Xác suất không giao hoán và lịch sử xác suất = Noncommutative probability and history of probability.PDF

LỜI MỚ ĐẨUNhiều ứng dụng quan trọng của lí thuyết đại số toán tử sang các lĩnh vực khác đã được thực hiện thông qua lí thuyết các không gian /.'không giao hoán hay còn gọi là lí thuyết t

B Á O C Á O T Ó M T Ắ T K Ế T Q U A T H Ự C H IỆ N Đ Ể T À I N C K H

C Ấ P Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ó I

1 T ên đ ề tài :

Ti ếng Việt: Xác suất không giao hoán vù lịch s ứ xá c suất

Ti ếnq Anh: N o n c om mu t ơí iv e p r o b a b i l i t y a n d his tor y o f p ro b ab il it y

5 M ục tiêu và n ội d u n g n gh iên cứu:

Đ ề tài n h ằ m m ụ c tiêu xâ y d ự n g c á c k h ô n g gian k hô n g giao h o á n

loại Ư , 1<P < 0 0 Đ ây là các khái niệm liên quan đến đai số toán tử, đại số

von N e u m a n n , đại số C ’ X ây dưn g c ác k h ô n g gian L' trẽn các đại số này

c ò n được gọi là xây dựng tích phâ n k h ô n g g i a o h oá n h a \ lí thuyết đ ộ đo

k h ô n g g i a o h oá n ( trong đó có độ đ o xác suất)

D o c ác kết q u á về xây dựn g tích p hâ n k h ô n g giao hoán trong các đại sô' von N e u m a n n đã khá phong phú t rong khi đ ó kết qu a tương tư trong đai

sò ( ' c ò n ít, nén c h ú ng tói táp trung vào tìm cách xây d ưng các k hô n g gian loại này trẽn các đại sô Vì dại sỏ ( " c ỏ câu trúc topò n g h è o nàn hưn đại số von N e u m a n n nên việc xá y d u n g nàv găp nhiêu khó khăn hưn

C h ú n g tôi sẽ c h ọ n mộ t số mẫu đai s ố C" c ó c ấu trúc đãc biệt đế hạ n c h ế

bứi các k h ó khăn

Bên c a n h việc tiếp tục phát triến c ác kết q u a trong viẽc xãy dưng các

k h ô n g gian ư k hô n g giao hoán, c h ú n g tôi tìm hiếu vé lịch sứ xác suất

Đ â y là m ô t vấn đề trước đây ít đươc q u a n t â m hién nay đã đươc đưa v à o

c h ư ơ n g trình g ia ng dạy của K h o a T o á n - Cơ- Tin học Đ H K H T N -

Đ H Q G H N , n h ằ m góp phần thúc đấ y m ồ n học này phái trién

6 C á c k ết q u ả đ a t được.

Đ ã h o à n t h à n h 0 2 bài bá o k h o a học

• 0 2 b á o c á o k h o a hoc đã đươc đ ã n g t r ong các tap chí c hu vén ngành:

i) P ha n viêt T h ư The E m be d di ng of H a a g e r n u p ỉ : s p a c e s Vietnam

J o u rn a l o f M a t h e m a t i c s N o3 ( 2 0 0 6 ) 3 5 3 - 2 5 6

II) Phan viết T h ư N onc ommitiuiiv e h u e x r d i m n j o r L'HF Al ge bras

with P r o d uc t Slate V i e t n a m N at io na l Univers ity Hanoi Journal o f

Sc ie nce M a t h e m a t i c s - P h y s i c s T X X I I N o l - 2 0 0 6 10— 16

• Đ ã h ư ớ n g d ẫ n 01 hoc viên cao hoc viết luán van theo hướng này

Đ ê tài c ua luận văn: ư n g d ụn g ciia hùm Younạ ì m n ạ li thuyết

M a r i i n x a le.Hhnó\ 2006.

T ê n họ c viên c a o học: Tr án V ãn Khi ên, học viên c ao hoc tai Khoa

l & ư v ' t ò '

TRL Ò N t; ĐA I HOC K H O A H Ọ C TỊ" N H IÊ N

PHÓ HIỆU TRƯỚNG

4

The Project focus es to do the co nstr ucti ons o f n o n c o m m u t a t i v e L' spaces on von

N e u m a n n a lg eb r as , c" a lg eb r as and the relative p robl e ms V o n N e u m a n n algebras a n d

( ' a l g e b r a s are o p e r a t o r a l g e br as wich are n o n c o m m u t a t i v e s , the t heory o f /.' spaces on these a lg ebr as are c all ed n o n c o m m u t a t i v e integration or n o n c o m m u t a t i v e me as u re s theory, in which there are n o n c o m m u t a t i v e probability m e as u re s

The results a bo ut the const ru ct i on of n o n c o m m u t a t i v e L spaces on von N e u m a n n

algebras arc a b o u n d a n l , w he n there are only few c o n st r u ct i o n o f n o n c o m m u t a t i v e

/ spaces on C' a lg eb r as b e ca u se the topologicạl s tructures o f C' algebras are, in

general, poors B\ these r easons, the project c h oo se s ( " a l gebr as , especially we shall

select the specific ( " a l g e br a s which has a special structure to c onstr uct L' spaces.

Beside the r e s e a rc h on n o n c o m m u t a t i v e m e a s u r e the ory , the project has a lso a target: r es earch on history o f probability Thi s d o m a i n was not interested bv Vietnamese

ma t h e ma t i c i a n s by long times, but n o wa d ay s the history o f m a t h e m a t i c s b e co m e s a

t eaching disci pline at ihe Faculty o f M a t h e m a t i c s - M e c h a n i c s - I n f o r m a t i c s Hanoi

L m v e s i t y o f Science Thi s fact Nuggets us to do the r es ea rc h on history o f M at h e m a t i c s

10 give mor e i nf o r m a t i o n s a bout this subject

T he resu lts o f th e p ro ject a re th e fo llo w in g s:

1) P u b l i c a t i o n s ; T w o p u bl is h ed papers

[J P ha n viél T h ư Ỉ he Emb e dd ing aj iỉưưiịeroup L s paces V i e t na m

Jo urna l o f M a t h e m a t i c s No3 ( 2 00 6) 3 5 3 —356 li) Pha n Viet T h ư N o n c on mm t at ix e Integrati on f o r UHh A l g eb ra s with

P r o d u c t Stale V ie t na m National Unive rs ity H anoi Journal of Science

M a t h e m a t i c s - P h y s i c s T X XII No 1-2006 10— 16

3) R esu lts in T r a in in g :

• A M a s t e r d e g r e e g r a d ua t io n ihesis :

N a m e OỈ g r a d u a t e s tudent: Tran Van Khien

Th e si s title: A p p l ic a ti on o f Y ou nt functions in m a r ti ng al e theory Hanoi 2 0 0 6

S u p e r v i s o r : P h a n Viet Th u Ph.D

f F in a n ce.

T h e Project is g r a n t e d with a total 2 0 0 0 0 0 0 0 V N D Th is sum IS spending as follows:

• Support for Scientific research:

• Support for s e m i n a r s a nd scientific activities:

4 Bài báo: P h a n Viêt Th u, N o n - c o m m u t a t i v e I nt e g r a t i on for U H F 15

A l g e b r a s with Pr od uct state V N U h anoi J o u r n a l o f Science

7 T ó m tất c á c c ô n g trình nghiên cứu k h o a họ c c ù a cá n hâ n 31

9 T ó m tắt các c ô n g trinh nghiên cứu k h oa họ c c ú a cá n h ấ n 32

10 P hi ế u đ ã n g kí kết q u á n ghiê n cứu K H - C N 33

LỜI MỚ ĐẨU

Nhiều ứng dụng quan trọng của lí thuyết đại số toán tử sang các lĩnh vực khác đã được thực hiện thông qua lí thuyết các không gian /.'không giao hoán hay còn gọi là lí thuyết tích phân không giao hoán, xây dựng trên đại số von Neumann hay đại số . Lí thuyết các không gian A' khong giao hoán cũng là một công cụ mạnh để nghiên cửu bản thân lí thuyết đại số toán tử

Lí thuyết các không gian L ngay không giao hoán được xây dựng đầu tiên vào năm 1953 bởi Sega! [12] và Dixmier [2] một cách độc lập nhau cho đại

số von Neumann nửa hữu hạn, đối với một vết (trace) chuẩn, faithful, nửa hữu hạn Tiếp sau hai ông, nhiều tác giả đã nghiên cứu lí thuyết này và đưa ra thêm nhiều cách tiếp cận mới, điển hình là các công trinh của Stinespring (1959) [13], Nelson (1974) [9], Yeadon (1975) [15]

Sau hàng loạt các công trình trên, năm 1979, sự xuất hiện của bài báo:

I -spac es u s o c u i l e d W i l l i un urbiirur) V O I Ì N euma nn a l g e b r a ( ủa H a s g e r u p t r ê n Colloques Internationaux CNRS 274 [5] đã đánh dẩu một bước phát triển mới

về chất, nâng lí thuyết lên một tầm cao mới Công trình của Haagerup đã xây dựng các không gian /y-không giao hoán cho trường hợp vết được thay bằng weight, như vậy đại sổ von Neumann không nhất thiết là nửa hữu hạn Với bước đột phá của Haagerup ngày nay lí thuyết tích phân không giao hoán đã

tổng quát hơn được xây dựng đối với một trạng thái (State) hay một w eight

trên một đại số von Neumann tổng quát hơn, có cấu trúc phức tap hơn đại số von Neumann nửa hữu hạn VỚI vết (trace) Sau công trình trên của Haagerup nhiều kết quả mới về xây dưng các không gian / -không giao hoán trên các đại

số von Nẹumann tổng quát đã đươc công bố Năm 1984 Kosaki [8] giới thiệu

không gian I : interpolation đối VỜI một trang thái (state) (P chuẩn, faithful trẽn

đai số von Neumann \1 dưa trên kỹ thuật interpolation Các không gian

ư [Sí t p) của ông phụ thuộc mốt tham số n t ) < r j < \ tương ứng với cách nhúng

M vào tiền đối ngâu Si của nó- Năm 1982 Terp [14] một h ọ c trò của

Haagerup, đã cho ra đời một cách xây dựng tích phân không giao hoán khác đối với một weight chuẩn, nứa hữu hạn, faithful trên 1/ không có tham số Connes(1980)[1] đã đưa ra định nghĩa “ spatial F -sp a ce s” dựa trèn khái niệm đạo hàm spatial, các không gian loại này còn được tiếp tục nghiên cứu bời Hilsum (1981 )[6].

Như đã thấy ở trên, lí thuyết các không gian này trong trường hợp .4 là đại số von Neumann đã phát triển khá mạnh, trong phạm vi rộng, đạt được kết quả quan trọng Trái lại trong trường hợp khi A là đại số C' , có thể nói rằng các nghiên cứu theo hướng này còn ít Một trong những nguyên nhân tạo nèn khó khăn cho việc xây dựng các không gian này trên đại số C' là chúng không có các tính chất tôpô tốt như đại von Neumann, cũng như số lượng các phép chiếu của chúng cũng khống phong phú như trên đại số von Neumann

Để hạn chế những khó khăn khi xây dựng các không gian /."trên đại số ( chúng tôi chon một số lớp đại số c" có c ấ u trúc đặc biệt để nghiên cứu, như sẽ chr ra ở phần sau.

8

NOI DUNG CHỈNH

Phương pháp của chúng tối xây dựng không gian L cho đai số (•■ kí hiệu

là -íđ ố i v ớ i t r ạ n g t h á i ( S t a te ) <p t r ê n 4 t ạ m g ọ i là c ặ p { 4 0 ) b a o g ồ m c á c b ư ớ c

chính:

1 Đưa vào chuẩn ị II trên A thỏa mãn :

|ứỊ| < ị|a|| < ||a|Ị < ị|a|j , với a e A: p.q e[\.y}.q < p và u

2 Định nghĩa ư { A ( p ) là bổ sung cuả A theo chuẩn trên A , p e \ \ - r _ ]

3 Chứng minh rằng có thẻ coi ư ( A ẹ ) như không gian của các toán tử nhờ chỉ ra rằng ư{A (p) đẳng cẩu với một không gian Haagerup ư ( \ f ) \ i ớ \ một đại số von Neumann nào đó M

Đẻ thực hiện đuợc các bước trên, chúng tôi đã sử dụng biểu diễn GNS kí hiêu là ,7, của ^ứng với trang thái ự), khi đó có đại số von Neumann 1/= trong đó y jà giá của của í,Ạ.trong commutant thứ hai của ảnh

của ,1: w_v là trạng thái vectơ trong BUI , ) - không gian tới của biểu diễn

GNS Sau đó định nghĩa chuẩn p của một phần tử u e A như lả chuẩn p của ảnh của (c/) bởi một phép nhúng vào không gian Haagerup u (M) Không gian

cấu với không gian Haagerup L (A/) Các không gian L định nghĩa như thế có mọi tính chất cơ bản cần thiết đáng mong muổn: Khỗng gian đối ngẫu của I là

/ VỚI 1 + 1 = I , có các bất đẳng thức Holder va Clarkson (VỚI p > 2 ) Ngoài ra

trên / 1 có thể định nghĩa vết (trace) mà theo đó đinh nghĩa tích vô hướng trên

9

Theo hướng xây dựng các không gian L' cho các đại s ố t ' loại đặc biệt như UHF CAR, chúng tôi xuất phát từ cấu trúc đặc biệt của các đại số thuộc lớp này được định nghĩa như sau;

Một đại s ố c ' có đơn vị A được gọi là u n ifo r m ly m a tr ic ia l loại

\ni \ \ j 6 e Ỉ N ’ nếu tồn tại một dãy Ị/iyỊ các đại số C' con của A và một dãy Ị/7 Ịcủa các số tự nhiên sao cho với mỗi / e /À ", A là đẳng cấu * với đại số

/IIn ( C ) c ủ a c á c m a t r ậ n p h ứ c c ấ p /7 XA7

1 E A t c A : c A, c

và (J Aỉ là trù mật theo chuẩn trong A D ã y ị.4 Ị được gọi là generating nest

/ = |

loại {n } cho A , hay còn gọi là dãy xấp xỉ của A .

Đại số (" uniformly matricial loại j/7 ị A tồn tại khi và chỉ khi dãy |;j I là tăng

ngặt và n chia hết /7.,, v / e / A ' Hơn nữa với ,các điều kiện trên A là duynhất.(sai khác một đẳng cấu * ) và là đại số đơn giản ( simple algebra)

Đại số uniformly matricial loại |2'} gọi là đại số CAR (hay fermon algebra) thường gặp trong cơ học thống kê Đại số unifomly matricial và các biểu diễn của chúng còn gọi là đại số UHF ( uniforrmly hyperfinite algebrra)

Đối với đại số A , loại UHF được xấp xỉ bới dãy tăng các đại số c 'con {An\

với một trạng thái tích ẹ trờn A, chúng tôi đã đưa ra phương pháp xây dựng các không gian ư như sau:

Kí hiệu (p„ =</> , ẹ„ là trạng thái normal faitful semi finite trên A, bởi vậy có thẻ xây dựng các không gian Lr (A, <p„)theo phương pháp của Segal-Dixmir sau đó chứng minh rang không gian này đẳng cự * với không gian r u , (, 4,) ) =

Lr ( M )của Haagerup, tương ứng với dãy các đại số c o n : í ' và chứng minh

rằng không gian /."Cần tìm là giới hạn quy nạp của dãy các khống gian / ị.\! Ị

Chúng tôi tiếp tuc hoàn thiện hoặc đưa ra các chứng minh đây đủ cho quá trình xây dựng này.

I 0

Chúng tôi cũng dành một phần rièng để tìm hiêu về lịch sử xác suất thông qua các tài liêu của nước ngoài.

Chúng tôi cũng đã chỉ ra nhiều tính chất quan trọng của không gian này Đối với các không gian C' đặc biệt, chúng tôi cũng đã đưa ra phương pháp xây dựng đặc biệt: dùng giới hạn quy nạp Giới hạn này cũng là một định

lí quan trọng mà chủng tôi xây dựng theo phương pháp của Kadison-Ringrose, tạo nên một công cụ riêng để xây cỊựng loại không gian này

Các kết quả nghiên cứu khoa học của chúng tõi đã đươc công bố trong một

số tạp chí khoa học chuyên ngành sau:

P u b lica tio n s: T w o p u b li s he d papers.

iii) P h a n viết T h ư The Emb eddi ng o f t ỉư a ạc ro ỉi p I s p a c e s Vietnam

J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s No3, ( 2 00 6) 3 5 3 - 3 5 6iv) P h a n viết T h ư N o nc o mm ui a ti ve i nt eg rat ion f o r UHh Al ge bra s with

P r o d u c t State V ie t na m National Unive rs ity Hanoi Journal of Science

M a t h e m a t i c s - P h y s i c s T X X I I , - N o l -2 006 10— 16

R esu lts in T r a in in g :

• A M a s t e r d e g r e e g r a d ua t io n thesis :

N a m e OÍ g r a d u a t e student : Tr an Van Khien

Th es is title: A p p l ic a ii on o f Younx funciion.s 111 mar tingale iheorx Hanoi 2 0 0 6

S u pe r vi s or : Pha n Viet Thu Ph.D

3 Golds tei n S; Pha n, V i e t T h u, Ư spaces for U H F a lgebr as Proceedings o f the

I n t e n n a t i o n a l Q u a n t u m Structures As soc i at ion 1996 (Berlin) International

Journal o f T h eo r et i c a l Phxics 37 ( 1 9 9 8 ) no 1 5 9 3 - 5 9 8

4 G ol ds tei n, S; Ph an, Viet T hu , u spaces for c a lg eb r as with a state Q u a n t u m

s tructures ’98 International Jour na l o f T h eo r et ic a l Phyi cs 39 (2000), n o 3.

7 Kadison R V a n d Rintirose J R F undam en tal s of the ih e oi y o f o p e ra t or

algebras, v o i I (1983) Vol ỉ ỉ (1986), A c a d e m i c Press N e w Y o r k - L o n d o n

8 Kosa ki H A p p l i c a t i o n o f the c o m p l e x interpolation m e t h o d to a von N e u m a n n

algebra: N o n c o m m u t a i v e A"spaces , F u n d Anal 5 6 ( 1 9 8 4 ) 29-78.

13 S t i n e s p r i n g , W F , Integration the o re ms for g a u g e s and duality for u n imo d ul a r

groups, Tr ans Amer Ma th Soc.90( 1959), 1 5-56.

14 T er p , M ( 1 9 8 2 ) I nterpolation spaces b e t w ee n a von N e u m a n n algebra and its

predual J ou r na l o f O p e r a t o r Theory 8 327-360

15 Y e ad o n F.J., N o n c o m m u t a t i v e L Spaces, M a th P r o c C a m b Phiìl.Soc 7 7

13

PHỤ LỤC

14

NON COMMUTATIVE INTEGRATION FOR UHF ALGEBRAS WITH PRODUCT STATE

P h a n V ie t T h u

D e p a r t m e n t o f Mathematics-MechfWics a n d Informatics

CoUecge o f Scicnce, VN U

A b s t r a c t In t h i s p a p e r w c s hal l g i v e a p r o o f for a l e m m a ( L e m m a 3) a n d a t h e o r e m

(T h eorem 3) s ta te d in th e paper [2] o f G old stein , s and V iet T hu, Phan published

in In tern a tio n al Jou rn al o f T heorem tical P h y sic s vol 37 No- 1 1998 about the

co n stru ctio n o f Lp sp a ces for UH F algebras W e sh all also give a proof for a technical theorem (T h eo rem 1), as a tool for the con stru ction

1 U n ifo r m ly m a t r ic ia l, U H F a lg e b r a s

A uni ta l c * - a l g e b r a A is called uniformly matiicinl of type { n j } , ] = 1,2, € N

when there exists a scqucnce, {j4j}j€ N of C ’ -s ubalgcbras of A and a sequence {rij} of

{ r i j } fur A W o s h a l l a l s o Crill it a n a p p r o x i m a t i n g scẨỊucna: foi A A u n i f o r m l y r n a t r i c i a l

A ()[ typo {/<_,} exists iff the sequence { Uj } is s trictly increasing *111(1 71 j divides

nJ r l : Vy £ N Moreover with these conditions A is unique (up to * isomorphism) and is a

sunplr iil^c'bra T h e uniformly matricial algebras a nd their roprfspiitafions arc also called

I'HF alyr.hras (from t he terminology "uniformly hyporfmitc a l ge br as " ; Which can be

tout If i ill ii vast lit ('ra h ir e

N o n C o m m u ta tiv e In teg ra tio n f o r UHF A lgebras w ith P rodu ct S ta te 11

state p, the com ponent sta te Pi are uniquely determained, since p, = p \A ịi) The product

s t at e is pure if arid only if each p, is pure a nd is tracial if a nd only if each p, is tracial

3 T h e ind uctive lim it o f a directed sy stem o f B anach spaces

T h e o r e m 1 Let ^ B / : / € F } be a fam ily o f Banach spaces, in which th e index s e t F is

(Jircctcd b y S u p p o se th a t i f / , g € F and / < g, there is an isom etric linear m apping

$ g f from B f on to B g a n d $ hg $ g f = $ h f whenever f , g , h e ¥ and ị ^ g ^ h; then

(i) $ / / is th e id e n tity m apping on B f.

(ii) There is a Banach space B and for each / € F, an isom etric linear m apping Uf from B f into B , in stich w ay th a t U f = Ug$gf whenever f , g € F, / ^ g and u { Uf ( B f ) :

f € F} is everyw here dense in B

(iii) Suppose th a t A is a Danach space, Vf is an isom etric linear m apping from B f into A, for each JF e F ;V / — Vg$gf whenever f , g 6 F ; / ^ g and u { Vf ( B f ) : / € F} is everywhere defi^iJj^f£$fFben there ex ists an isometric linear m apping w from B in to A such that V ị = ấW Ụ j ịoT each f € F

Proof, (i) D en o te by 1 t h e identity ma pping on D f Since $ f f is an isometric linear

$ / / ( $ / / - 1) = $ / / $ / / - $ / / = 0

It follows t h a t $ / / = 1

(ii) t h e B ana ch space consisting of all families {rth : h € F} in which

(Lh € Bh a n d s u p {[Ịa^ll : h 6 F} < oo (with pointwise-linear s t ru c tu re and the s up rc mum

norm) Let X q t»£ t h e closed subspace of X consisting of those families {a/i : h € F} for which the net {||tt/i|| '■ h 6 F} converges to 0 and let Q : X —■» X / X q be t h e quotient

mapping Now for.#;g iye n / € F, we define an isometric linear mapping Uf from B f into

X as follows: w h e n a 6 B f , U f a is the family {a/, : h e F} In which

r whenever /ỉ ^ / ; / ; , / € F

Đ A I H O C Q u o c - -'À NÔ' '|?|JNG Tầm t h ò n g Tin V r" r

Note that

(fv) T h e linear m a p p i n g QU'f : B f -> x/x0 is an isometrý

(J) QUf ■= Q U f i g f when / iC y: f,(j e F ~

For those, s u p p os e tha t (1 € Bf To prove ((>)- let {bi, : / ( € ? } bo an element b of

A’(| Given any positive real numbe r £, it results from the definition of Xo t h a t t h e r e exists all <‘l(Miu'iit fo of F su ch t h a t ||6fe|| < £ whonnver ft e F a n d h ^ Jo- Since F is directed, wt! can clioose.í/ £ F s o that g ^ / a n d g ^ Jq Since U'ja is t he family {a/j} defined by

(1) we have