Đề cương bài giảng học phần Xác suất thống kê 3 (3 tín chỉ)

Xác suất của biến cố A là một số nằm giữa 0 và 1, số này đolường khả năng xuất hiện của biến cố A khi phép thử C được thực hiện.. Theo lối thống kê theo tần suất Thực hiện phép thử n lần

Mục lục

1.1 Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố 6

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên 6

1.1.2 Biến cố 6

1.2 Các phép toán và mối quan hệ giữa các biến cố 7

1.3 Các định nghĩa về xác suất và các tính chất của xác suất 8

1.3.1 Các định nghĩa của xác suất 8

1.3.2 Tính chất của xác suất 13

1.3.3 Xác suất có điều kiện, quy tắc nhân xác suất 17

1.3.4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes 20

1.3.5 Sự độc lập của các biến cố 23

1.3.6 Công thức xác suất Becnuli 24

2 Biến ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất 37 2.1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên 38

2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 41

2.3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục 44

2.3.1 Phân phối rời rạc 44

2.3.2 Một số phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc 45

2.3.3 Tính gần đúng xác suất trong phân phối nhị thức 48

2.3.4 Phân phối liên tục 50

2.3.5 Một số phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục 51

2.4 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 56

2.4.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên 56

2.4.2 Phương sai của biến ngẫu nhiên 59

2.4.3 Một số tham số đặc trưng khác của biến ngẫu nhiên 60

3 Vectơ ngẫu nhiên hai chiều 67

3.1 Phân phối của vectơ ngẫu nhiên hai chiều 67

3.1.1 Tính chất của hàm phân phối của vectơ ngẫu nhiên 68

3.1.2 Phân phối đồng thời rời rạc 68

3.1.3 Phân phối đồng thời liên tục 69

3.2 Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên 70

3.3 Kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên thành phần 70

3.4 Tương quan và hồi quy 71

3.4.1 Tương quan 71

3.4.2 Hồi quy 73

4 Luật số lớn và các định lý giới hạn 80 4.1 Hàm đặc trưng 80

4.2 Hội tụ theo xác suất 84

4.2.1 Luật số lớn 87

4.2.2 Định lý Trêbưsep 88

4.3 Hội tụ hầu chắc chắn 90

4.3.1 Luật mạnh số lớn 91

4.3.2 Một số hệ quả 91

4.4 Hội tụ yếu 92

5 Lý thuyết thống kê toán 100 5.1 Lý thuyết mẫu 100

5.1.1 Mẫu ngẫu nhiên và cách chọn mẫu 101

5.1.2 Các đặc trưng mẫu 101

5.1.3 Phân phối của X và S2 102

5.2 Bài toán ước lượng tham số 103

5.2.1 Ước lượng điểm 103

5.2.2 Ước lượng khoảng 106

5.3 Bài toán kiểm định giả thiết 114

5.3.1 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình 116

5.3.2 Kiểm định giả thiết về phương sai 120

5.3.3 Kiểm định giả thiết về tỷ lệ 123

5.3.4 Kiểm định sự bằng nhau của hai giá trị trung bình 1255.3.5 Kiểm định sự bằng nhau của hai giá trị tỷ lệ (xác suất) 129

- Sinh viên vận dụng định nghĩa xác suất và các công thức tính xác suất vàoviệc giải quyết các bài tập tính xác suất của biến cố.

- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn học đối với các môn học khác và các lĩnhvực của đời sống xã hội; tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học,

có phương pháp học tập tích cực sáng tạo, có khả năng tự học cao

B) NỘI DUNG:

Tiết 1

Lý thuyết xác suất là một lĩnh vực toán học xác lập những quy luật tất nhiên ẩndấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên khi nghiên cứu một số lớn lần lặplại các hiện tượng ấy Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiệntượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào

Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trởthành đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người Phần lớn những vấn đềquan trọng nhất của đời sống thực ra chỉ là những bài toán của lý thuyết xác suất.(P.S.Laplace 1812)

1.1 Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Ví dụ 1.1 Gieo một đồng xu cân đối đồng chất 1 lần để quan sát sự xuất hiệncủa mặt sấp và mặt ngửa Đây là một phép thử và là phép thử ngẫu nhiên Các kếtquả có thể có là Ω = {S, N }

Ví dụ 1.2 Gieo đồng xu đến khi nào xuất hiện mặt sấp thì dừng Đây là phép thửngẫu nhiên Ω = {S, N S, , N N S, }

Ví dụ 1.3 Ra đường và quan sát giới tính của người đầu tiên ta gặp Đây là mộtphép thử ngẫu nhiên Ω = { Nam, Nữ }

Ví dụ 1.4 Bà mẹ mang bầu và sinh hai con, quan sát giới tính của hai em bé sinh

ra Đây là phép thử ngẫu nhiên.Ω = { Trai - Gái, Gái - Trai, Trai - Trai, Gái - Gái }

+ Phép thử ngẫu nhiên Là thực hiện một bộ điều kiện xác định để quan sátmột hoạt động nào đó mà kết quả không dự báo được

+ Không gian mẫu Là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của phép thử ngẫunhiên Kí hiệu Ω

1.1.2 Biến cố

+ Biến cố Hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi làbiến cố

Biến cố chỉ xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện

+ Biến cố ngẫu nhiên Là biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi thựchiện phép thử Thường kí hiệu: X, Y, A, B,

+ Biến cố sơ cấp Mỗi phần tử của không gian mẫu được gọi là biến cố sơcấp (là biến cố nhỏ nhất, 6= φ, không thể phân chia được)

Trong ví dụ 1.1 A="Đồng xu xuất hiện mặt S", B="Đồng xu xuất hiện mặt N"+ Biến cố không thể có Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiệnphép thử Kí hiệu φ

Trong ví dụ 1.1 φ ="Đồng xu đồng thời xuất hiện mặt S và N"

+ Biến cố chắc chắn Là biến cố biết chắc chắn xảy ra khi thực hiện phépthử Kí hiệu Ω

Trong ví dụ 1.1 Ω ="Đồng xu xuất hiện một mặt S hoặc N"

+ Phép hợp

Hợp của các biến cố A1, A2, , An là biến cố kí hiệu A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An (hoặc

A1 + A2 + · · · + An) xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một biến cố xảy ra

+ Phép giao

Giao của các biến cố A1, A2, , An là biến cố kí hiệu A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An (hoặc

A1A2 An) xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến cố đều xảy ra

+ Phép hiệu

Hiệu của biến cố A và B là biến cố kí hiệu A\B xảy ra khi và chỉ khi biến cố A

xảy ra nhưng biến cố B không xảy ra

+ Biến cố kéo theo (biến cố thuận lợi)

A được gọi là biến cố kéo theo biến cố B, kí hiệu A ⊂ B nếu A xảy ra thì B xảyra

+ Biến cố xung khắc

A, B được gọi là hai biến cố xung khắc, kí hiệu AB = φ nếu A, B không đồngthời xảy ra (một mất một còn)

+ Biến cố bằng nhau (biến cố đồng nhất)

A, B được gọi là hai biến cố đồng nhất, kí hiệu A ≡ B nếu A ⊂ B và B ⊂ A

+ Tính chất của biến cố hiệu, biến cố đối

Định nghĩa 1.1 Xác suất của biến cố A là một số nằm giữa 0 và 1, số này đolường khả năng xuất hiện của biến cố A khi phép thử C được thực hiện Kí hiệu xácsuất của biến cố A là P (A) (P robability)

1.3.1 Các định nghĩa của xác suất

Định nghĩa 1.2 (Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển, hay đồng khả năng).Giả sử phép thử có không gian mẫu có n(Ω) biến cố cùng khả năng và n(A) biến

cố thuận lợi cho A Khi đó xác suất của biến cố A là:

P (A) = n(A)

n(Ω).

Ví dụ 1.6 Gieo một con xúc sắc cân đối, đồng chất Tính xác suất xuất hiện mặtchẵn

Gọi Ai = ”Biến cố xuất hiện mặt i chấm”, A = ”Biến cố xuất hiện mặt chẵn”

Khi đó: A = A2+ A4 + A6, phép thử có 6 biến cố đồng khả năng trong đó có 3biến cố thuận lợi cho A

P (A) = 3

6 =

12

Ví dụ 1.7 Gieo đồng thời ba con xúc sắc cân đối, đồng chất Tính xác suất đểtổng số chấm xuất hiện của ba con là 9

Giải:

Mỗi kết quả của phép thử là một bộ ba (a, b, c) trong đó a, b, c là các số nguyêndương từ 1 đến 6 Vậy

Ω = {(a, b, c), 1 ≤ a, b, c ≤ 6}, n(Ω) = 63 = 216 Các bộ ba (a, b, c) có tổngbằng 9 là (1, 2, 6) và 5 hoán vị của nó, (1, 3, 5) và 5 hoán vị của nó, (1, 4, 4) và 2hoán vị của nó, (2, 2, 5) và 2 hoán vị của nó, (2, 3, 4) và 5 hoán vị của nó, (3, 3, 3),

Giải:

Gọi A = ”Gọi một lần và trúng số cần gọi”, số biến cố thuận lợi cho A là

n(A) = 1, số khả năng có thể có là số cách chọn ra 2 số khác nhau có thứ tự

từ 10 chữ số n(Ω) = A210 = 90

P (A) = 1

90

Ví dụ 1.9 Bộ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài

a Rút ngẫu nhiên một quân bài Tìm xác suất rút được quân cao nhất bài (2 cơ)

b Rút ngẫu nhiên 4 quân bài Tìm xác suất chặt được 2 cơ (rút được tứ quý)

b Rút ngẫu nhiên 4 quân bài Tìm xác suất chặt được tứ quý, giả sử tứ quý 10

Giải:

A =00 Rút ngẫu nhiên một quân bài, rút được quân cao nhất bài (2 cơ)00

B =00 Rút ngẫu nhiên 4 quân bài, rút được tứ quý00

C =00 Rút ngẫu nhiên 4 quân bài chặt được tứ quý 1000

(5 cách chọn tứ quý cao hơn 10 là J, Q, K, Át, Hai)

Như vậy ta thấy rằng P (A) > P (B) > P (C), cái gì càng quý lại cànghiếm Và cũng vì càng hiếm nên càng thấy quý, xác suất xảy ra quýhiếm đó thường sẽ rất nhỏ

Chú ý

Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có thể áp dụng với điều kiện:

+ Chỉ xét được cho hệ hữu hạn các biến cố sơ cấp (n(Ω) < ∞)

+ Các biến cố sơ cấp phải đồng khả năng (nhưng không phải điều này lúc nàocũng xảy ra)

Ví dụ 1.10 Trước cổng phụ trường Đại học Hùng Vương có ba quán cơm có chấtlượng ngang nhau Buổi trưa ba sinh viên Quyết, Tâm, Học độc lập với nhau chọnngẫu nhiên một quán để ăn Tính xác suất:

a Cả ba sinh viên này cùng vào một quán

b Hai sinh viên vào cùng một quán, còn sinh viên kia vào quán khác

c Mỗi sinh viên vào một quán

c Các trường hợp thuận lợi cho C là (1, 2, 3) và 5 hoán vị của nó,n(C) = 6, →

Định nghĩa 1.3 Theo lối thống kê (theo tần suất)

Thực hiện phép thử n lần, giả sử biến cố A xuất hiện m lần, khi đó m được gọi

là tần số của biến cố A và tỉ số m

n được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A. Cho

số phép thử tăng lên vô hạn lần, tần suất xuất hiện biến cố A sẽ dần về một giátrị ổn định gọi là xác suất của biến cố A:

Định nghĩa xác suất bằng tần suất chỉ áp dụng được trong điều kiện:

+ Các phép thử ngẫu nhiên có thể lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong nhữngđiều kiện giống nhau

+ Số phép thử n phải đủ lớn thì xác suất mới tương đối chính xác (nhưng điềunày đôi khi không thể làm được vì điều kiện kinh tế và thời gian)

Định nghĩa 1.4 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp Ω được biểu diễn bởi mộtmiền hình học Ω có độ đo (độ dài, diện tích, thể tích) hữu hạn, 6= 0, biến cố A

được biểu diễn bởi một miền hình học A Khi đó xác suất của biến cố A được xácđịnh bởi:

về Tìm xác suất để hai người được đi ăn Ốc nóng cùng nhau?

Giải:

Gọi T là biến cố hai điểm B, C có toạ độ tương ứng OB = x, OA = y (y ≥ x)

mà độ dài đoạn BC bé hơn độ dài đoạn OB

Giả sử OA = l Các toạ độ x, y phải thoả mãn các điều kiện

0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y ≥ y (∗)

Biểu diễn x, y lên hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, các điểm thoả mãn (*)thuộc ∆OM M, trong đó ON = l, N ∈ Oy, M thuộc phân giác của góc phần tưthứ nhất, M (l, l)

Vậy không gian mẫu là miền tam giác∆OM N,có diện tíchm(T ) = S∆OM M = 1

2l

2

Mặt khác những điểm thoả điều kiện độ dài đoạn BC bé hơn độ dài đoạn OB là:

y − x < x ⇔ y < 2x (∗∗)

Đường thẳng y = 2x giao với đường thẳng M N tại I

Vậy những điểm thuận lợi cho biến cố cần tìm thuộc miền tam giác ∆OM I, códiện tích là m(Ω) = S∆OM I = 1

Định nghĩa 1.5 Theo tiên đề (Hệ tiên đề của Kolmogorov)

Ω không gian mẫu, A là σ - đại số các tập con của Ω, các phần tử của A là cácbiến cố ngẫu nhiên Ta gọi xác suất trên (Ω, A) là một hàm số P xác định trên A

có giá trị trong [0, 1] và thỏa mãn ba tiên đề sau:

(i): P (A) ≥ 0, ∀A - tính không âm;

(ii): P (Ω) = 1 - tính chuẩn hóa;

(iii): {Ai, i ≥ 1} đôi một xung khắc thì P (∞∪

Khi đó bộ ba (Ω, A, P ) được gọi là không gian xác suất Kolmogorov

Thật vậy, xét hệ vô hạn các biến cố {A1, A2, , An, An+1 = Φ, An+2 = Φ, }.

Theo tiên đề (iii) ta có

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Tổng quát: Với n biến cố bất kì thuộc A : A1, A2, , An ta có:

Thật vậy, do A ⊂ B nên B = B ∩ Ω = B(A + A) = BA + BA = A + BA

→ P (B) = P (A) + P (BA) ≥ P (A) (do đôi một xung khắc)

+ Tính chất 5: ∀A ∈ A thì 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (A) = 1 − P (A)

Thật vậy, rõ ràng ∀A ∈ A → P (A) ≥ 0 Vì A ⊂ Ω → P (A) ≤ P (Ω) = 1

Do A, A xung khắc nên P (A + A) = P (Ω) = 1 → P (A) = 1 − P (A)

+ Tính chất 6: Với A, B là hai biến cố bất kì: P (A\B) = P (A) − P (AB).

Thật vậy: Ta có A = (A\B) ∪ AB mà A\B và AB xung khắc nên P (A) =

P (A\B ∪ AB) = P (A\B) + P (AB) Suy ra P (A\B) = P (A) − P (AB)

+ Tính chất 7 (tính liên tục của độ đo xác suất): Nếu A1, , An, làdãy đơn điệu giảm các biến cố tức là A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ và ∞∩

Ví dụ 1.16 Một lớp có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ,

30 sinh viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi cả ngoại ngữ và tin học Sinh viên nàogiỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kì.Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp, tìm xác suất để sinh viên đó được tăngđiểm

Giải:

Gọi A1, A2 lần lượt là biến cố SV giỏi ngoại ngữ, SV giỏi tin học

Gọi A là biến cố SV được tăng điểm cuối kì Ta có A = A1 ∪ A2

Giải:

Gọi Ai là biến cố bưu thiếp thứ i được gửi đến đúng địa chỉ i = 1, , n

Gọi A là biến cố có ít nhất một bưu thiếp được gửi đến đúng địa chỉ

Khi đó A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An

Mặt khác do việc lấy bưu thiếp gửi cho các địa chỉ có tính đến thứ tự gửi nên:

P (Ai) = 1

n

P (Ai∩ Aj) = 1

A2 n

P (Ai∩ Aj ∩ Ak) = 1

A3 n

P (∩n

i=1Ai) = 1

An n

= 1n!.

Chú ý rằng có Cn1 = n biến cố dạng Ai, có Cn2 biến cố dạng Ai∩ Aj, có Cn3 biến

1n(n − 1) + C

3 n

1n(n − 1)(n − 2) − · · · + (−1)n 1

Kí hiệu ba cuốn sách lần lượt là 1, 2, 3

Gọi H là biến cố không có hai cuốn sách nào đứng cạnh nhau

Gọi A là biến cố cuốn sách 1, 2 đứng cạnh nhau

Gọi B là biến cố cuốn sách 1, 3 đứng cạnh nhau

Gọi C là biến cố cuốn sách 2, 3 đứng cạnh nhau

(n − 4)(n − 3)n(n − 1) .

Tiết 5

1.3.3 Xác suất có điều kiện, quy tắc nhân xác suất

Quy tắc nhân Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy rahay không xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy

ra biến cố kia

Nếu A và B độc lập thì P (AB) = P (A).P (B)

Để minh họa cho khái niệm rất quan trọng - xác suất có điều kiện, ta xét thí dụsau: Giả sử trong một vùng dân cư gồm N người, trong đó có n đàn ông và m phụ

nữ (N = n + m) Trong n đàn ông có k người bị cận thị và trong m phụ nữ có

l người bị cận thị Chọn ngẫu nhiên 1 người, tìm xác suất để người đó bị cận thịnếu biết rằng người đó là nữ?

P (A/B) = P (AB)

Chứng minh:

Giả sử phép thử C có n biến cố đồng khả năng có thể xảy ra trong đó có mA

biến cố thuận lợi cho biến cố A, mB biến cố thuận lợi cho biến cố B và k biến cốthuận lợi cho biến cố AB

Theo định nghĩa xác suất theo lối cổ điển ta có

P (AB) = k

n, P (B) =

mB

n .

Ta tìm P (A/B) Vì biến cố B đã xảy ra nên biến cố đồng khả năng của A là mB,

biến cố thuận lợi cho A là k Do đó:

P (A/B) = k

mB =

k n

+ Nếu P (B) = 0 thì biến cố B không xảy ra nên rõ ràng P (A/B) = 0

+ Xác suất có điều kiện P (A/B) có thể tính trực tiếp bởi bối cảnh của bài toán

mà không cần thông qua công thức (1.1)

Ví dụ 1.19 Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người nghiện thuốc lá và mắc chứng ungthư vòm họng là 15% Có 25% số người nghiện thuốc nhưng không ung thư vòmhọng, 50% số người không nghiện thuốc và cũng không bị ung thư vòm họng, và có

10% số người không nghiện thuốc nhưng mắc chứng ung thư vòm họng Sử dụng sốliệu thống kê trên có thể rút ra kết luận gì về mối quan hệ giữa bệnh ung thư vòmhọng và thói quen hút thuốc lá?

Giải:

Chúng ta hãy so sánh xác suất để một người bị ung thư vòm họng với điều kiệnhút thuốc là và xác suất để một người bị ung thư vòm họng nhưng không hút thuốclá

Gọi A là biến cố người nghiện thuốc, B là biến cố người bị ung thư vòm họng

Ta phải đi tìm P (B/A), P (B/A)

P (A) = P (A(B + B)) = P (AB) + P (AB) = 0.15 + 0.25 = 0.4

P (A) = 1 − P (A) = 0.6, P (AB) = 0.1

⇒ P (B/A) = 0.15

0.4 = 0.375, P (B/A) =

0.10.6 = 0.167

Như vậy P (B/A) > 2P (B/A) nên một người nghiện thuốc lá có nguy cơ ung thưvòm họng lớn hơn gấp 2 lần so với người không hút thuốc lá

Ví dụ 1.20 Chùm chìa khóa có 8 chiếc trong đó có 3 chiếc mở được cửa Thửngẫu nhiên từng chiếc (chú ý rằng không mở được cửa thì bỏ ra cho tới khi mở đượccửa) Tính xác suất để số lần thử không quá 3

3

6 =

23

28.

Quy tắc nhân tổng quát:

+ A, B là hai biến cố bất kì Theo công thức xác suất có điều kiện ta có:

P (AB) = P (A)P (B/A) = P (B)P (A/B)

+ A, B, C là ba biến cố bất kì

P (ABC) = P (A)P (B/A)P (C/AB)

+ Tổng quát cho n biến cố A1, , An bất kì ta có:

P (A) = P (∩n

i=1Ai) = P (A1)P (A2/A1)P (A3/A1A2) P (An/A1A2 An−1)

(1.2)Tính chất:

b Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và không để ý tới sản phẩm đó Sau

đó rút tiếp sản phẩm thứ hai Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt

a Vậy P (AB) = P (A)P (B/A) = 8

12.

7

11 =

1433

1 chiếc áo đủ tiêu chuẩn xuất khẩu?

Giải:

Gọi A là biến cố "qua được lần kiểm tra đầu tiên", B là biến cố "qua được lầnkiểm tra thứ 2", C là biến cố "đủ tiêu chuẩn xuất khẩu"

Thì: P (C) = P (AB) = P (A).P (B/A) = 0, 98.0, 95 = 0, 931

1.3.4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

* Hệ đầy đủ các biến cố: Họ các biến cố A1, , An được gọi là hệ đầy đủcác biến cố nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

(1) ∪n

i=1Ai = Ω

(2) Ai∩ Aj = Φ, i 6= j, i, j = 1, , n (hay các biến cố đôi một xung khắc)

Ví dụ:

+ Tung 1 đồng xu thì hệ {A1 = S, A2 = N } là hệ đầy đủ

+ Gieo 1 con xúc sắc cân đối đồng chất thì hệ {Ai = i, i = 1, , 6} là hệ đầy

đủ, hoặc hệ {Ai, Aj} với Ai, Aj tương ứng là biến cố xuất hiện số chấm chẵn, sốchấm lẻ cũng là một hệ đầy đủ

+ Nếu {A1, A2, A3} là hệ đầy đủ thì {A1, A1}; {A2, A2} cũng là hệ đầy đủ

Như vậy hệ đầy đủ là không duy nhất đối với 1 phép thử ta xét nào đó, tùy từngbối cảnh mà ta chọn hệ đầy đủ các biến cố cho phù hợp với biến cố mà chúng taquan tâm

* Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử {A1, , An} là một hệ đầy đủ các biến cố có liên quan đến phép thử C

Gọi A là biến cố nào đó của phép thử trên, khi đó ta có:

P (A) = P (AA1) + P (AA2) + · · · + P (AAn)

= P (A1)P (A/A1) + P (A2)P (A/A2) + · · · + P (An)P (A/An)

Giả sử {A1, , An} là một hệ đầy đủ các biến cố có liên quan đến phép thử C

Gọi A là biến cố nào đó của phép thử trên, khi đó ta có:

có điều kiện thì (1.4) cho phép ta tính các xác suất có điều kiện trong đó sự kiện

Aj cần tính xác suất phải là một thành viên của hệ đầy đủ đang xét Từ đó thấyrằng việc dùng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện đã gợi ý cho ta cáchchọn hệ đầy đủ sao cho sự kiện ta quan tâm phải là thành viên

+ Nếu phép thử được tiến hành theo hai giai đoạn thì thông thường hệ đầy đủ sẽ

là tất cả các khả năng có thể xảy ra của giai đoạn trước

Ví dụ 1.24 Tại một phòng khám chuyên khoa tỉ lệ người đến khám có bệnh là

83% Theo thống kê biết rằng nếu chẩn đoán có bệnh thì đúng tới 90% (nghĩa là bác

sĩ chẩn đoán đúng có bệnh và bệnh nhân có bệnh thật) còn nếu chẩn đoán không cóbệnh thì chỉ đúng 80% (nghĩa là bác sĩ chuẩn đoán đúng không bệnh và bệnh nhânkhông có bệnh thật)

Gọi D là biến cố chẩn đoán đúng → D là biến cố chẩn đoán sai

a Ta có P (D) = P (A)P (D/A) + P (A)P (D/A) (1)

P (D) = P (B)P (D/B) + P (B)P (D/B) (2)

Theo giả thiết

1.3.5 Sự độc lập của các biến cố

Định nghĩa 1.7 Cho không gian xác suất (Ω, A, P ) ta nói lớp B các biến cốđộc lập nếu xác suất giao của một họ hữu hạn các biến cố bằng tích các xác suấtcủa các biến cố đó

Như vậy: + B = {A, B} độc lập ⇔ P (AB) = P (A).P (B)

P (A1i1A2i2 Amim) = P (A1i1)P (A2i2) P (Amim)

trong đó A1i1 là một trong các biến cố sơ cấp A1, , Am của phép thử C1, A2i2 làmột trong các biến cố sơ cấp A1, , Am của phép thử C2, , Anin là một trong cácbiến cố sơ cấp A1, , Am của phép thử Cn

+ Với 2 biến cố bất kì trong một họ hữu hạn các biến cố, xác suất của giao 2 biến

cố bất kì bằng tích xác suất của hai biến cố đó Khi đó họ các biến cố được gọi làđộc lập từng đôi Nếu B các biến cố độc lập thì độc lập từng đôi

1.3.6 Công thức xác suất Becnuli

Đặt vấn đề xét bài toán: Một bác sĩ được công nhận là có xác suất chữakhỏi bệnh là 0,8 Có người nói rằng cứ 10 bệnh nhân đến chữa thì chắc chắn có 8người sẽ khỏi bệnh Điều khẳng định có đúng không?

Định nghĩa 1.9 Tiến hành n phép thử độc lập Giả sử trong mỗi phép thử chỉ cóthể xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A khôngxảy ra Xác suất để A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p Dãy các phép thửthỏa mãn điều kiện trên được gọi là dãy phép thử Becnuli

+ Công thức Becnuli: Cho phép thử C và biến cố A : P (A) = p Thực hiện

C n lần trong các điều kiện như nhau Ta đi tìm xác suất để biến cố A xuất hiện

k lần trong n phép thử của dãy phép thử Becnuli

Nhận thấy số lần xuất hiện A có thể là 0, 1, 2, , n

+ Khả năng thứ nhất: Biến cố A không xuất hiện lần nào khi thực hiện n phépthử, khi đó ta có xác suất để biến cố A không xuất hiện lần nào khi thực hiện n

phép thử là:

P (A A A.) = [P (A)]n = (1 − p)n (do các lần thử độc lập)

+ Khả năng thứ hai: Biến cố A xuất hiện 1 lần khi thực hiện n phép thử, nghĩa là

biến cố A xuất hiện 1 lần và biến cố A xuất hiện n − 1 lần khi thực hiện n phépthử, chẳng hạn khả năng này được biểu diễn là biến cố có dạng sau A.A A A.

Khi đó P (A.A A A) = [P (A)].[P (A)]n−1 = p(1 − p)n−1

+ Khả năng thứ k: Biến cố A xuất hiện k lần khi thực hiện n phép thử, nghĩa làbiến cốA xuất hiệnk lần và biến cốAxuất hiện n−k lần khi thực hiện nphép thử,chẳng hạn khả năng này được biểu diễn là biến cố có dạng sau A.A A.A A A

Khi đó P (A.A A.A A A) = [P (A)]k.[P (A)]n−k = pk(1 − p)n−k

+ Khả năng thứ n: Biến cố A xuất hiện n lần khi thực hiện n phép thử

Ta có P (A.A A) = [P (A)]n = pn

Xác suất của một dãy n phép thử độc lập bất kì trong đó biến cố A xảy ra k

lần (k = 0, 1, , , n) (biến cố A không xảy ra n − k lần) bằng pkqn−k Vì có

Cnk dãy như vậy nên xác suất để biến cố A xảy ra k lần trong n phép thử là

Cnkpkqn−k (q = 1 − p, k = 0, 1, , n)

Như vậy, nếu kí hiệu Pn(k) là xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n

phép thử của dãy phép thử Becnulli thì Pn(k) được xác định bởi công thức:

Chú ý: Ngoài cách kí hiệu ở trên ta còn có một số kí hiệu biến cố A xuất hiện k

lần trong n phép thử như Pn(k; p) hay Pk(n; p)

Định nghĩa 1.10 Số có khả năng nhất Số m là số có khả năng nhất nếu xácsuất của biến cố A xuất hiện m lần trong n phép thử Becnuli đạt giá trị lớn nhấthay Pn(m) = max

Từ kết quả trên ta suy ra rằng khi k tăng từ 0 đến np − q thì xác suất Pn(k)

tăng, và khi k tiếp tục tăng từ np − q đến n thì Pn(k) lại giảm Như vậy sẽ tồn tạigiá trị của k để Pn(k) đạt cực đại Vì k nhận giá trị nguyên nên có hai trường hợp:Nếu np − q = np + p − 1 /∈ Z thì m = [np + p − 1] + 1;

Nếu np − q = np + p − 1 ∈ Z thì m = np + p − 1 và m = np + p

Ví dụ 1.25 Tỷ lệ mắc bệnh Basedow ở một vùng nào đó là 10% Trong đợt khámtuyển nghĩa vụ quân sự người ta đã khám cho 100 người Tìm xác suất để:

a Trong 100 người đến khám có 6 người bị bệnh

b Trong 100 người đến khám có 95 người không bị bệnh

c Trong 100 người có ít nhất một người bị bệnh

d Tìm số người bị bệnh có khả năng nhất Tính xác suất tương ứng

d np + p − 1 = 100.0, 1 + 0, 1 − 1 = 9, 1 /∈ Z nên số người bị bệnh có khả năng

nhất khi đi khám 100 người là 10 người

Khi đó ta có xác suất tương ứng là P (10; 0, 1) = C10010 0, 1100, 990 = 0.1318653

Ví dụ 1.26 Một lô hạt giống với tỷ lệ hạt giống bị lép là 5% Cần phải lấy mộtmẫu với cỡ mẫu là bao nhiêu sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lép không béhơn 0,95?

Giải:

[3] Phạm Văn Kiều, Lê Thiên Hương (2000), Xác suất thống kê (Đào tạo GVTHCS), NXB Giáo dục.

Tiết 8, 9, 10D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬNCỦA CHƯƠNG

a Tính XS máy bay rơi

b Muốn máy bay rơi với XS ≥ 95% cần bố trí ít nhất bao nhiêu khẩu pháo?Hướng dẫn:

Gọi H="Máy bay rơi"="Có ít nhất một khẩu pháo bắn trúng"

Khi đó: H = "Tất cả đều bắn trượt"

a P (H) = 1 − P (H) = 1 − 0, 73 = 0, 657

b Giả sử cần bố trí n khẩu pháo: P (H) = 1 − P (H) = 1 − 0, 7n ≥ 0, 95 → n ≥

log0,7(0, 95).

2 Có 2 lô sản phẩm , lô 1 có 90% chính phẩm, 10% phế phẩm; lô 2 có 95% chínhphẩm, 5% phế phẩm Chọn ngẫu nhiên một trong hai lô Từ lô vừa chọn lấy ngẫunhiên một sản phẩm, thấy rằng được chính phẩm Trả lại chính phẩm và trộn đều.Lấy 1 sản phẩm Tính xác suất được chính phẩm

Hướng dẫn:

Gọi A là biến cố ở lần 2 lấy được chính phẩm

B là biến cố ở lần 1 lấy được chính phẩm Ta cần tìm P (A/B) = P (AB)

3 Một nhà máy SX ra các sản phẩm với tỉ lệ chính phẩm là 90% Trước khi bán

ra thị trường các sản phẩm phải qua một hệ thống kiểm tra XS để hệ thống nhầm

từ chính phẩm sang phế phẩm là 2%, từ phế phẩm sang chính phẩm là 1% Tính

tỉ lệ chính phẩm ngoài thị trường

Hướng dẫn:

Gọi A = "Sản phẩm là chính phẩm"; A = "Sản phẩm là phế phẩm"

Suy ra {A, A} là hệ đầy đủ

Gọi B là biến cố sản phẩm được qua hệ thống kiểm tra Theo công thức Bayes tacó:

P (A)P (B/A) + P (A)P (B/A) =

Mở rộng bài toán cho trường hợp 3 biến cố.

b Ta có AB ∪ AB ∪ AB ∪ AB = Ω Và 4 biến cố này đôi một xung khắc

Suy ra P (AB) + P (AB) + P (AB) + P (AB) = 1

a Gọi Bi là biến cố viên đạn thứ i bắn trúng mục tiêu (i = 1, 3)

Gọi A là biến cố có đúng 1 viên trúng đích

C1 11

8 Ba xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn với xác suất bắn trúng của từng ngườitương ứng là 0,7; 0,8; 0,9 Tính các xác suất:

9 Một người viết n lá thư cho n người khác nhau, bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì

đã có sẵn địa chỉ Tìm xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ vào đúng phong bì

10 Một mạch điện gồm hai bộ phận mắc nối tiếp, với xác suất làm việc tốt trongmột khoảng thời gian nào đó của mỗi bộ phận là 0,95; 0,98 Ở một thời điểm trongkhoảng thời gian trên người ta thấy mạch điện ngừng làm việc (do bộ phận nào đó

Dễ thấy {B1, B2, B3, B4} là hệ đầy đủ các biến cố Do tính độc lập ta có

một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7; 0,8;0,9 Tìm các xác suất sao chotrong vòng một giờ:

a.Có hai bệnh nhân cần cấp cứu

b Có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu

13 Biết xác suất để một sinh viên thi đạt yêu cầu ở lần thi thứ i là pi, i = 1, 2

Tìm xác suất để sinh viên đó đạt yêu cầu trong kì thi biết rằng mỗi sinh viên đượcphép thi tối đa hai lần

14 Một thanh sắt độ dài l được chia thành 3 khúc một cách ngẫu nhiên Tìm xácsuất để 3 khúc đó tạo thành được một tam giác

15 Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả còn mới Lần đầu người talấy ngẫu nhiên 3 quả để thi đấu, sau đó trả lại vào hộp Lần hai lấy ngẫu nhiên 3quả Tìm xác suất để cả 3 quả lấy ra lần sau đều mới

16 Trong 18 xạ thủ có 5 người có khả năng bắn trúng bia với xác suất 0,8; 7 người

có khả năng bắn trúng với xác suất 0,7; 4 người có khả năng bắn trúng với xácsuất 0,6 và 2 người có khả năng bắn trúng với xác suất 0,5 Chọn ngẫu nhiên một

xạ thủ và anh ta đã bắn không trúng đích Hỏi anh ta có khả năng thuộc nhómnào nhiều hơn?

17 Có 3 linh kiện điện trong một mạch điện, chúng có thể bị hỏng một cách độclập trong khoảng thời gian t với xác suất tương ứng 0,3; 0,4; 0,4 Tìm xác suất đểmạch bị hỏng trong thời gian t nếu:

a Mạch mắc song song

b Mạch mắc nối tiếp

18 Bắn 3 viên đạn một cách độc lập vào một mục tiêu Xác suất trúng mục tiêucủa từng viên tương ứng là 0,2; 0,3; 0,5 Nếu chỉ 1 viên đạn trúng thì mục tiêu bịphá hủy với xác suất 0,4 Nếu có từ 2 viên đạn trúng thì mục tiêu chắc chắn bịphá hủy Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy khi bắn ba viên đạn như trên

19 Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga Có 5 hành khách bước lên tàu Mỗi hànhkhách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để mỗi toa đều có

ít nhất 1 hành khách mới bước lên

20 Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số Tính xác suất để:

a Số vé không có số 1 hoặc không có số 5

b Số vé có chữ số 5 và chữ số chẵn

; P (B) =



910

5

; P (AB) =



810

5

Xác suất cần 21 Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi cho 5 câutrả lời, trong đó chỉ có một câu đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm vàmỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh không học gì đi thi, làm bài bằngcách chọn hú họa một câu trả lời Tính xác suất để:

a Anh ta được 13 điểm

b Anh ta bị điểm âm

Hướng dẫn: a Anh ta được 13 điểm trong trường hợp trả lời được 5 câu đúng vàsai 7 câu Vậy xác suất là

Hướng dẫn:

Từ điều kiện bài toán ta suy ra xác suất bắn trúng vòng 10 là 0,2 (do 3 viên trúngvòng 10 là 0, 008 = 0, 23); vòng 9 là 0,25 (= 1-(0,2+0,15+0,4)) Xạ thủ đạt ít nhất

28 điểm trong các trường hợp sau đây:

+ TH1: 1 viên vòng 10 và 2 viên vòng 9 Xác suất tương ứng là

3.0, 2.0, 252 = 0, 0375

+ TH2: 2 viên vòng 10 và 1 viên vòng 9 Xác suất là

3.0, 22.0, 25 = 0, 03

+ TH3: 2 viên vòng 10 và 1 viên vòng 8 Xác suất là

3.0, 22.0, 15 = 0, 018

+ TH4: cả 3 viên vòng 10 Xác suất là 0,008

Vậy xác suất để xạ thủ được 28 điểm là 0,0935

- Sinh viên biết vận dụng thành thạo các khái niệm trên để xác định hàm phânphối, hàm mật độ, tìm các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.

- Sinh viên có thể nhìn nhận được ý nghĩa to lớn của biến ngẫu nhiên và cácquy luật phân phối của biến ngẫu nhiên thường gặp áp dụng trong thực tiễn.B) NỘI DUNG:

Tiết 11Trong Triết học có 6 cặp phạm trù cơ bản, một trong 6 cặp phạm trù đó có cặpphạm trù về cái ngẫu nhiên - cái tất nhiên Biến ngẫu nhiên phần nào cũng giốngcái ngẫu nhiên ấy, nhưng ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên (hay còn gọi là đại lượngngẫu nhiên) trong lĩnh vực Toán học

"Biến" là cái có thể thay đổi, "ngẫu nhiên" là khi chưa xác định được cái gì

đó Một biến có thể là ngẫu nhiên đối với người này nhưng lại là tất nhiên đối vớingười khác, tùy theo lượng thông tin nhận được Bnn có thể nhận giá trị trongmọi phạm trù không chỉ riêng trong toán học như: màu sắc, hình dạng, phươnghướng, độ tuổi, Tuy nhiên bằng các ánh xạ (không ngẫu nhiên) ta có thể chuyểnviệc nghiên cứu mọi bnn về việc nghiên cứu các bnn nhận giá trị các con số

2.1 Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên

Một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê làkhái niệm biến ngẫu nhiên Trước khi đưa vào định nghĩa chính xác của biến ngẫunhiên ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 2.1 Gieo ngẫu nhiên một lần một đồng xu cân đối, đồng chất Ta xem xemmột lần gieo đồng xu như là tiến hành một phép thử ngẫu nhiên - gieo đồng xu.Không gian mẫu là tương ứng với phép thử này là Ω = {S, N } Gọi X là số lầnxuất hiện mặt sấp trong một lần gieo Ta thấy rằng X có thể nhận 2 giá trị là 0hoặc 1

+ Nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa thì X = 0 Điều này có nghĩa là ứng phần tử

N ∈ Ω cho số 0 với xác suất P ({N }) = 1

2.

+ Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp thì X = 1 Điều này có nghĩa là ứng phần tử

S∈ Ω cho số 1 với xác suất P ({S}) = 1

2.

Nhận xét:

Qua ví dụ trên ta thấy đại lượng X liên quan với phép thử ngẫu nhiên mà ứng vớimỗi kết quả của phép thử cho một số với một xác suất nào đó, được gọi là giá trịcủa X Đại lượng X như thế được gọi là biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên).Định nghĩa 2.1 X(ω) được gọi là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xácsuất (Ω, A, P ) nếu ∀x ∈ R : B = {ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ A (hay nói cách khác

∀x ∈ R : B = {ω ∈ Ω : X(ω) < x} là một biến cố ngẫu nhiên)

Thông thường, biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng chữa in hoa:X, Y, A, B, η, ,

Giá trị của biến ngẫu nhiên ký hiệu bằng chữ thường: x, y, z,

Ngoài ra một cách rất thông thường người ta cũng định nghĩa biến ngẫu nhiên nhưsau:

Định nghĩa 2.2 Biến ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quảcủa một phép thử ngẫu nhiên

Nhận xét Trong định nghĩa 1, thực chất biến ngẫu nhiên X là một hàm số đođược Do đó ta có ngay tính chất sau: Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên trên khônggian xác suất (Ω, A, P ), a, b ∈ R, a, b là hằng số thì aX + bY, XY, X/Y (Y 6=

0), max(X, Y ), min(X, Y ) cũng là các biến ngẫu nhiên.

Nhận xét Để cho tiện ta viết X(ω) := X, và biến cố (ω : a ≤ X(ω) < b) = (a ≤

X < b)

Ví dụ 2.2 + X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 1 lần gieo đồng xu cân đối,

đồng chất X là biến ngẫu nhiên, nhận hai giá trị 0;1

+ X là số con trai trong một lần sinh (1con) X là biến ngẫu nhiên, hai giá trị có

thể nhận là 0; 1

+ X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn độc lập vào một mục tiêu X là

biến ngẫu nhiên, giá trị có thể nhận là 0,1, , n

+ X là độ cao của một người tại một thời điểm nào đó X là biến ngẫu nhiên, giá

trị có thể nhận là một khoảng nào đó

+ X là thời điểm trong khoảng (t1; t2).X là biến ngẫu nhiên Bây giờ ta dừng lại

ở ví dụ đầu tiên

Ví dụ 2.3 Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 1 lần gieo đồng tiền cân đối,

đồng chất X nhận hai giá trị là 0 và 1 X là một biến ngẫu nhiên

Thật vậy X nhận hai giá trị là 0, 1 ω ∈ Ω = {S, N}

Vẽ trục số và với 2 giá trị 0 và 1 sẽ chia trục số thành 3 khoảng(−∞, 0], (0, 1], (1, +∞),

khi đó ∀x ∈ R ta có 3 trường hợp sau:

Rõ ràng B ∈ A nên X là một biến ngẫu nhiên theo định nghĩa 1 Và theo địnhnghĩa 2, X cũng là một biến ngẫu nhiên.

Ví dụ 2.4 Cho không gian xác suất (Ω, A, P ), A ∈ A, định nghĩa

IA(ω) =



1 nếu ω ∈ A

0 nếu ω /∈ A

Chứng minh rằng IA(ω) là một biến ngẫu nhiên

Thật vậy: Ta có Ω = A ∪ A, xét tập B = {ω : IA(ω) < x} ∈ A với ∀x ∈ R tùy

Rõ ràng B ∈ A nên IA là một biến ngẫu nhiên theo định nghĩa 1

Phân loại biến ngẫu nhiên:

+ Biến ngẫu nhiên rời rạc: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạcnếu các giá trị của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử