Dao động tắt dần trong cơ học và điện học (Khóa luận tốt nghiệp Đại học)

Trong vật lý mảng kiến thức về dao động được nghiên cứu khá nhiều thời gian như trong chương trình vật lý phổ thông hay trong đại học.Việc nghiên cứu về dao dộng cho ta nhiều kiến thức k

Dao động tắt dần trong cơ

học và điện học

(Khúa luận tốt nghiệp ðại học)

Phần 1: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong vật lý mảng kiến thức về dao động được nghiên cứu khá nhiều thời gian như trong chương trình vật lý phổ thông hay trong đại học.Việc nghiên cứu

về dao dộng cho ta nhiều kiến thức khá gần gũi với thực tế qua đó đưa ra được nhiều ứng dụng thành công lớn lao trong khoa học kĩ thuật và cuộc sống

Trong dao động cơ, dao động tắt dần là một trường hợp đơn giản nhất và

được nghiên cứu nhiều để ứng dụng Nhưng chúng ta đều biết rằng một hệ dao

động sẽ bị tắt dần theo thời gian Để tạo dao động điều hoà người ta phải nghiên cứu về dao động tự do tắt dần và các đặc trưng của nó, từ đó mới có thể đưa ra các phương án tạo dao động điều hoà

Trong dao động điện Những ứng dụng của dao động điện - từ ngày nay trở nên đặc biệt quan trọng trong đời sống, khoa học và công nghệ Nhưng vẫn theo một quy luật thường nhất là nếu cứ để một mạch tự dao động điện thông thường thì sẽ bị dập tắt nhanh theo thời gian Các dao động điều hoà ổn định thì mới có ứng dụng nhiều Người ta đã nghiên cứu nhiều về dao động điện tắt dần tự do để nắm được các đặc trưng cơ bản nhất, rồi mới đưa ra các phương án can thiệp để tạo ra các dao động như ý muốn

Nghiên cứu dao động cơ và dao động điện tự do ta thấy có nhiều điều tương đồng giống nhau Xuất phát từ tầm quan trọng của việc nghiên cứu dao

động tự do Đồng thời với khả năng và sở thích của bản thân, cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy giáo - GV Hà Thanh Hùng nên em chọn đề tài “Dao động tắt dần trong cơ học và điện học” để làm khoá luận tốt nghiệp cho bản thân Với

đề tài nghiên cứu này em mong muốn làm sáng tỏ hơn về dao động tự do tắt dần

điện, cơ và dao động cưỡng bức Đóng góp một phần nhỏ vào việc nghiên cứu đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được dao động cơ tắt dần và dao động điện tắt dần về nguyên nhân và các đặc trưng cơ bản

Thấy được sự tương đồng giữa dao động cơ và dao động điện

Củng cố và bồi dưỡng việc sử dụng phương tiện toán học mà đặc biệt là phương trình vi phân khi giải quyết các bài toán về dao động

3.Đối tượng nghiên cứu

Dao động cơ tắt dần, dao động điện tắt dần

Các bài toán cơ bản trong đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu

Điều tra, tra cứu tài liệu

So sánh, tổng hợp kiến thức

Tổng hợp bài tập

Giải bài tập

5 ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Cơ sở toán học 1.1Số phức

1.1.1 Định nghĩa và biểu diễn số phức

Định nghĩa

Đơn vị số ảo i: i= ư 1 tức là i2 = ư 1 (1.1)

Số phức z: z=a+ib (1.2) Phần thực của z: Rez = a

Phần ảo của z: Im = b

Có mối liên hệ giữa phần thực a và phần ảo b với mô đun ρ acguymen z như sau:







=

=

ϕ ρ

ϕ ρ

sin

cos

b

a

hoặc











=

+

=

a

b tg

b a

ϕ

- Biểu diễn số phức theo mô đun và acguymen:

) sin (cos ϕ ϕ

- Biểu diễn số phức dưới dạng luỹ thừa của e:

Số phức z = a + ib được biểu diễn bởi

ϕ

ρ i

e

z= trong đó











=

+

=

a

b tg

b a

ϕ

(1.4)

y

b M

ρ

ϕ

0 a x

Hình 1.1

- Biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức:

Trục hoành ox là trục thực

Trục tung oy là trục ảo

Quy ước: Số phức z = a + ib được biểu diễn bởi véc tơ OM có toạ độ (a,b)

ρ:là độ dài OM gọi là mô đun của

z Kí hiệu là z

ϕ: góc (ox, OM ) gọi là acguymen của z Kí hiệu là: acgz

1.1.2Các phép toán về số phức:

Cho hai số phức:

1 1 1

1 1 1

e i

ib a

2 2 2

2 2 2

e i

ib a

- Cộng số phức:

Tổng hai số phức z1, z2 là một số phức z:

z= z1+z2 = (a1+a2) +i(b1+b2) = ( ρ1cos ϕ1 + ρ2cos ϕ2) +i( ρ1sin ϕ1+ ρ2sin ϕ2) (1.5)

- Tích hai số phức:

Tích hai số phức z1 ,z2 là một số phức z:

z= z1z2 = (a1 +ib1)(a2 +ib2) = (a1a2 ưb1b2) +i(a1b2 ưb1a2)

= ρ1ρ2[cos( ϕ1 + ϕ2) +isin( ϕ1+ ϕ2)]

2 1

2

1 ϕ ϕ

ρ

e (1.6)

- Luỹ thừa và căn số:

) sin (cos ϕ ϕ ρ ϕ π

e i

ib a

( ρ (ϕ 2ϕ)) ρ ( ϕ 2 π) ρ (cos ϕ sin ϕ )

n i n e

e

z n = i +k n = n i n + kn = n + (1.7)

k i n n

n

e n

k i

n

k e

z

π ϕ

ϕ ρ ϕ π ϕ π ρ ρ

2 )

2

sin

2 cos

+ +

=











+

+

=

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai là phương trình

có dạng:

y′′ +a(x)y′ +b(x)y = 0 (1.9) Trong đó a (x)và b (x) là những hàm cho trước và liên tục trong khoảng (a,b)

Định lí1 Nếu y1 và y2 là hai nghiệm riêng của phương trình (1.9)

y′′ +a(x)y′ +b(x)y = 0

Thì C1y1 + C2y2 trong đó C1 và C2 là những hằng số nào đó cũng là nghiệm của (1.9) Định nghĩa2 Hai hàm số ϕ1(x), ϕ2(x) cùng xác định trong khoảng (a,b) được gọi

là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hai số α1, α2 không đồng thời bằng 0 sao cho

α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) ≡ 0 (1.10) trong khoảng (a,b)

Ngược lại nếu đồng nhất thức (1.10) chỉ sảy ra khi α1 = α2 = 0 thì ta bảo ϕ1(x), ϕ2(x)

là độc lập tuyến tính trong (a,b)

Định nghĩa 3 Nếu y1(x),y2(x)là các hàm số khả vi trong khoảng (a,b) thì định thức:

[ ]

2 2 1

1 2

1 ,

y

y y

y y y W

′

′

= =y1y2 ′ ư y1 ′y2 (1.11)

được gọi là định thức Vronxki của các hàm số ấy

Định lí 2 Nếu các hàm số y1(x),y2(x) phụ thuộc tuyến tính trên (a,b), thì định thức Vronxki của chúng đồng nhất bằng 0 trong khoảng ấy

Định lí 3 Nếu các nghiệm y1(x),y2(x) của phương trình (1.9) là độc lập tuyến tính trong khoảng (a,b) thì định thức Vronxki W[y1, y2] của chúng không triệt tiêu tại bất kì điểm nào của khoảng ấy

Định lí 4(định lí cơ bản).Nếu y1(x),y2(x) là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.9) thì:

y=C1y1(x) +C2y2(x) (1.12) Trong đó C1, C2 là những hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của (1.9)

Định lí 5 Nếu y1 y2 là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.9) thì

ư

x o

dx x a

Ce y

y W x W

) ( 2

Định lí 6 Nếu đã biết một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai thì nghiệm tổng quát của phương trình này ddược tìm bằng phép cầu

phương

Giả sử y1 là một nghiệm riêng của phương trình (1.9) khi đó bằng phép cầu phương ta tìm được nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với y1:

dx y

e y y

dx x a

=

ư 2 1

) ( 1

Định lí 7 Nếu y =u(x) +iv(x) (trong đó u(x),v(x) là những hàm số thực) là nghiệm của phương trình (1.9) Thì các hàm số u(x),v(x) cũng là nghiệm của phương trình ấy

1.2.2 Phương trinh vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai

Xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

) ( ) ( ) (x y b x y f x a

Trong đó a(x),b(x), f(x) là những hàm số liên tục trong khoảng (a,b) Phương trình thuần nhất tương ứng của (1.15) là:

0

) ( )

+

′′ a y b y

Định lí 8 Tổng của nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (1.15) là nghiệm tổng quát của phương trình (1.15)

1.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số

Phương trính vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số có dạng

yɺ + ɺp y+qy = f (x) (1.17) Trong đó f (x)là hàm số liên tục trong khoảng (a,b) p,q là những hằng số thực

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng là

Phương trình đặc trưng của (1.17) và (1.18) là:

Đó là một phương trình đại số bậc hai Biệt thức ∆ = p2 ư 4q

TH1 ∆ = p2 ư 4q >0 ⇒ phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt

TH2 ∆ = p2 ư 4q <0 ⇒ phương trình đặc trưng có hai nghiệm ảo

TH3 ∆ = p2 ư 4q =0 ⇒ phương trình đặc trưng có nghiệm kép

1.2.3.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất khi ∆′ > 0

Nghiệm có dạng y = C1y1+C2y2 với y1,y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.18); C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý

Tìm nghiệm riêng: nếu ∆′ > 0 thì phương trình đặc trưng (1.19) có hai nghiệm thực phân biệt r1,r2 thì khi đó:

e

1 = và r x

e

là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (1.18)

Thật vậy r x

e r

1

1 =

ɺ ; r x

e r

y 2 1

1

ɺ Thay vào (1.18) ta được:

1 2

qe e pr e

r

hay e r1x(r12 + pr1+q)= 0

Vì r1 là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.19) nên r1 + pr1 + q = 0 Vậy (1.19)

được nghiệm đúng

⇒ nghiệm tổng quát của (1.19) sẽ là :

e C e C

2

1.2.3.2 Nghiệm của phương trình thuần nhất khi ∆′ < 0

Khi ∆′ < 0 (1.19) có hai nghiệm phức

2

2 , 1

∆

±

ư

= p

ta có thể thử lại rằng: y e( α iβ )x eαx( βx i βx)

sin cos

2 ,

1 = ± = ± là hai nghiệm riêng của phương trình (1.18)

Nghiệm tổng quát của (1.18) có dạng: y = C1y1+C2y2

⇒ y =e ex[C1(cos βx+isin βx)+C2(cos βx+isin βx) ]

=e ex(D1cos βx+D2sinx)

với







+

=

+

=

2 1 2

1 1 1

C C i D

C C D

⇒ D1,D2 là hai số bất kì, α , β là hai số thực

Nếu đặt D1 = A0sin ϕ và D2 = A0cos ϕ trong đó A,ϕ là hằng số

⇒ y =e ex A0sin(βx+ ϕ) (1.21) Trường hợp đặc biệt nếu (1.18) có dạng :

yɺ+ ω2y= 0 (khi p = 0) (1.22) Khi đó α = 0 ⇒ nghiệm của (1.22) có dạng:

y= A0sin(ωx+ ϕ) (1.23) 1.2.3.3 Nghiệm của phương trình thuần nhất khi ∆ = 0

Khi ∆ = 0 ⇒ phương trình đặc trưng có một nghiệm kép: r1 = r2 =

2

p

ư

Ta tìm được một nghiệm riêng là: r x

e

Trong trường hợp này, ta có thể thử lại rằng nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm riêng thứ nhất có dạng: r x

xe

Thật vậy, ta có : r x r x

xe r e

1

xe r xe r

1 2

1

Thay vào (1.18) ta được

( ) 2 (r12xe r1x + r1e r1x + p e r1x +r1e r1x +qxe r1x =xe r1x r12 + pr1+q +e r1x r1 + p = vì







= +

= + + 0 2

0

1 1 2 1

r p

q r p r

Vậy r x

xe

2 = là nghiệm riêng của(1.18) khi ∆ = 0

⇒ Nghiệm tổng quát của (1.18) khi ∆ = 0 là:

e x C C y C y C

y= 1 1+ 2 2 = ( 1+ 2 ) 1 (1.24) 1.2.3.4 Nghiệm của phương trình thuần nhất khi có vế phải

Theo định lí 8 (Tổng của nghiệm tổng quát của phương trình (1.18) với một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (1.17) là nghiệm tổng quát của phương trình (1.17)

Chương 2: Dao động tắt dần 2.1Sơ lược về dao động tắt dần

Một con lắc đung đưa một cách khó khăn trong nước vì nước tác dụng một lực cản lên con lắc làm cho chuyển động của nó nhanh chóng bị khử Con lắc

đung đưa trong không khí tốt hơn nhưng chuyển động vẫn bị tắt dần vì không khí vẫn tác dụng một lực cản vào con lắc

Trên thực tế các hệ dao động thực bao giờ cũng có sư tiêu tán năng lượng (hoặc chuyển từ dạng khác sang nhiệt) và dao động của nó bị tắt dần

Sự yếu dần của dao động theo thời gian gây ra sự mất mát năng lượng của hệ dao động được gọi là sự tắt dần của dao động

Sự yếu dần của dao động cơ tự do gây ra do ma sát, lực cản của môi trường hoặc do tạo thành sóng trong môi trường

Sự tắt dần của dao động điện gây ra do mạch điện có điện trở (chuyển năng lượng thành nhiệt) Do bức xạ sóng điện từ bởi điện tích dao động, do từ trễ 2.2 Phương trình vi phân của dao động tắt dần

2.2.1Đối với dao động tự do

Xét một con lắc lò xo khối lượng m chuyển động trong môi trường nhớt dọc theo trục ox Các lực tác dụng nên nó là:

Lực đàn hồi của lò xo : F dh = ưkx

Lực cản<lực ma sát nhớt > : F n = ư ηv (Trong đó η:hệ số ma sát nhớt) Phương trình định luật hai:

0 2

0

2

0 = + +

⇔

= +

+

⇔

ư

ư

=

x x x

x m

k x m x

kx x x m

ω ε

η η

ɺ ɺ

ɺ ɺ

ɺ ɺ

(2.1)

Trong đó: ε = η / 2m; ωo = k/m

Đây là phương trình vi phân (động lực học) của chuyển động của con lắc lò

xo trong môi trường nhớt

2.2.2 Đối với dao động điện

Xét một mạch dao động có tụ điện c và cuộn dây L và gọi R là điện trở thuần của đoan mạch

Ta quy ước điện tích của tụ điện là

dương nếu tụ điện được tích điện như hìnhvẽ Dòng điện i có chiều dương nếu thuận với chiều dòng tích điên của

tụ điện

+ c –

R

L

Trong mạch có hai độ giảm điện thế :

RI trên điện trở, và U trên hai bản của tụ điện

Suất điện động trong mạch chính là suất điện động tự cảm : ưL.di/dt

Với kích thước của mạch nhỏ ta có thể áp dụng định luật kiếc sốp

dt

di L U

RI+ = ư

Thay

c

q

U = và

dt

dq

i= vào phương trình trên ta được

+ + = 0

c

q q R q

hay + + 1 = 0

LC

q L

R

đặt

L

R

2

=

ε và

LC

1

2

ω

⇒qɺ + 2 εqɺ + ω02 = 0 (2.2) (2.2) chính là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai diễn tả sự biến thiên của q theo t

Từ (2.1) và (2.2) ta thấy ràng quá trình chuyển động của con lắc lò xo trong môi trường có ma sát nhớt và quá trình biến đổi của điện tích q trong mạch RLC tuân theo cùng một phương trình vi phân có dạng (1.1)

2.3 Dao động tắt dần phụ thuộc lực cản, các đại lương đặc trưng

Xét phương trình (2.1) của dao động cơ tắt dần

xɺ + 2 εxɺ + ω02x= 0

Ta sẽ giải phương trình này theo cơ sở toán học(1.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số)

Phương trình đặc trưng của(2.1) là:

r2 + 2 εr+ ω02 = 0 (2.3) Biệt thức denta : 2

0 2

ω

ε ư

=

∆′

TH1: ∆′< 0

m

k m

2

2 0 2

<

⇔

<

<

⇔

<

ε

Ta có dao động tắt dần với ma sát nhỏ.(2.3) có hai nghiệm phức:

2 , 1

ω

TH2: ∆′>0

⇒ mk

m

k m

2

2 0 2

>

⇔

>

>

⇔

>

ε

Ta có dao động tắt dần với ma sát lớn.(2.3) có hai nghiệm thực:

ω

TH3: ∆′=0

m

k m

2

2 0 2

=

⇔

=

=

⇔

=

ε

Ta có dao động tắt dần tới hạn.(2.3) có nghiệm kép:

ε

ư

=

= 2

r

2.3.1 Dao động tắt dần với ma sát nhỏ các đại lương đặc trưng

Như đã nói ở trên khi ε < ω 0 tức η < 2 mk thì biệt thức ∆′ của (2.3) có giá

trị âm ⇒(2.3) có hai nghiệm phức

r1=- 2 2

ω

r2=- 2 2

ω

Theo(1.2.3.2 Nghiệm của phương trình thuần nhất khi ∆′ < 0) cơ sở toán học thì

nghiệm tổng quát của (2.1) có dạng (1.20)

) sin(

ε +

=eư A t

x t (2.4) Trong đóA0 là một hằng sồ bất kì

Một cách thô sơ ta có thể hiểu (2.4) như sau: coi x biến đổi theo thời gian

theo qui luật dạng sin với biên độ A= A0eư εt giảm theo thời gian theo quy luật

hàm mũ âm Đường biểu diễn x(t)

x

o t0 t0+T t0+2T

t

Hình 2.2

Dao động tắt dần biểu diễn bởi (2.4) không phải là tuần hoàn vì các giá trị cực đại của x cứ giảm dần Giá trị sau nhỏ hơn giá trị trước Người ta gọi đó là quá trình giả tuần hoàn hay quá trình tắt yếu

Tuy vậy nếu xét ở thời điểm t0 lúc x(to) =0 và đang giảm Thì thấy rằng vào thời điểm t=to+T với T =2π/ω thì x(t0+T)=0 và cũng đang giảm

Đoạn đường biểu diễn x(t) trong khoảng thời gian từ t0→t0+T cứ được lặp lại mãi về dạng trong các khoảng thời gian tiếp theo Như hình 2.2.

Đại lượng 2 2

ω

ω = ư được gọi là tần số góc (quy ước) Giá trịω này đặc trưng cho hệ dao động mà ta đang xét và được gọi là tần số góc của dao động tự

do, hay tần số góc riêng của dao động khi có ma sát

Đại lượng A t

e A

t) = 0 ưε ( được gọi là biên độ của dao động tắt dần Biên độ này cũng mang ý nghĩa quy ước như chu kì và tần số Vì thực ra A(t) không phải

là giá trị cực đại của x Nó chỉ trùng với x khi sin(ωt+ ϕ) đạt giá trị cực đại và bằng đơn vị

Biên độ A(t) giảm càng nhanh theo thời gian nếu hệ sốε ở hàm mũ càng lớn.Vì thế: ε = η / 2m được gọi là hệ số tắt dần

Khoảng thời gian τ mà sau đó biên độ của dao động tắt dần giảm đi e lần

được gọi là thời gian luỹ giảm

ε

1 Để đặc trưng cho mức độ giảm nhanh hay chậm của biên độ của dao động tắt dần, người ta còn dùng khái niệm giảm loga của sự tắt dần

Giảm lượng loga của dao động tắt dần là đại lượng không thứ nguyên δ bằng logarit tự nhiên của tỉ số biên độ tắt dần tại các thời điểm t và t+ T

δ =

) (

) ( ln

T t A

t A

+ =

N

T

T = = 1

τ

ε (2.5) Với N là số dao động được thưc hiện trong thời gian biên độ dao động giảm đi e lần

Hệ số phẩm chất của hệ dao động là đại lượng không thư nguyên Q bằng tích của 2π với tỉ số của năng lượng E(t) của hệ dao động ở thời điểm t bất kì và

độ giảm năng lượng này sau một chu kì quy ước

Q=2

) ( ) (

) (

T t E t E

t E

+

ư

) ( ) (

) (

2

T t A t A

t A

+

ư

1

2

ư

ư e (2.6) Khi ma sát nhỏ, dao động của hệ tắt dần chậm thì δ << 1 Khi đó

ư ư 2 δ ≈

1 e 1-(1-2δ) = 2δ ⇒Q

δ π

≈