Bài giảng Công cụ toán học nâng cao_(Dành cho học viên cao học)

• Sơ lược về sự phát triển quá trình tính toán o Tính toán thông thường (Hard Computing) o Tính toán mềm (Soft Computing) o Tính toán khắp nơi và di động (Ubiquitous Mobile Computing) • Một số kiến thức toán cơ sở o Ma trận o Không gian vecto và phép biến đổi tuyến tính o Xác suất

Chương 1 Tổng quan về các công cụ Toán cho Tin học

 Sơ lược về sự phát triển quá trình tính toán

o Tính toán thông thường (Hard Computing)

o Tính toán mềm (Soft Computing)

o Tính toán khắp nơi và di động (Ubiquitous &Mobile Computing)

 Một số kiến thức toán cơ sở

o Ma trận

o Không gian vecto và phép biến đổi tuyến tính

o Xác suất

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Alfio Q., Ricardo S., Fousto S – Numerical Mathematics – 2008

[2] Krishman V – Probability and Random Processes – 2006

[3] Shores T S – Applied Linear Algebra and Matrix Analysis – 2007

[4] Đào Hữu Hồ - Xác suất thống kê – Nxb ĐHQG Hà Nội – 1998

§1.1 Sơ lược về sự phát triển quá trình tính toán 1.1.1 Tính toán thông thường (Hard Computing)

1) Khái niêm: Tính toán cứng (HC) là tính toán thông thường

2) Đặc điểm: HC đòi hỏi một mô hình phân tích trạng thái một cách chính xác và thời gian

tính toán thường rất lớn

3) Công cụ: Que tính- Bàn tính – Máy tính

Nhược điểm: Nhiều mô hình phân tích chỉ đúng đắn trong các điều kiện lý tưởng Trong khi

đó, các vấn đề của thế giới thực lại diễn ra trong các điều kiện phi lý tưởng

1.1.2 Tính toán mềm (Soft Computing)

1) Khái niệm: SC chấp nhận những lập luận mờ và các chân lý không chắc chắn, thiếu chính xác, chỉ đúng từng phần hoặc gần đúng

2) Đặc điểm: Mô hình của SC chính là trí tuệ của con người Nguyên tắc có tính dẫn đường

của SC là: khai thác tính mờ của nó để xây dựng được những công cụ mạnh nhằm giải quyếtcác vấn đề phức tạp với chi phí thấp nhất có thể

3) Công cụ: Máy tính

Nhược điểm: Nhiều mô hình tính toán còn phụ thuộc vào không gian và thời gian.

2) Đặc điểm: Các thiết bị tính toán gồm những máy tính nhỏ thậm chí là “vô hình” (ẩn trong

môi trường vật lí) và di động.

3)

Công cụ : Máy tính và mạng truyền thông.

• Thuật ngữ U&MC do Mark Weiser làm việc tại XEROX đưa ra vào năm 1991

• Công nghệ U&MC phát triển mạnh tại Nhật Bản, Hàn Quốc, Singapo, …

• Việt Nam cũng đang nghiên cứu và triển khai U&MC

Mô hình tính toán khắp nơi và di động

§1.2 Một số kiến thức toán cơ sở 1.2.1 Ma trận

1.2.2 Không gian vector và ánh xạ tuyến tính

1 Không gian vector

- Các khái niệm và các định lí

- Tích vô hướng

2 Ánh xạ tuyến tính

- Các khái niệm và các định lí

- Phép biến đổi tuyến tính

- Trị riêng và vector riêng

- Chéo hóa ma trận

1.2.3 Xác suất

A Khái niệm và các công thức xác suất

1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên T là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Kết quả của T không đoán định được trước

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của T

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của T được gọi là không gian mẫu và kí hiệu là Ω

2 Biến cố ngẫu nhiên

• Biến cố ngẫu nhiên A liên quan với phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy racủa A tùy thuộc vào kết quả của T

• Mỗi kết quả của T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi cho A Tập hợp các kết quảthuận lợi đó ký hiệu là ΩA

• Biến cố chắc chắn U là biến cố luôn xảy ra

3 Các phép toán trên biến cố

• Tổng A + B của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra  A hoặc B xảy ra

• Tích AB của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra  A và B đồng thời xảy ra

• Hiệu A - B của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra  A xảy ra và B không xảy ra

4 Quan hệ giữa các biến cố

• Biến cố A kéo theo biến cố B: A  B  Nếu xảy ra A thì xảy ra B

• Biến cố A tương đương biến cố B: A = B  A  B và B  A

• Hai biến cố A và A* gọi là đối lập  luôn chỉ xảy ra một trong hai biến cố A hoặc A*

• Hai biến cố A và B gọi là xung khắc  A và B không xảy ra đồng thời

• Họ các biến cố {Bi}, i =1 n là đầy đủ nếu từng đôi một xung khắc 

1

n

i i

a) Định nghĩa tiên đề của xác suất:

Tập Ω ≠ f gọi là không gian các biến cố sơ cấp và với mỗi A  Ω có một số thực P(A) ≥0 gọi

là xác suất của A nếu:

• P(Ω ) = 1

• Tính chất cộng tính đối với P thỏa mãn với mọi họ {Ai} các biến ngẫu nhiên xung khắc:P(∑Ai) = ∑P(Ai)

d) Định nghĩa hình học: Cho D là miền đo được và A là miền con của D Lấy ngẫu nhiên

điểm M thuộc D thì xác suất để M thuộc A là: P(A) = Độ đo A / Độ đo D

b) A gọi là độc lập với B nếu P(A/B) = P(A)

c) Công thức nhân: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

d) Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

e) Công thức xác suất đầy đủ:

Nếu B1, …, Bn là hệ thống đầy đủ các biến cố và H là một biến cố bất kỳ thì

a) Tìm xác suất thu được tín hiệu A

b) Giả sử thu được tín hiệu A Tìm xác suất để thu được đúng tín hiệu lúc phát

Lời giải

Gọi B1= “Tín hiệu A được phát”  P(B1)=0.84

Gọi B2 = “Tín hiệu B được phát”  P(B2)=0.16

Khi đó B1, B2 lập thành hệ thống đầy đủ các biến cố Gọi H = “Thu được tín hiệu A”

- Trong mỗi phép thử không gian mẫu Ωi = {A, A*}

- Xác suất của A trong mọi phép thử P(A) = p

Tính xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép thử trên?

Lời giải

Ta có P(A*) = 1-p

Biến cố để A xuất hiện k lần là tích H gồm k biến cố A và n-k biến cố A*

Có tất cả Ck n tích như vậy

Từ đó: Pn(k) = Ck np k(1-p)n-k

B Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

1 Biến ngẫu nhiên

- Biến ngẫu nhiên X là hàm X: Ω→R sao cho với mọi số thực x ta có tập hợp {AR sao cho với mọi số thực x ta có tập hợp {AΩ: X(A) <x} là biến cố ngẫu nhiên

- X là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu miền giá trị của X là hữu hạn hoặc vô hạn đếm đươc

Bảng phân phối xác suất:

- X là biến ngẫu nhiên liên tục nếu miền giá trị của X là tất cả các mọi điểm thuộc khoảng (a;b)

- Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên, a, b là các hằng số thì

aX + bY, X – Y, X/Y (Y≠f), max(X,Y), min(X,Y)cũng là các biến ngẫu nhiên

2 Phân phối đồng thời rời rạc

a) Phân phối đồng thời

Vector ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y):

pij = P({X=xi} ∩ {Y=yj}) = P({X=xi;Y=yj})

Với pij ≥ 0 và ∑∑pij = 1

 Xác suất có điều kiện: P({X=xi} / {Y=yj}) = pij/pj hoặc P({Y=yj} / {X=xi}) = pij/pi

 Hàm mật độ điều kiện của X với Y= y :

/

( , ) ( , )

 X và Y độc lập nếu FXY(x,y)=FX(x) FY(y)

D Các đại lượng đặc trưng

-X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

• E(c) = c, E(cX) = cE(X), c là hằng số

• E(X+Y) = E(X) + E(Y)

• Nếu X, Y độc lập thì E(XY) = E(X) E(Y)

2 Phương sai (Variance)

V(X) = E(X - E(X))2 hay V(X) = E(X2) – (EX)2

• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y là :

,

cov( , ) ( ) ( )

E Một số phân phối thông dụng

1 Phân phối nhị thức (Binomial Distribution)

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X nhận một trong các giá trị 0, 1, …, n với xác suất

tương ứng được tính theo công thức Bernoulli

gọi là phân phối nhị thức với tham số n và p (q = 1 – p)

 Các tham số đặc trưng: E(X) = np, V(X) = npq.

2 Phân phối Poisson

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X nhận một trong các giá trị 0, 1, …, n với xác suất

tương ứng được tính theo công thức Poisson :

!

k k

3 Phân phối siêu bội

 Định nghĩa: Xét tập hợp gồm N phần tử, trong đó M phần tử có tính chất A Lấy ngẫu nhiên

(không hoàn lại) n phần tử Gọi X là số phần tử trong đó có tính chất A :

6 Phân phối chuẩn (Karl Gauss)

 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là phân phối chuẩn nếu có hàm mật độ

22

2

1 ( )

Xét xem có bao nhiêu phần trăm mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảohành ?

Như vậy, có khoảng 50% số mạch điện tử bán ra phải thay thế trong thời gian bảo hành.

CHƯƠNG 2 CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

§2.1 Mở đầu 2.1.1 Ví dụ

- Xét một hệ thống vật lí tiến triển theo thời gian Tại thời điểm t ≥ 0 hệ thống có thể rơi vàomột trong ba trạng thái (hay vị trí) 1, 2 hoặc 3 một cách ngẫu nhiên

- Không gian trạng thái E = {1, 2, 3}

- Kí hiệu X(0) là vị trí của hệ thống tại thời điểm t = 0

 X(0) là một biến ngẫu nhiên có thể nhận các giá trị 1, 2 hoặc 3 với các xác suất nhất định

- Kết quả khảo sát thực tế cho bảng phân phối xác suất của X(0) như sau:

 phân phối xác suất ban đầu π(0)= (0,2; 0,5; 0,3)

- Tại các thời điểm t = 1, 2, 3, … vị trí của hệ thống được mô tả bởi các biến ngẫu nhiên X(1),X(2), X(3), … với các bảng phân phối xác suất tương ứng

- Trạng thái của hệ thống tại thời điểm t = s phụ thuộc vào các trạng thái trước đó

- Quá trình {X(t)} gọi là quá trình ngẫu nhiên với không gian trạng thái E và phân phối xác suấtban đầu π(0)

2.1.2 Các khái niệm

a) Quá trình ngẫu nhiên:

- X(t) là trạng thái tại thời điểm t của một hệ thống nào đó tiến triển theo thời gian Với mỗi

b) Không gian trạng thái:

- Tập hợp các trạng thái có thể có của hệ thống gọi là không gian trạng thái và kí hiệu là E

- Trong ví dụ 1.1 thì E = {1, 2, 3}

c) Bài toán cơ bản:

Input: Trước thời điểm s, hệ thống đã ở trạng thái nào đó và hiện tại X(s) = i;

Output: P(X(t) = j), t > s là thời điểm trng tương lai;

§2.2 Quá trình Markov 2.

2.1 Giới thiệu chung

 Quá trình ngẫu nhiên X(t) gọi là quá trình Markov

- X(t) là quá trình Markov và E đánh số được (đếm được) thì X(t) gọi là xích Markov :

+ Nếu t  {0, 1, 2, …}  X(t) gọi là xích Markov với thời gian rời rạc;

+ Nếu t  (0, )  X(t) gọi là xích Markov với thời gian liên tục

b) Ứng dụng của quá trình Markov

- Các quá trình (xích, hay chuỗi) Markov xuất hiện nhiều trong vật lí, đặc biệt là cơ học thống

kê (statistical mechanics)

- Xích Markov có thể dùng để mô hình hóa nhiều quá trình trong lí thuyết hàng đợi và thống kê

- Xích Markov ứng dụng trong lý thuyết thông tin

- Xích Markov ứng dụng trong game:

Nhiều loại game của trẻ em (Chutes and Ladders, Candy Land), là kết quả chính xác điển hìnhcủa chuỗi Markov Ở mỗi vòng chơi, người chơi bắt đầu chơi từ trạng thái định sẵn, sau đó phải

có lợi thế gì đó mới có thể vượt qua được bàn kế tiếp

- Xích Markov ứng dụng trong quản lý đất đai:

GIS và chuỗi Markov vào phân tích sự thay đổi sử dụng đất (land use change), từ đó dự báođược tình hình sử dụng đất trong giai đoạn kế tiếp

- Xích Markov ứng dụng trong các mô hình sinh học, đặc biệt là trong tiến trình dân số

- Xích Markov ứng dụng trong thống kê địa chất

- Mô hình Markov ẩn được ứng dụng sửa lỗi trong hệ thống điện thoại di động

- Mô hình Markov ẩn được ứng dụng trong nhận dạng tiếng nói và trong tin sinh học, chẳnghạn để mã hóa vùng/dự đoán gene

- PageRank của một trang web dùng bởi Google được định nghĩa bằng một xích Markov Đó là

xác suất để đến được trang i trong phân bố chuẩn (stationary distribution) dựa vào xích Markov

+ Nếu N là số lượng trang web đã biết, và một trang i có k i liên kết thì nó có xác suất chuyển

tới là (1-q)/k i + q/N cho mọi trang mà có liên kết tới trang i và q/N cho mọi trang mà không có

liên kết tới trang i;

+ Tham số q thường được chọn là khoảng 0,15.

2.

2.2 Xích Markov

1) Tính Markov

Định nghĩa:

- Xét quá trình ngẫu nhiên X(t) với không gian trạng thái E X(t) có tính Markov  với t0< t1

<…< tn < tn+1 < …và i0, i1,…, in-1, i, j  E có

P{X(tn+1) = j | X(t0) = i0, …, X(tn-1) = in-1, X(tn) = i}

= P{X(tn+1) = j | X(tn) = i}

Trong đó : tn là hiện tại, tn+1 là tương lai, còn (t0, t1, …, tn-1) là quá khứ

- X(t) có tính Markov  Sự tiến triển của quá trình trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại

và độc lập với quá khứ

- Đặt p(s, i, t, j) = P{X(t) = j | X(s) = i, s < t} là xác suất có điều kiện để hệ chuyển từ trạng thái

i ở thời điểm s sang trạng thái j ở thời điểm t

 p(s, i, t, j) gọi là xác suất chuyển của hệ

- Nếu xác suất chuyển của hệ chỉ phụ thuộc h = t – s

- Tại thời điểm thứ n, trong A có i quả cầu nên xác suất quả cầu được chọn để chuyển từ A sang

d i

j i d

- Kết luận: X(n) là xích Markov thuần nhất.

2) Xích Markov rời rạc và thuần nhất

Cho (Xn) là xích Markov rời rạc và thuần nhất;

a) Ma trận xác suất chuyển:

Có pij= P{Xn+1= j Xn = i}=

P{Xn+1= j X0= i0, , Xn-1= in-1, Xn = i}

 không phụ thuộc vào n

- Ma trận xác suất chuyển sau 1 bước: P = (pij)

trong đó, pij là xác suất có điều kiện để hệ tại thời điểm n (hiện tại) ở trạng thái i chuyển sangtrạng thái j tại thời điểm n+1 (tương lai)

- Tính chất của ma trận chuyển P:

 0 ≤ pij ≤ 1, với mọi i, j  E

  p ij = 1

Ma trận có tính chất trên gọi là ma trận ngẫu nhiên.

Kết luận: cho trước hiện tại thì quá khứ và tương lai độc lập với nhau.

- Xác suất chuyển sau n bước:

pij(n) = P{Xm+n = j | Xm = i} = P{Xn = j | X0 = i}

 xác suất để tại thời điểm ban đầu hệ có trạng thái i và sau n bước chuyển sang trạng thái j

- Ma trận xác suất chuyển sau n bước:

b) Phân phối ban đầu:

- Phân phối của hệ tại thời điểm n:

pj(n) = P(Xn = j); n= 0, 1, 2, ; j  E

Đặt (n) = (pj(n), j  E)

- Phân phối ban đầu của hệ là  = (0)

- Qui ước viết (n) = (pj(n), j  E) là vector hàng

 Xn là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

  là phân phối ban đầu

- Sau 3 tháng, có những sinh viên trong 1200 người đang xét sẽ từ 0 chuyển sang 1 và từ 1chuyển sang 0

 0  0 có nghĩa là trước đây không nghiện và nay vẫn không nghiện

 0  1 có nghĩa là trước đây không nghiện và nay bị nghiện

 1  0 có nghĩa là trước đây nghiện và nay không nghiện

 1  1 có nghĩa là trước đây nghiện và nay vẫn nghiện

Các số liệu thu thập được cho trong bảng sau :

 Không gian trạng thái: E = {0, 1}

 Phân phối ban đầu:

Kết luận: trong tương lai đủ xa:

 Tỷ lệ người không nghiện xấp xỉ 92 %

 Tỷ lệ người nghiện xấp xỉ 8 %

- Tính tốc độ hội tụ của Pn để chọn n thích hợp với sai số cho trước Trong trường hợp trên có:

 Sau 3 tháng đầu tiên tỷ lệ người không nghiện và nghiện

(1) = P = (5/6, 1/6)

0,99 0,01 0,12 0,88

(1) = P = (5/6, 1/6)

0,973731 0, 026269 0,315228 0, 684772

- Xích Markov có tính chất ergodic  thỏa mãn các điều kiện:

+ Tồn tại giới hạn j = lim

Ý nghĩa của phân phối dừng:

 Trong tương lai đủ xa phân phối xác suất của xích Markov không thay đổi

Phân phối giới hạn và phân phối ergodic

- Xích Markov có phân phối giới hạn  j = 1, 2, , n tồn tại

- Xích markov có tính ergodic  có phân phối giới hạn sao cho j > 0 j = 1, 2, , n

 (

1 , , , 2 n

- Phân phối dừng có thể không là phân phối giới hạn

Định lý: Nếu tồn tại phân phối giới hạn , thì đó là phân phối dừng duy nhất.







1 2

2.2.2 Phân loại trạng thái xích Markov

1) Các trạng thái liên thông và sự phân lớp

- Trạng thái j đạt được từ trạng thái i nếu tồn tại n  0 sao cho p ij ( ) n  0 (quy

ước p ij (0) 1  nếu i = j và p ij (0) 0  nếu i j ), ký hiệu là i

 j

- Hai trạng thái i và j liên thông  i  j và j  i, ký hiệu là i  j

 là quan hệ tương đương  không gian trạng thái E được chia thành các lớp liên thông

Xích tối giản  E gồm đúng một lớp

- Xích không tối giản  E có ít nhất 2 lớp khác rỗng, rời nhau: E = E1  E2 

 Mỗi lớp có thể xem không gian trạng thái của xích Markov tối giản

 E1, E2, còn gọi là các lớp tối giản

2) Chu kỳ của trạng thái

- Chu kỳ d(i) của trạng thái i là ước chung lớn nhất của các số nguyên n ≥ 1 sao cho

+ Các trạng thái thuộc một lớp có cùng chu kỳ.

- Trạng thái i gọi là không có chu kỳ nếu d(i) = 1

3) Trạng thái hồi qui và trạng thái không hồi qui

- Xét trạng thái cố định i  E

Đặt fij(n) = P{Xn = j, X1 ≠ j, …, Xn-1 ≠ j | X0 = i}, j E

 fij(n) là xác suất để hệ xuất phát từ i lần đầu tiên chuyển sang j tại thời điểm n

 fii(n) là xác suất để hệ xuất phát từ i lần đầu tiên trở về i tại thời điểm n

- Qui ước fij(0) = 0 với mọi i, j

(ii) i →R sao cho với mọi số thực x ta có tập hợp {A j, i hồi quy  j  i và j cũng hồi quy.

(iii) i  j và j hồi quy 

n ij n

4) Xích Markov có hữu hạn trạng thái

(i) (Xn) tối giản có chu kỳ 1 (tức là không có chu kỳ)

(ii) (Xn) tối giản chu kỳ 1 và các trạng thái là hồi quy dương

(iii) (Xn) có tính ergodic, tức là tồn tại các giới hạn

min ij n 0

2.2.3 Ví dụ về áp dụng mô hình Markov

- Ba công ty A, B, C phục vụ cùng một dịch vụ cho 1.000.000 khách hàng

- Trong từng tháng mỗi khách hàng chỉ sử dụng dịch vụ của một công ty nào đó

- Trong tháng đầu tiên số khách hàng sử dụng dịch vụ của mỗi công ty tương ứng là 100.000,300.000 và 600.000

b) Biết rằng, mỗi khách hàng chi phí sử dụng dịch vụ trong 1 tháng là 100.000 đồng Tính sốtiền thu được của mỗi công ty trong một tương lai đủ xa ?

Giải

Kí hiệu 3 công ty A, B, C tương ứng là 1, 2, 3

Đặt X(t) là lượng khách hàng sử dụng dịch vụ tai các công ty tương ứng trong tháng thứ t

 (X(t), t  0) là một xích Markov có mô hình:

 Không gian trạng thái E = {1, 2, 3}

 Phân phối xác suất ban đầu (0) = (0,1; 0,3; 0,6)

 số tiền thu được của công ty A là (14/21)*100 tỷ;

của B là (3/21)*100 tỷ và của C là (4/21)*100 tỷ

§2.3 Quá trình Poisson 2.3.1 Các khái niệm

X có phân phối mũ  X không nhớ.

 Cho X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối mũ với tham

Ví dụ 1: Giả sử thời gian sống trung bình của bóng đèn điện trong phòng là 10 giờ và

có phân phối mũ Một người vào phòng và thấy đèn đang sáng Tính xác suất đểngười đó có thể làm việc 5 giờ liền khi sử dụng bóng đèn trên ?

Giải Gọi X là thời gian sống của bóng đèn Khi đó có E(X) = 10 = 1/ Suy ra  = 0,1.

Vì X không nhớ (không biết đã thắp sáng bao lâu rồi) nên xác suất phải tìm là

Ví dụ 3: (Hàm tốc độ hỏng) Cho X là thời gian sống của một thiết bị nào đó thì có thể

coi X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ f(t) và hàm phân phối F(t) Hàm tốc độ hỏng

Để hiểu ý nghĩa của r(t) ta giả sử X đã vượt quá t, tức là thiết bị đã làm việc được tthời gian rồi) Cần biết xác suất để X ≤ t + t, tức là thiết bị sẽ hỏng trước thời điểm t +

e e

Hàm tốc độ hỏng của phân phối mũ bằng tham số 

2) Phân phối Poisson

Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số  > 0 nếu:

 Luật biến cố hiếm: Cho A là biến cố xảy ra với xác suất p Ký hiệu X là số lần

xuất hiện A trong n lần quan sát.Khi đó X có phân phối nhị thức P(X = k) = Ck

n

pk(1-p)n-k., với k = 0, 1, 2, … Tuy nhiên, với p đủ nhỏ và n đủ lớn thì có thể xấp

xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối Poisson với  = np:

Định nghĩa Cho A là một biến cố Kí hiệu N(t) là số lần biến cố A xuất hiện trong

khoảng thời gian từ 0 đến t (kể cả t) Khi đó, N(t) là một biến ngẫu nhiên và {N(t), t ≥ 0}gọi là quá trình đếm

Các giả thiết quan trọng : Xét quá trình đếm {N(t), t ≥ 0} thỏa mãn các giả thiết

thường gặp trong ứng dụng thực tế sau đây

 Có số gia độc lập, tức là với mọi m = 2, 3, … và với mọi 0 = t0 < t1 < t2 < … < tncác gia số {N(t0, t1}, N{t1, t2}, …, N{tm-1, tm} là các biến ngẫu nhiên độc lập

 Có gia số dừng, tức là với mọi s > 0, 0 ≤ t1 < t2, các gia số N{t1 + s, t2 + s} vàN{t1, t2} là các biến cố ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất

 Tồn tại hằng số  > 0 sao cho với h > 0 đủ nhỏ thì P{N(h) = 1} = h + 0(h)

(iii) Mỗi số gia X(s+t) – X(t) có phân phối Poisson với tham số  t với mọi s ≥ 0, t >

Trong trường hợp cường độ phụ thuộc vào thời gian, tức là  = (t) ta có địnhnghĩa quá trình Poisson không thuần nhất (theo thời gian) Khi đó, X(t) – X(s) có

phân phối Poisson với tham số là ( )

Giải thích ý nghĩa thực tế của quá trình Poisson:

Xét X(t) là số lần gọi tới tổng đài Trên thực tế ta có thể chấp nhận các giả thiếtsau :

a) Xác suất để trong khoảng thời gian với độ dài t có n lần gọi đến tổng đài ( Pn(t)

= P[X(t) = n] ) phụ thuộc vào n và t, nhưng không phụ thuộc vào vị trí củakhoảng này trên trục thời gian Vậy X(t) là quá trình có gia số dừng

b) Số lần gọi đến trong những khoảng thời gian không giao nhau là các biến ngẫu

nhiên độc lập Vậy X(t) là quá trình có gia số độc lập

c) Xác suất để trong khoảng thời gian t khá bé có nhiều hơn 1 lần gọi đến P(X(t) ≥ 2) là vô cùng bé bậc cao hơn t Từ đó có P[X(t)= n] =

( ) ( )

!

n

t n

Ví dụ 4 : Giả sử sự cố hỏng của một đường dây liên lạc tuân theo quá trình Poisson

với cường độ  = 0,1 trên 1 km Tính :

a) Xác suất không có sự cố hỏng trong 2 km đầu ?

b) Xác suất không có sự cố hỏng trong km thứ ba, biết rằng không có sự cố hỏngtrong 2 km đầu

Ví dụ 5: Giả sử số khách đến một cửa hàng tuân theo quá trình Poisson với cường

độ  = 4 người trong 1 giờ Cửa hàng mở cửa lúc 9 giờ sáng Tính xác suất để tới 9giờ 30 có đúng 1 khách hàng đến cửa hàng và cho tới 11 giờ 30 có 5 khách đến cửahàng?

Giải

Ta coi thời điểm t0 = 9 :00 Khi đó xác suất cần tìm là :

P(X(1/2) = 1, X(5/2) = 5) = P(X(1/2) = 1, X(5/2) – X(1/2) = 4)

= P(X(1/2) = 1) P(X(5/2) – X(1/2) = 4) = 2e-2 (512/3)e-8  0,0155

3) Các phân phối liên quan với quá trình điểm Poisson

Ta ký hiệu N(s,t] là biến ngẫu nhiên đếm số lần biến cố A xuất hiện trong khoảngthời gian (s, t] Theo trên và những lý giải trước đây ta có khái niệm quan trọng sau :

Định nghĩa Ta nói rằng { N(s,t], 0 ≤ s < t} là quá trình điểm Poisson với cường độ

(hoặc tham số )  > 0 nếu thoả mãn :

(i) Với mọi m = 2, 3,… và với mọi 0 =t0 < t1 <t2 <…< tm các biến ngẫu nhiên N(t0,t1],

N(t1,t2],…, N(tm-1,tm] là độc lập

Rõ ràng là khi đặt X(0) = 0 và X(t) = N(0,t] thì {X(t), t≥ 0 } là quá trình Poisson vớicường độ  > 0.

Ngược lại, nếu { X(t), t ≥ 0 } là quá trình Poisson với cường độ  > 0 thì{ N(s,t], 0 ≤ s < t} là quá trình điểm Poisson với cường độ  > 0

Thời gian đến (hay thời gian chờ) và thời gian đến trung gian

 Thời gian đến (hay thời gian chờ) thứ n là thời điểm biến cố A xuất hiện lần thứ n (n

= 0, 1, 2,…) Ký hiệu Wn là thời gian đến thứ n  W0 = 0

 Thời gian đến trung gian thứ n là khoảng thời gian tính từ thời diểm biến cố A xảy

ra lần thứ n – 1 đến thời điểm biến cố A xảy ra lần thứ n

Kí hiệu Sn là thời gian đến trung gian thứ n thì Sn = Wn – Wn-1, với n = 0, 1, …, n





( n = 1, 2,…, t ≥ 0)

Đặc biệt w1 có phân phối mũ với mật độ là : fw1(t) = et ( t ≥ 0)

(ii) Các thời gian đến trung gian S1, S2,…, Sn là các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗibiến ngẫu nhiên này có phân phối mũ với hàm mật độ là :