Các phương pháp xác suất thống kê trong thị trường Tài chính và chứng khoán

2 Tổ chức các hội thảo và các chuyên để về các phương pháp toán họctrong tài chính và thị trường chứng khoán.. 3 Nghiên cứu các mô hình về thị trường bao gồm các nội dung sau: + Các mô h

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

trong thị trường Tài chính và chứng khoán

HÀ NỘI 2001

Tên đề t à i: Các phương pháp xác suất thống kê trong thị trường

3 CN Trần Trọng Nguyên , Khoa Toán , ĐHSP, Xuân Hoà, Hà Nội

2 TS Trần Hùng Thao , Viện Toán TTKH&CN.

3 T h s Trần Trọng Nguyên , Khoa Toán, ĐHSP, Xuân Hoà, Hà Nội

1) Thu thập và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài

2) Tổ chức các hội thảo và các chuyên để về các phương pháp toán họctrong tài chính và thị trường chứng khoán

3) Nghiên cứu các mô hình về thị trường bao gồm các nội dung sau:

+ Các mô hình ngẫu nhiên mô tả sự lên xuống của giá các loại

chứng khoán

+ Các mô hình vể lợi suất chứng khoán

+ Mô hình thị trường cân bằng và lành mạnh, cách xác định giá

hợp lý cho các mục tiêu đầu tư chứng khoán

e.Các kết quả đạt được :

1) Đã có 5 báo cáo khoa học tại Hội Nghị ứng Dụng Toán Học toàn quốc 12/1999 tại Hà Nội và Hội nghị khoa học khoa Toán -Cơ-Tin học

11/2000.

2) 5 báo cáo nói trên đã gửi đăng trên các tạp chí dưới đây :

+ Nguyễn Văn Hữu và Trần Trọng Nguyên:

On a generelized Cox- Ross-Rubinstein option m arket model

To appear in Acta Mathematica Vietnamica (đã có giấy nhận

đăng)

+ Trần Hùng Thao, Christine Thomas- Agnan:

Evolution des cours gouvernée par un processus de type ARIMA

Brienne, 31000 Toulouse de France

+ Nguyễn Văn Hữu :

Những vấn để toán học trong thị trường tài chính và thị trường chứng khoán, (sẽ đăng trong kỷ yếu của hội nghị ứng dụng Toán học toàn quốc từ 22/12 đến 25/12/1999)

+ Trần Trọng Nguyên và Trần Hùng Thao : Điều chỉnh sô tiền bảo chứng trong hoạt động kinh tế thị trường (Sẽ đăng trong kỷ yêu của hội nghị ứng dụng Toán học toàn quốc từ 22/12 đến

+ Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Ngọc Cương, Đào Hữu Hổ: Các tiêu chuẩn để kiểm tra tính độc lập của dãy các tín hiệu đối với các đối thiết dãy các tín hiệu tạo thành môt xích Markov

(Báo cáo khoa học tại Hội Nghị KH khoa Toán -Cơ-Tin Học ngày 24/11/2000)

3) Đã tổ chức các bài giảng giới thiệu về các vấn đề về toán học trong tài chính và thị trường chứng khoán ở các hôi thảo khoa học sau đây:

+ Hội nghị ứng dụng Toán học toàn quốc 12/1999 tại Hà Nôi

+ Seminar KH của phòng Xác Suất của Viện Toán TTKH &CN (3buổi)

+ Seminar "Các phương pháp ngẫu nhiên và giải tích số"

do GS Nguyễn Quí Hỷ chủ trì (4 buổi)

+ Seminar "Các phương pháp xác suất và ứng dung"

do GS Nguyễn Duy Tiến chủ trì (2 buổi)

4) Đã giảng 1 chuyên đề cao hoc về "Các phương pháp xác suất trong thị trường chứng khoán" cho HS cao hoc khoá 2 tai khoa Toán-Cơ-Tin Học, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nôi

5) Đang hướng dẫn NCS Trần Trong Nguyên, NCS của Viên Toán, TTKH&CN, vể các phương pháp xác suất trong tài chính va thị trường chứng khoán

Đã hướng dẫn một luận văn cử nhân của sv Nguyễn Thi Hằng

- Chế bản vi tính, photocopy và các khoản chi khác:

- Chê bản vi tính,photocopy và CCỈC khoan

Chi khác : 1.000.000(1 Tổng công : 8.000.000đ

a Title of scientific p ro je c t: Mathematical methods in the Finance

And in the stock markets

b.Chief o f the p ro je c t: Prof.Assoc.Ph.Dr.Nguyen Van Huu.

c.Participators :

1) Prof.Assoc.Ph.Dr Dao Huu Ho

2) Ph.Dr Tran Hung Thao

3) Mast Tran Trong Nguyen

d.Purpose and contain of the p ro je c t:

1) Collect literatures concerning to the project

2) Organize seminars on the subject "Math methods in the Finance and in the stock markets"

3) Study market models :

+ Stochastic models of stock price

+ Stochastic models of interest rate

+ Rational pricing contingent claim in complet, incomplet, arbitrage free markets

There are 5 papers will be published :

+ Nguyen Van Huu , Tran Trong Nguyen :

On a generalized Cox-Ross-Rubinstein option market model

To appear in Acta Mathematica Vietnamica + Tran Hung Thao , Christine Thomas -Agnan :

Evolution des cours gouvernée par un processus de type ARIMA fractionaire

u s s GREMAQ , Université Toulouse 1, 21 Allée de

Brienne , 31000 Toulouse de France

+ Nguyen Van Huu: Mathematics problems in the Finance and

in the stock markets Report in the first national conference on applied mathematics Held in Ha Noi, Vietnam 22/12 to 25/12/1999.+ Tran Trong Nguyen, Tran Hung Thao:

Security regulation for investment in a market economy Report in the first national conference on applied

mathematics Held in Ha Noi Vietnam 22/12 to 25712/1999 + Nguyen Van Huu, Nguyen Ngoc Cuong, Dao Huu Ho:

Testing the independence of sujn.il sequence against the

a lte rn a tiv e in which the sicinal s e q u e n c e is markovian Report in the mathematical conference of the facculty of Mathematics-Mechanics-lnformatics, National University

Hn Noi Vietnam

+ Have delivered the lectures on stochastic calculus and its application to the financial mathematics on the seminar

"stochastic methods and numerical analysis" heading by

2 Báo cáo tóm tắt bằng tiếng Anh

Prof.Nguyen Qui Hy and on the seminar "Probabilist models and their application" heading by Prof.Nguyen Duy Tien in the National University Ha Noi.

+ A thesis on stochastic methods in the Finance has been fulfieled to get the degree of Bachelor of Mathematics

Nguyễn Văn Hũ'u

Báo cáo tông kết để tài NCKH QT-99.01

1 Muc luc

3.Nối dung chỉnh

Để tài nghiên cứu rvi nhăm các nội dung sau :

hướng nghiên ưu chính

- Tô’ c h ứ c c á c CIIOC hội th ả o về chu đề c ủ a đề tài

- Nghiên cứu một số mô hình ngẫu nhiên mò tả sự lèn xuông của giá các loại chứng khoán, mỏ hình về lợi suất chứng khoán

- Nghiên cứu các đièù kiện để cho một thi trường là lành mạnh, không có cơ hội trục lợi chứng khoán

- Nghiên cứu việc định giá hơp lý các mục tiêu đầu tư và các chiến lươc để đat các muc tiêu đó với rủi ro tối thiểu

4.Kết luân

Trong 2 năm vừa qua các thành viên của đế tài đã cô gắng thực hiện các mục tiêu cơ bản của để tài.Tuy nhiên việc ứng dung các kết quả nghiên cửu vào thưc tiên ở nước ta còn chưa thưc hiên đươc vì thị trường chứng khoan ở nước u vừa mới xuất hiện ở thành phố Hồ Chí Minh

5.Tài liêu tham khảo chính

[1] Black F.,Sholes M The pricing of option and corporate liabilities Journal of Political Economy 1973,No.3, 637-659

[2] Bachelier L.Théorie de la speculation Ann.Ecole Norm.Sup

1900.Vol.17

3] Cox J.C.,Ross R.A The valuation of options for alternative

stochastic processes Journal of Financial Economics,1976,

Vol.3,145-166.4] Cox J.C.,Ross R.A.Rubinstein M Option pricing: a simplied

approach Journal of Financial Economics, 1976 ,Vol.3,145-166.5] Karatzas I.Shreve S.E Methods of Mathematical Finance

Spring 1998,408 pag.6] Lamberton D.,Lapeyre B Introdution au calcul stochastique

appliqué à la finance Edition:Ellipse, Paris 1997

7] Markowitz H Portfolio selection.Efficient diversification of

investments New York : Willey 1958

8] Markowitz H.Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and

Capital Markets.Cambridge,Massachussetts:Blackwell,1990,387p.9] Shall M Martingale measures and hedging for discrete time

financial markets Mathematics of operation research, 1999,

Vol.24 No 2,509-52810] Shiryaev A N Kabanov lu.M.,Kramkov A.v On the theory of pricing Europian and American option :l-discrete time case,

ll-continuous time case Theory of Probability and its

application 1994,Vol.39,No.1,21-129 (in Russian)

Phụ Lục.

Các bài báo đã gửi đăng và các báo cáo khoa học :

1) Nguyễn Văn Hữu và Trần Trọng Nguyên :

On a genorelized Cox-Ross-Rubinstein option market model

To appear in Acta Mathematica Vietnarnica (đã có giấy nhận đăng).2) Trần Hùng Thao , Christine Thomas Agnan :

Evolution des cours gouvernée par un processus de type

ARIMA fractionaire USS-Gremaq.Université Toulouse 1, 21 Alléa de Brienne, 31000 Toulouse de France

3) Nguyễn Văn Hữu : Những vấn đề toán học trong thị trường tài chính

và thị trường chứng khoán (sẽ đăng trong kỷ yếu của hội nghị ứng dung Toán Học toàn quốc 12/1999)

4) Trần Trọng Nguyên và Trần Hùng Thao: Điểu chỉnh sô tiền bảoehứng trong hoạt động kinh tế thị trường (sẽ đăng trong kỷ yếu của hội nghị ứng dụng Toán Học toàn quốc 12/1999)

5) Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Ngọc Cương, Đào Hữu Hồ :

Các tiêu chuẩn để kiểm tra tính độc lập của dãy các tín hiệu đối với các đôi thiết rằng dãy các tín hiệu tạo thành một xích Markov

(Báo cáo khoa hoc tai Hội Nghị KH khoa Toán - Cơ- Tin Hoc Ngày 24/11/2000)

ON A CỈ 1 N i:K A I,l/i:i) COX-ROSS-RUmNSTHN OPTION

MARKI'T MOUI.L

H a n o i N atio n a l U n iv e rs ity H anoi Pedagogical U niV C Isily II

A h sra cl

T h is a i l i d c concerns a u c n c i; ili/o il C o x - K o s s - U u h in s lu n m o d el ol an

o p tio n m iirk e l Sonic lim it theorems lo r 1 lie slock pricc proccss anil tlic ii

cipplicatit>n In tic 11 lie it| ip m x im a lc ly llic rational price and h e dg in g s lm lc u ic s

ol slantliiixl lù im p e a n o p tio n arc c s la h lis lic tl.

c l a im m ilI t ill im <ISUIV.

I- Iiỉtro d u c lio n :

The o p t i i'11 m arkel s i m p lilic il m odel considered h v l.c C ox,.I.li.lvoss.

M U u h in s í c iii I.] I imtl IVC m i l ) ' by A N S h illja c v III K a b an o v D O K ia m k o v

S( is 111C Viiluc III i n n i i K ii i l - k i /N c l 1 i l i l h i s i o n |)|IIV |)ii>cfs,s ( Ir liiK 'd In ’

ds, = s, (p , cl I + fT,d w ) ()•_ is T where w , IS .1 Wicnc! process Tlierelore it

111 ihis a r lic lc wo shall c o n s u lc r an o p tio n n iiir k c l ilcline cl hy l u i

lo llo w ’iim processes:

i ) á r i s k l i v e a s s c l P i o c c s s :

UM = \ị,.|(1+!•„), B„ given; r„>() with f„ = r„(N) 11 = 1-7-N (1.3) ii) a slock price proccss:

Cox-Uoss-Uubinslein option market model (il is also called binomial model ) and ils generalizalion defined by (1 1 )-(1.4) arc the rather rare eases

o l c o m p le te m a rke t m odel o l (Jicretc lim e .w here one can w e ll d e lin c llic la ir

or rational pricc and hedging slralcgy o f any option conlingcnl claim (sec section 4 1 below).I lowcver ,as can see in sot ion 3 and 4.llic generalized model.however il contains loo many unknown uk.dk ,pk,k= L2 N is a good iippiuxim iiliun ol cimlinuous lime option in;nkcl model wliciv slock pricL'

process.

hor the Silkc o f sim plicily wc shall dclclc (lie index N ill llic expression

!'„• IV

IVM„-111 l l i i s i i i l i c l c w c s h a l l p r o VC l l i i i l w i l l i s o m e c o m l i l i o i i s o i l u t t i p | \ ,

ln(SN/ S (l) w ill he asymptotical normal as N —> +00.

The assymlolic properly til ln(SN/S,,) w ill he used lor the pricing til standard lùim pciin option.

The ImiclioiKil convciucucc ill the spacc D o f cad lag 1 unclitins w illi

Skoiokhoils metric w ill he also shown

The ICS nils o f llic above convci^cncc w ill he also useful lor hedging sonic conlinuciil claim.

2 L im it (lis lrih iilio n o l'ln (S N / s„)

Suppose I lie price ol some slock liiis the slrucluic (1.1) (1.2) (1.4) Pulling Z N = ln(SN /S ,) we luivc ihc following Lemirm:

la k in u o n ly tw o Vil I lies I n d + U ị ) h ư l+ c l, ) w i l l i I he rcspcetivc

piohilhililies pk and t|j ,\vc have

( 2 5 )

Dcvclopping exp(illn( I + u k)) in ln( I +uk) we ohlain

cxp(illn( I +II> ))= I +iiln( I + ti( )- 7 t: lir ( I +U| )+0lil'(1111 ( I +u, )l)') (2.6) Noticing llinl

-\ l ’ | Pi Uj+qkil| } “-+-C)m;ix(lt I-III')(p ju J ’’ + (.]( klj 1“ ) max(kl, IJuJ) (2.10)

l i i i i i l l y (2.4) ami (2.10) lull'lly that

Ĩ I

The Icillnwing Theorem is a dirccl conscqucnce <>l the above Lemma.

T h e o r e m 2.1 Suppose 1 hill I lie lo lln w in u c n iu lilio n s is satisfied (as N —>+io):

i) </N = m ;i\ (III, I.Id, I) —> 0

gk(l) = I: cxp(illn( I +P|)) = pk L\\p(il ln( I +U()) + qkcxp(illn( I +uk)).

<!>(-*) = — — í c \ p ( - / 2 / 2\ h

^ 2 ĩĩ _.r

Remark: II p(Uj+iỊk<Jk > 0 lui all k = Ih-N il follows IVom (i).(ii) ihal h=().

3 A f u n c t i o n a l c o n v e r g e n c e t h e o r e m

L c l IIS consicJcr a lim e in te rva l 10 /1 'I anil llic SCCỊIICIKCI s„ Id e lin c c l by

( 1 1) (1.2).( 1.4).) Then wc can define a process I S,4( N ) I as follows:

where |ii| stands lor I he integer pari ol ihc number a

Il is obvious t hat (S,H(N) , 0 < I < T | bclmms lo I lie spacc o f cad lag functions and llial (S,'(N), ()< t < T Ị is a inilcpciitlciil incicmcnts pioccss.

Let IIS c o n s id e r 1 he increm ents o f Ihc proce ss In(vS,' ( N )):

with k ( l ) =k(l.N )= I N t / r I ; k(s) = k (s ,N )= I N s/l |.

Suppose dial I lie lollow inu conditions ill e sillislicil:

iis N —> + C-O , lor all I e |0,T|.

a) </N = itKixmax (liij.kl I) —>■ 0 (u, -<J f <0/N

ill nolicmg llial (S, / s, ! / litkcs onlv 1 \V (1 values l + u , = l+ u ^ N ): I+ il = l+ d ( N )

Then by Theorem 2.2 I he ilislrihulion o f

I(1 ( s ,' ( N ) / s n) - ln(Ssl ( N ) / S j = ln(S M(1 / s„) - ln(S ,(S1 / s„)

M v 1 he (.niuliliitns ( c ) iiml ( i l ) w v S i / C lli.ll li l t - I I I I1L I I I ) | | S I v ’ d ) ; n ( I ) I i u l ( T ' ~

r r d ) - h ( I ) ;uv nnn-dci iViisinu.

I u i I I k 'I s u p p o s e l l i i t a ( l ) b ( ! ) C7: ( l ) p o s s e s s I l i e u o n l m i i i M i s i l l II '

■ Iiul pill

Wc l i i i w llie lollow nm Theorem:

Theorem 3.1 Assume '.hell llic coiulilion (a).(h).(c).(J) and o 7) arc satisfied

Then llic process ln (.y (N j/s,,) coil verges III disli ihulioii on I he space I.)

nl Ciullaii- lu iK liu i^ to I lie process Z (l) I^iwcn hv:

dZ (0 = a(t)dt + 0 ( 1 ) d\v, , /(()) = ().()<!< T ( 3 8 )

where w , is a standard Wiener proccss on |(),T|.

Proof Since the distribution (>r ln(S,f (N )/ s„) - ln(S_+(N) / s„) converges, by

tlisliih u lio n o f 7.(1) - Z(s), and holli processes ln(S,+( N)/S„) and Z(t) arc iiulipendent incrcincnls processes anil all I’inilc dimension distributions ol

111 (s,'( N)/S,,) converge lo llic ones o f /( I) I III ih u m o ic \vc Lilli prove lhal ihc

SCIỊIIUICC ( ln(S,'(N) |is lighKscc Appendix )aiul hv Prokhorov’s Theorem (see

I I |) wc ohiiiin Ihc conclusion I>r Theorem V I.

Rcmai k /: II 11,11, + > 0 lor iill i= IH-N I hen h(l) = 0.

Inliicl il follows from a) and c) dial

Remark 2: Pulling s(I ) = S,,cxp(Z(l)), by llic Ito's formula we have

w here u(\ )=(/(! H ( n (I ))~/2 = c l(a (l ) - b ( l ) ) / d l

and it is easy lo see llial the process |S ,'(N )Ị converges in distribution lo S'(I).

4 A p ro x im a le lv p ricin g of standard Knropcan option fo r ;i generalized

K o s s - K i i h i i i s l c i n m a r k e t

4 1 Hu sit (li COIK I'pi ions:

Let IIS c o iim i I lt ; i ucncrali/cil C'ox-koss-kubinslcin market ilclincd hy 1\V() process I l i M Ị;uul (S J^ive n by (1.3).(1.4) wlicrc ( pM Ị is ihc scquencc ol iiulcpciulcnt random variables lie rilled on llic same piohahilily space (Q.T'.P)

vvi ll i I lie o b j e c t i v e p r o h i i h i l i l y m e a s u r e l } ( J d i n c i l so l h ll

I’ l P t - U i l = IV H Pk=tM = Mk = *- Pk (0<pk< l ) k = l-rN ,

s„ is given.

Pul 3,, = a(St I < k Ặ 11) = C7(pk.l < k < n) 11= U-N.

W c can take £2={d,.ul ỊO © | i l N.uN| iik I T s = | A : A d i | Let IIS recall some basical conceptions.

Suppose (hill ail iiUL'iil keeps al c a r li lim e m o m e n t II (11= 0 - N - l ) 7i" biink iic c o im ls ( i f the price Mm ;iml 7T1 n shiiivs <}| ilic p i'K r SM Thus al I he lim e

D iT m itỉo n 4.2 The lỊiianlilics

II Ciisv lo see (hill rceSF ill

In lacl, by (3.3)

A r ; = An,," + V A *.,1 + Tt./A.v,, = 71,,'AS,',

D c Ịìiiitio ii 4.3 The probhahilily mciisiiic Ụ is call nculral martingale

We have ihe follow ing proposition.

Proposition 4.1 Q is a neulral marlingalc measure i l l Ã',, =vSn/B n is an ( 3 M,Ọ)-

where pM\ qM arc tic lined by

r iim j. I iy ( - t 5 ) w i liitvi

l-;()( A r ; / \ ) = ,.,/bjLiyip,,- | J = 0

i ll l>()(p M) = r„ lor all 11=:I N.

Dclinition 4 4 The value

is c.ilk'll rational cosl or piicc correspondin'.: lo (lie claim I l N.

I lie problem is lo ik liiK - C'(IIN) ;iikI 1(1 liml ;i slialcuy 71 so lhal V ”

= v „ (Iiul \ \ * > I lN We have the follow ing theorem:

Theorem 4.1 In llic gL-iKTiili/cd Cox-Ross-Uuhmslciii market ( IỈ,S) wc have:

(i) l ;oi ;inyrvN- measurable claim 11N

(ii)VViili llie initial capital V „ = C ( I I N) llic ic exists ihc so calk'd

m inim um hedging slialcgv 71 such that

* _« *

('I'llis theorem is a sim ihirily ol Theorem I ill |6 |lo r a binomial option

market model).

Remark : The clilim I IN=max(SN-K,0) := (SN-K ), or i lN = (SN-K ), concerns

(lie problem o f pricing a standard liuropean call option (S.R.C.O) or slandaicl

lùiropcan pill option (S.R.P.O) rcspcclivdy.

D c lin ilio n 4.5.1 ) A slnilcgy K e Sl; is said lo he arhilnmc if V {)K =0 V N7C >0

and P( V Nn >0) >0

arbitrage sell-financing strategy.

Remark. A m aikcl (>l arbitraue is essentially a making money mcchanism.

D c lin ilio n 4.6 A niiirkcl (IỈ.S) is said lo he complclc il any conligL'nl claim

I I N is ;illain;iblc i.c.llKTc exists ail im liiil Ciipilal V (l iiiul TC rSI- M idi that

V " = V, V V ,1 II * N * =11 1

*N-Remark. I hc market (H.S) w ith - I< il(<|-J<uk is ai hiliiiyc free and complclc.

This statement follows from preposition 4.2 aiul from |4| where one liiis stilled that ;i market (B.S) is arbitrage live aiul complclc ill I here exists I he Mil ic| lie marlinualc measure.

4.1 A p p ro x im a te ly d e fin in g o f the re a s o n a b le p i icc o fS E C O

a m i o f s l i r o

Lcl IIS consider the option markcl (B.S) defined in Pari I and Q hcinu

I lie neulnil martingale measure ( its cxislcncc has been slated in proposition 4.2) Suppose llial

uk= rk+c>|, dk= rk- T k; Tk >0: CTk>() lor a 11 k= I-=-N (4.1 1 )

Prool Lcl IIS verily coiulilions ol Theorem 2.1 W i l li p, rcplaccel by p

Al lii'sl I lie coiulilion ( /N -> 0 lollows I ft >111 (ii) 11 1C' condition (ii) is

c q m \ i l k ’ ll I lo V I p , ) = V I ( —> ;i

Sincc | \ uk + c|k’ (Jk = I k >0 llic conditions (iii) and (iv) lo llo w Irom

Remark 2.1 o f Section 3 and the fact lliat

i (Pk \ 2 + MkX2) = X Eụ(Pk2) = z lEụ(Pr''k): + I'k'l

= x I l V ( i ' r ' \ ) 2 + + X ''if = È ơ kTk + X rk2 - * ơ2 (by (b))

liy Theorem 2.2 wc obtain (4.13).

T h e o re m 4.3 Under llic conditions 1)1'Theorem 4.2 llic rational pricc o f

SI ICO is tic lined by

with (Jt = |ln(S,,/K)+a ± c r/2 |/ơ

Whereas ihc rational pricc o f S.E.P.O is yivcn by

-( by llic c o tiin iily and llic boimdness o f ihc lunclioii

mill I cxp(x )-K/S,,.() 1 on (-co,+co)) On llic oilier hand

Rciììitrk 2. Ill llic oplion market model considered above llicrc arc loo many

unknown parameters: I\ uk i l k, k=l-=-N However il llicsc quanlilies

d i ; m ^ c h i l l X ' ' • X a iT' l c m i , m 11 i s l ; m l w e c;III i i p p l y I l i c m v m 4 ^

4.J A fnix Iiointl linu l ihcorcm H ilda■ llic i I Cl 111 (11 111(11 liiixalư measure (J

Ill Mils |i ;i rl w c s 1 1 ; 1 11 p r o v e a l l i c o i c m s i m i l a r In T h e o r e m 3.1 when p is

ivpliKVil hy ọ

and It) I lie llie price proccss I s,' ( N ) ,le |().T |) del ineil hy (3.1 ) ol Section}

Lcl IIS 1 /onsidcr ill' lo llo w in g coiulilionv.:

(b.) max max (iv.CT^T )-> 0 max C7.T, <0/N

<Ja(l)/dl := a,(t) (Jơ2(l)/<Jl := ơ | 2 (I) >0.

Let Q he the nculral mai'lingalc measure defined by

R irllic r, il follows Imm (Cj) anil (cl I ) I hill lo ik = k ( l N ) = |lN /T |

^ 1’, — » a(T)-a(l)> 0 ; lor all I e I(),TI

T h e o re m 4.5 Suppose llial the condilions (a,) - (c J) arc ill I riled Then

miller Q the process I n { s,+ (N )/S „} with |S / (N).l e 10.TI} defined bv (.1.1) convcycs in ilislribulion oil the spate I) lo ihc proccss z , ( l ) given

by llic fo llo w in ': \I(H liaslic cliHcicnlial cc|ii;ilion:

The p ro o f o f T h o r e m 4 4 m a y he ca rrie d o u l as in llic p ro o f o f

Theorem 3.1.

l ủ 'm u r k : P u llin g s / = s, ,c X p( >^( 1) s ,1 s iltis i ics I lie lo llo w in u SOI i:

and by Theorem 4.4 jS,'(N), ()< I < T Ị converges in ilisiribiituion on D

K ) t The similar conclusion is also valid lor v „ = C|> and llic claim (K-SN)+ ()1

iip p m xim a lclv C,.,C| imJ corresponding hedging strategics.

Ill fuel hy (4.20), lor k = |lN /T | \vc have

O il the tightness o f the scqucncc {In(S,+(N)/S(,,0 < t< T,N = N o,No+| }

lx'l us co ns ide r Ihe s eq u en ce ol' the processes

w illi k (N l) = I Nl/TI ; ()< t <T; N =N I1,N1„

where N„ is some posihlc integer (See ( VI )-(3.6) o f scclion 3)).

W c have the follow ing Lemma:

il is easy lo see lhal all linile-climcnsion distributions ol { x,( N );()< t < N Ị

converge weakly to llic ones of

11 lollow s I mm o ) (4) ( s ) 111 ill 111 (s,1 ( N )/SM) > ; i( l) - r r( I ) + X, ill cl i si I i hill ion

ill X,(N) —> X, in clislribillion aiul hcnccl ln(S,4(N)/Sn): ()< I < T ;N = N (I,N () ị Ị

is lig lil ill |X ,(N ); 0< I sT: N = N „.N m Ị is ligln.

in| I l.il is sill I icicnt to show Ihal there exists ;t posilive constant c such llial

On llic oilier hand

II Follows Irom (9) - (I I) llial

ln ( l+ p , ) - n iIi( l+ p ,) | = (Jtjp.ip.-U,) + c i.ip -d ,) 1

and lie lice

I - 1 |ln( l+p,) - Rln( l+ p , ) } : = </.,: K |p ,((V 11,) +

l-uthcim oic lio m (14), (10) we obtain

I k I V /, I

Lei us nolice llial

l*{| V, (N )-X ,(N )Ị-ị V,; ( N ) - X , ( N ) | : | < ( 4 0 V r 2.(! - I , r < C ( ( i,- t , r (18)

wilh c = 40Yr2.

Thus (6) holds and this proves the lightness o f |X,(N ); ()< I < T ;N = N (),N()+| Ị.

Remark. Under Q \vc have U) rcplacc p( hyp,' , where

|V = (r, - d ,)/(»,- d,), then p V i u , - (J,)2 = (r, - d.Xu, - r,) = T.Ơ,

I Icncc il max r,cr, < B/N we ohlain immcdialcly (17) and I lie above

\:r \

References.

■lonh W ille y & Sons, New York-Lonclon-Sydncy-Tomnlo 1975.

London 1985.

14 1 D i i n i c l L a m h c r t o n , B e r n a r d L a p c y r c

Inlm tluclion ail cillcul slochiislicque applique' à la Finance

H llipses/lklilion M arkcliim s.A, Paris 1997.

loniuil o f Probability Theory and ils application (In Russian)

V.39 No I 1994; p 15 0 -190

Towards I he llicory o f pricing o f option of both Ruropciin and American types: l.discrclc time, 11 Continuous lime.

I o f Probability Theory and its application (In Russian)

v 3 (); No 1,1994;pag.23-129.

° « í I ■ f t ■ f « t 1» « » '

lanol Inslllule of Mdlh^rnallcs

v o Box 6.11 R o l l o in n m llrin o l VM ni-im

11-1 SI I ’ M>' 17 I

1 IX » ! t 7S(| I '0 \

l : niiiil : h I: ưm ’I i : i i i ì i i u i I i :u VII

(ỈIẢY CllllNíỉ NHÀN

Hai 1 hiên IẠ|) l ạp chí Aclíi M íitlicm íitka Vicln;imic;i cluing nliiU) biìi biio'

"On ;> gcnci;ili/ecl ( 'ox-Ross-Riibinsloin

oplinn n iíiik o l m<nl(T'

c ủ a l i í c g i ả : N g u y e n V r m I i r m - T r f i n T r o l l y N g u y ê n

(lã (lirợc 11 lìn 11 (lfmg IiOii líip c h í Acl:i NlíillicmatÌCÍI Viclnainica.

] M Mill! biÍMi l;ìp A f l ; i M ; i lh e m ; il ic;i V i c l i i i i n m ;i

: I :<JJ ỊM’ II l o i

í ’ f ì i r » I ợ / / r ỵ s ' / ) , V i .V

N o u s p io p o s o n s u n in o r lM e a p p r o p iip He r e v o lu t io n <lu COU 1 S r|p r a c t io n fla n s u n m a ic h é

f in a n c ie r Ó le p r i x d ’ a c t i f à u n in s t a n t p e u t in fiu o n c P r à lo n g t e im e le d v n a m iq u e d u COU1S

C e t p flp t rip lo n g u e m é m o tT P np p p u t pas P trp p r is Pn r o m p t.p p a r I r m o rle lp u s u e l fie B la c k

e v o lu tio n A n a s y m p t o t ic s o lu t io n fo r d ip m o d e l is fo u n d

K e y w o r d s : A I I Ỉ M A , f r a c t i o n a l Jtr orrs s l i l i i c k - S c h o l r s m o d e l

1 I n t r o d u c t i o n

II (' St h i m C O M 111 q u r r ( ' v o l u t i o n (111 c o in s ( ! ( ' I ' n r t i o n ( \ s t h a b i t , i H ' l l e i i K ' i i t ( l c c r i t o p a r r<'‘(|M;>t,ion (lc B la c k ('t S c lio lc s :

o il S i <'sl, !(' pr ix (!(' F a c tio n i'v I ’ in s l ;mt, I / I ct 1' sou l ( lc iix c o n st nut ('S, i r , cs! n il liio n v c iiK 'iit

ln o w n ic ii s l; u i ( l; ii( l <'t 7 ' cst la ( la te (l'(-( Ii( ’:\n i r (1(‘ I 'o p lio n ;i (‘ l.iu lic r I ’o m s in ip lilic T , o il v;\ S(' rest rrii111!’<’ n il c ;is I in iv iir ic

D i m s <•(' m o d c l c ( 1 1 ) I( ' l i t p p o i I K ' l a l i f ^ ( ' I I I IX’ )<■ < l i r» 11 Jet’ l l l i ' l i t « l u J >1 i x ( ! ( ' I ’ i u l I O I I ('t l n i - IIIf* 1 ■ It* r s t s u p p o s e * l i o n s r u l m u ’ i i t p r o p o r t i o n n c l à l a i l n n V ( I n t t ' m p s <1(' (■(' e h a i i K C i i u ’ i it , i n a i s

i i u s s i l i n i i l t ’ p a r 1(' l i m i t l i l m i c m « r k o v i m f i W ' i F, l p ; i r 1 ( ) I 1 S ( V | I I ( - I i t , l ; i s o l u t i o n S i (1(' ( 1 1 )

t's t n il pro < 'CSSUS (Ic M iir k o v q u i lie p n 's c iilc f|tl HIM" ( Ir p r m liU K 'c li s f;\il)l(- (’ t a n s s i q n ’ u n r

s o r lí ' i l 'i iii l( '] M 'ii( l ; i iic c i\vc< ](• |>;\ss<- lo in l il i i i M a is il csl ( - v i(l('i)t p o u r |;i p lu p a r t, (lcs proccssu.s ('( u iio in iq m '.s , 1’ liv p o l lii's c (Ít' ( u n it e m i'm o ir c liV s t pas t( 'iia !) l( ' L(> p r i x d o F a c tio n

S i à l ' i n s l ỉin l t p e n t r t r r in fliK 'iK ('■ p a r s o il <o m p o r tc m c n l lu iin t.H iip s a v a n t Et, la p ro p ric t.0

(l(- M i i r k o v n V s l p lu s v ;il;t!> l(' d im s (■(' CHS [ \ t I(' M sf|U (' < k l i i c t i o n ( l o i t ('-tre r r p r ĩ s e n t é p a r HU

mtxlMc ('(.important 11110 (l(-p('ii(l;ui( (' ("('St |H)inqnoi 1IOI1S allons proposrr ici nil modt'lo (1(’S

c o i n s | ) i i r n i l | ) | O C I' S S I IS ; t s \ r 111 > 1 1 >t it 1 1K ■ ;i I1 II Í' s c i i c I c m p o i c l l c A I Í Í M A ( | i i i c x p r i i i H ’

IM K - (' v o l n l i o n ( ! ( ’ l o n g u e i i K ' n i o i r c

1

! 1»

Ĩ Ỉ I 1 r í ĩ c t , o i l ( o n s id ò n ' ( l ’a l i o n l im b m it c a iis õ p a r Mil pro co s.N iis A R I M A Y ( ló í i n i p a r

Y' = (1 - / , ) “ ''«!>(/,)“ * « ( % „ < = 0 ,1 2 , , r n (1.2)

o i l ( e , ) csl n i l l i m i t I>lí\n< (ỊIIÍ (>st m i l 1 s u it e (le VÍUi;>l>lcs ; ilr ; i t ( ) i i ( - s <l(' lu o v c m u ’s n u llc s , IIOI1

c o r n 'l( '( 's H, (le IIIÔ IIK ' v a lia n t , (T, / , ('S* 1\)])(TÍ1I('11I (le r c t í t r d , <I> ct (-) s o iit (lc s p o lv n ù n io s

<1(' r c t iiM Ỉ a y n n t le i ìr s r í ic in c s à I V x t iT Ì c u r <||| (IÌS Í|IIC i m i t r I / o r đ r c d <lc i l i l ĩ ó r c n l in t.io n <\st,

Oil ( ' O i i s i d Ì T C i i i í i Ì M l c i i a i i t I I I ] p r o c e s s u s z ( l c l i n i Ị > ; i I :

o il Ị.r| csl I;i p ; i r t i c ( M itiỈT c <l<' r

N o u s i m v o y u i i s lc s l( ’( lc u r s ; n ix i / ’s i i l l i l t s I >■ <‘-s<'MIí'S ( liin s |'2| o il l ' t >1 1 p c u t ( l o u v e r CỊIU',

n p rf'K M il < i i l r u l c t e n í \ ] > p li( | ii; in t le I l i r o i r i n c <l<' D u t is k c i o i l a l ' i i p p r o x i m i i t io n s u iv iu it.c :

i l l UK’ <||'| X’ l I< liim (' ;i l< >111!, t (II1 1 (‘ (1 1111 I > I i X 11 ;t< l i o n < l;i IIS I I'vol111 i<>11 11II COI II s.

O il p c i it H 'V i'iiir ;i 11 t e m p s t ÍIVCC ( ) < / < / p i i r ' 1 1 1 < li; u if ; ( 'in ( 'iit (!(’ Ví)ria!>]<' s = ịp i ' l l

I ( ' 1 1 I|)I;|< ; m l y p ill I <-t ( ' 1 1 n o la n t <|U(' 1c 1 1 1 1 ) 1 1 v c i i i f i i l lim w n ic n 11, cs l MU p ro c e s s u s ; m to

q u i a r r a r lio is i t-o im n c la p e r t u r b a t io n (la n s no t.H ' iiio d M c ' (lo lonj!, t m n e (lo 1’é v o liit io n <lu

o il w / 1 í\st, 1 1 1 1 IN O U V Í-In riit b r o w i i i c i i f i a r t i o n n ; i i i ( ' (le p n r a in r t.r c ' <1(' H n rs t, / / ( ) < / / < 1 ( v o i r

li< |il( ' <l’ ỉ t ũ , c ;ir I I '«'St p lu s IIII s c in i m ill t ('II c / m k t í iI s ; m lf le I MS (lù I I - - D c s

m i l ' l l I s s i I)C l i i i s l i ( | l i e s I I O I I v<'<11I X s o n I c l ; i l i u i I'S ( v o i l 11 ] ) I X I I l ĩ 11 i i i l CI' l i e s I ( ' l i e s s i l n a l i o n s , l i i i i i s

il S ( 'in l)l(' f|MC' ils s o n t lo in <I('S lic s o in s p r a t iq u e s d a n s lí i iiiia n c c M a is 1 ) 1 1 sa it, a u s s i q n r 1('

m o iiv c M ic n t I i i o w i i i c n fi n c l io m iM Ì n ' it< liiK 't lin e i c p i r s c i i l a t i o n lie f o r m e

o i l r < I('s ìị;ii(' Ií< fo n c t io n <l(' K iiM im n IV ’| c s t n u m o n v c m c iit l) r o \ v n i( 'i i s t a n d a r d , a — -/ / ,

( It 'S t r a j c c l o i i i ' s a b s o l m i i m t c o n t i i m i ' s i l s n l H l ( ! ( ' c u n s i d i T c i l ( ' i c r i i K '

I Ỉ , = I ụ - s ) - n , i \ v , , 0 < o < I ( 2 4 )

O i l a i i i n s i ( l e m o n i n ' q u 'o n a lie s la is o n s lie I l i o i s i r III ( I r l i n i |>ai ( 2 I) o i l ( 1 7 ) n il lie 'll <lc

W f " T T T - Z i i " ' ' ( ( n il IIIC la ]>€ • I I 111 I >; 11 i I ) n 11II I >11X <lc )'; 1 c I i (> 1 1 < I; 111 s IIII m i l t c l i r

C c c i s in n ili* ' q u e I I / i f — n i + c II2 = ^— J - o il II II < l('sij;n(' la u o n n r (Wins / j 2{ l ỉ ) O il a an ssi:

4 Un imxIHo moflific' ell- (1.8)

I *< 1111 ( I i ; i ( | i i c t“ > (I on .I.s s u c ic i'l ( I K) I f iiid c IM c Í1SVII I| )l < it iquc SI 1Ĩ V il l i t

o il T o il c lio is it N p o in ts ( ''( |iii( lis liin ls (In n s I 'i n lc r v i ilc |( ),/|.

I JÍ 1 ]()i lie la f i l 111 i l ]<' { i r ( ( Ẳ - + 1 ) 7 7 ) — ^ ( ^ T v ) } ’ () < A' < yv — 1 (‘St id o u tiq u c à C(']l('

( I 'l i i K ' f n t n i l l c (U' v ii r i i i M c s lii i u s s i r m i c c o n t n V s c t ( lc v ; u i; m < r T7 - P o u r M ill' s im u la t i o n , o n

p ru t m n p l i i ( ( 't U '( ( J - + 1 ) 1 7 ) — \ v ị k j f ) p a r <ỉk \J-jỹ, o il ( < 7 a-) A - > 0 <'*•■ ' II 1 Í' suit.*' ( 1 (' v a ria b le s

U n iis s ic iiiK ' <c u t 1 ÓCS n 'd i i i l f 's nWX-i- A lo is o n ;i;

l i i d "_i 11 u >) 1: : »| i ; ,I|| < | i ! Ị n ; A v H l l l |I I I I | ) | I III) ■■■ 'Ỵ'

11 11 >.> I ,)|> ,).)AU()1| 11( II||||() S l i ' i : III >111.>| [.».1111 til I ,)S()(I IS i i o i | S ) u b >)<!()

II I ( s , - s : ) H n : \ \ < II / " IIS, s:\\<in,\\ < II I d n „II =

o il I I csl, lin e ( V it a i m ' c o u s la n t i’ p o s itiv e

F,;i < (indit ion (('.’) ost 1Ìa 111 rt'] 1«' : CM n';ilit(\ 1(' y>ri()T (l’ix l if (111 fours III' pent jamais

(U’p a s s iT i\ lin e c c i t a iiK ' v a lo u r d im s l;i p r i 'i o il c |(), I'| A lo is o il it:

II [ " s.,ti{n, - n;)\\ < ì ỉ II ị " 'iự h - IK)\\ - / / | | ơ w - n ; » r j - (ỉĩo - «o)ll

\J I — I t f

('II i( '! iiiir ( | U f i! it q u c II / i f - I Ỉ ÍII < p o u r lo u t t G (0, V ] (1’ ii p t r s la p re u v o (In

II I(\sull<’ (les rcliitioiis (•r».'l), (ij.(i), (^.K) cl (■*> 10) <|U('

J n i V K i n n i l p m r a p p o r t (I f v r r s In s o l u t i o n r r n r l r (III m o d r l r ( h i d i r (.r>.&Ì l o i s f j t i r e l e n d s

v r r s 0.

NHỮNG V Ấ N Đ Ể TO Á N H Ọ C T R O N G THỊ TR Ư Ờ N G TÀI C H ÍN H VÀ ĐẶC

B IỆ T T R O N G THỊ TR Ư Ờ N G CHỨNG KH O ÁNNguyễn văn Hữu- Khoa Toán -Cơ - Tin Học, Đại Học Quốc Gia Hà Nội

1 MỞ đầu Trong 20 năm gần đây việc áp dụng các thành tựu toán học vào việc

nghiên cứu và giải quyết các bài toán trong lĩnh vực tài chính đã có nhiều kết quả đáng chú ý Nhiều nhà toán học rất quan tâm đến vấn đề này và nhiều cỏng trình nghiên cứu đã xuất hiện Bài tổng quan này nhằm giới thiệu các vấn đề cơ bản của

cơ chế và các hoạt động cơ bản của thị trường tài chính cùng một số các thành tựucủa việc áp dụng các phương pháp toán học vào thị trưởng lài chính

2 Cấu trú c của thị trường tài chính.

Câu trúc cơ bản của thị trường tài chính bao gồm các bộ phận sau đây:

1) Các cá nhân: những cá nhân hoạt động riêng lẻ, các bà nội trợ

2) Các hãng: các hãng kinh doanh, các công ty, các liên doanh

3) Thị trư ờn g c á c g iấ y tờ có giá trị: thị trư ờng vố n , thi trư ơng tiền lệ .

4) Các cấu trúc trung gian: các nhà băng, các ngân hàng công thương, ngân hàiụi đẩu tư, tín dụng, các công ty bảo hiểm

Bốn bộ phận đó liên kêt với nhau theo sơ đổ dưới đây :

Như đã chỉ ra trong lý thuyết tài chính bốn bộ phân đó liên kết chạt chõ với n il'llI trong đó thị trường các giấy tờ có giá trị đóng vai trò Ihen chốt.Ta hãy làm rõ hnn hoạt động của các bộ phận nói trên

vân đề vế tiêu dùng và lích lưỹ vốn.Gắn liến với vấn đề này có bài toán tôi uli VI liêu dùng và tích luỹ (bài toán về phân bổ vốn đấu tu)

Dựa trên các tiên dề của Fon Neyman-Morgenstern vể sự hoạt động hợp ly ctKi các cá nhân trong các điểu kiện bất định người ta đã tìm cáclì tót nhất để xóc đinh việc phân bổ vốn, xác định quan hệ giũa tích luỹ và tiêu dùng dựa Irên một hàm lợi ích (utility function)