Động học của quần thể được mô tả bởi phương trình vi phân tất định và ngẫu nhiên

Trong tiến trình phát triển của mình, một vài loài của hệ có thể bị diêt vong và một số nhưng cung có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào đó.. Mục tiêu của đề tài

£>ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI

ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN

Dynam ics o f Population Described by D eterm inistic and

Stochastic Differential Equations

Chủ trì để tài: Nguyễn Hữu Dư

HÀ NỘI 2006

DẠI HỌC QUỐC GIA HÀ MỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

ĐỂ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP ĐHQGHN

Dynam ics o f Population Described by Determ inistic and

Stochastic Differential Equations

Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư

Cán bộ tham gia:

- GS TSKH Nguyễn Duy Tiến ĐHKH Tự nhiên

HÀ NỘI 2006

MỤC LỤC

Trang

4

I BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỂ T M I QT-05-03

1 Tên đề tài (hoặc dự án):

Tiêhg Việt: Động học của quần thể được mô tả bởi phương trình

vi phân tất định và ngẫu nhiên

Tiêng Anh'. Dynamics of Population Described by Deterministic and

Stochastic Differential Equations

2 Chủ trì để tài: PGS TS Nguyễn Hữu Dư

3 Tên các cán bộ phối hợp nghiên cứu:

4 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

Một trong những bài toán quan trọng của sinh thái-môl trường là nghiên cứu dáng điệu của số lượng các cá thể trong hệ trên khoảng thời gian lâu dài Trong tiến trình phát triển của mình, một vài loài của hệ có thể bị diêt vong và một số nhưng cung có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào đó Việc biết thông tin này sẽ giúp cho các nhà hoạch định chiến lược đưa ra những quyết sách đúng đắn để khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa ra những chính sách kịp thời để đảm bảo cho sự phát triển bền vững của môi trường.

Sự phát triển của hệ sẽ phức tạp lên rất nhiều nếu như có sự tham gia của các yếu

tố ngẫu nhiên như khí hậu, di nhập cư

Mục tiêu của đề tài là đưa ra những kết quả lý thuyết về dáng điệu tiệm cận của một hệ sinh thái được mô tả bởi phương trình vi phân Lotka-Voltera trong môi trường ngẫu nhiên như là phương trình vi phân Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn thực hay hệ Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn trắng Đề tài QT 05-03 được thực hiện từ tháng 3 năm 2005 đến tháng 3 năm 2006 nhằm giải quyết một số vấn đề sau đây: + Nghiên cứu dáng điệu của hệ sinh thái gồm có hai loài phát triển trong theo mô hình cạnh tranh Trước hết nghiên cứu hệ Lotka-Volterra khi các hệ số là những

hàm tuần hoàn có cùng chu kỳ Sau đó, ta xét những hệ như vậy nhưng có sự tham gia của tiếng ồn kiểu điện báo.

+ Nghiên cứu tính hỗn loạn của hệ thú mồi, trong đó có một thú và một mồi Các

hệ số của hệ là nhũng quá trình markov bước nhảy có hai trạng thái.

5 Các kết quả đã đạt được

a) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ có hai loài cạnh tranh nhau, số lượng của mỗi hệ được mô tả bởi phương trình Lotka-Volterra với hệ số tuần hoàn trong môi trường ngẫu nhiên Sự ngẫu nhiên can thiệp vào hệ thông qua một quá trình Markov bước nhảy có hai trạng thái, ở mỗi trạng thái, hệ có hệ số tuần hoàn

và thỏa mãn các điều kiện ổn định, do đó tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn hút các nghiệm khác Khi thay đổi trạng thìa của quá trình Markov, sự phát triển của hệ thay đổi theo tạo thành một sự phát triển hỗn loạn Tuy vậy, chúng tôi đã chỉ ra được dáng điệu của tập Ò mê ga giới hạn Việc biết thông tin này rất qua trọng vì

nó chỉ cho chúng ta là dù có sự biến động ngẫu nhiên, hệ vẫn luôn phát triển bền vững.

Song sự phát triển bển vững này chỉ tồn tại về phương diện lý thuyết Trên thực tế khi số lượng của một loài nào đó thấp hơn một ngưỡng cho trước thì ta xem loài đó đã bị diệt vong Trong kết quẩt đã chứng minh rằng một phần thuộc biên thược về tập Ồ mê ga giới hạn nên ta phải xem một trong hai loài sẽ bị diệt vong b) Nghiên cứu động học của hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên:

Chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai loài, trong đó loài thứ nhất là con mồi của loài còn lại Chúng ta cũng giả thiết hệ được phát triển trong hai chế độ khác nhau của môi trường và sự chuyển đổi giữa các chế độ này tuân theo quá trình quá trình Markov bước nhảy Được biết rằng trong môi trường tất định, hai loài được phát triển theo quy luật tuần hoàn Tuy nhiên chúng tôi đã phát hiện ra rằng trong môi trường ngẫu nhiên, hệ phát triển hết sức hỗn loạn, số lượng của các loài khi thì trở nên rất nhỏ bé, khi thì trở nên rất lớn và như vậy thì hệ không phát triển bền vững Cũng như trong mô hình cạnh tranh nhận được ở phần a), hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp Số lượng các loài có thể dao động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức vô cùng) và về thực tế thì hệ có nguy cơ bi tiêu diệt.

Các kết luận từ các mô hình trên đều khẳng định rằng, trong một môi trường, khi chế độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu cũng như chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi một cách ngẫu nhiên thì sớm hay muộn sẽ có một loài bị diệt vong Các kết luận này đóng vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn thực hành Nó giúp cho các nhà đầu tư hoach định chiến lược để kịp thời can thiệp vào hệ để khai thác tối ưu hệ và tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.

6

c) Đã viết được 01 cuốn sách "Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên"

Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học hoặc tài liệu chuyên khảo cho NCS

Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo khoa học sau:

1 Nguyễn Hữu Dư ”Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên”. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2005.

2 Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra model perturbed by white noise, đang in trong tạp chi Jour o f Mathematical Analyse and Applications

3 N H Du , R Kon, K Sato and Y Takeuchi Dynamical behavior of lotka

telegraph noise, Journal o f Computational and Applied Mathematics , 170 (2004), no 2, pp 399-422

4 N H Du, R Kon, K Sato and Y Takeuchi Evolution of Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal , December 2005, Vol

57, No 4.

5 Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population under random environment Proceeding of International conference on Mathematical Modeling in Biology

6. N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment, đang in trong tạp chi Jour o f Mathematical Analyse and Applications

a) Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ có hai loài cạnh tranh nhau Chỉ ra

sự cạnh tranh trong môi trường ngẫu nhiên rất phức tạp và quỹ đạo của hệ dao

động giữa hai trạng thai cân bằng

b) Nghiên cứu động học của hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên:

Cũng như trong mô hình cạnh tranh nhận được ở phần a), hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp s ố lượng các loài có thể dao động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức vô cùng) và về thực tế thì hệ có nguy cơ bi tiêu diệt.

c) Đã viết được 01 cuốn sách "Điều khiển tối ưu hệ tất định và ngẫu nhiên"

Cuốn sách này có thể dùng làm tài liệu giảng dạy cho Cao học hoặc tài liệu chuyên khảo cho NCS

7

Các kết quả nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên 05 bài báo và báo cáo khoa học sau và một cuốn sách:

d) Đề tài đã góp phần đào tạo được nhiều cử nhân khoa học, 03 học viên cao học là Phạm Thị Hằng, Nguyễn Thị Hồng và Nguyễn Thị Oanh Đề tài đã hỗ trợ đắc lực cho nhiều NCS của khoa Toán - Cơ - Tin học.

6 Tình hình tài chính của để tài

Đề tài được cấp 20.000.000d trong năm 2005 và 2006 vaddwowcj chi vào các mục sau đây:

+ Các bài báo và báo cáo khoa học và các thù lao chuyên môn: 10.000.000 đ

PGS TS Nguyễn Hữu Dư

Xác nhận của Trường ĐH Khoa học Tự nhiên

TGS.TS /ã'i to J ^ l i n /ư

8

n SCIENTIFIC PROJECT

1 BRANCH: Mathematics PROJECT CATEGORY: National University

2 Title of Project: Dynamics of Populations Described by Determ inistic and Stochastic Differential Equations

This research is concerned with the study of trajectory behavior of Lotka-Volterra predator-prey system under the telegraph noises It is well-known that for a predator-prey Lotka-Volterra model

where $a,b,c$ and $d$ are positive constants,

if there is no influence from environment, the population develops periodically However, in practice, the effect of random environment or of seasonal

9

dependence must be taken into account Up to the present, many models reveal the effect of environmental variability on the population dynamics in mathematical ecology Especially a great effort has been expended to find the possibility of persistence under the unpredictable or rather predictable (such as seasonal) environmental fluctuations.

The noise makes influences on an ecological system by various ways By the complexity of stochastic models, we are limited on considering a simple color noise, say telegraph noise The telegraph noise can be illustrated as a switching between two regimes of environment, which differ by elements such as the nutrition or as rain falls The changing is non-memories and the waiting time for the next change has an exponential distribution Under different regimes, the intrinsic growth rate and interspecific coefficient of (1.1) are different Therefore, when random factors make a switching between these deterministic systems, it seems that the behavior of the solution is rather complicated By intuition, we see that the behavior of the solution of perturbed system can inherit simultaneously the good situation and the bad situation.

In a view of ecology, the bad thing happens when a species disappears and a good situation occurs when all species co-exist and their amount of quantity increases.

Slatkin concentrates on analyzing a class of models of single population which grows under this kind of telegraph noise, and obtained the general conditions for extinction or persistent fluctuations.

We consider the behavior of a two-species population, developing under two different conditions of environment connected each other by telegraph noise.

It is proved that under the influence of telegraph noise, all positive trajectories of such a system always exile from any compact set of int$\R_+A2=\{(x,y): x>0, y>0\}$ with probability one if two rest points of the two deterministic systems do not coincide.

If these two rest points coincide and if the quantities of population do not converge

to the rest point, then the quantity of each species oscillates between $0$ and

$\infty$ That explains that for a random eco-system, the population varies complicatedly.

b) Results in practical application: We consider an ecology system of two competing species Suppose that the evolution of every species depends on the quantity of rainfall for every period If the rainfall is sufficient, their competition potential is equal and they develop periodically Whenever the rainfall is small, the second species becomes very weak and its amount gets smaller with increasing of time although the influence of the other environment elements is still seasonally

10

(periodically) However, in case the rainfall is in a stationary regime, the quantity of every species oscillates between the good situation and bad situation There is no species to be disappeared.

Practically, when the quantity of a species is small, we consider that it perishes Thus we see that in an eco-system, if two species compete under the influence of random environment or in model with white noise, one of them must be vanished This conclusion warns us to have a timely decision to protect species in our eco­ system.

c) Results in training:

• Support to many bachelor’s degrees of science;

• Support to three master's diplomats of science: Pham Thi Hang, Nguyen Thi Hong and Nguyen Thi Oanh;

• Support to some Ph D students

3 N H Du , R Kon, K Sato and Y Takeuchi Dynamical behavior of lotka - volterra competition systems]{dynamical behavior of lotka - volterra competition systems: non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise, Journal of Computational and Applied Mathematics, 170 (2004), no 2, pp 399-422

4 N H Du, R Kon, K Sato and Y Takeuchi Evolution of Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal, December 2005, Vol

57, No 4.

5 Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population under random environment Proceeding of International conference on Mathematical Modeling in Biology

6. N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment, đang in trong tạp chi Jour of Mathematical Analysis and Applications

12.Evaluation grade: good (if the project has been evaluated by the

evaluation com m ittee: excellent, good, fair)

11

I I I N Ộ I D U N G C H Í N H C Ủ A Đ Ể T À I

Một trong những bài toán quan trọng của sinh thái-môi trường là nghiên cứu dáng điệu của

số lượng các cá thể trong hệ trên quãng thời gian lâu dài Trong tiến trình phát triển của mình, trong một số trường hợp, một vài loài của hệ có thể bị diêt vong Tuy nhiên nhiều lúc

có thể số lượng các loài tiến tới một trạng thái cân bằng nào đó hoặc diễn ra sự phát triển tuần hoàn Việc biết thông tin là hệ sẽ phát triển theo kiểu nào là một điều hết sức quan trọng Nó sẽ giúp cho các nhà hoạch định chiến lược đưa ra những quyết sách đúng đắn để khai thác tối ưu hệ sinh thái hay đưa ra những chính sách kịp thời để đảm bảo cho sự phát triển bền vững của hệ và của môi trường.

Sự phát triển của hệ sẽ phức tạp lên rất nhiều nếu như có sự tham gia của các yếu

tố ngẫu nhiên như khí hậu, di nhập CƯ Mục tiêu của đề tài là đưa ra những kết quả lý thuyết về dáng điệu tiệm cận của một hệ sinh thái được mồ tả bởi phương trình vi phân Lotka-Volíera trong môi trường ngẫu nhiên như là phưng trình vi phân Lotka-Volterra chịu nhiễu ổn thực hay hệ Lotka-Volterra chịu nhiễu ồn trắng Từ các kết quả lý thuyết này, ta có thể điều chỉnh cho hệ phát triển theo sự mong muốn của mình Để tài QT 05-03 được thực hiện từ tháng 3 năm 2005 đến tháng 3 năm 2006 nhằm giải quyết một số vấn đề sau đây: + Nghiên cứu dáng điệu của hệ sinh thái gốm có hai loai phát triển trong theo mô hình canh tranh Trước hết nghiên cứu hệ Lotka-Volterra khi các hệ số là những hàm tuần hoàn

có cùng chu kỳ Sau đỏ, ta xét những hệ như vậy nhưng có sự tham gia của tiếng ổn kiểu điện báo.

+ Nghiên cứu tính hỗn loạn của hê thú mồi, trong đó có một thú và một mồi Các hệ số của hệ là nhũng quá trình markov bước nhy có hai trang thái.

3.2.1 D á n g đ i ệ u q u ỹ đ ạ o c ủ a h ệ c ạ n h t r a n h L o t k a -v o lt e r r a

c ó h ệ sõ t u ầ n h o à n t r o n g m ô i t r ư ờ n g n g ẫ u n h iê n

Cho ( íĩ, T , P) là không gian xác suất và (Ẹt)t^o là xích markov xác định trên (Q, JF, P), lấy

giá trị tong tập hợp E = { + , - } Giả sử (£t ) có cường độ chuyển + - và — i + với

a > 0, p > 0 Quá trình (£,) có phân phối dừng

Xét một hệ sinh thái trong đó có hai loài Ta ký hiệu số lượng của từng loài tường ứng tại thời điểm t là x ( t ) và y(t). s ố lượng của chúng được mồ tả bởi PTVP cạnh tranh kiểu Lotka-Volterra

Vì vậy sự tương tác giữa hai hệ này sẽ tạo nên sư phát triển của hệ (3.4.1).

Như đã biết, sự phát triển của hệ phụ thuôc vào hai phương trình biên Vì vậy trước hết chúng ta nghiên cứu hệ

ủ = u(a{£t, t) - b(£u t)ù), li(O) G :R+ ,

V = v ( d ( £ f t ) - f ( £ t , t ) v ) , -ỉ'(0) <E £ +

(3.2.7) (3.2.8) Nếu u (t ) là nghiệm của (3.2.7) và v (t ) là nghiệm của (3.2.8) thì (Ẹt u ( f )) và {Ẹt,v{t)) là các quá trình markov.

Phương trình (3.2.7) có duy nhất nghiệm tuấn hoàn (£t , !/*(£))

exp {.4(í)}

ỉlo o s) exp{.4(s)} ds

trong đó A ( t) — /q a(Ẹs, s) ds Tương tự phương trình (3.2.8) có nghiệm tuần hoàn v *(t)

BỔ đ ể 3.2.1 V ớ i m ọ i Uo > 0 (tư ơ n g ứ ng Vũ > 0), lim t_ 00(u (í) - u * ( t ) ) = 0 a.s (tư ơ n g ứ n g lim t_ 00(u(/) - v* (t ) ) = 0 a.s.), tro n g đó u (t ) l à n g h iệ m của p h ư ơ n g

tr ìn h (3 2 7 ) th ỏ a m ã n u(0) — u0 (tư ơ n g ứng v(t ) n g h iệ m của p h ư ơ n g t r ì n h (3.2.8)

Chúng ta nghiên cứu các điều kiệnđảm bảo tính bền vững của phương trình (3.4.1)

với mọi t, s € 3? và i e E Nhờ các kết quả trong in [?, 9] chúng ta có thể chứng minh sự

tồn tại nghiệm tuần hoàn của (3.4.1) mà quỹ đạo 7+ (res 7“ ), hút tất cả các nghiệm xuất phát trên (0, 00) X (0, 00), tức là

lim p ( ( x + ( í ) , y + ( f ) ) , 'Y + ) = 0; ( res lim p ( ( x " ( í ) , y ~ (t)) , 7 ~ ) = 0) (3.2.17)

ở đây chúng ta ký hiệu p(x, 4) = in f{ ||x — z\\ : 2 € .4}.

14

b) N ế u ( x l ( t i ) , y l ( t i ) ) E [<s, r'i) X [0, £ 2] ỈÀÌ I l (í) G [e:, 7~i] Ví > íi N ê u th ê m đ iề u

k iệ n y l {t2) < £1 ta có supẾi<t<(2 y l {t) ^ £ỵ.

T ổ n t ạ i kế t q u ả tư ơn g tự cho (x i ( t i) , y i ( ti) ) 6 [0 £'2] X \s,T 2

)-BỔ để 3.2.5 V ớ i m ỗ i I e E, k ý h iệ u { ( x l ( t ) , y l (t)) : t i ^ í ^ í 2} = 7[t ị ■ Thì,

v ớ i m ọ i 61 > 0, ở đây ỈS ổ2 > 0 sao cho N ế u (x s(íi), y2(íi)) G Us 2 (Y ) ta có 'yỊu,t1+ 2 T] n USl{ x * ,y * ) Ỷ 0 u * 1 m ọ i ( x * ,y * ) G 7 1.

Đ ịn h l ý 3.2.2 G iả SI? rằ n g các đ iề u kiệ n (3.2.10), (3.2.11), (3.4.4), (3.2.13),

(3 2 1 4 ) có được G iả sử u;(x, y) Zà tậ p UJ— g iớ i h ạ n của n g h iệ m (x (t, X , 2/), y (í, X , y)) Cíỉa p h ư ơ n g t r ì n h (3.4.1) với X > 0, y > 0 T h ì 7+ và ~ị~ là các tậ p con của u j(x,y).

Đặt x n = x ( r „ ,x , y ) ; yn = y { r n, x , y )

B ổ đ ể 3.2.6 G iả sứ ( x* ,y * ) £ 7 _ ưà ố! > 0, ta có

Tồ n t ạ i kế t q u ả tư ơ n g tự đ ố i với 7+.

Đ ịn h l ý 3.2.3 M ọ i q uỹ đ ạ o của p h ư ơ n g tr ì n h (3.4.2), x u â t p h á t trê n 7 , tập con

của u j(t, y) vớ i X > 0, y > 0 T ư ơng tự, m ọ i q uỹ đạo của p h ư ơ n g tr ì n h (3.4.3), x u ấ t

p h á t từ m ộ t đ iể m trê n 7+, tậ p con của u (x , y ).

3.2.3 Đ ộ n g h ọ c c ủ a c á c h ệ c o n s o n g ô n đ ịn h

Trong mục này, chúng ta giữ các giả thiết (3.4.4),(3.2.13) và (3.2.14) for i — + Như vậy,

phương trình (3.4.2) có duy nhất quỹ đạo tuần hoàn 7+ Đối với phương trình (3.4.3) Chúng

ta giả sử rằng

15

BỔ đề 3.2.7 D ư ớ i các đ iề u k iệ n (3.2.21) và (3.2.22), tồ n t ạ i h à m ự} : [0, a*) —* 3Ỉ+

sao cho N ế u y < íp(x) t h ì lim t^oo y ~ (t, X, y) = 0 và lim t_^00( x _ (í, X, y) — u~ (í, x )) —0

N g ư ợ c l ạ i , n ế u y > <p(x) t h ì l i m t ^ o o x ~ ( t , X , y ) = 0 v à l i m t _ 0 0 ( y ~ ( í , X , y ) — v ~ ( t , -y)) =

0 N h ư vậy, tồ n t ạ i m ộ t đ ư ờ n g cong tru n g tín h i, sao cho N ế u (xo,yo) G l th ì

n g h iệ m ( x ~ ( t , x o , y o ) , y ~ ( t , x o , y o ) ) b ị ch ặ n trê n và d ư ớ i b ởi các h ă n g sô dương

H ơ n nữa, tồ n t ạ i d u y n h ấ t m ộ t q u ỹ đạo tu ầ n h o à n chứa tro n g í, (k ý h iệ u J~),

được viế n g th ă m b ởi m ọ i n g h iệ m x u ấ t p h á t từ m ộ t đ iể m trê n i, i.e., với m ọi

ỏ > 0, ( x " , y * ) e J~, t ồn t ạ i m ộ t t > 0 sao cho (x~ (t, x 0, y Q), y~ ( t , x 0, y 0)) € ơ á (i*,y *)

v ớ i m ọ i ( x o , y o ) E i

Đ ịn h lý 3.2.4 G iả sử rằ n g các đ iề u k iệ n (3.2.10), (3.2 1 1 ) có được G iả sử Lư(x, y)

l à t ậ p U I - g i ớ i h ạ n c ủ a n g h i ệ m ( x ( t , X, y ) , y ( t , x, y ) ) v ớ i X > 0 , y > 0.

a) M ô i q u ỹ đạo 7- ( x * ,y ‘ ) của n g h iệ m của p h ư ơ n g t r ì n h (3.4.3), x u ả t p h á t từ

m ộ t đ iể m của 7 + là tậ p con của Lj(x,y).

b) N ế u 7 + n A 0 t h ì T x X {0} c lu ( x , y).

c) N ế u 7 + n B Ỷ 0 t h ì {0} X r y c U ){x,y).

d) N ế u c := 7 + n i / 0 t h ì p h ầ n liê n th ô n g nhỏ n h ấ t của i, chứa 7 - thuộc vào

u j{x ,y ).

p h ư ơ n g t r ìn h L otk a-V olterra t r o n g m ô i trường

x {t) = x (t)(a - b y(t)),

ỳ it) = y { t ) { - c + d x (t)),

(3.3.1)

16

!

H in h 3.3 : Imax — Imax > ° y

M ệ n h đ ề 3 4 5 T ồn tạ i El > 0 sao cho nếu Ă2 th ỏ a m ã n y^2ax - 'm > ơ x ở đây

m > q + 6ũ, thì ỹ > m + ơx/2 đối với mỗi (ĩ, ỹ) 6 A 2 n [p - 2ei, p] X [ợ, 00 ).

Tổng kết lại ta nhận được

M ệ n h đ ể 3 4 6 G iả sử Xi và Aj là đường cong tíc h p h â n của (3.4.2) G iả sử ră n g

Ai n A 2 n [p + £\ 00 ) X [0, 00 ) Ỷ 0 và n Ằ 2 n \jị — 2 £i,p\ X [g, 00 ) ^ 0 thì

m a x m a x - V •

II: Hệ với các điểm dừng phân biệt

Chúng ta giả sử rằng (pi, Ợi) (p2, Ợ2)- Chúng ta xét P2 ^ Pi; 92 > 91 ■ Các trường hợp khác tương tự.

M ệ n h để 3.4.7 Với £■ Ã/ló 7i/iỏ, tồ n tạ i các s ố d ư ơ n g £2 và ơy > 0 sao cho: nếu tồn tạ i

x 2, n ối các đ iể m ( ĩ , ỹ ) € [ pi - e , 00) X [ q i - £ 2, q i + e ỉ ị v à ( ĩ i ^ ỵ ) G [pi, 00) X [q2, q2 + 2E2\

t h i đ ỗ i với m ỗ i Ai, đ i q ua ("Si, ỹ j ), ch ún g ta có

ư ớ c lượng thời gian đi vào

Với trường hợp I, chúng ta đặt

u= [p + e , 0 0 ) X [ q , q + 2 e 2], U i = \p + 2 e , o o ) X [ q , q + e 2},

V = [ p - 2 e i , p ] X [ g + 0 0 , 0 0 ) , Vi = [ p - E u p ] X [ọ + 2 ớ 0 , o o )

Đối với trường hợp II, chúng ta đặt

u = [pi - £, oo) X [Ợl - e2,gi + £ 2 ], t/i = [pi,oo) X [Ợl - £T2, Ợi],

V = [pi,oo) X [<72, <72 + 2ễt2], Vi = b i , 00) X [<?2, <72 +

£2]-Giả sử

T i ( x , y ) = i n f { 5 : h o ặ c ( x i ( t + s ) , y i ( t + s ) ) e [/1 h o ặ c ( x i ( í + s ) , y i ( t + s ) ) € H 1 }

đối với trường hợp I

và T j(x , y) = in f{ s : ( x i( í + s), U i(t + s)) £ U \} đối với trường hợp II.

Tương tự,

T 2 { x , y ) = m f { s : h o ặ c { x 2 {t + s ) , y 2 {t + s ) ) e VL h o ặ c ( x 2 ( í + 5 ) ,y 2 {t + s ) ) € H \ )

Vì mỗi đường cong tích phân dễ thấy T \( x ,y ) < 00, 72(x ,y ) < 00 và không phụ thuộc theo í.

Giả sử H 2 = [fci, £2] x [ m i, 7n2] là hình chữ nhật bất kỳ chứa các điểm dừng của (3.4.2)

và (3.4.3) Do T i( x , y) và 72(1, y) là liênd tục theo (x, y), tồn tại một hằng số T " > 0 sao

cho T i(x , y) ^ T ' , y) ^ T * đối với mỗi (x, y) € Ỉ Ỉ 2 - Hơn nữa tổn tại í* sao cho nếu ( x i( í ) y i( O ) £ Ui n H 2 thỉ ( x i (t + s ) ,y i( t + s)) € u đối với mỗi 0 ^ s ^ í* Tương tự,

nếu (x 2(í), ỉ/2(0) € Vi n H 2 thì (x 2(í + s), y 2{t + s)) e V" đối với mỗi 0 < s ^ í*.

Ký hiệu H = H 2 \ H ị trường hợp I và H = H 2 trường hợp II.

3.4.1 Đ ộ n g h ọ c c ủ a c ủ a q u ầ n t h ê có t iế n g ổ n

Đ ịn h lý 3.4.1 G iả sử rằ n g (3.4.2) và (3.4.3) có đ iể m d ừ n g chung VỚI m ỗi

(X, y) € irifR ^ , c h ú n g ta có với xác s u â t 1, hoặc

3.5 Các c ô n g tr ìn h k h o a h ọ c c h ín h và ân p h ẩm

k h á c

c) Đã viết được 01 cuốn sách "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên" Cuốn sách này

có thể dùng làm tài liệu ging dạy cho Cao học hoặc tài liệu chuyên kho cho NCS

Các kết qu nghiên cứu của đề tài được thể hiện trên các bài báo và báo cáo khoa học sau:

1 Nguyễn Hữu Dư "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên" NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2005.

2 Nguyễn Hữu Dư "Điều khiển tối Ưu hệ tất định và ngẫu nhiên" NXB Đai học Quốc gia Hà Nội 2005.

3 Nguyen Huu Du and Vu Hai Sam Dynamics of a stochastic Lotka - Volterra model perturbed by white noise, đang in trong tạp chi Jour of Mathematical Analyse and Applications

4 N H Du , R Kon, K Sato and Y Takeuchi Dynamical behavior of lotka - volterra competition systems: non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise, Journal of Computational and Applied Mathematics, 170 (2004), no 2, pp 399-422

5 N H Du, R Kon, K Sato and Y Takeuchi Evolution of Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal, December 2005, Vol 57, No 4.

6 Plenary talk at Osaka University: Dynamics of Lotka-Volterra population under random environment Proceeding of International conference on Mathematical Modeling in Biology

7 N H Du, Y Takeuchi, N T Hieu and K Sato Evolution of predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random environment, đang in trong tạp chi Jour of Mathematical Analyse and Applications

3.6 K ết lu ậ n

Ta đã nghiên cứu động học của số lượng các cá thể của một hệ được mõ t bởi phưng trinh cạnh tranh Lotka-Volterra với hệ số tuần hoàn hoặc phương trình thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên Sự ngẫu nhiên có thể can thiệp vào hệ thõng qua một quá trình Markov bước nhảy có hai trạng thái, ở mỗi trạng thái, hệ có hệ số tuần hoàn và thỏa mãn các điều kiện

ổn định, do đó tồn tại một quỹ đạo tuần hoàn hút các nghiệm khác Khi thay đổi trạng thái của quá trình Markov, sự phát triển của hệ thay đổi theo tạo thành một sự phát triển hỗn loạn Tuy vậy, chúng ta đã chỉ ra được dáng điệu của tập u,'— giới hạn của hệ Việc biết thông tin này rất quan trọng vì nó chỉ cho chúng ta là dù có sự biến đông ngẫu nhiên, hệ vẫn luôn phát triển bển vững Song sự phát triển bền vững nàỵ chỉ tồn tại về phưng diện iý thuyết Trên thực tế khi số lượng của một loài nào đó thấp hơn một ngưỡng cho trước thi ta xem loài đó đã bị diệt vong Trong kết quả đã chứng minh rằng mồt phần thuộc biên thuồc

về tập uj— giới hạn nên ta phải xem một trong hai loài sẽ bị diệt vong.

21

Câu chuyện cũng xảy ra tương tự khi nghiên cứu động học của hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên Chúng ta xét hệ sinh thái gồm có hai loài, trong đó loài thứ nhất là con mồi của loài còn lại Chúng ta cũng giả thiết hệ được phát triển trong hai chế độ khác nhau của môi trường và sự chuyển đổi giữa các chế độ này tuân theo quá trình quá trình Markov bước nhảy Được biết rằng trong môi trường tất định, hai loài được phát triển theo quy luật tuần hoàn Tuy nhiên chúng ta đã phát hiện ra rằng trong môi trường ngẫu nhiên, hệ phát triển hết sức hỗn loạn, s ố lượng của các loài khi thì trở nên rất nhỏ bé, khi thì trở nên rất lớn

và như vậy thì hệ không phát triển bền vững về phương diện thực tế Cũng như trong mô hình cạnh tranh, hệ thú mồi trong môi trường ngẫu nhiên có quỹ đạo giao động phức tạp

Số lượng các loài có thể dao động giữa sự diệt vong (mức 0) cũng như sự bùng nổ (mức

vô cùng) và về thực tế thì hệ có nguy cơ bị tiêu diệt Các kết luận từ các mô hình trên đều khẳng định rằng, trong một môi trường, khi chế độ chuyển đổi thời tiết, khí hậu cũng như chế độ dinh dưỡng bị chuyển đổi một cách ngẫu nhiên thì sớm hay muộn sẽ có một loài bị diệt vong Các kết luận này đóng vai trò quan trọng cả trong lý thuyết lẫn thực hành Nó giúp cho các nhà đầu tư hoach định chiến lược để kịp thời có thể thiệp vào hệ để khai thác tối Ưu hệ và tránh việc phá hủy môi trường sinh thái.

22

T ài liê u th a m k h ả o

[1] M B a llys, Le D ung, D.A Jones và H L S m ith , Effects của random mortality

on Microbial growth và competition inflow reactor, S L A M J A p p l M a th 57, No 2

[4] J H o fb a u e r và K S ig m u n d , E v o lu tio n a r y G am e a n d P o p u la tio n D y n a m ic s ,

Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

[5] M E G ilp in, P re d a to r-P re y C o m m u m itie s , Princeton University Press, 1975.

[6] M L o re a u , Coexistence of temporally segregated competitors incyclic environment ,

Đê tài support cho các học viên cao học sau:

1 Phạm Thị Hằng

2 Nguyễn Thị Hoàng Oanh

3 Nguyễn Thị Hồng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN• • • ■

PHẠM THỊ HẰNG

ĐÔNG HỌC CỦA QUẦN THẺ ĐƯỢC MÔ TẢ BƠI PHƯỜNG TRÌNH LOTKA - VOLTERRA

CHỊU NHIẺU NGẪU NHIÊN

Chuy ên ngành: Lý thuyết xác suất và thốn g kê toán học

M ã số: 1.01.04

Cán bộ hướng dẫn : PGS.TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - 2004

A 2> '

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN• • • •

Nguyễn Thị Hoàng Oanh

ĐỘNG HỌC CỦA QUẰN THẺ ĐƯỢC MÔ TẢ

TRONG MÔI TRƯỜNG NGẢU NHIÊN

Chuyên ngành: L ý thuyết xác suất và thống kê toán học

M ã số: 1.01.04

Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - 2005

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN• • • •

Các công trình liên quan đến đề tài

1 N H Du, N T Hìeu, K Sato and Y Takeuchì Evolution of

predator-prey systems described by a Lotka-Volterra equation under random environmen, in Print.

2 N H Du, R Kon, K Sato and Y Takeuchi Evolution of

Periodic Systems under Telegraph Noise, Tohoku Mathematical Journal, December 2005, Vol 57, No 4.

4 Nguyễn Hữu Dư Điều khiển hệ tất địng và ngẫu nhiên NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội 2005.

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN

Ngành: Toán ứng dụng

Chuyên ngành: Toán học trong Sinh thái - Môi trường

1 1 H ọ và tên (các) tác giả công trìn h : N H Du, R Kon, K Sato

and Y Takeuchi.

2 Năm: 2005

3 Tên bài báo:

Evolution of Periodic Systems under Telegraph Noise

4 Tên T ạp chí: Tohoku M athem atical Journal, D ecem ber 2005, Vol 57, No 4

5 Tóm tắ t công trìn h bằng tiếng V iệ t:

Trong bài báo này, chúng tỏl nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ cạnh tranh với hệ sổ tuần hoàn trong mỏl trường ngẫu nhiên với tiếng ổn điện báo C húng tỏl đưa ra điều kiện đủ để hệ bền vững về trung bình Hơn nữa, chúng tôl xác định được tập $\om ega$- giới hạn của hệ.

We give sufficient conditions for the average perm anence.

Furtherm ore, we determine the $\om ega$-lim it sets of the system.

Ngành: Toán ứng dụng

Chuyên ngành: Toán học trong Sinh thái - Môi trường

1 Họ và tên (các) tác giả công trìn h : N H Du, N T Hieu, K Sato and

4 T ê n T ạ p c h i : Journal o f M athem atical Analyse and Applications, in p rin t

5 Tóm tắt công trình bằng tiếng Việt:

Trong bài báo này, chúng tôl xét sự tiến hóa của một hệ hỗn hợp của hai

hệ tất định thú mồi mô tả bởi phương trình Lotka-Volterra trong môl trường ngẫu nhiên C húng tôl đã chứng minh được rằng dưới ảnh hưởng của tiếng ồn điện báo, tất cả các quỹ đạo dương của hệ luôn đl ra khỏi một tập com pasct bất kỳ chứa trong int$\R _+A2$ với xác suất 1 nếu như hai điểm cân bằng của các hệ này không trùng nhau Trong trường hợp hai điểm cân bằng trùng nhau, chung tõl đã chứng minh được rằng các quỹ đạo hoặc là hội tụ về điểm cân bằng hoặc là đl ra khỏi một tập compact bát kỳ Do đóm hệ chúng ta không thể phát triển bền vững.

6 T iế n g A n h :

+ T i t l e o f p a p e r: : Evolution of predator-prey system s described by a

Lotka-V olterra equation under random environm ent

+ Title of journal: Jo urna l o f M athem atical A nalyse and Applicatio,

in prin t+ Summary:

In this paper, we consider the evolution of a system com posed of two

equations in random environment It is proved that under the influence of telegraph noise, all positive trajectories of such a system always exile from any com pact set of int$\R _+A2$ with probability one if two rest points

of the tw o system s do not coincide In case where they have the rest point in com m on, the trajectory either leaves from any com pact set of

in t$ \R _ + A2$ or converges to the rest point The exile of the trajectories from any com pact set means that the system is neither perm anent nor dissipative.

TÓM TĂT CÁC CÔNG TRÌNH NCKH CỦA CÁ NHÂN

A i

16 a D epartm ent o f System s Engineering, Schizuoka University, ỉlam am atsu 432-8561, Japan 1 6

11 b Faculty o f Mathematics, Mechanics and Informatics, Hanoi National University, 17

334 Nguyen Trai, Thanh Xuan, Hanoi, Viet Nam

26 In this paper, we consider the evolution of a system composed of two predator-prey deterministic systems 26

27 described by Lotka-Volterra equations in random envừonment It is proved that under the influence of 27

28 telegraph noise, all positive trajectories of such a system always go out from any compact set of in tK ị with 28

29 p r o b a b i l i t y on e i f t w o re st p o i n t s o f th e t w o s y s te m s d o n o t c o i n c i d e I n case w h e r e t h e y h a v e th e r e s t p o i n t

in common, the trajectory either leaves from any compact set of intK^_ or converges to the rest point The

escape of the trajectories from any compact set means that the system is neither permanent nor dissipative

Understanding dynamical relationship between population systems w ith the random factors 38

39 o f environment is a central goal in ecology Randomness or stochasticity play a v ita l role in the 39

4 4 1 This work was done while the second author was in Shizuoka University under the support o f the Grand-in-Aid for 4 4

ARTICLE IN PRES:

S 0 0 2 2 - 2 4 7 X ( 0 5 ) 0 1 1 4 2 -X /F L A A I D : 1 0 8 0 1 V o l • • • t „ 1 n Q n 1 [ + m o d el] p 2 ( 1 - 2 0 )

YJMAA :ml+ V 1.50 Prn:28/ll/2005; 15:11 y jm a C liU O U l by:R.M p 2

2 Y Takeuchi et al / J Math Anal Appl • • • ( • • • • )

dynamics o f an ecological system and the variation o f random factors can cause sharp changes 1

in it This paper is concerned w ith the study o f trajectory behavior o f Lotka-Volterra predator- 2prey system under the telegraph noises It is w ell known that fo r a predator-prey Lotka-Volterra 3

o f seasonal dependence must be taken into account Up to the present, many models reveal the

effect o f envừonmental variability on the population dynamics in mathematical ecology In [10]

Levin did pioneering work, where he first considered an autonomous two species predator-prey

Lotka-Volterra dispersal system and showed that the dispersion could destabilized the system

Especially a great effort has been expended to find the possibility o f persistence under the unpre- 15 dictable or rather predictable (such as seasonal) envứonmental fluctuations [1-5,7,10-13]

The noise makes influences on an ecological system b y various ways By the complexity o f

stochastic models, we are lim ited on considering a simple color noise, say telegraph noise The

telegraph noise can be illustrated as a switching between two regimes o f environment, which

differ by elements such as the nutrition or as rain falls The changing is nonmemories and the

waiting time fo r the next change has an exponential distribution Under different regimes, the

intrinsic growth rate and interspecific coefficient o f (1.1) are different Therefore, when random

factors make a switching between these deterministic systems, it seems that the behavior o f the

solution is rather complicated B y intuition, we see that the behavior o f the solution o f a perturbed

system can inherit simultaneously the good situation and the bad situation In a view o f ecology,

the bad thing happens when a species disappears and a good situation occurs when all species

co-exist and their amount o f quantity increases or develops periodically

Slatkin [16] concentrated on analyzing a class o f models o f single population which grows

under this kind o f telegraph noise, and obtained the general conditions for extinction or persis- ~tent fluctuations In this paper, we consider die behavior o f a two-species population, developing ”

2 under two different conditions o f envữomnent Under each condition, the quantity o f species 32,3 satisfies a deterministic classical predator-prey equation which is connected to the other by tele- 33

14 graph noise It is proved that under the influence o f telegraph noise, all positive trajectories o f 34

1 5 such a system always exile from any compact set of i n t R ị = {(x, y): X > 0, y > 0} with proba- 3 5

16 b ility one i f two rest points o f two these deterministic systems do not comcide I f these two rest 36

Ị7 points coincide and if the quantities o f population do not converge to the com m on rest point, 37

J8 the quantity o f each species oscillates between 0 and 0 0 That explains w hy the population o f a 38

10 The paper is organized as follow s Section 2 surveys some necessary properties o f two-state 40

M Markov process, say “ telegraph noise.” Section 3 deals w ith connections o f two determ in istic 41

\2 predator-prey systems In Section 4, it is shown that, i f the rest points o f two these deterministic 42

13 systems do not coincide, all trajectories o f the system perturbed by telegraph noise always leave 43

w from any compact set in in tR + In case two deterministic systems have the rest point in com- 44(5 mon either the trajectory o f a random predator-prey system converges to the common rest point 45'6 or it leaves from any rectangle in i n t K Ị These properties im ply that such a system is neither 46

4

3 Let (Í2, T , P) be a probability space satisfying the usual hypotheses [14] and (£ f)fj>0 be a 3

4 Markov process, defined on (Í2, T , P), taking values in the set o f two elements, say £ = {1,2}.

5 Suppose that (Ệt) has the transition intensities 1 2 and 2 1 w ith a > 0, /? > 0 The process 5

6 (ệr) has the piece-wise constant trajectories Suppose that 6

12 Then Ơ1 = r i is the first exile from the initial state Ệo, Ơ 2 is the tune duration that the process 12

13 (Ệ,) spends in the second state into which it moves from the first state and so forth It is known 13 ,4 that the sequence is an independent random variables when a sequence (£r*)£= i is given 14

15 (see [6, vol 2, p 217]) Note that i f Ệ 0 is given, then £r<1 is constant, since the process (£,) takes 15

16 only two values Hence, is a sequence o f conditionally independent random variables, 16

17 valued in [0, oo] Moreover, i f Ệ 0 = 1, then Ơ2n+1 has the exponential density a l[0 oo) exp(—ữ í) 17

18 and <72 n has the density /31 [0 oo) exp (—fit) Conversely, i f Ệ 0 = 2, then 0 2 n has the exponential 18

19 density c d[0 oo) e x p ( -a r) , and <72n+i has the density /81[0 00) exp(—f it ) (see [6, vol 2, p 217]) 19

20 Here 1 [0 oo) = 1 for t ^ 0 ( = 0 for t < 0) 20

21 Denote !F q = cr(r*: k ^ n)\ = ơ ( Tjt — Tn: k > n) It is easy to see that = ơ {ơ k : 21

22 k ^ n ) Therefore, J Z is independent o f for any n 6 N under the condition that £o is given 22

23 We consider a predator-prey system, consisting o f two species under a random environment 23

2 4 Suppose that the quantity X o f the prey and the quantity y o f the predator are described by a 24

27 1 ỷ - y ( - c ( Ệ r ) + d(Ệ r)x), ~ 27

28 where g : E -> E + \ {0} for g — a, b, c, d 26

In the case where the noise (£,) intervenes virtually into Eq (2.3), it makes a switching be­

tween the deterministic system

38 Since Ệ(t) takes values in a two-element set E, i f the solution o f (2.3) satisfies Eq (2.4) on 38

39 the interval ( r „ _ i, T„), then it must satisfy Eq (2.5) on the interval (r „ , r n+ i) and vice versa 39

40 Therefore, ( x ( r „ ) , y ( r „ ) ) is the switching point which plays the terminal point o f one system 40

41 and simultaneously the in itia l condition o f the other Thus, the relationship o f two systems (2.4) 41

42 and (2.5) w ill determine the behavior o f all trajectory o f Eq (2.3) 42

-ARTICLE IN PRESS ; •

S 0 0 2 2 - 2 4 7 X ( 0 5 ) 0 1 1 4 2 - X / F L A A I D :1 0 8 0 1 V o l • • • ( • • v r 1 f \ Q 1 [+ m od el] p 4 ( 1 - 2 0 )

YJMAA:ml+ V 1.50 P r n : 2 8 / l l / 2 0 0 5 ; 15:11 y j n i a a 1 U Ỗ U 1 by:R.M p 4

4 Y Takeuchi et al / J Math Anal Appl. • • • ( • • • • ) » • * —• • •

w ith a = d /b be a first integral o f (1.1) B y a simple calculation, we see that all integral curves 1

o f (1 1 ) in the quadrant in tR + = {(jc, y ) : X > 0, y > 0} are clo se d and the curve passing through 2

the point (xo, yo) is given by the algebraic equation 3

4

On each integral curve X, the points w ith the smallest or biggest abscissa are the intersection 6points o f Ằ w ith the horizontal straight line y — a /b We call them the horizontal points o f Ằ and 7denote theữ abscissa respectively by and *4ax- A t a horizontal point, the tangent line to the 8

A is parallel to y-axis Similarly, the points on X that have the smallest or biggest ordinate are the 9intersection points o f Ằ w ith the vertical sứaight line X = c /d We call them vertical points and 10denote theữ ordinate respectively by and y^ax- A t a vertical point, the tangent line to the X 11

We now pass to the study o f the connection between the integral curves o f (2.4) and (2.5) 13which determines the behavior o f the solutions o f the random equation (2.3) because the noise Ệt 14

Let ( p \ , q \ ) = ( c ( l ) / d ( l ) , f l ( l ) / & ( l ) ) be the rest point o f (2.4) and (P 2 , q i) — (c(2 )/d (2 ), 16

a {2 )/b {2 )) be the rest point o f (2.5) Put 17

24

3.1 Case I : Systems with the common rest point

26Fừstly, we consider the case where both systems have the rest point in common That is,

C la im 3.1 I f k \ passes through a horizontal p o in t o fk 2 , two curves are tangent to each other at 33

both horizontal points Moreover, except these two points, one o f these curves must lie within the 34

domain surrounded by the other (see Fig 1) 35

36

In case Ằ1 lies w ith in the domain lim ited by Ằ2 we say A] to be inscribed in Ằ2 at the horizontal 37points A sim ilar property can be formulated for the case where Ằ1 is inscribed m Ằ2 at the vertical 38points That is, Ằ1 and Ằ 2 are tangent to each other at the vertical points and X] lies w ith in the 39

41

C la im 3.2 I f there is an integral curve o f (2.4) to be inscribed in a curve o f (2.5) at the horizontal 42

points then every curve o f (2.4) must be inscribed in a curve o f (2.5) at horizontal points 43

Moreover, in this case, every curve o f (2.5) is inscribed in a curve o f (2.4) at the vertical points 44

45

Proof Claims 3.1 and 3.2 are deduced from analyzing the functions (jc, >’) and V i{ x ,y ) de- 46fined by (3.3) Therefore, we om it the p ro o f here □ 47

- â Z

Fig 1 X] is inscribed in A 2 at the horizontal points.

By virtue o f C laim 3.2, without loss o f generality we suppose that

Hypothesis 3.3 Each integral curve o f (2.4) is inscribed in an integral curve o f (2.5) at the horizontal points

It is easy to see that Hypothesis 3.3 is satisfied i f f a \ < Ữ2

-For a fixed e > 0, we can find two positive numbers Ớ0> 0 and 9] > 0 such that i f Ằ is an

integral curve o f either (2.4) or (2.5) w ith ^ p + e, then yLx ^ 9 + ớ0 and < q - 0 1 Denote

Proof Let Ằ1 and A 2have an intersection point ( x , y ) w ith X ^ p + 8. We estimate the difference

Vmax - ymzx- B y Eq (3.2),

a d p - p ] n p ) + ^ a * - <7 l n >max = 0 i ] ( x - p l n í ) + ỹ - q l n ỹ ,

a 2(p - p \ n p ) + y ị \ x - q In v42ax = a 2(x - p l n x ) + ỹ - q ln ỹ.

Hence, we can find Q 6 (jmax Vmax) such that

(ci 2 - a \ ) { e - p l n ( l + e / p i ) < (ot2 -o > \)(x - p - p ln x / p )

— -vmax — ^max — 9 -vm~ax — 1° y max)

= W a x - >'max)(1 - ? / ớ ) < ?max -

^max-1 2

3 4 5

13 14 15 16 17 18 19

20

21 22

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

5

-r-.- ~ A]

Fig 3 j:max *max >

ơy-By putting

ƠX = (“ 2 - « l ) ( f - p ln ( l + e / p ) ) > 0,

we get the result □

A t the vertical points we have the follow ing property:

13 14 15 16 17 18 19

20

21 22

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

1

YJMAA :ml+ V 1 5 0 P r n : 2 8 / 1 1 / 2 0 0 5 ; 1 5 : 1 1 y jm ila iu o u i by:R M p 7

1 Proof The p ro of is sim ilar to the p ro of o f Claim 3.4 By Eq (3.2), 1

It is easy to see that the m inim um value o f the function f ( u , v) = u — II — q(\nu — ln u ) on the

domain {(«, v)\ u ^ V + ơ x / 2\ V ^ q] is positive Therefore, by putting

26 < = > Ơ2 (p — X — p (In p — In x )) = ỹ - y ^ x — ạ (in ỹ — In^max) 26

29 where 6 € ( Í , p ) and ớ' € (ỹ, }4ax)- Let xc < p such that Qco, q + 9 q /2 ) is a point on the curve 29

30 passing through (p, q + ớo) I f Xo < X < p we have 9' > q + 9 q /2 w hich implies that 1 — q /9 ' > 30

4 C la im 3.7 z,e/ A j A j ốe in te g ra l cu rves o f (2.4) S u p p o se th a t Ằ] n Ằ2 n [p + £, oc) X 44

r 1 — r x l > n .

- I S

R e m a rk 3.8 B y changing the role between the vertical points and horizontal points, we see that

for any £ > 0 we can find £j > 0 and ơy > 0 satisfying the follow ing: suppose that A-1 n /-2 n

(0, oo) X (0, q — ỡ\] Ỷ 0 and A.J n Ằ2 n (p, oo) X [q, q + 2e'j] Ỷ 0 then

JCiav e*l -cmax ỳ cr;.

'max

3.2 Case II: Systems with different rest points

We now suppose that (P \ , <7i) 7^ (P 2 , q i)- We argue for the case P 2 ^ P i; <72 > <71 ■ The other

cases can be analyzed similarly

C la im 3.9 For small £, there are p o sitiv e num bers £2 and ơy > 0 such th a t: i f there exists X-2,

linking two p o in ts (x, ỹ) e [P\ - £, oo) X [q\ - £2, q\ + £2] a n d (*4, ỹ i) e [p i, 0 0) X [q2,<72 +

2e2] then f o r any Ằ1, p a ssin g through (3c 1, ỹ i), w e have

i ' - X > ƠV

'max

(see Fig 4).

Proof The p ro of is similar to the one o f Claim 3.6 Since the curve Ằ2 passes through both

points (Jc, ỹ) and ( i ] , ỹ \ ), there is 9 e (x, i t ] ) such that

CK 2 (x - p2 I n i ) + ỹ - q i ln ỹ = 0 C 2 (x\ - />2 LqX1) + ỹ i — q 2 ln ỹ i

==► a 2(x] - X - p 2(ln * i - l n x ) ) = ỹ - ỹ i - 9 2(Inỹ - l n ỹ i )

= > • a 2 ( x ] - í ) ( l - P 2 Ỉ 0 ) = ỹ - ỹ \ - ? 2 ( l n ỹ - I n ỹ i )

Since the continuous function f (y) = y — q i ln y achieves a strict m inim um value at y = q 2 ,

q\ — qi — qi ( ] nq\ — I1 1Ợ2) > 0- We choose £ 2 > 0 such that

20

21 22

2324252627282930313233343536373839

40

41424344454647

8

for any q\ ^ ỹ < q\ + 2ê2, <J2 ^ ỹi < 92 + 2£2- Therefore,

XI - í ^ (í 1 - í)(l - P2/Ớ) > (qi - q i - qi{ìnq\ - \nq2))/ (2a2).

Similarly, since A-1 passes through Umax 91) aQd ( *1 ỹi)> we have

“ ifcmax - P\ + <71 — l n ^ i = a i ( * i - P] l n * i ) -|- ỹ i — l n ỹ i

*max - * 1 > ( ỹ l - 9 1 t o ỹ l - (91 - 9 1 l n ? l ) ) M > 0

Adding (3.6) and (3.7), we obtain

Xmax - * > (<7l - <72 - <?2(ln<?i - l n q 2) ) / ( 2 a 2).

By choosing ơy = (q1 — q 2 — <72(ln<?i — ln<?2))/(2a2)j we can complete the proof □

3 . 3 Estimate o f entrance times

For Case I, we put

]-For the sake o f convenience, we denote H\ = [pj, P\] X [<72, qi + £2] in Case n

We now look at the entrance time o f a solution At the time t, let U i(r), >>1 (r)) = (.X, y).

Denote T\ (x, y) = mf{s: either (*1 (t + s ) , yi (t + s)) e U\ or (*1 (r + s), yi (t + s)) 6 H\} forCase I and T\ (X, y) — inf{í: (xi (/ + í), y\(r + s)) € u 1} for Case II Similarly,

T i { x , y ) = in f{j: either (x2 (t + 5), y 2 (t + i)) € V] or (x2 (t + 5 ) , y i(t + 5)) e Hi }

Because every integral curve is closed and systems (2.4) and (2.5) are autonomous, it is easy to

see that T\ (X, y) < 00, T2(x, y) < 00 and they do not depend on t.

Let H 2 = [fci, ^2] x [ ^ 1 - mi \ be an arbitrary rectangle which contains the rest points o f (2.4)

and (2.5) Since T\ (X, >') and Ĩ 2 ÌX, y) are continuous in (*, >’), there is a constant T * > 0 such

that

T \ ( x , y ) ^ T * , T 2 ( x , y ) ^ T * for any u , y) G H2.

Moreover, by the continuous dependence o f the solution in the in itia l data, it follows that there

is t* such that if U i(r), y\(/)) s U\ n H2 then (xi (t + s), y \ (t + s)) e U for any 0 ^ í ^ Í*

Sứnilarly, i f (x 2 (t), >2(0 ) € V] n H 2then (x2 (t + í ) , y 2 (t + s)) G V for any 0 ^ 5 ^ t *

Denote H = Hi \ H\ in Case I and H = H2 in Case n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19

20

21 22

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

46

47

— / Ĩ

-a r t ể M M I M d d S S S — P E Ị ã P Ệ Ị

|ỹ jm a a 108011

S 0 0 2 2 -2 4 7 X ( 0 5 ) 0 1 1 4 2 -X /F L A A I D : 1 0 8 0 1 V o l • • • ( 1 1 1 5 ^ _ _ 1 A Ọ r \ 1 [ + m o d el] p 1 0 ( 1 - 2 0 )

YJMAA:ml+ V 1 5 0 P rn: 2 8 / 1 1 / 2 0 0 5 ; 1 5 : 1 1 y j m d d I U Ố U i b y : R M p 10

10 Y Takeuchi et al / J Math Anal Appl. • • • (• • • • )

4 Dynamics o f population under influences of random factors

Yn = inf{2fc > Y n -V - Ilk e H),

The random variables y\ < Y2 <■■■■< ỳlc <■■ ■ form a sequence o f ^g-stuppnig times

(see [6]) Moreover, we see that {yi( = n) e for all k ,n Therefore, the event {yic = n\ is

Since Z2 n is ^"-m e asu ra b le and [yk — 2n) e F q " , then

We now turn back to the investigation o f solutions o f (2.3) Let z ( t , x , y ) = ( x ( t , x , y ) , 3

y (t, X, y)) be the solution o f (2.3) starting from (x, y) e in t M ị at t = 0 For the sake o f simplic- 4ity, we suppose that ệo = 1 w ith probability one The other cases can be analyzed by a similar 5 way by taking the conditional expectation We shall prove that w ith probability 1, the trajectory 6

o f z ( t,x , y) always leaves from any rectangle i f two rest points do not coincide In case two 1

systems have the rest point in common, the solution either goes away from the domain H i or 8

26 27

41

42 43 44 45 46

47

i i

20

21

22

23 24 25 26

27

28 29 30

31

32 33

34 35

36

37 38

39 40 41 42

43 4-4

45

46

47

i s

^ (1 - p {ơ ! e ( T \ T * + 0 } ) 2P(y* < 00) < (1 - p {ơ , € ự * , T* + Í * ) } ) 2

Therefore, by induction we get

3 The occurrence o f the event Ak means that, either (zn) is in H for at most 2k time,

3 i.e., Yk = oo, or Zyk € H and the solution z(t) satisfies Eq (2.4) on the interval [ yit;, Yk +

1 ° y * + i] and the solution switches the trajectory to the system (2.5) at the point Zyk + 1 =

2 ( * 1 (ơyk+i,Zỵk), y \ ( ơ Yk+\ , z Yk)) By definition o f T\ and t * , the event (cjfc+ 1 e ( T \ , T \ + r* ) } im

-3 plies [zn + 1 € U) Thus, Theorem 4.1 tells us that w ith probability 1, either (Z2n) is in H for

» at most finitely many times o f n, or the sequence (Z2n + i) falls into the domain u for infinitely

3 many times o f n.

3

I Bk = {&yk + \ £ (^1 (Xyk , > Y *)' T\ (x yt > yyic) 1 )>

I ơyk+ 2 e ( T 2 (Xyk + l , y y k+l ) , T 2 (Xyk + ì ,yyk + l ) + t * ) U { ỵ k = 0 0 ) } (4.3)