lời giải của bài toán từ mô hình động học của rừng ngập mặn

TS Lê Hoàng Trí 5 PGS TS La Thị Cang M ục tiêu và nội dung nghiên cứu Đe tài được thành lập nhàm tập hợp một số cán bộ trẻ ở các đơn vị trong và ngoài Đ HQ G HN cùng tham eia nghiên cứu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

Ằ ỉ L 110

HÀ NỘI - 2007

BÁO CÁO TÓ M TẮT

ĐÈ TÀI Q T -07-09 Tên đề t à i : Lời giải cùa bài toán từ mô hình động học của rừng ngập mặn

Mã số: Q T - 0 7 - 0 9

Chủ trì đề tài: GS T SK H Nguyễn Văn Mậu

Các cán bộ tham gia:

1 TS Lê Huy Chuẩn

2 PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

3 TS Đinh Công Hướng

4 TS Lê Hoàng Trí

5 PGS TS La Thị Cang

M ục tiêu và nội dung nghiên cứu

Đe tài được thành lập nhàm tập hợp một số cán bộ trẻ ở các đơn vị trong và ngoài Đ HQ G HN cùng tham eia nghiên cứu về mô hình toán cho rừng ngập mặn, giải một số bài toán ứng dụng trong khoa học môi trường Các kết qua cùa đê tài được phân làm 2 nhóm chính:

Nghiên cứu lý thuyết về giải phương trình vi tích phân, phương trinh sai phân, các biến đồi tích phân hàm.

(Nhật Ban) và ĐHKHTX ĐIIQGIĨN.

Các kết quả đạt được

K ữ r l Ị i t u k h o a h ọ c :

- Vồ mặt lý thuvel đã có những đóng góp thiêt thực, mant: tinh ihai sự và

có V imhĩa khoa học Nhữnti két qua cư ban dà dưực tỏna kẽt đưói dạnu hoán

c h in h , x â y dụm” v à th iết lập cá c n u u y ên K c a hàn củ a u iài tíc h - dại sỏ.

- Phương pháp aiai tích dại só rmàv cànu được xây dựnQ hoãn chinh như một lĩnh vực Toán học độc lập và dã to ra có nhữnti hiệu lực to lởn trone nhiều chuyên neành khác nhau cùa toán học Dặc biệt, trone lý thuvèt aiãi lích hiện đại khi số krợne các mô hình đưa ra dã quá tai khônu đáp ứne được cho nhừiit: ứnsi

d ụ n s t r ự c t i ê p , m à c h ì d ừ i i e lại t r o m : c á c k h u ô n k h ỏ t h u ã n l u % c u a l o i i i c h i n h i h i r c

với các cấu trúc và nhừn 2 thuật toán định tính như: các tiêu chuãn eiai chuàn tính ổn định và ước lượne số nchiệm ihì \'iệc hệ thồna hoá khái quat hoá và thuật toán hữu hiệu đê eiai các bài toán có cùne một cội neuồn là nhu cẩu bức

- Sừ dụng có hiệu quả kinh phí đã được cấp Hàng tuần vào thứ Năm, có semina khoa học liên trường (ĐHQGHN, ĐHBKHN, Viện Toán học, Viện CNTT, Học viện Ngân hàng, ĐH Thuỷ lợi, Nhà XBGD, Đ H S P H N , ) hoạt động đều và có hiệu quả, tham dự và chủ trì hai hội nghị khoa học vê giải tích và toán học trong nghiên cứu môi trường.

- Đã tổ chức một topic riêng về "Toán học trong nghiên cứu môi trường" trong Hội nghị quốc tế theo dự án nghiên cứu môi trường vùng đới duyên hải và

đã được phê duyệt thành chương trình thành phân của dự án JSPS.

Kết quả đào tạo

Đẻ tài đã lạo điều kiện thuận lợi cho một số học viên cao hoc và nghiên cứu

Mathematics in environmental studies

1 oán 2,iài tích irone rmhièn cứu ÚTIÍI dụrte và đào tạo.

Đè tài có môi liên hộ mặi thièt \'ới các chuyên cia vê tinh toan tronti mỏi trường: G S T S Y a e i T r u ô n g D I Ỉ T H O s a k a G S T S O n a k a P G S Ĩ S L a r h i C a n u DIỈQG TpHCM PGS TS Nsuvcn Q uanc Kim ĐIỈ Thủv Lọi Hà Nòi

Tình hình kinh phí của đề tài

Dè tài được nhận 25 triệu và đã chi theo dự toán đirợc phê duvệt

T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC KH OA HỌC T Ị NHI í \

>^MÓ Hlfl ĩ Rư ỏng

M Ở Đ Ầ U

Việt Nam có đường bờ biển kéo dài với hệ thống rừng ngập mặn rất phong phú và đa dạng được phân bố từ Bắc vào Nam Rừng ngập mặn là hệ sinh thái đậc biệt ờ vùng cửa sông, ven biển nhiệt đới, có giá trị và ý nghĩa to lớn vê đa dạng sinh học đối với việc bảo vệ môi trường và phát triên kinh tê - xã hội Nghiên cứu sự bào tồn vả phát triển cùa rừng ngập mặn là một trong những vấn đề rất quan trọng.

Như ta đã biết, để theo dõi sự phát triển của rừng nói chung và rừng ngập mặn nói riêng đòi hỏi thời gian dài cùng chi phi rất lcm Chính vì vậy mà việc

nghiên cứu hệ động lực rừng bầng cách tính toán dựa trên cơ sờ mô hình toán học lả một phương pháp rất quan trọng để dự báo sự tồn tại phát triẻn cua rừng Sức mạnh của mô hình toán học ờ chỗ ta có thề mô phòng biểu diễn rất nhiêu các thành phần

có tác động qua lại lẫn nhau, đồng thời các kết quà tính toán có thê được kiểm tra đối chiếu với những quan sát thực tế v ấ n đề quan trọnc đật ra đó là việc xây dựng được mô hình toán học hợp !v dể mô phòng sự phát triển cùa rừne.

Năm 1981, Antonovsky đã đưa ra mô hình cấu trúc tuồi cua cây trong bài báo [ 1 ] Họ xét mô hình rừng đơn giàn chi u.ồm có hai thành phân là câv non và câv già Sau đó vào năm 1994, Kuznetsov (xem [5]) đã mờ rộns mỏ hình đó bàng cách đưa thêm thành phân "hạt" vào đê mô tả sự tái tạo cùa rừntỉ thôntí qua sự hinh thành

và phát triển của hạt Họ đưa ra mô hình động học rừng sau:

Trên cư sở mỏ hình độim học rừim Yaoi cùnu các tác aiá tronc [6] dà dưa ra

mô hìiih độna học rime neâp mận bane cách đưa thêm thành phần “đất” vào ìmhiên cứu:

/UV -{WX } vã uV ■ \^x) mô tả sự thay đổi của hạt và đất lắng đọng do dòng nước

tạo ra.

v ề mặt giải tích toán học thì (**) là một hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng parabolic khá phức tạp nên để nghiên cứu câu trúc nghiệm của nó rât khó khăn Do đó chung tôi bắt đầu bàng việc nghiên cứu mô hình động lực rừng (*) là một sự đơn giản hóa cùa mô hình (**).

CÁC KÉT QUẢ CHÍNH NHẬN ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN c ứ u iMÔ HÌNH (*)

Lý thuyết:

Chọn không gian nền: X - Ữ ( Q ) X ữ { Q ) X Z r ( Q )

Tập các giá trị ban đầu: K = {(«, V, w) e X ; u > 0 V > ơ.ii' > o}.

1 Chứng minh được sự tồn tại và duy nhắt của nghiệm toàn cục với mỗi giá

trình tiến hóa cùa hệ động lực ( S ( t ) K X ), và sư dụne nó để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cùa nghiệm khi thời gian đù lớn

2 Tìm được hàm Lvapunov cho hệ (*) I làm Lyapunov biêu chưng cho energy cùa hệ độn 2 lực do đó có thê thấy rãne sự phát triển của rừrm luôn theo chiêu hướne làm liiàm energy.

3 Xét sự ôn định cua các tmhiộm dừní> thuần nhất.

4 Đưa ra đại lượni: toán học dặc chinm chí) "sức khoe" cua r'UT.^:

Lập chươne trình m a\ linh đẽ tinh toán nshiộm của hệ (* ):

1 Kiẻni tra các mội >ô kõt CỊuã l\ thii\êt: Sir tôn lại cua niihiẻm toàn cục sự aiảm enereN của hê íự lòn tại cùa nehiệm khôna liên tục

2 Chi ra mòi quan hệ eiCra đại lirựng ít> và kha nãns tái tạo cua runs.

C h u o n g I H ệ đ ộn " lực cúa m ô hình rừ n g

Xét mô hình J à \ du \ c sự pli.il tricn của rìrnii dirọc K.uznei>0\ I\em [5]) dua

ra vào nãm 1994 nhu sau:

Trong đó Q ỉà miền hai chiều bị chặn Các hàm u ( í x ) và v ( t , x ) là mật độ câv

non và cây già; w ( t , x ) là mật độ của hạt trong không khí Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển của cây, còn phương trình thứ ba mô tả động học của hạt

ỏ là tỉ lệ này mâm cùa hạt; f là tôc độ phát triên cùa cây non; h là tỉ lệ chêt cùa cây già; a và p là tốc độ tạo hạt cùa cây già và tì lệ lẳng đọng cùa hạt; d là hàng số

khuêch tán cùa hạt Y ( v ) lả ti lệ chết của cây non xác định bời công thức:

y(v) = a ( v - b ) 2 + c

Các giá trị ban đầu w0(.í), v0(,v) và vv0( x ) cho trước không âm trên Q

1 Nghiệm địa phương:

Xét hệ phươnti trình (*) ưén khôna «ian nên X và khôiiL: liian các tiiá trị han đâu K xác định như sau:

X = {[j - (u V u ) : II.V e ữ ( Q ) 11' e L2( Q) \ ;

K = { ơ 0 =.(z/,1.v,).u-0 ) € X : un > 0 v„ > > 0Ị

Gọi A là toán từ sinh bởi toan từ Laplace -CỈÁ + /ỉ trone khỏníi eian l } {Q ) với

điêu kiện biên Neumann Khi đo A lã toán tử xác đinh dưonu tụ liên hợp ircn

2 Nghiệm toàn cục

Nghiệm toàn cục của hệ phương trình (*) được xây dựng bằng cách thác triên

nghiệm địa phương lên toàn miền 0 < í < 0 0 Đầu tiên, ta cần đánh giá tiên nghiệm

sau:

M ệnh đề 3 Giả sừ U Q = (w0,v 0,w 0) e K và u - ( u , v , w ) là nghiệm địa phương

ràng nghiệm này biến đổi liên tục theo giá trị ban đầu Do đó, ta có thể định nghĩa

một nửa nhóm { 5 ( /) } />0 xác định trên K bời S(t)ƯQ = ư ( t , U 0 ) và ánh xạ

( / , ơ 0 ) - > S ( t ) U 0 liên tục từ [0,co)xẢT vào K Chứng tỏ ( S ( t ) , K , X ) là một hệ

động lực và nó được sinh ra bởi hệ phương trình (*).

C h ư ơ n g II D án g điệu tiệm cận của nghiệm

Trong phẩn nay, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm cùa

hệ phưcmg trình (*) khi thời gian đù lớn Đe là việc đó, ta sẽ đưa ra ba loại tập co-

giới hạn, nghiên cứu tính chất của chúng và sừ dụng hàm Lyapunov tìm được tư hệ động lực.

>-là hàm Lyapunov cùa hệ độnii lực ( S ( í ) K , X ).

Sư dụnu ham I.vapunov ta chứnti minh dược kết quà sau:

Đ inh lý 5 Với mọi đư ờns cons nsihiệm S ụ ) U n u = U ( t ) đao hàm —^ ( 0 luôn hôi • dĩ

tụ YC 0 theo lô pò cua L khi / —> 0c

• ứ - Cú -giới hạn:

L2 - co( U 0 ) = f ' l { S (t)ư q; / < r < 00} (bao đóng lấy theo 1'} tô pô cùa X)

t>ò

Ta chứng minh được các két quả sau:

Định lý 6 Với mỗi Uq g K thì cư(ưữ) d ữ - củ( Uq)cz w - co( Uq).

3 S ự ốn đ ịn h của ngh iệm thuân nhât:

Trong phân này ta sẽ nahiẽn cứu tính ôn định cua các ntihiệm thuân nhât cùa

hộ phưcme trinh (*) Tuy thuộc váo các tham sô ban dâu hệ (*) có các nghiệm

c.

p = p ± =

là nghiệm ổn định toàn cục Tức là mọi nghiệm cùa phương trình (*) đêu hội tụ vê

o khi thời gian t —»• 00

4 Đ ại lư ợng toán học đặc trư ng cho sức khỏe của rừng

Có rất nhiều những định nghĩa khác nhau về “sức khòe” của rừng phụ thuộc

vào từng lĩnh vực nghiên cứu cũng như các cách tiếp cận khac nhau Từ các kết quà

lý thuyết đạt được, ờ đây chứng tôi muốn đưa ra một đại lượng toán học xác định từ

những tham số ban đầu, để đặc chưng cho dáng điệu cùa rùng khi thời gian đủ lớn

v ề một m ặt n à o đ ó , n ó c ũ n g phản ánh “ sức k h ỏ e '’ c ù a rừng.

Hàm <t> được định nghĩa bời công thức sau:

ironu dó a h c f h a s là các tham số cùa hệ (*).

l ừ các kẽt quá K thuvêt vá V nuhĩa cua các hệ số ta chi ra được ran” khi giá trị cùa o càna lớn thi khả nãrm tôn tại và phát tricn của rime càní: lém k h i o < 0 thì chắc chăn rừne sẽ bị triệt tiêu khi thời uian đu lớn Còn khi <t> > 1 thi rừne sẽ tồn tại

và phát triên hội tụ đén aiá trị p + .

L ó p c á c p h ư ơ n iĩ trình tích phân kỳ dị ià d õ i t ư ạ n s n e h iê n c ử u c ơ bàn c ù a c á c

bài loàn b iên cùa hàm siâi tích Một so d ạ n e phươne trinh đ ặ c trưnii có thể biểu diễn nahiệm ihòns qua bài toán Riemann Hâu hêt các dạna phưcme trình tươnc íme

đ c u k h ô n ti c ó thuật to á n hữu h iệu đê iiiai Y i v ậ y V iệ c x â \ d ự n e lớ p c á c bài toán

t o n e quát c h o n s h iệ m d ư ớ i đạnti tư ò iiii m in h c ó m ộ t V n a h ĩa quan trọn a C á c kết quả c a b ản Theo h ư ỏ r ic n ảv ch ủ v ê u tập irun" v à o \ iệ c k h ả o sát c á c đ ặc ĩrư n a đại số

cua lóp các toán tư tích phàn kv dị lỏniì quát, áp dụne các đặc trimc đại số và thuật

toán đã biốT cu a K ih u v è t cac bài toán b iè n c ò d iê n , la c o thê tnai đ u ợ c m ộ t số lớp

p h ư ơ n a trình tíc h p h ân kv dị d ạ n e đ ầ v đu c ó ch ứ a c á c Toán từ dịch c h u v ẻ n v à phần

đồn ỉrone hạch cua úch pli.il’.

P h ư ơ n c p h áp iiiãi tích đại sò n e à \ c à n c d ư ợ c x â v d im e h o à n ch in h n liư m ột

lĩnh vực toán học độc lập và đã ló ra có nhfrne hiệu ]ực 10 lon tronií nhiều chuvên nuành khác nhau cua to;in học Độc biệt, ironn K’ thm òi 'Jìãi úch hiộn Jại khi số

lư ợ n a c á c m ò h ìn h đư a ra đà quá tài, k h ô n ” đ áp im ” d ư ợ c c h o nhừ nti im e d u n ” true

Q ( a , b , c , f , h , a , ỏ ) = - 2

ab

K É T LL1ẠN

i:

tiếp, mà chỉ dừng lại trong các khuôn khổ thuần tuý của logic hình thức với các cấu trúc và những thuật toán định tính như: các tiêu chuẩn giải chuẩn, tính ổn định và ước lượng số nghiệm, thì việc hệ thống hoá, khái quát hoá và thuật toán hữu hiệu đê giải các bài toán có cùng một cội nguồn là nhu cầu bức thiết trong các hoạt động thực tiễn Các phương pháp nghiên cứu này đã cho nhiều ứng dụng trong việc khảo sát các phương trình tích phân dạng chập kỳ dị.

v ề mặt lý thuyết, ữong năm qua nhóm tác giả đã có những đóng góp thiết thực, mang tính thời sự và có ý nghĩa khoa học Những kêt quả cơ bản đã được tông kết dưới dạng hoàn chinh, xây dựng và thiết lập các nguyên lý cơ bản của giải tích - đại số.

v ề mặt ứng dụng: đã có những ứng dụng ban đầu trong việc áp dụng mô hình

toán h ọ c tr o n g n g h iê n c ứ u m ô i trư ờ n g N g o à i ra, v ề m ặt ứ n g d ụ n g c ũ n g c ó m ộ t số

kết quả quan trọng, trong đó phải kể đến việc cải tiến các giáo trình cho các lớp sau đại học Nó cho phép với một thời gian hợp lý có thể dạy cho các học viên nắm bắt được nhiều tư tưởng cùa toán học hiện đại mà trước đây thường phải xé lẻ thành các chuyên đề hẹp khác nhau.

TÀI LIỆU THAM K H ẢO

"Integrated Global Monitoring o f Environmental Pollution" Tbilisi 1981 Leninurad: Hydromct (1983) 353—358.

2 I H C h u a n a n d A Y a ” i D y n a m ic a l syste m fo r iu /c si kinem atic model

Adv Math Sci Appl 16 (2006) 393-409’

3 L H C h u a n T T s u ji k a w a a n d A Y a s i A s y m p to tic b ehavior o f solutions for

4 L H C h u a n T T s u j i k a w a a n d A Y a e i S ta tio n a ry solutions to forest equations, G l a s g o w M a t h .1 to a p p e a r

c ro ss-d iffu sio n m o d e l o f f o r e s t b o u n d a ry d y n a m ic s. 1 M a t h B io l 3 2 ( 1 9 9 4 ) 219-232.

6 K Osaki and A Yaai Global existence fo r a chemnraxis-ori Will system in

R 2 , Adv Math Sci Appl 12 (2002) 587-606.

7 A Y a « i T M i v a c i a n d p N H o n e A m a t h e m a t i c a l m o d i ’ '!■>- m a n g r o v e

v e o -e c o s vs tem fo cusing on interactions b e tw e e n trees ,rr,J MJ.'.V to a p p e a r

PHỤ LỤC

ỉ 4

THE 7th g e n e r a l s e m in a r o f th e c o r e u n iv e r s it y p r o g r a m

1HE 4™ seminar

ON ENVIRONMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY ISSUE:

RELATED TO THE SUSTAINABLE DEVELOPMENT

FOR URBAN AND COASTAL AREAS

Topic: Mathematics in Environmental Studies

Organized by Vietnam National University - Hanoi, University of Danang and Osaka University

September 27 - 28,2007

S u sp en d ed s e d im e n t d y n a m ics in m a n g ro v e a rea s, D o n g tr a n g E stu a ry , C an Gio m a n g ro v e fo r e st

M a th em a tic a l D e fin itio n s o f F o r e st E n er g y a n d F o rest H e a lth for F orest

Som e d efin itio n s for c o n v o lu tio n s an d th e co n v o lu tio n s for th e fourier

tra n sfo rm s w ith g eo m etric v a ria b les

M athem atical D efinitions o f Forest Energy and Forest H ealth for Forest K inem atic M odel

Le Huy Chuan

Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics, Hanoi University of Science

and Atsushi Yagi

Department of Applied Physics, Osaka University

A bstract

We are concerned with a forest kinematic model presented by Kuznetsov et a] [4], In this report, we will survey some results obtained from investigation of this model equations (see [1.2.3]) By using Lyapunov function, we can define forest energy and represent the direction of the growth of forest Moreover, on the basis

of theoretical results combining with some numerical results, we will propose a

m athem atical quatitv to measure the helth of forest ecosystem.

In t h e s t u d v of forest c ro w th d v n a m ic s , t h e n u m e r ic a l s i m u la tio n s on t h e bai:s of s u i t a b l e

m a t h c m a u c a J m o d e ls a r e b e c o m in g one of in d is p e n s a b le m e t h o d s W h e n wc coiHcrnr-d

w ith d y n a m i c s of forest c c o s y s tc m , age d e p e n d e n t t r e e r e l a t i o n s h i p is more in te r e s tin g

t h a n t h e in d i v id u a l of t re es B y forest age s t r u c t u r e d y n a m i c s VC m e a n the s p a r e and

ti m e v a r i a t i o n of tre e n u m b e r s in different age classes, c a u s e d bv various :r.:e::iaJ an d

e x t e r n a l factors

In t h i s ta lk , we a re c o n c e rn e d w ith th e A g e - S t r u c t u r e d C o n t i n u o u s S?ECC- M odel

Among others we consider a prototype model describing the growth of a forest by age-

d e p e n d e n t tr e e s r e l a t i o n s h i p s a n d by r e g e n e r a tio n processes, w h ic h was p ro p o s e d bv

K u z n e t s o v ct aJ j 4 \ T h e y c o n s id e re d a m o n o s p e c i c s e c o s y s t e m w ith oniv tw o SẸO classes of tre e s, t h e v o u n g age class a n d t h e old age class, a n d m o d e l th e re g e n e r a tio n pro cess by seed p r o d u c t i o n , seed d isp e rsio n a n d e s t a b l i s h m e n t of seeds The-:: of

Here, ĨÌ is a c 2 or convex, bounded domain in R2 The unknown functions u = uix.t)

position I Ệ Í1 and at time í E [0, oo) The third unknown function w = w(x,t) denotes the density of seeds in the air at X € ÍÌ and Í £ [0, oc) The third equation describes the kinetics of seeds; d > 0 is a diffusion constant of seeds, and a > 0 and 0 > 0 are seed production and seed deposition rates, respectively While the first and second equations describe the growth of young and old trees, respectively: 0 < <5 ^ 1 is an establishment rate of seeds, / > 0 is an aging rate, h > 0 is a mortality of old trees And j(v) > 0

is a mortality of young trees which is allowed to depend on the old-tree density V and is expected to hit a minimum at a certain optimal value of t\ Wc assume as in the paper [4j that the function 'yịv) is given by a quadratic fu n c tio n

B anach s p a c e to b e c ho se n m u s t en jo y a n o r m p r o p e r t y íịi,2ĩi|| < C ;|i'iỊ2!lu|j n a m e ly , t h e

sp acc m u s t be a B a n a c h alg e b ra M oreover, even if th e in itia l fu n c tio n s U.Q. I’o a n d IL'O are

s m o o t h , it s s o l u t i o n (u, V w ) ca n t e n d t o a d is c o n t i n u o u s s t a t i o n a r y s o lu t io n as í —‘ oc

(see [2, S e c tio n 6j) T h a t is t h e c o n tin u o u s f u n c t i o n sp a c e C: fĩ is n o t s u ita b le T h e

p h a se sp a c c K c o n s is ts of t r i p l e t s of n o n n e g a t i v c f u n c tio n s c f X 10

T h e n o n lin e a r s e m i g r o u p S{t ) a c t s on K for 0 < í < oc In '2 \vc f o u n d a L y a p u n o v

f u n c tio n a n d in v e s t i g a t e d a s y m p t o t i c b e h a v io r of t r a j e c t o r i e s L'o £ K. Since

14

some S(t)Uo can converge to a discontinuous stationary solution even if the initial value

Uo E K consists of smooth functions and since if so the trajectory S(t)ƯQ has an empty u>-limit set in X , the dynamical system (S(f), K, X ) never enjoys any compact attractor

in general By this reason we introduced three kinds of w-limit sets for Uo € K, i.e., u(Uo) c L2-u(Uo) c w'-u(Uo) Í 0, here u(Uo) denotes the usual one, L2-ui(Uo) is

an w-limit set with respect to the L2 topology and w*-w(t/0) is that with respect to

the weak* topology of L°°(fi) And we proved by utilizing the Lyapunov function that

L2-uj(Uo) consists of stationary solutions only So, roughly speaking, every trajectory S(t)Uo, Uo E K , converges asymptotically to some stationary solution of (1.1).

In the paper [3], we study the structure of stationary solutions of (11) The structure

depends on th e param eter h drastically In fact, w hen 0 < h < abể ne'+Ị • where a, 6 and

c are positive constants contained in j(u) (see (1.2)), it is shown that there exist two homogeneous stationary solutions P+ (which is non zero solution) and the zero solution

any forest starting from a non zero initial state holds alive In the meantime, when

that is, every forest is going to vanish asymptotically When aJ ° 6+f < h < te j, there exist three homogeneous stationary solutions p± (which are non zero) and the zero solution

0\ here, p+ and o are stable meanwhile is unstable This means that some forests can hold alive and others are going to vanish What is more interesting is that, in this case, there exist many inhomogeneous stationary solutions Especially when a and b

are sufficiently large, one can con stru ct ail infinite num ber OÍ d isco n tin u o u s stationary

s o lu t i o n s (Ũ T ITj's ũ ĩ' E L 00(ft) b e in g d i s c o n t i n u o u s an d w € Q ’l b e in g c o n t in u o u s

B y using t h i s r e s u l t s a n d c o m b in in g w ith t h e L y a p u n o v f u n c tio n (kinctic cncrg> of

d y n a m i c a l s v s t c m ) we c a n re p r e s e n t t h e d ir e c tio n of t h e g r o w t h OÍ forest as in F ig u re 1

Case í % < h < oo The zero solution 0 is a unique stationary solution and

minimal energy (see Figure 1 (b)) Therefore, every trajectory of dynamical system tends

to 0.

P+, P- and 0, where P+ and 0 are stable and local minimal energy; and P- is unstable

More precisely, as shown in Figure 1 (c), there exists so many stationary solutions (perhaps discontinuous) which are local minimal energy It implies that some trajectory can tend

to P+, or 0 or some stationary solution depending on the initial condition.

There are many definitions of "forest health” depending on the viewpoint of the user of the forest Forest health reflects many concerns about the sustainability of forest ecosystems

T h e im p ortan t m ea n in g o f forest h ealth is th a t th e a b ility of a forest to recover from

natural and human-caused stresses or disturbances On the basis of theoretical results,

we will propose a mathematical quantity to measure the health of forest ecosystem which

is described by (1.1) This definition is from the viewpoint of asymptotic behavior of solutions.

W hen 0 < h < a0/ QlJ J , we known there e x ist tw o h om ogen eou s station ary so lu tio n s

p+ which is stable and tne zero solution 0 which is unstable In addition, there is no nonnegative stationary solution other than homogeneous ones This means that in this case an y forest s t a r t i n g from a n o n z e ro in itia l s t a t e h o ld s alive Wc can i n t e r p r e t th is fact as follows L et us c o n s id e r a re g e n e r a tio n of tre e s of old age class T h e v p r o d u c e seeds w ith r a t e a a n d t h e seed s are e s ta b lis h e d w i t h r a t e Ố a n d b e c o m e y o u n g trees, a n d

t h e n som e y o u n g tre e s die w i t h r a t e an- - b)2 — c b u t o t h e r s grow to w a r d old trees w ith

r a t e / ; so t h e n e t of ag in g r a t e is given by - —J- In t h i s way, on one h a n d , we see

t h a t t h e r e g e n e r a t i o n r a t e o f tre e s of old ago class is ( —J. In t h e w orst case, i.e.,

V = 0 we h a v e a r a t e CLO~ — c— / 7 O n t h e o t h e r h a n d , t h e d e a t h r a t e of old tre e s is p v e bvc

h. T h e r e f o r e , if 0 < h < J '— Ĩ, t h e n th e r e g e n e r a t i o n r a t e a lw a v s d o m i n a t e s th e d e a t h rate, n a m e lv t h e forest is n e v e r e x tin c t

In t h e m e a n t i m e , w h e n < h < DC t h e zero s o lu tio n IS a u n i q u e s t a t i o n a r y so lu tio n

a n d is glo b ally s ta b le , t h a t is even- forest is goin g t o v a n ish a s y m p to tic a lly As show n

ab ove, w h e n V — b w e h a v e an o p t i m a l r e g e n e r a t i o n r a t e t e ị so < h < yz m e a n s

t h a t t h e d e a t h r a t e h of old age trees IS larg e t h a n t h e o p t i m a l r e g e n e r a t i o n ra te T h a t

is t h e forest c a n n o t b e a liv e in any form.

]n t h e case w h e n , / 0<l - < h < t e l is valid, t h e r e ex ist t h r e e h o m o g e n e o u s s t a t i o n a r y

s o lu tio n s p± a n d t h e zero s o l u tio n O: here P- ar.d 0 are s t a b l e m e a n w h ile P - is u n s ta b le

We know also t h d i ill t h is c a s e th e r e a re m a n } ’ s t a t i o n a r y s o lu tio n s ( s o m e tim e infinite

n u m b e r o f s t a t i o n a r y s o l u t i o n s ’) T h is m e a n s t h a t so m e forest c a n ho ld lilivc a n d o th e r s are goin g to v a n is h In view ,'f th e s e facT< we a r e n a t u r a l l v :ed t o define 1 n u m b e r Í 1 ::: such a w av t h a t

h = — M cb-ỉ' — c — f

1D

to influence, fo re st can ho ld alive in th is s t a t e forever

N ow we c u t a p a r t of forest ( in c lu d e y o u n g tre e s a n d old t r e e s ; in a Q u a r t e r ::rc ic \v;:h radius r as s h o w n in F i g u r e 2 and observe w h a t h a p p e n to t h e forest ecosvsteir h is easv

to sec t h a t if w e c u t a l i t t l e p a r t , say r is sm all, t h e n fo re st c a n ev o lv e t o w a r d * rtv o v e r di]

d o m a in t o s t a t i o n a r y s t a t e p _ ; if w e CUT t o o m u c h , s a y r is la rge, forest IS g o in g t o vanish,

a n d in s o m e c ases, forest c a n t e n d to a d i s c o n t i n u o u s s t a t e T h e following n u m c n c a ]

b = 3 From the theoretical results it follows that, if b ~ 1 then ab2 < 3(c + / ) and every

stationary solution is continuous, therefore we can not expect that the solution will tend

to a discontinuous stationary solution Contradictorily, if b — 3 then (lb2 > 3(c + / ) and

it is possible that some solution tends to a discontinuous stationary solution.

Now for each value of h, we calculate the values of T such that forest starting from initial state /+ is going to vanish, or recover to homogeneous stationary solution p + , or

tend to a inhomogeneous stationary solution We performed numerical computations for sufficiently large tim e u n til th e graph o f so lu tio n s and th e valu es of L vapunov function

are sta b ilized num erically T h e relation betw een h and r is as sh ow n in Figure 3.

are two regions R and E as shown in 3 (a) If (h, r) € E then the forest is going to vanish; meanwhile if (h.r) e R then the forest is going to recover to p +.

to a discontinuous stationary solution.

Now we p r e s e n t s o m e n u m e r i c a l re s u lts to show t h e r e l a tio n b e t w e e n th e r r c a ĩu r e m e n t

of forest h e a l t h $ w h ic h is d e n n e d in .2.1) a n d tile r e s t i t u t i o n r.ii!;-.:.' /{ T h e H'.air id e a

IS t h a t , first we fix an i n itia l f u n c tio n FỊ_ (see F ig u r e 2): s e c o n d '.VC c h a n g e vaiues of

param eters of t h e s y s t e m (1 1) a n d c a lc u la te t o find if t h e s o lu tio n s t a r t i n g from p* is

going t o t e n d s t o p+ o r n o t , th i r d , from th e s e c a l c u l a t i o n s , wo c a n d iv id e values of all

p a r a m e t e r s in t o re g io n s R D or E XV sa iu e m e a n i n g .vs ab o v e if values wf Ỉ1 illeach region a r e s e p a r a t e d i n d e p e n d e n t of p a r a m e t e r s t h e n WP c a n sav Ộ ;s c h a r a c t e r i s t i c for r e s t i t u t i o n of forest w i t h r e s p e c t to initial f u n c tio n P T

IS

The numerical calculation is performed in the following way The initial function Pi

is fixed with r = 0.5 For simplicity of calculations, we fix all p aram eters e x c e p t tw o of them and find out the relation between the two parameters.

[0.1,1], we find the values of h such that forest starting from 5 is going to vanish, or recovers t o h om ogen eou s sta tio n a r y so lu tio n p +

Figure 4: Relation between h and a

F ig u re 4 show s n u m e r ic a l plot of h an d Q I t is easy t o see t h a t t h e r e is a linear r e la tio n

b e t w e e n h an d Q and t h e lin e (h q ) s e p a r a t e s t w o r e g io n s R and E M or eove r, t h e v a lu e s

of 4> in t h i s lino c a n b e a p p r o x i m a t e by a c o n s t a n t c € (0 1) H ence, if k.Q) belong

to the region for t h a t > c t h e n t h e forest s t a r t i n g from p f 5 t e n d s To h o m o g e n e o u s

s t a t i o n a r y s o lu tio n p +. O n t h e c o n tr a r y , if [h a) b e lo n g to t h e region for t h a i 4> < c

t h e n t h e forest s t a r t i n g from p°'5 is going to vanish

Case 2. F ix Q = 1, 6 = 1 T h e coefficients h and / a rc v a r ia b le Let / € 10.2.1'

t h e n ab2 < 3 (c + / ) a n d t h e r e f o r e ail s t a t i o n a r y s o lu tio n s a rc c o n tin u o u s T h e g ra p h uf

h an d / is s h o w n in F i g u r e 5 (a) T h e r e axe tw o regions R a n d E s e p a r a t e d by a cu rv e

F ig u re 5 (b) sh o w s t h e g r a p h of 1 f h a n d 1 //■ It is easy to see t h e r e IS a lin e a r re la tio n

b etw een l / h a n d I f f M o re o v e r, values of $ in t h e c u rv e s e p a r a t e ? tw o regions R a n d E can be approximate by t h e s a m e c o n s t a n t c as in Case 1 H once if (ft f : b elong to th e region for t h a t $ > c t h e n t h e forest s t a r t i n g from p c 5 t e n d s to h o m o g e n e o u s s t a t i o n a r y

so lu tio n p +. O n t h e c o n tr a r y , if (h f ) b e lo n g to t h e region for t h a t $ < c : h e n t h e fore?T

sta rtin g from is goin g to vanish.

T h e s e n u m e r i c a l r e s u l t s show t h a t , if t h e p a r a m e t e r s of s y s t e m arc taker, so That the

r e s t i t u t i o n r a d i u s is c o n s t a n t w ith R = 0 5 t h e n Q a n d h a rc p r o p o r t i o n a l arid 1 I and

1 :h a r e in a lin e a r r e la tio n T h e s e t h e n m e a n t h a t t h e m e a s u r e m e n t of fores: nccU;h i> also c o n s t a n t w i t h $ = c c b e i n g a s u i t a b l e c o n s t a n t , for t h e c h a r s c of p a r a m e t e r s

u n d e r t h e r e s t r i c t i o n R = 0.5 S o m e o t h e r n u m e r ic a l c o m p u t a t i o n s show inverse resu lts,

n a m e ly , if t h e p a r a m e t e r s ƠÍ s y s t e m are t a k e n so t h a t t h e m n a s u r c m e n : of fore?: Ikv.M:

is c o n s t a n t , t h e n t h e r e s t i t u t i o n r a d i u s is c o n s t a n t T h e s e o b s e r v a t i o n s sugges: us t h a t <ỉ'

a n d R a r c c o n n ectc'd in t i m a t e l y , p r o b a b l y t h e r e w o u ld e x ist a o n e - t o o n e c o r r e s p o n d e n c e

a m o n g t h e m O n e c o u ld c a l c u l a t e t h e r e s t i t u t i o n r a d i u s from t h e m e a s u r e m e n t 4’ aJom

10

(a) Graph of (h, f ) (b) Graph of ( l/ h I / f )

Figure 5: Relation between h and /

which is determined by the ecological parameters appearing in the system And one could

therefore ch aracterize th e r e stitu tio n radius from the eco lo g ica l param eters alone.

It is now very i m p o r t a n t p ro b le m t o know how t h e r e s t i t u t i o n r a d iu s is d e t e r m i n e d

from the m easu rem en t $> To know this, how ever, it is needed to p erfo r m m o r e num erical

c o m p u t a t i o n s a n d to a n a ly s e th e s e re su lts For th e m o m e n t it is o n ly possible to sav t h a t

R IS an in c r e a sin g f u n c t io n o f <Ị> an d th e diffusion c o e f fic ie n t d o f seeds in t h e air also

c o n tr ib u te s t o th e corresp on d en ce ộ —> R a l t h o u g h d dors not a p p e a r in the d efinition

A dv M a th - Sci A p p l 1 2 (20021 587-606

20

S O M E D E F I N I T I O N S F O R C O N V O L U T I O N S A N D T H E

C O N V O L U T I O N S F O R T H E F O U R I E R T R A N S F O R M S

W I T H G E O M E T R I C V A R I A B L E S

B U I T H I G I A N G , N G U Y E N V A N M A U , A N D N G U Y E N M IN H T U A N

A b s t r a c t T h is p a p er g iv e s so m e g en era l d efin itio n s o f c o n v o lu tio n s

w ith or w ith o u t w e ig h t-e le m e n t for t h e lin ear o p e r a to r s, an d c o n str u c ts

s o m e c o n v o lu tio n s w ith an d w ith o u t w e ig h t-fu n c tio n for t h e Fourier

tr a n sfo r m w ith g e o m e tr ic variab les A n ew g en era lized c o n v o lu tio n w ith

t h e w e ig h t-fu n c tio n for th e F o u rier-co sin e, F o u r ie r-sin e tra n sfo rm s is also

c o n s tr u c te d

1 I n t r o d u c t i o n

T h e th e o rv of th e convolutions of integral tra n s fo rm s h as been stu d ied

for a long tim e ago and it has many applications (see Bochner Ị1] Fox [5],

H o m a n d e r |7], T ic h m a rs h [1 1] and references whereas) O ne knows th at

th e re are several relations, explicit or implicit, betw een th e integral tra n s­form s of Cauchy, Fourier Hankel, Laplace Mein; see ’ 11 j : Iii recent years

m an y p a p e r s devoted 10 those tran sfo rm s are given the c onvolutions, general­

ized convolutions, polvconvolutions arid theirs application? isee Brit Vina Ị2 [3], T u a n [12] an d references therein) O n th e other h a n d , a co n stru cted convolution can be regarded as a new integral transform In ou r view, the integral tr a n s f o r m s of Fourier tvpe in addition, deserve th e interest

In th is p a p e r, we present some general d efinitio ns for convolutions with,

a n d w ith o u t weight-element for t h e linear o p e ra to rs from th e linear space

t o th e c o m m u ta tiv e aieebra and to give some available convolutions for

th e Fou rier tra n s fo rm with th e geom etric variables: shift, sim ilitude and inverter A usual, th e re exists some different convolutions :or the certain

tran sform , and conversely, the transform can be th e co n v o lu tio n for some

different tra n s fo rm s A new convolution w ith w eig h i-iu n ctio n a generalized

c o nvolution axe c o n s tru c te d in Subsection 3 4 and th e Fourier transform

w ith linear-fractionai shift is posed at the end of Section 4

2000 M a th c m a U c s S u b je c t C la s sific a tio n P r i m a r y 43A32 Í1A3S S e c o n d a r v 44-9?

4 4 A 1 5

K e y w o rd s a n d p h r a s e s Fourier t r an s fo rm , convolu tion, pol vco n\ o i m o n generalizes

c o n v o lu tio n , fa cto riz a tio n idtvni'y

T h e se c o n d n a m e d a u th o r 15 p a n ia llv su p p o rted by N B R P N S V if.r a m

T h e th ir d a u th o r IS partially supported by Central Pr oj ect - YNT \ ie: nam

33

2 B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

-Let 7 be the elem ent in algebra V.

D e f in it io n 2 2 A bilinear map * u X u :— * u is called the convolution

w ith the w eight-elem ent 7 for T, if T ( * ( f , g)) — 7T ( f ) T ( g ) for any / , g € Ư

The im age is den oted by f * g.

Each of the identities in Definitions 2.1, 2.2 is called the factorization identity

(see B ritvina [2]) In [2], [8], the authors have dealt with the generalized convolution for two integral transforms and constructed som e convolutions

for the well-known integral transforms Let U 1 M 2 M 3 be the linear spaces

on 1C Suppose th a t K ị € L[ Ui , V) , K 2 e L( U2, V) K z € L ( ư 3 V) are the

linear o p e r a to r s from u Ư2 -1/3 to V respective!V

D e f in it io n 2 3 A bilinear map * U\ X Ư 2 :— ' 13 is called the convolution

w ith the w eight-elem ent -> for th e o p e ra to rs K3 K1 K2■ if Ki {*[J g)) =

' y K \ ( f ) K 2 {g) for any / £ l \ g £ Ư2- T h e image ' \ f g i is d e n o ted by

/ * 0 If -V is th e u n it of V we say briefly th e convolution for K ỉ , K \ , K 2

R e m a r k 2.4 F rom Definition 2.3 it follows t h a t if th e o p e r a to r K3 is injec­

tive the c o nvolution f * q is formal dertermineci uniquely, because

3.1 C o n v o lu t io n s for t h e F o u r ie r tr a n s f o r m w it h s h if t Let h 6 Rn

be fixed- D e n o te bv F th e Fourier tra n sfo rm T h e Fourier tra n sfo rm with

shift, denoted by Fh, is defined by

(Fhf ) ( x ) = - + - r f e~i<x+h,v> f ( y ) d y

(2n) 5 J

R"

If h = 0 € R", we adm it Fh = F U sing the factorization identity o f the

Fourier convolution, it is easy to prove (see [11, p 59], or [7, p 163])

Theorem 3.1 I f f o r any f , g £ Li(Rn), then

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES 3

B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

-i|u-u-u|s+i</i,y—u—v> dudv dy

we write a x = ( a i X i , : Qnx n) The Fourier transform with sim ilitude, denoted by Fa , is defined bv

( F * f ) ( x ) = - ~ r f e ~ l <a x 'y>

(2 tt) i J

R"

f ( y ) d y

-Sim ilarly to T heorem 3.1, we can prove

T h e o r e m 3 3 If f o r any f g G L i(R n), then

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES 5

We now prove the factorization identity FYom the formula (*) it follows

C o m m e n t , We do not rest satisfied w ith th e a s s u m p tio n Q- Or = 0

at the begining of th e subsection So the co n stru ctio n convolution? with

w e ie b t-fu n c tio n tor F a in special cases of Qj Qn = 0 is th e open problem

3.3 T h e c o n v o lu t io n for t h e F o u r ie r t r a n s f o r m w it h in v e r te r For

any X t R " (x , = 0 Vj = 1 n ) let us write J = ( Ị — ).

T h e Fourier tr a n s f o r m w ith th e inverter, d e n o te d by F , is defined bv the

Theorem 3.5 If f o r any f , g € Li(Rn), then

Proof Obviously, if a t least one of the X, is zero (3i = 1 2 n such th a t

X, = 0) (3.7) holds C onsider I , Ỷ 0- Vi = 1 , 2 n We have

a B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

T h e theorem is com pletely proved □

R e ma rk 3.7 T he transform defined by (3,1) can be regarded as the convo­

lution for the transforms: F, Fh, Fv, and for Fa if |d | = 1.

3.4 Two convolutions for the Fourier-cosine and Fourier-sine trans­ forms on R n T h is subsection offers a convolution w ith w eight-function, and a new generalized convolution for the Fourier-cosine and Fourier-sine transform s on entire R n, just for the realization of our D efinition 2 3 An­ other generalized convolutions and polyconvolutions will be addressed in another papers.

For any x , y , z Ễ R", write c o s x y s i m y instead of c o s < x y > sin < x j/>, and cos x ( y ± z ) , s i n x ( j / ± z) instead o f COS < X, y ± z > , sin < X y - r >

-defines t h e convolution w i t h the weight- f u n c t i o n "V] f o r t h e Ĩ Ĩ Í Í C ' :

L i ( R " ) for any / Ợ c L j ( R r') S u S c e it to prove t h e facto riz atio n identity

Using th e form ula (3.9) an d the identities (3.10), (3.11), (3.12) (3.131 we

10 B T GIANG, N V MAU, AND N M TUAN

C o n c l u s i o n 3 1 1 X equipped rmứi each of s even above mt nuoned con­ volution multiplications, becomes the c om m u t a t i v e n o r m e d nrtc hai-ina no

unit.

We prove th e conclusion For briefness of o u r p ro o f (including Conclusion

3-12 b e lo w ) , le t us u se t h e co m m o n s y m b o l s H , a n d - for the transforms

Fh F^ Fy, Tc a n d for th e above convolutions respectively It ;s cieariv A’ has a ring s t r u c t u r e c o m m u ta tiv e with the c o nvolution m ultiplication First,

we prove t h e m u ltip lic a tiv e inequality We now prove for th e convolution(3.2), the proof for the others is similar, and easier By th e formula '3-9

(2~ ) 2 1 5"

For th e c o nvolution defined bv (3.4) th e n o rm is

CONVOLUTIONS FOR FOURIER TRANSFORMS WITH GEOMETRIC VARIABLES 11

ll/llIMI-Now it suffices to prove X has no unit elem ent Suppose that there exists an

e € X such t h a t / * e = e * / = / , for any / e X T h e factorization identities

im ply 70T-ifHe = Tif. where 70 = 1 c o rresponding t o th e convolutions (3-1) (3-3), (3-5), a n d 70 = ■>] "M 72- ?1 th e convolution it of Í 3 2 3 -11 3 6 (3.8) respectively We then have ’H Ị ị ^ ũ ĩ i e - 1) — 0 Choosing f - -fi

and using th e form ulae (*) (**)■ (* * *J in th e respective case, we- conclude

7o ( x ) ( ? f e )( x ) - 1 for alm o st every I e R n On th e o th e r side.

lim - ) i( x ) = 0, lira 7 2( ) = 1 lim [ Ht ) { x j = 0

(see [11, T h e o r e m 1], or [10 T h e o re m 7.5J), which c o n trad ict to the ias;

identity.

C o n c l u s i o n 3 1 2 A', equipped with the convolution multiphcci-.or f3.]4

becomes the c o mmu t a t i ve noT-mec ring having divisor o f zero arid no unit.

We prove t h e conclusion For f Ễ X th e DOrm is

l i / l i = — [ 1 / ( 1 ) idx

( 2 ' 12 J

R"

Bv t h e convolution m u ltip licatio n X h as a c o m m u ta tiv e ring s tru c tu re It

is clearly that if f (r) = and g(x) = - q ( - t ) for all r € R" then

Now we prove X has no unit S u p p o se t h a t th ere exists an e t X such

t h a t / * e = € * / = / f o r a m / £ A' T h e fa c to rizatio n identit\- implies

(Tf f ) ( T se) — Tcf We choose V r ' i = e 2 € X O bviousiv 7 = 0 ! e

th e left-side of th e last ld e n titv is zero-function O n the o t h e r h a n d from

43