f t t r o n g v i è c g i d p hoc s i n h g ì A i cAc b A i toAn v^ d^y B6 ,

Do yéu cAYi phtf t h ò n g chùng t a c h i n g h i é n cclfu phuitfng t r i n h

s a i phAn tuyé^n t i nh vA chù yé^u 1A «ut dung phucfng t r i nh s a i

phAn tuyé^n t l n h cA'p mot vA cA'p h a i d ^ g i A i cAc b A i t o A n

phtf t h ò n g «•

g j - Phiftfnq t r i n h s a i ohAn tuvtfn t l n h cATo n

I / D i n h nghia:

PhUtfng t r i n h s a i phAn lA mot h^ t h i i c giOta s a i phAn c^c c^p

Vi s a i phAn C;Ac cA'p d^u co t\\& bié'u d i ^ n t h e o cA e g i A t r i

cu A hAm so nèn t a co t h ^ d i n h nghi<( phUtfng t r i n h s a i phAn

tuyé^n t l n h cA'p n nhu sau s , Phucrng t r i n h s a i phAn tuyè'n t l n h cA'p n lA phudng t r i n h co

d j i n g B

a r / o ^ k + ari "4,y <t-."-i,)-^i.- + - + Six.yxvv, •+• aoy^ - g ( 1 )

t r o n g dò ao p aa ^ « « a o ^g dS bié^t con yi^ ^yu.rx^ » ,, yR.rUA

cAc giA t r i chuta b i é ' t vA a^ p a.: khAc 0 « Nè'u g === 0 t h i

phUdng t r i n h s

aiìyn.k + ar,- i.y co-X > t u •+• - + aj,yx*k -^ aoyt^ ~ 0 ( 2 )

diic'c g o i lA phUdng t r i n h s a i phAn tuyé^n t l n h thuA'n nhA't

cA'p

n-Btf g i A i phuong t r i n h ( 1 ) t a cA'n bié^t n giA t r i ban dAYi »

yo »yx ytx'i r t f i t h e o còng thOtc t r u y t o A n Ap dyng vAo

( 1 ) t a t i m duc/c tA't cA cAc giA t r i yr> ^ yr,.-x vA xAy

dg:ng duttfc q u i l u A t yu - f { k ) vtìfi k "= 0 , 1 j.2 > ; y^ " i{k)

dUoc g o i lA n g h i ^ m cùa phUc/ng t r i n h s a i phAn ( 1 ) Phutdng

Nqhx#fTi t ò ^ n a

i: r" i n h • s a i p h A n • •::: ó t hi é' e: ó v~ A t n hi j.e L.I n g hi i è m

c;| Lt A t e: ù a p hi L.'! Ó H Q t r i n h s a i p hi A n 1 A ri g hi i.ò fiì m A r n o i

l a i ( g o i '.A n g hi 1 é in r" x è n q ) d (^ i,.i l a n I ìO: n g t !•- u; (j n q h o p r x è ri e

e Lì a n ò ,

O ••••' X ^ J I U J c.hA't _c;;aj: _nj;3jió^,_m cù^a_j;^iji ^^ax iohiAn t.ixx^n tj.n

1 / NOLA V^, V'A V K LA cA e n q h x é m c ù a p h o i O n q t r i r s h s a i nhiAn

t u y e n t i n h t i i L\ A^ n n h A" t e A' p n ( 2 ) t l i :t ay, -i • B y h; v ó" i IJÌ ^ B le

i m n g n x ó m 1-11 , i n h u! o n y t r" 1 n hi t h L* A" n i i ri A' t ( 2 '^ d L *: ó' :i d a n q

T h a y vA CJ phu:u n g t r i n h ( 2 ) t a do:(;/ e phiu:o'nq , t r " i n h s

arvX^-^ -i- a,., j.X' ^ ^t- -i a.,.A^- -i- aoX*^^ -^ 0 ( 3 )

Chci:n«i m i n h

tini i\ ì ' „ M '.:' L 1 / H cùa b i ^ L t t h t ( ; c ( 4 ) ;Ì mO t t& h d p tLiyé^n

t i n h e A e n q \i ià a) cùa p h U d n g t r i n hi t h u ^ n ri ri A' t ( 2 ) e ù n g 1A

n q h x o m ì;:)hu:dnq t r i n h ( 2 ) = C a n chLJ:ng mii-in d ò XA n g h x o r n tCsng

q u A t ^ n q h i a lA m o t n q h i e m bA^t k^) n A o d ò y*,., v&i cA e g i à t r i

b a n dA^u chKj trLi:ò'c y * o •••- '-Xo j, y " * x " '^j-n : = ^ ;; y'*(-.» -x •'- '^x,.,-1 s é dL'ic

xé.c d a n h n o A n tcsAn t u ; b x é ' u thu^ilc ( 4 ) = T h A t vè.y ? cA e nò ^ o Cx =;

b / Ne LA phiu!d i ! y t r ì n hi d A e t f 'o:n o ( 4 ) e6 eé

k he e n hau vu''x so bo i t u l o ó i g òing 1A S i s.;;

(Sx-"-^;;;^"'-.^ == ^: ••f'-Sp.^^^n) t h i s

y -^^(Cx^K:;:;,k-i-= = - ì - c ^ k - -^-)^-(C«^ ^.4.C:^k4-, _ - h C « ,

KM •< • A ' '— m — lis + , ^ ) X " , > ? ri q n x 0 m

NhAn h a i ve' c ù a phuCdng t r i n h dA'u vói •a.r^X'^^ phcCdng t r i n h thiù:

h a i vói a r v - x X " - " * - , • - , phiuidng t r i n h c u f f i cù.ng vói a o r6i

c ò n g l ^ i t ù l n g v&z ve' t r A i s<? lA ve»' t r A i cùa phìUdng t r i n h

( 7 ) d o dò ve' p h A i p h A i bAng 0 He B(5 c ù a s a i phAn / \ ^ < f ' ( k )

F'M (• ,: 1)g ! A"! ' q o:ó t ! i(? t h o a ma ri di ':d = phuXdf - hJ n g

e A e h u i l o n •io 12} l'X c A c d a t h ù ' c : LiA e h''- h d n :.,j • • I; a,.' ' t:hv w-U X ) l A e A e 1A¥—:MM^ uA-C-^tié^liDLi t B x c:ùa k s 1 _, i h •'\,

k™ ^, DAy qi,jiX iìqri:ì.i^ni piiLi:dng t i ' i n h ( 2 ) s ^ l A ?

! ó: t : i nhì ch.'Vt ( 1 ) cùa ce e nghié(if!'-: ù a p h i r d n g I r a n h thn.iA'n nhi.:i't

t a s u y ra bx^ix t h i i c ( 6 ) 1A n g j hixom c ù a p i i o : i y n q t r i nhi ( 2 ) »

' dn phA 1 c h ' i n y mxtdi (.ó > 1A n y hxCon l u n y '.ÌJIAA t : {-«xa su! ngh.ì.Om y * i (JA; t k ò nAo> d ò t h e A niAn e A •„ d i é u k x è n Ì.J.;::U » i A u ;;

j p I, \ 111 - i - - j - P I 1IB X \ !<• u:: ,-*

"~ ( <i\ r» y » A~ ».i "'" a r t - J y r i ••.- 1 •< • k, ^•* = n s "ì- a <:> y »i ) •'" C ^::'- o / r - «- i i ' <"• r- - - J / x , — X - i - it

V A y y V, n y hi i.è i^n f ;;> hi LJ: (;/ n e:! t !'• i n h ( 1 )

1 " a e !' i L j; n g m i.n hi y >- 1A n g h x è m t o n q n L,I A t cùa ( 1 ) ^ n g h x a l a n e L I / * l i 1 A n Q h i o m b A t k LÌ t hio a ma n e A e d i é^ LI k i ^ n y * <;,-^oi<> ;,

£' !"! hi A r"i d' L.t! d t;: t i'.r b 1 & ix

t h ó ! c ( ^ ) b A n g o ; A c h c h o n c A e h c V n y t h i e h h d p = N h o ! p h i A ' n 2 / t a d A

b i.i^ t n n h X1^ m t ^ ri q q LI a t e LI A Q hi u! d n q t r i n h t h u A' n n h A' t ( 2 ) c o d a ri q

y *X-"• OC.J =1 " 3 y '*• r X••"';xr x thi ni

V A y de' t i m d u! d e n y li ié rn t&ng q u A t i:: ù ;a ( 1 ) v A: n d o e h ù y t^ LI 1A

p il a i t ;i: m d L.'! Ó C m ò t n g h i.é m r i.*^ n g cùa C1 ) = N ó i e h u n g v i é e t i m

TF-!CDnCi tr*'u;dnt;) hic^p y J A d a thiij!e;; bA e n d.6i v

"i- M 0 LI ( a -I- b ) -" Cs ^ T ù: iZ) ta t h A: y ZA y i, l^

d ò yk; l a d a t h c i ! c b A c n 4 l d6i vói k

p h o n g • p hi Ci g i t i p e Ìi c> e é.c B «i !i n r, s i n h e:: ó p hi o! d n o \j h é o ci i a j

!''-! hi LI! V a y v A' r'i d è t i ITI ri C;Ì hi i.é fTi i.é r'i q (;;; ù a ( 1 ) 1 a q LI a n t r Q n g

V.i.é e t ;! iTi n (;;Ì hi i.é m r i é n q e ù n (;;Ì r-A t k ! i à k h-A

tay,.» -^ X •••••• e ta X r, -i" tad y,-

SLiy ra ^ s CÌKO-»- X •" byo-»- x •• \ ad ••- bc: i Ho :=

ThèIji b d t a;.;.-i-^• x v A o vé^ t r à i t a e:d ;;