Phương trình vi phân - đại số và phương trình sai phân ẩn = Differential-Algebraic Equations and Implivit Difference Equations

Phẩn IPhương trình vi phân - đại số PTVP - ĐS và phương trình sai phân ẩn PTSP ẩn là những vấn đề thời sự của Toán học ứng dụng, thu hút được sự quan lâm ciia nhiều nhà khoa học xem [1..

N Ộ I D U N G

I Lời nói đẩu

II Tóm tắt kết quả nghiên cứu của đề tài

III Tài liệu tham khảo

IV Báo cáo kết quả thực hiện đề tài NCKH bằng tiếng

V iệt

V Báo cáo kết quả thực hiện đề íàỉ NCKH bằng tiếng

Anh

VI Tóm tắt các công trình NCKH liên quan đến đế tài

VII Phụ lục: Các bài báo liên quan đến đề tài

VIII Tóm tắt luận án tiến sĩ

IX Phiếu đăng ký kết quả nghiên cứu KH-CN

Phẩn I

Phương trình vi phân - đại số (PTVP - ĐS) và phương trình sai phân ẩn (PTSP ẩn)

là những vấn đề thời sự của Toán học ứng dụng, thu hút được sự quan lâm ciia nhiều nhà khoa học (xem [1 10, 14] và các lài liệu liên quan) Phirtttig I rì nil vi phím (lại

số xuất hiện lio n g nhiều vấn dề thực tế, từ những hài toán diều khiên hê dộng lực

có làng hu Ọc, m ộl số hài toán cùa k ỹ ih u ậ l diện và công nghệ lu KÍ line (lén |ilm o iiịỉ pháp IIứa lờ i tạc g ià i phương trình dao hàm liê n g , phương 1 lìn h ill 11 gọn lio n g hài toán nhiễu kì dị v.v

Tính không chính của các hài toán Cauchy và hài toán hiên dối với P rV P -Đ S như sự không tổn lại hoặc không duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc không liên lục của nghiệm vào các dữ liệu v.v làm cho việc nghiên cứu dịnh tính và giái gần đúng PTVP-ĐS trở nên khó kliãn hơn nhưng cũng hấp dãn các nhà khoa hoc hơn

Đ ến nay dã có hàng ngàn cóng (rình nghiên cứu về P TV P -O S lộp tru n g vào một

số vấn (lổ sau:

1 XAy dựng k liiíi niCm chí sô' của PTVP-ĐS Chỉ sô' của !yrV IM )S (lo mức

độ iTÍn cùa phương trìn h cíĩn g như sự nhạy cảm của n ghiệm Ihco Cík' (lữ liệ-ti han drill Nhiều khái niệm chỉ số (lã dược thiết lẠp như chỉ số loàn cục (global index), chí sò kha qui ( Im c la lìility in d e x), chỉ số nhiều (p e rtu b a lio n in d e x), v.v M ố i lien liệ lìiứa các k liá i niỌm chỉ sô cũng nhu lín h giải ikrực cùa hài tcnín C a u c liv VÌI lìĩii to iíii biên clio PTVP-ĐS trong nhiều trường hợp khá lổng quái dã dược nghiên cứu

2 Sir (lụng công cụ hình học nhiều nhà khoa học đã coi IT V P -Đ S Iilur I T V I ’ (lên (la tạp và đã thu dược một số kết quả hước (lầu về dántỉ (liêu nghic-in cùa

IT V P -D S

3 Phương pliáp tu vốn tính lioíí và tựa tuyến tính hná lổ n g quái cũng (liKíc

m ội sỏ nhà loán học khai lliá c dê nghiên cứu hài loán hiên (lói với n v p - ix s phi [uyên

4 M ộ l sô phương pháp sô quen biết đ ỏ i với lyr v p thường tlươc MỊihicn cứu áp dụng clio PTVP-ĐS, như các phương pháp luyến tính một hước và ti;i bước (cliíi yêu

là phương pháp rin) dể g ià i hài loán CaucliỴ phương pháp brill và hắn lió i phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp c o llo i ation giải hài toán hiên cho IT V P -Đ S

Phương trình sai phân ẩn xuâì hiện Irong nhiều bài loán lluix lê nhu 111 ó hình k in h

tố đa thành p liíin cua L e o n tie v hay m ô hình L e slie vổ sự lãng I rường thì 11 sô các hài toán dicu khiên (ối ưu rời rạc v.v M ặt khác nhiều PTSP fill là lie (|iiá cua vice lò i rục lioá IT V M X S

L ý tliu y ê t IT S P rin tuyến tín h vớ i hệ số háng dã clirợc xây ilu iiị! k liii hoàn c 1111111

và lìm được nhiều ứng dụng trong lý thuyết diều khiển lõi ưu m i lac Tuy nliiOn có rAt ÍI kêì t|u;i đã b ic l về tr r s p ẩn lu yế n lín h không dừng \à l r I SP ân phi HiyOn (xem

2 Sir dụng các phương pháp bấn bội, lẠp bội, chính lạp tie giúi hài loiín hiên cho H VP-ĐS tựa tuyến tính.

3 Thiết lập công thức hán kính ổn dịnh cho PTVP-ĐS tuyên tính hệ sỏ hàng

4 Đề xuâl khái niệm chỉ số cho PTSP ẩn luyến tính, không (lùníí Nghiên cứu lính g iỉii dirựơc và giái dược tluy nhất của bài loán hicn Iihicu (liếm cho IT S I’

ẩn tuyến tính chí số 1

Trong khuôn khổ tie lài này, Inrớc hết chứng tôi nghiên cứu (lá iiịỉ (liộii liỌm cẠ11

và hán kính oil định của hệ nhiễu kì dị của PTVP-t),S Chúng lôi tin chứng ló riiniỉ hán kính ổn (lịnh của liệ nhiễu kì dị hội lụ đến m inim um tu a hiín kính ổn định cua

họ lim gọn các "hiến chậm " và hệ lớp hiên "n lu in h " khi lliiim sò ( • 0 Ticp ilico,

môi liên hệ giữa n VP-ĐS và PTSPiiii, 111:ậII (lược: lừ việc lờ i lịic hoá H V P -Đ S liiMig

sơ tlổ Euler dã diuíc lliic l lập Sụ hội lụ cua nghiệm cùa hài loàn C aucliv VÌ1 hài toán biên hai diem cho lr rs p All tới Ii” hiệm cũa các hài toán lươn Lĩ ứng cho IT V P -Đ S khi hước lưới drill clí'11 không (lã (lược c liiliifi minh Kèì <111.'i liny kliiMií' (lịnh lính (liìiiy đắn cún h iió iii’ M illion cứu về phương Irìn li Síú phân ẩn iln các tliìm li \ it’ll dí’ tíú tiê11 liim li l ính J'.iiii (luơi/ và giíii < I in < lu \ nhỉil (Hii 1'I SI’ ;m lu.i liiy i’ 11 lin h O ÌIIỊ’ (lu<a khán s;íl T ilin g MỈ1II1 2()<M, nlióm nghi II ú m CII'I tic tỉii (lii Ihư (liroi moi MI lú'1 mới Nghiên CIÍ1I líiili ổn dinh và sụ hoi lụ cua plién lặp ấn < 11 lin*1 lói <1.-1 Iliiĩ'1 lỉìp

dư ợ c m õ i lic n hệ giữ a sự h ộ i lụ ciịa p h u n iig và |]ộ i (LI toàn cục n ia p h r p I;1|1 ã 11 M ó t

d ic u kiện đu dế phép lặp ẩn liộ i lụ (lịa phương cũng (liio v chứng m in i), lii'p llicc)

c h ú n g lỏ i d ii m ỏ KHU’ k liiíi n iệ m c h i so c h o p h U d iitỉ l i ì n l i sai |'h ;m ail I>hị l i i v ĩ n \ à (!;ĩ

lliiê l l;)p tínli g iiii (luuv duy nliiìl cua bai luiín giá trị han dấu < tn 1 I’ 1SI’ an phi lin e nchí sô ỉ M ỏl ihànli vjen khác cua cỉc lài TS V ĩi Iloìm tỉ Linh ( n 11 tỉ (líĩ (lc xiúit kliííi

11 iỌm c;ìp liên hợp cho ÌT V IM X S và (l,ì fh irn ji (ó nmj.! kh;íi niOm mói nãy phù hop với khái niệm cặp Mên hơp cho PTVP Ihưòníi Đã cluing tó i;mu c :íc phirniig trình vi phàn lliừa kò \'à phuơiiịi (lình vi phàn CÔI lõi cùa một cặp lien li(í|i hai phirctno trình

vi phím đại sô là liên hợp llieo nghía lliôn g linking

TÓI11 lại tie lìii Q T -03-02 dã cho mội bức In in li hoàn llúcn hơn vẽ phiro'Mg (m ill

vị pliíìn dại sỏ VÌI ir rs p ẩn cũng nlur mối liên hệ giữa clúniíỉ

T rong quá Irin h Ihực hiện dể tài này chúng tói dã nhân dược sự dộng viên cổ vũ của các bộ phạn cluíc năng Nhân d ịp Iiàv cluing tôi xin chím ihànli cám (ill K lioíi Toìím - Cơ - T ill học Phòng Khoa học - Công nghệ, 'I rường Đ I I K 1 I I N Bail KIkm học - Cõng nựliệ, D IIỌ C ÌIIN (lã 1.1(1 nmi tlicu kiệ‘ 11 lliuận lơi (lr (lr 1,11 í.) I (H -02 ílnoc lioìm lliìinh ( liìiiị1 hạn

I là nôi, Iigíiv 12 lining 12 niim 2004 Clm liì d i tìii Ụ T-íM -02

c.s TSK1I Phạiìi K y Anh

Xét hệ nhiễu kì dị suy rộng:

ự l ĩ n y '2 ^ 2 1 Wi + A 22 Ị /2

Irong dó PJị, € A jj € K " ' * ' ,J, 7’, I 1 ,2 ,K — R hoặc 1 ’ CÒM ( -■ (I là lliiiin

số bé Ta luôn già thiết ma trận E \ i và A 22 không suy hiến còn h \>2 LÓ ihế suy hiún

Hệ (1.1) có lliể coi như trường hợp tổng quát của bài toán nhiễu kì (lị vì khi không suy biến, ta có hệ nhiễu kì dị thông thường:

,,on* 1,0 E’ ■ ■ = ( I) eÈ-iì) ’ ~ [ 2 Z ) ; à ■" - Q ■

Trước hếl la nliăc lại mội số khái niệm Cho hai ma Irận hang /1 < \K." ", Irn iiịỉ

(ló m;i liịin có lilt* suy hiên T il nói cliù in nia Irím 1) III rliín íi qtii IKII lổn liii

A F c sao cho (k-M A /1) / 0 Khi (ló tồn tụi t ; k ma IrẠn khm ụ’ suy Him 11 \ a 7' sao cho

E - II

Irong (lú /,, \ à /,, là các ma Irận dơn vị kích thước /; ' n v;i <11 I ) ■ ỉ I! r ì

lương ứng còn /V IÌI mội nia Irận luỹ lin ii Cííp /,• lúc là V/ /.• V' r 1 \;i V ' C)

□ l i sỏ cùa cạp ma 1 lận { /? ,/1 } dược d ịn li ngliìít h;u>g hâc luv litili < m Y Iliv lii

ì i k I } /’■ * cùa Irùni ma Irận { /-’,/1 } là lộp hợp

tổn tại duy nhất và có ước lượng ||ỉ/(:í')lỉ ^ H|Jri?/()|k-,,í:r~'T" \ :r ^ 'n ^ y ỉ ’

là một ma trận chiêu dược chọn 111Ộ1 cách thích hợp V í dll lie’ll i n t l 1} I,

ta có Ihê lấy r ỉ - Q, trong dó (.} là phép chiếu lêu K cr/'.’ song song với

s - { z £: lfí" : A z <- Im /v’ } N ln r dã biết hệ (1.3) ổn (lịn h Item Ciìn khi vì\ c h i khi

Đặt M r { A r K ' " r' : chùm ma trân { / V , /4 ! D A ( '} không ổn (lịnh hoặc kh õ iiịi

chính (ỊIIĨ } K hi ció bán kính hội lụ của hệ (1.3) là

7’k — in f'll/ \ I I : A (= lijc

Bán kính ổn clịnh pluíc cùa hệ (1.3) xác tlịn li hải công 111 ức san:

r r — {.‘'U p,e,R||ơ ( ‘ì ) l| } 1,

tro n g đó C ( s ) C { s E — A ) ~ r l ì là hàm chuyền của (1.3).

Có lliể clning m inh đưực rằng, nếu in d { E , A } < 1 tliì > 0

Từ nay vể sau, ta luôn giả lliic t hệ (1.1) có các tính chủt sau:

i E \ I , A 22 không suy hiên

ii in tl{/■-’.>.> A j> \ —■ / < I

iii rr( h T>, A '2 2), rr{ I -11, A1 1 — A ị' 2 ẢJ -2 A-Ji) c c

Định lý 1.1 'lo n tạ i f > 0 sctn cli() hệ ( I I ) on (lịnh tiậ iì t ận với mọi r ' |ỉ), í Ị.

Chứng m inh ( I I ) qui về việc chứng ló n( E , A ) khi r tlú nhó Oi'in với r i I < \ r >)

và o ( E \ \ , A \ \ - A ị ỉ A ^-2 A' 2 ì).

'Ill XÓI các ma tIỘ11 chuyền cỉia (I I) cũng Iilnr cua lie các hién clinm và hê cácbiên Iih a n li:

( / , ( / ) - ĩ) , Ụ ) \ r , ( n « p ; u - \ , ( D ) ' Í ỉ í n Cr's(t) - ! ) I C ị i r : v - , ĩ ) 1 n ụ ) và

G V Ơ ) - ( 'Á l K n -

I r o n g d ó À - /1|1 h j4 ia (íf£ 2 ạ L- v4M ) '/ Ỉ 2 i; Ổ , = B | 4 A v iự t E - u - A-a)

C ị ( C -i{tfE -n _ - A - n ) " xM \ \ D , = ('-ỉỤcE- 22 - / W ’ tfa- Các ma trộn /ì / ) ( " I>

nhận được từ À f , B f l C f, D f tương ứng bằng cách cho ( — 0.

Định lý 1.2 Bán kính ôn đinh n ia hệ ( ỉ ỉ ) k lii f đủ bé dược cho hới ( õiif> lluh

Đ ịnh lý 1.3 mớ rộng một kết quả luơng ứng cùa V.Dragan khi K II K r, I

Hơn nữa chúng m inh định lý 1.3 lại dơn giản hơn râl nliiều chứng m inh cùa cùa V.Diagíin, K ỹ tlmậl sử dụng trong tillin g m inh định lý 1.3 có 11lổ áp (lụ iiị! cho biú toán tổng quát hơn:

i Tồn lại phcp chiếu Q e c l (./, I R ™ ) lên K er A { t) , lức là Q - í/ ) - Q (ỉ) lin Ợ Í/) -

K e i-4 ( /), V/ f ./

ii M il l lã 11Cí(f) A ị i ) [ ì ì ( l) ( J ( t ) không suy hiên V/ •- /

T iorni I l(í| kluíi niệm in s i ’ rin clií sô I (lã clirợc (lề xuũt Tính (luoc và liiiii(lược duy Iihíìl cú;i hài loán "iá liị him drill \'ÌI bìu loiín Hiên nliKU (licm cho IM.SI’ i'mchí sỏ I (lã đirơc kháo sál

Nhằm chứng tỏ khái niệm chỉ số của PTSP ẩn dưa ra là liựp lý, Irong mục này

chúng tôi sẽ chứng mình rằng nếu rời rạc PTVP-ĐS chỉ số 1 (2.1) bàng phương phápEuler hiện, ta sẽ thu được PTSP ẩn chỉ số I Hơn nữa, nghiệm cùa hỉii Inán Cauchy

và bài toán biên nhiều điểm cúa PTSP rill này sẽ hội tụ lới nghiệm cua các bài loán

C auchy VÌI hài toán hicn (Ương ứng ch o IT V P -Đ S

Giả sứ PTVP-ĐS (2.1) có chí số I K hi dó rankv4(/) = r, ( I V III) Xci

k liiii liiể ti kì tlị A ( l) 11(1 )5J(/) V 1 ( I ), Mong tlú giá ih ié l c;ic m;i liiìn liu v giai)

I ! e ( ' ( / , V e r l ( / , R m xm ) còn r,(t.) e là ma liiìn ilừ ím g

chéo với các giá trị kì dị ơ ịự ) ^ ^ (7, (7) > 0 nằm trên dường chéo cliín li Dặt

Q (t) = V ( t ) Q * V 1 ịt.) trong dó Q * d i a g ( 0 , r ) thì Q (t) là phép chiêu ươn

lên K e r /l( /) Mơn nữa ma trận G (1 , t ) : A ịt ) khi T > 0 (111 bé k liú iig

suy biến và ||G’ ' ( / , t ) | | ^ c / t

C lio N là một số nguyên dương ĐẠI r ( T - 1 ị))/N là bước lưới t ua phim hoiich

dổu / thìm li N cloạn con | / „ , / „ I I ], II (), Ã7 - 1, lio n g dó I /(I I I I I K í hiệu 1,,

Định lý 2.2 J}hn'(fin> pháp E uier hiện úp (lụitíỊ < ltt> hài tpán f>icĩ tr ị htui ilà n liò i với

m r-Đ S tuyên lính ch ỉ số ì là hội III.

Tiếp theo la quan tàm đến bài loán biên hai (liếm cho ỉy[ V I ’-ĐS (2.1) tức là lìm

nghiệm của IM V P -Đ S (2 1 ) tlio ả mãn d ie II k ic ii h iõ ii

I m n g d ó •) f \ R " ' , ( \ u C t € l i t c á c v e c t ơ v à m a l ậ m c h o m i n e

] lộ lờ i rac lu ơ n g ỨHị> k h i áp tỉỊ111 Ịi c ó n g thức lũ ile ! h ten IÌI

Như đã biết, hài toán biên hai diêm (2.1), (2.3) giải được duy níúU với mọi <1 ^

C i J j R ’" ) và 7 6 Im (C u ,C y ) nếu và chỉ nếu ma trận bắn D ■- Í.'()A'(/(|) I ( 7■ A’ (7') thoả mãn các tính chất

Ker£> = K ei\4 (/.()); IiruD = I m ( f '0, C 'r) 2(y

lio n g dó X ( l ) là ma HỘI! nghiệm cơ him của hệ

A { t ) X ' -I 11(1.)X - 0 ; P ( t 0) ( X ( t 0) ~ ỉ ) 0

Trong k lii tló llieo [4], bài toán rời IỊIC (2.4) (2.5) giải dược tkiV nliAI khi và chi khi

d im (K e r(/)( T ), C’i Ọ/v- I )) — 1 1 1 , 2.7

trong dó D ( t ) - C nX n {T ) I ( V-Vyv(^), Ã '„ ( r ) - A , , À ' w( r ) : ỉ \ ,/1/':V' , ( r }còn M Ỉ , " \ ( t ) 1 i;:=ỘC7;; •, k( r ) l ỉ „ , , ( r ) (n - Ũ V Ị ; / I „ ( r ) , t „ ĩ /ỉ,,; /], i ( t ) : - ỉ \ '„ 1v j Q „ C n ' ( r ) / ? „ ( r ) và C „ ( t ) A „ I ( A „ r l i „ ) \ ' n

Có nhiều ví dụ chứng tỏ diếu kiện (2.fi) không suy ra điểu kiện (2.7), nói cách khííc bài loán biêu hai clicm cho PTVP-ĐS có thể giải dược cliiv nliíil nhm iịi hài loán lòi rạc lương ứng lại vỏ nghiệm hoặc võ số nghiệm Để khắc phục lình Irạ iiịi I1ÌIV, la XÓIbài toán m ớ rộng gồm các phương tlình (2.4), (2.5) và hệ thức

/ l / v r /v I I ■" ỉ 3 w { t ): i/V I Í//V '2.H

Ta nói bài loán hiên 111Ở rộng (2.41 (2,5) (2.8) giải cliiực duy nhài llicn X ! I thànli

phíỉii drill, nêu với mọi dãy vcclơ {r/„};T 0 Vil va: lơ -) Im (r < !,('/ ) hái In;in Iiliy > nghiệm i Hơn nữa N I 1 thành pliiin drill là xác ilịn li duy I l l i c i t nghĩa là nếu { ■ „ , , } » " là nghiệm khác của (2.4), (2.5), (2.8) ihì :/■„ - Ị/„ ( n (), Ã') Đãt D ( t ) : f ’[ , A '„ ( r ) I C r X N ( j ), trong dó X ( , ( r ) :r= / \ j; , Y „ ( r ) I/U „ ,

(n - l , N ) CÒM M„ - p„ , - T Ỉ \ ,Ỡ „ ' B, ( n - 0, N - 1 ) / ’„ : / \ , ợ <

Tương lự như hài toán biên hai điểm cho Pỉ VP-ĐS, ta có

Định lý 2.3 Bài toán m ờ rộ/ìíỊ (2.4), (2.5), ị 2.8) g iả i (lược duy nhất ihco /V I 1

l l i t ì n l t p h ầ n ( h i u k h i r ờ ( l u k h i m a H ậ n h ắ n ỉ ) ( t ) i h o t i m ã n l á í t h r u k i ệ n s a u

K e i\ D ( r ) = K e r/l(7 o ); l m / J ( r ) V )Kêì C|ná chính cùa mục này cỏ thê phát hiếu như sau

Un := a J i n G - ' l l + 0n\\Vn V ^ Q „ G - l \\ < 1, :ỉ (i

thì b ài toán Cauchy ( ỉ.Iị, (3.3) tỊÍải dược duy nhát.

Kết luận của định lý 3.1 còn đúng, nếu (hay vì điều kiện (3.ÍĨ) ta ỊỊĨii Ihièl

Irước) và sai sỏ lính loán khi lìm v „ VÌI Í/,M | Đ ịn h lý sau d;ìy chim h;io (!c (Illicit Idán

xấp xí cho la kết quá dáng tin cây

Định lý 3.2 ( lid sử PTSP (ill (3.2) có ch ỉ sỏ / , CÒIÌ hàm sò liitiíi lìiiĩii (ỉicn k iậ ì (3.4),(3.5) Hơn nữa, í>iả sử các diêu kiện sau được Iìi>liiệm dim Ị ’

i / M a trận J - l ’„ v ^ | ợ „ ( 7 „ 1/ j „ bị chận dền, tức là

l|/ - V „ V Ị v iQ „ G - ' ĩ ì n II < c iiỉ C hiidiì ( lia ma trận 1 Ỉ3„ b ị chặn tiền h(ỉi liằnạ \ÍI n liii lum I ,

II I »(',) 1 ftn II ^ c5[) < 1

- n ị, \ \ v „ v ; Ị '+ i Q „ G - x\ \ ^ u j < I,

(1 — lơ) 1I I I I (bin' l l 'I C ịỉ „ ) ^ í | < 1 — A() \'ủ

(1 —Lư) 1II\ V'h IQ1,Cn 1 ||(rV>u + O V) ^ ( \ ■

K h i (tó cho lì trớr sai sô ( > 0, la có llìê thự< lìicn một số hữu liợn cóc hunt

l ậ p đ ê t ì m { 7 „ } ( ? í 5? 0 ) s a o c h o | | J „ — r „ I I < f ( i I > 0 ) , i m i ì f > ( l ó } i n >- 0 )

l à H Ị Ị l i i c m (IÚIH> ( l í d h à i t o á n C c i i k I i ỵ ( 3 1 ) , ( 3 3 )

Rây g iờ la chuyển sang trường hợp lổng quát hơn khi phần chính tuyến lính (3.2)

ỉà lựa chi sò' I Sứ (lụng định lý điểm bấl clộna Brouwer, chúng la sẽ lliiê l lập línhgiíii dIIơc ciìii hìii loíín CíUicliy (3.1), (3.3)

Định lý 3.3 ( ì n i \ ừ p l n i ' o ' U f i II ì n h ( 3 2 ) l í ) t ự a ( l u , \ ò I I l l ' l l m i l l v n i Ml ' ì „ , I

r „ [ n > 0) I 'i c p th e o , lià n t SÔ /,)(//,-'■) th o r i HKĨH ( / it 'l l h 'O i ( i - l l \ () t h r u k i r n

hhn> I Hit'mil

I I / „ Í Í , C ) I | < I M c i r I '

trtìH Ịịd ó a „ , bn , (■„, ưn, là các hằHiị sô'không ủm và, ()„ : I im r ịi',,, /(,,} V 1.

T r o n g tr ư ờ n g h ợ p , f l „ - ỉ la ỊỊÍCỈ ì h iế t th ê m r ằ n iỊ ị n „ I 'II ■ I K h i ( lõ b à i toán Cauchy (3.1), (J.J ) có nghiệm.

X él phương trình toán tử (4.2), trong đó T : X X X —> X là toán lử không n liíil lliiê l

luyến tính và { X , d ) là không gian metric.

Định nghĩa 4.1 D ã y {:/■„}, n ^ {) i>ọi l à i / n ỹ d ạ o c h ấ p I i h ậ n (ỈIÍỢC c ú a (-4 ! ) M i d i p h d l

lử a G X liế n :í'n (V và thoa’ mãn p illio n ạ trình (4.1) với m ọi II l ập í lít (Ịttỹ dạo nhu' vậy (tược kỷ hiện là /(n ).

Giã sử với m ồi c € X cố định, lẠp các nghiệm của phương (rình r '/'(;/■, í , ) kýhiệu là ICI, khác rỗng và giới nội Tệp các Iig liiệ m của plurơtig (lình (4.2) cũng giá thiết là khác lỏng và được ký hiệu là F { T ) M iển hội lụ cùa quá Irìn li lặp (4.1) (lược

xác định như sau:

C { T ) {n t X : 3 { í ,,} e J { ( \ ) j i ( ị x „ \ , F { T ) } -> 0, as II ->

trong đó ị1(A, l ĩ ) supr,e /lr/(a, D) với các tập giới nội 4, n c X

Định nghĩa 4.2 Quá lì ình lập (4,1) Itội lụ toàn (lie , liến c ự r ) X Quá trình này l() h ộ i III <Jịa p h n 'o iii’ lic it 3c > 0 : F, - {.r E X : d { : r , F { T ) ) ■- < Ị c ( ' { ' ! )

Định nghĩa 4.3 Qttá H ình (4.1) là ôn (linh ilô ì vói xâp xi han <l(hi \ n rit

llìử h a i trong hình cán m ở Ì3{{), /?) Hơn nữa, giả sứ V.T € X V// e /ỉ((> /?)

IITX'/:,//) - 7 ’(.r, ỷ)|| ^ Lịl.y - ỹ||, iro n y đỏ D ịT là đạo hàm F r c d ic l í ú a T llir o biên tltứ nlu ĩl Tiếp theo, ÍỊÌỎ xử lập ( ức điểm bất dộnịị F ( l ') lừ k liò iìi’ in itỊì \ù

F ( T ) c ỈJ ( ( ì,r ) , IIo n g dó V < R /2 N ếii 7L < 1 thì quá trình lặp (4.1) là hoàn loàn xác dinh vờ hội tụ địa phtỉơng.

Trong công trình [8 ] chúng tôi đã xây dựng một sô' ví dụ về các quá Ilìn h lặp

ẩn ổn định, tựa ổn dịnh và hội lụ địa phương

§5 Về phương trình sai phan íín phi tuyến chỉ sỏ' I

Trong hài |9 |, cluing tỏi (tể xuftt khái niệm chỉ số cho phương trình s;ii plúin fill phi luyến VỈI đ iứ ng m inh m ội sô clịni) lý tồn tại duy Iiliâì nghiệm cho bìii loan giá trị han (lilti đui với phương liìn h Siù phan ÍỈI1 phi tuyến chỉ sô I Ciiii sú A,, VỈI N,i

là hai kh ô n g gian con ciia K " ' có cùng số d iic u III / ( I < r ■ III I) ( io i ợ ,,

và là hai phcp th iế u bâì kỳ lên N „ và Nự tương úng K hi (ló la có khai Iriển

Q n - V nQ V „ 1 và Q ịị = V pQ V ịị Irong dó Q ■ - d ia g (r

'la Xíìy dựng loán lử Hỏi hai không gian con N n và N:j (gọi lắt là loán lử nối) QnH - K Q V , , '■ Đễ Ihíìy:

Qn/I - Q n Q itịi - Q n /iQ li — 1 “ K> l 1Q ,v.

X él phương Hình sai phân ẩn tuyến tính:

trong đó A , „ B „ € e K " ’ là các dữ liệu đã cho Giả sú rank/!,, = r ị 1 < r <

m — 1) với mọi V > 0 Gọi Q „ là một loán tử chiếu lên Kcr/1,,, I ọ ,, vn xcl k liiii

lro/n> dó, ftln x nhít iritử n t’ hop l yr \ r~l>s, s „ { í 6 IR’" : l i n i Im l,, Ị

Hệ quả 5.2 T ilth Uit'>ni> suy hiến cùa (!,, k lỉõ iìí’ pìuỊ tluiọc vàn ( th li rlìo n hxín tứ

u rank Ạ , — r

m G „ := A „ + D nQ „ J „ không suy biển.

Sự khác biệt lớn Iiliâì giữa PTVT-ĐS và lr rs p ẩn là ử chỗ clũim ma tlận { ! ( /) /? (/)}Irong trường hợp P rV P -Đ S luôn có chỉ số 1, trong khi dó chùm Ilia tlận { l ỉ „ \

(rong Iruờng hợp PTSP án không nhất thiết có chỉ số I Chính điều này làm cho koì quả vể IT S P ẩn có vẻ ngoài không giống những kết quả lưưng ứng Irong IT V P -Đ S

Đ ặl u „ 1 ^ 0) Bằng một kỹ tliuậl phân lã ta có lliẽ dưa

PTSP Án (5.1) về hệ phương Irìn li sai phân Ihường và mội làng bu óc (hũ so :

'V - K i I '( Q n<ỉn '< b , - Q nG ^ I Ì nu n) (r ,.i)

Từ day,

•Ỉ:T1 — + vn = (J — Q „ 13„)ìi.„ + Q n- lf/" ( r*-r>)Như vây, bài toán giá trị ban đầu: Tìm nghiệm cùa.PTSP ẩn chỉ số I (5.1) Ihoii diều kiện đầu:

là giái dược duy nhai

X cl l)Ọ IT S I’ íỉn phi luyến:

/„(■<■„ n ,:r„) - (),(■/» ỉ> 0) (r,.7)

trong dó f „ : — > IR'" là những hàm -veciơ dã clio.

Định nghĩa 5.2 PTSP (5.7) có ch ỉ s ổ ì nếu:

i l Hàm sò' /’„ khá vị liên tục, lĩơn nữa

K c r^ ệ 1 (?y,.r) — A?„ ,d im À r„ — n i~ r , \ / i ) 'ỹ 0, V/ / , ;X G R " \ trong tló ] r < 1 1 1 I

ii/ M a trận G „ 7^ ' (?/, :r) + (?; ặ 0), k lw itfi MIỴ h im ,

à c ỉ â v N — /v „; V I — \ ‘\ ù Q \ -■ Q ị ị \ c ò n Q „ - ị „ l à í c á n n ì n ò i h a i k h ò i Ị Ị ỉ i ị i a n con N „ _ ị , N n

Đê liệu phát biểu các kêì qua liếp theo, ta giả llìiố t cluiẩn Irong p.’” là F.uclicf

Định lý 5.3 G iá sử phương trình (5.7) có chỉ sô I, Hon nũiĩ ỳ à sử lằnỊ>

I K ' „ ^ -I / i l k l l -t T n < E l m;V // ;> I),

tro lly (ló ( \ „ j ị , ỉ? 0 , > 0 là vác hằììỊ> srì K h i dó hủi toán lìm ni>liicnt r n c iiii

p h i f < m \ > t r ì n h (5 7 ) t h o i i ( H ờ n k i ệ n ( 5 6 ) l à \> iá i c l i i ự c l i n y i i I h ì i

Định lý 5.4 ( tia sữ /•) — //„(//, r) I h , r ) tìmả niiĩn các ỉìtru kiện

i l Ị/„(//,./') khá vi hen tục hon nữa

K c r — - ( / / , r ) — Ar„;c iim /V „ •- m - r, Vn > 0; V:r, Ị ị <- ỈỈJ:’"

! 3

i i / G n{ ỵ , x ) = ^ { y , x ) + ^ ( y , : i : ) Q , ( n > 0), có /ỉ^/í/c/í dáo g iớ i nòi tức lù

\ \ G n ' ( y , x ) \ \ < 7t,, Vn z (),Vt/,.r e R

iii ỉ h n(y, x ) -■ h „ { P „ y , ■/.■), Vtỉ ỉ? (),V //,;r e R " ’

/ r / ||/i„(ĩ/,.i:) - /)„(?;, Ẽ)II ^ L„(||?y - y ||2 + ||.T - x ||2) 1/a; Vn ^ 0, V//, r , //, /■ ẹ Hỉ"’

K h i đó, nếu 7„ L u < 1 / \/2 , Vn ^ 0, //?/ hài toán Cauchy (5.7), (5.6) có nghiệm tlny nhá).

Hệ quả 5.5 G iả SỪ f „ { y , '■!'■) — A „ y I- D „:r t h , , ( y , r ) với A „ I ì „ c IF'"'’ " ’ vờ

h „ : R " ’ X R "' — > R ’1' tlioci mãn các dỉều kiện san:

iỉ ra n k/l,, = r, còn ma trận G „ - A „ I B „ Q I, i „ khôìiỊ’ suy h ir ii vứi m ọi II ■ 0, ờ (lây Q „ I „ lờ toán tử nối K c r /t„ j rà K e i/I,, , A I /1()

iiỉ khá vi lir a lục, ho’n Iiilti

K e r /l„ c K e i Ạ " ( i i , r).v.'» -ĩ ( ) ,V f/,r t= Iff'"

<ht

II/i,.(//,./■) M / / - Í:)ll ^ ^ Á \ \v ■■ //II2 I II-'1 - r | H l/-’ ;V7i ^ l),V í/, /•,//, r r IF:’"

K h i (ló nếu 'II < l/ v / 2 , thì bài toán C a itclix (5.7), (5.6) ịịiá i thi'o ’1 tliiv nhai

§6 c ’ạI> liOn hợp của hai phương trìiili vi phan dại số

Xct 1TVP-Đ S luyến lính lluián Iiliấl

I ị 7. Kc( liiiỊn

l r r V [ ’ - f ) S \'á I ’ I SI’ All XLUÌI l i i ê i i l i o i m n l i i c i i \ All do tflire lõ I l u ll k I ĩ (>I I !_! c h í n h L u;i

các hài loán bicn clio PI V p-D S \ à I ’TS I’ â11 là ihácii thức lớn clcuiụ ilin i là dón<_! Iu<

l liiic (l;ì\ c iíc nhà khon hoc la p Im n o n u 1 1 i I - ] 1 (.1111 D c liii O T - í ) í - í P (t;i Iliu m (lu tK m ill

s ố k ô l q u á \ v lii í u k í n h o i l clịn h n ì a ho 111 tic II k i (lị ( ;í( p'| V I ’ l> s ú k l i í i i ÌIÌCIII c ;ip

liô n liự p hai r i ' V I ’ -DS, VC I T S I ’ iỉn lựa lu yế n lín h và chí sỏ cùa r i s i ’ ;'in phi Iu y c ii

vể mối liên hệ giữa PTVP-ĐS VÌ1 PTSI’ Án cíing nhu về sự rill dị nil và hôi lu ciìii phóp lặp íín Các kết quá này giúp chúng ta hiểu sAu hơn VC PTVIMXS KI SI’ ;in VÌI moi lien l)Ọ qua lại cúII chúng N lùcu kêl t|Uii cùa tie tài này CÒM có the l i q i lục pli;il liic n Nhóm nghiên cứu của dề tài đã nhạn được các kết quá mới VC han kính (in (lịiili cùa

hô không dừng, cúa hệ có chậm Đã lliu (lược một số kcl quá bail dâu vồ phương trình sai phan ẩn nhạn được từ việc l ời rạc hóa phương Irình vi phân thio hà 111 riêng -đại số (Partial D ifTcrential-A lgebiaic Eijuations-PDARs)

Các kèì quá chính cùa dề tài dã dược trình bày trong 6 hài báo khoa học } hài

đã dược đãng và nhạn đãng trong các lạp chí quốc lế (Systems and Control Lellcrs Advances in D ifference Equations, A pplied Numerical Melhods) 3 bài (lược (lfm« Iren

2 lạp chí Toán học hàng đẩu của V iệl Nam (A cla Math V ie l VÌI Vietnam I M a lli) Các kết quả liê n đểu (lược lliố n g kê Hong M a th e m a tica l R eview s và tlê n M iilh S e iN e l

Phẩn III

T à i liệu tham kìưìo

! R p A garw al, Difference equations and inequalities Theory, liu ’ihixls, Iiin l applications., Marcel D ekker Ins ,2000

2 P K 'Anh, M u ltip o in t boundary-value nroblcms for transferable c lillc rc iitia l - algebraic equations I - Linear case Vietnam J M ath 25(4) (1997) 347 - 358.

3 P K A n il M u ltip o in t boundary-value problems for transferable (tiN crcnlial - algebraic equations IĨ - Q uasilinear case Vietnam J M ath 26(4) ( l c)98) 337 - ^49.

4 P K A n il and L c L o i, O n m u ltip o in t bou n d a ry-va lu e pi'ohlem s lo r liiic il'

im p lic it noil-autonomous systems o f difference equations, Vietnam M d ih 2() (3)

13 N II Du and V II L ilih , Im p lic it - system approach to the lo lx is i s ia h ilily I<M

a chiss o f singularly pci (111 bed linear systems, Systems and C o n tro l /.r//f7 v54(2()(l I )

33-41

14 E Ciiiepentiog, R Mar?., DAEs am i llie ir num erical Iic tiim e n i I'cuhncr Tc\

t a il M iiilic n iiin l iSVV le u liner, Leipzig l l)H6.

15 I) I lim it hscn, A I Pi i Ic hard Si a hi lily radii ol lin ciii systems S w h in s

C o n tro l I.('tiers 7 (l9 8 fi) 4 - 10.

16 L c Loi N II Du and p K A n il O il linear im p lic it non-iuiiniiom ous svsk-ins

o f clifTei’ence ecjuatioiis ./ D iffcrcn /•>/ Appì X (5) (2002) 10X5-1105.

17 K Balia V I I LJnli, A d jo in t pairs of (lirfe re n tia l-a liz e h n iic ec|u;ilions and

H am iltonian systems, accepted lo r publication in A pplied Niufi( i i( ( il M u llit Iiitilit s

MẢ SỐ: QT 03-02 Hà Nội, ngày 18 tháng 12 năm 2004

BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỂ TÀI NCKH• ■

CẤP ĐẠI HỌC QUỐC GIA 2003-2004

1 Tên để tài (hoặc dự án):

(D iffe re n tia l-A lg e b ra ic E q u a tio n s a n d Im p lic it D iffe re n c e E q u a tio n s )

3 Cơ quan chủ tri để tài (hoặc dự án):

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội

5 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu:

• Tính bán kính ổn định phức của hệ nhiễu kỳ dị Chứng tỏ rằng giới hạn của bán kính ổn định phức của hệ này khi tham số bé dần tới không !à giá trị nhỏ nhất giữa bán kính ổn định của hệ thu gọn các "biến chậm " và bán kính ổn định của hệ các lớp biên "nhanh"

• Thiết lập sự tương thích giữa khái niệm chỉ số của PTVP-ĐS và PTSP ẩn thu được từ việc rời rạc hóa PTVP-ĐS nói trên bằng sơ đổ Euler Chứng m inh SƯ hội tụ nghiệm của bài toán C auchy và bài toán biên nhiểu điểm của PTSP ẩn tới nghiệm của các bài toán tương ứng cho PTVP-ĐS khi bước lưới dẩn tới không

• Sử dụng nguyên lý điểm bất động Banach và Schauder, thiết lâp tính giải đươc và giải được duy nhấỉ của bài toán C auchy cho PTSP ẩn tựa tuyên tính với phẩn chinh tuyến tính nó chỉ sổ I hoặc tựa chỉ sô I

• Nghiên cứu tính ổn định và sụ hội tụ của phép lặp ẩn Đã chứng tỏ rằng nêu phép ỉặp ẩn ổn định (tựa ổn định) trong không gian m etric liên thông (lién

thòng đường) thl từ sự hội tụ địa phương suy ra sự hội lụ toàn cục Một đieu kiện đủ để phép lặp ẩn hội tụ địa phương đã được thiết lập

• Đưa ra khái niệm chỉ số cho phương trinh sai phân ẩn phi tuyến Thiẻptính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho phương trinh sai phản ãn phituyến chỉ số 1 Kết quả này mở rộng các kết quả tương ứng đã biết cùa p K Anh, N.H DƯ, L.c Lợi

• Nghiên cứu phương trinh vi phân đại số tuỵẽn tinh thuàn nhát c.lii so khonqquá 2 Đưa ra khái niệm phương trinh vi phân đại số lién hơp C luing Ininhrằng các phương trinh vi phân thừa kế (inherent ODEs) vã phương trình VI phản cốt lồi (underlying ODEs) của một cặp liên hợp hai phương trinh vi phan đại số là liên hợp theo nghĩa thông thường

Có 03 NCS (rực tiếp tham gia nghiên cứu nhứng vấn đề của Đé tai OT 03-02 Tronq

đó NCS Lê Công Lơi đã bảo vệ thành cõng luân án tiến sĩ với đề tài Phương trình phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ sổ 1 NCS Trần Quốc Binh đá homt thanh luan ;in

"Phép lặp ẩn va điểm bât động của ánh xạ hai nhóm biến" Víi fJ.] báo cao két quá liKin

án tại Som inoi cú:] Bỏ môn Giải tích thuộc Khoa Toán-Cơ-Tin hoc TniiJny D H K IIIN ĐHQGHN

7 T in h h in h kỉnh tê của để tài:

Vể N C K H

N ăm 2003

b) Tình hình chi tiêu

• Vât tư văn phòng:

• Thông tin liên lac:

1

• Chỉ phí nghiệp vụ chuyên môn của ngành: 1,633.000đ

Assoc Prof N g u ye n H u ll D ll, D r V u H oang L in li, M S c Le C o n g L o i,

M S c D ao T h i L ie n , M S c N gu ye n V a n M in li, M S c I ran Ọ uoc B in h ,

M S c N g u ye n V a n N g h i, BSc Ha T ill N go c Y en, BSc N g u ye n T rillin ,

H ieu

V T a rg e t and C ontents

T he P ro je ct studies the robust s ta b ility o f d iffe re n tia l-a lg e b ra ic equations (D A E s ), the s o lv a b ility o f im p lic it d iffe re n c e equations (ID E s ), the convergence and s ta b ility o f im p lic it ite ra tiv e processes, a c rite rio n fo r a

p a ir o f lin e a r hom ogeneous D A H s to be a d jo in t one The m ain results of

th is p ro je c t can he sum m arized as fo llo w s :

- A fo rm u la lo r the co m p le x s ta b ility ratlins o f Í1 class o f s in g u la rly perturbed system s o f lin e a r D A E s is obtained, l l is proved that w hen the sm all param eter ill the lea d ing term , w h ic h in general m ay he degenerated, tends to zero, the s ta b ility radius fo r s in g u la rly perturbed systems tends to the sm allest value o f the s ta b ility radius fo r the

“ reduced s lo w system s” and that fo r the “ fast boundary laye r system ”

- The c o m p a tib ility o f the index n o tio n s fo r lin e a r D A I'S and lh a l lo r

ID E s obta in e d v ia the d is c re tiz a tio n by the lu ile r m ethod, isestablished The convergence o f so lu tio n s o f the C auchy and

m u ltip o in t b o u n d a ry-va lu e pro ble m s fo r ID E s to so lu tio n s o f the

c o rre sp o n d in g problem s fo r D A E s is revealed

- The s o lv a b ility o f the C auchy p ro b le m s fo r q u a s ilin e a r IDP.S,

in v o lv in g index I o r q im s i-in d c x I p rin c ip a l lin e a r pin ts, isestablished

- The g lo b a l convergence o f lo c a lly co n ve rg e n t and stable (q u asi- stable) im p lic it ite ra tion s in connected (p a lh w is e -c o n n e c le d ) m e tric spaces are obtained A s u ffic ie n t c o n d itio n fo r the local convergence

o f im p lic it ite ra tio n processes is also g iven

- A natural d e fin itio n o f index fo r a class o f n o n lin e a r ID I'S is proposed Some existence theorem s fo r in itia l-v a lu e p ro ble m s fo r in d e x - !

n o n lin e a r ID ỈỈS are proved

- A c rite rio n e n su rin g the inherent O D iis and the u n d e rly in u ( ) l) [ - s ()l

th e p a ir 1)1'lin e a r h o m o iie n e o u s D A L ỈS to be a d jo in t is e s ta b lis h e d

VI R esum e o f main results.

a Research a c tiv itie s : 3 papers have been pu blishe d o r accepted fo r

p u b lic a tio n in in te rn a tio n a l m athem atical jo u rn a ls, w h ile 3 other papers have been p ublished in national m ath e m atica l jo u rn a ls,

n a m ely, V ie tn a m Journal o f M ath e m atics and A cta M a th e m a tics

V ie tn a m ic a :

• N M Du and V H L in h , Im p lic it-s y s te m approach lo the ro b ust lo r

a class o f s in g u la rly perturbed system s, System s & C o n tr o l

L e tte rs , 54 (2 0 0 5 ), 33-41.

• P.K A n h , N H Du and L c L o i, C on n e ctio n betw een im p lic it

d iffe re n c e equations and d iffe re n tia l-a lg e b ra ic equations, A c ta

M a th e m a fic a V ie tn a m ìc a , 29( 1 )(2 00 4 ), 23-39.

• P K A n h , H T N Yen and T ọ B in h , On q u a s i-lin e a r im p lic it

d iffe re n c e equations, V ie tn a m J o u r n a l o f M a th e m a tic s , 3 2 (1 )

(2 0 0 4 ), 75-85

• P K A n il and T Q B in h , S ta b ility and convergence o f im p lic it ite ra tio n processes, V ie tn a m J o u r n o I o f M a th e m a tic s , 3 2 (4)

(2 0 0 4 ), 467-473

• P K A n il and H T N Yen, On the s o lv a b ility o f in itia l-v a lu e

p ro ble m s fo r im p lic it d iffe re n c e equations A d v a n c e s in

b T ra in in g a c tiv itie s : 4 PhD students have been w o rk in g in the

d ire c tio n o f the P roject Ọ T 03-02, i.e on im p lic it d iffe re n c e equations, im p lic it itera tion s and the robust s ta b ility o f D A lis 3 o f them are fin a n c ia lly supported by Ihe P ro je c t One P hD student has

s iic c e s iL illy defended his thesis and obtained llic d o c to r degree

A n o th e r p h t) student has com pleted and sub m itte d his thesis The

th ird PhD student are co -a u th o r o f 2 papers published ill n a tion a l and

in te rn a tio n a l jo u rn a ls

Besides a sem inar on D A E s and ID E S supported by the P ro je ct lias atlm clecl m anv undergraduate, m aster and P h ỉ), students

V II Finance

The P ro ịccl w as lin n n c iiilly supported by llic V N l Ỉ I I w ith a to la l grant

o f 3 5 0 0 0 0 0 0 V N D fo r 2 years This sum was d c lix e rc d as fo llo w s :

S upport fo r tra in in g & research a c tiv itie s 45 0.0 00 V N D

S upport fo r tra in in g & research a c tiv itie s 80 0.0 00 V N D

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học; Chuyên ngành Toán học úng dụng

1 Tên bải báo : Phương pháp tiếp cận hệ ẩn tới tính ổn định vững cho một lứp các hệ tuyến tính nhiễu kỳ dị

2 Họ vả tên c á c tá c giả của c ô n g trin h : Nguyễn Hữu Dư và Vũ Hoàng Linh

3 Năm x u ấ t bản: 2005, V 54, 33-41

4 Tên tạp chí: Systems & Control Letters

5 Tóm tắ t c ô n g trin h b ằ n g tiê n g V iệ t: 1 rong bài báo này SƯ ổn đinh tiệm cán va bati kính ổn định phức của hệ nhiễu kỳ dị các phương trình vi phân đại số đá dược kháo sát

Đã chứng lỏ rằng giới hạn của bán kinh ổn định cho hệ nhiễu ky dị ấn, khi tlicim sò trony

số hạng cả tiến tới không, bằng giá trị nhỏ nhất giữa bán kính ổn định cùa ho thu yon các biến "chậm" và bán kính ổn định của hệ các lớp biên "nhanh

6 Tiếng Anh

+ Title: Im plicit-System Approach to the Robust stability for a Class of Singularly Perturbed Systems

+ Journal: S y s te m s Ẵ C o n tro l L e tte rs , 54 (2005), 33-41.

+ Summary: In this paper the asym ptotic stability and the com plex stability radius

of a class of singularly perturbed system s of linear differential-algebraic equations are studied It is proved that when the small parameter ill the lending term tends to zero, the stability radius for singularly perturbed systems tends to the sm allest value of the stability radius for the "reduced slow system ” and that for the "fast boundary layer system"

Người khai

Pham Ky Anh

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN cứu KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học; Chuyên ngành: Toán ứng dụng.

1 Tên bải b á o : Mối liên hệ giữa phương trình sai phân ẩn và phương trình vi phân-đại số

2 Họ và tên (các) tác giả của công trinh: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Hữu D ư ,

Lê Công Lợi

3 Năm xuất bản: 2004, Vol 29, N.1, pp 23-39.

4 Tên tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica.

5 Tóm tắt công trinh bằng tiếng Việt:

Trong bài này sự tương thích giữa các khái niệm chỉ số của PTVP-ĐS và PTSP ẩn thu được từ việc rời rạc hoá PTVP-ĐS nói trên bằng sơ đổ Euler đã được thiết lập Sự hội tụ của nghiệm của bài toán Cauchy và bài toán biên nhiểu điểm của PTSP ẩn tới nghiệm của các bài toán tương ứng cho PTVP-ĐS khi bước lưói dẩn tới không đã được chứng minh

Người khai

Phạm Kỳ Anh

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN ĐỂ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học; Chuyên ngành: Toán ứng dụng

1 Tên bài báo: v ề phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính

2 Họ và tên các tác giả của công trình: Phạm Kỳ Anh, Hà Thị Ngọc Yến,

và Trần Q uốc Bình

3 Năm xuất bản: 2004, Vol 32, N.1, pp 75-85.

4 Tên tạp chí: Vietnam Journal o f Mathematics

5 Tóm tắt công trinh bằng tiếng Việt: Bài báo đề cập đến tính giải được và nghiệm xấp xỉ của bài toán giá trị ban đầu cho hệ phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính Nhờ

có phẩn tuyến tính là chỉ số 1 hoặc tựa chỉ số 1 mà hệ vô hạn các phương trình có thể phân rã thành các cặp phương trình, s ử dụng định lý điểm bất động Banach hoặc Schauder có thể chứng minh tính giải được hoặc giải được duy nhất của bài toán nói

6 Tiếng Anh

+ Title: On Q uasi-linear Implicit D ifference Equations

+ Journal: V ie tn a m J o u rn a l o f M a th e m a tic s , 2004, Vol 32, N 1, pp 75-85

+ Summary: This paper concerns with the solvability and approxim ate solution of

a class o f quasi-linear difference equations Thanks to the index-1 {quasi-index- 1) property of linear parts, the initial infinite system can be decom posed into subsystem s consisting of couples o f equations Then the B anach's and

B rouw er's fixed point theorem s have been applied to ensure the unique solvability (solvability) o f the IVP for quasi-finear im plicit difference equations

Người khai

Phạm Kỳ Anh

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN cứu KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI QT 03-02

N gành: Toán h ọc; C huyên n g à n h Toán ứng dụng.

1 Tên bài báo : v ề sự ổn định vá hội tụ của phương pháp lặp ẩn

2 Họ và tên các tác giả của công trình: Phạm Kỳ Anh và Trần Quốc Bình

3 Năm xuất bản: 2004, Vol 32, N.4, 467-473.

4 Tên tạp chí: Vietnam Journal o f Mathematics.

5 Tóm tắt công trinh bằng tiếng Việt:

Trong bài này sự hội tụ toàn cục của phép ỉặp ẩn hội tụ địa phương va ÓII định (tựa ổn định) trong không gian metric liên thông (liên thông đường) đã được thiết lập Mỏt điếu kiện đủ để quá trinh lặp ẩn là hội tụ địa phương cũng được đưa ra

6 T iế n g A nh

+ Title; Stability and Convergence of Implicit Iteration Processes

+ Journal: V ietnam J o u rn a l o f M a th e m a tic s

+ Volume: 2004, Vol 32, N.4, pp 467-473

+ Sum mary: T h e g lo b a l c o n v e rg e n c e o f lo c a lly c o n v e rg e n t a n d s ta b le (q u a s i-s ta b le ) im p lic it ite ra tio n s in c o n n e c te d (p a th w is e c o n n e c te d ) m e tric

s p a c e s a re e s ta b lis h e d A s u ffic ie n t c o n d itio n fo r Ihe lo ca l c o n v e rg e n c e of

im p lic it -ite r a tio n p ro c e s s e s is a lso g ive n

Người khai

Phạm Kỳ Anh

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học; Chuyên ngành: Toán ứng dụng

1 Tên b ài b á o : v ề tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phản

ẩn phi tuyến

2 Họ và tên các tác giả của công trình: Phạm Kỳ Anh và Hà Thị Ngọc Yến,

3 Năm xuất bản: 2004, N 3, pp 195-200.

4 Tên tạp chí: Advances in Difference Equations

5 Tóm tắt công trỉnh bằng tiếng Việt: Bài báo có mục đích kép Trước hết chúng tôi

đưa ra khái niệm chỉ sô' cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ số 1 Khái niệm này hoàn toàn tương tự như khái niệm chỉ số cho phương trình vi phán đai sô tuyến tính Tiếp theo chúng tôi mở rộng khái niệm chỉ số cho một lớp phương trinh sai phân ẩn phi tuyến và chứng minh một sô định lý tồn tại cho bài toán giá trị ban đấu đốivới lớp phương trinh sai phân ẩn phi tuyên nói trên,

6 Tiếng Anh

+ Title: On the Solvability of Initial-Value Problem s for Nonlinear Implicit Difference Equations

+ Journal: A d v a n c e s in D iffe re n c e E q u a tio n s , 2004, N 3, pp 195-200.

+ S u m m a ry : O ur aim is twofold First, we propose a natural definition of index for linear non-autonom ous implicit difference equations, which is sim ilar to that of linear differential-algebraic equations Then we extend this index notion to a class o f nonlinear implicit difference equations and prove som e existence theorem s for their initial-value problems

Người khai

Phạm Kỳ Anh

TÓM TẮT CÁC CÔNG TRÌNH NGHIÊN cứu KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI QT 03-02

Ngành: Toán học; Chuyên ngành Toán học úng dụng

1 Tên bài báo: Cặp liên hợp của phương trình vi phân - đại số và hệ Hamilton

2 Họ và tên các tác giả của công trình: Katalin Balla và Vũ Hoàng Linh.

3 Năm xuất bản: 2005.

4 Tên tạ p ch í: Được nhận đăng trên tạp chí quốc tế A p p lie d N u m e ric a l M a th e m a tic s

5 Tóm tắt công trinh bằng tiếng Việt: Trong bài này một cặp liên hợp các phương trình vi phân đại số thuần nhất chỉ số không quá 2 được khảo sát Đã nhận được tiêu chuẩn để các phương trình vi phản thừa kế và phương trinh vi phân cốt lõi của một cặp liên hợp 2 phương trình vi phân đại số là liên hợp theo nghĩa thông thường

6 Tiếng Anh

+ Title: Adjoint Pairs of Differential-Algebraic Equations and Ham iltonian Systems

+ Journal: Accepted for publication in A p p lie d N u m e ric a l M a th e m a tic s

+ Summary: An adjoint pair of linear hom ogeneous differential-algebraic equations having indexes less than or equal 2 are studied A criterion ensuring the inherent O DEs and the underlying ODEs of the pair to be adjoint to each other is established

Người khai

Phạm Kỳ Anh

Available online at www.sciencedirect.com

Implicit-system approach to the robust stability for a class o f

singularly perturbed linear systems

N gu yen Huu D ua, Vu H oang Linha *

* F a m ily o j M itt hemal Us, Mechanics, and Informatics, U tm c rs iir I l f N a tu ral Sciences I'iciiu im N ational ư n in rs in ĨỊ4

Nffuyeit Trui Sir Tluinlt Xtnm, Hanoi, 17(7 Nam

Received 15 January 2003: received in revised form 4 June 2004; accepted 7 June 2004

Available online 17 July 2004

A bstract

A s ym p to tic s ta b ility and die c o m p le x s ta b ility radius o f a class o f s in g u la rly perturbed systems o f linea r ilitT c re n lin l-a lg c b riiii' equations (D A E s ) are studied T he a sym p to tic b e h a vio r o f tlic s ta b ility radius fo r a s in g u la rly perturbed im p lic it system is characterized as tlie param eter in the le ad ing term tends to zero T he m ain results are obtained ill direct iinet short ways

w h ich in vo lve some basic results ill lin e a r algebrn and classical analysis, o n ly O u r results can he extended to o th e r s in y iih u perturbation problem s fo r D A E s o f m ore general form

© 2004 Elsevier B.v All ritỉhts reserved

Keywords: Asymptotic stability: Stability radius: Singular perturbation: Im plicit systems: Index o f matrix pencil

I Introduction

In the past decade, considerable attention lias been

devoted to some robustness measures o f continuous

and discrete time systems The concept o f stability

radii introduced by Hinriclisen and Pritchard has been

investigated for different classes o f systems in a large

amount o f research papers, e.g for the finite dimen­

sional ease, see [2,3,5,6,9-14], A number o f mod­

els arising in applications arc iliiTerential-algebraic

equations (D AEs) which may contain some small

parameters as well, for example, see [I Section I.3 Ị

We consider the couplet! im plicit system described

* Corresponding! author

E-m ail titlilrcw : vhlmli(ii>hn vmi VII (V II L ilili)

by linear (JiiTerential equations

£ I I) Í (-r ) = ^ 1 1 V i(-t) f A iịI ịI v ).

r.En v'2(x ) = /<21 V|(.v) + A 22 V2Í.V h ( I I )

where the solutions r,(v ) arc vector functions

r , ( ): (R -> / = 1.2: the coefficients A a arc

constant matrices ill <U"’ v and Í respectively, with / / — 1 2; i: is ;i small positi\'C p;n:imclcr Ill addition, we suppose

Assumption A I E II and :ire nnnsintuihir

The matrix Ẽ 2 Ĩ may be singular blit, excluding the

trivial ease, we assume / 0 When 11(1 confusion arises, th e a rg u m e n t V w i l l he o m itt e d In i b r e v it y u c (II (i7 -M I I/.Ĩ - see lio n l matter (c) 2004 riseviet H v A ll > iylils ifNOi'vcd

doi: 10.1016/j.sysconli; 2004 (16 003

34 N.H Du V.H LinhtSystem s A Control Letter* 54 (200Ĩ) 33-41

can rewrite (1.1) in the block form as follows:

where

We note that in the case o f /: = 0, the system is led

to a semi-explicit index-1 system o f DAEs, e.g., see

[1,8] The system (I I) can be considered as a gen­

eralization o f the classical singular perturbation prob­

lem investigated in [3 J and a number o f papers where

i = 1,2, are set identity matrices Assuming that

there exists j:0 > 0 such lliilt ( I I) is asymptotically

stable (see Definition 3 in Section 2) for all /: € (0, Co],

we consider the perturbed system

Here A e c !’* r' is an uncertain disturbance Bị, Cj, i —

1,2, are given matrices in C "'x /’ and c*7* " 1, respec­

tively and they specify the structure o f the pertur­

bation Following (lie concept due to Hinrichsen and

Pritchard [9 ,10], vve want to determine the value o f the

so-called structural complex stability radius for (1.1)

lefined by

r{E f,A \ B ,C ) — Ĩn f { IIzlII J e C ' ” " 1 and (1.4)

is not asymptotically stable} (1.5)for each /: e (0 /:0] We note that the norm used here is

an arbitrary matrix norm induced by a vector norm in

£/>*</ When E 22 is invertible, m ultiplying both sides

o f the first and the second equations o f (1.1), ( 1.3)

by E^ị and E_ , £ 2^ \ respectively, one obtains an

explicit system o f ordinary differential equations (ODEs} which has been well studied in the literature, e.g., see [9,10,12,14], However, even in this case, one would prefer avoiding the inconvenient computation

o f the inverse matrices In addition, because o f the ap­pearance o f the term 1 on the riglit-hand side o f the system, the computation o f the stability radius niiiy become an ill-posed problem Therefore, a direct in­vestigation o f the asymptotic stability and the asymp­totic behavior o f the stability ratlins r(E r.A \B C ) MS

r tends to 0 are o f interest In [3], Dragan considered

the problem with identity matrices F /f22- Based on the generalized Popov-Yakubovich theory a ml the asymptotic theory o f singularly perturbed differential equations, he showed (liilt when (lie small parameter

in the leading term lends to zero, the stability m- dius for the singularly perturbed system lends to I lie smallest value o f tile stability ratlins for the “ reduced slow system” ami that for the “ fast boundary layer system” This means it may happen thill r(E ,;A \ R, ( ) does not tend to /•( En, A ; R c ) as /: tends to zero Another result closely related to that o f [3] was ob­tained by Tuan and llosoe [15] In their paper Í1 new version o f the Tikhonov Theorem was developed <111(1 applied to show the asymptotic bchiivior o f the //rx norm o f the transfer (unction for I lie classicitl singular perturbation problem

The paper is organized as follows In Section 2

we summarize some preliminary results o f theory for general im plicit systems In Section 3, first, we analyze the algebraic structure o f the coefficient matrix pair and give sufficient conditions ensuring the asymptotic stability o f the general system ( I I ) for all sufficiently

s m a llT h e n , by ail approach different from those used

in [3.15], we give a short and easy-to-follow proof to obtain an asymptotic lomiuht o f I he stability nulius for the im plicit system (1.1) Our result is based on a formula o f the stability radius for DAEs proposed by

Du and Lien in a rccent paper [5], 111 the particular case, for index-1 DAF.S this formula o f (lie slahilily radius was in fact obtained previously by Byers and Nichols [2] and independently, by Qiu and Davison [13] Finally, we discuss some related anil more yeti'

e ra l p r o b le m s ill the ro b u s t stability o f im p lic i t s y s te m s

with respect to (singular) pcrtin billions in the lending coefficient matrix

N.H Dll, y.H Linh I Svslanx & Com m l Letters 54 120115) 33-41 35

Preliminaries

Consider >1 general implicit system o f linear

dilTer-Iiliiil c q iiiilio n s

vhcre E and -I arc given constant matrices ill C "x"

he leading coefficient matrix £ may be nonsingular

ir singular

k-tin ilioii I 'I lie matrix pencil {£■,.-(} is said to be

cgular i f th e re exisls / e ( ' such that the determinant

>1 (/£■ - A ), denoted hy ilct{ /.E - ), is different from

CIO Otherwise, il ilo l( //:‘ A ) — 0 VÀ € c, we say

hill I /■', A } is irregular

II {£ ,.(} is regular, then ii complex number Ầ is

:;illctl <1 (generalized linitc) eigenvalue o f {£■,.-/} if

let { À E - A ) — 0 The set o f all eigenvalues is called the

pectrum o f the pencil {£,.1} will denoted by n {E ,A )

I f (he imilrix E is singular cl ml the pencil ị£ ,A }

s regular, then there exist nonsingular milt rices

ivlicrc /„ , ; i i c identity matrices o f indicated size,

'I I- <T'X\ iiiul /V i «■■<" n x <" " is II matrix o f

nilpo-:c11 cy index k,k t N — {1 2 }, i.e., iV* = 0 , /V' Ỷ ®

lor I 1,2 Ấ I Í (,| (2 2) is well known to be

the canonical Weieistrass-Kroneckei form o f pencil

{/f I}, sec [I.X Ị It N is ;i zero Iiiiitrix, then k = I

holds

Definition 2 The nil potency Iiu le x of/V ill the Weier-

ilrass K m n eu kci lo rm (2.2 ) IS called the index o l n iii-

lux pencil {£>.1} iiiul we write imlcx{£,.-J} — k It £

is non.singuliirwe set Iiuicx {/•’, 1} — 0

lio m (2.2), tl IS easy lơ verily that lor a regular

£ /( v ) = /i.r(.v), v e [0 ,o o ),

P (y (0 ) - v0 ) = o

exists u niqu ely and the estimate II V’( -V >11 ig

holds for all V ặ 0 Here, p is iin appropriately chosenprojector ill € ,,x"

I f the zero solution o f (2 1) is asymptotically stable,

we then also say tliilt the system (2.1 ) is asymptotically stable

[;or instance, in case index{£ ,,4} = I one may choose p = / — Q where Q is the projector onto ker{ E )

;ilongS = {z 6 C", Az e ill! £■}, see [8], A difference be­tween ODEs anti DAEs is thill the equality r(.Y()) — Vo

is not expected here, We also remark that, for linear time-invariant systems, the concepts o f asymp­totic stability and exponential stability arc equivalent One may easily verify the following:

Proposition I The system (2.1) is asymptotically stable, i f and only if the m a trix pencil {£ , -I} is

(asymptotically) stable, i.e.,

a(E,A) c C “ ,

II here c ~ denotes the open Ic fl-lh ilj I i)in p lc \ plane.

We refer to [H, Section 1.2.5] tor some more details

1 A E A -.B C ) = { p e n c i l {E ,A + B A C )

is either unstable or irregular}

In [5] the structured complex stability radius o f ( 2 1 )

is defined as

r(E ,A ; B , C ) = i n f { II J ||, J G ■/ '( £ , - 1 : 5 , 0 } ,

36 N.H Du, V.H Lình I Systems A Control Letters 54 (2005) 33 - 41

where II • II is an arbitrary matrix norm induced by a

vector norm The follow ing result is analogous to that

for explicit linear systems [9,10].

Proposition 2 ( Du and Lien [5], see also Byers and

Nichols [2] and Qiu and Davison [13]) Suppose that

the m atrix pencil {£ , A } is regular and asymptotically

stable Then the complex stability radius of ị 2 1 ) has

Remark Ĩ The matrix function G (.ĩ)= C (,ỹ £ -/4 )" 'ỡ

is called the associated transfer matrix [10] For a non-

singular matrix E, it is easy to verify that

lim ||C(.V)||= Ịiin | | C ( ĩ £ '- / f ) " l fi|| = 0

|.f|—*rjo |*|-*O0

In the case o f a singular E, by using the canonical

Krcmecker form (2.2), we write

ơ(.v) = C(sE — A)~* B

/ ( s i, - H r ' " N

= CT

0V

number (fo r example, in case A- = 1) or infinity when

1*1 —¥ +oo It is clear that (he stability radius for a

system o f index less than or equal to I is strictly posi­

tive This fact does not liold for a liigher-index system

with respect to an arbitrary perturbation structure For

example, i f k > I and B = c = I one may find that

lim IIC7(.v )|| = +oo

M-»"°

which implies r(E ,A :B , C ) — 0.

Remark 2 There are different ways to sliow that fo r

(sem i-explicit) index-1 systems, the stability radius

introduced liere has also the structure preserving prop­

erty, e.g., see [2,13] That is under a perturbation with

the norm less than the value o f the stability radius,

the index o f the perturbed matrix pencil ;is well as the

degree o f the generalized characteristic polynomial do not change

In the next section we also need a factorization for­mula o f a block matrix, see e.g [7, Section 2.5]

3 Asymptotic behavior o f Hie stability ratlins Tor the singularly perturbed system

Throughout this section, in addition to the general assumptions 011 the coellicicnt m.iliiccs o f ( I I ) ;uul Assumption A I formulated in Sccticm I, we w ill use

Assumption A2 index{£22 Ă 2 ĩ } = k < I

and one o f the following conditions

Assumption A3 ( /Ill - 12^22'-42 1 ) is nonsingular

Assumption A3W ^ { £22 ^2 2} c r - a n đ ơ { £ ||,/l||

^ Í2^ ĩĩ } c c

Remark 3 Consider (I I) and assume Assumption

A ! Then the following holds true:

( i ) For k — 0, I and /: > 0 wc haveindex( £ ,./[} — /, <-> index { / i l l - I l l } /'( ii) Assumption A3 implies iKinsiIitiiiliuity o f/i This follows from

d et(/i) = ilet(,-ij2) det(.f 11 - '.-*21 )

These facts w ill be essential in the prool' o f Theo­rem I Furthermore, we note that

( iii) I f index { £22, ^2 2} = 0, then index {£0 A } —

I > index 4} — 0

(iv ) I f index( £22- ^2 2} = I Ilicn index {E() I }

i n d e x A} — I bill milk Ft) — 1 1I <r lank F.,

It I + r fo r r. > 0.

Tlierefore, {he problem we deal with here is a sin-

í Ị ỉ i ì a r p e r tu r b a tio n p r o b le m in ÍI g e n e ra liz e d sen se I f f

is zero, the system ( I I ) is called the reduced system Analogously to ( 1.5) we (Idinc the structured com­plex stability radius o f the reduced system and denote

it by r(En.A\ B ( )

N.H Dll I' l l Linh I Systems <i Control U n a s 54 (20(15) <J 4! J7

First, we investigate the asymptotic stability ot the

ystem (I I ) via a generalized eigenvalue problem,

.cl us denote

t Á d ) {- fc 1-1 |í/ z \ < (■)} for all a e c, Ổ > 0

' h c o m i i I ( n i l'iit lc r ( I I ) u n i ! (I.W IIIIW A I A3 h u l l !

nil' l.c l r rank £>2, 0 < r < /12- Denote the

ụtciìVithtcs (((Wilted with m u ltip lic ity ) of the m atrix

’ roof By Remark 3{i), ( ii) and (2.3), the statement

>n the numbers o f eigenvalues o f the three matrix

lcucils holds, l urlhernioie, all the eigenvalues arc

vlole that

!>,(/) — Ơ i f and only i f ) = 0 Vj; > 0

A lien i: teiuls to 0, the coefficients o f </,.( ) lend one

>y one to those ol polynomial

p u l y n o m i u l i / o ( ) , t h e r e e x i s t s I~I > 0 s u c h that

i.l,(t:)€ Jt,,(/,), i =- 1 ,2 , ,/,

holds for till i: £ (0,i7| ].

To verify the asymptotic behavior o f the other / / 1 eigenvalues o f note that / = 0 is not a root o filet(/£, — A ), lienee we can consider tile equation

As i: tends to zero, the coclikicnts o f (/,(.) toml one

by one to those o f the polynomial

.v*->i/o(.v) = ( - I )'" + "• det(.v.-<22)

X clet(.s( A \I — A12-*^ 22* -^21 ) — £ 1 1)

Let d be an arbitrary small positive number Referring once again to the continuity o f roots o f a polynomial, there exists a sufficiently small f -2 such that

and s ,ịi: ) e -tíẠ ịtỴ 1 ),

i — 1, 2 , 1 Vc t (0, i:> |

Here V,■(/:), / = 1,2 //|,iirc » | appropriately chosenloots ol </,( ■) By invoking continuity o f the inverse mapping, we may choose <?2 > 0 such that

', ,,(>■) = -'7

/ — 1,2 III, Vi; H (0, r_, |,

where /,!,(/:), / — 1,2, arc the other //|roots (orilcrctl iippropilately) o f />,( ■) Taking r :~ max {ỹ.Ị, /T2}, the proof o f Theorem ! is complete n

38 N.H Du, V.H Linh I Systems & Control Letters 54 (2IH)5) S3-41

Using Assumption A3* instead o f A3, we obtain

C orollary 1 Let Assumptions A I, A2 ami A3" hold

true Then there exists a number F > 0 such that the

system (1.1) /.T asymptotically stable f o r aìì V e [0, ii].

Proof The case o f i: — 0 is trivial since it is easy to

Applying Theorem I, there exists a number F > 0

such that for all i: e [ 0 , /7] all eigenvalues o f the

pencil {E f,A } are inside the open left-half com­

plex plane c ~ Invoking Proposition I, the proof is

complete □

Remark 4, The classical singular perturbation prob­

lem (the case when the leading terms Ejj are iden­

tity matrices) is ;i spccial ense o f{ 1.1 ) Its asymptotic

stability has been investigated ill Í1 number o f papers

and books, e.g., [4, Proposition 3.1.1] mill the refer­

ences citetf in [3] Here, we have succeeded in giving a

direct proof to a more general problem Furthermore,

clue to Remark I, the spectrum o f a matrix pencil o f

index less than or equal to I is stable with respect to

small perturbations occurring in the second term This

fact gives us another explanation to the asymptotic be­

havior o f the spectrum o f the matrix pencils in (3.1 )

and (3.2)

Remark 5 It is easy to see that the index Assump­

tion A2 (and the nonsingulnrity condition o f £| I ) niiiy

be relaxed in some special cases, for example, when

either ^ 2 1 or À Ị 2 = 0 The stability Assumption A3* is

sufficient and “ nearly" necessary, since the condition

n {E \\^ A \\ — -412 4 1 2 1} c c is the necessary and

sufficient condition for the asymptotic stability o f the

reduced system ( r = 0) Furthermore, if one o f the ma­trix pairs in Assumption A3* has an eigenvalue in the open right half c + o f the complex plane, the result lit Theorem 1 ensures thilt system ( I I ) should become unstable for all sufficiently small r I f all eigenval­

ues o f { £22 ^2 2} have nonpositive real parts, blit ill least one eigenvalue is locatcil on ilR, both the stability anil unstabifity may occur for the singularly perturbed systems

Now, using Proposition 2, we obtain formulae of the stability radius for the singularly perturbed system(1.1) and the reduced one First, for brevity, let us introduce some auxiliary notations Consider (1.3) anil define, for all 1 : > 0 and t € i(R.

Ar i f ) = A II \ A u {I v E22 - / Í 22) '% 1

B ,(l) = B\ -f A\i(tt'E22 — / h ỉ )

c ,( r ) = Cl + C ỉịir.E ỉĩ ^ 2 2 ) '^ 2 1

D r\ t ) — C ĩ ị l i E ỉ ĩ — A 2 2 ) ' #2

G rit ) = D A D + C riD (tE u i ĩ ĩ )

In a d d itio n , w e use th e f o ll o w i n g n o ta tio n s f o r th e CÌISC

o f /: = 0 (the “ reduccd slow system"):

A - AII - ĂỊ2-i22' A21.

ĨỈ B] - A ^ 2 2 ^ 2 ,

C - C | - r 2, | - ' , i 3l

D = - C 2 A 22 8 7

-G s ( t ) — D + C ( i E II - -Í) 1 /? V/ f= i!R (3.-4)Finally, we define

G f V ) = C2UE22 - A 12) - ' B 2 V f F i l H (3.5)

Lemma 1 Let Assumptions A I A2 Ii/ul A 3 W hold

II lie Then, Jar (ill c G (0 (TỊ whi’iT f i\ tin IỊII I’ll

ill Corollary I, the s tiih ililv ratlinA <)j the M ihjtihn! \ perturbed system ( I I ) <•<//; he (ỊÌrcn In

r { E ,,A B ,C ) ~ I supII(T7,Í / )||

N H Du V H L in h /Systems & Control Letters 54 (20115) 33—11 39 'urthermure, the stability ratlins o f the reduced

ystent is form ulated us follows:

(£■<!,.4; B,C) — [.sup II (7, (Oil

V/eiH

*roof Using (2.4) and the Frobenius formula for

omputing the inverse of a block matrix [7, Section

!.5], the formulae in Lemma I follow from some

:lcmenlary matrix calculations We note that, as a

onsequence o f Corollary I , for i: e (0, fi], all formulae

II (3.3 M 3 5 ) are well defined on the line ilR □

Consider (lie “ fiiM boutulaiy layer system”

:£ ỉ 2Ĩ’2 = ''Í 2 2 T’l ,

v illi respucl lo the perturbation structure {B i, C j} Us-

ny (2.4) once again, the formula o f the stability radius

>f the "fast boundary layer system” can be given by

•(i:£22,.-J22;Ổ2 G ) [ stip||(7/.-(.v)||

Vv€iH

S o lo ( h ilt th e s t a b ilit y liu liu s o f th e fu s t b o u n d a ry la y e r

iystem (Joes not depend 011 /: > 0 since

‘iup||r2(r/£,22 - h : ) ” 1 if>Jl

fe.H

tgiR

Hid it follows that

Ìt-Eì2,Ai2 \ B2, C i ) — ) (Eu,Ai2, Bi, c 2), Ve > 0.

ỉcn iiirk 6 Suppose A I , A2, A3tf hold and (T > 0 as ill

orolliiry I ensures 1 hill ( I I ) is asymptotically stable

nr all i ; t [0,(7] Since iiu lo x{£22 ^2 2} í I it follows

r‘'m Remark I iincl A3" that VI-* ||(v£2ỉ - A 2 2 V ' II is

ottiuleil on ilR Scaling the imaginary axis by 1 : > 0

iclils that Siipv<illl||( \£ i2 .-12 2r 1 II = sup,e jlt||(f:/£ 2 2 -

'■>■>)” 11| T h e r e fo r e , th e f u n c tio n s

r , { ' ) | | , and ||D,.{)||

re bomulcil on ilfi iind (lie bounds arc independent o f

> 0 The latter statement is especially important in

1C p ro o f ()!'Theorem 2 below

At each lixed point / € ilR, the function G J t) tends

I Gs(l) iis 1 : tends to zero because o f the continuity.

However, maybe, their supremums over iR are not close to each other as 1 : tends to zero Now, we state

the main result which is an analogue o f Theorem 3 7

in [3J

Tlit'orem 2 Assume UỊịitin lilt' same conditions as

in Lemma I Then, (IS 1 : tends to zero, the stability radius o f the singularly perturbed system converges

tư ihc minimum o f the stability radius o j the “ reduced

slow system” and tlu it o f the "fast boundary layer system” , i.e.,

lim I (E, ,A: B ,C )

( -> I 0

= m in {/-(£ 0, ^ ; B, c ), / (£22 ^2 2; B2, c 2)}

Proof Based on the explicit formulae for the stabil­ity radii tjiven in Lemma I, we give a direct proof The main idea is that for sufficiently larye |/|, the sec­ond part o f the expression o f Gt{ ! ) is arbitrarily small Therefore, the function Gt ( 0 is close to G f(s ) with

s — t:i On the other hand, in a given bounded domain,

the function G j t ) is close to G i(/) for sufficiently

small 1 : because o f continuity Now, let us choose an

(arbitrarily small) <> > 0 We show that the inequali­ties

converges uniformly to zero w.r.t /;e[0,fT] as |/j -+

0 0 Thus, there exists a sufficiently large number T = T{ổ) (T is independent o f ;:) such that

IIC<0(/£| - ^ ( / ) r ' Ã ((/)|| ^ <\ |/| ^ T.

Therefore, fur I w itli |?| ỳ T, we have

||G,(/ )|| ^ II c 2(11-^22 — 22 ) 1 ^2 II + rt.

40 N.H Du, V.H Linh I Systems & Control Letters 54 (2(105) 33-41

hcnce, uniformly continuous Therefore, there exists

a sufficiently small C| — f:I( rl) such that for V $

we have

sup ||ơ r(/)|| ^ sup ||GS( 0 || + /5 ^ sup||G.v(0|| + Ồ.

Thus, for i: ^ /:I, we obtain

sup||Gt(0 || ^ max I s u p ||ơ j(/)||, sup||Gf(.v)|| Ị + Ỗ.

(b ) Now, we prove the first inequality in (3.6)

Analogously to (3.7), we have

sup ||Gf (0 || s* sup ||Gr(v)|| - Ỗ.

\t\ir M>|7

Since ||Gp(.)|| is continuous oil ilR, there exists a

sufficiently small t '-2 — such that for /: ^ r.2 , the

In addition, because o f continuity o f i: 1-4 ||Gr(fo)||,

there exists a s u ffic ie n tly sm all r.Ị = r j ị i ĩ ) such that fo r

Remark 7 A natural and s t i l l open question a rise s

here when the stability radius r(E ,.A :B C ) tends to r{E ữ,A \B ,C ) and when to IÍ E 2 2 A 2 Ỉ: B2 c 2) For ex­

ample, it is obvious lluil

J im ||c 5(0 || = ||G>(0)|| < s u p ||G f(.0 ||

Therefore, i f sup,eiR||G j(0 || is attained at infin ity the stability radius r(E, ,A :B , c ) tends to r(E 22 - • iĩỉ '-^ 2

C 2) as 1 : —¥ +0 However, this condition is sufficient,

only and checking it is not an easy task

is quite different from tliilt o f [3], has resulted in Í1 short proof for the asymptotic behavior o f the complex stability radius as the parameter tends to zero

The result o f the paper seems lo be useful when one

is to face the robust stability analysis o f a singularly perturbed system for sccoml-ortlcr DAF.S equations which arises, for example, when modeling ;m elccti ic;il network by the im plicit equation

i:E y "{x ) — A r'(.Y) + D v(.Y), (4.1)

where E.A.D are square complex matrices E may he singular, and 1 : is a small positive parameter With ;i

new variable z = 1' we rewrite (4.1 ) iis

and obtain a system o f the form (1.1) Then, it is

easy to formulate {s u llic ic n t) conditions provklinu the

N i l Du, V.H Linh I Systems & Ctmirol Letters 54 (2005) J j 41 -41

iymptotic stability o f the system (4.1) for all suf-

ciently small parameter values as well as to ana-

/ze the stability radius due to appropriately structured

ertiirbations

The approach usal here may also be applied to the

>busl stability analysis o f more general problems with

small parameter ill the leading term The results ill

icctiun 3 may be extended to the (singular) portin'bil­

ion problem

vhere E, F,A are square complex matrices, £ is a small

•ositive parameter The matrix F specifies the stmc-

u re o f perturbation appearing ill the leading term,

vhile (lie matrix E may be singular The matrix pencil

E.A) is supposed lo be stable, i.e., a (E ,A ) c C "

ỉ y u s in g th e a p p ro a c h in tr o d u c e d h e re , it is p o s s ib le

o give conditions to ensure the asymptotic stability

tí'the system for all sufficiently small r Furthermore,

isymplotic beliiivior o f the complex stability radius o f

4.2) can be chiiructerizeil as i: tends to zero, as well

Kiknotvlerigciiienl.s

The authors o f the paper would like to thank a

cforce for numerous useful suggestions improving

he results and their presentation, especially those con-

:cniing Theorem I The authors are also grateful to

’miessor Kalalin Billlii for lots o f useful hints and

'rolcssoi' Vasilc Dnigitn lor providing some intcrosl-

ng information concerning the subject o f the paper

References

[ I ] K.E lircn u n, s L Cum pbell, L R Peizold, Num erical

S olution o f In iliu l Vulue Problems in D iffe rential-A lgebraic

Equations Nonh-Mollmtd, New York, 1989

[2 ] R Byers, N K Nichols, O il tile sta b ility radius o f a generalized siate-space system Linear A lgebra A ppl 18 8 ,189 (1 99 3 ) 113 — 134.

[3 ] V Dragan, The asym ptotic behavior o f the s ta b ility radius fo r

a sin g u la rly perturbed linear system Ini J Robust N onlinear

C o ntrol 8 ( 199 8 ) 8 I7 829.

[4 ] V Druyun, A Halanuy, S tabilization o f Linear Systems,

Birkliỉiuser, [ỉoston, 1999.

[5 ] N.H Du D.T L id ), S la h ilily liid ii lo r d ilT crcn tiiil-iilg ch riiii:

equulions, submitted for publication.

[6 ] N ll Du, D T Lien, V H L ilili, On com plex s tu b ilily radii

tor im plicit discrete lime systems, Vietnam J Malh 3 1 (-)) (2003) 475 488.

[7 ] F.R Ganimacher, Theory ot M atrices, 4th Edition, Nauka,

M oscow, 1988 (in Russian I, In English translation: The

Theory o f Matrices, Vol I AMS Chelsea Publishing,

Providcncc, R l, IW 8 [8 j I: (iiic p u iilro g R M iiIV, D illc rc n liu l Algebraic l:i|u ;ilio n s iiiu l their Num erical Treatment, Tcubner T e xlc zur M alhe m a lik,

V ol 88, Teubiier, Leipzig, I986.

[9] D Ilinriclisen, A J Prituhard, Stability radii o f linear systems

Systems C ontrol Letl 7 ( I9 8 6 ) 4- I0 [1 0 ] D Hinrichsen A.J Priichard, S ta b ility radii fo r structured

pcnuibiitions and I lie algcbruic Kiccali equations, Systems Control Led 8 (1986) I 0 5 - I I 3

[1 1 ] D Ilin rich sen , N K Son, S ta b ility radii o f positive discrete

tim e sy ste m s LinJci iillin e pu ra m e le r pertu rb ations, Ini

J Robust N o nlinear C o ntrol 8 (1 9 9 8 ) 1169-1188.

[1 2 ] L Q iu, H Dcrnlumlsson, A RanUer, E.J Davison, P.M Young, J.c Doyle, A form ula for com pulation o f tile real sta b ility radius, A ulom aiica 31 (1 9 9 5 ) 879 -890.

[1 3 ] L Q iu, n.J Davison, The sta b ility robustness o f generalized eigenvalues, T rails A u lo m a l C ontrol 37 (6 ) (1 9 9 2 )

886-891.

[1 4 ] N K Sol), D llin ric lis e n Robust sta b ility o f positive continuous lim e systems, N um cr F u n d Anal 0 | it iin 17 (1 9 9 6 ) 6 4 9 -6 5 ‘J

[1 5 ] II D Tuan, s Ilusoe, O il a slate-space approucli ill robust

control tor singularly perturbed systems Int J Comrol f)6

( 3 ) (1 9 9 7 ) 435 -462.

[1 6 ] J.H W ilkin so n , T ile A lgebraic Eigenvalue Problem, Cliirundun Press O x liiu l,

A u s t h a c t R ecently, a n o tio n o f in d e x -1 lin e a r im p lic it d ifferen ce e q u a tio n s

(L ID E a ) lias been in tro d u c e d and the s o lv a b ility o f in itia l value p ro ble m s

(IV P s ) as w ell as m u ltip o in t b o u n d a ry -v a lu e p ro ble m s ( M P B V P s ) fo r in d e x - 1

L ID E s has been s tu d ie d In th is note, we show th a t th e e x p lic it E u le r m e th o d

(I'jf'iM ) a p p lie d to lin e a r tra n sfe ra b le (J iffe ru n tiiil-a lg e h m ic e q u a tio n s (IJ A E a )

leads to iii( li: x - l L ID E s Besides, wo (libcu.ss the convurgeuce o f s o lu tio n s

o f I V I JS ( M I'B V P ij) fo r index-1 L ID E s to the s o lu tio n s o f th e co rre s p o n d in g

p ro ble m s For tra n s fe ra b le D A E s.

1 I n t r o d u c t i o nLinear im p lic it difference equation

( 1 ) A n x 7l-ị-\ B n x n + (]n ( / i — 0 , 1 , 2 , ),

where A n , I i u t lR"íXm, qn G K " 1 art: given and the m atrices A n art: all singular,

may 1)1! regarded iis discrete analogues of certain linear DARs

A cco rd in g tu [9], L ID E s (1) is said to be o f index-1 i f

(i) rank A ,, = r (0 < 7’ < m ) for all n — 0,1, 2 ,

(ii) the m atrices A n + B n Vn- iQ * V 1J are nonsingular for n > 0,

where A n — Un £,J VrJ is a singular-value decom position (S V D ) o f A n ,

E „ - diag (ơ ^ , , ơ,(tr ) , 0 , ,0)

is u diagonal m a trix w ith singular values ơ ịp > a \ ^ > ••• > ơ í í ' > 0 ƠI1 the

m ain diagonal F u rth e r, Un (Vn ) are orthogonal m atrices, whose colum ns are left

(rig h t) sing u lar vectors o f A n , respectively F in a lly,

Q* = diag ( O r , I,r , - r ) ,

where Ok and h (k — 1, m ) stand for the k X k-zero m a trix and the k X fc-identity •

m a trix , respectively For k — 7n we sim p ly p u t O llt — o and /, „ = I For

Received M a y 23, 2003; ill revised fo rm N ovem ber 18, 2003.

Ii)!)l Mathematics Subject Classification. IS A 18, 3-IA 09, 34B 05, ;ỉ‘JA 10, (>51,1)5.

Key words ami phrases, in d e x - 1 lin e a r im p lic it d iffe re n ce c q u iitiu n , ( iiit r ic u t ia l-

a lg eb raic e q u a tio n , in itia l- v a lu e p ro b le m , m u ltip o in t b o u n d a ry -v a lu e p ro b le m , s in g u la r-v a lu e

d e c o m p o s itio n

24 PH A M K Y ANH , N G U Y EN HUƯ D ư A N D LE C O N G LOI

definiteness, we set V- 1 to be an a p propriate orthogonal m a trix (V_ 1 = I for

when N becomes large, represents a large-scale system o f Tn(N + 1) linear equa­

tions Some necessary and sufficient conditions for th e s o lv a b ility and the unique

so lv a b ility o f problem s (2)-(3) have been derived in [2] and [9] As a d ire c t conse­quence o f these results, a Fredholm a lte rna tive for the problem s (2) and (3) was obtained

A close e xa m in a tio n o f the d e fin itio n o f in d e x -1 L ID E s suggests th a t instead

o f se ttin g V - \ = I one can sim p ly let V_1 := Vo and all results o f [9] rem ain true

T h is fact w ill be useful late r when we deal w ith d iscre tiza tio n schemes for DAEs

(i) there exists a sm ooth p ro je ctio n Q € c 1 ( J ,R m xm ) onto K ei'v4(i), i.e., Q 2{t) =

Q {t) and I m Q ( i) = K e r/4 (f) for any t e J , and

(ii) the m a trix G ( t ) := A ( t) + B ( t) Q ( t) is nonsingular for any t € J

I t should be noted th a t the tra n s fe ra b ility o f lin e a r D A E s is independent of the choice o f a sm ooth p ro je c tio n Q (t) onto K ery4(i).

T he aim o f this note is to reveal a connection between linear transferable D A E s and index-1 L ID E s , i.e., to describe some d iscre tiza tio n m ethods for D A E s (4)

th a t lead to in d e x -1 L ID E s (1) as well as to show th a t under certain conditio n s

so lu tio n s o f I VPs and M P B V P s for in d e x -1 L ID E s w ill converge to the solutions

o f the corresponding problem s for transferable D A E s Due to t.lin lim ilỉil ion of space, all the discussions on d escriptor systems w ill he o m itte d

For the num erical so lu tio n o f D AEs, we refer the interested reader to ĨI huge lite ra tu re ’ devoted to num erical m ethods for solving D A E s (soo I'lj, |f)| Mild IliP ic in references)

IM PL IC IT D IF F E R E N C E EQ UA T IO N S A N D D A lis 25

2 Di s c r e t i z a t i o n o f l i n e a r D A Es

We begin w ith the fo llo w in g useful lemma

L e m m a 2 1 Suppose that the lin e a r D A E (4) is transferable Let Q € C l (J, R m xm )

be an a rb itra ry p ro je ctio n onto K e r - ^ i) Then f o r every t £ J and s u fficie n tly

sm all T > 0, the m atrices G ( t , r ) := A ( t ) — r B ( t ) Q ( t ) and H ( t , r ) := A ( t) -

r [ B ( t ) — A ( t ) p '( t ) ] Q ( t ) , where p ( t ) = I — Q (t), are both nonsingular Moreover, there hold the estimates

and

where c 1 and C'l are positive constants.

Proof By d e fin itio n , the m a trix G ( t) A ( t) + B ( t ) Q ( t ) is nonsingular for all

In w h a t follows we assume th a t the sing u lar m a trix A { t) w ith a constant

r a n k /l( i) = V possesses a S V D

(7) A ( t) = U { t ) Z ( t ) V r ( t),

where V G C (J , K m xm ), V € C l ( J ,W nxm ) are o rth o g o n a l m atrices, i.e.,

U T { t ) U ( t ) = V J [ t ) V{ t ) = /.

F u rtherm ore, £ G C (J , K " 1* 7" ) is a diagonal m a trix w ith sin g u la r values ơ \ { t ) >

o 2(t) > ••• > ơ ,.(i) > 0 on its m ain diagonal I f .4 e G'1 (./, IR "'x m ) then the

decom position (7) w ith a sm ooth m a trix V ( t) is followed fro m s im ila r results

for H e n n itia n m a trix A J ( t) A ( t ) in [3, C o ro lla ry 3], see also [7, Section I I 6.2]

However, the re la tio n (7) can be valid for non-sm ooth m atrices A ( t) For exam ple,