Một số bài toán về tính bền vững của hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu

Dướidạng đơn giản nhất, bán kính ổn định có cấu trúc của một hệ phươngtrình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận ˙x = Ax được định nghĩa là số γ lớn nhất sao cho mọi hệ chịu nhiễu ˙x = A

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐỖ ĐỨC THUẬN

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 62 46 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn

Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Phản biện 2: GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy

Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án Tiến sĩ cấp nhà

nước họp tại

………

………

………

Vào hồi ……… giờ…… ngày……… tháng……… năm………

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà nội

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất cứ công trình nào

Tác giả luận án

Đỗ Đức Thuận

LỜI CẢM ƠN

Dìu dắt trên con đường toán học, luôn tạo ra những thử thách giúptôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếpnhận từ người thầy đáng kính của mình, GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn.Thầy Sơn không những đã hướng dẫn tận tình mà còn truyền cho tôinhiều kinh nghiệm quý báu trong nghiên cứu khoa học cũng như trongcuộc sống Tôi xin gửi đến Thầy lòng biết ơn sâu sắc nhất

Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đến GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy

có những chỉ dẫn quý báu trong chuyên môn và trong nghiên cứu khoahọc Được làm việc với Thầy giúp tôi mở rộng vốn kiến thức của mình

và thu được một số kết quả đóng góp vào trong luận án

Tôi xin gửi tới GS TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS TS Vũ HoàngLinh và các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN lòng biết ơn sâu sắc, những người

đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình tôi, đã giúp đỡ rất nhiều để tôi đến đượccon đường toán học như bây giờ

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng phản biện

và các Thầy Cô trên Viện Toán học, những người đã đọc và cho những

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim,các Thầy Cô giáo trong Khoa Toán - Tin ứng dụng trường Đại học BáchKhoa Hà Nội, những người luôn ủng hộ nhiệt tình, tạo điều kiện thuậnlợi và sẵn sàng giúp đỡ tôi trong thời gian này.

Luận án này được hoàn thành dưới sự động viên, chia sẻ, giúp đỡlớn lao của Bố, Mẹ, người thân và bạn bè Tôi xin gửi lời cảm ơn vàdành món quà này cho tất cả!

Hà Nội, ngày 24 tháng 9 năm 2011

Tác giả

Mục lục

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14

2 HỆ CÓ RÀNG BUỘC VỚI MIỀN THAM SỐ ĐIỀU KHIỂN BỊ NHIỄU 29

3.4 Thuật toán tính toán 71

4 BÁN KÍNH TOÀN ÁNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

ˆ

MỞ ĐẦU

Trong thực tiễn, có nhiều vấn đề của kỹ thuật, cơ học, vật lý, sinh học,kinh tế được mô tả bởi các hệ động lực Hệ động lực khi có thêm cácbiến điều khiển thì sẽ được gọi là hệ điều khiển Lý thuyết điều khiểnđược phát triển từ khoảng 150 năm trước đây khi các điều khiển cơ họccần và có thể được mô tả một cách toán học Các tính chất định tínhcủa hệ điều khiển được quan tâm nhiều nhất là tính điều khiển được,tính ổn định và tính ổn định hóa được Nói một cách đơn giản, hệ đượcgọi là điều khiển được nếu tồn tại một điều khiển để chuyển hệ từ mộttrạng thái ban đầu cho trước sang một trạng thái mong muốn cuối cùng

Hệ được gọi là ổn định tiệm cận nếu mọi quỹ đạo của nó chuyển dần vềtrạng thái dừng khi thời gian tiến ra vô cùng và hệ được gọi là ổn địnhhóa được nếu tồn tại một điều khiển ngược (điều khiển phụ thuộc vàobiến trạng thái) để biến nó thành một hệ ổn định tiệm cận

Hiện nay, vấn đề đang được quan tâm là tính chất của các hệ độnglực chịu ảnh hưởng của nhiễu Phần lớn các tính chất "tốt" của các hệđộng lực cũng như các đối tượng trong toán học nói chung đều bảo toànkhi các tham số cấu trúc của hệ hoặc đối tượng chịu nhiễu bé Ví dụ:tính điều khiển được của một hệ điều khiển tuyến tính trong lý thuyếtđiều khiển; tính ổn định tiệm cận của nghiệm trong phương trình viphân; tính đặt chỉnh (well-posedness) của một hệ phương trình tuyếntính, tính hội tụ của một thuật toán trong giải tích số; tính khả nghịch

của một ma trận vuông trong đại số tuyến tính; tính chính qui metriccủa một ánh xạ trong giải tích Sự bảo toàn các tính chất định tínhnày dưới ảnh hưởng của nhiễu được gọi là sự bền vững Các nhà toánhọc mong muốn tìm được một định lượng nhằm đánh giá khả năng bảotoàn các tính chất định tính của hệ thống dưới ảnh hưởng của nhiễu,được gọi là các bán kính bảo toàn.

Đối với tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính, xuất phát từ hai bàibáo đăng trên tạp chí Systems & Control Letters [45, 46], các tác giả D.Hinrichsen và A.J Pritchard đã phát triển một hướng nghiên cứu mới

là hướng nghiên cứu ổn định vững của các hệ động lực dựa trên biểudiễn của hệ trong không gian trạng thái và sử dụng khái niệm bán kính

ổn định Hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiềunhà toán học vì tính hiệu quả của nó cũng như các ứng dụng trong kĩthuật (xem [7, 13, 25, 26, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 68, 74, 76, 84, 97]) Dướidạng đơn giản nhất, bán kính ổn định có cấu trúc của một hệ phươngtrình vi phân tuyến tính ổn định tiệm cận ˙x = Ax được định nghĩa là số

γ lớn nhất sao cho mọi hệ chịu nhiễu ˙x = (A + D∆E)x vẫn còn ổn địnhtiệm cận một khi k∆k < γ, ở đây ∆ là ma trận nhiễu, D và E là các matrận cấu trúc nhiễu và k · k là một chuẩn ma trận cho trước Một cáchtương đương, bán kính ổn định có thể được định nghĩa bởi

ổn định phức được D Hinrichsen và A.J Pritchard [46] đưa ra năm 1986

trong dạng

Công thức bán kính ổn định thực khó nghiên cứu hơn Phải mất đến

giải quyết bởi một nhóm tác giả dẫn đầu là L Qiu và B Bernhardsson(xem [82]) Tuy nhiên công thức bán kính ổn định thực này rất phức tạp

và gặp nhiều khó khăn trong việc tính toán bằng máy tính Từ đó, mộtcâu hỏi hết sức thú vị được đặt ra là: Có hay không các lớp hệ phươngtrình vi phân tuyến tính mà đối với các lớp hệ này các bán kính ổn địnhthực và phức bằng nhau và có thể tính được bằng một công thức đơngiản? Câu trả lời được đưa ra bởi N.K Son và D Hinrichsen là trongtrường hợp hệ dương (hệ có trạng thái luôn không âm nếu trạng tháiban đầu là không âm) thì các bán kính ổn định thực và phức trùng nhau

và có thể được tính toán dễ dàng (xem [53, 54]) Sau đó bán kính ổnđịnh của hệ dương được nghiên cứu rộng hơn và sâu hơn bởi các kếtquả của N.K Son và P.H.A Ngoc (xem [85, 86]) Cũng chính hai tác giảnày đã khởi xướng cho sự phát triển của việc nghiên cứu các bài toán vềbán kính ổn định dưới tác động của đa nhiễu và cho các lớp hệ động lựckhác nhau, đặc biệt là hệ có chậm và hệ được mô tả bởi phương trình

vi phân phiếm hàm (xem [1, 72, 73, 74, 75]) Đối với các hệ tuyến tínhthời gian biến thiên, công thức bán kính ổn định đã được đưa ra bởi B.Jacob [58] và sau đó được N.H Du và V.H Linh nghiên cứu phát triểncho các hệ động lực ẩn thời gian biến thiên [27] Bán kính ổn định của hệđộng lực trong không gian vô hạn chiều cũng đã được nghiên cứu với rấtnhiều kết quả của các tác giả D Hinrichsen, A.J Pritchard, S Townley,

A Fischer, F Wirth, Y Latushkin, N.K Son, P.H.A Ngoc, B.T Anh,

D.C Khanh, D.D.X Thanh (xem [6, 8, 18, 32, 33, 34, 48, 75, 81, 96]).Một số hướng tiếp cận khác đối với tính ổn định bền vững của các hệđộng lực có thể được tìm thấy trong các kết quả của các tác giả P.K.Anh [4] và V.N Phat [79] Có thể nói rằng đến nay việc nghiên cứu ổnđịnh vững của các hệ động lực tuyến tính đã được nghiên cứu khá đầy

đủ và hoàn thiện với nhiều kết quả rất phong phú và sâu sắc

Đối với bài toán tương tự cho tính điều khiển được của các hệ điềukhiển thì các kết quả chưa có nhiều Tính điều khiển được của hệ điềukhiển đã được khởi xướng từ những kết quả và ý tưởng quan trọng củaR.E Kalman [59] năm 1960 và M.L.J Hautus [39] năm 1969, trong đó

đã chứng minh các tiêu chuẩn điều khiển được cho hệ điều khiển tuyếntính Sự bền vững của tính điều khiển được bắt đầu được quan tâmnghiên cứu từ những năm 1980 Đầu tiên, bán kính điều khiển được (tức

là khoảng cách từ một hệ điều khiển được đến tập các hệ không điềukhiển được) được đề cập bởi Paige trong [77] và ngay sau đó vào năm

1984, R Eising [31] đã đưa ra và chứng minh công thức bán kính điềukhiển được không có cấu trúc cho hệ tuyến tính Cũng giống như bánkính ổn định có cấu trúc, bán kính điều khiển được có cấu trúc là số γ lớn

vẫn còn điều khiển được một khi k∆k < γ, ở đây ∆ là ma trận nhiễu,

D và E là các ma trận cấu trúc nhiễu và k · k là một chuẩn ma trậncho trước Một cách tương đương, bán kính điều khiển được có thể đượcđịnh nghĩa bởi

rD,E

Với nhiễu không cấu trúc, khi D và E là các ma trận đơn vị và chuẩn

của các véc tơ), thì kết quả đã nhắc đến ở trên của Eising là

rC(A, B) := rI,I

Một số công thức bán kính điều khiển được thực dưới nhiễu không cấu

phức tạp và khó khăn cho việc tính toán Năm 2009, M Karow và D.Kressner [60] đã đưa ra công thức bán kính điều khiển được dưới nhiễucấu trúc

rD,E

supλ∈Ck(Wλ(E∗E)−1/2)†Dk,

của ma trận Tuy nhiên công thức này đòi hỏi giả thiết ma trận E phải

có hạng đầy đủ theo cột và chuẩn của các ma trận là chuẩn phổ Vì vậy,bài toán được đặt ra là: Nghiên cứu tính điều khiển được vững của các

hệ điều khiển tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc trong trường hợp tổng quátvới các ma trận được đo bởi chuẩn toán tử tùy ý và tìm công thức bánkính điều khiển được này

Mục đích đầu tiên của luận án là giải quyết bài toán này và sau đóphát triển một cách tiếp cận chung cho vấn đề nghiên cứu một số bàitoán bền vững của các hệ động lực Kĩ thuật mấu chốt để tiếp cận là

sử dụng lý thuyết toán tử đa trị tuyến tính trong việc biểu diễn cácphương trình và đánh giá chuẩn của các ma trận liên quan trong tínhtoán Chúng tôi đưa ra công thức bán kính điều khiển được của hệ tuyếntính (A, B) dưới nhiễu cấu trúc trong trường hợp tổng quát và các matrận được đo bởi chuẩn toán tử tùy ý

rD,E

ở đây Wλ−1 được hiểu là nghịch đảo (đa trị) của toán tử đơn trị Wλ =[A − λI, B] Từ kết quả tổng quát này, ta có thể nhận lại được các kếtquả của Eising [31], M Karow và D Kressner [60], Mengi [71], D.D.X.Thanh et al [5], như là các hệ quả Hơn nữa bằng việc sử dụng lý thuyếttoán tử đa trị tuyến tính, chúng tôi còn có thể nghiên cứu bán kính điềukhiển được dưới đa nhiễu cấu trúc

nhiễu Kết quả nhận được cho bán kính điều khiển được là

1

mp

maxi∈N supλ∈CkEiWλ−1Dik,

toán tử đa trị tuyến tính và hệ quả của Định lý Hahn-Banach Trong

rmp

maxi∈N supλ∈CkEiWλ−1Dik.Như trên đã nói sự bền vững của các tính chất "tốt" dưới nhiễu nhỏkhông những chỉ đúng với các hệ động lực mà cũng đúng với các đốitượng toán học khác, trong đó đặc biệt là tính toàn ánh của một ánh xạtuyến tính Việc nghiên cứu bán kính bảo toàn tính toàn ánh có rất nhiềuứng dụng trong điều khiển và tối ưu (xem [30, 35, 60, 61, 65, 78, 83]).Đầu tiên, năm 1936, Eckart-Young [30] đã nghiên cứu bán kính bảo toàntính toàn ánh cho ma trận vuông dưới nhiễu không cấu trúc Sau đó,

các ánh xạ tuyến tính dưới đối với lớp nhiễu cấu trúc có dạng block trênđường chéo, tuy nhiên công thức nhận được rất phức tạp và khó tínhtoán (xem [78]) Do vậy chúng tôi đặt ra mục đích nghiên cứu là đưa

ra các công thức bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc, có thể tínhtoán đơn giản, rồi sau đó ứng dụng vào để tìm các bán kính điều khiểnđược, ổn định, ổn định hóa được của các hệ khác nhau Điều thú vị làcác kĩ thuật dựa trên toán tử đa trị tuyến tính tiếp tục được sử dụng

nghĩa bởi

Công thức bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc được đưa ra trongluận án là

Đây được xem như là một sự mở rộng công thức được đưa ra bởi Young khi W là ma trận vuông và lớp nhiễu không cấu trúc (D và E làcác ma trận đơn vị) Áp dụng kết quả trên chúng tôi thu được các bánkính ổn định hóa được của hệ tuyến tính, bán kính ổn định của hệ độnglực ẩn tuyến tính trên thang thời gian, bán kính điều khiển được củacác hệ descriptor, cụ thể:

Eckart-• Bán kính ổn định hóa được của hệ điều khiển tuyến tính ˙x = Ax+Bu

được cho bởi công thức

i=1Di∆iEi,chúng tôi cũng thu được các kết quả cho bán kính toàn ánh

1maxi,j∈N kEiW†Djk ≤ r(W ; Di, Ei, i ∈ N ) ≤

1maxi∈N kEiW−1Dik,và

1

1maxi∈N kEiW−1Dik,

dụng các đánh giá này, các chặn trên và chặn dưới đủ tốt được đưa racho các bán kính ổn định hóa được của hệ tuyến tính.

Một trong các lớp hệ điều khiển có nhiều ứng dụng trong thực tiễn

là lớp hệ được mô tả bởi hệ phương trình vi phân trong đó đạo hàmcấp cao nhất không biểu diễn được thông qua các đạo hàm cấp thấphơn Trong kĩ thuật các hệ này thường được gọi là hệ descriptor Hệdescriptor, tổng quát là hệ descriptor cấp cao hay còn được gọi là hệkhông gian trạng thái, được sinh ra từ các hệ điều khiển cơ học có ràngbuộc, hệ điều khiển điện từ, hệ điều khiển robot và rất nhiều hệ trongvật lý khác (xem [15, 21, 69, 70, 99]) Đối với các hệ descriptor có nhiềukhái niệm điều khiển được, chẳng hạn như điều khiển được hoàn toàn(C-controllable), điều khiển được trên tập đạt được (R-controllable),điều khiển được impulse (I-controllable) Bài toán ổn định vững vàđiều khiển được vững cũng được nghiên cứu cho lớp hệ này, tuy nhiên

có những đặc thù riêng Trong [17], Byers đã chỉ ra một hệ descriptorcấp một F ˙x = Ax + Bu là điều khiển được impulse thì nhiễu bé tùy ýtác động lên ma trận F có thể phá vỡ tính điều khiển được này và khi

đó bán kính điều khiển được impulse sẽ bằng không Do vậy Byers đãnghiên cứu bán kính điều khiển được impulse dưới lớp nhiễu (không cấutrúc) chấp nhận được Sử dụng bán kính toàn ánh, luận án nghiên cứuvấn đề này dưới các giả thiết tổng quát hơn và chứng minh các côngthức bán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc cho các khái niệmđiều khiển được khác nhau Cụ thể, đối với hệ descriptor F ˙x = Ax + Bu

các công thức tính bán kính điều khiển được sau

1

,

Một đóng góp nữa của luận án là nghiên cứu bán kính điều khiểnđược của hệ tuyến tính có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịunhiễu Trong thực tế miền tham số điều khiển của hệ có ràng buộc rất

dễ bị thay đổi và do vậy việc tìm bán kính bảo toàn của miền tham sốđiều khiển sẽ có ý nghĩa Để đưa ra định nghĩa bán kính điều khiển đượccủa miền tham số điều khiển, đầu tiên chúng tôi phải đưa ra định nghĩakhoảng cách có hướng giữa hai nón P và Q,

trong đó d(x, Q) là khoảng cách từ điểm x đến nón Q Sau đó chúng tôinghiên cứu một số tính chất của khoảng cách này, chẳng hạn như bấtđẳng thức tam giác và khoảng cách giữa hai nón liên hợp, để thiết lậpcông thức của bán kính điều khiển được của miền tham số điều khiển.Luận án cũng trả lời câu hỏi khi miền tham số điều khiển bị nhiễu mức

η thì các ma trận hệ có thể bị nhiễu ở mức bao nhiêu để cho hệ vẫn điềukhiển được

Vấn đề tính toán bán kính ổn định phức liên quan đến bài toán tối

ưu một biến số thực Năm 1989, D Hinrichsen, B Kelb và A Linemann[49] đã đưa ra một thuật toán tính toán bán kính ổn định phức dướinhiễu cấu trúc Năm 1990, S Boyd và V Balakrishnan [12] đã đưa rathuật toán với tốc độ hội tụ bình phương và sau đó C He và G Watson[42] đã cải tiến kết quả này bằng cách tận dụng các tính chất đối xứngđặc biệt của các ma trận xuất hiện trong quá trình tính toán Các thuậttoán cho bán kính điều khiển được sẽ phức tạp hơn so với các thuật toáncho bán kính ổn định vì nó liên quan đến bài toán tối ưu không lồi vớibiến số phức Cho đến nay đa số các thuật toán mới chỉ dừng lại ở việctính toán bán kính điều khiển được phức dưới nhiễu không cấu trúc và

dựa trên công thức của Eising (xem [16, 36, 37, 38, 41]) Các nghiên cứutrong [36, 41] sử dụng kĩ thuật tạo lưới trong không gian hai chiều vàchi phí cho việc tính toán rất tốn kém M Gu [37] đã đề xuất thuật toánchia đôi thông qua việc phân tích các tập mức của giá trị kì dị để tínhtoán bán kính điều khiển được với độ phức tạp thuật toán đa thức Sửdụng cùng hướng tiếp cận, J.V Burke, A.S Lewis và M.L Overton [16]cải tiến thuật toán chia đôi thành thuật toán chia ba để tính toán bán

dụng một số kĩ thuật ma trận nghịch đảo xuất hiện trong quá trình tínhtoán, M Gu, E Mengi cùng các đồng tác giả [38] đã cải tiến thuật toán

được dưới nhiễu cấu trúc tổng quát được đưa ra trong luận án, chúngtôi sẽ sử dụng hướng tiếp cận của M Gu để đưa ra thuật toán tính toánbán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc trong một số trường hợpđặc biệt Một câu hỏi tự nhiên cũng được đặt ra là liệu có thể sử dụngcông cụ tối ưu toàn cục (xem [95]) để xây dựng các thuật toán tính toánbán kính điều khiển được dưới nhiễu cấu trúc tổng quát và các ma trậnđược đo bởi chuẩn toán tử tùy ý Vấn đề này sẽ là chủ đề nghiên cứu xahơn của chúng tôi

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu thamkhảo, luận án bao gồm có bốn chương như sau:

• Chương 1: trình bày một số kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: nghiên cứu bán kính điều khiển được của hệ điều khiểntuyến tính có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịu nhiễu.Các kết quả trong chương này đã được đăng trong [88]

• Chương 3: nghiên cứu bán kính điều khiển của hệ điều khiển tuyếntính dưới nhiễu cấu trúc và đa nhiễu cấu trúc Các kết quả trongchương này đã được công bố trong [89, 90].

• Chương 4: nghiên cứu bán kính toàn ánh dưới nhiễu cấu trúc và đanhiễu cấu trúc sau đó áp dụng để đưa ra các công thức bán kính ổnđịnh của hệ tuyến tính, bán kính ổn định của hệ động lực ẩn trênthang thời gian, các bán kính điều khiển được của hệ descriptor,

hệ descriptor cấp cao Các kết quả trong chương này đã được đăngtrong [29, 91, 92, 93]

về các khái niệm và các kết quả quan trọng đã biết đặc trưng cho tínhđiều khiển được của hệ tuyến tính và hệ tuyến tính có ràng buộc Mụccuối cùng trình bày về sự ổn định của hệ động lực trên thang thời gian.Đây được coi như là cách tiếp cận thống nhất về tính ổn định giữa các

hệ liên tục và rời rạc

Nội dung của mục này được tham khảo trong [19] và [90] Để người đọc

dễ theo dõi, một số chứng minh ngắn gọn các tính chất của toán tử đatrị tuyến tính sẽ được trình bày đầy đủ

Cho K = C hoặc R là tập hợp các số phức hoặc thực và n, m, k, l, q, N

các véc tơ hàng n thành phần trong K), được trang bị với chuẩn liên hợp.

tử đa trị tuyến tính Miền xác định và nhân của F được ký hiệu tương ứng

Bởi định nghĩa, F (0) là một không gian con tuyến tính và với x ∈ dom F ,chúng ta có đẳng thức sau

và do đó nếu F là đơn trị thì

x∗x)thì từ (1.2) ta được mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.2 Cho F : Kn ⇒ Km là một toán tử đa trị tuyến tính.Khi đó,

nhưng y 6∈ F (x) hoặc tương đương với (x, y) 6∈ gr F Trong không gian

h(x1, y1), (x2, y2)i = x∗1x2 + y1∗y2

d(0, F (x)) ≤ d(0, F∗(v∗)).

Lấy y ∈ F (x) thì bởi (1.2), F (x) = y + F (0) và do vậy không mất tổngquát ta có thể giả sử kyk = d(0, F (x)) Nếu y ∈ F (0) thì d(0, F (x)) =

Khi đó bởi hệ quả Định lý Hahn-Banach, xem Bổ đề 3.2.2, có tồn tại

Mệnh đề 1.1.3 Cho F : Kn ⇒ Km là một toán tử đa trị tuyến tính.

Mệnh đề 1.1.2, ta có

mọi x ∈ dom F , là một toán tử đa trị tuyến tính và ta có mệnh đề sau(xem Hệ quả II.3.13 trong [19] và Phụ lục trong [90])

tuyến tính Khi đó,

Chứng minh Đầu tiên ta giả sử rằng F (0) ⊂ dom G Với mỗi x ∈

y ∈ F (x), z ∈ G(y) Vì F (0) ⊂ dom G và bởi (1.2), F (x) = y + F (0) nên

F (x) ⊂ dom G và do vậy không mất tổng quát ta có thể chọn y ∈ F (x)thỏa mãn kyk = d(0, F (x)) Tương tự không mất tổng quát ta có thểchọn z ∈ G(y) thỏa mãn kzk = d(0, G(y)) Từ tính chất tuyến tính của

với mọi x ∈ dom GF thỏa mãn kxk = 1 Do vậy kGF k ≤ kF kkGk và tanhận được (1.9).

(u∗, v∗) ∈ gr G∗ và (v∗, w∗) ∈ gr F∗ đối với v∗ ∈ G∗(u∗) nào đó Khi đó

gr(F∗G∗) ⊂ gr(GF )∗

gr(GF )∗ ⊂ gr(F∗G∗)

hoàn thành

Nếu F là một toán tử đơn trị tuyến tính được định nghĩa bởi F (x) =

định nghĩa bởi (1.3) thực sự là chuẩn của ma trận G:

Do vậy khi làm việc với các toán tử này chúng ta sẽ sử dụng khái niệm

v∗G, ∀v∗ ∈ (Km)∗ Để cho đơn giản, chúng ta sẽ đồng nhất (FG)∗ với

Bài toán điều khiển được xuất phát từ phương trình vi phân

T > 0 Ta đã biết phương trình (1.12) có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.2.1 Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái atrong thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trong [0, T ]sao cho phương trình (1.12) có nghiệm x(t) thỏa mãn x(0) = a, x(T ) = b

Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0.

Định nghĩa 1.2.2 Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái ahay trạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ atrong thời gian T > 0 nào đó

Định nghĩa 1.2.3 Hệ (1.12) được gọi là điều khiển được trong thờigian T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ atrong thời gian T

Định nghĩa 1.2.4 Hệ (1.12) được gọi là điều khiển được nếu b và a làhai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a

và xác định không âm Kí hiệu

Định lý sau đưa ra các điều kiện tương đương cho một hệ là điều khiểnđược

Định lý 1.2.5 Các điều kiện sau là tương đương

(ii) Hệ (1.12) là điều khiển được

(iii) Hệ (1.12) là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó

(v) Ma trận QT không suy biến với mọi T > 0.

(vi) rank[A|B] = n

Điều kiện (vi) trong định lý trên được gọi là điều kiện hạng Kalman.Định lý 1.2.6 (Điều kiện hạng Hautus [39]) Hệ (1.1) là điều khiển đượckhi và chỉ khi

rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C

Ví dụ 1.2.7 Xét hệ điều khiển ˙x = Ax + Bu với

điều kiện hạng Hautus hệ này là điều khiển được

buộc điều khiển

Các kiến thức của mục này được lấy trong các tài liệu tham khảo [14,

Ω ở đây là miền tham số điều khiển có ràng buộc Ta đã biết nghiệmcủa phương trình vi phân trên có dạng

x(t) = eAtx0 +

0

eA(t−s)u(s)ds

và tập đạt được từ 0 trong thời gian T là

gian hữu hạn

Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.13) được gọi là điều khiển được địa phương

Định nghĩa 1.3.2 Hệ (1.13) được gọi là điều khiển được địa phươngnếu 0 là điểm trong của Z, hoặc 0 ∈ int(Z)

Định nghĩa 1.3.3 Hệ (1.13) được gọi là điều khiển được toàn cục nếu

Khi đó, nếu FαC ⊂ C với mọi α ∈ I thì tồn tại véc tơ khác không

tương đương rank[A|B] = n;

(ii) Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của

hf, Bui ≥ 0, ∀u ∈ Ω

điều khiển được địa phương khi và chỉ khi rank[A|B] = n

trong khác rỗng Khi đó hệ (1.13) là điều khiển được toàn cục khi và chỉkhi

tương đương rank[A|B] = n;

(ii) Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của

hf, Bui ≥ 0, ∀u ∈ Ω

1.4 Sự ổn định mũ của hệ động lực trên

thang thời gian

Các kiến thức của mục này được lấy trong tài liệu tham khảo [10, 29, 43].Một thang thời gian là một tập con đóng không rỗng của tập số thực

R và thông thường chúng ta kí hiệu nó bởi T Các ví dụ phổ biến nhất

về thang thời gian là T = R và T = Z Giả sử rằng thang thời gian

T được trang bị tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường trong tập các

số thực Chúng ta định nghĩa toán tử bước nhảy tiến ς : T → T bởiς(t) = inf{s ∈ T : s > t} (được bổ sung thêm inf ∅ = sup T) và toán tửbước nhảy lùi % : T → T bởi %(t) = sup{s ∈ T : s < t} (được bổ sung

µ(t) = ς(t) − t Trong phần này, chúng ta sẽ giả sử rằng thang thời gian

T là không bị chặn, cụ thể sup T = ∞

Định nghĩa 1.4.1 (Delta đạo hàm) Một hàm f : T → R được gọi là

gọi là delta đạo hàm của f ở t

thì delta đạo hàm là toán tử sai phân tiến ∆f, từ giải tích rời rạc.Một điểm t ∈ T được gọi là right-dense nếu ς(t) = t, right-scatterednếu ς(t) > t, left-dense nếu %(t) = t và left-scattered nếu %(t) < t Mộthàm f được định nghĩa trên T là rd-liên tục nếu nó liên tục ở mọi điểm

hàm rd-liên tục p(·) từ T vào R, nghiệm của phương trình động lực

gian T

tồn tại, duy nhất và thác triển của nghiệm của phương trình (1.14) chúng

ta có thể tham khảo trong [10] Một hàm f từ T vào R được gọi là thoái

sử dụng khái niệm sau cho sự ổn định mũ của hệ động lực trên thangthời gian, được đưa ra bởi S Hilger [43, 44], J J DaCunha [20]:

Định nghĩa 1.4.2 (Ổn định mũ) Phương trình động lực (1.14) đượcgọi là ổn định mũ nếu điều kiện

đều

Bây giờ chúng ta xét điều kiện của sự ổn định mũ cho phương trìnhtuyến tính

bởi σ(A) Định lý sau có thể được chứng minh một cách tương tự nhưtrong [80], ở đây sử dụng hàm mũ trên thang thời gian để định nghĩa sự

ổn định mũ

Định lý 1.4.3 (xem [80], Bổ đề 6.1) Phương trình tuyến tính (1.16) là

là ổn định mũ đều

Định nghĩa

Tập S được gọi là miền ổn định mũ đều của thang thời gian T Bởi định

ra từ Mệnh đề 3.1 trong [23]

Định lý 1.4.4 S là tập mở trong C

Để minh họa miền ổn định mũ đều S của thang thời gian T, chúng

ta xét một số trường hợp đơn giản sau:

• Khi T = R thì S = {λ ∈ C, Re λ < 0};

• Khi T = hZ (h > 0) thì S = {λ ∈ C, |1 + λh| < 1};

Chương 2

HỆ CÓ RÀNG BUỘC VỚI MIỀN THAM SỐ

ĐIỀU KHIỂN BỊ NHIỄU

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu bán kính điều khiển được của

hệ tuyến tính có ràng buộc khi miền tham số điều khiển bị nhiễu Trướcđây chỉ có một số kết quả nghiên cứu bán kính điều khiển được của hệ

có ràng buộc, được xem như một quá trình lồi, dưới nhiễu không cấutrúc tác động lên các ma trận hệ số (xem [66]) Mặt khác, trong thực tếmiền tham số điều khiển của hệ có ràng buộc rất dễ bị thay đổi do tácđộng của môi trường Do vậy việc nghiên cứu bán kính điều khiển đượcvới miền tham số điều khiển bị nhiễu là hoàn toàn mới và có ý nghĩa.Xét hệ điều khiển có ràng buộc







˙x = Ax + Bu,x(0) = 0, u ∈ P,

(2.1)

và có phần trong khác rỗng Theo Định lý 1.3.7, hệ này là điều khiểnđược (toàn cục) khi và chỉ khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau

hoặc tương đương rank[A|B] = n;

(ii) Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của

hf, Bui ≥ 0, ∀u ∈ P

khiển được của hệ (2.1) được bảo toàn như thế nào Để giải quyết vấn

đề này chúng tôi đi xây dựng cách đo độ nhiễu nón và từ đó đưa ra địnhnghĩa và thiết lập công thức bán kính điều khiển được của miền tham sốđiều khiển Chúng tôi cũng trả lời câu hỏi khi miền tham số điều khiển

bị nhiễu mức η thì các ma trận hệ số có thể bị nhiễu ở mức bao nhiêu

để cho hệ vẫn điều khiển được Các kết quả trong chương này đã đượcđăng trong tạp chí Vietnam Journal of Mathematics [88] và báo cáo tạiĐại Hội Toán Học Toàn Quốc lần thứ 7

Khoảng cách của nón P so với nón Q là

(iii) Nếu P đóng thì ρ(P, Q) = 1 ⇔ ∃x ∈ P : hx, ui ≤ 0, ∀u ∈ Q.

Chứng minh (i) được suy trực tiếp từ định nghĩa Nếu Q đóng thìd(x, Q) = 0 ⇔ x ∈ Q Suy ra ρ(P, Q) = 0 ⇔ P ⊂ Q Ta thu được(ii) Để chứng minh (iii), trước hết nhận xét rằng hàm f (x) = d(x, Q)

chỉ khi tồn tại x ∈ P với kxk = 1 để d(x, Q) = 1 Mặt khác d(x, Q) = 1tương đương với

Do vậy hx, ui ≤ 0 với mọi u ∈ Q

ta có bất đẳng thức tam giác

ρ(K, Q) ≤ ρ(K, P ) + ρ(P, Q)

Do vậy ρ(K, Q) ≤ ρ(K, P ) + 2 + (1 + )ρ(P, Q) Cho  → 0 ta thu đượcbất đẳng thức cần chứng minh.

Khi đó ta có

và Q là tập đóng nên tồn tại u ∈ Q sao cho 0 < kx − uk = d(x, Q) Lấy

v bất kì thuộc Q Với mọi t ∈ R, t ≥ 0 ta có u + tv ∈ Q Do đó