Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình Elliptíc không tuyến tính

Tén đê tài: Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptíc không tuyến tính.. Muc tiêu và nội dung nghiên cứu: Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với phương trình và hệ phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC Tư NHIÊN

BÀ I TOÁN BIÊN t l ô ì VÓI PHƯƠNG T ltÌN II VÀ 1IỆ Plll/OIMG I IỈIM I ELL1PTÍC K IIÔ \G TUYÊN TÍNH

BAO CAO TOM TẢT

a Tén đê tài: Bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình elliptíc không tuyến tính.

b Mã sô: QT- 02-03.

c Chú trì đề tài: Hoàng Quốc Toàn.

d Muc tiêu và nội dung nghiên cứu: Lý thuyết tồn tại nghiệm đối với phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng elliptíc tuyến tính

đã được nghiên cứu toàn diện và đầy đu mà một trong những kết quá đẹp đẽ nhất của nó là lý thuyết bài toán biên elliptíc trên đa tạp compắc Ván đề tương tự đối với phương trình và hệ phương trình elliptíc không tuyến tính cũng đã được nghiên cứu nghiêm túc từ nhiều năm nay Tuy nhiên những kết quả về nó cho đến bây giờ còn rát khiêm tốn.

Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu vấn đề đang được quan tâm đó là sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với hệ phương trình dạo hàm riêng elliptíc á tuyến tính với phẩn chính

lù toán tư Laplace:

Huu — -A// + q[x)-u —au + Jv + /i(u, v) Hqv - -Ai' + (i(x)v =ổu + -}(' + fi(u, u)

II 1,/ií - 0, u\ị)U = 0 , u(.ư) v ( s ) —> 0 k h i |x | —r +OC

3trong đó íỉ là mớ không bị chặn trong Ra với biên trơn d í l q{x) là hàm xác định trong n,Q,/ỡ, 7 , ổ là các tham số thực, /i(u, v), f 2(u, v)

là các hàm tuỷến tính đối với u,v.

Phưưng pháp nghiên cứu các bài toán phi tuyến được áp dụng

ớ đay là sự kết hợp giữa phương pháp điểm bất động Banach, Schauder phương pháp xấp xi và phương pháp nghiệm ưên nghiệm dưới.

Với những giá thiết thích hợp chúng tôi đã chứng minh được định

lý vé sự tổn tại nghiệm và nghiệm dương của bài toán Dirichlet

trong không gian V^(Q).

e Kết quá: - Hướng dần một luận văn Thạc sĩ bảo vệ thành công ngày 26-3-2003.

- 2 bai báo

f Tình hình kinh phí: Đã sử dụng theo đúng các khoán của hựp đồng (8 000.000 đ).

Toán- Co- Tin học

Xác nhận cua Trường

ABSTRACT Bounđary- value problem for the system of non-linear elliptic equa- tions.

by Hoang Quoc Toan The existence theory of linear elliptic partial differential equations

is in a íairly complete form, one should seriously consider non-linear equations.

In thc present work, we are interested in the study of the following variational problem:

( - A u +- (ị ( x )) u - a u + p v + /i( u , v)

( — A /' + </(./:))?.' —ổ u 4- y i ) + u) i n n

uịítiì 0 uịíìiì =0, u(x), u(x) — > 0 khi |x| — > +OC.

where arc given real numbers, J, ỗ > 0,Q is an unbounded connected open sei oí’ IR" with smooth boundary ớíl

ưnder some assumptions on the non linearity of / i, / 2 and the tential q, we prove here that there existe a pair (u, u) of solution (or posiúve solutions) of the problem.

po-There are several methođs of proving the existence of solutions for non-linear equations: methods of sub- and super- solutions, continuity method, Banach or Shauder fixed-point theorem .

BÀI TOÁN DIRICHLET Đ ố i VÓI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ta xét bài toán biên Dirichlet đối với hệ phương trình á tuyến tính

Ta có thế kể đến các công trình cúa Ambrosetti và Maneini[.], cua

c Vargas và Mi/uluaga [.], cứa G Barles- G Diaz và J.I Diaz [], Nhưng gần với vân đề chúng ta sẽ nghiên cứu có thế kể đến công trình nghiên cứu D.G de Figneiredo, E Mitidieri, cua A Abak.li.ti- Mchachti và J Flockinger- Pellé trong đó xét sự tổn tại nghiệm dương của hài toán Dirichlet đối với hệ phương trình á tuyến tính của toán

tử Schrodinger: - A + q trong miền khống giới nội íĩ c Rn.

Các phương pháp quen biết trong việc nghiên cứu phương trình phi tu ven thường dược áp dụng đó là phương pháp biến phân, phương pháp dơn điệu, phương pháp điếm bát dộng, phương pháp nghiệm trẽn, nghiệm dưới.

Nội dung cống trinh nghiên cứu gổm hai chương.

Chương 1: Xét sự tồn tại của bài toán Dirichlet đối với hệ (1) trong miền không bị chặn íì c R".

Chương 2: Xét sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (1)- (2) vế phải / ( l i ) không thoá mãn điều kiện Lipschitz.

CHƯƠNG 1

BÀI TOÁN DIRICHLET Đ ố i VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Á

TUYẾN TÍNH TRONG MlỂN KHÔNG BỊ CHẶN

</(./•) c C°(R), Tồn tại % > u sao cho q(x) > qo Vx G Q

7

fi(u, v), Mu,v) thuộc C^R’2), /i( 0,0) = 0, / 2(0,0) = 0 thoả mã điều kiện Lipschitz:

|/i(u,ư) - /i(ũ,ũ)| < k i ( \ u - ũ\ + \ v - ữ|)

\Ỉ 2 {u, v) - f 2{ũt v) I < /c2(Ịu - ũ| + |l> - ữ|)

Với mọi u,v,ũ,v e R.

Như vậy vì /i(0,0) = 0, / 2(0,0) = 0, từ (1-4) ta lại có

ư)| < /ci(ịu| + |y|)

1/2(11, y)| < k 2(\u\ + M ) , u , v e M

Dưới đây ta sẽ sử dụng các ký hiệu quen biết

i) Giá sử u : íì —> R là hàm đủ trơn, la ký hiệu.

A u = 7 3 là toán tứ Laplace.

ii) C’X(S2) = {u ■ íì —> K khả vi vô hạn trong íì}

C^ịíì) = {u : u e r x (fì) và có giá compắc trong Í 2}

2 Không gian l'f/°(Q)xe7íỉ[l] : Trong Cq°(íì) ta xác định chuẩn

Tính chất cứa không gian V^Q) được xác định trong định lý sau đây.

Định lý 1.1 Vq{tt) là khủng gian H il b er t trừ m ậ t trong L2(Q) Đống thời p h é p nhúng V°(Q) vào L2{íĩ) là liên tục và compact.

Hơn nữa nếu u € Vq°(íl) thì u € L 2(fì) và có ước lượng:

Ị u2d x < sup { - Ị — ì I q(j :)i rdx < e{R)\\u\\ị0(ư )

trong đó f(R) = N111V,Í>,( í J tồn tại nhờ gia thiết (1-3) về dáng điệu của hàm hơn nữa khi R —> +oo thì ( (R) —► 0.

Như vậy với mọi u € V'°(íì), ta có ước lượng:

Giá sứ {Uk}?=i là dãy bị chặn trong v ^ í ì ) và

i!"fc|lr°(nì - k - 1-2 •

Khi dó với R > 0 dãy { uk |iĩ„}n=i là day bị chặn lronE H^ Í Ir). Vì

9

liên tục và compact Do đó, tồn tại dãy con hội tụ mạnh trong

L2{íìr ) Ta sẽ chứng minh {it*,}*! là dãy hội tụ trong L 2(Q) Thật vậy,

với R > 0 ta có

\Wk, — < 11'Ufct - ukj\\‘ị,2(ỊìR) + Ễ(-ft)llu A:, - u

kj\\vOịỉì'R)-Chú ý răng

\\uk-, - ukj ||v'0(fi'R) — \\uk, — ukj Ilv'0(f2) — 2A/.

Mặt khác vì e{R) -> 0 khi R —> +00, cho nên với ĩ] > 0 tuỳ ý tồn tại

/?.() > 0 sao cho:

f ( * o ) I K " u kjlli'0(n'H) < 2

rì-Với /?<) > 0 như dã chọn, dãy hội tụ mạnh trong L2(íìHll), do

đó tồn tại số /0 > 0 sao cho với mọi L,j > lo ta có:

Chú ý Đế đưn gian ký hiệu sau đây ta sẽ sử dụng ||.|| thay cho chuán

||.||;;.'(Ui Il-lli),, là chuán trong VỊ(iì), (,)- la tích vô hướng trong L2(ĩì.

3 Toán tứ Schrodinger:

Theo bổ đề Lax- Milgram, tồn lại duy nhất một toán tử Hq trong

L'2(íì) xác định bới công thức

(H„u r) - 0„(u, y) Vu 6 D { H q), V G vj(í2) (1-8)

trong đó:

D(H„) = {u € vq°(fí) : Hqu = (-A + q)u e L 2(Q)}.

Ký hiệu R(Hq) là miền giá trị của toán tứ Hq trong L2(Q).

dương:

{HqU, u) > 0 Vu € Dị Hq)

và hơn nữa Hy là toán tử liên hợp:

{Hqu, v) = (u, H qv) Vu, V € D ( H q).

Toán tử nghịch đáo H~ l xác định trong R( Hq) n L2(fỉ) với miền giá

H~l là toán tứ compact L2(íl) vào L2(Q).

Phổ của toán tứ Hq gồm dãy đếm được các giá trị riêng {Ằk}f=l có

số bội hữu hạn Hưn nữa giá trị riêng chính A, dương và có số bội là

0 Aị A2 ^ A'J ^ ■ ■ £ ^ ^ "t~oo k h i h —> +OC

thể giá thiết ý>i(./') > 0, /• £ íì.

Ta chú ý rằng vì íì là miền không bị chặn nén đối với toán tứ

-A với điều kiện biên Dirichlet không tổn tại dãy vô hạn các giá trị riêng dương Trong khi đó nhờ giả thiết về dáng điệu của hàm

<i(x) : <]{■!') -> +OC khi \.r\ -> +OC thì điều này lại có được đối với toán

tử H (Ị - — A -f q{j ‘).

4 Nguyên lý cực đại (xem [1]).

Giá thiết hàm </(./•) thoá mãn giá thiết (1-3) và A < Aj Khi đó với

11

mọi hàm y 6 L'2(íì) tồn tại duy nhất nghiệm u của bài toán.

u lan—0, u(x) —> 0 k h i |x| —> +oọ

Hơn nữa nếu g{x) > u không đồng nhát bãng 0 trong Q thì u(x) > 0 với

m ọi X e í ì

5 Nghiệin suy rộng:

bài toán (1-1)- (1-2) nếu thoá mãn các điều kiện:

( I ' , { u , i p ) = o ( u , ý > ) + f 3 { v , ự > ) + v ) , ự > ) ( 1 - 9 )

utl{v,ọ) — n( í/, ý1) + 7(u,s5) + (/ắ“ e Co°(n).

Nếu nghiệm suy rộng u, í G CJ(Q) thì đó là nghiệm cổ điến cứa bài toán.

§2 Sự tổn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền khỏng

bị chận.

1 Gia thiết -> < Ai), trong dó A) là giá trị riêng chính cúa toán

tứ Hq.

Với u cố định thuộc ta xét bài toán Dinchlet đối với u :

(//„ - 1 )v =ỗu + f 2(u, u) trong n

(J~\0

f 2= t), v(x) —* u k ỉll |j,'| —> +OC

Trước hòi ta chú y răng vì ' < 1/0 nên theo giá thiét (1-3) Í/U ) > 0

với mọi /■ e ỉ l do đu H , - la toán tư dương va tự liên họp trong L2{Q)

có phổ đếm được gồm các giá trị riêng

0 < Ai < A'2 < A3 < • • • < x k < ■ ■ ■ x k —+ +00 kh i k —> +00

trong đó Âfc = xk - 7 (k — 1,2, ■ • •), Afc— là giá trị riêng thứ k của toán

tử Hqt hơn nữa

( H ụ - = (Afc - 7)<0fc, fc = l , 2 , - - - (1-11)Đồng thời toán tử nghịch đảo (//y- 7 ) -1 xác định trong L2(Q) với miền giá trị £>(//y) c L2{íì) là toán tử compact từ L2(fỉ) vào L2(fỉ).

Giả sử V6 K°(ỉỉ) Từ giả thiết (1-4) về f 2{u,v), và ước lượng

\ f 2( u, v) \ < k2(\u\ + M )

với u, V e v"{íì) ta suy ra / 2(u,u) 6 ÙÍ2).

Khi đó bài toán Dirichlet:

(//,, - '})M/ = ỗu + f 2(u, v) trong Q

\\Av - 40II < -—-— |Ịư - ữ|| (1-14)

f2(u ư)| ìà toán tư co trong L2{{1).

Lay í ,) cô đinh líiuoc i Đãt: ^ Av ư.ưk^ = Auk, ••

Khi đó day \ ck ; V D[.rỉq) họi lu mạnn irong L^(í2) Vi £*(íỉ) là không

k,ỉ— + + OG

lim |u,(i>fc,v3)| = aq(v,ụ>), e

= ((//„ - 7)_1[ổu + /2(w,Ufc-l)],(^9 - 7 )^) + y(vk^)

= (ỏu + / 2(u, vk-i),<p) + 7(v*, V?)

= ổ ( u , ỳ ) + l ( v k , ự) + ( /2(ti,

cho k —> +00 ta nhận được

aq(v,(fi) = ổ(u,<p) + 7(u,<p) 4- ( Mu , v ) , <p ) Vv? G Co°(fi)

Điều này có nghĩa là V là nghiệm suy rộng cúa bài toán (1-10) □

2 Theo định lý 1.2, với giả thiết (1-15), ứng với mỗi u e V^°(Q), tồn

II Bu - Bũ\\ =\\(Hq - 7)-1[<5(ii - ũ) + /2(11, Bu) - /2(ũ, B ũ )\II

< - (ý\\u ~ ũ|| + Ả ;-211ti — ũII + k2\\Bu — Bĩíịộ

Thay V = B u , u e Vqi^l), ta xét bài toán Dirichlet sau đây:

( H q - a ) u =(5Bu + f i ( u , Bu )

u |an=0, u(x) —> 0 khi |z| -> +00 (1-18)

Trước hết ta nhận xét rằng biểu thức Bu xác định bới (1-16) là phi

tuyến tính và với mỗi u e V(/Ừ(Q) thì Bu € D ( H q).

Do đó từ giả thiết (1-4) ta cũng suy ra ràng: với u € V 9°(fì) thì 3Bu +

f i ( u , B u ) £ L 2(ũ).

Tương tự như toán tử Hq - 7 , vì a < (/0 nén Hq- a là toán tử dương

và tự liên hợp trong L2(Q) có phổ đếm được gồm các dãy giá trị riêng

{Afc - a} ^= l , \ k - o -> +00 khi k —> +00 trong đó giá trị riêng chính

Ai - Q > 0 và có số bội là 1, và hơn nữa

Đổng thời toán tư nghịch đáo {Hq - q )-1 xác định trong L2(íỉ) với miền giá trị D { H q - tỵ) - D ( H q) như là toán tử compact từ L 2(Q) vào L \ ũ )

Giả sử u e v^u(ỉỉ) Khi dó bài toán Dirichlet

có nghiệm duy nhất ư = (//,, - a ) - l [;3Bu + /i(u,Bu)] e D { H q).

V ổ i ' u 6

Như vậy, tồn tại một toán tử tYv®(íI) thì T u - u là nghiệm của

bài toán Dirichlet (1-19), xác định bới công thức

(H q - a)ự>k = (Ak - a)ự>k , k = 1 , 2,

-( - a)U —Ị3Bu + fi(u, Bu) trong Q

u 1^2=0, L (2') — 0 khi |x| —> +OC (1-19)

r = Tu = - a) l[pBu + /i(u Bu)]

Mệnh đè 1.3 \ ỚI li, ũ € \ ’;u(íỉ)' ĩa C(> l(()C iKỢHg-'

(1-2 0)

IITu — T u|| < h.\\u - a|| (1-2 1)

trong dó /( = —( p + Ả'i)(ỏ 4- A'(Ai - o)(Aị - 2) + A'! ( Â! 7 - — - k' 2 )

17

Khi đ ó bùi toán Diriclilet ị 1-18) tồn tụi nghiệm yếu u e Vq{(.ĩ).

T u = ( H q - n ) ~ l [ l 3 B u + / i ( u , B u ) ]

là toán tứ co trong

Gia sứ ỉio e K;°(í?), đặt Ui = Tuu,

Uk-t-1 = T i t k ( k — 1 , 2, • ■ • )

Ta có dãy {uk}^=1 c D( Hq) hội tụ mạnh trong L 2(Q) Do đó tồn tại

Ngoài ra nhờ giả thiết (1-4) và bất đảng thức (1-17), ta có

||/i(iífc, B u k) - /i(ti, Bu)\\ < fci(||t/fc - u\\ + IIB u k - Bu\\)

= (/3Buị<-i + f \ ( u k - \ , B'Uk-\),<p) + 0 t(uịc,<p)

=0( 13uli- 1, ỷ) + ựi{u-k-i, Butc-i), -p) + +q(u*:,^)

Cho _> +OCj từ (1-23, (1-24), (1-25) ta nhận được

u(/(u, V?) — a (u> r) + J{Bu, yĩ) + Bu) ýj) Ví^! 6 C^°(íì).

Điều này có nghĩa la u là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet

Định lý 1.4 Giả thiết các điều kiện (1-15) và (1-22) thoả mãn Khi

đó tồn tại nghiệm suy rộng u, v e v^°( 0 ) của bài toán (l-l)-(l-2).

Chứng minh. Theo định lý 1.2, với giả thiết (1-15) tồn tại toán tử B :

Vf(Q) —> D{Hq) sao cho với mọi

u e VỌ Ừ(Q) : Bu = (Hq - 7)_1[ổu + f 2{u, Bu)}.

Mặt khác, theo định lý 1.3, với giả thiết (1-22) tồn tại nghiệm suy

rộng u € V°(Q) của bài toán (1-18).

Tuy nhiên nêu Ịj < 0 hoác ỗ 0 thì trong các kết quá nhận được thay

CHƯƠNG 2

S ự TỔN TẠI NGHIỆM DƯƠNG CỦA BÀI TOÁN DIRICHLET

ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYÊN TÍNH

TRONG MIỂN KHÔNG BI CHẬN

§1 Bài toán Dirichlet trong miền không bị chận

1 Đặt bài toán và các giá thiết cơ ban.

Giả sứ íì là miền không bị chặn trong R" với biên dtt trơn.

Ta xét bài toán Dirichlet sau đáy:

— A u + ( ị ( x ) u —a u + ,iv + /i('U, r) (2-1)

— A u + q ( x ) V —ôu + -]U + f '2 (u)

/i(s,í) € C°(R), /i(s,í) > 0 với mọi s > 0,í > 0 ( 2-3) /i(si,íi) < /i(s 2,íi) với mọi 0 < Si < s2,0 < Í! < í2;

Trong chương 2, chúng ta sẽ sử dụng những ký hiệu và các kết quả

đã có trong chương trước.

2 Toán tử Schrodinger Ht, = -A + ự(x-), trong đó </(x) là hàm số

xác định trong Í2, thoá mãn điêu kiện (1-3), dược xây dựng trong §1.3 chương 1 , xác định trong D(H,,) c vgu(íì) là toán tứ xác định dương,

tự liên hợp Toán tứ nghịch đáo H~l xác định trong R(Hq) n L2{Sl) là toán tử compấc trong L'2(íì) Phổ của toán tứ Hq gồm dãy đếm được

các giá trị riêng { :

0 <c Aj <r A ) <c • <c < • • ■ , — ■> -Í-OG khi k —y +00.

Hàm riêng Y?i(x) ứng với giá trị riêng chính Aj không đối dấu trong ũ,

do đó có thế xem ) > 0,x € ữ.

Hơn nữa các hàm riêng ỹ k{u ) ứng với giá trị riêng xk (k = 1 2, •)

là những hàm liên tục và bị chặn trong íì, đồng thời tồn tại các hằng

sô dương o và sao cho:

|y\.(j')| < ae~M với |j:| đu lớn

(xem [ 1 J)

Giả thiết 1:

Với mọi A < Ai, toán tử Hq - A khá ngịch, toán tử nghịch đảo {Hq - A )-1 là toán tứ compac trong L2(fỉ) và ta có

( Hq — A) <Pk = 7 T ''pk, k = 1 , 2, • • ■

A k — A

Nhờ nguyên lý cực đại (§1.4 chương 1) ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.4 Giá thiết f{s) G C(K), thoả mãn điều kiện Lipschiti,

/ ( 0) = 0, không giám với s > 0.

Với A < A i, ta xú c định toán tử B trong L2(Q) :

B u = (H„ - A ) - 7 ( u ) € D { H q) c v,°(n)

Khi đó B lù toán tử liên tực, co mp ắc trong L'(íì).

Hơn nữa nếu 0 < Lii(x) < u2(x),.r £ Sì thì

0 < Bu\{x) < IÌU2{x)%£ G íĩ

Do đó 13 = (//<;- A)_1./(.) : L’ 2(Í2) là toán tứ liên tục và compấc

Lỉu2 - Du1 -> u khi |j-| +OC.

Vì / là hàm không giam Uj > Ui nên /(</,) > f(m), do đó theo nguyên

lý cực đại ta suy ra Bu, > Bu 1 trong íĩ.

23

§2 Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán Dirichlet.

Khi đó toán tử Hq - 7 (với điều kiện Dirichlet thuần nhất) có nghịch đảo (Hq - y)~l xác định trong L 2(Í2).

Giá s ứ u G L2{Q) Theo giả thiết (2-4) f 2{u) e L2(Q) Do đó tổn tại

nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet:

{Hq - -y)v =ỗu + /2(lí) trong Q (2-6)

v\dtt =0,v(x) —> 0 khi |x| —> +00.

xác định bởi công thức

v{s) = ( H q - ~ , ) - l (ỗu + M u ) ) e D ( Hq) (2-7)

Như vật ta có ánh xạ: B : LJ(ÍỈ) -> L^(íì) xác định với mọi u e

2 Giả thiết a < Ai, trong đó Aj là giá trị riêng chính cúa toán tử Hq

Thay V = Bu vào phương trình (2-1) ta xét bài toán biến phán sau đây:

(//,, - R)u = 3 B u + M u , Bu) trong Q

Ijịtíi; =0,u(x) —> 0 khi \j —oc (2-8)

Ta có định lý

Định lý 2.5 Già thiết:

l ) a < Alt7 < Ai và

(2-10)

(2-9)

Do đó tổn tại So > 0 sao cho với mọi s : 0 < s < So thì

Khi đó f 2{s) > ị [(Ả! - a)(Aj - 7 ) - 0ỗ]s, 0 < s < 3q.

Chọn c > 0 đủ bé sao cho 0 < cy?i(z) < So G Q, ta có:

A > U v i) > J [(A1 - UH A1 - 7 ) - iổ ] c v i

Áp dụng mệnh đề 2 1 ta có:

(/-/,, - 7 )- i/.'(ý,i) > j [ ( Ai _ a )(Al " _ - 7)~1CY1 •

Từ đó : (Hq 7)“l/2(9i) > j[(A> q HAi

-Mặt khác vì M c ọ i.B c ^ ) > 0 nên ta lại có

+ / 1 (cv?i, i i í V i ) ■)) 1 [ốcvi + /ỉ(<Vi)]

/2(5) (Aj - a)(A i - 7)

>(Ai - a ) ( V i = (Họ - ữ

)c-25

V ậ y ham u c<Pi (;/•), trong đó v?j(x) là hàm riêng của toán tứ Hq ứng

LLịdíì =0,ỵ(x) -> 0 k h i |x| -> 4-00 (2-11)Giả sử n nguyên dương ta đặt ũ = nv3i(x).

Ta xét biếu thức:

p B u + f i ( u , B u ) = j i B u ọ l + /i(n ^ i, B n ^ i )

=i3{H,, - 7 ) _1 [íni^i + Mn<pi)] + Mrnpi, BĩỉỌx).

Trong đó: / 2(s) là hàm thoả mãn điều kiện Lipschitz với hệ sỏ' k nên