TÌM HIỂU CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƠ (KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC)

Người ta phân biệt các dao động tuỳ theo bản chất vật lí của quá trình lặp lại: các dao động cơ, dao động điện tử, dao động điện cơ… trong các loại dao động nói chung thì dao đông cơ là

Tìm hiểu các bài toán dao động cơ

(Khóa luận tốt nghiệp Đại học)

A- Mở Đầu

1 Lý do chọn đề tài

Dao động là dạng chuyển động rất hay gặp trong kĩ thuật và trong đời sống hiện nay Các dao động không chỉ xuất hiện trong các quá trình cơ học,

điện học, quang học và diễn ra trong các nguyên tử và hạt nhân nguyên tử

Người ta phân biệt các dao động tuỳ theo bản chất vật lí của quá trình lặp lại: các dao động cơ, dao động điện tử, dao động điện cơ… trong các loại dao động nói chung thì dao đông cơ là một trong những dao động phổ biến nhất và đóng vai trò lớn trong khoa học kĩ thuật Nghiên cứu về loại dao động này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nó sẽ là cơ sở của các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau.ý thức được tầm quan trọng đó chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “ Tìm hiểu các bài toán dao động cơ”

Tiến hành nghiên cứu đề tài này chúng tôi nhằm mục đích tìm hiểu sâu hơn về dao động cơ, phân loại và hệ thống một cách khoa học các kiến thức về dao động cơ, đồng thời nhằm nâng cao trình độ khoa học của bản thân, bước

đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm vững kiến thức cơ bản về dao động cơ, phân loại và giải các bài toán của phần này, biết vận dụng các kiến thức vào thực tiễn, kĩ thuật, thấy

được tác dụng của môn học đối với thực tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm được các khái niệm các đại lượng đặc trưng về dao động Phân loại

được các dạng bài tập và phương pháp giải từng loại Vận dụng kiến thức để giải thích một số hiện tượng trong cuộc sống

4.Đối tượng nghiên cứu

Các dạng bài tập dao động cơ, dao động điều hoà, dao động cưỡng bức, dao động tắt dần

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu liên quan: sách giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo, phân tích, tổng hợp và giải các bài tập về dao động cơ học

- dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái chuyển động của vật

đ−ợc lặp lại nh− cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau

- dao động điều hoà là dao động tuần hoàn trong đó đại l−ợng x phải khảo sát biến thiên theo thời gian theo quy luật của hình sin ( hay cosin)

sin( )

x=a ω + ϕt hay x=acos( ω + ϕt )

Trong đó:

a là biên độ cực đại của dao động

x là biên độ ở thời điểm t

Số dao động trong 1 đơn vị thời gian gọi là tần số dao động ƒf =1

T

Từ đó ta có công thức: ω = 2 f π

Biểu thức toán học của dao động điều hoà

x= asin( t+ )=a.sin t.cos +a.cos t.sin ω ϕ ω ϕ ω ϕ suy ra: x= Asin t+Bcos t ω ω

( A =a.cos ; B =a.sin ) ϕ ϕ Mặt khác hàm điều hoà x = a.cos( t + ) ω ϕ và

x = asin( t+ ) ω ϕ chính là phần thực và phần ảo của hàm phức x=a.ei( ω t + ϕ ) hay x=c.ei ω t với c=a.ei ϕ

1.1.2 Phương trình của dao động điều hoà

Giả sử chất điểm M có khối lượng m dao động theo quy luật:

Đ1.2 Năng lượng của dao động điều hoà

Giả sử chất điểm dao động theo quy luật:

1.3.1 Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng chu kỳ

Xét hai dao động cùng phương cùng chu kỳ:

= (a cos1 ϕ1+a cos2 ϕ2)cos tω + ( sina1 ϕ1+a2sin ϕ2) sin ωt

Biểu thức này chứng tỏ dao động

tổng hợp cũng là dao động điều hoà với

1.3.2 Tổng hợp 2 dao động có chu kỳ dao động khác nhau chút ít Hiện tượng phách

Ta xét chất điểm tham gia hai dao động cùng phương nhưng có tần số dao động khác nhau chút ít:

Dao động tổng hợp là một elip có hai trục song song

với hai cạnh của hình chữ nhật

Nếu a=b thì elip sẽ thành hình tròn

1.3.4 Tổng hợp nhiều dao động điều hoà cùng phương

Ta đi tổng hợp n dao động điều hoà cùng phương, có những tần số bằng

Với l l0, là chiều dài tự nhiên và chiều dài của lò xo khi ở vị trí cân bằng

O với O là gốc toạ độ, chiều dương từ trên xuống

O là trục dao động của con lắc

d khoảng cách từ khối tâm C đến trục

quay của con lắc

Mô men tác dụng lên con lắc:

M = ưPd θ = ưmgd θ

M có giá trị âm vì nó luôn hướng theo chiều làm giảm góc lệch θ

I là momen của con lắc đối với trục quay O và với góc θ nhỏ, ta có:

Nếu toàn bộ khối lượng của con lắc vật lí tập trung tại một điểm là khối tâm của con lắc ta sẽ có con lắc toán học Thực tế thì con lắc toán học là một quả cầu nhỏ treo ở đầu một sợi dây dài l Ta có d =l và 2

l được gọi là chiều dài rút gọn của con lắc vật lí

Trên đường OC ta phải lấy điểm O’ sao cho OO’=l, O’ phải tập trung toàn bộ khối lượng của con lắc để chu kì dao động của nó không đổi, O’ được gọi là tâm dao động

Theo định lí Huyghen - stenơ 2

Ta có l>d tức O và O’ phải nằm ở hai phía đối với C

Cho con lắc dao động một trục đi qua O’ , khi đó chiều dài rút gọn của con lắc ' '

Nếu gọi rlà hệ số cản của môi trường, lực cản sẽ bằng rx' Ngoài ra vật còn chịu tác dụng của lực hồi phục nên phương trình của định luật II Neuton:

.

ư

ư + +

dần β và chu kì T Nếu sức cản của môi trường càng lớn và chu kì dao động càng lớn thì dao động tắt dần càng nhanh

+ gọi là loga đối số tắt dần của dao động

Biết λ ta tính được hệ số cản của môi trường

T

λ β

Từ công thức A= A e0 ưβt khi t→ ∞ dao động mới tắt hẳn

Năng lượng toàn phần của dao động:

2 2 0

Năng lượng của dao động giảm đi Sự giảm năng lượng của dao động

được gây ra bởi công của lực cản của môi trường:

Đ 1.6 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng

1.6.1 Phương trình của dao động cưỡng bức

Xét một hệ dao động tắt dần, chúng ta duy trì dao dộng của hệ bằng cách tác dụng vào nó một lực cưỡng bức F =Hcos ωtvới Hlà biên độ của lực cưỡng bức Định luật II Neutơn:

x + βx+ ω xưh ωt= (2) Nếu không có lực cưỡng bức thì hệ sẽ tắt dần và ngừng hẳn sau một khoảng thời gian τ nào đó

Nếu có lực cưỡng bức tác dụng, lúc ban đầu hệ sẽ dao động phức tạp sau khoảng thời gian τ nói trên, lực hồi phục và lực cản rất yếu, hệ sẽ dao động chủ yếu dưới tác dụng của lực cưỡng bức F =Hcos ωt: vì thế sau khoảng thời gian ổn định τ hệ sẽ dao động với tần số của lực cưỡng bức Nếu chỉ xét dao

động sau thời gian ổn định, ta có thể viết phương trình dao động của hệ:

2 2 0

2

ch

h A

β ω β

=

ư

Khi môi trường ngoài không có sức cản β = 0, ωch = ω0,A ch = ∞

Khi sức cản của môi trường càng nhỏ thì biên độ dao động càng lớn Khi có cộng hưởng, pha ban đầu của dao động được xác định:

các bài toán dao động

1.7.1 Phân loại các bài toán dao động

- Loại 1: Chu kì, tần số, năng lượng của con lắc lò xo

- Loại 2: Chứng minh chuyển động của một vật là dao động điều hoà, phương trình dao động điều hoà

- Loại 3: Con lắc lò xo trong hệ quy chiếu không quán tính

- Loại 4: Chu kì, tần số, vận tốc, lực căng, năng lượng của con lắc đơn

- Loai 5: Biến thiên chu kì dao động của con lắc đơn

- Loại 6: Dao động tắt dần

- Loại 7: Tổng hợp dao động

- Loại 8: Dao động cưỡng bức

1.7.2 Phương pháp giải các bài toán dao động

a Loại 1: Chu kì, tần số, năng lượng của con lắc lò xo

giả sử phương trình dao động cần viết: x= Asin( ωt+ ϕ )

π

ω = = π = với k là độ cứng của lò xo

Chiều dài quỹ đạo CD:

- Năng l−ợng dao động của con lắc lò xo

Các bài toán liên quan đến năng l−ợng dao động của con lắc lò xo có thể giải bằng cách áp dụng những kết quả sau đây:

+ Năng l−ợng dao động – sự chuyển hoá năng l−ợng

ứng dụng: chứng minh dao động điều hoà bằng phương pháp năng lượng

+ Bài toán va chạm

Va chạm không đàn hồi( va chạm mềm) áp dụng định luật bảo toàn

động lượng ∆ (mv) 0 =

Va chạm đàn hồi

áp dụng: Định luật bảo toàn động lượng ∆ (mv) 0 =

Định luật bảo toàn động năng ∆E d = 0

- Chu kỳ của con lắc lò xo

+ Cắt lò xo: lò xo ban đầu dài l0, độ cứng k0 cắt

thành hai lò xo có chiều dài lần lượt l1( độ cứng k1 ) và l2(

- Xác định các lực tác dụng lên vật khi vật đang đứng yên( vị trí cân bằng)

- Xác định các lực tác dụng lên vật khi nó ở vị trí bất kì để chỉ rõ hợp lực: ∑
F = ưk x

- áp dụng định luật II Newton để thiết lập phương trình chuyển động

- Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t, chú ý: x'' =a x; ' =v

- Biến đổi để dẫn đến: x'' = ư ω 2x hay x'' + ω 2x=o

Suy ra: x= Asin( ωt+ ϕ )

c Loại 3: Con lắc lò xo trong hệ qui chiếu không quán tính

- Phương trình chuyển động: α α = 0sin( ωt+ ϕ ) trong đó α0và ϕ do các

điều kiện ban đầu xác định và có S = αl

e Loại 5: Biến thiên chu kỳ của con lắc đơn:

- Gia tốc trọng trường ở độ cao h

- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm

+ Viết công thức tính chu kỳ của con lắc đồng hồ trong trường hợp chạy

+ Thêi gian ch¹y sai: 1

- Träng lùc hiÖu dông, gia tèc hiÖu dông

l T

+ C«ng thøc tÝnh chu k× 2

'

l T

+ TÝnh c«ng cña lùc ma s¸t hay lùc c¶n:

Chú ý: Có thể giả thiết của đề bài cho x maxgiảm theo cấp số nhân khi đó

ta áp dụng tính chất của cấp só này để thực hiện tính toán

- Dựa vào phương trình của dao động tổng hợp

- Vẽ đồ thị của dao động thành phần Xác định trên đồ thị những điểm biểu diễn đặc biệt bằng phép cộng trực tiếp từ đồ thị của dao động thành phần

Trong ñó: 2 2

0 β ω

ω ′ = −

Nghiệm riêng: x=acos( ωt− ϕ ) với biên ñộ

2 2 2 2 2

( ω − ω + β ω

F a

2 2

0

2

ω ω

βω ϕ

ωc = −

Biên ñộ cộng hưởng:

2 2 0

0

2 β ω − β

a c

Ch−¬ng 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG

§ 2.1 CON LẮC LÒ XO

Bài 1: Một quả cầu khối lượng m ñược mắc vào 2 ñầu của lò xo L1, L2

chưa bị biến dạng và có ñộ cứng lần

lượt là k1, k2 Vật có thể trượt không

ma sát dọc theo thanh kim loại mảnh

nằm ngang ðầu A của lò xo ñược giữ

chặt Giữ yên quả cầu và kéo dần ñầu B

của lò xo L2 ñến B1 Sau ñó buông quả

cầu tự do Cho BB1=l

a Lập phương trình cho dao

ñộng của quả cầu

b Tìm vận tốc cực ñại của quả cầu

Chiếu lên trục toạ ñộ: -F1+F2=ma

ma x l k x l

k ∆ + + ∆ − =

−

Thay (1) vào (2) ta có:

x x

x m ma x k k

2 2

Phương trình dao ñộng: x= Asin( ωt+ ϕ )

Chọn t=0 lúc buông vật, chiều dương như hình vẽ

k l l k l k

l l l

2 1

2 1 2 2 1 1

2 1

k l A Cos

l A

v

l x

2 1

2 1

1

0

sin

0

π ϕ ϕ

Bài 2: Vật có khối lượng M nằm trên mặt bàn nằm ngang nhẵn lí tưởng

và gắn với hai lò xo có ñộ cứng k1, k2 như hình vẽ

a Tần số dao ñộng của vật sẽ là

bao nhiêu néu ñẩy nhẹ nó ra khỏi vị trí

cân bằng(VTCB)?

b Giả sử biên ñộ dao ñộng của vật

là A và tại thời ñiểm khi nó qua VTCB có một vật khối lượng m rơi từ trên xuống và gắn chặt với nó

Hãy xác ñịnh tần số và biên ñộ dao ñộng mới

Tìm ñiều kiện về hệ số ma sát µ giữa 2 vật thể ñể m không trượt trên M trong quá trình dao ñộng

Giải:

a Tính tần số dao ñộng của vật khi ñẩy nhẹ nó ra khỏi VTCB

Giả sử tại VTCB cả 2 lò xo ñều bị giãn: ∆l1, ∆l2

0

2 2 1 1

02 01

=

∆ +

∆

−

↔

= +

−

l k l k

F F

Xét vật ở vị trí bất kì có li ñộ x Khi ñó ñộ giãn của l1, l2: ∆l1+x ; ∆l2 −x.

Chiếu lên trục ox: −F1+F2 =ma⇔ −k1(∆l1+x)+k2(∆l2−x)=ma (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

2 2

1

2 1

x x m

k k x hay

ma x k k

− ɺ

Tần số dao ñộng:

m

k k

2

1 2

+

=

=

π π ω

b Tính tần số và biên ñộ dao ñộng mới

Gọi v1,v2 là vận tốc của m; M trước khi va chạm, v là vận tốc của hai vật sau khi dính vào nhau và chuyển ñộng với cùng vận tốc

Áp dụng ñịnh luật bảo toàn ñộng lượng theo phương ox:

M m

M v v M m Mv

+

=

⇒ +

0 2

2 2

2

2 1 2

2

1 2

1

v M m k

M v

M m

M v

k

m M A

k v

M m A

k E

+

= +

M A

A M m

M kA

M m k

M Mv

M m k

M A

Mv kA

= +

2 0 2

2 0 2

2

1 2

1

Vậy tần số dao ñộng:

M m

k k

v 1 m

Vật m chịu tác dụng: P , Q , Fms

Chiếu lên phương chuyển ñộng:

(ω ϕ)

ω µ

ma mg ma

m g

k k g A

g A

+ +

2 2

µ

ω µ

µ ω

Bài 3 Một ñĩa khối lượng M treo dưới một lò xo có hệ số ñàn hồi là k

Sau khi có 1 chiếc vòng khối lượng m rơi từ ñộ cao h

xuống ñĩa, ñĩa vòng dao ñộng ñiều hoà Coi va chạm giữa

vòng và ñĩa là hoàn toàn không ñàn hồi Hãy xác ñịnh

biên ñộ dao ñộng Bỏ qua khối lượng của lò xo

P F

P1+ 01 = 0 → 1 = 01 =

Gọi ∆x0 là ñộ biến dạng của lò xo khi ñó →F01=k∆x0

Khi vòng rơi nó ñi ñược quãng ñường h nên ngay trước va chạm với ñĩa

Q

M

const P

dt F p

m v M m

m

+

= +

= , lực ñàn hồi F02



2 1 02 02

2 1

02 0 hay P P F 0 F P P F

Ptl +  =  +  +  = → = +

Gọi x0 là ñộ dịch chuyển từ VTCB ban ñầu ñến VTCB mới

mg kx

g M m x x k F

=

→

+

= +

∆

=

0

0 0 02

Theo giả thiết sau ñó hệ dao ñộng ñiều hoà nên cơ năng không ñổi

1 2

1 2

1

2

2 2

2 2

2 02 2 2

2 0 2

2 0 2

2

+ +

= +

+

=

+ +

+

= +

=

=

g M m

hk k

mg k

mg g M m k

h kg m A

k

x k gh g M m

m k

M m x

v k

M m A

kx v

M m kA

E

Bài 4 Cho cơ hệ liên

kết như hình vẽ

Thanh OA có ñộ dài l=1

(m), khối lượng không ñáng

kể, dao ñộng ñược quanh ñiểm

treo O Ở VTCB các lò xo không biến dạng có ñộ cứng k1=6 N⁄m, k2=4 N⁄m Vật có khối lượng m=1kg Kéo lệch m ra khỏi VTCB rồi buông nhẹ

a Chứng minh hệ dao ñộng ñiều hoà

mg mgh

k k mv

2 1 2

2

1 2

1 2

(

0

2 1

x v x v

x l

mg x k k v mv

′ + +

′′

l

mg k

k x x m

m

k k l

Chu kì dao ñộng:

m

k k l g

T

2 1

2 2

+ +

=

ω π

E t =

- Của lò xo k2:

2 2 2

2 2

mgl mgh

l

mg x

k x k mv E

E E

= + +

+

2 2

2 1

2 3

2 1

2

1 2 2

1 2

1 2

1

Lấy ñạo hàm 2 vế theo thời gain t:

0 4

2

1 ′ + ′ + ′ = +

l

mg x x k x k v mv

Ta có:

4

0 4

2 1

2 1

x l

g m

k m

k x

x l

mg x

x k x k x x m

′ +

′ +

với

l

g m

k m

k

+ +

= 4

2 1 2

k m

k

+ +

=

4

2 1

ω

Chu kỳ:

l

g m

k m k

T

+ +

=

=

4

2 2

2 1

π ω

π

Thay số: k1=6N/m, k2=4N/m, g=9,82m/s2, m=1kg, l=1m

Ta ñược: T=1,53(s)

Nhận xét: Bài toán chỉ ñúng với dao ñộng rất bé, tức góc lệch α rất nhỏ

Bài 5 Một sợi dây vòng qua một dòng dọc cố ñịnh có

mômen quán tính I và bán kính R Một ñầu dây treo vật khối

lượng m, ñầu kia nối với một lò xo mà ñầu dưới của lò xo

ñược giữ cố ñịnh Tính chu kì dao ñộng của vật nếu hệ số

ñàn hồi của lò xo là k và dây không trượt trên lò xo

Giải:

Hệ chịu tác dụng của

các lực: P , T1 , T2 , T1′ , T2′ , Fdh

Giả sử tại VTCb lò xo giãn 1 ñoạn ∆l

và do lò xo có khối lượng không ñáng kể

Tại VTCB:

[ ] [ ] 0

0 0

1 2 2 1 1 2

=

′ +

′

= +

= +

T r T r

T P

1 1 2

T T

T P

Vì do ta xét tại vị trí cân bằng nên: T1=T2=T

l k mg

F dh = = ∆

⇒

Chọn gốc toạ ñộ O tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống Khi vật ñi xuống một ñoạn x, do dây không giãn nên lò xo cũng phải giãn thêm một ñoạn x

T F

a m T P

dh

=

′ +

′

= +

= +

2 2 1 1 2

a g m T ma T P

l x k I

=

=

2 1

1 1

2

Do dây không trượt trên dòng dọc :

0 hay

0 1

2

2

2 2

2

2 2 1

= + +

I m

k x

x r

I m k x

a m r

I kx r

a I kx ma

r

a I l x k a g

m

r

a I T T

r a

Bài 6 Cho một hệ dao ñộng như hình vẽ, khối lượng của ròng rọc và lò

xo không ñáng kể Lò xo có ñộ cứng k, vật nặng có khối lượng m1, m2

1 Xác ñịnh ñộ biến dạng của lò xo khi hệ cân bằng

2 Từ vị trí cân bằng kéo vật m1 xuống một ñoạn x0 theo phương thẳng ñứng rồi thả nhẹ Chứng minh hệ dao ñộng ñiều hoà Lập phương trình dao ñộng Bỏ qua ma sát

3 Xác ñịnh lực mà lò xo tác dụng lên giá ñỡ, lực căng của dây treo và ròng rọc Áp dụng cho cả bài toán với k=400N/m; m1=1,5kg; m2=0,5kg;

x0=2,5cm

Giải

1 Xác ñịnh ñộ biến dạng của lò xo

Do m1>m2 nên tại vị trí cân bằng lò xo bị nén Giả sử ñộ nén là ∆l Tại vị trí cân bằng:

0

0

02 2

01 0 1

= +

= + +

T P

T F P

0

02 2

01 0 1

= +

T F P

Vì ròng rọc có khối lượng không ñáng kể, dây nối không giãn:

T T T T

T01′ = 02′ → 01 = 02 =

Có:

g k

m m l

l k g m m

F P P P

T

F T P

2 1

2 1

0 2 1 2

0

0 0 1

0 0

Vật 2: P2 T2 m2a2





= +

Vì ròng rọc có khối lượng không ñáng kể, dây không giãn nên:

2 1 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

2 2

1 1

= + +

∆

−

−

→ +

k x

x m m kx l k g m m

a m m x l k g m m a m m F P P

a m T P

a m T F P

2 1

= +

′′

→ +

m m

k

ω ω

→ Vật dao ñộng ñiều hoà theo phương trình: x=A sin(ωt+φ)