Xây dựng các phần mềm mô phỏng chuyển động đối lưu nhiệt của chất lỏng thực chuyển động của chất lỏng nhớt xung quanh vật cản

Tên đề tài Xây dựng phần mềm mô phỏng chuyển động đối lưu nhiệt của chất lỏng thực; mõ phỏng chuyển động của chất lỏng thực xung quanh vật cản phục vụ nghiên cứu và đào tạo ngành cơ học

ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC T ư NHIÊN

BÁO CÁO TÓM TẮT THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

a Tên đề tài Xây dựng phần mềm mô phỏng chuyển động đối lưu nhiệt của chất lỏng thực; mõ

phỏng chuyển động của chất lỏng thực xung quanh vật cản phục vụ nghiên cứu và đào tạo ngành cơ học.

b Chủ trì đề tài : TS Trần Vãn Tràn

c Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

- Mục tiêu : cần phải đào tạo được đội ngũ các sinh viên, học viên trên đại học về ngành cơ học

với định hướng có khả năng giải quyêt được các bài toán thực tiễn đặt ra ở mọi qu_ mô Đê đạt được mục tiêu đó, công việc giảng dạy cơ học cần phải song song đạt được các yêu câu sau đôi với học viên:

• Có hiêu biêt tôt vê bản chât vật lý của các quá trình mà cơ học nghiên cứu, giài quyêt;

- Các nội dung của để tài:

• Xây dựng mô hình vật lý-toán cho chuyền động đối lưu nhiệt; và chuyến động chảy bao vật cản của chất lỏng thực.

• Xây dựng cấu trúc phần mềm linh hoạt phù hợp cho từng bài toán, cho phép mô phỏng diễn biến của các hiện tượng một cách trực quan và tiện lọi trong việc thay đổi chế độ

mô phỏng

• Lập trình theo thiết kế

• Tiến hành mô phỏng sô

cỉ Các kết quà đạt được Các nội dung trên đã được hoàn thành trọn vẹn; tạo được hai phần

mềm mô phỏng hai hiện tượng cơ học lý thú và khá phức tạp; Các phần mềm này còn phục vụ tốt cho công việc nghiên cứu khoa học; Các kết quả mô phỏne sẽ được báo cáo tại Hội nehị Cơ học Chất lỏng toàn quốc, tánơ 7/2006.

e Tinh hình kinh p h í: Tổng kinh phi đề tài được cấp là 20.000.000 đ dùng để chi cho các khoản

mục như đã dự toán trong đề tài.

Xác nhận của Ban chủ nhiệm khoa C hủ t r j

PrOj &ct sum m ary

a Name o f the Project:

Numerical simulation o f free convective motions o f a viscous liquid, and o f flows o f a real liquid past an obstacle.

b H ead o f the Project' Ph.D Tran Van Tran

c Objective and Outlines o f the Project:

- The main objective o f this project is to develop two softwares dữected to numerical

simulations on PC , one for 2D-free convective motions o f viscous fluids in a rectangular domain, and other for 2D-VĨSCOUS flows past an obstacle These softwares will be used as a tool for teaching computational fluid dynamics at the University o f Natural Sciences as well as for research in fluid mechanics.

- The following tasks had done in the fraimwork of the Project:

• Conducting a detailed description o f models for the two mechnical problems mentioned above;

• Discussing numerical method used for solution o f these problems;

• Designing the structure o f the simulating softwares with the aime to conduct simulations on the chosen topics effectively and easily;

• Programming in line with the design

• Conducting some simulations and discussing the results

d Results achieved in the Project:

- A detailed report on both features o f the Project and workes done is written

- Two softwares had created and met all project requirements for simulating two chosen

phenomena in fluid mechanics.

- The reslults o f the simulations show main features o f these two mechnical processes well enough.

B Á O CÁO NỘI DU NG VÀ K ẾT QUẢ T H ự C HIỆN ĐỀ TÀI

I MÔ TẢ ĐÈ TÀI VÀ NỘI DƯNG THỰC HIỆN

1 Đặt vấn đề

C ơ học trước tiên là ngành khoa học ứng dụng Các hiện tượng xảy ra trong

tự nhiên và công nghệ liên quan đến các quá trình chuyển động, biến dạng, trao đổi nhiệt chất, tương tác các hệ vật c h ấ t, đều là đối tượng nahiên cứu của các chuyên ngành cơ học khảc nhau Vì vậy có thể nỗi, cơ học là một nền tàng cơ bản nhất của những ứng dụng phong phú trong hầu hết các lĩnh vực tụ nhiên vả khoa học kỹ thuật trong mọi thời điểm

Các hiện tượng hay quá trình m à cơ học nghiên cứu thường lất phức tạp.Các bài toán thưc tế đặt ra ngày càng đòi hỏi phải tính đến càng nhiều yểu tố ảnh hường càng tot V ì vậy, dối với các bài toán lớn của thực tiễn đặt ra gần như không có hy vọng nhận được lời giải cua nó bằng phưcmg pháp giải tích N gay việc nhận được lời giải xấp xi của nó trên các máy tính cũng không hề đơn giản, và Icliông phải lúc nào cùng làm được Tuv nhiên, việc sức m ạnh của các công cụ tính toán hiện nay phát trien nhanh đến mửc

không ngờ càng làm cho hy vọng một ngày nào đó cơ học có thể giải quyết được phần lớn các bài toán thực tiễn của m ình với' độ chính xác cần thiết càng trở nên hiện thực

Vì những lý do nêu trên, tfiệc phải tãng cường năng lực giải quyết các bài toán cơ học cua thực tê ở các mức độ phức tạp khác nhau cho các sinh viên ngành cơ học là mục tiêu hàng đầu Mục liêu đó đòi hòi phải trang bị cho s!>ih viên cơ học những kiến thưc cơ bản chuyên ngành, kết hợp chặt chẽ với kha năng su dụng m áy tính điện từ để giải quyết bài toán đặt ra Đó là giải pháp cung cấp m ột b j kiến thức: cơ học cơ bản + phương pháp tính chuyên dụng + khả năng lập trình, trong đó hai nội dung cuối được xây dựng trên những vấn đề cụ thể của nội dung thứ nhất

Với mục đích đó, trong các năm qua một số đề tài với nội dung xây dựng phần mềm mô phỏng số các bài toán cơ học chọn lọc đã được thực hiện tại

bộ m ôn cơ học, khoa toán-cơ-tin học Đề tài này cũng là m ột thể hiên của mục tiêu nói trên Các phán m ềm xây dựng trong khuôn khổ đề tài này còn

có một mục tiêu nữa là phục vụ các nghiên cứu cơ học chất lòng trong m ột

số vần đề có tính thực tiễn cao: đó là hiện tượng đối lưu rứ ệt và dòng chảy xung quanh vật cản

2 BAO CÁO THƯC H ltN ĐẺ TÁI QT 05-02

D òng chảy đối lưu là m ột hiện tượng tự nhiên xảy ra hàng ngày trong khí quyên và đại dương N ó có vai trò quyết đinh trong việc hình thành các hiện tượng thời tiêt, và các thiên tai như bão, lụt, T rong công nghiệp, hiện

tượng đôi lưu nhiệt cũng được sử dụng rộng rãi, từ việc đơn giải như giải pháp thông thoáng nơi làm việc cho đến các thiết bị truyền nhiệt trong các lò phản ứng hạt nhân

M ột hiện tượng khác cũng thường xảy ra là dòng chất lỏng hay chất khí chảy bao m ột vật cản trong m iền dòng chảy của chúng Hiểu biết về sự hiện diện của các vật cản đó ảnh hưởng qua lại với dòng chảy như thế nào có thể g ;úp chúng ta đánh giá tác động của dòng chảy lên vật (tính lực hay phân bố áp suất xung quanh vật) hoặc của vật đến trương vận tốc, trường áp suất, từ đó

có thể đánh giá các tính chất khác như lan iruyền chất ô nhiễm, sói lở vùng lân cận

Hai hiện tượng cơ học nói trên là nội dung chinh của đề tài trong tiếp cận nghiên cứu mô h.nh toán và phương pháp tính, từ đó xây dựng m ột số phần

m ềm dùng để mô phỏng chúng Các phần mềm đó dùng để giảng dạy về

m ôn cơ học chất lòng, kv năng tính toán và ỉập tiìn h tại bộ m ôn cơ học, đồng thời có thể hoàn thiện thành một công cụ nghiên cứu về các hiện tượng trên

Đó là các hiện tượng vẫn đang là vấn đỏ thời sự của cơ học chất lỏng trên thế giới

2 Mô hình vật lý-toán

2.1 M ô p h ỏ n g dòng chảy đối lư u n h iệt trong chất lỏng, ch ấ t k h ỉ

Chúng ta sẽ sử dụng m ô hình đối lưu do Bussinesq đề xuất từ đầu thế kỷ trước và van được sử dụng rộng rãi hiện nay M ô tả ngắn gọn về mô hình như sau Chúng ta xuất phát từ hệ phương trình N avier-Stokes đầy đủ cho chất lỏng thực:

trong đo V là vận tốc chất lòng, p, T.S, là áp suất, nhiệt độ entropy cùa chất

B ây giờ ta xét chu>ên động đối lưu tự doc của chất lỏng, chất khí, trong đó

t ;nh nén được của mỏi trường không đáng kể Ta bắt đầu đơn gian hóa từ phương trình trạng thái Ta biểu diễn áp suất và nhiệt độ cua chất lỏng ở dạng:

với ĩ , ? là các giá trị trung bình nào đó lấy làm điểm gốc, còn T',P' đặc

trưng cho sự lệch khỏi các giá trị trung bình nói trên Chủng ta sẽ giả thiết ràng các giá trị lệch đó không lớn lắm theo nghĩa chúng tạo ra sự lệch về tỷ khối không đáng kể so với t> khối “trung bình”, nghĩa là ta có

, ÕP

'Ttrong đó a và (3 là hệ số nén đẳng nhiệt và hế số giãn nở nhiệt của chất lỏng

T ừ giả thiết (6) ta phải có:

4 B a O c á o THƯC HIÉX ĐÉ t à i QT 05-02

m ãn điều kiện cân bằng n h iệ t N ếu xuất phát từ biểu thức cho áp suất thủy

u n h trong chất lỏng thì điều kiện (8), (9) dẫn đến điều kiện tương ứng:

trong đó H là đặc trưng cho chiền thẳng đứng trong miền dòng chảy, còn 0

là đặc trư ng về độ lệch nhiệt độ N hừng giả thiết nêu trên cho phép ta coi chât lỏng là không nén được, và do đó có thê viết phương trình liên tục ở dạng:

B ằng cách tuyến tính hỏa biều thưc của entropy theo biến đổi áp suất và nhiệt đô, đồng thời sử dụng định nghĩa của các hệ số nhiệt dung, ta đi đến kết quả:

Lại m ột lần nữa ta có đánh giá ảnh hưởng của biến thiên ap suất nho hơn so

N ếu ta phân tách áp suất thành hai thành phần: p = P + p' trong đó thành

phần thứ nhất là ap suát thủy tĩnh tương ứng với áp suất ở trạng thái cân bằng p 0 , v à do đ > v p = p ữg

Khi đó, vế phải của (16) có thể viết lại ở dạng:

T a lại sử dụng một giả thiết nữa thường đúng cho chuyển độnẹ đối lưu tự

do Đó là giả thiêt cho rằng gia tốc do đối lưu tự do ( tất nhiên theo chiều thăng đung) nhỏ hơn so với gia tốc trọng trường Khi đó thành phần ứng với gia tôc đôi lưu ở vê trải sẽ bị bỏ qua và ta nhận được phương trình:

~ + ( V V ) V = - — V p + v ầ V + g p T Y (18)

V ậy hệ phương trình mô tả chuyển động đối lưu tự do sẽ bao gồm: (12), (15)

và (18) Trong tiêp cận của Bussineq như mô tà ở trên, ta thấy sự giãn nở của tỷ khối do chênh lệch nhiệt độ chi được tính đến duy nhất trong phương trình chuyên động (lực Asim ed) còn phương trình liên tục vẫn ở dang không nén được Điêu này có vẻ không bình thường Tuy nh ên những thực

nghiệm cân trọng đã chỉ ra rằng giả thiết đó vẫn hợp lý vì nó mô tả khá

chính xác những đặc trưng cơ bàn của chuyển động đối lưu Tự do

Bây giờ chúng ta nói đến các điều kiện biên của bài toán đối lưu nhiệt Nếu chất lỏng được chứa trong các biên cứng thì ta cần đưa vào thêm phương trĩnh truyền nhiệt trong vật ran (biên cứng) ở dạng:

tìt trong đó chỉ số c có nghĩá~là nhiệt độ của thành cứng Khi đó trên biên cứng

ta có các điều kiện cho phương trình truyền nhiệt:

õt

ô n õ n

Các biểu thức (20) mô tả điều kiện liên tục cua nhiệt độ và dòng nhiệt trên

bề m ặt tiếp xúc Ngoài ra cũng cần đặt điều kiện biên cho biên ngoài của thành cứng tương ứng với điều kiện nó được nung nóng hay làm nguội

T rong các bài toán được đề cập đến ở đây, chủng ta sẽ sử dụng điều kiện cho ngay trên biên của chất lỏng

Hệ phương trình chuvển động đối lưu dẫn ra ở trên có nghiệm tầm thường ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt độ ở mọi nơi và vận tôc bằng không ở

m ọi thời điểm (không có chuyên động cua chàt lỏng) Ngoài trạng thái đó ta còn có một trạng thái gọi là trạng thái cân bàng cơ học, được thiết lập như

6 BÁO CÁO THỰC H1ẼN ĐẺ TÀI QT 05-02

sau N ếu ta coi V —0 ở m ọi điểm và kí hiệu nhiệt độ và áp suất ở trạng thái đó

là p 0, to thì từ hệ phương trình (15), (18) thu đưọc:

Bỏ qua trường hợp V ĩ 0 =0 ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt độ khắp nơi

m à ta đã nhắc đến ở trên, ta còn có lời giải với gradient nhiệt độ cùng chiều thẳng đứng với véc tơ k., nghĩa là ta có lời giải ở dạng (kết hợp với phương trĩnh truyền nhiệt):

T aylor và xuất hiện chuyển động đối lưu

T rong nghiên cứu của đề tài này chuyển động đối lưu xuất phát tử cả hai

lỏng hoặc trên biên của nó đều được xem xét và mô phong

B ây giờ ta đề cập đến việc đưa hệ phương trình và các điều kiẹn biên và ban đầu của bài toán chuyên động đối lưu về dạng không thứ nguyên Ta lấy các

đại lượng sau làm các đại lượng đặc tiu n g : L - độ dải đặc trưng cho kích

thước của m iền dòng chảy; 0 đặc trưng cho sự chênh lệch nhiệt độ; I - thời gian đặc trưng cho các thay đổi Cua các yếu tố bên ngoài gây ra chuyển động

trên ta có thể tạo nên các đại lượng không thứ nguyên như:

0 r = gậQL_ p r V F = — , R = Gr x Pr

C ác số trên lần lượt được đặt tên là số G rashof, Prandtl, Fourier và Rayleigh

T rong đề tài này chúng ta sẽ mô phỏng chuyền động đối lưu hai chiều trong

m ột m iền giới hạn bởi bốn biên cứng như trên hình 1 (kích thước hình học

đã được không thứ nguyên hóa bằng cách chia cho L) Các biên cứng lần

lượt đánh dấu bằng các ký hiệu B l, B2 B3 B4

Hệ phương trình cho trường hirp này sẽ là:

sẽ nhận giá trị bằng đơn vị Đê loại áp

suất ra khỏi hệ phươno trình chuyển

Ngoài ra, ta cũng đưa vào hàm số đặc trưng cho rotV, gọi là hàm xoáy, mà

trong trường hợp hai chiều chỉ có một thành phần khác không:

8 BÁO CÁO THỰC HIÊN ĐÈ TÀI QT 05-02

N h ư vậy, hệ phương trình mô tả chuyển động đối lưu tự do hai chiều bao gồm (28),(29),(26) và (24)

Vê điêu kiện biên cho bài toán trên, ta có thể thu nhận trên các luận cứ sau

Do vận tốc của chất lòng thực luôn bằng không trên biên cứng cố định nên

từ điều kiện w=v=0 trên B Ỉ-B 4 nên ta có:

ta dễ dàng nhận được công thức tính giá trị của hàm xoáy trên biên qua các giá trị hàm dòng lân cận:

Điều kiện biên (33) thể hiện nhiệt độ trên thành giữ không đổi, nhờ tính chất truycn nhiệt qua thành cứng một cách tức thời, trong khi (34) lại thể hiện khả năng cách nhiệt của thành cứng là tuyệt đôi

2.2 Bài toán chảy bao vật cản

Xét bài toán chảy bao hai chiều sau Chất lỏng không nén được chảy bao một vật rắn hình chừ nhật Chiều dòng chày từ trái sang phải Ta lây m iên tính toán cũng có dạng hình chữ nhật: bao hoàn toàn vật cản trong nó và có các canh đủ xa vật cản đề các điều kiện biên mà ta sẽ đê cập đến ở phản sau

là chấp nhận được (Hình 2) Lấy một lưới sai phân với bước lưới đéu theo

dòng từ j 1 đến j l Phương trình mô tả chuyển động của chất lung cũng sẽ là

phương trình liên tục (25), hai phương trình động lượng (22) và (23), riêng trong phư ơng trinh (23) ta bỏ đi sổ hạng liên quan đến irứũệt độ ở vể phải Lại chuyên qua hàm dòng và hàm thế, ta nhận được hai phương trình sau:

Trên biên: I = 1 ta coi dòng chảy ở khoảng cách đù xa vật cản nên theo [4] ta

lấy điều kiên — = 0 Đ iều kiện này tương đương với điều kiện sau cho hàm

õx2

dòng:

ỡV

10 BẢO CÁO THỰC HIÊN ĐÊ TÀI QT 05-02

Để thu nhận điều kiện cho hàm xoáy, ta xuát phát từ biểu thức tính hàm xoáy trên biên đó:

u i ,» I ~ W .

' 2 h. - ( VA ,

Do (v, ) Uj - ị v x)2 j - - ị ự xx)2^, nên sử dụng sơ đồ trung tâm cho đạo hàm bậc

hai hàm dòng, ta nhận được điêu kiện biên cho hàm xoáy như sau:

Trên hai biên j = l và j —N : ta giả thiêt biên đủ xa vật cản nên trên hai biên

này ta có ihể coi dòng chảy song song với dòng chày ban đằu ờ phía xa bẽn trái vật, và do đó chuyển động ờ cac miền đó là không có xoáy:

¥>=\

(40)

(41) (42)

co = 0

(43) (44)

Ta thấy, phương trình c h ạ h à m dònơ (36) ch là cấp hai Trong khi điều kiện

biên cho nó trên các biên i - 1 và i=A /lại co cấp dạo hàm cao hơn hoặc bằng

cấp của phương trình Đ iều khôna bình thường này sẽ được vượt qua khi giải số phương trình đo với các điều kiện biên như vậy băng một thuật toán như sau K hi giải phương trình sai phân của (36) băng phương pháp quét

luân hướng thì khi quét theo chiều j , ta giải như bình thường Nhưng khi

quet theo chiều X, thay vì tính hàm dòng, trước tiên ta unh hàm

Phương trình để tính hàm này có dạng:

ĐÓ thuần túy là biểu thức đại số với vế phải đã biết Tại điểm mút i = l , từ (39) và cỏpơ thức tính đạo hàm cấp một theo sơ đồ tiến có bậc xấp xi bậc haicho ta: