Phương trình vi sai phân và ứng dụng trong hệ sinh thái

MỤC LỤCTrang Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phán 12 Chương 4: Tính đon điệu và hội tụ của nghiệm phương trình 14 sai phàn... M ục tiêu của đề tài là đưa ra kết quả lý

ĐÉ TÀI NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC CÁP ĐHQGHN

MỤC LỤC

Trang

Chương 3: Sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phán 12 Chương 4: Tính đon điệu và hội tụ của nghiệm phương trình 14

sai phàn

Tiếng V iệ t: Pliươug trùỉli vi sai phân và ínig dụng troug liệ sink thái Tiếiig Anh: Difference and differential Equations and Applications iu

E cology

2 Clià trì để tài: TS Lê Đ ình Định

3 Têu các cáu bộ phối hợp ugliiêu cứii:

4 M ục tiêu và n ội dimg nghiêii cứu:

M ột trong ulifnig bài toáu quau trọug cùa sinli tliái liọc qnầu tliể là dáuli giá

số lượng cá thể troug quầu thể cùa m ột loài tlieo tliời gian Tốc độ biếu dổi số lirợng cá tliể cùa loài tlieo tliời giau đirợc m ô tả bời pliircmg trìuli vi-sai pliâii

N gh iêm của pliưcnig trìnli này clio ta biết được quá trìuli tiếu triểa số lirợug cùa loài, tìr đó có k ế lioạcli khai tliác tối ưu loài uày lioặc đưa ra Iiliiiug chíuli sácli kịp tliời uliằiu đảm bảo clio sự phát triển bều vữug cùa loài.

M ục tiêu của đề tài là đưa ra kết quả lý thuyết về sự tồn tại ugliiệm cùa pliirơug trình sai pliâu là sai phân lióa cùa pliươug trình vi pliâu, cũng nliir sự liội

tụ về Ìiglúệm dúug cìia phương trìnli vi pliâu, mà Ìighiệm uày là các đ iểm câu bằng của loài rroug các liệ siuli thái Đ ề tài QT 07-05 dược tlụrc lúệu từ tliáug 5 uãm 2007 uliằm giải quyết một sô' vâói đề sau:

+ Tổiig quát hóa m ô hìnli dộug học quần tliể đơu Loài ở dạng pliiroug trìuli vi

I BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THựC HIỆN ĐỂ TÀI QT-07-05

1 Têu đề tài (hoặc dự áu):

Tiếng Việt: Phương trùilx vi sai pliâu và írug dụng trong liệ siiili thái Tiếug Auh: D ifference and differential Equations and Applicatious iu

E cology

2 Clnì trì để tài: TS Lê Đ ìnli Địnli

3 Têu các cáu bộ pliối liợp ughiêu Cl'ni:

4 M ục tiêu và n ội duug ugliiêu cứu:

M ột troug ulifiug bài toáu quail trọng cùa sinh thái liọc quần tliể là đáuli giá

số lirợng cá tliể trong quầii tliể cùa một loài tlieo tliời gian Tốc độ biếu đổi số lirợug cá tliể cùa loài theo tliời giau đirợc m ô tả bời pliitơug trìuli vi-sai pliâii

N gh iệm cùa pliirơug trình Ìiày cho ta biết đirợc quá trình tiếu triển số lượiig của loài, tìr đó có kế hoạch khai thác tối uu loài Ìiày lioặc đira ra uliĩhig clúuli sácli kịp tliời nhằm đảm bảo clio sự phát triểu bều vữug cùa loài.

M ục riêu của dể tài là đua ra kết quả lý thuyết về sự toil tại ugliiệm cùa phương trìuk sai pliâu là sai phân hóa cùa pluiơiig trìnli vi phân, cũiig uliu sự hội

tụ vể u glúệm điíiig cùa phirơug trìnli vi pliâii, mà ugliiệm uày là các đ iểm câu bằug cùa loài troug các liệ siuli tliái Đề tài QT 07-05 đuợc tliực liiệu từ tliáug 5 uãm 2007 Ìiliầm giải quyết một số vấu dề sau:

+ Tổiig quát lióa 1Ỉ1Ô hình độug học quần tliể đon loài ở dạng pliiroug trìuli vi pliâu.

+ N ghiêu cứu tíuli cliất cùa đ iểm câu bằng cùa quầu tliể bằng cácli sai pliâii hóa phương trình vi phâu, sau đó tìm u glúệm cùa phirơug trìuli sai pkâu

+ N gliiêu cirú sự tổu tại duy nhất của agliiệm phirơug trìiili sai pliân, cũng uliư sự liội tụ về Ìigliiệm đúng cùa uó.

nghiêm phương trình sai phân phi tuyến.

+ Đưa ra các tính chất cùa điểm cân bằng.

Các kết quả đạt đưực của đề tài giúp chúng ta xem xét một loài trong quần thể phát triển theo số lượng đạt đén mức cân bằng bền vững hay không bền vững phụ thuộc khá lớn về số lượng cá thể ban đầu hay quá trình đánh bắt cùa con người Từ đó chúng ta có chiến lược đánh bắt phù hợp sao cho loài luôn phát triển ở dạng bển vững.

Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên 01 bài báo và 02 báo cáo khoa học.

ĐỂ tài đ ã góp phún dùo lạo được nhiều cừ nhân khoa học, 02 hoc viên cao

học là Nguyễn Thị Minh và Nguyẻn Thị Minh Lý Đề tài đã hỗ trợ đắc lưc cho nhiểu NCS của khoa Toán - Cơ - Tin học.

6 Tình hình tài chính của đề tài

Để tài được cấp 2ơ.000.000đ trong năm 2007 và 2008 và được chi vào các khoản sau đây:

+ Các bài báo và báo cáo khoa học: 10.000.000 đ

II SCIENTIFIC PROJECT

2 Title of Project: Difference Equations and Applications in Ecology

3 Code of Project: QT-07-05

4 Head of research group: Dr Le Dinh Dinh

5 Collaborating Institutions:

6 Duration: from 5-2007 to 5-2008

7 Budget: 20.000.000 VND

8 Main results:

a) Results in science and technology

One of the most important problem in ecology is estimate the number of species in population The rates o f change in these number are described by differential and difference equations We can know the development o f these species by the solution of the equation, then we can make a good plan to exploit without the extinction of them.

This researcher is concerned with the study of the existence of solution of difference equation and the convergence to the equilibrium point It has been started since May, 2007 and we resolved some following problem:

• Generalization o f single species model in differential equation form.

• Showing the properties o f equilibrium points.

• Difference o f differential equation and then we investigate the

existence, the unique and the convergence of solution.

With a moderate budget 20.000.000 VND, our research group has carried out some good results We have written one paper and two scientific reports., b) Results in training:

• Support to many bachelor’s degrees of science.

• Support to two master’s diplomats of science: Nguyen Thi Minh and Nguyen Thi Huong Ly.

• Support to some Ph D students.

c) Publications:

1 Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXBĐHQGHN 2004.

M ở đầu

Hầu hết các mô hình quần thể đơn loài là nghiên cứu tốc độ biến đổi

c ủ a số lượng các cá thể theo thời gian được quy về phương trình vi phân:

- - b N - d N + nhập cư - di cư (3.1.1)

S ạ sai khấc vế phải của (3.1.1) được một mô hình của từng loài Vậy giả

th iết mô hình đơn loài có dạng:

M ột trong những bài toán quan trọng của mô hình động học quần thể là nghiên cứu điểm cân bằng của hệ, tức là nghiệm của phương trình:

V iệc tìm nghiệm của (3.1.4) hết sức phức tạp nếu f(N) có dạng phi tuyến

V ì vậy ta phải tìm nghiệm gần đúng của phương trình (3.1.4) bằng cách sai phân hóa phương trình (3.1.4) Sau đó chứng minh nghiệm gẩn đúng hội tụ

vể nghiệm đúng của (3.1.4).

Đề tài QT -07-05 được thực hiện từ tháng 5 nãm 2007 nhằm giải quyết

phân hóa của (3.1.4) 2 + Đưa ra điều kiện đủ cho sự hội tụ, tính ổn định.

■+- Nghiên cứu tính chất của điểm cân bằng.

N ội dung và các kết quả đạt được

Xét phương trình vi phân:

( i x

^ = G (x) = s ( x ) / ( x ) (3.2.1)

trong đó các hàm f(x), g(x) thỏa mãn các giả thiết sau:

H l , f(x), g(x) là các hàm không âm, liên tục từng khúc trong khoảng (0, oo)

H 2 , g(x) tăng trong [0, oo], f(x) giảm trong [0,oo].

H 3 , Phương trình G (x)=x (3.2.2) có các nghiệm X0, X\ , thỏa mãn

FCý hiệu 5[xo,Xm ] là không gian các hàm không âm, tăng, liên tục từng

k h ú c trên [ãfo, x m] Trên B [ x o , x m] có quan hệ < được định nghĩa như sau:

C h o Ễ B[ x 'o,xmj, ta nói <ĩ> < 'I' nếu

í>(x) < G J + ĩ>(x) > Ý ( x ) ,x G J~ (3.2.5)

B ổ để 2: Giả thiết các hàm f, g thỏa mãn các giả thiết H l, H2, H3.

E £?[x0, x m], ĨJ : [0, oo] —> [0, oo] là hàm tăng Khi đó ta có:

S ự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân

Trong phần này ta đưa ra điều kiên đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân:

Đ ị n h lý 2: Cho X_ 1 E [x o ,im ],ổ là nghiệm của phương trình Tỗ = ỗ Khi

đ ó dãy { x n} được xác định bởi x n = ỏ ( x n- \ ) , n — 0 ,1 , thỏa mãn phương

tr ìn h sai phân x n+x = y { x n) f ( x n- i )

Tính đơn điệu và hội tụ của nghiệm

phương trình sai phân

Trong mục này ta dưa ra tính đơn điệu và hội tụ của nghiệm phương trình sai phân về nghiệm đúng của phương trình giải tích.

Đ ịn h lý 3: Giả sử các hàm f,g thỏa mãn các giả thiết H l, H2, H3 Khi đó:

a ) Vi = 0 , 1 , m — 1, — 0, thì tổn tại nghiệm của phương trình Xn+ 1 —

g ( x n ) f ( x n-1) được ch o bởi Xn = ỏ ( x n- \ ) , x - \ e I ~ có tính chất Xr, tăng và llĩTLỵi—►oo^-'n X i + \ •

b ) Vi = 0 , 1 , m — 1, /j+ = 0, thì tồn tại nghiệm của phương trình x n+x =

g ( x n) f ( x n-1) được cho bởi Xn = ổ( xn- i) ,x _ i € I * có tính chất x n giảm

v à l i r r i n ^ o o X n = Xi.

Đ ịn h lý 4: Giả sử các giả thiết H l, H2, H3 thỏa mãn và Xo = 0 , / 0 = Ị ổ

Nếu điểu kiện ban đầu Xo < X_1 e ỈQ thì nghiệm Xn+Ị — ổ ( x „ ) đơn điệu giảm v à l i m n _ 00 Xr, - T o =- 0.

K hi đó nghiệm của phương trình sai phân bị chặn bởi hằng số dương

Đ ịn h lý 6: Giả sử các giả thiết H l, H2, H3 thỏa mãn, tồn tại các hằng số

L > 0 sao cho: G{ x ) — f ( x ) g ( x ) > X, Vx < L Khi đó nghiệm {x „ } của phương trình sai phân với điều kiện ban đẩu X - I > L là dãy đơn điệu tăng

v à l i m n _ 00 = + O C

8

Tính ổn định địa phương

Trong phần này nghiên cứu tính ổn định địa phương của các điểm cân

b ằ n g Xo, Ta có các kết quả như sau; Giả sử f(x), g(x) là các hàm

k h ả vi trung bình X* £ F là điểm cân bằng dương Tuyến tính hóa phương

trình sai phân ta được

ổn định, ĐH = Đ iểm hút, ĐĐ = Điểm đẩy )

1 + x k + \x -

Ta có kết quả thu được ở bảng sau:

Các kết quả nghiên cứu được thể hiện trong các bài báo và báo cáo khoa

h ọ c sau:

c o c y c le with in d ex -1 and Lyapunov exponents, Stochastics and Dynamics,

V o l.7 , No (2007) 229-245.

N g u y ễn Thị Minh: ứng dụng nguyên lý điểm bất động vào phương trình

s a i phân, luận văn thạc sỹ toán học, năm 2007.

N g u y ễn Thị Hương Lý: Các phương pháp sai phân và ứng dụng, luận văn

th ạ c sỹ toán học, nãm 2007.

đ ún g bằng phương pháp sai phân.

Đề tài đã đưa ra một hướng nghiên cứu sự tổn tại nghiệm cùa phương trình sai phân phi tuyến, hội tụ, đơn điệu vể nghiệm gii tích, giúp chúng

ta nghiên cứu được tính ổn định, không ổn định của các điểm cân bằng.

tio n a l recursive sequence Xn+1 = - - 2 — , Computers Math Appl 28(1994),

1 + n—l

3 7-43

[2] V Huston and K Schmitt, Persistence and the dynamics of Biological

sy ste m s Math B iosciences 111(1992)1-72.

[3] V L Konic and G Ladas Global asymptotic behaviour o f nonlinear

d ifferen ce equations o f higher order with applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993.

[4] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, phương pháp sai phân, NXBĐHQGHN

2 0 0 4

ĐÊ TÀI SUPPORT CHO CÁC HỌC VIÊN CAO HỌC SAU:

1 Nguyễn Thị Minh

2 Nguyễn Thị Minh Lý

N G U Y ỄN THỊ M INH

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIỂM BÁT ĐỘNG VÀO

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

N G U Y ÊN THỊ HƯ ƠNG LÝ

CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

D E G E N E R A T E C O C Y C L E W IT H IN D E X -1 A N D LYA PUN O V

E X P O N E N T S

N GUYEN HƯU D ư*, TRIN H KHANH DƯY and VƯ TIEN VIET

Faculty o f M athem atics, Mechanics, and Informatics Hanoi N ational University, 334 Nguyen Trai Thanh Xuan, Hanoi, Vietnam

*dunh @vnu edu vn

Received 7 February 2007 Revised 23 March 2007

T h is p ap er deals w ith th e solvability of initial-value problem and with Lyapunov expo­ nents for linear im plicit random difference equations, i.e the difference equations where

th e leading term cannot be solved An index-1 concept for linear implicit random differ­ ence equations is introduced and a formula of solutions is given Paper is also concerned

w ith a version of the m ultiplicative theorem of Oseledets type.

Keywords: R andom dynam ical systems; linear implicit equation Lyapunov exponent;

index-1 tractable.

1 In tro d u ctio n

Difference equations might define the simplest dynamical systems, but neverthe­less, they play an im portant role in the investigation of a dynamical system The difference equations arise naturally when we want to study the evolution of bio­logical population or economic models on a fixed period of time They can also be illustrated as discretization of continuous time systems in computing process

An im portant class of difference equations is the linear one which leads to prod­ucts of matrices The linear difference equations can be found when we handlelinearizations of nonlinear system

f ( X n + u X n,n ) = 0, n > 0 (1.1)along solution This leads to the difference equation

A „ x n + 1 = B „ X n + < 7 „ , n > 0 , ( 1 - 2 )

where A n = and Bn = ■§£

However, in case where the assumption for solvability of implicit functions (1.1) cannot be fulfilled (for example when g d / is degenerate), the matrix An may be degenerate for some n and it is unable to solve explicitly the leading terra X n + 1

to obtain classical difference equations (1.3) This situation also occurs when we consider the backward form of (1.2), i.e

and in general, there is no reason to assume th a t (B n ) is invertible.

The difference equation of the form (1.2) also appears in discretizing the linear differential algebraic equation (see [7])

by explicit Euler method

In th a t cases, solving the system (1.1) and (1.2) becomes more complicated In fact, we are faced with an ill-posed problem where the solution of an equation may exist only on a submanifold or even, without any further assumption, the solution

of Cauchy problem does not exist

In this paper we are concerned with the solvability of initial value problem, dynamic property of the solution and with the Lyapunov spectrum for a real noise equation

where (A „ , B n) is a stationary process.

When all matrices A n and B n are invertible, the solutions of (1.4) form a ran­

dom dynamic system which is well investigated (see Refs (1 and 5] for example)

However, w ithout the assumption of invertibility of A n and B n, most of works have

to consider as Eq (1.4) separately for n < 0 or for n > 0 and as far as we know,

there is no work dealing with the dynamics of (1.4) over z.

Therefore, the aim of this paper is to study dynamic property of (1.4) We develop techniques in (7] to difference equations First, we introduce a concept

of index-1 for Eq (1.4) By means of this concept, we give an expression of the solutions Hence, we can prove the dynamic property and consider their Lyapunov exponents

We are focused only on the case of index-1 tractable and we have to assume

th a t ranky4o is a nonrandom constant which implies that the sequence of m atri­ces (^ln)nez has constant rank with probability one So far there is no available

technique to solve this problem with rank>ln varying in n Moreover, a higher

index concept of Eq (1.3) is not defined and it requires some further works In our opinion this work can be considered as a pioneer one dealt with implicit random dynamical systems

The paper is organized as follows: In Sec 2 we (leal with the index-1 tractable

concept of the pencil of matrices { A „ ,B n } By this concept of index-1, we set

^71-^n+l (Ịni 71 — —1, —2, .

(1.4)