Một số bài toán của môi trường đàn hồi và môi trường đàn dẻo

Mục tiêu thứ hai của đề tài là: Sự tương tác của một vết nứt thẳng với một lỗ hình vuông - vết nứt của một bản đàn hòi dưới tác dụng của dòng nhiệt đều... Rahmann and Barber [6] tìm ra G

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

TÊN ĐÉ TÀI:

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA MÔI TRƯỜNG ĐÀN H ổ i

VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO

MÃ SỐ: QT-05-04

C H Ủ T R Ì ĐỂ TÀI: PGS TS PH Ạ M C H Í VĨNH

HÀ NỘI - 2006

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỦA MÔI TRƯỜNG ĐÀN H ổ i

VÀ MÔI TRƯỜNG ĐÀN DẺO

4 M ụ c tiêu và n ội d u n g n g h iên cứu củ a đè tài

a M ụ c tiêu n g h iê n cứu

- Các c ô n g thức củ a vận tốc sóng R a y le ig h tro n g m ôi trường đ à n hồi trực hướng.

- N g h iên cứư sự tư ơng tác củ a m ột vết nứt th ẳn g với m ộ t lỗ h ìn h v u ô n g -v ết nứt của bản đàn hồi, dưới tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệt đều.

b Nội d u n g n g h iê n cứu:

- X ây d ự ng c ác cô n g thức của vận tôc sóng R a y le ig h tro n g m ô i trư ờ n g đàn hồi trực hư ớng đối với các tập k h ác nh au củ a các th am số.

- Chỉ ra rằng m ộ t tro n g c h ú n g là sự m ở rộng c ô n g thức củ a vận tốc són g

R ayleigh tro ng m ôi trường đàn hồi đ ẳn g hướng.

- Á p d ụ n g p h ư ơ n g p h á p h à m biến phức tìm n g h iệ m c ủ a các bài toán:

+ L ỗ hình v u ô n g -v ế t nứt dưới tác d ụ n g củ a d ò n g nh iệt đều.

+ Lỗ hình v u ô n g -v ế t nứt dưới tác d ụ n g của sự lệch n h iệt đ ộ p h ân b ố liên tục trên đoạn th ẳng vết nứt.

+ L ỗ h ìn h v u ô n g -v ết nứt dưới tác dụ n g củ a sự lệch ứng suất p h ân b ố liên tục trên đoạn th ẳng vết nứt.

+ Sử d ụ n g n g u y ê n lý c h ồ n g chất n gh iệm , x ây dự ng n g h iệ m c ủ a bài to án về sự tương tác củ a m ộ t vết nứt th ẳn g với m ột lỗ hìn h v u ô n g -v ế t nứt c ủ a bản đàn hồi dưới tác d ụ n g c ủ a d ò n g n h iệt đều.

- Tìm được n g h iê m dưới d ạn g đ ó n g củ a các bài toán:

+ Lỗ h ìn h v u ô n g -v ế t nứt dưới tác dụ n g của d ò n g n h iệt đều.

+ Lỗ h ìn h v u ô n g -v ế t nứt dưới tác d ụ n g củ a sự lệch n h iệt độ ph ân b ố liên tục trên

- G iải số m ộ t s ố ví d ụ cụ thể Các kết q u ả tính to án đ u a đ ến m ộ t kết luận đ án g chú ý: Dưới tác d ụ n g c ủ a d ò n g nhiệt, sự tư ơng tác c ủ a các vết nứt có thê dẫn đến

sự triệt tiêu c ác hệ s ố tập trung ứng suất.

Các kết q u ả ch ín h c ủ a đ ề tài đ ã được đ ăn g trên 0 2 bài b á o sau:

1 P h am Chi V in h a n d R O g d en, O n the R a y le ig h w av e sp e ed in o rth o tro p ic elastic solids, M a cc an ic a, 4 0 (2005), 147-161.

2 P h am Chi V in h , N o rio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g and T a k a h iro Saito, Interaction b etw ee n a crac k e d hole and a line crack u n d e r u n ifo rm heat flux, Int

J Fracture, 131 (2 0 0 5 ), 367-384.

(ii) Về triển khai ứng dụng:

Áp dụ n g c ô n g thức vận tốc sóng R ay leig h để phát h iệ n các vết nứt, các h ư h ỏ n g trong vật liệu Sử d ụ n g các kết q u ả của bài toán tương tác giữa lỗ với vết nứt dưói tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệ t để k hử các tác d ụ n g xấu của các vết nứt có sẵn.

(iii) Về đ à o tạo: G ó p ph ần đ ào tạo 01 cử n h ân và 01 thạc sỹ.

1 Title o f the Project: Som e problem s o f elastic and elstop lastic m edia

Code o f the project: Q T -0 5 -0 4

2 Head o f the research group: Ass Prof Dr Pham Chi Vinh

3 Participants: Prof Dr Sc Dao Huy Bich

Ass Prof Dr D ao Van D zung

4 A im s an d C o n ten ts o f the Project:

a A im s o f the project:

- F o rm u las for R a y le ig h w ave speed in o rth o tro p ic elastic m e d ia

- Studying the in tera ctio n betw een a line crack and a crac k ed sq u are hole o f a elastic plate u n d e r u n ifo rm heat flux.

b C ontents o f the project:

- To find fo rm u las for R ay leig h wave speed in o rth o tro p ic elastic m edia

co rresp o n d in g d iffe ren t sets o f param eters.

- To show that on e o f th e m is an e x ten tio n o f the fo rm u la for R ay le ig h wave speed in iso tro p ic elastic m edia.

- To find the s o lu tio n s o f the follow ing pro b le m s ap p ly in g the theo ry o f co m p le x functions:

+ A c rack ed s q u a re ho le u n d er an un ifo rm heat flux

+ A cra ck e d sq u are h o le u n d e r distribu ted te m p e ra tu re d islo ca tio n alo n g the line crack surface.

+ A c rack ed s q u a re h o le su b jec te d to d istrib u ted e d g e d islo c a tio n alon g the line crack surface.

- To co n stru ct the s o lu tio n o f the p ro b le m o f in te ra c tio n b e tw e e n a line crack and a c ra c k e d s q u are hole o f a elastic plate u n d e r u n ifo rm h eat flux usin g the principle o f su p erp o sitio n

- To in v estig ate n u m e ric a lly som e ex am p les.

c M ain o b ta in e d re su lts :

- T he fo rm u la s for R a y le ig h w ave sp eed in o rth o tro p ic elastic

m edia c o r re s p o n d in g differen t sets o f p ara m e te rs h av e b een fo u n d O n e o f th em

is an e x te n tio n o f e x te n tio n o f the fo rm u la for R a y le ig h w ave ^pecd in isotropic elastic m edia.

- The solution in th e clo se d form o f the fo llw ing p ro b le m s h av e b ee n o btained: + A c ra c k e d sq u a re h o le un d er an u niform heat flux

+ A cra ck ed s q u are h o le u n d e r distrib u ted tem p eratu re d islo c a tio n alo n g the line crack surface.

+ A crack e d sq u are h o le su b jec ted to d istrib u te d e d g e d islo catio n alo n g the line crack surface.

- The integral e q u a tio n s for the interaction b e tw ee n the c ra c k e d square hole and the line crac k h av e b e e n established.

- Some e x a m p le s are investigated n u m erically an d m u m e ric a l results show n that u n d er u n ifo rm heat, the interaction o f crack s m ay lead to v an ish in g SIFs (stress in tensity factors).

- The m ain results o f the project are presented in th e fo llo w in g papers:

(i) P ham Chi V in h an d R O gden, O n the R a y leig h w ave sp e ed in orth otro p ic elastic solids, M a c c a n ic a , 4 0 (2005), 147-161.

(ii) P ham Chi V in h, N o rio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g a n d T a k a h iro Saito, Interaction b e tw een a crack ed hole and a line crack u n d e r u n ifo rm heat flux, Int

Chương II: Sự tư ơng tác giữa lỗ hình vuông- vết nứt và m ộ t vết nứt

MỞ ĐẦU

Sóng m ặt R a y le ig h được L o rd R ay leig h p hát h iện và n g h iê n cứu từ hơ n m ộ t th ế

kỷ qua, n ă m 1885 N ó vẫn tiếp tục được n g h iê n cứu và k h á m ph á do n h ữ n g ứng

d ụng to lớn c ủ a nó tro n g nhiều lĩnh vực k h á c n h a u c ủ a k h o a họ c và k ỹ thuật như: Â m h ọc, K h o a h ọ c vật liệu, K h o a h o c đ á n h giá k h ô n g hư hại (N ond estructiv e ev alu atio n ), K h o a học k iể m tra k h ô n g h ư h ỏ n g (N o n d e stru c tiv e Testing), Đ ịa vật lý, C ô n g n g h ệ viễn t h ô n g ,

Đối với só n g R a y le ig h , vận tốc là m ộ t đại lượng cơ b ản và q u a n trọng N ó thu hút sự qu an tâm đặc biệt c ủ a các nh à n g hiên cứu tro n g các lĩnh vưc k h o a học ứng dụng nói trên H ơ n nữa, n ó còn được sử dụ n g đ ẻ xây d ự ng c ác h à m G reen đối với các bài toán đ ộ n g c ủ a bán k h ô n g gian C ho n ên viêc tìm các c ô n g thức của vận tốc só n g R a y le ig h , dưới dạn g hiện, là hết sức cầ n thiết và có ý n g h ĩa trên cả hai phương diện: lý th u y ế t lẫn ứng dụng.

Do tính chất qu an trọ n g của vận tốc sóng R a y le ig h , trước khi tìm ra cô n g thức chính xác đầu tiên (n ăm 2000), các nhà n g h iê n cứu đ ã tìm được m ộ t s ố cô n g thức xấp xỉ củ a nó dưới d ạn g đơn giản, dễ sử dụng.

Đến n ê m 2 0 0 0 , cô n g thức chín h xác hoàn ch ỉn h đ ầu tiên c ủ a vận tốc sóng

R ay leigh tro n g m ô i trường đàn hồi d ẳn g hư ớn g được tìm ra bởi M a lis c h e w s k y (W ave M o tio n 31 (2 00 0 ), 9 3-97) b ằn g c á ch sử d ụ n g trực tiếp

M A T H E M A T IC A Sự ch ứ ng m in h chặt ch ẽ về m ặt toán h ọ c c ủ a c ô n g thức này

đu ọ c ho àn th à n h vào 2 0 0 4 bởi P ham và O g d e n (W av e M o tio n 39 (2 0 0 4 ), 191­ 197) Dựa vào p h ư ơ n g p h á p chứ ng m inh, hai tác giả P h a m và O g d e n còn tìm được m ộ t c ô n g thức k h á c c ủ a vận tốc só n g R a y le ig h với đói m ô i trư ờng đ àn hồi dẳng hướng.

N goài các vật liệu đ ẳ n g hướng, các vật liệu dị hư ớng đ a n g được sử d ụ n g hết sức rộng rãi do n h ữ n g ứng d ụ n g to lớn c ủ a ch ú n g D o vậy, việc tìm các cô n g thức của vận tốc só n g R a y le ig h trong m ô i trư ờng đ àn hồi dị hư ớn g là h ết sức cần thiết.

M ục tiêu th ứ n h ất c ủ a đề tài là: Tìm các công thức của vận tốc són g R ayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng nén được.

Sử d ụ n g lý th u y ế t p h ư ơ n g trình bậc ba, các tác g iả đ ã tìm đư ợc các c ô n g thức

k h ác n h au c ủ a vận tốc só n g R a y leig h tro n g m ôi trư ờ n g đ à n h ồ i trực hướng, tương ứng với các m iề n k h ac nhau củ a các th am số M ộ t tro n g c h ú n g là sự m ở rộng củ a c ô n g thức M a lisc h e w sk y

Bản đàn h ồi có lỗ là m ộ t kết cấu được sử d ụ n g rộ n g rãi tro n g c ác lĩnh vực k h ác

nh au c ủ a kỹ thuật Sau m ộ t thời gian sử d ụ n g , dưới tác d ụ n g c ủ a c á c tải trọ n g cơ

Bài toán bản đ àn hồi có lỗ và vết nứt dưới tác d ụ n g c ủ a tải trọ n g c ơ họ c đã được nhiều tác giả n g h iê n cứu T uy nhiên, còn rất ít k ế t q u ả c h o bài to án bản đàn hổi

có lỗ và vết nứt dưới tác d ụ n g của tải trọng nhiệt.

Mục tiêu thứ hai của đề tài là: Sự tương tác của một vết nứt thẳng với một lỗ hình vuông - vết nứt của một bản đàn hòi dưới tác dụng của dòng nhiệt đều.

Áp dụ n g n g u y ê n lý c h ồ n g chất n g h iệm , bài to án được đ ù a về tìm n g h iệ m ba bài toán sau:

- Bản có lỗ h ìn h v u ô ng -v ết nứt dưc tác d ụ n g củ a d ò n g n h iệt đểu

- Bản có lỗ h ìn h vụ ôn g -vết nứt dưới tác d ụ n g c ủ a sự lệch n hiệt độ phân b ố dọc th eo đo ạn th ăn g vết nứt

- Bản có lỗ h ìn h vuông-vết nứt dưới tác d ụ n g củ a sự lệch ứng suất phân b ố dọc th eo đo ạn th ăn g vết nứt

Bài toán ttương tác dẫn đ ến việc giải các p h ư ơ n g trình tích phân Các kết quả bằng số dẫn đ ến kết luận qu an trọng: K h ác với trường h ợ p tải trọ n g cơ học, dưới tác d ụ n g củ a d ò n g nhiệt, sự tương tác củ a các vết nứt có thể d ẫn đ ến sự triệt tiêu

hệ số tập tru n g ứng suất.

Các kết quả củ a đề tài được trình bầy trong hai bài b á o sau:

1 P h am Chi V in h and R O g den , O n the R a y le ig h w ave sp eed in o rthotropic elastic solids, M a c c a n ic a , 40 (2005), 147-161.

2 P ham Chi V in h , N o rio H asebe, X ia n g -F e n g W a n g and T a k a h iro Saito, Interaction b etw e e n a crac k ed hole an d a line crack u n d e r u n ifo rm heat flux, Int

J Fracture, 131 (2 0 0 5 ), 367-384.

0*

Chương I C ông thức vận tố c sóng R ayleigh trong m ôi trường đàn hồi trực hướng

1 Đ ặ t bài to á n

Sóng mặt Rayleigh được Lord Rayleigh [7] phát hiện và nghiên cứu cách dây hơn một thế

kỷ, vào năm 1885 Nó vẫn đang dược nghiên cứu và khám phá một cách mạnh mẽ do những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vự khác nhau của khoa học và kỷ thuật nhu: Am học, Dịa vật lý, Khoa học vật liệu, Khoa học đánh giá không hư hỏng, công nghệ viồn thõng, Dối vứi soil”, Rayleigh, vận tốc là một dại lượng cơ ban và quan trong, thu hút sự quail tâm dặc biệt cùa các nhà nghiên cứu trong các lĩnh YƯC ứng đụng Hơn nữa 11Ó còn đưực sứ dụng dể xây dựng hàm Green cho các bài toán động của các bán không gian, nên các công thức hiện của vận tốc sóiig Rayleigh vừa có ý nghĩa lý thuyết lẫn ứng dụng.

Dối với môi trường đàn hồi dẳng hướng nén dược Rahmann and Barber [6] tìm ra Gông thức vận tốc súng Rayleigh trong một miền hạn chế của tham số 7/ = + 2fj)vho năm

1995, bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, A và ỊJ là các hằng số Lame Năm

1997, Nkemzi [5] tìm được công thức vận tốc sóng Rayleigh trong một miền đầy đủ của tham

số ĩ] bằng phương pháp hàm phức, song nó rất cồng kềnh và sai do in ấn Với một số trường

hợp đem í;ian cua vật liệu monclinic nén được, vận tốc sóng Ravleigh tìm dược bới Ting [9]

và Dcstmclc 3 như là nghiệm của các phương trình bậc hai.

Gần day báng cách sử dụng phần mền MATHEMATICA, Ma]ischmvsk\ 4' dã t ìm được công thức vận tốc sóng Rayleigh chơ mọi giá trị của tham số T], nó có dạng sau:

Pc2/ l l = g í 1 - ự ìệ à i v ) + sig n [M v j] (1)

trong đó p là m ậ t độ khối lượng của vật liệu, c vận tốc sóng Rayleigh:

/1, (77) = 3a/33 - 1867? + 321772 - 1927?3, /12(77) = 45r; - 17 + M??)

/>.3(77) = 17 - 4577 + /1 1(77), /14(77) = -77 + 1/6 (2) Chú ý rằng, để có (1) Malischewsky dã sử dụng phương trìng tan sắc sau (xem [7]):

X3 — 8 x 2 + 8(3 — 2 rj)x — 16(1 — 77) = 0 (3)

trong dó X = pc?/ /i Việc chứng minh công thức (1) được thưc hiện bởi P ham và Ogden [10]

Mục đích chính của chương này là mở rộng công thức (1) cho vật liệu trực hướng nén được Bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình bậc ba, một công thức vận tốc sóng Rayleigh cho vật liệu trực hướng nén được đã được tìm ra Nó là sự mở lộng của (1) Nó là hàm của

ba tham số: a, d, 7 trong dó a > 1 ,0 < d < 1, 0 < 7 < a, hoặc, 0 < a < l , 0 < d < l , 0 <

7 < a, 7(a — 1) + 2nd > 0.

2 P h ư ơ n g trìn h tá n sắc

Xét bán không gian đàn hồi trưc hướng nén được và một hệ toạ đô 0X;X2Z:Ì với 0x3 vuông

góc với m ặt biên và vật thể chiếm miền X 'i < 0

Xét bài toán biếu dạng phẳng:

trong dó l là thời gian.

Giả thiết biến dạng nhỏ, khi dó phương trình trạng thái, liên hệ các thành phần ứng suất

ơ tJ và các thành phần gradiên của dịch chuyển Itjý (— d u , / d x j ) , có dạng(xera Chadwick [1]:

^11 = Cn«i.i + Ci3«3,3, Ơ33 = C13U1 1 + C33U3.3 ơ 13 = C55(I/.L.3 + tí3il) (5)

trong dó f | i , C;ì;ì, c,rt5 f]3 th o ả m ãn các bất đẳng sau (điêu kiện cần và đủ đẻ thế năng biến

dạng xác định dương):

r„ > 0 , i = 1 , 3 , 5 , C1 1C33 - c23 > 0 (6)

Cár plurơíigỉ rrìnli c.hiiyen dộn^ có clạng:

Gil«-I.n + CICTi.33 + (i i:i + C'»5) = fầ'i 1

C55^3.11 + C33Ĩ/;j,33 + (('13 + C55) ỉ/1,1 ;ỉ = fJll'i (7)

2

trong đó p là m ậ t độ khối lượng,

Dề dàng t.hấy nghiệm của (11) và (13) là:

ỚI = /li e x p ( s ! y ) + A2e x p ( s 2ỉ/), ộ.i = .4i«i exp (qỵy) + A 2a 2 exp (q2y) (14)

trong đó S], s -2 là các nghiệm của phương trình.

C33r5 5 s' + [ t s u + C5 5 ) 2 + C y ỉ { p c 2 — (•] I ) + H c ( p c2 — C5 5) j ố " + ( d i — /3C‘2 ) f cỏõ ~ pf-1 ) = 0 ( l õ )

với pliần thực dương,

Ai, i = 1,2 là các hằng số được xác định từ các điều kiện biên (12)

Từ (15) ta có:

s ị + s ị = - [ ( c i3+ C55)2 + c33(pc2 - C n ) + c 55(p c 2 - C55)]/C33C55

Nếu các nghiệm .Sj và sị của phương trình bậc hai (15) (lối với s 2 là thực thì cliÍMig phải

dương, Iiếu là phức chúng sẽ là liên hợp của nhau Trong cả hai trường hợp, tích *2 phải dương Từ (6), (17) ta có:

Do vậy, 0 < ịìc1 < inin(cn, C55), hoặc pc2 > m ax(cn, C55) Tuy nhiên, nếu bất đẳng tliức sau đúng, thì dễ dàng khẳng định được (15) có hai nghiệm thục ịsỊ, s ị và sị < 0 , sị < 0 Diều

này mâu thuẫn với «!, S2 có phần thực dương.

Vì vậy, vận tốc sóng Rayleigh phải thoa mãn các bất đẳng thức sau:

Thay (14) vào (12) dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (lối với

Ai, i — 1,2 Để hệ có nghiệm không tầm thường, định thức của nó phái bằng khung Dó chính là phương trình tán săc Sử dụng(16), (17), phương trình tán săc của sóng Rayleigh trong môi trương dàn hồi trực hướng nén dược có dạng (xem Chadwick [1]):

( c « - p c 2 )[c\3 - c 33( c n - p c 2)} + v /c 33C55 p c 2 \ / { c n - p c 2 ) { c 55 - pc.2 ) = 0 (2 0 )

C hú ý 1

Chadwick [1] đã chứng minh được rằng với C n , C;(3 C-,5, Ci3 thoả mãn (6) phư(Jng trình

(20) có n^liiụi) thực duy nhất thoả m ãn (19) và đảm bảu (15) có hai nghiệm phân lìiệt với cáci pliằ.11 thực dưíing Trường hợp S] = S) không dẫn đến sóng mặt

C hú ý 2

Tính đrii (19) pliương trìnli (20) tương đương với:

Phương trình này nhận được bởi Royer and Dieulesaint [8], trong dó ( = p r 2 c* — r u -

Trong [8], với giả th iế t C55 < C1 1, các tác giả đã sử dụng (21) dể khẳng định pc2 = c

không thuộc khoảng ( c ii,+ o o ) bằng lặp luận rằng \Ị}{Q) > 0 V ( 6 ( c n ,+ o o ) Tuy nhiên, khi

c € (cu , + o c ) phương trình tương đương với (20) không phải là (2 1) mà là phương trình

F ( x ) (7 - a).rs + (o + 2aơd - 1).T‘ - (Iơdiơd + 2).r + n ơ 2d2 = 0 (29)

M ệ n h đề: Trong khoảng (0.Ơ ,) ơ t = ìn ỉn (l.ơ d ) pliưung trình (36) có mót nghinn thi.rr

C h ứ n g m inh : Theo [1], trong khoáng (0, ỡ), phương trình (27) có một nghiệm thực duy nhất X o và Xo tương ứng với sóng Rayleigh Từ (27) suy ra X o G (0, ơ t ) Theo (28), 0 < <7 < 1

vì vậy (0, ơ t ) c (0 ,a ) Diều này suy ra rằng trong khoảng (0, ơ»), phương trình (27) có một

nghiệm thực duy nhất XQ Vì trong khoảng ( 0 ,ơ„) phương trình (27) và phương trình (29)

là tương đương nên mệnh đề được chứng minh.

Dối V(')i những giá trị a, 7 sao cho a ^ 7, phương trình (29) tương dương với:

a i,(ỉ2 xác dịnh bởi (31) Chú V rằng (lỵ = 0 khi (u 1)7 + 2 (1(1 = 0 và (lị > 0 tro n g Qi vì

vậy nếu M Ễ Hị sao cho (fl - 1) 7 + 2ad - 0 thì ỗ ( \ í ) < 0, tức là M e f>! 1 .1/ không thuộc

C h ú ý 3: Khi 7 7^ a, và ỗ = 0, F i(x ) là m ột hàm đơn điệu, vì vậv phương trình (30) có

trong đó các căn (phức) lấy các giá trị chính, argument chính của m ột số phưc U! (Argỉti)

đước lấy trong khoảng ( —7T,7r], R, D được xác định teởi các công thức sau:

Sử dụng (37) dễ dàng khẳng định được rằng (1) là một trường hợp đặc biệt của (35).

Cũng cần chú ý rằng phương trình (3) là m ột trường hợp đặc biệt của (30) với «0 =

- 1 6 ( 1 - Ij), a1 = 8(3 - 21]), a -2 = - 8 , và công thức (1) có th ể viết dưới d ạ n g (35) tro n g

Chứng minh: a) Diều này đủng vì ổ không xác' (lịnh t ú 7 = a (xem (31) va (34)).

b) Từ (32) đá dàng suy ra rằng (30) có ba nghiệm thực phân biệt VA/ e íl- 2 - iíế t luận b)

suy ra từ (liều này và chú y 3.

c) Cũng từ (32), (30) có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt khi M 6 o.ị Kết luân fj suv

Từ bổ đề 1 suy ra m ặt £ nằm trong Q5 Chú ý rằng tập hợp E2 nằm tro n g Q5 với các

giá trị của a sao cho 0 < a < 1.

Xác dinh các tập hợp mới như sau: Q12^ = { M : a > 1 ,0 < d < 1 0 < 7 < l , ổ >

H l DỒ thị của đường cong d = 0 , tức là r(<2o), trong không gian (ổ, 7) với 7 (trục tung)

phụ thuộc vào ỏ (trục hoành) đối với (a) ao > 1, (b) ao — 1, (c) 0 < ao < 1 Trong (a),

(c) m iền d < ũ dược bao bởi r(a0), tro n g (b) bởi r(flo) và t r ụ c 7 T ro n g (c) đường th ả n g

(«0 - 1 ) 7 + 2aứỗ — 0 cắt r(flo) tại điểm cực clại của nó ố = ỗo = (1 - ữ0) /2 , 7 = Go- Trong

(a), (b) G ( a0) lcà miền phía ngoài r (fl0) và bên trong (0, l ) x ( 0 ,1) Trong (c) G'(flo) nằm trong hình chữ nhật (0, l)x (0 , íío), bên ngoài r ( a 0) và dưới đường thẳng (ao - 1 ) 7 + 2(ỉoỏ = 0 Chú

ý rằng d không xác- định tại (ỏu,fio)

Theo hmh vẽ H l C { a 0) là một tập liên thông: và G'(«o) chứa tập T { a 0) = { M G

G (a 0) : 2 / i < d < 1 0 < 7 < «o}- Rõ ràng rằng (lải \ J aữ>0T { a ữ) là m ột tập liên thõng

Vì vậy, có thể nối hai điểm bất kỳ A /i(« i, di -;i), M o ị a 2 dì "2) của O , băng một (lirờng

đơn giản M i M ĩ M ị M - ĩ , trong dó M 2 e T { a 1), M ị 6 T{ ( ' 2), đường A /iA/3 e C{o 1) dương

8

M ì M ị G C(a>) VÌI M-iMị € dải Do vậy tập ũ , t là liên thông.

Bây giờ ta khẳng định rằng G( a o) có hình dạng như hìnli vẽ H l Ký hiệu fỉi(flo) giao

của fìi va m ật phẳng P ( a o) Từ (31) và (34) suy ra rằng, trong rỉi(oo) phương trình ỏ' = 0

tương dương với:

trong đó d £ (0 ,1 ) là tham số, và ố > 0 khi và chỉ khi g(-y) > 0 Ta ký hiệu đường cong

(39) bởi r ( a 0)

Dễ dàng thấy rằng:

i) Với mỗi số đương a 0 cho trước, phương trìn h (39) không có nghiệm thực kill d G (2/3 1)

Nó có hai nghiệm thực dương phân biệt 7[ 72- (7i < 72) đối với (ì e ( 0 2 /3 ) , và có môt

nghiệm tliựí đương (krp) 7o = 7i = 7 2 klii d = 2/3

2i) D ư ờ n g (()11|Ị| r ( f ì 0) n ằ m tro n g íìa(ao) = fỈ5 n P ( a o ) (th eo b ó (lề 1), và 11Ó là m ộ t tillin g

cong liên tục.

3i) Dối vcìi <tn > 1, 0 < 7i, 72 < 1, V d € (0 ,2 /3 ] (chú ý lằng <7(1) =■ («0 — 1 — (I()(ì)2 +

3ao(^ > 0 V (lị) > 0, (I > 0).

Đối với (ỉ ) sao clio 0 < « 0 < 1, 0 < 7 i, 7 2 < «0 V d ẽ (0 ,2 /3 ], d, Ỷ (1 — tftJ/2 Khi ẩ =

( l - f l o ) /2, 72 = «u- Chú ý rằng M ( a lh (1 - « o ) / 2 , no) thuộc dường thăng (1 - « 0)7 + 2a(,(/ = 0

( n h ư n g khón.ụ; th u ộ c r ( a o )

4 i) Với mỗ i (10 Ỷ 1 1 1 1 72 t iến đế n 0 khi (ỉ —* 0 K h i ao = 1 7 i t iế n đế n 0 , t r o n g khi (ló

7 2 tiến đến 1 khi (ỉ —►0

Si) ỡ ( t ) < l) ^ 7 £ ('>1 72)- D iều này có n ghĩa rằ n g đối với H l ( a ) và H l ( c ) b ê n tro n g

G ( a 0) : ổ < 0 đối với H l(b ): <) < 0 trong miền giới hạn bởi G(ao) và true 7.

T ừ i)-õij su v l a C7(«o) iiìn h (lạng n h ư h ìn h vẽ H l và b ổ d ề '2 đư ợ c c h ứ n g m in h

B ổ đồ 3: a) Giả sử r = - 2 R khi do r = trong dỏ N là ctiôm uốn của (lường cong bậc l)ii ỊJ = F\ (x ).

b) Khi ỗ > 0 F i ( x ) có một clioni cực dại và một cỉiểm cưc tiểu ký hiệu là: Zm a\- rmn

Khi ỏ > 0, F [( x) có hai nghiệm thực phân biệt £ m jn , £m ax- Từ (31) và định nghĩa của

f2,«, dàng thấy các bất đẳng thức sau đúng trong

+ Nếu Rí M ị ) — 0 thì r ( M \ ) — 0 Vì ỗ{Mi) > ũ, theo bổ đề 3(a,b ), (30) có ba nghiệm

thực phân tại M \ Vì vậy, theo chú ý 5(iii) ( sẽ được nêu ra dưới đay), D < 0 Diều II y mâu thuẫn với D ( M \ ) > 0

+ # u Iì{ Mí ị) > 0, vì vậy r( A/]) < 0 Nếu D { M \ ) = 0 thì từ à { M \ ) > 0 (38), (40), bổ

đề 3(a) va r ( M ị ) < 0 suy ra rang (30) có hai nghiệm thực p h â n biệt tro n g khoảng (0,(7,),

nhưng diều này máu thuẫn với mệnh đề Vì vậy D ( M i) > ũ.

Dỗ dàng thấy rằng điểm 71/2(1,3/4,3/4) G và D ( M 2 ) < 0 Vì Ả/1, M2 G theo

bổ đề 2 ta có thể nối hai điểm M \ and M 2 bởi một đường cong đdn giản liên tục L \2 € ữ t t

Vì D là một hàm licn tục trên L 12 và D(AÍ 1) > 0 D ( M 2) < 0, nên phải tồn tại m ột điểm

Mo G L] 2 - A/(, ỷ h Í2 sao cho D(Mq) — 0 và D { M ) > 0 V M G L 10 (trừ A/o), ở đãy L10 là

phần của L n nối M\ và Mo- Tương tự, R không th ể triệt tiêu tại bất kỳ điểm A ỉ € L 10 Vì

R là một hàm liên tục trên L\ữ và R { M 1) > 0, nên R ( M ) > 0 V M G Lio, vì vậy R ( M q ) > 0, i.e r(Mo) < 0 Diều này cùng với Ỗ{AÍ0) > 0, D(Aío) = 0, (38), (40) bổ đề 3(a,b) dẫn đến

phương trình (30)có hai nghiệm thực phân biệt trong khoiing ( 0 ,ơ ,) , nhưng but điều này mâu llniần Vi'ji mrnh dề, và bổ đề được chứng minh.

Ta đã co (lu diồu kiện dễ chứng minh địnli lý 1.

Với 1 )iến mới t

ãị, i = 0 ,1, 2 xác định bởi (31), R bởi (31), (36), và q2 có thể âm.

Theo lý thuyết phương trình bâc ba, ba nghiệm cuả (44) được xác định bởi các công thức sau (xem Cowles and Thom pson [2]):

i) Căn bậc ba của m ột số thực âm là một số thực âm.

ii) Khi /í + \ Í D là số phức, tức là D < 0, thì T = s * , trong đó S ' là liên hợp của s iii) Nếu D > 0, phương trình (44) có một nghiệm thưe và hai Iighiệm phức liên hợp If

D — 0, phương trình (44) có ba nghiệm thực trong đó ít nhất hai nghiệm trùng nhau If

D < 0, phương trình (44) có ba nghiệm thực phân biệt.

Ký hiệu Co là nghiêm tlníc c ủ a (44) tương ứng vài Xo và để chứng m in h đ ịn h lý 1 t a xét

các trường hợp khác nhau tuỳ theo các tập con của

• Trên Ỉ7i 1:

Trên Í2n, ta có ó < 0 Từ (4 7)3, (47)5 và D > 0 ta cỏ:

Vì D > 0 liên (44) có m ột nghiệm thực duy nhất ro? xác định bởi (46)!, (47) trong (ló cat­

call thứ (lược hiểu là các căn thực Vì giá tr của một căn thực của một số dương trùng với

giá trị chm h củ a căn phức tương ứng củ a n i nên (35) suy r.i từ (31), (43), (48)

• Trẽn :

B ổ đ ề 5: Trên £ 1 R < 0 (Sò chứng minh sau).

Nếu R < 0, theo (4 7)3, (4 7)5, D > 0, do vậy (44) có một nghiêm thực duy nhắt va (3õ)

Nếu R = 0 thì D — 0, từ (46), (47 suv ra (44) có nghiêm thưc z 0 = 0 (bội ba từ dó suv

ra (35).

Chứng minh bổ đề 5.

Giả sử Mo(ao, do, 7o) là m ột điểm bất kỳ thuộc E l, i.e ậ{Mo) = 0).

Nếu R ( M 0) > ũ, thì D ( M 0) > 0 theo (4 7)3 Vì D liên tục trên tập mở f ỉ5 D £ 1 và A/0 e

Q5, vì vậy tồn tại m ột lân cận đủ nhỏ ưo(Mo) — { M : (a — ao)2 + {d — do)2 + (7 - 7o)2 < K2}

(k là một số dương đủ nhỏ) của Mo sao cho U q ( M q) c ÍÌ5 và D ( M ) > ũ V M e Uo{M0)

Dặt u = ữ tt n ơo(M o) khi đó Ỗ(M) > 0, D { M ) > 0 V A / e ư , vì vậy R ( M ) < 0 V A / G ư theo bổ đề 4 Vì R cũng liên tục trên ÍÌ5 D u , và Mo là một điểm biên của u , suy ra rằng fí(Aío) < 0- Nhưng diều này mâu thuẫn với R ( M 0) > 0.

C11Ú ý lằng: ÍÌ12 u Qi:j = U Í ì Ị ị Ta kiổni tra (35) trên Í7,,, và trên i l j | \

• Oil fì„ :

Theo định nghĩa í ỉ , ổ > ơ.

Nếu D > 0, (44) có m ột nghiệm thực duy nhất là Z(Ị, xác định bởi (46) 1 và (47) Vì

Với cliu ý (30) có m ột nghiệm thực duy Iihất trên (0 ơ*) theo m ệnh đề từ (38) 1 (40)

ÌUV ra To là nghiệm thự c n hỏ n h ấ t (30) tro n g trư ờng hợp này, vì vậy 20 là n g h iệm thự c nhỏ

ìhất cua (44), i.e Co = —2(7, từ dó suy ra (35).

Xét trường hợp D < 0:

Thing trường hựp này (44) và (30) cỏ ba nghiệm thực phân biệt T heo mệnh dề (38) 1

40), rõ ràng ríing x 0 là n ghiệm thực nhỏ n h ắ t c ủ a (30), do vỆy Z(i là nghiệm thực nhỏ nhất

'ủa (44) Khi D < 0 ba nghiệm thực phân biệt của (44 ) xác định bởi (4G) (47) trong (ló

'ác căn phức bậc ba (bậc hai) lấy một trong ba giá tiị có th ể c ủ a c h ú n g Síio ( ho I = S ' Ta

12

sẽ lấy giá trị chính của chúng và chỉ ra rằng Z2 xác định bởi (46)2 là nghiệm thực nhỏ nhắt của (44).

Từ (47) ta có:

Ký hiệu 39 là argum ent chính của R + Vì Ự —D > 0 36 € ( 0 , 7r) nên góc pha

tương ứng với giá trị chính của 5 là ớ € ( 0 ,7r /3) Tử (51) suy ra |5 | = q, vì vậy s và T dược

biểu diễn như sau:

Từ (58) ta có:

- \ J - R + \ / D - y j — ( R + Ự Õ ) = —2ộcos (ớ — t /3)0 = 2ợcos ( 8 + 2tt/3) (59)

do vậy (57) dược chứng minh.

• T rên ũ ^ 2

-Trên & 1 2 , 7 > 1; vì vậy: 0 < (7, < 1 và từ (32) ta có:

Từ (60) suy ra trên (30) có ít nhất hai nghiệm thực khác nhau, vì vậy D < 0 và

theo mệnh d(' .To là nghiệm thực nhỏ nhắt Chú ý rằng khi (30) hai nghiệm thực phân biệt,

tức là khi /) = 0, thì R 0 Ly luạn li09.il tOctii tự nhừ trừờn^, liđp 0** tron^ (io

ổ > 0, l) < 0, suy ra (35) đúng trên í ỉ p 1, và định lý đươc chứng minh.

4 C ác c ô n g th ứ c khác

4.1 C ông thứ c vận tố c s ó n g R ayleigh trên u s 2

Đ ịn h lý 2:

Trong m iằ i Í2]4 u Eo Xo và do vậy vận tốc sóng Rayleigh cỉươc tínli theo công thức sau:

trong dỏ các căn (phức) lấy các giá trị chính, argument chính của một số phức được lấy trong khoảng ( —7T,7r], R , D xác định bởi (31) (36).

Từ các bát dang thức này và bổ (lề '3(a) và F\(0) < 0 MJY ra bể dề G.

B ổ đ ề 7: Trên ỉỉ > 0 Bổ đề này tư()ng tư như bổ <lầ 5 Chứng, minh cua 11Ó ”ión» như clnì'112; miiih cua bổ đè 4 trong dó bổ dề 0 (lược sử đụn^.

14

F i(0 ) < 0, F A ơ , ) > 0, F i ( l ) < 0 in (60)

(61)

•J'niax < rniin < í* (G 21

Dể chứng minh (61) trên ÍÌ14, ta làm tương tự như khi chứng minh định lý 1 trẽn íì,*

trong đó, th a y cho bổ đề 4 t a sử d ụ n g bổ đề 6 và chú ý rằng khi D < 0, Xo là nghiệm lớn

n hất c ủa (30) C hứng m inh c ủ a địn h lý 2 trê n E 2 tương tự n h ư chứng m in h đ ịn h lý 1 trẽn

£ i trong dó bổ đề 5 được thay thế bởi bổ đề 7.

4.2 C ông th ứ c vận tố c són g R ayleigh trên 0,2 and Q3

Sử dụng (32) và mệnh đề, suy ra rằng trên ÍỈ2, (30) có ít nhất hai nghiệm thực khác nhau

(vì vậy D < 0) và Xo là nghiệm trung giíin.

trong (ló nong đó các căn (phức) lấy các giá trị chính, R, D (< 0) xác định bởi (31), (3G)

argument chính của một số phức được lấy trong khoảng (-7r,7r).

b) Trên íĩ-s vận tốc sóng Rayleigh là:

2 d( ơ d + 2) - d \ / ơ ( ơ d ,2 + 4 — 4íi) P<?/C55 = -+ ị d _ 1} - 'Vlien 7 + 2d - 1 ? n (66)

Căn bậc hai trong (66) là căn thực.

1.3 C ông thức vận tố c són g R ayleigh với giá trị th ứ hai của căn bậc ba

Giả sử V) là m ột số phức khác không và a rgum ent chính của nó đượr lấy tro n g khoang [0 27!-)

tức là 0 < ArgIV < 2ĩĩ, n, m là các số nguyên dương cho tiước sao cho n > 2, 1 < 111 < n

Ta định nghĩa giá trị thứ m của căn phức bậc n của w, ký hiệu "‘ự w , như sau:

"‘■ựw |u i |e x p ỉ { — 2— I -} (68)

Với m = 1 ta có giá trị chính (thứ nhất) của căn bậc n của IV Trong phần này, bằng cách sử

dụng giá trị thứ hai của căn phức bậc ba, ta sẽ thu được cõng thức vận tốc sóng Rayleigh

trong dó các cãn (pliức) bâc ba lấy các giá trị thứ hai, các căn (phức) bác hai lấy các giá trị

chính, ỉỉ, I) ( < 0) xác định bởi (31), (36), argum ent chính củ a m ột Hố phức dược: lấy trong

khoảng [0, 27r).

C hú ý 6 Từ dịnh nghĩa giá trị thứ 7ìĩ của căn phức bậc n của m ột số phức suy ra rằn

giá trị th ứ hai c ủa căn phức bậc ba c ủa m ột số thực âm trù n g với căn thự c bậc ba c ủa 11Ó

Chứng minh Tương tự như trẽn, ta xét định ]ý 4 trên các tập C011 của ũ *

Nếu R = 0 thì D = 0 Từ (46), (47) suy ra phương trình (44) có một nghiệm thưc đu\ ihất (bội ba) z0 = 0 và khi đó suy ra (69).

• T rên Q„.

Dối vđi trường hợp D > 0, việc chứng minh (69) tương tự như chứng minh (35) cho trương hợp D > 0, trong đó chú ý 6 được sử dụng.

Xét với trường hợp D < 0 Như đẫ biết từ phần 3, trong trường hợp này (44) có ba

r.ghiệm thực phân biệt và Zo là nhỏ nhất Khi D < 0 ba nghiệm thực phân biệt của (44 )

xác định bởi (46), (47) trong đó các căn thức bậc ba (bậc hai) láy một trong ba (hai) giá trị

có th ỉ soa cho T - s * Trong phần còn lại, các căn thức bậc ba (bậc hai) láy giá trị thứ hai

(giá trị chính) Chú ý rằng A rg5 = 6 e [0, 2iĩ) và Argố'* = 27T — 9 Tương tự như phần 3, ta

Thực vậy : Arg( R + \ f D ) — 3(9, Arg( R — \ Í D ) = '277 — 39 Vì vậy, theo (68)

R + \ f ĩ ) = qel[0+2*r i \ \ j R - \ Í D = qel{^ /3~6) = f p-' &ri +o) = (73)

và (72) suy ra từ (73) Chứng minh định lý 4 kết thúc.

Dối với vật liệu đẳng hướng, tính đến (37), (69) có dạng:

— = í{ - i - sign[/i4(7/)]v/sign[/?.4(rj)](17 - 4 5 7 / - / l i (■/?)) + ựAbĩ ] - 17 - M Ũ ) } (74)

trong dó // = ụ / ( \ + 2ịi), (0,77 < 3/4) /1 1(7/), I 1 1 O1 ) xác dịnli bởi (2) và các cán thức bậc ba

láy giá trị th ứ hai C ùng với các công thức tìm được l>ỏi P h a m và Ogden [10], Malischewskv

[4], ta có một công thức khác của vặn tốc sóng Ravleigh đối với vật liệu dẳng hướng.

D(' kết t húc td 11 r á n m ạ n h rằng <jác kết q u ả tlm dược ở đ ã v có thể dược sử d ụ n g cho

những vật liệii clị hướng khác Royer and Difulfsaint [8] đã chứng minh dược răng các kết quả

cho vật liệu tr ự c h ư ớ n g C'ó t h ể á]) d ụ n g c h a 1G nrù ilg l ụ p kliác n h a u như : c u b ic te tT a ^ o n a l

và hexagonal anisotrop\

Tài liệu th a m kh ảo

[1] Chadwick, p., 1976 T he existence of pure surfar? m odes in elastic m aterials with

orthorhombic symmetry J Sound Vib., 47(1), 39-52

[2] Cowles, w H., and Thompson, J E., 1947 Algebra, D Van Nostrand Company, New York

[3] Destrade, M., 2003 Rayleigh waves in s y m m e try planes of crystals: explicit secular

equations and some explicit wave speeds Mech Mat To be appeared

[4] M aliftlirwsky, p G., 2000 Comment, to " A new formula for velocity of Rayleigh waves " by D.Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199 - 205] Wave M otion 31, 93 - 96 [5] Nkemzi, D., 1997 A new formula for the velocity of Rayleigh waves.Wave Motion, 2f, 199-20.')

[6] Rahman, M and Barber, J R., 1995 Exact expression for the roots of the secular equation for Rayleigh waves ASME J Appl Mech., 62, 250-252

[7] Ravlcúgh, L., 1885 On waves propagated along the plane surface of an elastic solid Pioc Loml Math Soc., 17, 4-11

[8] Royer, D and Dieulesaint, E., 1984 Rayleigh wave velocity and displacem ent in orthorhombic, tetragonal, hexagonal, and cubic crystals J Acoust Soc Am , 76(5),

CHƯƠNG n s ự TƯƠNG TÁC GIỮA LÔ HÌNH VUÔNG- VẾT NÚT VÀ MỘT VẾT NÚT THẢNG d ư ớ i t á c d ụ n g

CỦA DÒNG NHIỆT ĐỂU

1 Đặt bài toán

Có nhiều công trình nghiên cứu về lỗ có vết nứt ở m ép (Bowie, 1956; Tweed and Rooke, 1973; Hasebe and Ueda, 1980; Schijve, 1983; Z hang and Hasebe, 1993; Hasebe et al., 1988, 1994a, 1994b; Chao and Lee, 1996; Hasebe and Chen, 1996) Tuy nhiên còn rất ít công trình liên qu an đến sự tương tác giữa m ột lỗ có vết nứt và một vết nứt độc lập, đặc biệt sự tương tác dưới tác dụng của tải trọng nhiệt.

Do vậy, m ục đích của chương này là nghiên cứu sự tương tác giữa một lỗ hình vuông có vết nứt và một vết nứt thẳng dưới tác dụng củ a dòng nhiệt đều Bài toán được mô tả trên H l(a ) ký hiệu là bài toán A Rõ ràng rằng, theo nguyên lý chồng chất nghiệm , bài toán A được đưa về ba bài toán sau:

Bài t o á n B: Lỗ hình vuông có vết nứt dưới tác dụng của dòng nhiệt đều (H l(b )).

Bài toán C : Lỗ hình vuông có vết nứt dưới tác dụng của sự lêch nhiệt (temperature dislocation) phân bố dọc theo đoạn thẳng của vết nứt thẳng (H l(c)).

Bài toán D: Lỗ hình vuông có vết nứt dưới tác dụng của sự lệch ứng suất phân bố dọc theo đoạn thẳng của vết nứt thẳng (H l(d )).

Để giải các bài toán B, c, D ta sử dụng phương pháp hàm biến phức Việc giải bài toán A dẫn đến các phương trình tích phân.

y K ^ - e ' r ) V 2 { g - e - ' y Ỷ l { g + \ ) [ l l { g - \ ) d g

phía ngoài của lỗ trong m ặt phẳng z bị ánh xạ bởi phía ngoài củ a hình tròn đon vị trong m ặt phẳng g ở đây K là hệ số tỷ lệ, y và p là các góc được chỉ trên H 2 Rõ ràng ánh xạ (1) không bảo giác tại lân cận của các đỉnh của hình vuông và m ũi của vết nứt Điều này ảnh hưởng đến tính khả nghịch của phép biến đỏi (1) Vì vậy phép biến đổi (1) đựoc xấp xỉ bởi ánh xạ hữu

tỷ sau:

*=| ĩ k ?

trong đó E0, Ek , gk {k - \ , ., N) là các hằng số phức và \ gk \< I với mọi

k = l , 2, N V iệc xác định các hằng số này được giải thích chi tiết trong (H asebe và Ueda, 1980; Yoshikavva và Hasebe 1999) T h e o kinh ng h iệm ta chọn N=48.

3 Các công thức cơ bản

3.1 Trường nhiệt độ.

Trong m ặt p hảng g, hàm nhiệt độ 0(g,g) trong bài toán đàn hồi nhiệt dừng hai chiều thoả m ãn phương trình Laplace Vì vậy nó là phần thực của một hàm giải tích Y{sY'

(4)

(5)

I ga)\s)\

trong đó q và q v là các thành phần của dòng nhiệt theo trục X và trục V, q

và q g là các thành phần của dòng nhiệt trong hệ toạ độ co n g suy rộng trực giao được tạo ra bởi ũ)(g), &là hệ số truyền nhiệt Đ iều kiện biên đối với dòn g nhiệt được m ô tả n h ư sau (Han and Hasebe, 2001):

ở đây (7 và ÍỊIÊ là giá trị của g và thành phần pháp tuyến củ a dòng nhiệt trên biên, và tích phàn được láy dọc theo biên Từ (6), điều kiện đoạn nhiệt (q = 0) dọc theo đường tròn đơn V là:

22

3.2 Trường ứng suất n hiệt

Sử d ụ n g các th ế phức ộ{g) và i//(g), ứng suất trong vật thể đàn hồi được biểu diễn nh ư sau (M uskhelishvili, 1963):

Đ iều kiện biên về lực là:

^(cr) + (ơ-) + ^(cr) = /' \ { p x + ipv)ds+const

trong đó G là m ô đun cắt, a: = 3- 4v , a = ( \ + v ) a đối với bài toán biến dạng

phẳng, K - ( 3 - v)/(l +v), a - a đối với bài toán ứng suất ph ẳng suy rộng; V

và a là hệ số P oisson và hệ số giãn n ở nhiệt.

4 N ghiệm c ủ a bài toán B

4 1.Trường nhiệt độ

Xét bài toán truyền nhiệt nh ư m ô tả trên H l ( b ) , trong đó q là cường độ của dò n g nhiệt đều ; 5 là góc giữa hướng củ a dò n g nhiệt và trục A T a giả

thiết biên c ủ a lỗ v à m ặ t củ a vết nứ t là đ o ạ n nhiệt H à m n h iệ t đ o YH(g) của bài toán B được c h ia làm hai p h ần :

trong đó ph ần th ứ n h ấ t là n g h iệ m củ a bài toán m ặt p h ẳ n g k h ô n g lỗ chụi dòn g

n hiệt đều T ừ (4), suy ra YÌH(g) có dạn g sau :

Nhcln (16) với d ơ / [ 2m( ơ - g)] và lấy tích ph ân Côsi dọ c th eo đư ờ n g tròn đơn

vị ta thu được Y7H{g) , và cuối cùng:

Số hạn g cuối c ù n g c ủ a v ế trái củ a (13) là ứng suất nhiệt T íc h p h ân n ày chứa

m ộ t số h ạn g log arit m à nó gây ra sự k h ô n g đơ n trị Đ ể k h ử nó, ta d ù n g các h àm ứng suất Ww {g) (F lo ren ce and G o o d ie r, 1960):

tron g đó A , B đư ợc xác đ ịn h bằng đ iều kiện là: trư ờ ng n h iệt độ dừng

k h ô n g g âv ra lực n g o ài q u a n h lỗ và ch u y ể n dịch là đơ n trị T h a y ( 1 8 ) , (19)

vào ( 12 ), và sử d ụ ng đ iều k iện p x = P Y = 0 , ta có:

24

Tha y (18), (19) vào (13) và sử dụn g điều kiện đơn trị củ a c h u y ể n dịch ta

trong đó R = (1 + v )/(l - v ) đối với bài toán biến d ạn g p h ẳ n g và R = (1 + v) đối với bài toán ứng suất p hẳng suy rộng.

Tha y (18) vào (12) và chú ý đến điều kiện tư do đối với ứng suất trên biên của lỗ và m ặt c ủ a vết nứt (p = Py= 0 ) ta có:

N h ân (22) với Ơơ l\2nì{ợ - q)\ và lấy tích phân Côsi dọ c th e o đư ờn g tròn đon

vị ta thu được:

t i c - ? * k \ S - S k

tro n g đó Bk = Ekị ( ò { g k ) với gk = \Ịqk và Ak = ỷ 2H(gk ). Ở đây các phần thực và

ph ần ảo củ a A k đực xác địn h bởi hệ 2N phương trìn h tu y ến tính n h ận được

Đ iều này có n g h ĩa h à m ậB( g ) , q e S ~ là thác triển liên tục củ a hàm

ậgiq), g e s* = ịg :| q |> 1} từ ngoài đường tròn đơn vị vào trong T ừ (26) suy ra:

5 N ghiệm c ủ a bài toán c

Xét m ột m ặt p h ẳn g vô hạn với lỗ hình vuông có vết nứt c h ụ i tác d ụ n g của

sự lệch nhiệt độ (te m p e ratu re dislocation) phân bố dọ c theo đo ạn thẳn g của vêt nứt, n h ư m ô tả trên h ìn h vẽ H l(c ) Biên củ a lỗ và m ặt củ a vết nứt được giả thiết là đo ạn n h iệt và tự do ứng suất T h eo ng u y ên lý c h ồ n g chất ng h iệm , bài toán c được đư a về bài toán E: lỗ hình vuông có vết nứt chụi tác dụ n g của m ột đ iểm lệch n h iệt đặt tại z 0(=íủ(g0) ) củ a đo ạn AB Đ ể giải bài toán E

ta cần tìm h à m G reen cho trường nhiêt độ và trường ứng suất, và n g h iệ m của bai toán c n h ận được bằng cách tích phân n g h iệ m củ a bài toán E dọc theo đoạn AB

Dễ dang thấy rằng, đ ối với trường nhiêt độ h àm G reen củ a bài toán E là (H aseb e and H an , 2 001):

d islo catio n ), và g0 =<y"'(z0), gp = \ / g v

Đ ối với trường ứng suất các hàm G reen ệ (g) và I / / I ; ( g ) c ủ a bài toán E được biểu diễn n h ư sau:

26

= + (30)

V e ( s ) = V u i W + V i M

trond đó ệ n:{g) và y/2K(g) là giải tích trong s* \ ệ u.:{g) và y/ÌE(g) có dạng:

ệ\K l s ) = - ị - logte - g 0) + Aì ogg

Đ ể xác định ậ 2/.;(g), ta thay (31) vào (34), n h à n hai v ế (34) với

d ơ ỉ \ 2m( ơ - q)Xq e S +) , sau đó lấy tích phân Côsi dọc theo đư ờng tròn đơn

Chú ý rằng phần thực và phần ảo của ộ ' 2 i-:{gk) trong (40) được xác định bằng

hệ 2N phương trình tu y ến tính có được bằng cách đạo h àm (40) và thay

trong dó ệ xác định bởi (41) và co(g) bởi (2).

Chú ý rằng, hàm nhiệt độ Y(.{g), các hàm ứng suất ệ, {g), Iựt (g) c a a bai toán

c nhận được bằng cách tích phân Yi:(g), ậ,.(g) và dọc theo đ o ạn AB.

6 Nghiệm c ủ a bài toán D

Bài toán D được m ô tả trên hình vẽ H l ( d ) , trong đó m ột m ặt p h ẳng vô hạn có lỗ hình vuông-vết nứt chiụ m ột sự lệch ứng suất phân b ố dọc theo

đo ạn thẳng vết nứt AB Biên c ủ a lỗ và m ặt của vết nứt đựoc giả thiết là đoạn nhiệt và tự do ứng suất T h e o n g u y ên lý c h ồ n g chát n g h iệ m , bài toán D đươc qui về bài toán F: mặt p hẳng vô hạn có lỗ vết n ứ t-h ìn h v u ông chụi m ột sự lệch ứng suất với m ật độ (độ lớn) D đặt tại đ iể m z ữ{=co{gữ)) củ a đ o ạn AB Tương tự như p h in trước, các hàm Green cù a F: ệ, {g) và ụ/r (g) được biểu diễn dưới dạng sau:

trong đó ệ v (g) và ụ/y.(c) giải tích trong s + và (H ase b e and C hen, 1996)

T ừ (43), điều kiện biên (12) đối với bài toán F có dạng:

ệ 2M{ơ) + = Ú = ệ \ 1 (,ơ) + ụ/2l. (<x) = - ệ u {ơ) - ệ \ Ể( ơ ) - ụsìt (ơ) (45)

Chú ý rằng phần thực và phần ảo của ệ'u-:(g'k) trong (51) được xác định bằng

hệ 2N phương trình tuyến tính có được bằng cách đạo hàm (51) và thay

7 N ghiệm của bài toán A: Các phương trình tích phân.

T h eo ng u y ên lý ch ổn g chút nghiệm , n ghiệm củ a bài toán A là:

H àm nhiệt độ: