Tìm hiểu cơ học lượng tử tương đối tính (Khóa luận tốt nghiệp)

Phương trình Schrodinger chính là phương trình cho phép ta tìm được hàm sóng của hạt vi mô, cho nên nó giúp ta giải quyết được nhiệm vụ cơ bản của cơ học lượng tử và được gọi là phương t

Tìm hiểu cơ học lượng tử

tương đối tính

(Khóa luận tốt nghiệp)

A - Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Vật lí học cổ điển của thế kỉ XIX có 3 thành phần chủ yếu là cơ học, nhiệt động lực học và điện động lực học “Nó” tự coi mình là đã hoàn toàn đủ khả năng để khảo sát và giải thích mọi hiện tượng của thế giới tự nhiên Nhà vật

lí học Kenvin cho rằng vật lí của thế kỉ XIX không còn cái gì để phát minh nữa

mà chỉ còn nhiệm vụ là cách ứng dụng thật tốt những cái đã phát minh rồi Tư tưởng đó đã dẫn đến cuộc khủng hoảng trong vật lí học đầu thế kỉ XX, khi người

ta thấy có những hiện tượng không thể giải thích được bằng các lí thuyết cổ điển

Lí thuyết lượng tử đã ra đời trong hoàn cảnh đó và trở thành vũ khí sắc bén cho con người tiến công vào thế giới vi mô

Ngày nay một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng nhất của vật

lí học hiện đại là thế giới vi mô, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bé như nguyên

tử, hạt nhân và các hạt cơ bản Cơ học lượng tử chính là cơ sở đầu tiên giúp cho con người đi sâu nghiên cứu, lột tả bản chất vi mô của vật chất

Phương trình Schrodinger chính là phương trình cho phép ta tìm được hàm sóng của hạt vi mô, cho nên nó giúp ta giải quyết được nhiệm vụ cơ bản của cơ học lượng tử và được gọi là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử Khi xây dựng phương trình của mình Schrodinger xuất phát từ vật lí cổ điển là lí thuyết chỉ đúng với những vận tốc nhỏ Đối với những chuyển động có vận tốc lớn gần bằng vận tốc ánh sáng thì vật lí cổ điển không đúng, do đó phương trình Schrodinger không đúng nữa Vấn đề đặt ra là cần phải sửa đổi phương trình Schrodinger theo thuyết tương đối của Einstein là lí thuyết cho những chuyển

động có vận tốc lớn xấp xỉ vận tốc ánh sáng, và lúc này thuộc tính spin của hạt

đã buộc phải chú ý tới

Nhờ những lí do trên đã dẫn tôi đến việc nghiên cứu về cơ học lượng tử tương đối tính Qua việc nghiên cứu này cho ta thấy rõ hơn bức tranh về cấu trúc vi mô của vật chất

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài “tìm hiểu cơ học lượng tử tương đối tính” là tìm hiểu, xây dựng các phương trình cơ học tương đối tính cho hạt vi mô

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng được phương trình sóng tương đối tính đối với hạt có spin không và spin khác không

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các hạt vi mô, chuyển động với vận tốc xấp xỉ vận tốc ánh sáng và xét đến spin của các hạt

5 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là cơ học lượng tử tương đối tính

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật lí lí thuyết và phương pháp toán học

B - Nội dung Chương 1 Phương trình Klein - gordon

1.1 Khái quát cơ học lượng tử tương đối tính

Khi trình bày cơ học lượng tử tương đối tính thông thường người ta thảo luận chuyển động của các hạt tự do không tương tác với nhau đầu tiên, sau đó tiến hành tổng quát hoá, bao gồm thêm sự tương tác giữa chúng ở đây xét các hạt tự do khá dễ dàng và độc lập với các cách được sử dụng để trình bày lí thuyết, khó khăn được xuất hiện ngay sau khi xét thêm sự tương tác của các hạt Có hai loại khó khăn như vậy: khó khăn cũ và khó khăn mới

Khó khăn cũ làm cho các nhà vật lí lo nghĩ khi nghiên cứu cơ học lượng

tử lần đầu tiên, nhưng bây giờ tất cả những khó khăn đó được giảng giải một cách đầy đủ Ngày nay ai cũng biết là có positrôn và electron - positrôn được sinh ra và bị huỷ đi bằng từng cặp khi các electron tương tác với trường điện từ Như vậy chúng ta gặp trở ngại lớn khi tổng quát hoá lí thuyết phương trình một hạt của Schrodinger lên vùng tương đối tính cho nhiều hạt Cần phải tính đến chuyện một hạt biến thành 3 hạt Điều này có nghĩa là thay cho 1 electron ở trạng thái đầu chúng ta sẽ có electron và cặp electron - positrôn ở trạng thái cuối

Mật độ xác suất tìm thấy hạt và mật độ dòng xác suất này cần phải xác

định và giải thích theo cách khác, vì bây giờ cần phải kể đến sự sinh và huỷ cặp

Số hạt electron bây giờ không phải là hằng số và tích phân chuyển động nữa, nhưng điện tích vẫn còn bảo toàn như cũ cho nên phương trình liên tục bây giờ cần phải viết cho mật độ điện tích và mật độ dòng điện tích Các đại lượng này tương đương với mật độ xác suất tìm thấy hạt và mật độ dòng xác suất cho hệ các electron trong cơ học lượng tử phi tương đối tính Song, trong trường hợp tương

đối tính cũng có ý nghĩa khác đi Ngoài ra, mật độ điện tích sẽ không còn là đại lượng xác định nào nữa bởi vì các hệ đang xét bây giờ có thể chứa cả các electron cũng như các hạt positrôn

Khi phương trình Klein-Gordon và phương trình Dirac lần đầu tiên được thiết lập, positrôn còn chưa được phát hiện (sự tồn tại của nó được Dirac tiên

đoán bằng lí thuyết) và khái niệm “phản hạt” còn chưa được phát triển Những khó khăn cũ thực chất liên quan đến những khó khăn mô tả trong lí thuyết tương

đối tính của thế giới giả thuyết không có positrôn, không có phản hạt, không có

tử ngoại) Những phân kì tử ngoại như vậy xuất hiện mọi nơi trong lí thuyết trường lượng tử, khi chúng ta xem xét các đóng góp vào các đại lượng vật lí quan sát được ở vùng xung lượng lớn

Có thể cho rằng những phân kì này là không vật lí vì electron không phải

là “điểm” mà nó có kích thước hữu hạn ở đây người ta đã đưa vào các hệ số dạng nhằm giảm các đóng góp phân kì từ vùng xung lượng truyền lớn Song chưa

có thực nghiệm nào chứng tỏ là electron có kích thước hữu hạn Do đó khó khăn này vẫn chưa được giải quyết thoả đáng, trừ điện động lực học lượng tử Trong

điện động lực học lượng tử các tích phân phân kì được khử bằng việc tái chuẩn hoá lại khối lượng, điện tích của electron

Cơ học lượng tử tương đối tính là lí thuyết trường lượng tử của các hạt cơ bản Nó phải là lí thuyết toán học hoàn chỉnh của các hiện tượng sinh huỷ và sự biến đổi lẫn nhau của các hạt tương đối tính Chính vì vậy công cụ toán học của

nó phải là sự kết hợp được các khái niệm của lí thuyết tương đối tính và các khái niệm của lí thuyết lượng tử

Trước đây trong cơ học lượng tử phi tương đối tính trạng thái của hạt

được mô tả bằng phương trình Schrodinger:

( )

2 2( , )

, ( , ) 2

Biến đổi phương trình (*) về phương trình bậc hai theo đạo hàm của thời gian t và các toạ độ không gian x, y, z ta có phương trình mới gọi là phương trình Klein-Gordon Biến đổi phương trình (*) về phương trình bậc nhất theo các toạ

độ thời gian t và không gian x, y, z ta có phương trình mới gọi là phương trình Dirac

1.2. Phương trình sóng tương đối tính đối với hạt có spin không

Trước hết chúng ta sẽ thiết lập phương trình Schrodinger cho một hạt tự

do Xuất phát từ biểu thức cổ điển của Hamiltơn cho hạt tự do:

2

2

p H

(1) 2

Nó không bất biến đối với phép biến đổi Lorentz.Theo thuyết tương đối, các phương trình phải có dạng sao cho các toạ độ không- thời gian tham gia trong các phương trình bình đẳng với nhau, cụ thể là ba toạ độ không gian x= x1, y=

x2, z = x3 và toạ độ thứ tư x4=ict đều là bậc nhất Trong khi đó phương trình (1) chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian và đạo hàm bậc hai theo các toạ độ không gian

Để thu được phương trình lượng tử tương đối tính cho hạt tự do, ta quan tâm đến hệ thức lượng tương đối tính-là hệ thức liên hệ giữa năng lượng toàn phần với xung lượng và khối lượng tĩnh của hạt trong trường hợp hạt chuyển

động với vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng:

2 2 2 2 4

H = c p + m c (2) Với p là xung lượng của hạt

Phương trình này gọi là phương trình Klein-Gordon, được thiết lập từ năm

1926 Trong phương trình này các toạ độ không gian và thời gian tham gia vào bình đẳng với nhau đều là các đạo hàm bậc hai Phương trình Klein-Gordon là bất biến tương đối tính

Trong giới hạn phi tương đối tính khi coi vận tốc ánh sáng là vô cùng lớn

so với vận tốc của hạt, phương trình Klein-Gordon lại chuyển thành phương trình Schrodinger Thật vậy bởi vì giữa lí thuyết tương đối và lí thuyết phi tương đối,

gốc tính năng lượng khác nhau mc2 nên ta sử dụng biến đổi unita:

nhỏ so với năng lượng tĩnh nghĩa là trong hệ thức: 2

' 2

đặc trưng bởi ϕ và A
Toán tử Hamiltơn trong trường hợp không tương đối tính

Trong biểu thức tương đối tính với năng lượng:

Hàm sóng ψ ( , ) r t
mô tả trạng thái phụ thuộc vào 3 toạ độ và thời gian

mà không chứa biến số spin Do đó rõ ràng rằng phương trình Klein-Gordon xác

định bản chất của hạt spin không

1.3 Mật độ diện tích và mật độ dòng xác suất đối với hạt spin không

Cách tìm mật độ điện tích và mật độ dòng xác suất đối với hạt được mô tả bằng phương trình sóng (9) giống như đã tiến hành đối với phương trình

Schrodinger

Ta nhân phương trình Klein-Gondon (9) với hàm sóng liên hợp phức *

ψ

Ta lại nhân phương trình sóng liên hợp phức với phương trình (9) cho hàm sóng

ψ Sau đó trừ phương trình thứ 2 cho phương trình thứ 1, chuyển vế, ta có:

= div( grad ) grad grad

div( grad ) grad grad

2

grad grad 2

Trong lí thuyết không tương đối, mật độ điện tích ρecó thể viết dưới dạng:

điểm ban đầu có thể cho bất kì Nếu chọn ψ và

Nếu đại lượng 2

'

E ư e ϕ << mc thì ta có biểu thức không tương đối cần tìm của ρ

Phương trình Klein-Gordon không thể rút mật độ xác suất xác định dương

Đó là nguyên nhân của việc trong thời gian dài, phương trình này không được ứng dụng vào thực tế Về sau lí thuyết lượng tử về trường khắc phục được khó khăn này

Hàm sóng trong phương trình Klein-Gordon chỉ có một thành phần, nó là một vô hướng Nếu hàm sóng có một số thành phần thì hạt mô tả bởi hàm sóng

đó, ngoài bậc tự do liên quan đến sự dịch chuyển của hạt còn có những bậc tự do nội tại Bậc tự do nội tại này có thể là spin của hạt Hàm sóng trong phương trình Klein-Gordon có một bậc tự do, điều đó có nghĩa là hạt mô tả bởi phương trình này không có các bậc tự do nội tại hay nói cách khác không có spin Vì spin của electron bằng 1/2 nên phương trình Klein-Gordon không ứng dụng được cho các electron, nhưng có thể ứng dụng được cho các π- mezon là các hạt có spin bằng không

Chương 2 Phương trình Dirac

2.1 Thiết lập phương trỡnh Dirac

Phương trình Klein - Gordon gặp khó khăn về mật độ xác suất âm và không mô tả được các hạt có spin 1/2 Điều đó đòi hỏi phải tìm một phương trình khác có thể ứng dụng được cho electron Dirac đã giải quyết được vấn đề này Để khắc phục khó khăn do mật độ xác suất ρe âm, cần phải tách các đạo hàm theo thời gian trong biểu thức của ρe Như vậy bản thân hàm sóng chỉ được chứa đạo hàm bậc nhất theo thời gian

Do yêu cầu của thuyết tương đối, thì cả các đạo hàm theo các toạ độ không gian trong phương trình cũng phải là bậc nhất Mặt khác, nguyên lí chồng chất các trạng thái cũng đòi hỏi phương trình phải là tuyến tính Do đó, phương trình sóng cần tìm phải là một phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất theo thời gian và theo các toạ độ không gian Phương trình Dirac mô tả các hạt có vận tốc lớn so sánh được với vận tốc ánh sáng và có spin 1/2

Trên những cơ sở nhận định như vậy, Dirac đã đưa ra phương trình sau để mô tả chuyển động của 1 hạt tự do:

tử này sẽ được xác định sau Đưa vào kí hiệu:

Về hình thức phương trình này giống phương trình Schrodinger, nhưng ở

đây H ˆ được xác định bằng (21) Nếu giả thiết rằng toán tửH ˆ thực sự là toán tử Hamiltơn, thì theo thuyết tương đối ta có:

ở đây i, k lấy các giá trị x, y, z

Thay cho toán tử β ˆi, thường người ta đưa vào các toán tử α ˆi được xác

định như sau:

Dựa vào tính chất của định thức ma trận tích:

det α βx = det αxdet β

Từ các quy tắc giao hoán,suy ra:

ma trận hạng hai độc lập tuyến tính gồm 3 ma trận Pauli và ma trân đơn vị Ma trận đơn vị giao hoán với cả 3 ma trận Pauli, do đó không thoả mãn các điều kiện phản giao hoán(26)

Trong trường hợp n=4 ta có thể xây dựng được các ma trận với các tính chất đòi hỏi trong các bài toán cụ thể Với những nhận định như vậy Dirac đưa ra các ma trận hạng 4 dưới đây cho các toán tử α ˆx , α α ˆy, ˆz và ˆβ:

Sử dụng các ma trận Pauli, ta có thể viết các ma trận (31) dưới dạng gọn hơn:

0 0

x x

x

δ α

y y

y

δ α

z z

z

δ α

Dễ dàng kiểm nghiệm lại được 4 ma trận trên thoả mãn các yêu cầu đã đưa

ra Chẳng hạn lấy chuyển vị và liên hợp phức của các ma trận αi và β,ta lại thu

được chính các ma trận đó.Điều này thể hiện tính chất ecmit của αi vàβ :

Chấp nhận dạng ma trận hạng bốn cho các toán tử α α ˆx, ˆy , α ˆzvà ˆβ, ta phải viết hàm sóng ψ dưới dạng bốn thành phần Chỉ trong trường hợp này, khi tác động các ma trận lên hàm sóng ta mới thu được 4 phương trình chứa 4 hàm thành phần Hàm ψ có 4 thành phần viết dưới dạng ma trận cột:

1 2 3 4

ψ ψ ψ

ψ ψ

Mở rộng phương trình Dirac sang trường hợp hạt điện chuyển động trong

trường điện từ Muốn vậy thay toán tử ˆp bằng ˆ p e A

c

ư



và thêm toán tử eϕ vào toán tử ˆH , trong đó A
và ϕ là các thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ

ta thu được phương trình Dirac cho hạt điện trong trường điện từ:

Nh− vËy còng nh− trong lÝ thuyÕt schrodinger, hµm sãng cã ý nghÜa x¸c suÊt th«ng th−êng Tõ tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh cña ph−¬ng tr×nh Dirac vµ viÖc gi¶i

thích xác suất thông thường của hàm sóng ψ như lí thuyết schrodinger, ta rút ra kết luận là các luận điểm cơ bản của cơ học lượng tử vẫn còn hiệu lực, cụ thể:

- Đại lượng 2

( )

m

C t là xác suất đo giá trị riêng của một đại lượng L Trong

đó C t m( )là hệ số phân tích của hàm ψ theo hàm riêng ψm của một toán tử biểu diễn đại lượng L:

Như vậy toàn bộ sơ đồ xây dựng môn cơ học lượng tử vẫn còn hiệu lực

2.3 Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt tự do

Phương trình Dirac đối với hạt tự do:

Eu = c p α + mc β u




(43)

Ta viết u dưới dạng:

1 2 3 4

=  

 ;

3 4

δ δ

2 2 2 2 4

E = c p + m c

Năng lượng của hạt có thể nhận các giá trị cả âm lẫn dương Trong cơ học

cổ điển, tất cả các biến số thay đổi liên tục nên hạt chỉ có hoặc năng lượng âm hoặc năng lượng dương Vùng năng lượng có chiều rộng 2mc2 là bị cấm

Trong cơ học lượng tử tương đối tính ta thừa nhận cả dấu âm và dương của năng lượng Khi đó ta có thể giải được hệ phương trình đồng nhất (45) với w hoặc w’ là tuỳ ý:

Nếu w là tuỳ ý, ta có:

2

c '




(48) Nếu w’ là tuỳ ý:

c

' c

có dạng:

2

cp A u

c

c

E m D F

Trong đó A, B, D, E là những hằng số bất kì Các hàm số w và w’ được gọi

là các spinơ còn các hàm sóng 4 thành phần u và v được gọi là các BispinơDirac Nếu chuyển sang giới hạn phi tương đối tính, nghĩa là đặt E ~ mc2 thì từ (48) có:

2

c '

D F

=  

 

0 ' 1

1 0cpc 0

0 cp c 0 1

Ta cần nghiên cứu tính chất tính chất đầy đủ của hệ nghiệm vừa nhận

được Nghiệm tổng quát của phương trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do có thể viết dưới dạng chồng chất của các hàm sóng (50) nghĩa là dưới dạng tích phân Fourier:

( ) ( )

p p p

p p

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

Vậy đối với hạt tự do, ta có:

2 2 2 4

Theo quan điểm cơ học cổ điển năng lượng âm của hạt tự do không có ý nghĩa vật lý Trong cơ học lượng tử, hai lớp trang thái này không còn bị phân chia bởi hàng rào thế không truyền qua được Các phép chuyển có bước nhảy từ trạng thái có năng lượng dương sang trạng thái có năng lượng âm là khả dĩ

2.4 Các trạng thái với năng lượng âm Lý thuyết lỗ Dirac

Khi giải bài toán về chuyển động của một hạt tự do, chúng ta nhận thấy rằng phương trình Dirac chấp nhận các nghiệm tương ứng với các giá trị năng lượng dương và năng lượng âm Thực ra, các nghiệm với năng lượng âm không phải là một đặc trưng riêng của lí thuyết Dirac - Chúng xuất hiện trong mọi lý thuyết tương đối tính bất kì, kể cả lí thuyết tương đối tính cổ điển Cụ thể, trong cơ học tương đối tính, năng lượng E của 1 hạt tự do được xác định bằng hệ thức:

E = p c + m c