CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN LUYỆN THI CHUYÊN Câu 1... Cho biểu thức... Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN... LUYỆN THI CHUYÊN Câu 1
Trang 1CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN
LUYỆN THI CHUYÊN
Câu 1 Rút gọn P=
2
3 1 1
2
3 1
2
3 1 1
2
3 1
Câu 2 Thực hiện phép tính:
a)
2 2 5 3 5 3
4 2 4 10 17 5 17 5
A
b) B=
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
c) Tính giá trị
2 2
2
2008 2008
2009 2009
Câu 3 Rút gọn biểu thức :
P =
2005 2001
1
13 9
1 9
5
1 5
1
1
Câu 4 Tính giá trị của tổng
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
Câu 5 (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
x 1x2 y 1 y2 1 Chứng minh x+y=0
Câu 6 (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho
8
2 8
1 2 2
a
1.Chứng minh rằng 4a2 2a 2 0
2 Tính giá trị của biểu thức S a2 a4 a1
Câu 7 (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức
4 80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
Câu 8 Tính giá trị biểu thức:
3 2 2006
2 8
5 6 14 5
38 5 17
3
Trang 2Câu 9 (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy 2 và xy 2 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
3 3
3 3 3
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy P
Câu 10 (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; ab.Chứng minh rằng
0 3
3
2 )
(
) (
3 3
a b
ab a
b b a a
a a b b b
a
b a
3
1 6 27 3
1 3
1 6 27 3
1
Câu 12 Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
3 3
4 2 2 3 1
1
Câu 13 Tính A = 4 5 35 4810 74 3
Câu 14 Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
y 5 13 5 13 5
Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức
1 1
2 1
1 : 1
x x x x
x x
x
x P
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q P x nguyên
Câu 16 (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức :
1 2
1
1 1
1 1 1
1
1
x x
x x
x
x P
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm x để
2
2
P
Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
y x
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
3
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,xy
Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
Trang 33 2
3 2 3
3 3
3
3 2 3
2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x
x
x x
x A
Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức
y x xy
y y x x y x y x y x y x
A
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
a) Rút gọn A
b) Tìm x ; y biết ; 5
36
xy
Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1) Cho biểu thức :
2 2
2 2 2
2
b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 21 Cho biểu thức (x + x2 2006 ( y y2 2006 ) 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 22 Cho 2008 2008
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên
b) Tìm chữ số tận cùng của M
Câu 23 (HSG Bắc Giang 2013)
1) Tính giá trị của biểu thức 3 3
P
a
Câu 24 (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức
a
a a
a a
a a a
a a
a a
1
1 2
2
2 4 )
1 ( 3
2 4 )
1 ( 3
2 2
2 2
Câu 25 (Chuyên ĐHSP 2007 V2) Cho biểu thức
15 7
;
1 :
x x
x x x x
x
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 26 (Chuyên ĐHSP 2008 V1) Cho biểu thức
Trang 4) (
:
2
b a ab
a
a ab
b
b b
a
b a b a
b a
a) Rút gọn P
b) Tìm a ,b sao cho b=(a+1)2 và P=-1
Câu 27 (Chuyên ĐHSP 2008 V2) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn :
2
bc a b c a b a b c
Chứng minh đẳng thức:
2 2
Câu 28 (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Cho biểu thức:
64 16
92
20 4 2
A
B=a4+20a3+102a2+40a+200
a)Rút gọn A
b)Tìm a để A+B=0
Câu 29 (Chuyên ngữ 2010) Cho biểu thức:
x x
x
x x
x x
x
3
1 :
9
2 3
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm giá trị x để
3
4
P
Câu 30 (Chuyên ĐH SP 2013 V1) Cho biểu thức
a b b a
a ab ab
b a
b b a a b
a
b a Q
3 3
2
2
3
với a>0 ; b>0 ab
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN TÍNH TOÁN
Trang 5LUYỆN THI CHUYÊN
Câu 1 Rút gọn P=
2
3 1 1
2
3 1
2
3 1 1
2
3 1
2
3 1 2
1 3 4
3 2 4
2
3
1
2
2
1 3 4
3 1 4
3 2 4
2
3
1
2
Câu 2 Thực hiện phép tính:
b)
2 2 5 3 5 3
4 2 4 10 17 5 17 5
A
b) B=
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
c) Tính giá trị
2 2
2
2008 2008
2009 2009
a)Tính:
10 4 2 0 17
5 17
5
2 4 10 17 5 17 5 2 4 10 17 5 17
5
2
Mặt khác ta luôn có: 5 17 5 17 10 4 2 0
Vậy: 5 17 5 17 10 4 2 0
Tương tự chứng minh
2
2
4
0 2 5 3
5
3
A
b) B=
3 2 2
3 2 3
2 2
3 2
- Biến đổi
2
) 1 3 ( 2
3 2 4 3 2
2
- Tương tự
2
) 1 3 ( 3 2
2
6
1 3 1 3 2 6 2 2
) 1 3 ( 2
6 2
2
) 1 3
Vậy B= 2
Trang 6c) Tính giá trị 2
2
2008 2008
2009 2009
2
2008 2008
2009 2009
có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm)
2
Câu 3 Rút gọn biểu thức :
P =
2005 2001
1
13 9
1 9
5
1 5
1
1
P =
2001 2005
1
9 13
1 5
9
1 1
5
1
) 2001 2005
)(
2001 2005
(
2001 2005
) 9 13 )(
9 13 (
9 13 )
5 9 )(
5 9 (
5 9 )
1 5
)(
1
5
(
1
5
=
4
1 2005 4
2001 2005
4
9 13 4
5 9 4
1
Vậy P =
4
1
2005
Câu 4 Tính giá trị của tổng
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
Xét A = 2 2
) 1 (
1 1
1
a
a a > 0
2 2 2
2 2 2
2
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( )
1 (
1 1
1
a a
a a
a a a
a A
= 2 2
2 2
2 2
2 2
4
) 1 (
) 1 (
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 2
a a
a a a
a
a a
a a
Vì a > 0, A > 0 nên A =
1
1 1 1 ) 1 (
1 2
a a a
a
a a
Áp dụng ta có
Trang 7B = 2 2 2 2 2 2
100
1 99
1 1
3
1 2
1 1 2
1 1
1
100
1 100 ) 100
1 99
1 1 (
) 3
1 2
1 1 ( )
2
1
1
1
1
Câu 5 (Chuyên ĐHSP 2009 V1) Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
x 1x2 y 1 y2 1 Chứng minh x+y=0
Ta có :
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
x x
y y
x x
x x
y y
x
x
Tương tự x 1 x2 y 1 y2 ( 2 )
Cộng (1) và (2) Ta có
0 1
1 1
1 2 2 2 2
Câu 6 (Chuyên ĐHSP 2011 V2) Cho
8
2 8
1 2 2
a
1.Chứng minh rằng 4a2 2a 2 0
2 Tính giá trị của biểu thức S a2 a4 a1
0 2 2
4 32
1 4
2 32
1 4
2 8
1 2 4
1 32
1 4
2
8
1 2 2
1 8
2 8
1 2 2
1 8
2 8
2 8
1 2
2
1
2 2
2
2 2
a a
a a
a
a
a a
a
2.Theo phần 1
2 2
4
2 4 2
2
2 2
3 1
8
1 2 1
8
1 2 4
) 1 ( 2 0
2 2
4
a a
a a a
a
a a a
a a
a
a
Câu 7 (Chuyên ĐHSP 2011 V1) Chứng minh bất đẳng thức
Trang 84
80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
80 79
2
6 5
2 4
3
2 2
1
2
2
80 79
1
6 5
1 4
3
1 2
1
1
A
A
) (
4
8 1 81 80 81
3 4 2 3 1
2
2
) 80 81 )(
80 81 (
80 81
) 3 4 )(
3 4 (
3 4 )
2 3 )(
2 3 (
2 3 )
1 2 )(
1
2
(
1 2
2
81 80
1 80
79
1
4 3
1 3
2
1 2
1
1
2
đpcm
A
A
A
A
Câu 8 Tính giá trị biểu thức:
3 2 2006
2 8
5 6 14 5
38 5 17 3
Rút gọn 3
17 5 38 5 2, 14 6 5 3 5
Khi đó : 5 2 ( 5 2) 1
3
5 3 5
Nên :
3 2 2006
27 9 3
A
Câu 9 (Chuyên ĐHSP 2009 V2) Các số thực x, y thoả mãn xy 2 và xy 2 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
3 3
3 3 3
2 2 3
2 2
2 2 2 2
2 4
2 2
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy P
Hướng dẫn
0 2 2
) 2 )(
2 (
) 2 ( 2 2
2 ) 2 )(
2 (
2
4 2 2 2
4
2 2
2 ) 2 ( 2
2 )
2 )((
2
(
2 2
2 2
2 2 2 2
2 4
2
2
3 3
3 3
2 3 3
3 3
3
3 3 2 2
3
3 3
3 3 3
3
3
3 3
3 3 3
2
2
3
xy
xy xy
xy xy
xy
xy xy
xy xy
xy xy
xy
xy y
x
xy
P
xy
xy xy
xy xy
xy xy
xy
xy P
xy
xy xy
xy xy
xy y
x
xy
P
Câu 10 (Chuyên ĐHSP 2014 V1) Cho các số thực dương a, b ; ab.Chứng minh rằng
2 )
(
) (
3 3
a b
ab a
b b a a
a a b b b
a
b a
Trang 9
3 3
3 2
3 3
3
2 )
(
3 3
2 )
(
) (
3
3 3
3 3
ĐPCM b
ab a
b a
a b b a a a a b b a a
a
Q
b a
a b
ab a
b a
a a b b b b a b b a a
a
Q
b a b a
b a a b
ab a
b a
a a b b b
a
b a b a
Q
a b
ab a
b b a a
a a b b b a
b
a
Q
3
1 6 27 3
1 3
1 6 27 3
1
3
1 6 27 3
1
; 3
1 6 27 3
1
u3 + v3 = 2a3 + 2a; u.v = a2 -
3
1
Mà A3 = (u + v)3 A3 = u3 + v3 + 3u.v( u+v )
A3 = 2a3 + 2a + 3(a2 -
3
1
)A A3 – (3a2 - 1)A – 2a3 – 2a = 0
(A – 2a)(A2 + 2a.A + a2 + 1) = 0 Do: A2 + 2a.A + a2 + 1 = (A + a)2 + 1 > 0 nên
A = 2a
C2: phân tích các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức
Câu 12 Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:
3 3
4 2 2 3 1
1
Áp dụng hằng đẳng thức: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2+b2+c2 – ab – bc – ca) Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi đó nhân tử số và mẫu số của A với
(a2+b2+c2 – ab – bc – ca), ta có:
59
2 5 4 11 13 )
4 2 (
2 3 1 3 ) 4 2 ( ) 2 3 ( 1
1 ).
4 2 ( ) 4 2 ( 2 3 2 3 1 ) 4 2 ( ) 2
3
(
3 3
3 3 3 3 3
3 3
3 3 2 3 2
3
A
Câu 13 Tính A = 4 5 35 4810 74 3
Ta có A = 4 5 35 4810 44 33
= 4 5 35 4810(2 3)
= 4 5 35(5 3)
= 9 3
Vậy A = 3
Trang 10Câu 14 Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
y 5 13 5 13 5
Dễ thấy y> 5
Bình phương 2 vế ta có:
y2 5 13 5 13 5
(y 5) 13 5 13 5
-
(y 5) 13 y
(y 3)(y 3y y 4) 0
-
(y 3) (y 3)(y 1)(y 1) 1 0
(*) -
Vì y > 5 nên (y3)(y1)(y 1) 1>0
Câu 15.(Chuyên ngữ 2006) Cho biểu thức
1 1
2 1
1 : 1
x x x x
x x
x
x P
a/Tìm x để P có nghĩa ,rút gọn P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q P x nguyên
*P có nghĩa khi x0;x1;Rút gọn P:
1
2 1
1
1 1
1 1
) 1 (
1 :
1
1
1 ) 1 )(
1 (
) 1 (
: 1
1 1
) 1 )(
1 (
2 1 :
1
1
1 ) 1 )(
1 (
2 1
1 : 1
1
2
x
x x
x x
x x x
x x
x
x
P
x x
x x
x x x
x
x x
x
x
x
P
x x
x x
x
x
x
P
b/Tìm các giá trị x nguyên để Q P x nguyên
1
3 1 1
3 1 1
2 1
2 1
2
x x
x x
x x
x x x
x x
x
Q
Q Z khi x 1Ư(3)=1;3 x0;4;16 thì Q Z
Câu 16 (Chuyên ngữ 2007) Cho biểu thức
1 2
1
1 1
1 1 1
1
1
x x
x x
x
x P
a)Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P b) Tìm x để
2
2
P
Giải
Trang 111) P có nghĩa khi
1 0
: , 0 1
1 ,
0
1 , 0 1 1
0 1
1
0 1
1
0
1
0
1
x va
x x
x
x x x x
x x
x x
x
x
Thì P có nghĩa
Rút gọn P
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2
1 2
) 1 )(
1 ( 2 1
1
1 2
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1
(
) 1 1
(
1 2
) 1 )(
1 ( 1
1 1
1
1 2
1
) 1 1
( 1
1 1 )
1 1
( 1
1 1
x
x P
x x x
x
P
x x x
x
x x
P
x x x
x P
x x
x
x x
x
x P
Vậy với -1<x< 0 và 0<x<1 thì 2
1 x
P 2)
2
2 2
1 2
1 1
2
2 1
2
2
2 2
2
x x
x
x P
2 2 2 2
x
x
Kết hợp với điều kiện -1<x< 0 và 0<x<1 ta có
2
2 1
1 2
2
x
x
Thì
2
2
P
Câu 17 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
y x
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
3
Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,xy
Giải
Rút gọn P
Trang 122
) (
2
2
) (
2 )
.(
2
2
) (
) (
2
3
y x
y y
x
x y x
y x
P
y x
y y
x
xy x y x xy
y xy x
y x xy
y xy x
P
y x
y y
x
xy x y x xy
y x y
x xy
y x P
y x
y y
x
y x x y y x
y x x
y y x
y x P
Câu 18 ( Chuyên ngữ 2008) Cho biểu thức
3
3 2
3 2 3
3 3
3
3 2 3
2
4
2
2 2
2 : 2
8
x x
x x
x x
x
x x
x A
Chứng minh A không phụ thuộc biến số
x x
x
A
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x x
A
x x
x x
x
x x x
x
x x x
x x x
A
2 2
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2
4
2 2
) 2
4 )(
2
(
) 2 (
) 2 )(
2 (
2
2 2 2
2 4 : 2
) 2
4 )(
2
(
3
3
3 3
3 3
3
3 3
3 2
3 2 3
3 3
3 2 3
3
3 3
3 3
3
3 3
3 2 3
3 2 3
3
3 2 3
3
Câu 19 (Chuyên ngữ 2011) Cho biểu thức
y x xy
y y x x y x y x y x y x
A
3 3
3 3
: 1 1 2
1 1
a)Rút gọn A
b) Tìm x ; y biết ; 5
36
xy
1)
y x y x y x
y x xy xy
y x A
y x xy
y x xy y
xy x y x xy
y x y x xy
y x A
.
) (
:
2
2
2)
6
5 5
6
1
xy
theo Viet đảo x; y là nghiệm dương của phương trình bậc 2
0 1 5 6 0 6
1
6
2 t t t
t
3
1
; 2
1
1 1 2
4
1
; 3
1
; 3
1
; 4
1
; y
x
Câu 20 (Chuyên ĐHSP 2012 V1) Cho biểu thức :
Trang 132 2
2 2 2
2
b a
b a b a b
a
b a b
a b a
b a P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Biết a-b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
b
b a b a
b a b
b a P
b a
b a b
a b a
b a b a b a b a b a b a P
b a
b a b a b a
b a b
a b a
b a P
a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
.
)
b)Thay a=b+1 ta có
2 2 2 2
1 2 1 2 2 )
1
b
b b
b b b
b b
P
2 1 2
2 1 2
2 2
)
(
b
a P
Min
Câu 21 Cho biểu thức (x + x 2 2006 ( y y 2 2006 ) 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Ta có:
(x x2 2006 (y y2 2006 (x x2 2006 )(y y2 2006 )
) 2006 (
2006 (
x x y y 2006 (x x2 2006 ) )(y y2 2006 )
Vậy( x x2 2006 )( y y2 2006 ) ( x x2 2006 ( y y2 2006 )
2006
2 y x
y
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x 0 => y 0 từ (*) => 0
2006
2006 2
2
y
x y
x
=> xy < 0
Vậy 22 22
2006
2006
y
x y
x
=> 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy < 0 => x - y 0
Câu 22 Cho 2008 2008
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên
b) Tìm chữ số tận cùng của M
a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên
=> S = x + y = 0
Trang 14Biến đổi 1004 1004
M 5 2 6 5 2 6
Đặt a 5 2 6; b 5 2 6 a b 10 và a.b 1
Đặt n n
n
U a b với nN Khi đó M = U1004
Ta có n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1
n 2
U a b a.a b.b 10 b a 10 a b
n 1 n 1 n n
n 1 n
10 a b ab a b 10U U
n 2 n 1 n
U 10U U
Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z
2 2 2 2
2
U a b a b 2ab 10 2.1 98 Z
Theo công thức (*) thì U3 10U2 U1 mà U1, U2 Z suy ra U3 Z
Lại theo (*) U4 10U3 U2 cũng có giá trị nguyên
Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n *
N
Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên
a)Tìm chữ số tận cùng của M (0.5 điểm)
Từ (*) suy ra Un 2 Un 10Un 1 10
có chữ số tận cùng giống nhau
1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau
Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2
Câu 23 (HSG Bắc Giang 2013)
3) Tính giá trị của biểu thức 3 3
P
a
3 8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3) 3 8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3)
A 2 3
Điều kiện: 2 a 11
x a x a x
Tính được ( 2). 2 92 : 32 1 1
P
.
=
2 2
a
Câu 24 (Chuyên ĐHSP 2007 V1) Cho a>2 chứng minh đẳng thức