Bài toán ổn định của phương trình động lực trên thang thời gian

Muc tiêu và nối dung nghiên cứu: Việc nghiên cứu các hệ động lực tổng quát là một trong những vấn đề có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết toán học.. Mặt khác nhiều mô hình phát triển tr

a T ên đề t à i : B à i toán Ổn đ ịn h củ a hệ đ ộ n g lực trên th a n g th ỏ i g ia n

d Muc tiêu và nối dung nghiên cứu:

Việc nghiên cứu các hệ động lực tổng quát là một trong những vấn đề có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết toán học Mặt khác nhiều mô hình phát triển trong thiên nhiên và cuộc sống hàng ngày đều tuân theo các quy luật cơ bản của hệ động lực toán học vì vậy các kết quả nghiên cứu của nó có nhiều ứng dụng rộng rãi trong thực tế Những công trình nghiên cứu về Lý thuyết hệ động lực tổng quát bắt đầu xuất hiện từ nửa đầu thế kỷ XVII nhưng hiện nay nó vẫn là những phương

h ư ớ n g n g h iê n cứ u c ủ a lý th u y ế t to á n h ọ c đ ư ợ c n h iề u n h à k h o a h ọ c q u a n tâ m v à tiếp tục phát triển theo nhiều phương hướng khác nhau Gần đây một xu hướng mới của lý thuyết Giải tích ra đời và đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu

đó là “Giải tích trên thang thời gian

Đề tài Q T -0 7 -0 1 tiếp tục theo phương hướng nghiên cứu truyền thống của

Bộ m ô n G iả i tíc h to á n h ọ c th u ộ c k h o a T o á n - C ơ - T in h ọ c , T rư ờ n g Đ ạ i h ọ c k h o a học Tự nhiên từ nhiều năm nay là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm và của

c á c hệ đ ô n g lực v à p h ư ơ n g trìn h vi p h â n v à c ủ a c h ệ đ ô n g lực tổ n g q u á t B ài to á n

cụ thể của đề tài là xác lập các điều đủ cho tính ổn định của hệ động lực trên

th a n g th ờ i g ia n .P h ư ơ n g p h á p c h ín h sử d ụ n g ở đ â y là p h ư ơ n g p h á p x ấ p x ỉ th ứ n h ấ t

Lý thuyết Giải tích trên thang thời gian mới hình thành và phát triển từ sau

n ã m 1998 , với m ụ c đ íc h x â y d ự n g m ộ t c á c h trìn h b ày c h u n g c h o c á c h à m liê n tụ c (th e o n g h ĩa c ổ đ iể n ) và c á c h à m rời rạ c VI v ậy nó c ó ý n g h ĩa ứ ng d ụ n g tro n g lý

th u y ế t tín h iệ u s ố , c á c m ô h ìn h s in h th á i v à m ố t s ố bài to á n cụ th ể c ủ a p h ư ơ n g trìn h vi p h â n h à m N ộ i d u n g c h ín h c ủ a b ả n b á o c á o tro n g đ ề tài g ồ m b a c h ư ơ n g : Chương I :Trình bày lại những kiến thức cơ bản về Lý thuyết Giải tích trên thang thời gian (GTTTTG)

C h ư ơ n g II : T rìn h b à y tổ n g q u a n về L ý th u y ế t ổ n đ ịn h c ủ a p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lực trê n th a n g th ờ i g ia n

C h ư ơ n g III : T rìn h bày m ộ t s ố k iế n th ứ c c ơ b ả n c ủ a n g h iệ m c ủ a h ệ c á c p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lực trê n th a n g thờ i g ia n v à đ iề u k iệ n đ ú c h o sự ổn đ ịn h m ũ c ủ a n ó

T ro n g đ ề tài đ ã x â y d ự n g n h iều ví d ụ m in h h o ạ lý th u y ế t và ứng d ụ n g th ự c tiễ n

Viết được 1 bài báo(gưỉ đăng) và hoàn thành 1 (đã gửi đãng ký) báo cáo hội nghị khoa học Toán học toàn quốc năm 2008

Hoàn thành 2 luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), một Cử nhân nghành Toán

M Ở ĐẦU

C H Ư Ơ N G 1: C á c k iế n th ứ c c ơ s ở 1

I C á c k h á i n iệ m c ủ a g iải tíc h trê n th a n g th ờ i g ia n v à b ấ t đ ẳ n g th ứ c G ronvvall- B e lm a n 1

II C á c v í d ụ v à ứ n g d ụ n g 3

CHƯƠNG 2: Sự ổn định của phương trình động lực trên thang th ờ i g ia n 6

I.M Ộ t số k h á i n iệ m c ơ b ả n 6

II.S ự ổ n đ ịn h c ủ a p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lự c v ô h ư ớ n g 7

C H Ư Ơ N G 3: v ề m ộ t đ iề u k iệ n đ ủ c ủ a sự ổ n đ ịn h m ũ đ ề u c ủ a h ệ p h ư ơ n g trìn h động lực trên thang thời g ia n 10

1 Đ ặ t b ài t o á n 10

2.C á c k h á i n iệ m c ơ s ở 10

3 B ài to á n ổ n đ ịn h m ũ c ủ a hệ đ ộ n g lự c tu y ế n t í n h 16

K êt lu ậ n 2 1

T ài liệ u th a m k h ả o 2 2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về giải tích trên thang thời gian được khời xướng bởi Steían

H ilg e r từ n ă m 1988 Sau đ ó đ ư ợ c n h iề u n g ư ờ i q u a n tâ m n g h iê n c ứ u v à áp

d ụ n g v à o m ộ t số m ô h ìn h th ự c tế ứ n g d ụ n g T ro n g s ố n h ữ n g c ô n g bô' g ần đây về các kết quả của lý thuyêt Giải tích trên thang thời gian chúng ta

có thể kể đến Aganval R., Aubach B Kaymakcalan B., Bohner M , Kaymakcalan B , Peterson A , Oregan D (xem [1] [2] [3 [4]) Ở trong lĩnh vực này người ta thường cố găng tìm một phương pháp biểu diễn chung cho các kết quả nghiên cứu toán học đối với các lớp hàm liên tục

c ũ n g n h ư rời rạ c T ro n g đ ó n h ữ n g v ấn đ ề liê n q u a n đ ế n lý th u y ế t đ ịn h tính c ủ a Phương trình vi phân và Phương trình sai phân là một tromg c á c bài to á n đ ư ợ c q u a n tâm n h iề u hơ n c ả

C á c k h á i n iệ m p h é p tín h v i p h â n , tíc h p h â n tro n g g iả i tíc h c ổ đ iể n đ ã

đ ư ợ c x â y d ự n g lại v à n g h iê n c ứ u m ộ t c á c h c ó h ệ th ố n g (x e m [1] [2] [3[4 ]) T rê n c ơ s ở đ ó n h ữ n g n g h iê n c ứ u c ơ b ả n c ủ a lý th u y ế t đ ịn h tín h c ủ a

T ro n g đ ề tài Q T - 0 7 - 01 ở c h u o n g 1 c h ú n g tôi sẽ trìn h b à y m ộ t c á c h sơ

lư ợ c n h ữ n g k h á i n iệm cơ sở c ủ a g iả i tíc h trê n th a n g th ờ i g ia n v à đ ư a ra

m ộ t số v í dụ m in h h ọ a đ iể n h ìn h T iế p đ ó tro n g c h ư ơ n g th ứ 2 c h ú n g tôi

sẽ d à n h c h o v iệ c trìn h b ày m ộ t số k ế t q u ả v ề v iệ c n g h iê n c ứ u tín h ổ n đ ịn h

c ủ a p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lự c tu y ế n tín h c ó n h iễ u trê n th a n g th ờ i g ia n

T ro n g c h ư ơ n g n à y c h ú n g tô i đ ã đ ư a ra m ộ t đ iề u k iệ n đ ủ d ù n g k iể m tra tín h ổ n đ ịn h c ủ a p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lự c tu y ế n tín h v ớ i h ệ số b iế n th iê n trê n th a n g th ờ i g ia n d ạ n g tu y ế n tin h T ro n g c h ư ơ n g c u ố i k ế t q u ả n à y đ ư ợ c

m ở rộ n g c h o h ệ p h ư ơ n g trìn h đ ộ n g lự c d ư ớ i d ạ n g tổ n g q u á t đ ể c ó th ể đi

đ ế n c á c ứ n g d ụ n g tro n g c á c m ô h ìn h th ự c tế

T ro n g m ộ t th ờ i g ia n h ữ u h ạ n đ ể c ó th ể h o à n th iệ n trọ n v ẹ n n h ữ n g b ài

to á n p h ứ c tạ p tro n g m ộ t lĩn h v ự c m ớ i là m ộ t v iệ c tư ơ n g đ ố i k h ó N h ữ n g

k ê t q u ả đ ạ t đ ư ợ c tro n g đề tài n à y là n h ữ n g p h ầ n tiế p n ối liê n tụ c c ủ a m ộ t

h ệ th ô n g n g h iê n c ứ u c ủ a n h ó m c á c c á n b ộ g iả n g d ạ y v à s in h v iê n th u ộ c

n g h à n h p h ư ơ n g trìn h vi p h â n ờ trư ờ n g Đ ại H ọ c K h o a H ọ c T ự N h iê n , Đ ại

H ọ c Q u ô c G ia H à N ộ i k ế t h ợ p với m ộ t s ố c á n b ộ g iả n g d ạ y ở c á c trư ờ n g

Đ ạ i h ọ c k h á c th u ộ c T h ủ đ ô H à n ộ i

P h â n đ ó n g g ó p c ủ a đ ề tài là p h á t triể n n h ữ n g k ế t q u ả c ổ đ iể n s a n g m ộ t

lo ạ i h ìn h m ớ i c ủ a G iả i tíc h c á c n g h iê n c ứ u ờ đ â y v ừ a có ý n g h ĩa n h ấ t

đ ịn h về m ặ t k h o a h ọ c đ ồ n g th ờ i n ó c ũ n g g ó p p h ầ n q u a n trọ n g c h o lĩn h

v ự c đ à o tạ o tro n g các trư ờ n g Đ ại h ọc

I CÁC KHÁI NIỆM C ơ BẢN CỦA GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ BẤT ĐẢNG THỨC GRONWALL-BELLMAN

Trước tiên chúng tôi xin được nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản dưới đây được trích dẫn từ cống trình của Hilger [1] và trong tài liệu của Bohner và Peterson [2] Giả sử T là một tập đóng của R khi đó ta có một thang thời gian Cho t e T, ta định nghĩa toán tử nhảy tiến (íorvvard jumper operator) ơ : T -> T được xác định như sau:

Hàm hạt (graininess íưnction) trên thang thời gian T được xác định bởi ụ,(t) := ơ(t) - t

Tập T k là T - {m} nếu T có tán xạ trái lớn nhất m và T k = T nếu sup T = oo.

(i) Nếu g khả vi tại t thì g liên tục tại t.

(ii) Nếu g liên tục tại t và t là tán xạ phải thì g khả vi tại t và

(iv) Nếu g khả vi tại t thì g{ơ(t)) = g(t) +

Định nghĩa l.l( b ) (Đạo hàm A cấp cao)

Cho hàm / : T -> /?, ta nói rằng đạo hàm cấp hai / AA tồn tại nêu đạo hàm cấp một / A khả vi trên T kỉ = ( T k)k và / AA = ( / A)A : T k2 - í R. Tưcmg tư ta đinh nghía đạo ham cấp cao / A" : T kn ->• = ( / A"”') A Ta qui ước / A° = / và T k° = T.

Định nỊỉhĩa 1.2 (Định nghĩa tích phân A)

Nếu G A (t) = g(t) thì tích phân delta Cauchy của g được xác định bời

Ta có thể chỉ ra được rằng nếu g G Crd{T) thì tích phân Cauchy Gị t ) := / fỄ g ( s ) A s tồn tại, t 0 G T và thoả mãn G A(t) = g ( t ) , t £ T. Định nghĩa chi tiết của tích phân delta có thể xem trong [1] và [2].

Lớp các hàm thoái lui và liên tục trù mật phải được biểu thị bởi 7z — 7Z(T) = 7Z(T,TZ)

lớp các hàm thoái lui dương.

thì (71, 0 ) là một nhóm Abel Phần tử đối của p(t) là

Trong trường hợp h = 0 , ta ký hiệu Co = c và ta có z0 = Co = c là tập các sô' phức

Để dẫn đến khái niệm hàm mũ tương tự như trong giải tích cổ điển chúng ta xét một số các hàm sau đây

trong đó Log là hàm logarit thông thường.

trong đó phép biến đổi £h(z) được xác định trong định nchĩa 1.7.

sử ta thay đổi điện dung tuần hoàn theo một đơn vị thời gian ô > 0 Khi đó với thang thời gian

Gọi Q(t ) là tổng điện dung và/(í) là cường độ hiện thời của mạch tại thời điểm t Khi đó

7 A f í ) Í ° 1 t e u keN{ k - S }

trong đó b là hằng số thoả mãn — 1 < bỗ < 0

Ví dụ 1.4 Cho q > 1 và

Xét thang thời gian T = qz Ta có

ơ( t ) = inf{ợu : n G [ra + 1, oo)} = qm+1 = qqm — qt

Đ ạo hàm cấp hai của f tại t Ỷ 0 được tính như sau

VÔ HƯỚNG TRÊN THANG THỜI GIAN

I M ột sô niệm cơ bản

Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng một số khái niệm và kết quả cơ bản sau đây:

trong đó phép biến đổi £h(2) được xác định trong định nghĩa 1.7

khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy

khi đó nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy

Dựa vào các bổ đề trên ta nhận được đánh giá sau :

t e [fo , oo)T ta có:

x A(t) = - p ( t ) x ( ơ ( t ) ) + /( í) , x ( t 0) = Xo

trong đó t 0 € T và Xo G R, được cho bởi

x(t) = eep(í, to)xo + ee p (t, ơ -(r))/(r) Ar.

a.Nghiệm tầm thường của (1) là ổn định trên [Í0)Oo)r nếu với ti e Ịío,oo)t’ và bất kỳ

€ > 0, tồn tại ổi = ỏ( t 1,e) > 0 sao cho nếu ịxil < ổ thì |x(i, < e với mọi

t e [ t i , oo) T.

b.Nghiộm tầm thường của (1) là ổn định tiệm cận trên [í0,oo)x nếu nó ổn định trên [Í0)°°)r và với bất kỳ t\ e [ío,oo)x tồn tại ổ! = ổi(íi) > 0 sao cho nếu \xi\ < ổi thì

lim x ( t , t i , X i ) = 0.

c.N ghiệm tầm thường của (1) là ổn định mũ trên ịt0, oo) T nếu với bất kỳ íi G [t0, o o ) T ,

tồn tại K = K ( t \ ) > 0, ỗ > 0 sao cho |x (í,íi, Xi)| ^ K e ~ 5(t~tl')\xi\ với mọi t € [íi,oo)r- Nếu K không phụ thuộc vào t\ thì ta nói rằng nghiệm tầm thường của (1) là ổn định mũ đều trên [ío, oo)t-

Ta quan tâm đến phương trình động lực tuyến tính cấp một

Trong đó ta luôn giả sử rằng nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng với (2) là tồn tại và duy nhất trên khoảng [ío>°°)r •

( t , x ) 6 [ í o , o o ) : r x N thoả mãn các điều kiện :

với mọi t e [ío , o o ) r

-Khi đó nếu p 6 71 và q : = l i m s u p ( ^ o o / ? p ( 0 < 0 thì nghiệm tầm thường của (2) là ổn định mũ trên [ í0, o o ) r - Hơn nữa nếu q : = s u p Pp(t) < 0 thì nghiệm tầm thường của (2)

là ổn định mũ đều trên [ío , 0 0)7-

Chứng minh Theo công thức biến thiên hằng số (Định l ý 1.5) ta c ó

Do qi < 0, chọn € > 0 đủ bé sao cho <7! 4- M e < 0.

Vậy nghiệm tầm thường c ù a (2) là ổn định mũ trên [£0,0 0)7-

Giả sử q := sup{/3p(í) : t £ Ịío ,o o )j’} < 0 Khi đó suy ra Pp ị t ) ^ q < 0 với m ọi

t e [t0, o o ) T Với ti e [£0,00)7-, theo định lý 2.1 ta có

eP( M i ) < e9‘(í Ếl)

|.r(f)| ^ A'eộ(í_íl)e ;Ut(í_íl)| i 1| = I < e ^ +Me){t- t l )\ x x\

Từ (2.5) ta có

Hệ q u ả Giả sử p E 7Z Nếu limsupt^yaoPpit) - q < 0 thì nghiệm tầm thường của (3)

là ổn định mũ trên [to,

chúng ta kí hiệu ộ( t ) — ộ A (t, t 0) là ma trận nghiêm cơ bản của (5), khi đó ỘA (t, t 0) x0 là

n g h iệ m c ủ a b à i t o á n ( 5 ) v ớ i đ iề u k iệ n b a n đ ầ u x ( t 0) = X o

2 Các khái niệm cơ sở

M ột số khái niệm và kết quả sau đây , được trích dẫn từ tài liệu [2] và [6] sẽ được sửdụng trong việc nghiên cứu tính ổn định mũ của hệ phương trình động lực trên thang thờigian (1)

-Vậy nghiệm tầm thường x ( t ) = 0 của hệ ( ) là ổn định m ũ đều.

Trường hợp p = A, A là sô' phức, ta có định lý sau (xem [5]).

Tập giá trị các A thoả m ãn các điểu kiện của Đ ịnh lý 3.1 ta sẽ gọi là tập ổn định của (7)

trên thang thời gian T V í dụ nếu A e R thì tập ổn định của (7) trên T = R là R ~

,nếu T = z là ( —1,1)

3 Bài toán ổn định mũ của hệ động lực tuyên tính

A Hệ phương trình động lực tuyến tính không thuần nhất:

Giả sử A e ơ( A) và Ví 6 [0, oo)r tồn tại một số 7 > 0 sao cho

Đặt a* = ext ta nhận được đánh giá:

||x (í)ll « ATa‘| M + K f V " w S ( s ) ||i ( s ) ||A s

trong đó

a _ t ||x ( í) || ^ / f | | x o| | H í ,0)|

Hay

||x ( í) || ^ K\ \ xo\ \ \ w( t , 0)|c>ít Chú ý rằng w( t , 0) = / ố lim s u p s ^ t ) inl1+agWal A s , vậy theo giả thiết của định lí, ta suy

B Tính ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính thuần nhất :

Trong hệ phương trình (1), với e = 0 và A ( t ) = A € M n ( R) thì ta sẽ có hệ phương trình

Trong công trình của các tác giả C hristian Potzsche, Steían Siegm und và Fabian W irth

(xem [6]) đã chỉ ra rằng ỘA(t , t o) có thể xác định bằng phương pháp m a trận dạng Joocdang Trong trường hợp riêng ta dễ dàng tìm được m a trận m ũ Ộ a {t, to) như sau

Do đó:

4>A{t, to) —

Định nghĩa

T ( t - to), t , t 0 e R (.E + h A ) V , t £ T = h Z , h > 0

Cho n £ No và \ € C r d R ( T k , c), m " : T X T k -> c là ánh x ạ dược xá c định n h ư sau

m ị := 1, 77i"+1(í, r ) := ị

JT 1 + ụ , ( s ) \ ( s )

Trong [5] đã chỉ ra đặc trưng phổ của hệ phương trình động lực là ổn định m ũ Để di đến việc xác lập kết quả trên cho hệ phương trình động lực ( ệ ) ta cần sử dụng bổ đề sau:

Cho T là thang thời gian không giới nội trên, A € M n ( R) là thoái lui K h i đó:

i) N ếu nghiệm tầm thường của (2) là ổn định m ũ thì ơ ( A ) c S c ( T )

ii) Nế u điều kiện (10) thoả m ãn với tất cả các giá trị riêng À của A và nếu ơ ( A ) c S c ( T )

thì nghiệm tầm thường của (2) là Ổn định mũ.

Sau đây chúng tôi sẽ trình bày m ột số điều kiện đủ về tính ổn định m ũ của nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình động :

Chứng m inh tương tự như trong định lí (3.2) ta có kết quả sau:

N goài giả thiết (Lỵ) ta sẽ giả thiết m a trận A ( t ) thoả m ãn các điều kiện sau:

L 4) A(t) là g-Lipschitz, tức là tồn tại hàm g(t) xác định dương sao cho

\\<pA0(t, s )|| ^ K e x p [ X ( t - s)], Ví, sG [0 o o ) r

ưuNG TÂr/í t h ò n g tin thij viên