Mô hình số trị ba chiều đóng kín rối k- e trong tính toán lan truyền ô nhiễm

Trên biên lỏng ta cũng sử dụng điều kiện phát xạ của sóngĐối với nhiệt độ ổ và độ mặn s , nếu có số liệu quan trắc tại biên lòng, hoặc nếu có dòng chảy vào miền tính thì ta áp dụng các

ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

—OỈ-CD-SO—

TÊN Đ Ẻ TẢI

MÔ HÌNH SỐ TRỊ BA CHIÈU ĐÓNG KÍN RỐI k-8

TRONG TÍNH TOÁN LAN TRUYỀN Ô NHIẺM

MÃ SÓ: QT-07-02

CHỦ TRÍ ĐÈ TÀI: TS TRẦN VÁN c ú c

Những ngừô tham gia chính:

NCS:LƯU QUANG HƯNG

4- Những người tham gia chính: NCS Lưu Quang Hưng ,TS Trần Văn Tràn.

5- Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

Tạp chí ĐHQG: “Tính toán lan truyền ba chiều chất gây ô nhiêm hoà tan

vùng ven biển sử dụng khép kín rối k- £ trong hệ toạ độ sigma ”

- M ộ t lu ậ n v ă n th ạc s ĩ k h o a học.

1- Title of the project: Numerical modeling 3D the k - € turbullent closure in

calculation o f pollutant dispersion

2- Code of the project: QT07- 02

3- Head of the research group: Tran Van Cue, PhD

4- Participants: Luu Quang Hung, PhD Student;Tran Van Tran, PhD

5- Aims and contents of the project:

- E s t a b lin g fulfill sim ultaneous e q u a tio n fo r p r o b le m o n d is p e r s io n o f

- E s ta b lin g fulfill s im u t a n e o u s e q u a tio n for p r o b le m on d i s p e r s io n o f

so lu te s in c o a sta l a re a s a c c o r d in g to the k - C tu rb u lle n t c lo s u re m e t h o d in

MỤC LỤC

Mở đầu 7

Chương 1 8

Mô hình tính lan truyền chất tan ven biển, ba chiều, khép kin rối k -£ trong hệ toạ dộ sigma 8

1.1 M ò hình lan truyền chất tan ven biển, ba chiều, khép kín rối k - £ trong hệ toạ độ D e s c a rte s 8

1.2 Hệ toạ độ s i g m a 20

1.3 Hệ p hư ơ ng trinh thuỷ động lực ba c h i ề u 25

1.4 H ệ p hư ơ ng trình k hép kin r ố i 26

1.5 H ệ phươ ng trình trạng thái, nhiệt độ v à đ ộ 28

1.6 Phư ơng trình khuếch tán chất tan 29

1.7 H ệ p hư ơ ng trình tích p h â n 29

1.8 Các điều kiện biên cho các hệ phươ ng trình b a chiều 1 1 1.9 C ác điều kiện biên cho hệ p hư ơ ng trình tích p h â n 38

Chương 2 41

Thuật toán và mô hình số trị 4 ị 2.1 M ô hình số trị * 4J 2.2 P hư ơng p háp s ố 46

2.3 Hệ p h ư ơ n g trình thuỷ động lực ba c h i ề u 51

2.4 H ệ p hư ơ ng trinh khép kín r o i 56

2.5 Hệ phươ ng trình trạng thái, nhiệt độ, độ m ặ n 60

2.6 P hư ơng trình k h uếch tán chất ta n 62

2.7 Hệ phư ơ ng trình tích p h à n 63

2 8 T iêu chuẩn ổn đ ị n h 66

Chương 3 68

Mô phỏng 68

3.1 Đ ặ t bài t o á n 68

3.2 K ết q uả tính t o á n 69

Kết luận 80

Tài liệii tham khảo 83

Phụ lục 89

5

MỞ ĐẦU

V ù n g v e n b iể n n ư ớ c ta, đ ặ c b iệ t là n h ữ n g n ơ i c ó c ử a sông, v ịn h , h à n g n g à y

c ó m ộ t số lư ợ n g lớn tạp c h ấ t đổ ra biển B ài to á n tìm q u y luật p h â n bố tạp c h â t c h o

n h ữ n g m iề n đó r ấ t c ó ý n g h ĩ a t h ự c tiễ n ,v ì th ế đ ã có n h i ề u c ô n g trìn h n g h iê n c ứ u bài

to á n n à y .T r o n g c á c h ư ớ n g tiế p cậ n đ ể giải bài t o á n , h ư ớ n g n g h iê n c ứ u b ằ n g p h ư ơ n g

p h á p m ô h ìn h h o á số trị c ó n h i ề u ư u th ế h ơ n , do d ự a trê n c ơ s ở to á n h ọ c c h ặ t c h ẽ v à kết q u ả n g h iê n c ứ u c ó k h ả n ă n g triể n k h a i ứ n g d ụ n g C h o đ ế n n a y ,m ộ t số tác g iả đ ã

s ử d ụ n g m ô h ìn h s ổ trị s ẵ n c ó c ủ a n ư ớ c n g o à i [4 ], h o ặ c t ự x â y d ự n g n h ư n g s ử d ụ n g

p h ư ơ n g p h á p sai p h â n h iệ n đ ơ n g iản [18 ] tro n g v iệ c giải bài to á n tìm p h â n b ố tạ p

c h ấ t t r o n g c h ấ t l ỏ n g nói c h u n g v à tro n g v ù n g v e n b iể n nói riêng

K h i n g h i ê n c ứ u bài to á n trên, n h iề u tác g iả đ ã s ừ d ụ n g h ệ p h ư ơ n g trìn h m ô

tả bài t o á n tro n g h ệ to ạ độ Đ ề c á c N h ư n g t ro n g n h iề u t r ư ờ n g h ợ p h ệ to ạ độ đó k h ô n g

Chương 1

Mô hình tính lan truyền chất tan ven biển, ba chiều, khép kín rối k-£ trong hệ toạ độ

sỉgma

1.1 Mô hình lan truyền chất tan ven biển, ba chiều, khép kín

rối k -£ trong hệ toạ độ Descarteso • • •

a) Hệ phương trình thuỷ động lực ba chiều

Hệ phương trình thuỷ động lực ba chiều bao gồm phương trình liên tục và phươngtrình chuyển động

Phương trình liên tục trong mô hình có dạng như sau

trong đó p là khối lượng riêng cùa nước biển, ữ; là khối lượng rièna trune bình 9 là gia

tốc trọng trường, p là áp suất / là tham số Coriolis được tính từ phượng trình chuyển

động quay của Trái Đât

7

/ = 2D cos <p (a.5)

với là vận tốc quay, 9 là góc vĩ độ, là áp suất khí quyển trên mặt thoáng tại điểm tính Ngoài ra, áp suất tại độ sâu - có thề thu được bằng cách tích phàn phương trinh chuyển động của hạt lỏng theo phương thẳng đứng (a.4) từ độ sâu điểm đang xét tới mặt

thoáng như biểu diễn (a.6) Hệ số khuếch tán rối D:-i được xác định qua hệ số nhớt tuyệt đối

/■' và hệ sổ nhớt rối íl z

Trong hệ phương trình trên, bên cạnh V - 1 ^ ' p là các giá trị cần tìm cùa mô hình, thì còn

các đại lượng chưa biết là khối lượng riêng p, phương trình dao động mặt thoáng rK và hệ

số nhớt rối f*t.

b) Hệ phưong trình khép kín rối

Hệ phương trình khép kín rối hai phương trình f bao gồm phương trình cho

động năng rối K và tốc độ hao tán năng lượng rối f Hệ phương khép kín rối ’* — £ được

xây dụng trên cơ sờ tham số hoá các đại lượng mạch động chưa biết bàng biểu thức của

động năng rối k và tốc độ hao tán năng lượng rối £ rồi đưa về các phương trình năng lượng

rối Phương trình cho động năng rối bằng cách lấy trung bình Reynolds cho toán tử Navier- Stokes, sau đó tham số hoá các phi tuyến bậc cao của mạch động Việc khép kín mô hình rối đòi hỏi phải đưa vào phương trình liên quan đến hao tán năng lượng, trong mô hình này

là tốc độ hao tán năng lượng rối Chi tiết cách thiết lập mô hình khép kín rối - < có thể

xem trong Wilcox D c (1994) Các đậc trung và tính chất của mô hình k — £ được phân

tích trong Mohammadi B., Pironneau o (1994)

Các già thiết cơ bản để thiết lập hệ phương trình trong mô hình bao gồm

i) Giả thiết đẳng hướng địa phương cùa chuyển động rối: nhớt rối theo phương ngang cân bàne với nhớt xoáy theo phương thẳng đứne;

ii) Giả thiết trung bình Reynolds cho các mạch động:

ii) Giả thiết trung Boussinessq xấp xỉ các gradient mạch độna

Hệ phương trình xác định động năng rối *■ và tốc độ hao tán năne lượng rối f được cho như sau

1

Pr, - 0.35 (b.lO)

Nhớt tuyệt đối hoặc là giá trị cho trước ứng với từng môi trường nước, hoặc là hàm cùa

nhiệt độ được tính qua công thức Seeton Trong khi đó, nhớt rối ự Ị được định nghĩa mô

hỉnh k — £ thông qua động năng rối k và tốc độ hao tán năng lượng rối f

Các đại lượng ° k - ơ t là các số Prandlt rối liên quan đến việc tham số hoá khép kín rối

k ~ f , còn S trong biểu thức trên là các hàng số cùa mô hỉnh

N hư vậy ta đã đưa thêm vào mô hình động năng rối X và tốc độ hao tán năng lượng rối f

Mối quan hệ giữa hệ phương trình chuyển động và hệ phương trình khép kín rối A' - £■

được thề hiện qua nhớt rối Khép kín rối hai phương trình về cơ bản đã giúp giải quyết được các đại lượng bậc cao của mạch động, giúp khép kín bài toán

c) Hệ phương trình trạng thái, nhiệt độ và độ mặn

Hệ phương trình bao gồm: phương trình trạng thái, phương trình nhiệt độ và phương trình độ mặn của nước biên

Phương trình lan truyền nhiệt độ thế vị 0 và độ mận s trona nước biển trong mô hình được cho dưới dạne như sau

trong đó Đ ị , D s là hệ số khuếch tán của nhiệt độ và độ mặn Hệ số khuếch tán độ mặn

được xét trong phần khuếch tán chất tan Còn mối quan hệ giữa hệ số khuếch tán nhiệt Dỹ

với hệ số khuếch tán rối ữ '.ỉ được thể hiện qua số Prandtl P r , một đại lượng không thứ

nguyên Trong các bài toán truyền nhiệt, số Prantdl cho biết độ dày tương đối giữa lớp biên cùa vận tốc và lớp biên nhiệt Tương tự như vậy trong các bài bài toán truyền chất, số

khuếch tán rối &.'.Ị

Phương trình trạng thái cho biết khối lượng riêng được tính qua nhiệt độ độ mặn và

áp suất Cụ thể, khối lượng riêng cùa nước biền được tính qua công thức Jackett- McDougallz, là biểu thức chứa 26 số hạng Trong tính toán số, chúng tôi sử dụng phương

trình trạng thái xấp xi của của B n ’don D., Sun s., Bỉeck R (1999)

- CẠP)Ôi -

11

d) Phương trình khuếch tán chất tan

Phương trình khuếch tán chất tan c trong nước biền sau khi lấy trung bình

trong đó Dc là hệ sổ khuếch tán cùa chất tan, được tính qua hệ sô khuêch tán rối qua công thức

c '■ Sc

với / là tham số khuếch tán ứng với từng loại chất tan xác định Qc là đại lượng đặc trưng

/ ữ( v y r ; f ) 1/ 1 (.r y t ) , À: [ V y.z t) là các hàm số liên tục liên quan đến sự phân huỷ,

tạo thành hoặc tương tác của chất tan

g) Các điều kiện biên

thoáng 'ì nhiệt độ độ mặn 5, chất tan c, động năng rối * và tốc độ hao tán năng lượng

rối f

i)Trẽn mặt thoáng

Gió trẽn mặt thoáng và ma sát tác động làm thav đổi vận tốc dòng chảy Gọi là

vận tốc gió trèn mặt biển với hai thành phần theo hai phương ngang tương ứne là " V W; ,

còn ~i là úng suất do gió bề mặt

Khi đó, ứng suất cùa dòng chày tại bề mặt tỷ lệ thuận với úng suất do gió thỏna qua hệ số

tỷ lệ •} còn thành phần vận tốc theo phương thẳng đứng tại bề mặt được tính qua

13

Nếu không có gió trên mặt thoáng, thì gradient của vận tốc trực giao với mặt thoáng bằng

không Trong các biểu thức trên là hệ số kéo theo cùa gió Px là khối lượng riêng cùa

không khí trên mặt thoáng

Động năng rối 'K và tốc độ hao tán năng lượng rối * phụ thuộc vào gió trên bề mặt Neu tồn

tại ứng suất do gió T;

Trên mặt thoáng diễn ra quá trình trao đổi nhiệt độ cùa nước với lớp khône khí trên biên,

và xem không có sự thay đôi nông độ chât tan do bôc hơi tại bề mặt nước biên

Với ^ 5 là hệ số truyền nhiệt bề mặt, Cp là nhiệt dung riêng cùa nước, 8ỉ là nhiệt độ mặt

nước, là nhiệt độ cân bằng Chất tan cũng không thay đồi nổng độ trên mặt thoáng do bốc hơi hay biến đổi

ỖC

ii)Tạĩ đáy biển

Tại đáy biển, vận tốc dòng chảy bị suy giảm do ma sát đáy Gọi 11'b ỉà vận tốc tại

lớp sát đáy biển với hai thành phần theo hai phương ngang tương ứng là , còn r t làứng suất ma sát đáy, chúng được tính qua

r; = PoYb u ;

\ yt « : ( u ; ‘ ): - ( u ; v j ;

(g.16)

(g-17)

Khi đó, ứng suất cùa dòng chảy tại đáy tỳ lệ thuận với ứng suất m a sát với hệ số tỷ lệ phi

tuyến Yb, còn thành phần vận tốc theo phương thẳng đứng hướng xuống đáy cho theo

du

dv

p Đ , - —02

- c = 0.01 (g.23)

Nếu không có đủ dữ liệu thì chúng ta sẽ đặt là một hằng số, cụ thể nó nhận giá trị trong

khoảng (.0.002:0.003) Ờ đây ù =b là khoảng cách từ đáy đến điềm tính gần nhất, “ c là độ

dài liên quan đến độ nhám đáy, K là hằng số von Karman Điều kiện biên đáy cho khép kín

Nếu có dòng chày đồ vào miền tính trên đường bờ, thì có thể xem điều kiện biên cho và s

liên quan đến điều kiện đầu ra cùa bài toán dòng chảy trong kênh

trong đó U* là vận tốc dòng, a là chiều rộng dòng chảy đổ vào miền tính Đáy biển coi như

cách nhiệt và không có quá trình xâm nhập mặn vào đất

N hư vậy với phương pháp tuyến n bất kỳ, ta coi không có dòng nhiệt độ, độ mặn và nồng

độ chất tan trên biên rắn

ta cùng áp dụng các kỹ thuật đồng bộ hoá dữ liệu (data assimilation technique) để xây dụng

bộ dữ liệu liên tục cho mô hình Đối với dòng chảy vào (in flow), chúng ta cũng cần cho trước các giá trị cùa vận tốc trên biên lỏng

Đối với dòng chày ra chúng ta cần cho trước các giá trị trên biên nếu biết Hoặc nếu khong

có đủ dữ kiện, ta có thể sử dụng điều kiện phát xạ (radation) cùa sóng dài ra khỏi miền tính

Chẳng hạn như đối với biên chữ nhật theo hai trục v và y thì ta có điều kiện

với / : là hệ số suy giảm, là hệ số điều hoà biên độ, Q là tần số góc, 0 ’c " u ); là hệ số

điều hoà pha, 9 là góc lệch pha của dao động, c = ỹ K là vận tốc truyền sóng trong

vùng nước nông Ở đây °, đỏng vai trò v hoặc y đối với biên vuông góc với trục y hoặc trục

X tương ứng Sau khi tìm được phương trinh mặt thoáng, chúng ta thay vào phương trinh chuvền động với một số già thiết đơn giàn để xác định giá trị vận tốc

Các điều kiện biên lòng cho động năng rối phức tạp hơn về mặt vật lý Có nhiều cách thiết lập các điều kiện biên này trong tính toán mô hình Đối với dòng chảy vào động

năniĩ rối 'x và hao tán năng lưọng rối f chúng được cho trước trên biên

Trên biên lỏng ta cũng sử dụng điều kiện phát xạ của sóng

Đối với nhiệt độ ổ và độ mặn s , nếu có số liệu quan trắc tại biên lòng, hoặc nếu có dòng

chảy vào miền tính thì ta áp dụng các công thức

Trong trường hợp không có số liệu về dòng chày ra khỏi miền tính thì ta sử dụng điều kiện

Nếu có số liệu quan trấc tại biên lỏng về chất tan hoặc biết giá trị cùa dòng chày vào tại các vị trí của biên

Nói tóm lại, điều kiện biên cho biên lòng và biên rắn do áp dụng các giả thiết thường eặp nên đơn giàn hơn, trong khi điều kiện trên biên lòng hoặc là đã đơn giàn hoá tối đa hoặc là các giá trị quan trắc Chính vì thế mô hình phát triển cần 2ẩn chặt hon với việc thu thập các dữ liệu quan trắc khône chi trontí miền tính, trên đáy biên, mặt biển mà còn tại biên lòng Việc phân tích và đong bộ hoá dừ liệu trên biên lỏng sẻ đàm báo diều kiện ôn định cho mô hình

1.2 Hê toa đô sigma• • 9 o

Những mô hình thuỷ nhiệt động lực học biển ba chiều dưới dạng Descartes không thật sự tốt cho các tính toán ứng dụng cụ thể, đặc biệt là đối với các lớp bài toán hoàn lưu vùng ven biển Nguyên nhân chù yếu ở chỗ: độ sâu của đáy biển biến thay đổi từ khoảng vài mét ở vùng nước nông gần bờ cho đến hàng kilômét đối với những vùng xa bờ dẫn tới việc tính toán đồng thời các đặc trưng động lực học của cột nước tại các miền có độ sâu khác nhau gặp nhiều khó khăn Do đó, xử lý điều kiện biên tại từng toạ độ trở nên hết sức phức tạp

Hệ toạ độ sigma đã hạn chế được những nhược điểm kể trên Trong hệ sigma chiều

cao cột nước là như nhau đối với toàn miền tính toán, với giá trị ơ nằm trong khoảng

[0; - 1 ] , Điều này tạo nên sự đồng nhất các điểm trên biên mặt nước và biên đáy với vị trí tính toán Việc giải số với các phương trình trong hệ sigma sẽ dễ dàng hơn do các điểm biên này sẽ nằm ngay trên lưới tính

Hình 4 Mô hình trong hệ toạ độ Descartes

Xét phép biến đổi toạ độ từ hệ toạ độ ( v , y , r , f) sang hệ toạ độ ụ y \ <7 f ) với

các biến mới được định nghĩa tương tự n h ư toạ độ Descartes trừ biến liên quan đến phương thẳng đứng

x ' = X y ' = V c = - >)

trong đó r Ị ỉ x y r) là phương trình mặt thoáng, H { x y ) là độ sâu của đáy biên, D[ x , y f )

là chiều cao cột nước tại vị trí đang xét được định nghĩa qua

N hư vậy ơ - 0 tại r = *ĩ và ° — ~ 1 tại r ~ Một hàm liên tục theo các biên - hệ toạ độ

Descartes ( v y - r ) liên hệ với hàm - sau hệ toạ độ sigma ( v ' y c t ) thông qua phép

N hư vậy đạo hàm toàn phần của - là hàm

Công thức (1.5) là kết quả của biến đổi chính xác, còn công thức (1.6 ) là kết quả của biến

đổi xấp xỉ Trường hợp riêng của công thức (1.6) là xấp xỉ cùa Mellor với được thav

bằng H Ở đây chúng tôi biến đổi dưới dạng tổng quát và giữ nguyên trong tính toán Vận

N h ư vậy - có thề là vận tốc V - 1 là động nãng rối X, là tốc độ hao tán năng lượng rối là

nhiệt độ thế vị của độ mặn hay của nồng độ chất tan c Đe đơn giàn, trong các công thức từ giờ về sau ta bò các ký tự sao (*)

23

1.3 Hệ phương trình thuỷ động lực ba chiều

Hệ phương trình thuỷ động lực ba chiều trong hệ toạ độ sigma bao gồm phương trình liên tục và phương trình chuyển động Thành phần vận tốc trung bình cùa hạt lỏng

trong hệ toạ độ sigma bây giờ có dạng ! 'P 1 ' w ) Phương trình liên tục được xây dựng từ

định luật bào toàn khối lượng, trong hệ toạ độ sigma có chứa thêm ảnh hường cùa địa hình đáy biển và ảnh hường của chuyền động mặt thoáng

dP d\

Như vậy chúng ta đã thiết lập được một hệ gồm các phương trình (1.10), (1.13), (1.14) đe

tính các thành phần vận tốc dạng (U.v.io). Phương trình này chứa các đại lượng chưa biết

là D j i D:Ị , P ' Chiều cao cột nước tại vị t r í đang xét 3 được tính qua phương trình mặt

thoáng qua công thức (1.2) Hệ phương trình tìm các đại lượng 9 ri và u ' w gồm bổn

phương trình, và do đó nó chua được khép kín Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm cách

để khép kín bài toán Khối lượng riêng nước biển p được giải từ phương trình trạng thái

Khuếch tán rối 0.*r là kểt quà tính toán từ hệ phương trình khép kín rối k - ỉ được mô tả dưới

1.4 Hệ phương trình khép kín rối

Hệ phương trình khép kín rối k - E trong hệ toạ độ sigma bao gồm phương trình

cho động năng rối k và tốc độ hao tán năng lượng rối N h ư đã trình bày trong chương

trước, hệ phương khép kín rối 'K - £ được xây dựng trên cơ sở tham số hoá các đại lượng

mạch động chưa biết bằng biểu thức của động năng rối X và tốc độ hao tán năng lượng rối

f rồi đưa về các phương trình năng lượng rối Các giả thiết cơ bản để thiết lập hệ phương trình trong mô hình bao gồm: giả thiết về tính đẳng hướng địa phương của chuyển động rối: nhớt rối theo phương ngang cân bằng với nhớt xoáy theo phương thẳng đứng; giả thiết

Reynolds và giả thiết Boussinessq Sử dụng biến đoi (1.8) sang (1.9) với - lần lượt là vận

tốc K ĩ , kết hợp với việc đưa vào thành phần nổi của động năng rối và thành phần úng suất

của động năng rối, ta thu được hai phương trình khép kín rối trong hệ toạ độ sigma

d ỉ _ ỞE \ d í _ _ d s , d í D d s \

- — í D D — } — — I DD — ) - -r1 —

trong đó DP3 là thành phần nối của động năng rối, ĐPr là thành phần ứng suất cùa động

năng rối, được lần lượt tính theo các công thức

ờ đây ỡ nhiệt độ thế vị, là nhiệt độ mà khối nước có được nếu nó thay đồi đoạn nhiệt từ

mực khởi điểm đến mực áp suất chuẩn Các đại lượng Dk- Dỉ liên quan đến sự khuếch tán

của động nãng rối và tốc độ hao tán năng lượng rối vẫn không đổi

( 1.20a)

( 1.20b)

Trong các công thức trên, P r; là số Prandtl rối, C u C iỉ-t-ìĩ là các hằng số bán thực nghiệm

liên quan đến hao tán năng lượng

Nhói tuyệt đối M hoặc là giá trị cho trước úng với từng môi trường nước, hoặc là hàm cùa

nhiệt độ được tính qua công thức Seeton Trong khi đó, nhớt rối rl: được định nghĩa mô hình k - s thông qua động năng rối * và tốc độ hao tán năng lượng rối f

Các đại lượng ữk ■ Gi là các số Prandlt rối liên quan đến việc tham số hoá khép kín rối

k ~ E, còn ^ trong biểu thức trên là các hằng số cùa mô hình

Mối quan hệ giữa hệ phương trình chuyển động và hệ phương trình khép kín rối K ~ s

được thể hiện qua nhớt rối /■<:

1.5 Hệ phương trình trạng thái, nhiệt độ và độ

Trong hệ toạ độ sigma phương trình lan truyền nhiệt độ thế vị £ và độ mặn - trong nước biền trong mô hình có dạng:

Với mô hình này, chứng tôi sử dụng các hệ số Prandtl cho nhiệt độ và Schmidt cho độ mặn của nước biển như sau

1.6 Phưong trình khuếch tán chất tan

Phương trình khuếch tán chất tan trong hệ toạ sigma có dạng:

với X là tham số khuếch tán ứng với từng loại chất tan xác định Q: là đại lượng đặc trưng

cho sự hình thành và phân huý chất tan, cũne như các tương tác hoá-lv-sinh khác

/ ữ(.v.y G f ), /.! ( V V a t ) À Ạ x y ơ t) là các hàm số liên tục liên quan đến sự phản huỷ

tạo thành hoặc tương tác của chãt tan

1.7 Hệ phương trình tích phân

Trong mô hình này, hệ phương trình tích phân được sừ dụng đẻ tính toán các điều kiện đầu dao động mặt thoáng Giá trị cùa vận tốc trong mô hình hai chiều cũng được tính

toán hiệu chỉnh cho phù hợp với tính toán của mô hình ba chiều Thêm vào đó hệ phương

trình thuỷ động lực học hai chiều có ý nghĩa quan trọng trong các bài toán thực tiễn So với

các lớp bài toán ba chiều, các lớp bài toán hai chiều có độ chính xác hạn chế và không mô

tả được đẩy đù các tính chất cùa hiện tượng, nhưng yêu cầu độ khối lượng tính toán ít hơn

rất nhiều

Đối với mô hình dòng chảy vùng ven bờ, phù hợp nhất là chúng ta sử dụng tích

phân theo chiều sâu để đưa mô hình ba chiều về mô hình hai chiều Đe làm điều đó chúng

ta áp dụng tích phân theo c từ đáy biển lên mặt thoáng cho một hàm bốn biến -'f v y ơ • 1

để thu được hàm ba biến ký hiệu là -( - V, y *)

• -1

Độ lệch so với trung bình tích phân - ( v y ơ ' t ) được định nghĩa bang hiệu của giá trị tức

thời - và giá trị trung bình tích phân - như sau

N h ư vậy phương trình liên tục sau khi trung binh theo độ sâu

â)ỉ d ư D ỞVD

dt ởx dv

(1.38)

Các hàm ba biến không chứa sigma —l-v y 0 , chẳng hạn như độ sâu H ( x y ) , chuyểr

của mặt thoáng v(-x' Ỵ' 0 , hay chiều cao cột nước -2 ( v'.v - *) không phụ thuộc vào ơ , d

thể ra ngoài trong các biểu thức tích phân theo toạ độ sigma nghĩa là — — Các thàn

độ lệch so với trung bình tích phân đôi với hàm là băng không, nghĩa là = 0

Đối với phương trình chuyển động, ta cũng nhận thấy rằng phép lấy trung bình theo sigma

có thể hoán vị cho đạo hàm riêng theo thời gian hoặc theo các phương ngang

d U ' V ' D d \ " z D d / d v :\ Ỏ i d V \

Các giá trị Gx , Gx hoặc có được từ các bước trước, hoặc có thể bò qua trong một số điều

kiện nhất định Tích phân theo sigma hai vế của phương trình (1.13) và (1.14) ta có

Các đại lượng nằm trong ngoặc < ) được thay bằng các điều kiện biên Trên mặt thoáng

ứng với tại biên <0 - khi đó khỏng có dòne theo phươne trực giao với mặt thoáng, đồng

thời vận tốc trên mặt thoáng tỷ lệ với vận tốc của gió Tại đáy biển ứng với biên < vận tốc chịu ảnh hường suy giảm do ma sát

Các phương trình (1.40), (1.41), ( ỉ 42) cho ta 2Ĩá trị cùa dao độ n s mật thoáng và các vận tốc trung bình theo sigma Hệ phương trình này có thê trực tiếp được dùng để mô

tà hoàn lưu hai chiều Trong phần mềm được xây dựng dành cho mò hình, chúng ta cũng

có chế độ thuần tuý tính toán các kết quà vận tốc hai chiều Đối với mô hình ba chiều hệ phương trình này cung cấp giá trị đầu vào cùa dao dộng mặt thoáng

1.8 Các điều kiện biên cho các hệ phưong trình ba chiều

thoáng nhiệt độ 0 , độ mặn chất tan độne năng rối * và tốc độ hao tán năng lượnsỉ

rối f

a) Trẽn mặt thoána

Gió trên mặt thoáng và m a sát tác động làm thay đồi vận tốc dòne chày Gọi là vận tốc gió trên mặt biển với hai thành phần theo hai phương ngang tương ứng là U ? , Uy ,

còn Tĩ là ú ng suất do gió bề mặt

Khi đó, ứng suất của dòng chảy tại bề mặt tỷ lệ thuận với ứng suất do gió thông qua hệ số

tỷ ]ệ còn thành phần vận tốc theo phương thẳng đứng tại bề mặt được tính qua

Nếu không có gió trên mặt thoáng, thì gradient cùa vận tốc trực giao với mặt thoáng bằng

không Trong các biểu thức trên là hệ số kéo theo của gió, là khối ìượng riêng cùa không khí trên mặt thoáng

f 1 2 X 1 0 ” 3 r.ẻu 0 < u ; < 1 1( ( 0 4 9 - 0.0651V".) X 1 0 " 3 r.eu 11 < li; 25

P , = 1.25 X 10 “ 33;

Động năng rối * và tốc độ hao tán năng lượng rối f phụ thuộc vào gió trên bề mặt Nếu tồn

tại ứng suất do gió r i

31

ô - i là khoảng cách từ mặt thoáng đến nút lưới tính gần nhất Nếu không tồn tại ứng suất gió thì không có dòng động năng rối trên bề mặt

1 dk

u *-'ljr- rf z; ỉ )

Trên mặt thoáng diễn ra quá trình trao đổi nhiệt độ cúa nước với lớp không khí trẽn biên,

và xem không có sự thay đổi nồng độ chất tan do bốc hơi tại bề mặt nước biển

Với là hệ số truyền nhiệt bề mặt, là nhiệt dung riêng của nước, 9' là nhiệt dộ mặt

nước, là nhiệt độ cân bằng Chất tan cũng không thay đổi nổng độ trên mặt thoáng dobốc hơi hay biến đoi

1 ỞC P3Dc - - —

b)Tại đáy biển

Tại đáy biển, vận tốc dòng chảy bị suy giảm do ma sát đáy Gọi là vận tốc tại

lớp sát đáy biển với hai thành phần theo hai phương ngang tương ứng là l ’Y còn 'ì là ứng suất m a sát đáy, chúng được tính qua

(1.52)

1 1 V = ■;( u v v ): - ( u - f V

Khi đó, ứng suất cùa dònc chày tại đáv tỷ lệ thuận với ứng suàt ma sát với hệ số ty lệ phi

tuyến Yb, còn thành phần vận tốc theo phương thẳng dime hướníỉ xuống đáv cho theo

đế xây dựng bộ dữ liệu liên tục cho mô hình Đối với dòng chày vào , chúng ta cũng cần cho trước các giá trị của vận tốc trên biên lỏng

Đối với dòng chảy ra chúng ta cần cho trước các giá trị trên biên nếu biết Hoặc nếu không

có đủ dữ kiện, ta có thể sử dụng điều kiện phát xạ (radatỉon) cùa sóng dài ra khỏi miền tính Chẳng hạn như đối với biên chữ nhật theo hai trục v và y thì ta có điều kiện

Các điều kiện biên lỏng cho động năng rối phức tạp hơn về mặt vật lý Có nhiều cách thiết lập các điều kiện biên này trong tính toán mò hình Đối với dòng chay vào động

năng rối 'K và hao tán năng lưọne rối ĩ chủng được cho trước trên biên

Đối với nhiệt độ £ và độ mặn s , nếu có số liệu quan trắc tại biên lòng, hoặc nếu có

dòng chảy vào miền tính thì ta áp dụng các công thức

Nói tóm lại, điều kiện biên cho biên lỏng áp dụng các giả thiết thường gặp nên đơn giàn hơn, trong khi điều kiện trên biên lỏng hoặc là đã đan giản hoá tối đa hoặc là các giá trị quan trắc.

d) Trên đường bờ

Hệ toạ độ sigma có chứa đại lượng mô tả liên quan đến đường bờ Đường bờ được

xác định tại những điểm có chiều cao cột nước bàng không Những điềm D có độ lớn âm

không mang ý nghĩa vật lý Điều này liên quan đến kỷ thuật xử lý khô - ướt tương đối phức tạp Chính vỉ thế ta coi đường bờ là cao hơn hẳn so với mực nước biển sát biên trong suốt thời gian tính toán, nghĩa là nước có dâng lên bao nhiêu cũng không làm thay đổi hình dáng của đường bờ Trong miền biên thì chiều cao cột nước bàng không, còn ngoài miền tính thì

(1.70)

Đồng thời chúng ta cũng không xét đến ma sát cùa đường bờ tác dụng lên dòng chảy, tức là

sử dụng điều kiện không thấm

trong đó 'ĩ - [ C C S a s i n ct) là v e c t ơ p h á p t u y ế n c ủ a đưÒTi2 b ờ c ò n a là g ó c lệ c h củ a vector

pháp so với trục 0.\\ Điều kiện biên cho khép kín rối là không có dòng động năng rối và

hao tán năng lượng trên đường bờ

dk

d s

Nếu có dòng chảy đổ vào miền tính trên đường bờ, thì có thể xem điều kiện biên cho * và f liên quan đến điều kiện đầu ra cùa bài toán dòng chảy trong kênh

trong đó Ui là vận tốc dòng, a’ là chiều rộng dòng chày đổ vào miền tính Đường bờ coi

như cách nhiệt và không có quá trinh xâm nhập mặn

Ờ đây các đạo hàm theo phương pháp tuyến n của đường bờ gồm hai thành phần theo hai

toạ độ của “phương ngang" (trong hệ toạ độ sigma) N hư vậy có bốn loại điệu kiện biên khác nhau cho hệ phương trình ba chiều đầy đủ, bao gồm điều kiện biên mặt thoáng, điều kiện đáy, điều kiện đường bờ và điều kiện biên lòng

1.9 Các điều kiện biên cho hệ phương trình tích phân

a) Biên rấn (đường bờ)

Điều kiện biên cho hệ phương trình tích phản eồm có điều kiện biên lons và điều kiện biên ran Biên rắn ờ đâv chính là đường bờ Đối với vận tốc trung bình theo phươntỉ ngang, thì vectơ vận tốc trực eiao với bờ là băng không

trong đó n - ( c o s c r , sin a ) là vectơ pháp tuyến của đường bờ, còn a là góc lệch cùa vectơ

pháp so với trục 0 x Dao động mặt thoáng trên biên có thể thay trực tiếp từ phương trình

(3.57) bằng cách áp dụng điều kiện biên giả, nghĩa là ngoại suy các giá trị vận tốc bên trong ngoài bởi các giá trị bên trong

Biên lỏng cho hệ phương trình tích phân cũng tiến hành tương tự như biên lòns cúa

hệ phương trình đẩy đủ Trên biên lỏng, nếu dòng chày vào miền tính thì các giá trị vận tốc

là cho trước Đối với dòng chày ra khỏi miền tính, thì ta sử dụng điều kiện phát xạ

Phương trình dao động cùa mặt thoáng mặt thoáng hoặc cho trước bời các giá trị quan trắc, hoặc tinh toán thông qua tổng hợp cùa các dao động thuỷ động lực thành phần Ta cũng có thể coi không có thay đổi gradient phương trình mặt thoáng, hay sừ dụng điều kiện phát xạ Như vậy các điều kiện biên cho phương trình mặt thoáng đối với dòng chày vào hoặc dòng chảy ra bao gồm

với / : là hệ số suy giảm, là hệ số điều hoà biên độ, <? là tần số góc, (*c ~ u ); là hệ số

điều hoà pha, 9; là góc lệch pha của dao động, c = - ^ g H là vận tốc truyền sóng trong

vùng nước nông Ở đây <7 đóng vai trò x hoặc y đối với biên vuông góc với trục y hoặc trục

x tưorng ứng, còn nếu không nó là vectơ pháp tuyến.

39

Chương 2 Thuât toán và mô hình số tri • *

2.1 Mô hình sổ trị

N hư vậy trong các chương trước, chúng ta đã trình bày mô hình lan truyền chất tan vùng ven biển ba chiều trong và hệ toạ độ sigma Tính toán số là một trong những công cụ hiệu quả nhất để thu được xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình trên Neu phương pháp tính

và mô hình đủ tốt, nghiệm này ít nhiêu phản ánh các tính chất vật lý của dòng chảy cũng các đặc trưng thuỷ nhiệt động lực học Mô hình số trị được sử dụng rộng rãi đê nghiên cứu

sự thay đổi các quá trình diễn ra trong biển và đại dương, bao gồm cả khả năng phân tích, xây dựng kịch bản, và dự báo

Mô hỉnh của chúng ta có đầu vào là các điều kiện biên, điều kiện đầu tuỳ theo từng

bài toán ta xét; đầu ra là các trường vận tốc y dao động mặt thoáng áp suất p, khối lượng riêng p, động năng rối 'h\ hao tán năng lượng rối nhiệt độ độ mặn 5 nhớt rối f'r,

vận tốc dòng chảy k M \ cus thay vào phương trình (1.16), (1.17) chúng ta sẽ tìm được các

giá trị động năng rối X và hao tán năng lượng rối s Giá trị r1:, được tính qua định nghĩa (1.24), dùng để cung cấp các giá trị hệ số khuếch tán D ; Đ ị P : D , : Với vận tốc

dòng chảy đã biết và hệ số khuếch tán đã có, chúng ta tính nhiệt độ và độ mận s qua (1.28), (1.29) Hai đại lượng này tác động làm thay đổi giá trị cùa phương trình khối lượng

r iê n g p ( 1 4 2 ) Á p s u ấ t p tính q u a ữ t r o n g ( 1 1 1 ) s ẽ là th am s ố đ ầu v à o c ù a p h ư ơ n g trình

xác dịnh vận tốc dòng chảy V r ^ trong (1.10), (1.13) (1.14) bèn cạnh các hệ số khuếch

tán Đ'ỉ.