Mô hình toán học trong bài toán ô nhiễm môi trường

Dồ tài nghiên cứu mô hình toán học trong một sô vấn dề liên quan dên môi trường: Vấn đề truyền tải chất ô nhiễm trong không khí từ một số nguồn chất thải gây ra, thường là các nhà máy,

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Dồ tài nghiên cứu mô hình toán học trong một sô vấn dề liên quan dên môi

trường: Vấn đề truyền tải chất ô nhiễm trong không khí từ một số nguồn chất

thải gây ra, thường là các nhà máy, xí nghiệp Đó là những vấn đề có tầm quan trọng đặc biệt trong khi cả nước ta đang tập trung phát triến các ngành kinh tê

đa dạng, trong thời kỳ công nghiệp hóa và hiện đại hóa các ngành kinh tế Thực tế phát triển kinh tế ở Việt nam và các nước phát triển khác trong những năm qua cho thấy, những lợi ích mà phát triến kinh tế đem lại thường cũng phải trả giá bởi vấn đề về ô nhiễm môi trường, o nhiễm môi trường trong mỗi quốc gia và ô nhiễm môi trường toàn cầu đã được đặt ra trong nhiều năm qua Nhiều tổ chức và các hội nghị quốc tê kêu gọi các nhà khoa học và các nhà công nghiệp cùng chung sức giải quyết vấn đề nan giải nói trên Đề tài tập trung nghiên cứu về mặt lý thuyết một sô" mô hình toán học mô phỏng quá trình truyền tải vật chất trong môi trường không khí và trong môi trường nước Những bài toán trên thường dẫn đến các bài toán ngược, phi tuyến, dặt không chỉnh cho các phương trình khuếch tán Do tính phức tạp của bài toán đặt ra, các kêt quả nghiên cứu hiệu quả còn rấ t hạn chế, đặc biệt là phương pháp giải sô' đê tìm nghiệm chính xác nhất có thể được Bởi vậv, vấn đề đặt ra là xác định tập hợp các dữ kiện bó sung để có thể khắng định tính chất duy nhất nghiệm Mặt khác, do các bài toán kể trên thường là không chỉnh (theo nghĩa nghiệm nẽu tồn tại thì không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện bài toán), nên việc tìm

ra các đánh giá ôn định là hết sức cầc thiết Khi đã có được một đánh giá 011

định, việc tiếp theo là các phương pháp giải số một cách ổn định và hiệu quả

cho bài toán đặt ra.

Những kết quả chính:

1 Xây dựng một mô hình toán học mô tả quá trình truyền tải vật chất trong môi trường khí, đề ximt một phương pháp tiếp cận đối vối bài toán này Đó là đưa phương phình đạo hàm riêng câ"p hai tuyến tính về một hệ phương trình đạo vi-tích phân, hoặc dùng lý thuyết thẽ vị để dưa về phương trình với toán tử khả nghịch phải.

2 Dựa theo ý tưởng của các nhà phương trình đạo hàm riêng là dùng phép biến đôi Fourier, đề tài xây dựng một phương pháp cơ sở liên quan đến phép biến đôi tích phân mới, tương tự như phép biến đổi Fourier Phép biến đổi tích phân này cũng cho phép giải một lốp các phương trình đạo hàm riêng cổ điển.

3 Giải sô" bài toán dòng chảy hai chiều với sô" liệu giả định, từ đó xác định mức

độ ô nhiễm môi trường khi có chất thải từ một nhà máy, xí nghiêp đang vận hành.

4 Ngoài ra, đề tài cũng đạt được một kết quả liên quan đến bảo vệ môi trường đất sau chiến tranh, vì thực tê ở nước ta còn sót lại một sô" lượng lớn các vật liệu nổ dưới lòng đâ't.

1 Beside of the above mentioned, this subject obtain some results relating to

ie environmental protection after war in Vietnam, becauseof th at there exist mount of dynamite under land.

he results: Three reports in the international Conferences, two arcticles

ublished.

MỞ ĐẦU

»ề tài đề cập đến một sô" mô hình toán học trong các vấn đề về môi trường Đó

I bài toán về truyền tải và khuếch tán vật chất trong môi trường khí khí có guồn gây ô nhiễm Những bài toán nói trên thường được chuyên về bài toán gược, phương trình phi tuyến, thiết lập không đúng đắn cho các phương trình huếch tán Do tính phức tạp của bài toán, những kết quả đã biết còn hạn chế,

ặc biệt là các phương pháp giải số’ Bởi vậy, việc xác định các tham số bổ sung

ể thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán là vô cùng cần thiết Mặt khác,

o bài toán dặt ra là không chỉnh (theo nghĩa nếu có nghiệm thì nghiệm nay

hông phụ thuộc liên tục vào các số liệu đầu vào), nôn việc đánh giá tính 011

Ịnh của nghiệm có vai trò quan trọng Cuối cùng là tìm nghiệm ổn định và iệu quả cho bài toán đặt ra.

I Dựa vào những ý tưởng là dùng phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên cứu

níơng trình đạo hàm riêng, đề tài xây dựng một phép biến đổi tích phán mới.

1 Prof.Dr Nguyen Him Du, HUS, VNU, Vietnam.

2 Dr Tran Van Tran, HUS, VNU, Vietnam.

3 Dr Tran Van Cue, HUS, VNU, Vietnam.

4 Prof.Dr Dinh Nho Hao, Institute of Mathematics, Hanoi, Vietnam.

The Arms and Results

problems, that is the transportation, diffusion of materials in the air from the source Those mathematical problems are usually reduced to the inverse, nonlinear, ill-posed problems for the diffusion equations Due to the comlication of proposed problems, the known results remain limited, especially the results relating to the numerical solutions Therefore, it is necessary to determine the extra data so that we can obtain the uniqueness of solution On the other side, because of that the above mentioned problems are ill-possed (in mean of that if there exists the solution then that solution do not depend on the data of problem, the estimation for the stibilitv for the solutions is necessary The next problems is find out the efective, stable solutions for the problems.

2 Construction the mathematical model discribing the transportation and diffution of naterials in the air, propose a method of approaching for the problems We deduce second order linear partial-differetial equations to a system of integral-differetial equations as well as by using the protential theory for the deducing to the equations reduced bv the right invertible operators.

2 Based on the idea of classical Fourier integral transform, this subject construct the new integral transform, similarly to the Fourier integral transform By using this integral transform we can solve a class of classical partial-differential equations.

3 Numeracal solutions for the two dimension problems with the theoretical data, and then determine the polution in the area when ther exist the factory

or manufacture.

4 Beside of the above mentioned, this subject obtain some results relating to the environmental protection after war in Vietnam, becauseof th at there exist amount of dynamite under land.

The results: Three reports in the international Conferences, two arcticles

published.

MỞ ĐẦU

Đề tài đề cập đến một sô" mô hình toán học trong các vấn đề về môi trường Đó

là bài toán về truyền tải và khuếch tán vật chất trong môi trường khí khí có tiguồn gây ô nhiễm Những bài toán nói trên thường được chuyên về bài toán ngược, phương trình phi tuyến, thiết lập không đúng đắn cho các phương trình khuếch tán Do tính phức tạp của bài toán, những kết quả đã biết còn hạn chế, đặc biệt là các phương pháp giải số’ Bởi vậy, việc xác định các tham sô bô sung

„tê thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán là vô cùng cần thiết Mặt khác,

do bài toán đặt ra là không chỉnh (theo nghĩa nếu có nghiệm thì nghiệm nay không phụ thuộc liên tục vào các sô* liệu đầu vào), nên việc đánh giá tính ôn định của nghiệm có vai trò quan trọng Cuối cùng là tìm nghiệm ổn định và hiệu quả cho bài toán đặt ra.

2 Dựa vào những ý tưởng là dùng phép biến đôi Fourier cô điển để nghiên cứu pương trình đạo hàm riêng, đề tài xây dựng một phép biến đổi tích phân mới.

tương tự như phép biến đổi tích phân Fourier Bằng cách sử dụng phép biên đổi tích phân này như một công cụ, chúng tôi cũng giải được một lớp các phương trình đạo hàm riêng cổ điển.

3 Các nghiệm số’ cho bài toán hai chiều với các số liệu giả định cũng được thiêt

ập, từ đó có thể xác định mức độ ô nhiễm trong môi trường, khi có nguồn

;hường là các nhà máy hay xí nghiệp có chất thải.

4 Bên cạnh những vấn đề nêu trên, đề tài còn thu được một sô” kết quả liên

^uan đến vấn đề khắc phục hậu quả vê môi trường sau chiến tranh, đó là do

:òn tồn tại số lượng đáng kể bom, mìn và các vật liệu nổ trong lòng đất.

í ế t quả: Ba báo cáo khoa học tại các hội nghị quốc tế: đó là những hội nghị rong khuôn khô hợp tác giữa các trường đại học trọng điểm Việt Nam-Nhật )ản; hai bài báo đã đăng trong tạp chí quốc tế.

1 Về mặt đào tạo: Đề tài nằm trong khuôn khổ của Chương trình hợp tác giữa các trường đại học trọng điểm là ĐHQG Hà Nội và Đại học Tổng hợp Osaka, Nhật bản Một luận án thạc sỹ toán học đã bảo vệ, vào tháng

10 năm 2005 tại trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội’

2 Hoạt động chung: Đề tài tổ chức và tài trợ hai hội thảo quốc tế:

+ Tháng 7-2006: Hội thảo quốíc tê vê giải tích và ứng dụng, Sapa (hợp tác với cơ quan hợp tác hàn lâm Cộng hòa Liên bang Đức).

+ Tháng 12-2006: Hội thảo Việt-Nhật về các mô hình toan học trong các vấn đê vể môi trường, Ba Vì, Hà Tây.

Ngoài ra, đề tài tài trợ Seminar về toán ứng dụng (GS.TS Nguyễn Hữu Dư chủ trì), tài trợ phần phôtô tài liệu cho lớp cao học 2005-2007 học chuyf'n (lô VC toán môi trường (GS Yagi (Nhật bản) giảng dạy.

KẾT LUẬN

Đề tài đề cập đến một số vấn đề liên quan đến môi trường Đây lả những vấn

đề thời sự trong điều kiện đất nước ta trong thời kỳ gia tăng tốc độ công nghiệp hóa và hiện đại hóa Những vấn đề đưa ra và đã giải quyết trong phạm vi của

đề tai có ý nghĩa nhất định về mặt lý thuyết và thực tiễn, v ể mặt lý thuyết, đề tài đưa ra phương pháp tiếp cận cho bài toán truyền tải, khuếch tán vật chất trong môi trường khí Một sô" kết quả toán học đã được chứng minh và là tiền

đê cho những nghiên cứu tiếp theo trong một lớp các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và những bài toán liên quan đến môi trường, v ề mặt thực tế,

do hạn chê vê phạm vi nghiên cứu, kinh phí cũng như khả năng nhân lực, để tài chỉ tính toán trên cơ sở các số liệu giả định Vì vậy, những bài toán vê truyền tải vật chất ô nhiễm trong môi trường còn nhiều vấn đê bỏ ngỏ, chứa

những hướng nghiên cứu tiếp theo, nhằm đáp ứng nhu cầu đem kết quả nghiên cứu khoa học cơ bản vào thực tiễn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Báo cáo khoa học tại các hội nghị quốc t ế trong khuôn khổ của chương

trìn h hợp tác giữa các trường đại học trọng điểm Việt N am - N h ậ t bản.

2 G I M archuk, M athem atical Models in enưironmetal problems,

N orth-H olland-A m sterdam , 1986.

CÁC ẤN PHẨM

1 Bui Thi Giang, N guyen M inh Tuan, On the approach to the

m a th em a tica l models for transportation, diffusion problem s o f

m aterials in atm osphere, Hội nghị Quốc t ế V iệt-N hật (trong khuôn

khổ của chương trìn h hợp tác giữa các trường trọng điểm), H ạ long, 10-2005.

2 N guyen X uan Thao, Nguyen M inh Tuan, Bui Thi Giang,

Convolution for the transform induced by Fourier integral transform a n d its inverse, The 6th general S em in ar of th e Core

U niversity Program : Environm etal Science and Technology for

su sta in a b ility of Asia, Osaka, J a p a n , 10-2006.

3 Bui Thi Giang, N guyen M inh Tuan, Convolution w ith the weight- function for the transform induced by the linear com bination o f Fourier a n d inverse Fourier transform son, Satellite Coference on

th e en v iro n m en tal problems, O saka, 9-2006.

4 N guyen T ru n g T hanh, Hichem Sahli, Dinh Nho Hao, Finite- Difference M ethods a n d Validity o f a T herm al Model for

L a n d m in e Detection With Soil Property E stim a tio n , IE E E

T ra n sactio n s on Geoscience and rem ote sensing, V 45, N 3, 2007.

5 Dinh Nho Hao, P h a m M inh Hien, H Sahli, S ta b ility results for a Cauchy Problem for an E lliptic equation, Inverse Problems, V 23,

2007.

The 6th General Seminar of the Core University Program

ENVIRONMENTAL SCIENCE & TECHNOLOGY

FOR SUSTAINABILITY OF ASIA

Organized by Osaka University and Vietnam National University, Hanoi

Supported by Japan Society for the Promotion of Science (JSPS) and

Vietnamese Academ y of Science and Technology (VAST)

October 2-4, 2006

DPIC 2 at DC Conference Room

00 2-1 A study on a reevaluation of the old apartm ent complexes in H anoi 115

:20 E O ka K Narumi and M Sawaki

20 2-2 Assessment of V ietnam coastal zone vulnerability for sustainable developm ent (cases

:40 study Phan Thiet - Ho Tram A rea)

M.T Nhuan N.T.H Hue NT Tue I D Ouv, N TH Ha P.D Nga and D M Tien

122

40 2-3 Development of sound prcof windows for house in Vietnam

130

00 T Nishimura and T Yano

:20 P.N Hone and V.D Thai

20 2-5 M onitoring of the change in coastal environm ent in southern p a rt of R ed-R iver Delta

:40 from satellite images and the m echanism of beach erosion

144

0 2-6 C haracteristics of q u a te rn a ry sedim entary facies in relation to w ater bearing capacity

20 of aquifers and aquicludes in Red River Delta, Vietnam

T Nghi D Mai N T Lan and T.T Luu

153

.0 2-7 M athem atical stru ctu re fo r forest dynamics and its applications

161

40 L H Chuan and A Yasi

:40 2-8 T he in fra stru ctu re and environm ent in the old tenem ents in Hanoi

165

:00 2-9 Geo-ecological rehabilitation of the mangrove forest in Can Gio District, Vietnam

172

:20 2-10 Development and application of the environm ental hydrodynam ic 3D model for

):40 com putation and forecasting of oil pollutions in coastal m arine environm ent

D.V Uuu H T Huong, and P H Lam

176 : 10 2-11 C onvolution for the tran sfo rm induced by F ourier integral transform and its inverse

186 1:30 N x Thao N.M Tuan, and B.T Giang

:30 2-12 Im p o rtan ce of cross-cultural studies for a global noise policy

198 1:50 T Yano, T Sato, and T Morihara

:50 2-13 E nvironm ental issues in the develoment of the aquaculture farm ing economy in

L.V Thane

208 : 10 2-14 A social survey on com m unity response to road traffic noise in Hanoi

T Sato, T.D Cuong, and T Yano

218 1:00 2-15 B iostim ulation m ethod in shoreline clean-up - An approach of coastal environm ent

4:20 m anagem ent in response to oil-spill h azard - Case study G anh Rai Gulf- Viet nam

230

■20 2-16 Trials of m angrove plantation at m udflats suffering from rough waves and strong winds

240 4:40 Y Kitava, V N Nam and T Miyaffi

1:40 2-17 M arine resources and environm ent of Vietnam , developm ent opportunities and

D V Thanh

246 vOO 2-18 Investigation and research of landslide geohazard in north-w estern p a rt of Vietnam for

5:20 the sustainable developm ent of the territo ry

N V Can and D.V Thinh

254

Ji:

Convolution for the transform induced by Fourier integral transform and its inverse

Nguyen Xuan Thao1, Nguyen Minh Tuan2, Bui Thi Giang2

Abstract

properties and applications to solving integral equations are consid­ ered.

The convolution for integral transforms were studied in the 19th century, at first the convolutions for Fourier transform, for the Laplace transform, for the Melỉin transform and after that for Hilbert transform [13], Hankel transform [12], Kontorovich- Lebedev transform and Stieltjes transform.

The convolution for the Fourier integral transform [10]

1 Hanoi Water Resources University

2 Hanoi University of Natural Science

— o o

I

f i x ) = ( F ~ 1f ) ( x ) = - L Ị eixyf ( y ) d y

—

In 1941, Churchill R V introduced the convolution of two functions / and

g for th e Fourier cosine transform s [3]

Afterwards, in 1967, V A Kakichev proposed a constructive method for defining the convolution with a weight- function which is more general than the convolution (1) And as by- products, convolutions of many integral transforms such as the Meijer, Hankel, Fourier- sine were found For instance,

g for th e F ourier- sine in te g ra l tra n sfo rm Fg was s tu d ie d in [1], [5]

In this talk, we define the convolution with the weight- function for the

T = 3F-\-F~l transform, study some its properties and apply them to solving

integral equation.

— 1*7 —

D e f i n i t i o n 1 The convolution with the weight- function 'y(x) — e~5~ of two

ju n c tio n f , g fo r the T transform IS defined as follows

weight- fu n c tio n 7 (y) — e ^ o f them fo r the T transform belongs to L (R ) and

the fra cto riza tio n property holds

n f * g ) ( y ) = 7 ( y ) ( Tf ) ( y ) ( Tg ) ( y ) Proof We prove ( / * p)(x) G L(R)

B i = V Ỹ n e r- £ [§e~iyué yv + 3e,yue “iyv]

— 00-I-00

T h e o r e m 2 In the space L(R), there does not exist the unit element fo r the

operation of the convolution with a weight function for the T transform Proof S uppose th a t exists e, th e unit elem ent of the op eratio n of convolution

in th e space L ( R): e * g — g * e = g for any function g belonging to L (R )

Choosing g so that (rp)(y) 7^ 0,Vy € R, we see that e-y2/ 2(Te)(y) — 1 = 0

or (T e )( 2 /) — e y2/ 2 Since assu m ptio n th a t e £ Z/i(R) th e n

+ 0 0

-—00 + 0 0

4

191

So ( Te) ( y) is bounded function and ey7/ 2 is not bounded function This is a

contradiction Hence there does not exists unit element for the operation of

convolution with a weight function for the T tramsform in the space L (E).

Due to Weierstrass’ criterion, the integral f ^“r[3e_iiy + eixy} f ( x ) d x uni­

— oo formly converges on R Therefore, based on the differentiability of integrals

d e p e n d in g o n p a ra m e te r, we con clu d e t h a t ( T f ) ( y ) is a n a ly tic for y € R Similarly, ( Tg) ( y) is analytic for y € R.

So we have ( T / ) ( y ) = 0 or(Tg)(j/) = 0 It follows that either f ( x ) = 0 or

8 r / / ^ (u )5(u)e (12"+ ) dudv = ~ J f ( u) ( e v2/2 * g ( v ) ) { - x + u)du

Consider the integral equation

À £ c g h are functions in G i( K ) , / is unknow n function To solving th e

integral equation we introduce the following definition

D e f in it i o n 3 The generalized convolution o f two fu n c tio n f , g fo r the T , F

transform s w ith the weight- fu n c tio n ')'(x) = e 2 is defined as follow s

L e m a 1 Let / , g be function in L(R) Then the generalized convolution (13)

belongs to L ( R) and the fractorization property holds

T ( f * g ) ( y ) = l ( y ) ( T f ) ( y ) ( F g ) ( y )

T h e o r e m 6 With the condition 1 + Àe~y2/ 2( Tg) ( y) ỹ^0,Vy E M, there exists

a solution in L ( R) of (12) which is defined by

Due to Wiener-Levi’s theorem , there exists a function /1 g L g R such that

[1] V A K akichev, On the convolution fo r integral transforms, Izv ANB-

SSR, Ser Fiz Mat 1967 N.2, p 48-57 ( in Russian).

[2] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao, ” On the design method for the

generalized integral convolution”, Izv Vuzov Mat, 1998, N 1, 31-40 (in

Russian).

[3] C hurchill R V (1941) ”Fourier series and boundary value problems ” ,

New York, 58p.

[4] Bateman H-, Erdelyi A (1954), ” Tabels of integral transform ” , New

York- T oronto- London MC G ray- Hill, v l

[5] N guyen X uan T h ao, Nguyen T h an h Hai (1997), ” Convolutions fo r in ­

tegral transform and their application” C om puter C entre of the R ussian

A cadem y, M oscow, 44pages (R ussian).

[6] Nguyen Xuan Thao, ” On the generalized convolution for Stieltjes,

Hilbert, Fourier cosine and sine transforms, Ukr math J 53(2001),

560-567 (in R ussian).

[7] V A K akichev, N guyen X u an Thao, Vu Kim Tuan (1998), ” On the gen­

eralized convolutions fo r Fourier cosine and sine transform s” East- W est

J o u rn a l of M athem atics V oll, No 1 pp 85-90.

[8] N guyen X uan T h ao an d Trinh Tuan, ” On the generalized convolution

for I - transform", Acta- Mat v’ietnamica 18(2003), 135- 145.

[9] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Minh Khoa (2004), ” On the convolution

with a weight- function for the Cosine- Fourier integral t r a n s f o r m Acta

M ath em atica V ietn am ica, Vol 29, No 2, pp 149- 162.

[10] F G Tricomi, (1951) ” On the finite Hilbert tran sform ”, Quart J Math.

2 , 199- 211

[11] o I Marchev, (1983) ” Handbook of Integral Transforms of Higher

Transcendetal F un ctio n s Theory and Algorithm ic Tables” , New York

- Birbane- Toronto.

[12] Vu Kim Tuan and Saigo M., ” Convolution of Hankel transform and its

applications to an integral involving Bessel function of first k i n d \ J

Math, and Math Csi 1995, V 18, N 2, 545-50.

[13] H, J, Glaeske and Vu Kim Tuan, ” Convolution of the Hilbert transfer

and its application to som e nonlinear singular integral euqations” , Inte­

gral Transform and Special Functions, 3(1995), N 4, 2663- ‘268.

[14] Srivastava H M, Vu Kim Tuan (1995) ” 4 new convolution theorem fo r

the Stieltjes transform and its application to a class o f singular integral equations”, Arch Math V64, P -144-149.

197

Convolution with the weight- function for the transform induced by the linear combination

of Fourier and inverse Fourier transform s

Bui Thi Giang 1 Nguyen Minh Tuan t

In this talk, wo define the convolution with the weight,- function for the

7' = -iF + F ~ l transform, study some its proporfirs and apply them for

D e f i n i t i o n 1 The convolution with the weight- function 7 (.r) — f of t wo

"In s ilu U ' o f C r y p to g r a p h y S b.qnces, H a n o i, V ie tn a m

t [ 1 a ]ini U niv<T st\ o f i\a l u ra l ScicnciiS, H iinoi, V ie tn a m

( / * » ) M = “ 1 3 [ / * (e “”’/2 * j ( » ) ) ] ? ( z ) + 3 [/i * (e~v‘12 * t/(v))l(:r)

- 3 [ / * « ( » ) ) ] ( - * ) + 3[/, ( c - ”2/2 f l W ) ] ( - r )

where f { - x ) =

differen tial eq u a tio n s [4].

This topic is however outside the scope of the prose lit talk But, this is idea that, our problem can be approached in this way That, is by using I Ilf T

I ra n s fo rin to slove p a r t i a l d iffe re n c e e q u a tio n s

3.1 Obtain the solution v ( x , t ) of

lilt' (listanco along the rod.

Formally we proceed as follows Let

function f , g f o r the T transform is defined as follows

T h e o r e m 1 Let / , <7 be fu n ction in L (R ) Then the convolution unlh the

the fra cto riza tio n property holds

R e m a r k 1 In the L(R) space, tlie convolution (1) is comutativo, associative4 and distributive.

T h e o r e m 2 in the spa.ee />(R ), there does not exist the it,nil eỉcĩìiciii for the

operation o f the CAmvolution with a weight, fu n ction for' the T transform.

D e f i n i t i o n 2 The n o rm in the space L (R ) is (lr.fi.ncA by

T h e o r e m 3 I f f , g are fu n ctio n s in to L( R) , then the following inequality

T heo rem 5 If f and g are functions in L ( R), then the following equality holds

d ifferen tial eq u a tio n s [4].

This topic is however outside the scopo of the present, talk I3ut this is idea that our problem ran 1)0 approached in this way That, is by using thí' T transform to slove partial difference equations.

3.1 Obtain tint solution v ( x , t ) of

Formally we proceed as follows Let

integrating by parts twice, and assuming that the terms at the limits vanish

H ince

Thai, ill fad v ( x , l ) —> /(./:) as / —> 0 follows from the theory of Wt’k'rtlass's

singular integral The m ethod would be justified e.g if all the functions

('onccTiK’d belong to L{ — 0 o, oc) But the following procedure is much more gciK'ral.

Su|)ị)().s(' that /)| < for sonic c and all f, with similar conditions oil

any of the pintia] derivatives which occur We shall say that such a function

o o

— o o

In tlifl corresponding argmnent with V- the integrated terms appear with the opposite sign, and we obtain

V (U ) = F.(Oe~ih +

That I,his tends to /(.r ) in general follows from theorem 13.

For a rigorous proof suppose again that v ( x , t ) is of exponential type Lot

o c

r ( £ 0 = - ỵ ỵ = ị r ( r J ) c 'tTd r ( 7 7 > c).

0

for X > 0 wliile the right- hand side is 0 for X < 0 The repeated integral

is absolutely convorgrni., and we may invert,, and then L*('j)lac(' (Ì l>y 0 J li(' trnii ill f ( u) contributes.

3.3 Obtain the solution of

H < 'n< T ,l(0— 4

-z£ V Z7T When = /, -tt- = 0 Hencc

3.5 Obtain the solution of

A(e) = _ Z i i >

« l, l ) { n v / i i ) } and the solution is

For suitable functions f ( t ) we can make k -> 0, and obtain the solution ill

the form of integrals along the real axis.

R eferen ces

[1] V.A Kakichcv, On the convolution f o r integral transform s, Izv A XB-

SSR, S(T Fiz Mat 1967, N.2, p 48-57 ( in Russian).

[2| Churchill H V (1011) ” Fourier series and boundary value problr.ins

N('\v York, 58p.

York- Toronto- London MC Gray- Hill, v l

[ 4] E c T itc h in a rs h , ”In tro d u ctio n to the theory o f F o urier in te g r a ls ' New

college, Oxford, 1937.

12

Finite-Difference Methods and Validity of a

Thermal Model for Landmine Detection

With Soil Property Estimation

N g u y e n T ru n g T h à n h , H ic h e m S a h li, an d D in h N h o H à o

tract— In this paper, w e introduce and validate a 3-D lin-

lermal m odel for lan d m in e d etectio n A finite-diflerence

xim ation o f generalized solution s to the m odel is proposed,

s convergence properties are proved A n efficient nu m erical

thm based on sp litting m eth od s is su ggested for solv in g the

tized problem M oreover, we in trod u ce m eth od s to estim ate

tare) soil and a ir-s o il interface therm al properties T hese

leters dep en d strongly on weather, environ m en tal condi-

and soil type; their accu racy affects stron gly th e therm al

ling T he validity o f th e therm al m odel with the estim ated

roperties is verified by com p arin g the sim u lation s w ith data

zquired in outdoor m inefields.

'ex Terms— L andm ine detection, soil p a ram eter estim ation ,

ng m eth ods, therm al m odeling.

I I n t r o d u c t i o n

URING the last tw o decades, research in landm ine d e­

tection has received a growing interest in the detection

.ubsequent removal o f mines and unexploded ordnance,

al new technologies, based on different physical princi-

e.g., electrom agnetic detection, vapor/builk detection, and

electronic im aging, have been investigated A review on

ntly used landm ine-detection technologies can be found

I and [2 ]

nong the used technologies, dynam ic therm al infrared (IR)

lique (IR im ages o f the soil surface acquired at m ultiple

instants) seem s to be prom ising to detect shallowly buried

letallic landm ines and distinguish them from o ther buried

;ts The detection lies on the difference o f the therm al

jcteristics between the soil and the buried objects Indeed,

resence o f buried objects affects the heat conduction inside

ioil under natural heating conditions Consequently, soil

leratures on the ground above the buried objects are often

rent from that of unperturbed areas These tem perature

itures can be m easured by an IR im aging system placed

muscript received April 14, 2 006; revised O ctober 26, 20 0 6 This work

■upported in part by the European C om m ision under the C L EA R FA ST

-t 1S T 200 0 -2 5 1 7 3

T Thành and H Sahli arc with ihe Departmenl o f E lectronics and Infor-

s Vrijc U niversiteit B russel, 1050 Brussels, B elgium (e-m ail: ntthanh@

ub ac.be; h sa h li@ eừ o vub.ac.be).

N Hào is with the Hanoi Institute o f M athem atics, Hanoi 10307,

am, and a lso with the Department o f E lectronics and Informatics,

Universiteit B russel 1050 Brussels, B elgium (e-m ail: hao@ m alh.ac.vn;

5 eưov ubac.be).

ilor versions o f one or m ore o f the figures in this paper are available online

p://ieccxplorc.iccc org.

glial Objeci Identifier 1 0 1 109/T G R S.2006 8 8 8 8 62

above the soil area From the acquired im ages, it is possible to detect the presence of buried anom alies using im age processing techniques such as segm entation [3] However, to classify these anom alies, one has to estim ate their physical characteristics (thermal diffusivity), size, and shape from the thermal IR

m easurem ents Such problem is often solved by considering two steps The first step, refeư ed to as a forward therm al mode], aims at m odeling the temporal behavior o f the soil tem perature with the presence of buried objects under natural heating conditions The second step, referred to as inverse problem setting for landm ine detection, consists o f using the acquired IR images and the forward thermal m odel to infer the characteristics of the detected anom alies Although inverse problem s in heat conduction have been intensively studied (see, e-g- [4]—[ 12]), to our knowledge, only our previous works [13], [14] applied them to landm ine detection in which the depth

of burial and the therm al diffusivity of buried objects were estim ated, assum ing that their height and location in the soil volum e are known

A typical feature of the inverse problem is that it is ill-posed Small errors in the m easured data can cause arbitrarily large errors in the estim ates o f the param eters o f interest, or can even render the problem unsolvable It m ay also occur that the solution of an inverse problem is nonunique, i.e., there are several different param eter values that could produce the sam e observed data M oreover, the accuracy of the results of the in­verse problem depends strongly on the accuracy of the forward thermal model Therefore, for solving successfully the inverse problem, a good forward therm al model needs to be established

So far, m ost of the works in IR technique for landm ine d e ­tection focused on defining forw ard therm al m odels for buried objects Am ong the existing m odels, Sendur and B aertlein [15] proposed a 3-D therm al mode] for hom ogeneous soil containing

a buried antitank mine modeled as TNT The authors con­ sidered smooth and Gaussian-distributed rough surfaces They

proposed a radiom eưic model for therm al signatures released from the soil surface and from other sources T he considered radiom eưic mode] allows approxim ating the tem perature o f the soil surface from m easured IR images The sam e radiom etric

model was also studied by Pregowski et a i [16] A 3-D

mode] for hom ogeneous soil containing a buried landm ine and considering both the explosive (TN T) and the casing o f the landm ine ha5 been inưoduced by K hanafer and Vafai [17], In theừ paper, they analyzed the effect of the casing on the diurnal behavior of the soil tem perature distribution taking into account

soil surfaces In another w ork [18], K hanafer et al

ĩed the effect o f a thin metal outer case and air gap on the

ated soil tem perature at different depths, including the soil

e, the top, and the bottom surfaces o f the mines Although

;nt therm al models have been proposed, their validation,

imparing the sim ulations with experim ental data, has

considered by ju st few authors using indoor experim ents

[20] or outdoor experim ents [13], [14], [21], [22]

this paper, we propose a 3-D linear forward thermal

I for buried landmines A finite-difference approxim ation

leralized solutions to the therm al mode] is proposed, and

nvergence properties are proved A n efficient num erical

thm based on splitting m ethods [23]—[25] is suggested for

lg the discretized forw ard problem T his splitting scheme

olutely stable and m uch faster than o ther im plicit schemes

s not necessary to use iterative procedures for solving the

ing large linear system s Moreover, this num erical scheme

lple for im plem enting and can be easily parallelized due

special form s of the coefficient m atrices The com parison

is method with sim ple explicit finite-difference scheme

icussed as well Q ualitative evaluation o f the proposed

lal model and quantitative com parisons with data sets

red in outdoor m inefields are also given,

len dealing with therm al m odeling for landm ine detection,

hould keep in mind that IR signatures o f the soil surface

id strongly on w eather and environm ental conditions and

oil type, in particular, the surface layer Bare-soil thermal

:rties (therm al conductivity, heat capacity, density), which

ol the heat conduction inside the soil, and the soil-surface

lal properties (the solar absorption coefficient, the sky

rplion coefficient, the soil em issivity, the convective heal

fer coefficient) or, generally speaking, the heat flux on the

oil interface, must be accurately estim ated Since these

neters depend on m any factors such as soil type, w eather

itions, m oisture content o f the soil, etc., reference values

the literature or m odeled ones (from sim ilar conditions)

not be accurate enough and cause large errors in the

nal model A lthough therm al m odels fo r landm ine detec -

have been studied for m ore than a decade, to our know]­

, the problem for estim ating the soil and the soil-surface

nal properties in real m inefields has ju st been considered

:he first tim e in our previous w ork [14] In addition to

abjectives presented above, in this paper, we extend our

iously proposed method, for estimating the soil thermal and

ice param eters from in situ soil tem perature m easurem ents

Hired using therm ocouple), to an estim ation m ethod u sirg

itu acquired IR images M oreover, an approach for esti-

ng the boundary condition at the a ir-so il interface o f the

/STd model is proposed T his allows im proving the accuracy

le thermal model and applying the therm al model to real

efields

his paper is organized as follows In Section II, the math-

-tical form ulation of the therm al m odel for landm ine de­

lon is established The estim ation o f the soil properties

n in situ m easurem ents is discussed in Section 111 The

lerical m ethods for solving the m odel o f Section II are

A G overning Equation

C onsider a rectangular parallelepiped, w hich is com posed

o f soil volum e containing a buried object as shown in Fig 1

We associate the soil volum e with an orthonorm al Cartesian coordinate system in w hich the coordinate o f a point IS de­noted by X = ( x i, 1 2 , X3 ) W ithout loss o f generality, we as­

sume that fi = {x : 0 < X, < l i , i = 1 ,2 ,3 } We denote by r

the boundary o f n and r Ị = { 1 e r : X, = 0 }, r j = {x €

r : I , = l ị } , i = 173 We note that r ị is the soil surface, the only portion o f the soil volum e accessible to therm al ỈR m ea­surements, and rij is the bottom of the soil volume For the sim plicity of notation, the union of the vertical boundaries of

n is denoted by Ti 2 (Ti 2 = ( r \ r ị ) \ r ^ ) D uration o f analy­

sis is denoted by (0, t e ) and S ị t := r j X (0, t e ), i = 1 ,2 ,3 ,

J = 1,2; s Ị '2 := Ti 2 X (0, i e) In this paper, we assume

that the soil and the m ines are isoưopic and hom ogeneous

M oreover, the soil m oisture-content variation is assum ed to

be negligible during the period o f analysis Then, the tem ­

perature distribution, T ( x , t), (X , t) Ễ 2 i = fi X (0, i e ), in the

considered dom ain under natural heating conditions satisfies the following partial differential equation [26], [27]:

where a ( z ) ( m2/s ) is the thermal diffusivity in the domain

B Initial and B oundary Conditions

In order to solve (1), one has to know the initial tem perature distribution as well as the necessary boundary conditions These conditions are described in the following

1) The initial condition expresses the tem perature distribu­

tion in the w hole dom ain n at the starting time t = 0

We note that the initial soil tem perature distribution g( x)

is not given In practice, there are tw o ways to deal with

this problem In the first way, one assum es that the ther­

mal m odel is applied under steady weather conditions;

therefore, the soil tem perature is assum ed to be dium ally

steady periodic U nder this assum ption, the steady peri­

odic solution of the therm al model can be obtained by an

iterative procedure [19] This approach has an advantage

that the steady periodic solution can be achieved regard­

less of approxim ations of the initial condition However,

it may not be widely applicable due to the requirem ent

of the steady periodicity of the soil tem perature which

does not aJways happen in real minefields In the second

approach, the initial condition is approxim ated by inter­

polations from the m easured soil tem perature at different

depths at a given position and tim e, assum ing that at

that mom ent, the therm al equilibrium between the soil

and the landmines takes place, i.e., the tem perature is

constant in horizontal planes [13] T he main advantage of

this approach is that it does not need the assum ption on

the steady periodicity o f the soil tem perature; therefore,

we do not need experim ental data for 24 h Moreover,

we do not need to apply iterative procedures for solving

thermal mode] num erically; therefore, it helps reduce

calculation time U nfortunately, the assum ption on the

thermal equilibrium is reasonable only at som e certain

lime instants such as around sunrise or sunset Moreover,

these instants depend on w eather conditions and soil

type In this paper, the second m ethod is used due to the

fact that the assum ption on the steady periodicity o f the

soil tem perature is not valid for the used experim ental

data set

) The “ sufficient depth condition” assum es that the soil

tem perature at the depth does not depend on either diurnal

heat transfer processes or the landm ines; therefore, it

is approxim ated by the m easured soil tem perature at a

given location and depth This assum ption is acceptable

since we only consider shallowly buried landm ines In

this case, the mines do not effect the soil tem perature at

deep depths Hence, the condition on the bottom surface

r | of the domain Q is given by

T( x , t ) = T x , (3)

The sufficient depth can be approxim ated using

AngsưõnTs method [26, p 136], assum ing that the soil

tem perature is steady periodic or taken from in situ m ea­

surements In this paper, the sufficient depth /3 is set to ap­

proxim ately 50 cm because the m easured soil tem perature

at this depth is alm ost invariant in tim e [see Fig 10(a)]

}) The surface heal flux establishes the incom ing heat flux

ợnct through the portion of the soil volum e accessible to

m easurem ents, i.e., the air-soil interface (soil surface) r ]

= ?„«(*, 0 ( * ' 0 e s ỉ « (4)

ƠX 3

with K (W /m /K) being the soil thermal conductivity A

detailed discussion on the net heat flux Ợnet is given

in Section II-C

4) The dom ain is assum ed to insulate heat flows on the

vertical boundaries s i ’2 This hypothesis is reasonable if

the soil is hom ogeneous and the considered dom ain is so large that we can neglect the effect o f the landm ines on its boundary In this case, the heat balance takes place on the vertical boundaries of the domain during the period o f analysis This condition is described by

^ - ( x , t) = 0 for (xyt) € 5 t1,2 (5)

o n

where n is the outward unit normal vector to r Equation (1) with the conditions (2 )-(5 ) is considered

as the thermal model of shallowly buried landmines

c Soil-Surface Heat Flux

In this paper, we assume that the m oisture evaporation on the soil surface is negligible during the period of analysis; therefore, the surface heat flux (4) can be approxim ated as follows [28], [29]:

Ọnet(-^I 0 = 4 s u n ( 0 “t” flaky ( 0 *7conv(^) 0 Qemis(*Ei i) (6)

where qsu n (w /m 2) is the solar inadiance, Qaky(w/m2) is the

sky irradiance, <7conv(W/m2) is the convective heat transfer at the air—soil interface, and <7em is(w /m 2) is the thermal em ission

by soil These terms are discussed hereafter

From S tefan-B oltzm ann’s law [28], the therm al em ittance term is given by

with €SOj] being the soil thermal emissivity, Ơ — 5.67 X

10 8[ w / ( m 2 K 4)] Stefan-Boltzm anrTs constant, T ( x i t ) i ( i , t) € S3 the soil-surface temperature

The convection term in (6) is usually approxim ated by

N ew ton’s law [26]

<?conv(z, t) = h [ r air( 0 - T(x, 0 ] , (x, 0 e s ị t' (8)

where h ( W /m2/K ) is the convective heat ư ansíer coefficient

In general, the convective heat tfansfer coefficient depends on wind speed Consequently, it varies from tim e to tim e and

is difficult to be accurately approxim ated In this paper, for simplicity, we assum e that the model is only applicable in the

absence of sưong wind; therefore, the coefficient h can be

considered as a constant

To model the solar irradiance, W atson [29] inưoduced the following formula:

£s un (^â) = ‘S’oC( ^3 ) H ( t s ) (9)

with Sq = 13G7 ( w / m 2) being the solar constant [30], t 9( h) as

the solar time, C ( i 8) as a factor that accounts for the reduction

in the solar ÌTTadiation due to cloud cover, arid H ( t s ) as the local insolation function A detailed form ulation o f H ( t a) is given

in [30],