Nghiên cứu ứng dụng xác suất để phân tích tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ mạng lưới Pert trong quản trị dự án

Vấn đề khác biệt chủ yếu giữaPERT và các ph-ơng pháp sơ đồ mạng l-ới khác đó là tính ngẫu nhiên củachỉ tiêu thời gian hoàn thành công việc trên sơ đồ, đấy cũng là lí do màPERT trở lên ph

Mục lục

1.1 Các phần tử của sơ đồ mạng 6

1.2 Các chỉ tiêu thời gian của sự kiện 8

1.3 Các chỉ tiêu thời gian của công việc 9

2 Một số kết quả quan trọng của lý thuyết xác suất 12 2.1 Căn bậc hai của ma trận 12

2.2 Vec-tơ ngẫu nhiên 13

2.3 Phân phối chuẩn 15

2.4 Định lý giới hạn trung tâm 17

3 Khảo sát tính ngẫu nhiên trên sơ đồ PERT 19 3.1 Tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ PERT 19

3.2 Phân tích xác suất hoàn thành dự án 22

Lời mở đầu

Sơ đồ PERT (Program and Evaluation Review Technique) là một dạngcủa sơ đồ mạng l-ới, một ph-ơng pháp của toán kinh tế sử dụng trong côngtác lập kế hoạch và điều khiển sản xuất Vấn đề khác biệt chủ yếu giữaPERT và các ph-ơng pháp sơ đồ mạng l-ới khác đó là tính ngẫu nhiên củachỉ tiêu thời gian hoàn thành công việc trên sơ đồ, đấy cũng là lí do màPERT trở lên phổ biến, áp dụng rộng rãi ở nhiều lĩnh vực khác nhau và đã

đem lại những kết quả có ý nghĩa rất lớn trong thực tiễn

Khi thời gian hoàn thành công việc có tính ngẫu nhiên, thì thời gian hoànthành dự án là một đại l-ợng không chắc chắn và việc này gây ra rất nhiềukhó khăn cho việc quản lý tiến độ dự án Nói chung, trong công tác điềukhiển sản xuất và quản lí tiến độ dự án, ngoài các yếu tố nh- tài nguyên,vật t-, thiết bị, nguồn vốn , thì thời gian là đại l-ợng có độ linh hoạt thấpnhất, nó trôi qua bất kể điều gì xảy ra, vì vậy việc dự án kết thúc đúng hạn

là thách thức lớn nhất Nếu dự án kết thúc không đúng hạn thì nó khôngchỉ gây ra việc chậm tiến độ mà còn kéo theo sự tốn kém về chi phí, tàinguyên, ( Theo nh- báo cáo của Standish Group hàng năm có trên 31%

dự án bị hủy do v-ợt thời gian hoặc chi phí, gây ra rất nhiều tốn kém vềmặt chi phí )

Việc nghiên cứu, phân tích rõ tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ

đồ mạng l-ới PERT, giúp ng-ời sử dụng hiểu rõ bản chất của hiện t-ợngxác suất trong việc đánh giá đại l-ợng thời gian hoàn thành dự án cũng nh-chủ động trong việc quản lý, khắc phục các công việc hay các dự án cónhiều rủi ro

Trong các tài liệu nghiên cứu về vấn đề này, chủ yếu đề cập đến tr-ờng hợpcơ bản, tức quản lí thời gian hoàn thành dự án trên dự án có một đ-ờng

găng và kết quả đ-a ra mang tính thừa nhận từ lý thuyết xác suất thống kê.Trong tr-ờng hợp tổng quát dự án có nhiều đ-ờng găng (ví dụ có hai đ-ờnggăng) thì ch-a có một nghiên cứu cũng nh- đánh giá cụ thể nào.

Với mong muốn đ-a ra một cơ sở lý thuyết chi tiết cho tr-ờng hợp cơ bản,cũng nh- từ đó phát triển lên để giải quyết cho tr-ờng hợp tổng quát chúng

tôi quyết định chọn đề tài: ` Nghiên cứu ứng dụng xác suất để phân tích tính ngẫu nhiên của chỉ tiêu thời gian trên sơ đồ mạng l-ới PERT trong quản trị dự án' để tập trung vào việc phân tích xác suất mối quan hệ giữa

thời gian hoàn thành dự án và thời gian dự định, đặc biệt trong dự án cónhiều đ-ờng găng

Cụ thể, nội dung của đề tài gồm có 3 ch-ơng nh- sau:

Ch-ơng 1: Trình bày sơ l-ợc về sơ đồ mạng l-ới.

Ch-ơng 2: Trình bày các kiến thức của lý thuyết xác suất dùng để khảo

sát, phân tích sơ đồ mạng l-ới, trong đó đáng chú ý là hệ quả (2.4.1), một

hệ quả đã đ-ợc xây dựng và có áp dụng trực tiếp trong đề tài

Ch-ơng 3: Nghiên cứu mối quan hệ giữa xác suất hoàn thành dự án và

thời gian dự định, trong đó có xét các tr-ờng hợp dự án có một đ-ờng găng

và dự án có nhiều đ-ờng găng Đây là ch-ơng đ-a ra kết quả chính của đềtài

Ch-ơng 1.

Sơ l-ợc về sơ đồ mạng CPM/PERT

Sơ đồ mạng là một mô hình thể hiện toàn bộ dự án thành một thểthống nhất Sơ đồ mạng mô tả mối quan hệ liên tục giữa các công việc,nối kết các công việc và sự kiện theo một thứ tự tr-ớc sau giữa chúng Cónhiều ph-ơng pháp sơ đồ mạng, nh-ng đ-ợc dùng phổ biến hơn cả là sơ

đồ CPM (Critical path methol- ph-ơng pháp đ-ờng găng) và sơ đồ PERT(Program and Evaluation Review Technique- Kỹ thuật đánh giá và tự kiểmtra) Về cơ bản, hai ph-ơng pháp này là giống nhau về hình thức, trình

tự lập mạng, chỉ khác nhau về tính toán thời gian Thời gian trong CPM

là một đại l-ợng xác định, đ-ợc tính từ định mức lao động, còn thời giantrong PERT không căn cứ vào định mức lao động để tính mà phụ thuộc vàonhiều yếu tố ngẫu nhiên

Trên sơ đồ mạng có hai đối t-ợng chính là mũi tên và các nút (hìnhtròn), mũi tên biểu thị cho trình tự thực hiện của công việc, các nút biểu

thị cho các mốc thời gian trên sơ đồ (th-ờng gọi là các sự kiện).

a Công việc: là một nhiệm vụ hoặc một nhóm nhiệm vụ cụ thể cần thực

hiện của dự án Nó đòi hỏi thời gian, nguồn lực, và chi phí khi thực hiện.Công việc đ-ợc biểu diễn bằng mũi tên có h-ớng theo chiều thuận của côngviệc, trên đ-ờng này có ghi thông tin về tên công việc, thời gian làm, nguồnlực, chi phí,

Hình a Biểu diễn cho công việc.

b Nút (Sự kiện): là mốc đánh dấu sự kết thúc hay bắt đầu của một hay

một số công việc Nó không tiêu hao thời gian và nguồn lực mà chỉ thểhiện vị trí cụ thể của các công việc trên sơ đồ Sự kiện th-ờng đ-ợc biểuthị bằng một hình tròn trên sơ đồ

Hình b Biểu diễn cho sự kiện.

c Thời gian công việc: là khoảng thời gian để hoàn thành công việc theo

-ớc l-ợng, đ-ợc ấn định tr-ớc hoặc tính toán tr-ớc

d Đ-ờng và đ-ờng găng: đ-ờng là sự xắp xếp liên tục của các công việc

đi từ sự kiện bắt đầu đến sự kiện kết thúc Chiều dài của đ-ờng là tổng thời

gian thực hiện của các công việc nằm trên đ-ờng đó Đ-ờng có độ dài lớnnhất là đ-ờng găng Các công việc nằm trên đ-ờng găng là các công việcgăng Mỗi sơ đồ mạng l-ới đều có ít nhất một đ-ờng găng.

Để lập đ-ợc kế hoạch tiến độ, cũng nh- kiểm soát tiến độ của dự án, chúng

ta cần tính toán đ-ợc các tham số thời gian trên sơ đồ mạng Đặc biệt quantrọng chúng ta phải xác định đ-ợc đ-ờng găng, là đ-ờng quyết định thờigian hoàn thành dự án

Ng-ời ta chia nút sự kiện thành 4-phần Các chỉ tiêu thời gian trên

đó th-ờng đ-ợc kí hiệu nh- sau:

Hình c Biểu diễn các chỉ tiêu thời gian của sự kiện.

a Thời điểm sớm của sự kiện: Tại sự kiện j, thời điểm sớm( kí hiệu là

t s j ) là thời điểm sớm nhất để kết thúc các công việc đi vào sự kiện j, hoặc sớm nhất để bắt đầu các công việc đi ra khỏi sự kiện j Công thức tính:

- Nếu đứng tr-ớc j, chỉ có sự kiện i thì t s j = t s i + t ij;

- Nếu đứng tr-ớc j, có nhiều sự kiện thì t s j = max(t s i + t ij);

- Sự kiện khởi công có t s j = 0.

b.Thời điểm muộn của sự kiện: Tại sự kiện j, thời điểm muộn( kí hiệu

là t m j ) là thời điểm muộn nhất để kết thúc các công việc đi vào sự kiện j, hoặc muộn nhất để bắt đầu các công việc đi ra khỏi sự kiện j Công thức

tính:

- Nếu đứng sau j, chỉ có sự kiện k thì t m j = t m k − t jk;

- Nếu đứng sau j, có nhiều sự kiện thì t m j = min(t m k − t jk);

- Sự kiện kết thúc có t m j = t s j

c Thời gian dự trữ của sự kiện: Tại sự kiện j, thời gian dự trữ ( kí hiệu

là d j) là khoảng thời gian chênh lệch giữa thời điểm muộn và thời điểm

sớm Công thức tính: d j = t m j − t s j , ta có d j ≥ 0, nếu d j = 0 thì sự kiện j

đ-ợc gọi là sự kiện găng

Công việc A bắt đầu từ sự kiện đỉnh i kết thúc ở sự kiện đỉnh j kí hiệu là công việc ij, trên nó có sáu chỉ tiêu thời gian nh- sau:

a Thời điểm khởi công sớm của công việc: là thời điểm sớm nhất để bắt

đầu công việc ij, nó chính là thời điểm sớm nhất để sự kiện i xảy ra, kí hiệu là: t ks ij = t s i

b Thời điểm hoàn thành sớm của công việc: là thời điểm sớm nhất để

kết thúc công việc ij, nó chính bằng thời điểm khởi công sớm của công việc ij cộng với thời gian làm t ij , kí hiệu là: t hs ij = t ks ij + t ij

c Thời điểm hoàn thành muộn của công việc là thời điểm muộn nhất

để công việc ij kết thúc mà không ảnh h-ởng đến công việc tiếp theo, nó

chính là thời điểm muộn nhất để sự kiện j xảy ra, kí hiệu là: t hm ij = t m j

d Thời điểm khởi công muộn của công việc: là thời điểm muộn nhất để

bắt đầu công việc ij mà không ảnh h-ởng đến thời điểm bắt đầu của công việc sau đó, nó bằng thời gian hoàn thành muộn của công việc ij trừ đi t ij,

kí hiệu là: t km ij = t hm ij − t ij

e Thời gian dự trữ chung của công việc: là dự trữ chung của tất cả các

công việc không găng liên quan kề nhau trên đ-ờng đi dài nhất từ sự kiện

khởi công đến sự kiện kết thúc, kí hiệu là: d c ij = t m j − t ij − t s i Nếu d c ij = 0,

thì công việc ij là công việc găng.

d Thời gian dự trữ riêng của công việc: là thời gian tối đa có thể trì

hoãn của công việc ij mà không ảnh h-ởng đến thời điểm kết thúc muộn

của các công việc liền tr-ớc, cũng nh- thời điểm bắt đầu sớm của các công

việc liền sau, kí hiệu là: d r ij = max(0, t s j − t ij − t m i )

Ví dụ 1 Một dự án có trình tự thực hiện đ-ợc cho d-ới bảng nh- sau:

Stt Tên công việc Thứ tự tiến hành thời

Ch-ơng 2.

Một số kết quả quan trọng của lý thuyết xác suất

Cho A là một ma trận đối xứng cấp n ì n Khi đó A có n cặp giá

trị riêng và vec-tơ riêng

λ1, e1; λ2, e2; ; λ n , e n

Các vec-tơ riêng có thể chọn sao cho nó tạo thành một cơ sở trực chuẩncủa Rn , tức là

e T1e1 = = e T n e n = 1; e T i e T j = 0 ∀i 6= j = 1 n;

Định nghĩa 2.1.1 Ma trận đối xứng A cấp n ì n đ-ợc gọi là xác định

không âm nếu dạng toàn ph-ơng ω(x) := x T Ax sẽ không âm Nếu bổ xung thêm giả thiết x T Ax = 0 khi và chỉ khi x = (0, 0, , 0) T thì A gọi là ma trận xác định d-ơng.

Ta viết A ≥ 0 để chỉ A là ma trận xác định không âm; A > 0 để chỉ

A là ma trận xác định d-ơng.

Ng-ợc lại, nếu −A ≥ 0 (hoặc −A > 0) thì A đ-ợc gọi là ma trận xác định

Vec-tơ ngẫu nhiên X = [X1, , X n] là một vec-tơ mà mỗi thành phần

X1, , X n của nó là một biến ngẫu nhiên T-ơng tự nếu X = [X ij] là ma

trận cấp n ì p mà các thành phần X ij là các biến ngẫu nhiên sẽ đ-ợc gọi

là ma trận ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.2.3 (Vec-tơ trung bình và ma trận ph-ơng sai).

Cho X = [X1, , X n]T là một ma trận ngẫu nhiên n ì 1 (tức là một vec-tơ ngẫu nhiên), khi đó:

a) Vec-tơ E(X) = [E(X1), , E(X n)]T = [à1, , à n]T gọi là vec-tơ giá trị trung bình;

b) Đại l-ợng σ ii = E(X i − à i)2, i = 1 n đ-ợc gọi là ph-ơng sai của X i ; c) σ ij = E(X i − à i )(X j − à j) đ-ợc gọi là hiệp ph-ơng sai của biến X i

cov(X) = E(X − à)(X − à) T = [E(X i − à i )(X j − à j )],

là ma trận hiệp ph-ơng sai của vec-tơ X Đặt Σ = cov(X) = [σ ij], khi đó

Σ là ma trận đối xứng xác định không âm cấp n.

Đặt P = (ρ ij)nn , thì P là ma trận t-ơng quan của vec-tơ X, khi đó

với V = diag(σ11, , σ nn ); V 1/2 = diag(√σ11, ,√σ nn ) và V −1/2 =

Định nghĩa 2.3.4 (phân phối chuẩn một-chiều) Đại l-ợng ngẫu nhiên

liên tục X đ-ợc gọi là tuân theo phân phối chuẩn (1-chiều) với hai tham số

à, σ2 nếu hàm mật độ của nó có dạng:

f (x) = √1

2πσ exp{−

12

(x − à)2

σ2 }, (−∞ < x < +∞) (2.3.1)

Nếu X có hàm mật độ chuẩn nh- trên thì ta có kì vọng EX = à và ph-ơng sai DX = σ2, khi đó ta viết tắt X ∈ N (à, σ2)) Ngoài ra ta còn cócác kết quả sau:

a) P {à − σ ≤ X ≤ à + σ} = 0.683 (quy tắc 1 − sigma),

b) P {à − 2σ ≤ X ≤ à + 2σ} = 0.954 (quy tắc 2 − sigma),

c) P {à − 3σ ≤ X ≤ à + 3σ} = 0.997 (quy tắc 3 − sigma).

Thành phần (x−à) σ2 2 có thể viết d-ới dạng (x − à) T (σ2)−1(x − à) Cách viết

này có thể dùng để định nghĩa phân phối chuẩn nhiều chiều

Định nghĩa 2.3.5 (phân phối chuẩn nhiều chiều) Vec-tơ X đ-ợc gọi là

có phân phối chuẩn không suy biến p−chiều nếu X = (X1, , X p)T có

(1-Ví dụ 2 (khai triển chi tiết phân phối chuẩn 2-chiều).

Xét mật độ chuẩn hai chiều với à1 = E(X1), à2 = E(X2); σ11 = D(X1); σ22 =

 ρ

−1 11



−1

2(1 − ρ212)

(x√1− à1

Xét một dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2, (kí hiệu là dãy {X k}), ta

nói dãy {X k} tuân theo định lý giới hạn trung tâm nếu dãy phân phối củabiến ngẫu nhiên

Định lý 2.4.1 (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg) Nếu dãy biến

ngẫu nhiên độc lập {X k} có ph-ơng sai hữu hạn và thỏa mãn điều kiện Lindeberg:

Hệ quả 2.4.1 Giả sử {X k} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, bị chặn đều, nghĩa là tồn tại một số c > 0 sao cho ∀k ≥ 1, P (|X k | ≤ c) = 1 Nếu với mọi k mà DX k 6= 0 và D(S n) → +∞ thì dãy {X k} tuân theo định lý giới hạn trung tâm, nghĩa là

S n − ES n

√

DS n

→ N (0, 1).

Chứng minh Theo giả thiết D(S n ) → +∞ nên với mọi  > 0, tồn tại n 

sao cho với n ≥ n  , biến cố (|X k | > √DS n ) = ∅, ∀k.

Suy ra L n () = 0 với mọi  > 0 và n đủ lớn, vậy dãy {X k} tuân theo định

lý giới hạn trung tâm

Ch-ơng 3.

Khảo sát tính ngẫu nhiên trên sơ đồ

PERT

Trong ch-ơng này, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả xác suất ở ch-ơng

2 để phân tích tính ngẫu nhiên trên sơ đồ PERT và khảo sát xác suất hoànthành dự án

PERT

Một khi đã xác định đ-ợc toàn bộ các công việc của dự án, chúng

ta cần xác định thời gian cần thiết hoàn thành mỗi công việc Thông tinnày đ-ợc sử dụng trong việc tính toán tổng thời gian cần có để hoàn thành

dự án và trong điều hành từng công việc cụ thể Đối với dự án lặp đi lặplại nh- các dự án xây dựng, duy tu, các nhà quản trị có thể sử dụng dữliệu quá khứ và kinh nghiệm cần thiết để -ớc tính thời gian hoàn thành củamỗi công việc một cách chính xác Tuy nhiên, đối với các dự án mới haychỉ làm một lần, thì việc -ớc tính thời gian của mỗi công việc có phần khó

khăn hơn Quả thực, trong nhiều tr-ờng hợp, thời gian hoàn thành của mỗicông việc là không chắn chắn và tốt nhất chúng nên đ-ợc biểu diễn bằngtính ngẫu nhiên, khi đó thời gian hoàn thành của mỗi công việc đ-ợc xemxét nh- là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất thích hợp Kết quả

là bằng ph-ơng pháp xác suất chúng ta sẽ trả lời câu hỏi về khả năng đápứng một mốc hoàn thành dự án cụ thể

Ước tính thời gian hoàn thành của mỗi công việc một cách chính xác là rấtquan trọng trong việc hình thành lịch trình hoạt động, nó giúp các nhà quản

lý kết thúc dự án đúng hạn (theo báo cáo của CHAOS năm 1995 thời gianquá hạn trung bình là 222% đ-ợc cải tiến lên 163% vào năm 2001) Vì thếng-ời ta coi thời gian hoàn thành của mỗi công việc có yếu tố ngẫu nhiên,

và khi -ớc l-ợng ng-ời ta dựa vào -ớc tính 3 loại thời gian: lạc quan, hợp

lý nhất và bi quan, cho phép nhà quản trị dự án xem xét các yếu tố có tínhkhông chắc chắn trong việc xác định đ-ờng găng và lịch trình hoạt động.Ph-ơng pháp này đ-ợc các nhà thiết kế ph-ơng pháp PERT đề xuất và pháttriển

Nhằm bổ sung thời gian có tính ngẫu nhiên vào việc phân tích, chúng tacần có 3 -ớc tính thời gian của mỗi công việc:

-Thời gian lạc quan a (Optimistictime): chính là thời gian hoàn thành

công việc tối thiểu nếu mọi việc tiến triển rất lý t-ởng Đấy chính là thờigian cần để hoàn thành một công việc trong điều kiện thuận lợi nhất Thờigian này rất khó đạt đ-ợc Trên đồ thị phân phối xác suất, thời gian nằm ởcận d-ới

-Thời gian hợp lý nhất m (M ostprobabletime): chính là thời gian hoàn

thành công việc có khả năng xảy ra nhất trong điều kiện thông th-ờng Đâychính là thời gian có xác suất lớn nhất, nằm ở đỉnh cao nhất trong đồ thịphân phối xác suất

-Thời gian bi quan b (P essimistictime): là thời gian hoạt thành công

việc tối đa trong điều kiện khó khăn nhất Thời gian này nằm ở cận trêntrong đồ thị phân phối xác suất

Hình 2 Phân phối xác suất với 3 loại thời gian -ớc l-ợng.

Ba yếu tố thời gian trên ch-a đủ để xác định phân phối xác suất của thờigian hoàn thành công việc, do đó ch-a đủ để xác định thời gian kỳ vọng

t e (ij) và ph-ơng sai σ2(ij) đặc tr-ng cho độ biến động của thời gian hoàn

thành công việc so với thời gian kỳ vọng Bằng tính toán thực nghiệm,

ng-ời ta đ-a ra giả thiết (b − a) khoảng chênh lệch giữa giá trị cận trên và

cận d-ới của phân phối xác suất xấp xỉ bằng 6 lần độ lệch chuẩn Do vậy,ph-ơng sai của thời gian hoàn thành công việc đ-ợc xác định bằng côngthức:

σ2(ij) = ( b − a

6 )

2

Tiếp tục, giả thiết phân phối xác suất của thời gian hoàn thành công việc

đều là phân phối xác suất Beta (đây là phân phối không có hình dạng nhất

định nên nó phù hợp với việc mô tả thời gian của các công việc) Để tính

thời gian kỳ vọng t e của thời gian hoàn thành công việc, chúng ta sử dụng