Mô hình hoá số trị quá trình lan truyền tạp chất vùng ven biển

Bài toán tìm quy luật phân bố tạp chất cho những miền đỏ rất có ý nghĩa thực tiễn,vì thế đã có nhiều công trình nghiên cứu bài toán này .Trong các hướng tiếp cận để giải bài toán, hướng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự N H I Ê N

CN H O ÀNG Đ Ò N G PH Ư Ợ NG SVCNTN N G U Y ẺN T HỊ XUẲN

HÀ NỘI - 2006

2

T Ó M T Ắ T Đ Ẻ T À I

1- Tên đ ề tà i: M ô hình hoá số trị quá trình lan truyền tạp chất vùng ven biển

2- Mã số: QT05- 05

3- Chủ trì đè tài: TS.Trần Vãn Cúc

4- N hững người tham gia chính: TS Trần Văn Trản, NCS Lưu Quang Hưnơ, CN

Hoàng Đ ồng Phượng, SV (C N TN )N guyễn thị Xuân

5- Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

- Tìm hiểu các quá trình lan truyền tạp chất trong nước

- T hiết lập m ô hình toán học

- Tìm lời giải giải tích một số trường hợp đặc biệt

- Xây dựng m ô toán học cho bài toán lan truyền tạp chất vùng ven bờ

- T hiết lập đúng đắn các điều kiện đầu và điều kiện biên cho bài toán

- Giải sổ bài toán với m ột nhóm các điều kiện biên và điều kiện đầu

- Các kết quả nghiên cứu được thể hiện qua m ột bài báo gửi đãng ở Tạp chí

C ơ học: “The diffusion problem o f com pound in w eak turbulent region” - “Bài toán khuếch tán tạp chất trong miền rối y ế u ”

- M ột báo cáo K h o a học tại Hội nghị Cơ học chất lỏng toàn quốc ‘'Mô hình số trị hai chiều bài toán khuếch tản tạp chất vừng ven biến” tháng 7- 2006 sap tới

- Hai tiểu luận tốt nghiệp của sinh viên

3

7- Kinh phí đề tài:

b) Chi tiêu:

- Thuê khoán chuyên môn : 12.000.000đ

- Hội nghị,hội thảo khoa học : 3.000.000đ

S U M M A R Y

1- T itle o f th e p ro je c t: N um erical M odelling the Pollutant D ispersion Process at Coastal Zones

2- Code o f the project: QT-05- 05

3- Head o f the research group: Tran Van Cue, PhD

4- P a rtic ip a n ts : T ran V an Tran, PhD; Lưu Q uans Hưnơ, PhD Student; Hoang Donơ Phuong, BSc; N guyen Thi Xuan, Honors Student;

5- Aim s and contents o f the project:

- U nderstanding the pollutant dispersion process in waters

- R econstructring the m athem atical model

- Finding the analytical solution in some special cases

- Establishing the m athem atical model for the process o f pollutant dispersion in coastal zones

- N um erical m odelling for some cases with selected boundary condition and initial condition

- The result is to be appeared in the V ietnam Journal o f M echanics “The

p roblem o f p o llu ta n t dispersion in w eak-turblulent region ”

- A paper in the proceedings o f the national conferences on fluid mechanics

“N um erical m odelling the pollutant dispersion in areas"

- Tw o stu d en t’s essays

5

7- Fiancials:

a) Receiving:

b) Spending:

- For research works :

- For conferences and seminars :

- For other works:

6

1.4 Phương trình lan truyền tạp chất một chiều, hai chiều và ba chiều 13

1.4.1 Phương trình lan truyền tạp chất ba chiều 131.4.2 Phương trình lan truyền tạp chất hai chiều 131.4.3 Phương trình lan truyền tạp chất m ột chiều 13

2.1 Bài toán ba chiều khuếch tán tạp chất của m ột điểm nguồn 14

3.1.1 Hệ phương trình 32

M Ở Đ Ầ U

V ùng ven biển nước ta, đặc biệt là những nơi có cửa sông, vịnh, hàng ngày

có một số lượng lớn tạp chất đổ ra biển Bài toán tìm quy luật phân bố tạp chất cho những miền đỏ rất có ý nghĩa thực tiễn,vì thế đã có nhiều công trình nghiên cứu bài toán này Trong các hướng tiếp cận để giải bài toán, hướng nghiên cứu bàng phương pháp mô hình hoá số trị cỏ nhiều ưu thế hơn, do dựa trên cơ sở toán học chặt chẽ và kết quả nghiên cứu có khả năng triển khai ứng dụng Cho đến nay,m ột số tác giả đã sử dụng mô hình số trị sẵn có của nước ngoài [4], hoặc tự xây dựng nhưng sử dụns phương pháp sai phân hiện đơn eiản [18] trong việc giải bài toán tìm phân bố tạp chất trons chất lỏng nói ch uns và trong vùng ven biển nói riêng

Khi nghiên cứu bài toán trên, nhiều tác giả cho rằng các mô hình số trị hai chiều(2D) cho kết đáng tin cậy và vì thế chủng vẫn đang được áp dụng rộng rãi không nhữna ở nước ta mà cả trên thế giới.Khi sử dụng mô hình 2D,ta có thể tiếp cận bằng sai phân lưới tam siác [12], bằng phương pháp đặc trưng cải tiến [17], hoặc bằng phương pháp hệ thông tin địa lý GIS [12 ]

Trong đề tài này, ta sử dụng mô hình hai chiều (2D) đầy đủ, gồm một hệ phưcmg trình động lực học có tính đến ảnh hưởng của gió, ma sát đáy và nhớt rối, kết hợp đồng thời với việc giải phương trình khuếch tán tạp chất Hệ phương trình thuỷ động lực học tro n s trường hợp hai chiều được chứng minh là khá tốt cho các vùng ven biển nước ta [18], Phương trình khuếch tán tạp chất trong mô hình có tính đến yếu tố phân huỷ hoặc tạo thành tạp chất

Đề tài đã tự xây dựng phần mềm trên cơ sở một sổ chương trình đã có

9

Tải (advection): là quá trình vận chuyển vật chất do dòng chảy.

Đ ối lint (convection): là quá trình vận chuyển vật chất theo chiều thẳng đứng

sinh ra bởi sự mất ổn định thuỷ tĩnh

Khuếch tán p h â n tử (molecular diffusion)', là quá trình sắp xếp vị trí phân tử do

chuyển độns ngẫu nhiên nội tại của các phân tử, được miêu tả bằng định luật Fick

Khuếch tán rối (turbulent diffusionj: là quá trình sắp xếp ngẫu nhiên vị trí phân

tử vật chất do chuyển động rối.

Trượt (shear)-, là quá trình vận chuyển phần tử vật chất với vận tốc khác nhau

tại các ỉớp vị trí khác nhau

Phân tán (dispersion)', là quá trình suy giảm mật độ phân tử hoặc đám mây vật

chất dưới tác dụng kết hợp cùa sự trượt và khuếch tán ngang

X áo trộn (mixing): là quá trình khuêeh tán hoặc phân tán vật chất; hoặc quá

trình trộn lẫn hay làm loãng các khối chất lỏne này với các khối chất lòng khác

Bốc hơi (evapolation)' là quá trình vận chuyển hơi nước từ bề mặt chất lỏng

hoặc chất ran vào không khí

Lẳng (settling)-, là quá trình chìm xuống của các phần tử vật chất khác nhau về

khối lượng riêng

Lan truyền (spread)-, là quá trình phân bố theo không gian.

Chất tan (solute)-, là chất phân rã được trong dune môi.

Chất ô nhiễm (pollutant)-, là chất gây hại cho môi trường khi nó được hoà trộn

với không khí, nước, và đất

Chất bắn (contaminant)', là chất gây hại cho môi trường khi nó được hoà trộn

với không khí, nước, và đất; nó không tự nhiên xuất hiện trong môi trường

Tạp chất (impurity)', là những chất có mặt trong chất khác, làm cho chất lượng

của chất đó giảm xuống

1.2 Hiện tượng ian truyền tạp chất

Nếu trong chất lỏng có xuất hiện sự chênh lệch về mật độ vật chất, hoặc có chuyển đ ộ n s trona, chẩt lỏna thì hiện tượng lan truyền xảy ra, Hiện tượng lan truyền

10

có thể do khuếch tán phân tử, khuếch tán rối, hay do tải Đối với những chất tan, hiện tượng khuếch tán phân tử liên quan mật thiết với định luật Fick Trong nghiên cứu này, chỉ xét đến những tạp chất tan được trong nuớc.

1.3 Thiết lập ph ư ong trình lan truyền tạp chất

Xét một thể tích chất lỏng V giới hạn bởi một m ặt kín s Tạpchất chuyển qua

m ặt kín s trong m ột khoảng thời gian A/ = f2 — được tính qua các quá trình sau:

1- Thay đổi nồng độ tạp chất do khuếch tán phân tử thoả mãn định luật Fick:

trong đó n là véc tơ pháp tuyến ngoài của m ặt s, F = (« ,v ,w )là vectơ vận tốc dòne

chảy,C =C (x,y,z,t) là nồng độ tạp chất trong chất lỏng, D là hệ số khuếch tán phân từ 3- Thay đổi nồng độ tạp chất do các quá trình tạo thành tạp chất, hoặc là quá trình biến đổi nồng độ tạp chất đó do các tác động sinh hoá, vật lý khác:

trong đó F(x,y,z,t) gọi là m ật đô của tạp chất được tạo thành trong m ột đơn vị thể tích,trongm ột đơn vị thời gian

Do các quá trình trên,trong thể tích V sẽ diễn ra quá trình biến thiên nồng độ

tạp chất tại mỗi điểm của nó.T rong khoảng thời gian A t ,trong V lượng tạp chất biến

Do thể tích V và khoảng thời gian Aí được chọn m ột cách tuỳ ý nên ta thu

được phương trình mô tả quá trình thay đổi nồng độ tạp chất:

Thực nghiệm cho thấy ràng ảnh hường của khuếch tán phân tử là không đáng

kể so với khuếch tán rối Do đó trong các lý thuyết bán thực nghiệm, người ta thường

bỏ qua khuếch tán phân tử, chi xét đến khuếch tán rối

Phương trình khuếch tán trong trường hợp bỏ qua hệ số khuếch tán phân tử và không tính đến ảnh hường của nguồn có dang:

N ếu chất lỏng là đẳng hưởng và không nén được, nhiều tác giả is „ iựng giả

thiết B ousinessq để đưa đến già thiết tỷ lệ g ra d nồng độ trung bình:

u'C' - - K X X ÕC

ôx v'C ' - - K yy ÕC

õy

GZ

12

trong đó K ^ K ^ t K được gọi là các hệ số khuếch tán rối theo các phương x,y,z

Với các giả thiết đó phương trình (1.9) trở thành:

Trong trường hợp có xét đến nguồn và ảnh hưởng của quá trình láng, sau khi bò qua

ký hiệu trung bình,phương trình (1.10) có dang:

trong đó co là vận tốc lắng theo phương thẳng đứng z.

1.4 Phương trình lan truyền tạp chất một chiều, hai chiều và ba chiều

1.4.1 P hư ơng trình lan truyền tạp chất ba chiểu

1.4.2 Phương trình lan truyền tạp chất hai chiểu

Phương trình lan truyên tạp chất hai chiều có chứa phương thẳng đứna:

2.1 Bài toán ba chiều khuếch tán tạp chất của một điểm nguồn

Phương trình khuếch tán tạp chất có thể tìm được nghiệm eiải tích trong một số trường hợp đơn giản.N ghiệm giải tích đóng vai trò quan trọng tro n s kiểm nghiệm mô hình số, trong so sánh tính chính xác của thuật toán, cũn® như trong xây đựns các thiết bị thí nghiệm phục vụ nghiên cứu lan truyền chất tan

Có nhiều phương pháp đã được đưa ra để tìm nghiệm giải tích của phương trình lan truyền tạp chất Tuy nhiên, đa phần các phương pháp này hoặc tươna đối phức tạp trong tỉnh toán, v à đòi hỏi nhiều tài nguyên trong lập trình, hoặc chỉ áp dụng được cho trường hợp 1- 2 chiều

Trong phần này ta đề cập đến một phương pháp tìm nehiệm giải tích cho phương trình khuếch tán 3 chiều Phương pháp này có ưu điểm là nghiệm thu được ngắn gọn, hiệu quả lập trình cao, có thể mở rộng cho trường hợp đa nguồn hoặc phân

bổ ban đầu liên tục bất kỳ

2.1.1 Đ ặ í bài toán

M ột mô hình đơn giản cho địa hình được thiết lập dưới dạng nửa không gian,

chiều sâu của đáy là H D òng chảy chủ yếu theo hướng dọc theo trục X, vận tốc là

hằng số (u,v,w ) = 0 , 0 ,0 ) Trong miền tính, phân bố nồng độ tạp chất là liên tục và giả

thiết các hệ số khuếch tán không đổi.Với các giả thiết đó,phươne trình 3 chiều mô tả quá trình khuếhc tán tạp chất có dạng:

N ồno độ chất tan sẽ giảm b ans không khi rất xa nguôn:

14

Đ iều kiện đầu được cho tại một điểm trong không gian qua hàm Dirac:

C(x, y, z, t 0) = MS(xs , y s , z s ) 2.1.2 Phư ơng p h áp g iả i

Fischer et al (1979) đã sử dụng phương pháp nguồn ào để tìm nghiệm giải

tích của phương trình lan truyền tạp chất một chiều Phương pháp này dựa trên ý tưởng: nếu tồn tại m ột nguồn ảo đối xứng gương qua biên, thì lượng chất tan chuyển qua biên sẽ cân bàng Lúc này, gradient nồng độ chất tan sẽ bằng không trên biên Ông đã áp dụng nó cho trường hợp với một biên, và trường hợp hai biên với nguồn đối xứng Ở đây, xét trường hợp hàm c có dạng bất kỳ:

G iả sử f ( x ) là nghiệm của bài toán đầu Cauchy K hi đó hai nguồn ảo đối

xứng gương với f ( x ) qua biên là / ( 2 X 0 - x ) và f ( 2 X 0 - X + 2 X ) tác động đến phân

bố chất tan trong miền tính Tuy nhiên, tại các biên của nguồn ảo, điều kiện biên gradient cũng phải thoả mãn, nghĩa là ta thêm vào các nguồn ảo của chúng đại lượng

f ( x - 2X) và f { x + 2 X ) C ứ như vậy chúng có dạng tuần hoàn với các nguồn ảo đan

2.1.3 Á p dụng

Á p dụng cho bài toán 3 chiều trong kênh N ếu coi f ( x , y , z , t ) là hàm mô tả

phân bố trong toàn không gian theo phương X Nồng độ tạp chất trong miền được cho bời hệ thức:

c ( x ,y ,z ,t) = lim lim V Y { /(x ,y - 2 i W , z - 2 jH ,t)+ f { x , ~ y + 2(i + l ) W , z - 2 j H , t )

I -*5C J —>00 Á J

+ f ( x , y - 2 i W - z + 20' +1 ) H , t ) + f ( x , - y + 2(i +1 )W , - z + 2( j +1 )H,t)} Trở lại phương trình (I), chọn hàm 9 [ x , y , z , t ) sao cho:

N hân lần lượt 4 phương trình cuối các hệ số u , Ka , K ,K„ tương ứng rồi cân

bàng theo phương trình lan truyền chất tan, rồi chia cả hai phương trình cho expO, taco:

18

19

20

2 0 r

o 10

-Frame 001 I 2 3 N o r 2 005 I L Q H 2D - Solute Dispersion Srnulatĩon

z

2.1.4 N hận x é t

Ta nhận thấy ràng hàm phân bố nồng độ tạp chất là hàm e mũ Phân bố tạp chất trong m iền phụ thuộc vào chiều rộng và độ sâu của miền; vị trí của nguồn trong miền, cũng như tốc độ dòng chảy Công thức này cho ta biết nồng độ cùa tạp chất một cách chính xác tại bất kỳ điểm nào thuộc miền tính

N eu cố định từng điểm x , y , z , có thể viết gọn công thức trên dưới dạng như

sau:

Ả,

c i ( 0 = ^ r f exP 4 K

Rõ ràng giới hạn này tiến đến khôns khi thời gian tiến đến vô cùng Điều đó

có nghĩa là nồng độ chất tan sẽ giảm đến không sau một khoảng thời gian đù lớn

Tương tự, nếu như cố định thời gian t và vị trí y , z , công thức trên có thể được viết lại như sau:

2.2 Bài toán khuếch tán tạp chất trong miền rối yếu

Trong phần này giới thiệu một mô hình xác định quy luật phân bố tạp chất trong miền dòng chảy hai chiều có sự xáo trộn rôi yêu Dòng chày sao cho thành phần vận tôc theo chiều thẳng đứng biến đổi bé và gradien củathành phần vận tốc theo phưcmg dòng chảy là rất bé được gọi ỉà m iền rối yếu

Để đơn giản, ta xét bài toán với m ột sổ giả thiết sau:

1 M iền chất lỏng có phân bố tạp chất là một hình chữ nhật

£> = {0<x</,0<z</ỉ}

trong đó l,h hoàn toàn xác định.

23

2 Trong m iền D phân bổ vận tốc dòng chảy thay đổi yếu theo hiềo sâu hay còngọi là miền có xáo trộn rối yếu [1],[3]

N ói cách khác trong miền D ta có thể giả thiết phân bố vận tốc của chất lỏng thoả

4 Các thành phần cùa Tenxơ hệ số khuếch tán thoả mãn điều kiện

K:: = K = cosnt và theo [1],[2] có giả thiết

trong đó a là hệ số tỷ lệ, xác định từ những điều kiện cụ thể của bài toán còn

u (x , z , t ) xác định theo (1.2)

ó.Trong miền đang xét không có phân bố nguồn

Tóm lại ta cần xác định quy luật phân bố tạp chất thoả mãn phương trình:

2.2.2 Đ iều kiện đầu và các điều kiện biên của bài toán

1 Phân bố tạp chất ban đầu trona miền D, giả sử ta đã biết

Để đơn giản, ta bỏ các ký hiệu (*) trong các biến mới Vậy miền D' có biên ihay đổi,

Sử dụng lý thuyết thế vị nhiệt, nghiệm của phương trình (19) với điều kiện đầu và điều kiện biên (20)- (24) được tìm dưới dạng:

ẹ là góc giữa pháp tuyến tại Pt và véc tơ rt = PtP

9 (P',í) là các hàm m ật độ cần tìm và được xác đinh từ hệ phương trình

;28)

27

ry là khoảng cách giữa p và r, = I? - J^Ị khi cho điểm p -+ P j e S '

ẹ tl là góc giữa pháp tuyến tại Pt và véc tơ rtJ ,(i,j =1,2,3,4).

Các hàm o , xác định theo (21)- (24)

Hệ (27)- (30) là hệ phương trình tích phân rất phức tạp chi có thể giải bàng phươns pháp xấp xỉ

N hư vậy với phép đổi biến thích hợp, ta đã đưa được bài toán khuếch tán về bài toán

mà có thể tìm được nehiệm g i ả i tích Phân bô tạp chât (26) c ó thê s ử dụng đê tìm quy luật phân bố phù sa trên các đoạn sông có dònơ chảy ổn định, phân bố muối ở các cửa sông có chế độ triêu không phức tạ p

Trong trường hợp này m iền D, c ó dạng đom giản: D, = {0 < X < /0,0 < z < 1}

Điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán cho cụ thể như sau:

(H2)c/co'

2.2.5 K ết luận

Với các giả thiết bán thực nghiệm quen thuộc về hệ số khuếch tán và phân bố vận tốc dòng ngoài,trên đây trình bày m ột lời giải tích cho bài toán khuếch tán rối tạp chất trong miền dòng chảy hai chiêu có sự xáo trộn rối yểu đồng thời nêu một phương pháp giải phương trình khuêch tán trong miên có biên thay đôi K êt quả thu được khá tổng quát và có thê sử dụng cho bài toán xâm nhập mặn, phân bô phù sa trên sông hay tìm quy luật phân bố bụi bẩn trong không khí ở những vùng có chế độ gió ổn định

31

Chương III

M Ô H ÌNH SÓ TRỊ HAI C H IỀU

K H U Ế C H TÁN TẠ P CHÁT VÙNG VEN BIẺN

Ở vùng ven biển ,các đặc trưng thuỷ động lực biến thiên theo chiều sâu

không đáng kể,vì vậy hầu hết các nghiên cứu đều sử dụng mô hình hai chiều (2D).

Mô hình số trị được trình bày dưới đây là sự phát triển một mô hình số trị hai chiều tính toán khuếch tán tạp chất cho vùng ven biển Trong mô hình có sử dụng hệ phương trình thuỷ động lực học hai chiều, phương trình liên tục, kết hợp với phương

trình khuếch tán tạp chất, có tính đến m a sát đáy, gió, và sự phân huỷ hay tạo thành tạp chất Các sơ đồ sai phân được chỉ rõ trona mô hình Phương pháp ẩn luân hướng cải tiến được xây dựng bước đầu kiểm nghiệm là ổn định và chính xác hơn các sơ đồ

sai phân hiện có.Đ ã tính toán thử cho vùng vịnh Bắc Bộ

<Z(x y t) - biến thiên của mực nước so với m ặt trung bình (m/s)

h - chiều cao cột nước so với độ sâu đáy D{x, >’) ( h = D + T]) (m/s)

g - gia tốc trọng trường (m /s2)

p - khối lượng riêng của nước biển

/ - tham số Coriolis

r bx,Tby - các thành phần ứng suất đáy theo hướng x , y

Ttx’Tsy- các thành phần ứng suất gió tại mặt thoáng theo hướng x, y

vh - hệ số nhớt rối

C(x, y, t) - mật độ trung bình tạp chất

K x, K y- các hệ số khuếch tán tạp chất theo theo hướng X , y

F( x, y, t ) - hàm phân huỷ hoặc tạo thành tạp chất

với c là hệ số ma sát đáy Chezy, phụ thuộc vào nhiều yếu tố của miền tính.

Các thành phần ứng suất trên mặt thoáng

r » = Ỵ P W X] W ] + W l

Tv = rpw y^ w f 7 w ;

với WxfW là vận tốc gió bề mặt theo hướng x , y; còn Ỵ- hệ số hệ số kéo theo của gió

bề mặt, được cho bởi công thức bán thực nghiệm (A.Y Proshutinsky; M ark Johnson

2001).

ỵ = (1,1 + 0 , 0 4 ^ + w 2 ) x 10 -3

Trong mô hình coi phân huỷ là hàm tuyến tính của nồng độ tạp chất

F = ẢC

với Ả là hệ số phân huỷ Neu Ẫ - 0 thì không có hiện tượng phân huỷ này.

3.1.3 Các điều kiện biên và điều kiện ban đầu

Tại thời điểm ban đầu ( t = 0 ) ta cho

u = 0; V - 0 ; C = Cữ(x,y)

33

Trên biên cứng (đường bờ), với n là vectơ pháp tuyên của biên, ta cho

Trên biên lỏng (biên hở), điều kiện biên phức tạp hơn N ếu dòng là chảy vào miền tính

N ếu dòng có hướng chảy ra khỏi miền tính, vận tốc được tính qua điều kiện phóng xạ

hoặc nếu nguồn tạp chất là cách xa biên lòng, ta coi như bằns khôns

Tiêu chuẩn ổn định C FL cho hệ phương trình này

3.2.2 Phư ơng trình khuếch tán tạp chẩt

Trong các sơ đồ sai phân cho phương trình đạo hàm riêng dạng parabol, phương pháp

luân phương an ADI (Alternating Direction Implicit) có nhiều ưu điểm: khổi lượng

tính toán nhỏ hơn hẳn do không phải giải trực tiếp hệ phương trình đại số tuyến tính như các sơ đồ ẩn, trong khi ổn định hơn các sơ đồ sai phân hiện

ở đây ta có sơ đồ sai phân cải tiến I- ADI (Im proved ADI):

Đầu tiên, dọc theo h ư ớ n s trục X tại bước n + 1 / 2

+ + (I- p „ )k;]c ; 2 ~ f ' - W KÍ + 0 - PoK í - I - AC"

Dọc theo hướng trục ^ tại bước /7 + 1

^w+1 /-irt+1/2 y-iff+l/2 r »+Ư2 _/7-t-l/2

35