Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông chuyên nhằm phát triển tư duy sáng tạo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ ĐỨC THỊNH XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ TỔ HỢP TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO LUẬN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ ĐỨC THỊNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ TỔ HỢP TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN

NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Anh Vinh

HÀ NỘI – 2013

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 3.1 Nhận xét của học sinh lớp thực nghiệm về bài giảng… … 76 Bảng 3.2 Mức độ hứng thú của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối

Bảng 3.3 Kết quả ba bài kiểm tra của 48 em học sinh ở hai lớp…… 79

DANH MỤC CÁC HÌNH

Trang

Hình 2.1 Tô bàn cờ bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng…… ……… 22

Hình 2.2 Tô màu bảng 5 5 bằng 3 màu 1, 2, 3……… ……… 23

Hình 2.3 Cách lát bằng 8 miếng lát 1 3 trừ ra ô chính giữa………… 23

Hình 2.4 Tô lại bàn cờ 6 6 bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng…… … 24

Hình 2.5 Tô màu bàn cờ 4 n ……… … 27

Hình 2.6 Tô màu các điểm nguyên của S3……… …… 28

Hình 2.7 Hai dạng miếng lát……… ……… 32

Hình 2.8 Tô màu bảng 2k2k……… 35

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……… ……… i

Danh mục các bảng……… ……… ii

Danh mục các hình vẽ……… ……… iii

Mục lục……… ……… iv

MỞ ĐẦU……… ……… 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……… …… 5

1.1 Tổ hợp và vai trò trong chương trình chuyên toán……… 5

1.1.1 Tổ hợp……… ……… 5

1.1.2 Vai trò của Tổ hợp trong chương trình chuyên toán…… ……… 5

1.1.3 Một số dạng bài tập và phương pháp trong Tổ hợp……… …… 6

1.2 Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp… 9

1.2.1 Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo……… 9

1.2.2 Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp……… 14

1.2.3 Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong hướng dẫn học sinh học Tổ hợp……… …… 15

1.3 Thực trạng việc sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp……… 16

Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP………… ……… 18

2.1 Yêu cầu về kiến thức và kĩ năng……… ………… 18

2.1.1 Yêu cầu về kiến thức……… ……… 18

2.1.2 Yêu cầu về kĩ năng……… … 18

2.2 Những nội dung kiến thức và các dạng bài tập……… 18

2.2.1 Nội dung kiến thức……… 18

2.2.2 Các dạng bài tập và phương pháp giải………… ………… 19

2.3 Xây dựng hệ thống bài tập……… ……… 19

2.3.1 Phương pháp tô màu……… ……… 19

2.3.2 Mạng lưới nguyên……… ……… 36

2.3.3 Định lý Helly……… ………… 51

2.4 Soạn thảo tiến trình dạy học……… ……… 72

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……… … 74

3.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thực nghiệm sư phạm………… 74

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm……… 74

3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm……… ……… 74

3.3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm………… ……… 74

3.1.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm……… …… 74

3.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm……… … 74

3.2.1 Chọn mẫu……… 74

3.2.2 Phương pháp tiến hành……… 75

3.2.3 Xây dựng tiêu chí đánh giá……… 75

3.3 Kết quả thực nghiệm sư phạm……… 75

3.3.1 Phân tích định tính kết quả thực nghiệm sư phạm……… 75

3.3.2 Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm sư phạm……… 76

3.3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm……… 80

KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tổ hợp là chủ đề khó trong chương trình trung học phổ thông chuyên Trong các kì thi học sinh giỏi Toán các cấp, Tổ hợp thường chiếm tới 20 – 30% tổng số bài Tuy nhiên, học sinh Việt Nam nói chung còn tương đối yếu về mảng toán này Nguyên nhân chính là các bài toán này thường không yêu cầu nhiều kiến thức nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi những suy luận, sáng tạo riêng để giải quyết

Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và học Tổ hợp thường mới chỉ dừng lại ở mức độ tổng hợp bài tập và lời giải chứ chưa xây dựng được một hệ thống các phương pháp để phát triển tư duy sáng tạo

và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này Điều này dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán Tổ hợp được phát biểu hơi khác những gì đã được học sẽ gặp những lúng túng nhất định, thậm chí là không phát hiện ra sự liên kết với các bài toán có liên quan

Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và đào sâu khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể về một đề tài hay lĩnh vực nào đó

Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề tổ hợp trong trường trung học phổ thông chuyên nhằm phát triển tư duy sáng tạo” nhằm kích thích và phát huy khả năng suy luận cũng như sự chủ động cho học sinh trong chuyên đề này Tôi hi vọng rằng hệ thống bài tập và phương pháp giải được xây dựng trong đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo có giá trị nhằm nâng cao năng lực dạy và học Tổ hợp cho giáo viên và học sinh các trường trung học phổ thông chuyên

2 Lịch sử nghiên cứu

Đã có một số tài liệu tham khảo về Tổ hợp, ví dụ như cuốn Các bài

hợp của PGS TSKH Vũ Đình Hòa, nhưng các tài liệu này phần lớn chỉ tập chung vào hệ thống các bài tập chứ chưa chú trọng đến các phương pháp giảng dạy môn học để phát triển tư duy sáng tạo và sự chủ động của học sinh

trong chủ đề này

3 Mục tiêu nghiên cứu

Trong đề tài này, tôi sẽ xây dựng một hệ thống các bài tập, từ trực quan đến trừu tượng, nhằm kích thích và phát huy tính sáng tạo cũng như sự chủ động cho học sinh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

-) Nghiên cứu chương trình trung học phổ thông chuyên hiện hành, và các dạng bài toán Tổ hợp Hệ thống hóa các dạng bài tập và phương pháp giải -) Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo để xây dựng hệ thống các dạng bài tập nhằm giúp học sinh giải các bài tập hiệu quả

-) Xây dựng tiến trình dạy học hướng dẫn học sinh giải bài tập theo phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo

-) Thực tiễn về việc vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong môn học Tổ hợp của học sinh trường trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng

7 Vấn đề nghiên cứu

-) Vai trò của phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong chuyên đề

Tổ hợp cho các trường trung học phổ thông chuyên

-) Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo như thế nào để phát triển tư duy và kích thích sự chủ động cho học sinh trong việc học Tổ hợp ở các trường trung học phổ thông chuyên, cụ thể là trường trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng

8 Giả thuyết nghiên cứu

Vận dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo để xây dựng các dạng bài tập Tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông chuyên sẽ giúp học sinh phát huy tính sáng tạo cũng như sự chủ động trong việc hệ thống hóa kiến thức, phát triển kĩ năng giải bài tập và khả năng ứng biến trước những bài tập có cách phát biểu mới lạ

9 Phương pháp nghiên cứu

9.1 Nghiên cứu lí luận

-) Nghiên cứu cơ sở lý luận để làm sáng tỏ vai trò của phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong chuyên đề Tổ hợp ở các trường trung học phổ thông chuyên

-) Nghiên cứu chương trình, giáo trình, tài liệu hướng dẫn về chuyên đề này, nội dung các sách tham khảo có liên quan để xác định mức độ nội dung và yêu cầu về mặt kiến thức, kĩ năng giải bài tập mà học sinh cần nắm vững

9.2 Nghiên cứu thực tiễn

-) Tìm hiểu nội dung, phương pháp và hình thức tổ chức việc hệ thống hóa bài tập và lời giải cho chuyên đề Tổ hợp ở các trường trung học phổ thông

chuyên theo phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo

-) Điều tra thực tiễn với giáo viên giảng dạy tại trường trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng và với học sinh thuộc các đội dự tuyển…

9.3 Thực nghiệm sƣ phạm

-) Tiến hành giảng dạy song song nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm ở trường trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, thành phố Hải Phòng theo phương án đã xây dựng

-) Trên cơ sở phân tích định tính và định lượng kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài đưa ra

10 Các luận cứ

Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để đào sâu khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể về một đề tài hay lĩnh vực nào đó Phương pháp này giúp cá nhân hay tập thể thực hành tìm ra các phương án, các lời giải từ một phần đến toàn bộ cho các vấn đề hóc búa

Trong giáo dục phổ thông, luyện tập cho học sinh phương pháp tư duy sáng tạo là cực kì quan trọng giúp cho học sinh được tiếp cận một cách khoa học

về phương pháp luận và các mối quan hệ trong các vấn đề được đặt ra, tạo điều kiện thuận lợi cho việc chủ động tích cực của người học được phát huy

11 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 03 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tổ hợp và vai trò trong chương trình chuyên toán

1.1.1 Tổ hợp

Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ

sở toán học của khoa học máy tính Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính Người ta thường kể đến trong Toán học rời rạc Lý thuyết Tổ hợp,

Lý thuyết Đồ thị, Lý thuyết độ phức tạp, Đại số Boole

Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như Số học modulo

m, Lý thuyết nhóm hữu hạn, Lý thuyết mật mã,

Toán học Tổ hợp (hay Giải tích Tổ hợp, Đại số Tổ hợp, Lý thuyết Tổ hợp) là một ngành Toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp

1.1.2 Vai trò của Tổ hợp trong chương trình chuyên toán

Trong phạm vi ở trường trung học phổ thông chuyên, Toán rời rạc nói chung và Toán Tổ hợp nói riêng bao gồm các bài toán có đặc trưng phát biểu

và cách giải rất đơn giản, không cần nhiều kỹ thuật Việc giải các bài toán này đòi hỏi sự sắc bén trong tư duy, sự trong sáng trong cách suy nghĩ Mỗi bài toán rời rạc, Tổ hợp thường mang tính "riêng biệt", khó có thể hệ thống chúng lại với nhau Và rất nhiều bài toán đem lại cho người đọc một cảm giác thú vị

vì lời giải của chúng rất đẹp, đơn giản và đầy bất ngờ

Tổ hợp là chủ đề khó trong chương trình trung học phổ thông chuyên

phần trăm tổng số bài Tuy nhiên, học sinh Việt Nam nói chung còn tương đối yếu về mảng toán này Nguyên nhân chính là các bài toán này thường không yêu cầu nhiều kiến thức nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi những suy luận, sáng tạo riêng để giải quyết vấn đề Ngoài ra cũng còn là vì Tổ hợp thường là các bài toán khó nhất, mang tính phân loại học sinh nên học sinh của chúng ta cũng thường có tư tưởng "sợ" Tổ hợp, coi Tổ hợp như một con "ngáo ộp" và

vì vậy không dám dành thời gian thỏa đáng để nghiên cứu, học tập và giải toán Tổ hợp Điều này gây nên sự lãng phí trong rất nhiều trường hợp

1.1.3 Một số dạng bài tập và phương pháp trong Tổ hợp

Thực tế cho thấy, cả giáo viên lẫn học sinh hiện nay khi dạy và học Tổ hợp thường mới chỉ dừng lại ở mức độ tổng hợp bài tập và lời giải chứ chưa xây dựng được một hệ thống các phương pháp để phát triển tư duy sáng tạo

và sự chủ động của học sinh trong chủ đề này Điều này dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán Tổ hợp được phát biểu hơi khác những gì đã được học sẽ gặp những lúng túng nhất định, thậm chí là không phát hiện ra sự liên kết với các bài toán có liên quan

Trong mục này tác giả xin giới thiệu sơ lược một số dạng bài tập Tổ hợp, rời rạc và các phương pháp giải chúng:

Phương pháp đếm bằng các quy tắc cơ bản

Đây là các bài toán đếm số lượng các phần tử thỏa mãn một điều kiện cho trước nào đó mà các kiến thức cần huy động chỉ xoay quanh các quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp, quy tắc cộng tổng quát Trong phần này điều quan trọng trong thực hành là học sinh phải biết cách phân chia công việc của mình thành các công đoạn đếm đơn giản với một thứ tự thực hiện tối ưu

Phương pháp đếm bằng truy hồi

Phương pháp này thường xuất hiện trong các bài toán có số liệu là các

số nguyên dương lớn hoặc số nguyên dương bất kỳ (điều này cũng hay gặp vì

nhiều đề toán hay có xu hướng ra số liệu phù hợp với năm thi) Khi đó học sinh có thể tìm cách đưa bài toán đã cho về bài toán với số liệu nhỏ hơn 1, 2 đơn vị hoặc cũng có thể là nhỏ hơn nữa (tương ứng với bài toán truy hồi cấp

1, 2 hoặc cấp cao hơn)

Phương pháp đếm bằng song ánh

Phương pháp này đòi hỏi học sinh phải biết cách xây dựng một ánh xạ hợp lý để so sánh số phần tử của tập hợp này với một tập hợp khác mà việc đếm số phần tử của tập mới đơn giản hơn tập ban đầu Hoặc trong nhiều trường hợp cũng có thể phải thay đổi cách nhìn của bài toán, chẳng hạn có khá nhiều bài toán có thể có cách nhìn đơn giản hơn bằng cách sử dụng xâu nhị phân

Phương pháp sử dụng hàm sinh

Đây là một phương pháp khá đặc biệt và cũng tương đối "nhạy cảm" khi sử dụng sự hội tụ của chuỗi lũy thừa "hình thức" để đếm số phần tử hoặc tính toán rút gọn một tổng có nhiều, thậm chí là vô hạn phần tử

Phương pháp sử dụng lý thuyết đồ thị

Phương pháp này chuyển cách phát biểu của bài toán về cách phát biểu theo ngôn ngữ đồ thị Ở dạng đơn giản nhất thì chỉ cần sử dụng các khái niệm, kết quả khá hiển nhiên xoay quanh bậc của các đỉnh Ở các mức độ cao hơn

có thể sử dụng các định lý, kết quả kinh điển như Euler, Hamilton, Ramsey, Ore, Dirac,

Phương pháp sử dụng số phức

Số phức là một công cụ đặc biệt, một công cụ ảo nhưng có giá trị rất thật, không những được áp dụng có hiệu quả trong Hình học, Đại số, Lượng giác, Số học, mà trong Tổ hợp cũng có thể được sử dụng để đếm, chứng minh

Phương pháp đếm bằng hai cách

Đây là phương pháp sử dụng nguyên lý Fubini, hiểu nôm na giống như

ta đếm số phần tử của một bảng ô vuông hình chữ nhật theo hai cách: cộng theo dòng hoặc cộng theo cột, từ đó có thể sử dụng để đếm kết quả bài toán hoặc để chứng minh các đẳng thức Tổ hợp

Phương pháp tô màu

Tô màu thực chất là phân chia các đối tượng thành các nhóm có các tính chất khác nhau để từ đó chứng minh một đối tượng không thỏa mãn điều kiện đề bài yêu cầu hoặc là tìm ra tính chất của đối tượng thỏa mãn Đương nhiên điều quan trọng nhất ở đây là nên chia các đối tượng này theo tính chất nào, cũng có nghĩa là nên tô màu như thế nào?

Phương pháp sử dụng đại lượng bất biến, đơn biến

Đây là phương pháp ta cần tìm ra các đại lượng không thay đổi hoặc là thay đổi theo chiều hướng đơn điệu trong suốt quá trình biến đổi mà bài toán

đề cập đến Thông thường là xoay quanh tính đối xứng, tính chẵn lẻ, số dư khi chia cho một số nào đó, tổng, tích của các phần tử

Phương pháp sử dụng đại lượng cực biên

Phương pháp này nghiên cứu tính chất của các đại lượng lớn nhất hoặc

bé nhất theo một nghĩa nào đấy để giải bài toán Phương pháp này có ý nghĩa trong cả các bài toán Đại số Tổ hợp cũng như Hình học Tổ hợp

Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet

Phương pháp này xoay quanh nội dung rất đơn giản về chuồng và thỏ, tuy nhiên ứng dụng của nó rất đa dạng trong việc xây dựng đâu là chuồng và đâu là thỏ

Bài toán trên bàn cờ

Cũng có nét giống bài toán trên mạng lưới nguyên, tuy nhiên các bài toán ở phần này còn đa dạng hơn do còn có cách di chuyển đặc trưng rất khác nhau của các quân cờ

Các bài toán về hình lồi

Mảng bài tập phần này bao gồm nhiều bài toán khó về hình lồi, bao lồi Một kết quả hay sử dụng của phần này là định lý Helly về giao của các hình lồi

Các bài toán về trò chơi

Phần này chỉ ra các đặc tính chung về tình huống thắng, tình huống thua, cách suy nghĩ đi tìm chiến thuật trong trò chơi, chẳng hạn: chiến thuật đối xứng, chiến thuật bất biến, chiến thuật tính ngược từ cuối

Các bài toán về phủ hình

Các bài toán về phần này khá tổng hợp và liên quan nhiều đến các bài toán mạng lưới nguyên, bất biến, Dirichlet, và đặc biệt là bài toán tô màu khi có rất nhiều bài toán phủ hình giải được bằng phương pháp này

Các bài toán khác

Với đặc thù của hai từ "rời rạc" thì cũng còn có rất nhiều bài toán có những lời giải đặc biệt khác mà khó có thể tổng hợp hay hệ thống chúng một cách tối ưu nhất Đây cũng là điều làm nên sự thú vị và khó của các bài toán

Tổ hợp, rời rạc

1.2 Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp

1.2.1 Phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo

Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và đào sâu khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể về một đề tài hay lĩnh vực nào đó Phương pháp này giúp cá nhân hay tập thể thực hành tìm ra các

Một số phương pháp giảng dạy mới nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh:

Phương pháp học theo dự án (Project Based Learning)

Đây là mô hình học tập có nhiều khác biệt so với mô hình học tập truyền thống Phương pháp học theo dự án yêu cầu các hoạt động học tập phải được thiết kế một cách cẩn thận, mang tính lâu dài và liên quan đến nhiều lĩnh vực học thuật Đây là mô hình lấy người học làm trung tâm và hòa nhập với những vấn đề thực tiễn của thế giới thực tại Mục tiêu của phương pháp học theo dự án là để học sinh học nhiều hơn về một chủ đề chứ không phải là tìm

ra những câu trả lời đúng cho những câu hỏi được giáo viên đưa ra Phương pháp này yêu cầu học sinh cộng tác với các bạn trong lớp trong một khoảng thời gian nhất định để giải quyết những vấn đề và cuối cùng trình bày công việc mình đã làm trước giáo viên và các học sinh khác Phương pháp này cũng đòi hỏi các học sinh phải đặt câu hỏi, đồng thời tìm kiếm những mối liên

hệ và tìm ra giải pháp để giải quyết vấn đề Việc áp dụng phương pháp giảng dạy này sẽ làm thay đổi môi trường học của học sinh từ chỗ nghe giáo viên nói sang môi trường làm việc, tư duy

Phương pháp học theo dự án mang đến cho học sinh rất nhiều lợi ích,

nó tạo cho học sinh khả năng kết hợp kiến thức từ nhiều lĩnh vực, tạo nên công cụ hỗ trợ liên ngành để giải quyết vấn đề Đối với những vấn đề khó, phức tạp, phương pháp này tạo cho học sinh khả năng khám phá, đánh giá, giải thích và tổng hợp thông tin một cách khoa học Thông qua các hoạt động thực tế trên lớp, phương pháp này tạo cho học sinh sự thích thú, hứng thú với việc học

Vai trò của giáo viên trong phương pháp học theo dự án có rất nhiều thay đổi so với phương pháp truyền thống Giáo viên không đóng vai trò là người điều khiển tư duy học sinh mà là người hướng dẫn, người huấn luyện, người tư vấn và bạn cùng học Giáo viên phải tập trung vào việc hướng dẫn

cho học sinh, tạo cơ hội để học sinh phát huy hết khả năng học tập và sáng tạo, đẩy mạnh tinh thần đồng đội làm việc theo nhóm của các học sinh

Quá trình thực hiện phương pháp học theo dự án:

-) Xác định một vấn đề, dự án phù hợp với học sinh

-) Liên kết vấn đề với thế giới, môi trường xung quanh của học sinh

-) Xây dựng các chủ đề xung quanh vấn đề, dự án

-) Tạo cho học sinh cơ hội để xác định phương pháp và kế hoạch học tập để giải quyết vấn đề

-) Khuyến khích sự cộng tác bằng cách tạo ra các nhóm học tập

-) Yêu cầu tất cả học sinh trình bày kết quả học tập dưới hình thức một dự án hoặc chương trình

Phương pháp người học là trung tâm (Learner - Centered)

Đây là phương pháp đặt học sinh vào vị trí trung tâm của giáo dục Phương pháp này bắt đầu với việc tìm hiểu các môi trường giáo dục liên quan

mà học sinh xuất phát Sau đó giáo viên hướng dẫn tiếp tục đánh giá tiến độ học của học sinh so với mục tiêu học, bằng cách giúp cho người học có được các kỹ năng cơ bản để học tập Phương pháp này tạo cho học sinh nền tảng cho việc học suốt đời, vì vậy học sinh phải có trách nhiệm với việc học của bản thân Với phương pháp này giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn học sinh trong quá trình học.\\

Phương pháp người học là trung tâm mang đến nhiều lợi ích, trước hết

nó loại bỏ cách dạy và học: "Giáo viên nói, học sinh nghe", khuyến khích sự sáng tạo từ giáo viên và học sinh một cách tối đa, đồng thời tạo nên sự thân thiện giữa giáo viên và người học thông qua việc tăng cường trao đổi, học hỏi qua lại Phương pháp người học là trung tâm tập trung sự tham gia nhiệt tình, chủ động của người học trong suốt quá trình khám phá tìm tòi, đồng thời tạo điều kiện để người học có cơ hội trình bày, bảo vệ những ý kiến

Các yếu tố liên quan đến phương pháp người học là trung tâm:

-) Bối cảnh học: Việc học chịu sự tác động của các yếu tố môi trường bao gồm văn hoá, kỹ thuật và các phương pháp giảng dạy Giáo viên đóng vai trò tương tác chính giữa học sinh và môi trường học Những ảnh hưởng văn hoá

có thể tạo ra nhiều tác động liên quan mang tính giáo dục như động cơ học, định hướng đối với việc học và cách tư duy Kỹ thuật và phương pháp dạy phải phù hợp với trình độ kiến thức sẵn có, khả năng nhận biết và các chiến lược tư duy của học sinh

-) Các ảnh hưởng đối với việc học: Việc học chịu ảnh hưởng bởi các mối quan hệ giao tiếp với mọi người xung quanh Việc học có thể nâng cao khi người học có cơ hội tiếp xúc và cộng tác với người khác Các môi trường học cho phép tạo ra các mối tương tác xã hội, tôn trọng tính đa dạng, khuyến khích lối tư duy linh hoạt Qua việc tiếp xúc và hợp tác với giáo viên hướng dẫn, cá nhân người học sẽ có cơ hội tiếp thu nhận thức và tư duy phản ánh, từ

đó phát triển trình độ hiểu biết và hoàn thiện bản thân

-) Mục đích của quá trình học: Bản chất chiến lược của việc học là đòi hỏi học sinh phải biết định hướng mục tiêu Để nắm vững các tri thức, kỹ năng và đạt được các chiến lược tư duy cần thiết cho việc học, học sinh phải tạo ra các mục tiêu cho bản thân và theo đuổi các mục tiêu đó Khởi đầu, các mục tiêu ngắn và việc học có thể sơ sài trong một phạm vi nào đó nhưng qua thời gian, mức độ hiểu biết của học sinh có thể được xác định thông qua trình tự tìm hiểu, trao đổi và tích luỹ các tri thức cần thiết

Phương pháp Kỹ thuật tạo ra ý tưởng (Brainstorming)

Tác giả của phương pháp Brainstorming (tạm dịch là kỹ thuật tạo ra ý tưởng) là Alex Osborn (Hoa Kỳ) Mục đích chính của phương pháp này là giúp người học thoát ra khỏi tư duy theo lối mòn và tạo ra một loạt các ý tưởng mà sau đó có thể lựa chọn Phương pháp này áp dụng phù hợp với nhóm học sinh

Một số nguyên tắc cơ bản của phương pháp kỹ thuật tạo ra ý tưởng: -) Tôn trọng mọi ý tưởng đưa ra: Khi các ý tưởng được đưa ra, không được phép chỉ trích, phê bình ngay Tất cả các ý tưởng đều được ghi chép lại và phân tích đánh giá ở các bước sau

-) Tự do suy nghĩ: Không giới hạn việc đưa ra các ý tưởng bay bổng kể cả những ý tưởng khác thường bởi trên thực tế có những ý tưởng kỳ quặc đã trở thành hiện thực

-) Kết nối các ý tưởng: Cải thiện, sửa đổi, góp ý xây dựng cho các ý tưởng Các câu hỏi thường đặt ra: Ý tưởng được đề nghị chất lượng thế nào? Làm thế nào để ý tưởng đó đem lại hiệu quả? Cần thay đổi gì để ý tưởng trở nên tốt hơn?

-) Cần quan tâm đến số lượng các ý tưởng: Tập trung suy nghĩ khai thác tạo ra khối lượng lớn các ý tưởng để sau đó có cơ sở sàng lọc Có hai lý do chính để cần số lượng lớn các ý tưởng Thứ nhất những ý tưởng lúc đầu học sinh đưa

ra thông thường là các ý tưởng hiển nhiên, cũ, ít có tính sáng tạo, vì vậy cần

có phương pháp để học sinh tạo ra nhiều ý tưởng mới Thứ hai các ý tưởng giải pháp càng nhiều, càng có nhiều ý tưởng để lựa chọn

Ngoài các phương pháp đã đề cập trên đây còn khá nhiều các phương pháp khác đã được phát minh, nghiên cứu và áp dụng vào giảng dạy như phương pháp Học thực tiễn của David A Kolb, phương pháp Quản lý ý tưởng (Ideas Management), phương pháp 6 chiếc nón tư duy ( Six Thinking Hats)…

Qua việc phân tích một số phương pháp giảng dạy có thể nhận định các phương pháp này có rất nhiều sự khác biệt so với phương pháp truyền thống Trong đó sự khác biệt cơ bản nhất là vai trò của người học và người dạy đã thay đổi, sự thay đổi này đã biến quá trình học của học sinh từ thụ động sang chủ động, từ việc nghe giảng sang hoạt động tư duy, làm việc độc lập, làm

1.2.2 Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp

Trong Tổ hợp, vấn đề ý tưởng giải toán là rất quan trọng Các bài toán

Tổ hợp hầu như không đòi hỏi nhiều về các kiến thức nền tảng mà chủ yếu dựa trên khả năng phân tích lôgíc tự nhiên của người học Điều khó khăn nhất đối với học sinh khi giải toán Tổ hợp là tính chất "rời rạc" của các bài toán Nắm bắt được điều này, khi dạy học Tổ hợp, người thầy cần xây dựng được tính "hệ thống", tạo được mối liên quan giữa các bài tập với nhau, phân tích được mối liên hệ lôgíc, tự nhiên giữa các bài tập

Trong thực tế về tiến trình dạy học, người dạy có thể bắt đầu từ một bài toán gốc, một ý tưởng gốc Dựa trên yếu tố người học là trung tâm, vận dụng các kỹ thuật tạo ra ý tưởng để phân tích, hướng dẫn học sinh tìm tòi, suy nghĩ

tự nhiên để giải quyết bài toán Người thầy có thể gợi ý cho học sinh theo hướng tìm cách quy lạ về quen, tìm mối quan hệ với các bài toán đã biết cách giải, cũng có thể tìm các đảo ngược vấn đề, suy luận ngược từ cuối

Sau khi giải quyết xong bài toán gốc, người thầy có thể gợi ý học sinh thử tìm cách thay đổi một hoặc một vài yếu tố của bài toán để có thể dẫn đến bài toán mới Có thể chỉ đơn giản là thay đổi hình thức của bài toán: phát biểu bài toán theo một cách khác có thể là mang tính toán học hơn, cũng có thể là mang tính "cuộc sống" hơn, phát biểu bài toán theo kiểu chuyển từ mệnh đề thuận sang mệnh đề phản đảo, đặc biệt hóa bài toán thành một trường hợp riêng, cũng có thể tìm cách thay đổi số liệu bài toán (vì chẳng hạn có nhiều bài toán Tổ hợp hay có xu hướng ra số liệu theo năm thi cho "đẹp")

Người thầy cũng có thể hướng dẫn học sinh tạo ra một bài toán mới theo hướng đòi hỏi tư duy suy nghĩ cao hơn Có thể hướng dẫn học sinh tìm cách tương tự hóa, tổng quát hóa, khái quát hóa bài toán, hoặc cũng có thể hướng dẫn học sinh chuyển sang xét các trường hợp khác, khía cạnh khác của bài toán Chẳng hạn chuyển từ việc xét trên đường thẳng - không gian một

chiều sang việc xét trên mặt phẳng - không gian hai chiều, chuyển từ tam giác nhọn sang tam giác tù, chuyển từ đường thẳng, đoạn thẳng sang đường tròn, cung tròn, chuyển từ các số chẵn sang xét các số lẻ Tất nhiên việc xét bài toán trong nhiều trường hợp này có thể không dẫn đến những sáng tạo mong muốn, có thể dẫn đến những bài toán rất dễ, rất khó, rất xấu hoặc thậm chí là sai, là không giải được Vì vậy người giáo viên cần dự kiến trước được những khả năng nào phù hợp với trình độ học sinh, mức độ yêu cầu, thời lượng học tập trên lớp để có những điều chỉnh phù hợp nhất

Trong trường hợp học sinh không thể tạo ra các bài toán mới ít nhất là về hình thức, giáo viên có thể đưa ra những bài toán tiếp theo có thể khác xa bài toán gốc về hình thức và yêu cầu, hướng dẫn, gợi ý học sinh tìm mối liên quan,

từ đó học sinh càng có thể thấy rõ hơn bản chất của bài toán gốc ban đầu

1.2.3 Sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong hướng dẫn học sinh học Tổ hợp

Để việc tự học Tổ hợp ở nhà của học sinh có hiệu quả, người thầy trước hết cần phải đánh giá được chính xác khả năng học Tổ hợp của học sinh Cần hiểu được học sinh có mặt mạnh ở mảng nào, còn yếu ở mảng nào, cần phải

bổ sung thêm kiến thức nào, có đủ khả năng tạo ra bài toán mới ít nhất là về mặt hình thức hay không hay có thể tìm ra mối liên quan giữa bài toán mới với các bài toán đã biết hay không

Dựa trên đánh giá chính xác về khả năng của học sinh, người giáo viên

có thể yêu cầu người học tự học ở nhà theo các mức độ khác nhau Có thể yêu cầu học sinh bổ sung thêm kiến thức về một mảng nào đó Có thể gợi ý học sinh tìm tòi các bài toán tương tự Có thể yêu cầu học sinh tìm cách phát triển

từ một bài toán gốc Cũng có thể yêu cầu học sinh tìm mối liên hệ giữa một loạt các bài toán với nhau

Trên hết, điều quan trọng nhất trong việc hướng dẫn học sinh học Tổ hợp ở nhà là việc hướng dẫn học sinh đọc các tài liệu liên quan Điều này đối với học sinh chuyên là rất quan trọng Thời lượng một buổi học trên lớp là rất hạn chế trong khi các bài toán Tổ hợp thường mất rất nhiều thời gian để suy nghĩ giải quyết, ví dụ như nhiều kỳ thi có thể dành thời gian trung bình khoảng 1 tiếng 1 bài, thậm chí nhiều hơn nhiều trong các kỳ thi ở mức độ cao hơn Ngoài ra mảng Tổ hợp rất đa dạng do tính chất "rời rạc" của nó, có thể nói ở trên lớp người thầy trong nhiều mảng gần như chỉ xây dựng được những kiến thức mang tính "nền tảng" để học sinh tiếp tục tìm tòi, khai thác thêm ở nhà Do đó người thầy có thể đưa tài liệu theo một mảng chủ đề, chuyên đề cho những học sinh có khả năng tự đọc, tất nhiên người giáo viên phải hướng dẫn học sinh cách đọc, phần nên đọc, mức độ đào sâu và tất nhiên phải kiểm soát được quá trình đọc đó của học sinh Có như vậy mới có thể tạo ra hiệu quả cao nhất trong việc hướng dẫn học sinh học Tổ hợp

1.3 Thực trạng việc sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp

Hiện nay trên thực tế việc sử dụng phương pháp dạy học phát triển tư duy sáng tạo trong Tổ hợp, rời rạc vẫn còn rất hạn chế Các thầy cô giáo vẫn chủ yếu chỉ dừng lại ở phương pháp giảng dạy theo hướng tổng hợp các bài toán Các vấn đề, bài toán được đưa ra còn khá riêng lẻ, ít có tính hệ thống, ít

có khả năng toát lên được đường lối chung, phương pháp chung để giải Các bài toán còn mang tính độc lâp, chưa được xâu chuỗi với nhau và chưa được tiếp tục nghiên cứu đào sâu thêm sau khi giải hoàn chỉnh bài toán Học sinh sau khi giải xong hoặc được thầy cô giáo chữa xong một bài toán có thể cảm nhận được cái hay, cái đẹp của bài toán nhưng hoàn toàn chỉ dừng lại ở mức

độ đó, không hề có tư tưởng hoặc dành thời gian xác đáng để nghiên cứu sâu thêm bài toán như: thay đổi cách phát biểu, tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc

biệt hóa, sáng tạo các bài toán có ý tưởng tương tự Do đó khi học sinh gặp một bài toán về bản chất giống như bài toán cũ nhưng được phát biểu khác đi,

có hình thức thay đổi thì không nhận ra hoặc rất lúng túng trong việc định hướng để giải Điều này đương nhiên làm cho học sinh vốn đã có tư tưởng sợ

Tổ hợp lại càng không dám dành thời gian hợp lý để nghiên cứu, tìm tòi và tất nhiên sẽ dẫn đến hiệu quả học tập phân môn Tổ hợp không cao

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP

2.1 Yêu cầu về kiến thức và kỹ năng

2.1.1 Yêu cầu về kiến thức

Học sinh cần nắm được các phương pháp cơ bản để giải các dạng toán điển hình của Tổ hợp

2.1.2 Yêu cầu về kỹ năng

-) Học sinh biết cách nhận dạng một bài toán

-) Học sinh có thể dự đoán được phương pháp để giải một bài toán Tổ hợp, rời rạc tương đối điển hình

-) Học sinh có thể quy một bài toán có hình thức tương đối khác biệt về một bài toán quen thuộc hơn, đơn giản hơn có cùng bản chất

-) Học sinh có thể tìm cách thay đổi hình thức phát biểu, thay đổi cách nhìn, tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa một bài toán đã được giải để có một bài toán mới theo nghĩa có thể chỉ đơn giản là mới về mặt hình thức -) Học sinh có thể phần nào xóa bỏ được tư tưởng sợ Tổ hợp để có thể dành thời gian phù hợp, thích đáng để học tập, nghiên cứu Tổ hợp

2.2 Những nội dung kiến thức và các dạng bài tập

2.2.1 Nội dung kiến thức

Tổ hợp, rời rạc là một mảng toán rất rộng, đa dạng và có rất nhiều dạng toán và phương pháp giải khác nhau Trong phạm vi khuôn khổ luận văn này tác giả chỉ xin đề cập và minh họa chi tiết cho 3 nhóm bài tập xoay quanh các bài toán giải bằng phương pháp tô màu (trong đó phần quan trọng là các bài toán phủ hình), các bài toán trên mạng lưới nguyên (đặc biệt quan trọng trong

đó là định lý Pick) và định lý Helly về giao các hình lồi

2.2.2 Các dạng bài tập và phương pháp giải

Phương pháp tô màu

Các bài toán ở phần này khá đa dạng và có thể liên quan đến nhiều mảng toán Tổ hợp, rời rạc khác: bài toán phủ hình, nguyên lý Dirichlet, mạng lưới nguyên, bàn cờ, nguyên lý bất biến, nguyên lý cực biên Thông thường

ta có thể nghĩ đến phương pháp giải bằng tô màu khi gặp các bài toán chứng minh không tồn tại đối tượng thỏa mãn hoặc chỉ ra tính chất của đối tượng thỏa mãn điều kiện cho trước

Mạng lưới nguyên

Các bài toán ở phần này được phát biểu trên mạng lưới nguyên, hệ tọa

độ nguyên, bảng ô vuông, bàn cờ Một nội dung kiến thức quan trọng hay sử dụng ở phần này là định lý Pick về diện tích đa giác trên mạng lưới nguyên

Có thể nhận dạng một bài toán sử dụng định lý Pick khi chúng được phát biểu liên quan đến diện tích đa giác nguyên, số điểm nguyên trên các cạnh đa giác nguyên, số điểm nguyên nằm trong đa giác nguyên

Định lý Helly

Định lý Helly trong mặt phẳng phát biểu: "Nếu có ít nhất 4 hình lồi

mà 3 hình bất kỳ có điểm chung thì tất cả các hình lồi đó cũng có điểm chung" Với ý nghĩa như vậy định lý Helly được sử dụng trong các bài toán Hình học tổ hợp chứng minh sự tồn tại của một điểm (hoặc một tập hợp điểm) thỏa mãn một điều kiện cho trước liên quan đến tính lồi của các hình Ngoài ra dấu hiệu nhận biết một bài toán giải bằng Helly còn là ở chỗ "3 hình lồi bất kỳ có điểm chung"

2.3 Xây dựng hệ thống bài tập

2.3.1 Phương pháp tô màu

Bài tập 1.1 Bắt đầu từ một ô ở góc bàn cờ 8 8 , quân mã có thể đi qua tất cả các ô của bàn cờ, mỗi ô đúng một lần và kết thúc ở ô ở góc đối diện không?

Phân tích:

Bài toán này là một dạng toán "quân mã đi tuần" ("knight's tour") nhưng thuộc loại khá đơn giản Với ngôn ngữ phát biểu là "bàn cờ" có lẽ cũng

sẽ dễ dàng hơn cho người giải so với cách phát biểu là "bảng ô vuông" mặc

dù về bản chất hai cách dùng từ này hoàn toàn không khác gì nhau Tại sao lại như vậy? Điều này là bởi vì trên bàn cờ đã tô sẵn màu cho chúng ta rồi!

Và ta có thể để ý cách đi của quân mã: đi theo hình chữ L kích thước

3 2 ô vuông, và như vậy chắc chắn sau một lần đi, quân mã sẽ di chuyển sang ô vuông khác màu Ta chỉ còn cần đếm số bước di chuyển và tính chất của ô xuất phát và ô kết thúc là xong

Giải:

Tô màu bàn cờ bằng hai màu đen trắng như thông thường Khi đó sau mỗi nước đi quân mã sẽ di chuyển sang một ô khác màu Muốn đi qua tất cả các ô của bàn cờ quân mã cần 63 nước đi Như vậy chắc chắn cuối cùng quân mã sẽ ở

ô khác màu với ô ban đầu Tuy nhiên hai ô ở góc đối diện là hai ô cùng màu Vậy quân mã không thể đi qua tất cả các ô như yêu cầu của bài toán

Phát triển:

Cách tô màu có sẵn của bàn cờ thực ra dựa trên tính chẵn lẻ của tổng (hoặc hiệu tùy theo cách quay bảng ô vuông theo chiều nào) của hai tọa độ của một điểm nguyên Đây là một cách tô màu có thể nói là đơn giản nhất Ta

có thể tiếp tục dùng phương pháp tô màu này trong bài toán tiếp theo sau đây, cũng về dạng toán "quân mã đi tuần"

Bài tập 1.2 Trong bàn cờ m n với m n lẻ, quân mã có thể bắt đầu từ một ô ,tùy ý, đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô ban đầu được không?

Giải:

Tô màu bàn cờ bằng hai màu đen trắng như thông thường Khi đó sau mỗi nước đi quân mã sẽ di chuyển sang một ô khác màu Muốn đi qua tất cả

các ô của bàn cờ và quay lại ô ban đầu quân mã cần mn lẻ nước đi Như vậy chắc chắn cuối cùng quân mã sẽ ở ô khác màu với ô ban đầu Vậy quân mã không thể đi qua tất cả các ô như yêu cầu của bài toán

Phát triển:

Cách tô màu ở trên hoàn toàn có thể mở rộng cho trường hợp có nhiều màu hơn Nếu có nhiều màu hơn, chẳng hạn 3, 4 màu ta cũng có thể tô màu các ô vuông của bàn cờ theo số dư của tổng (hoặc hiệu) hai tọa độ khi chia cho 3, 4 tương ứng Hay có thể hình dung rằng khi đó các ô của bàn cờ sẽ được tô màu theo kiểu "so le": các ô vuông cùng dòng cạnh nhau sẽ tuần tự đổi màu và tương tự như vậy cho các ô vuông cùng cột

Chẳng hạn ta có thể áp dụng trong các bài tiếp theo sau đây

Bài tập 1.3 Có thể phủ kín bàn cờ 6 6 bằng 9 quân tetrôminô kích thước

1 4 không?

Phân tích:

Vì miếng lát của ta có kích thước 1 4 1 nên một cách tự nhiên nhất ta

có thể nghĩ đến việc dùng 4 màu để tô màu bảng ô vuông Để mỗi miếng lát chắc chắn luôn phủ đúng 4 màu khác nhau ta có thể nghĩ đến việc tô màu theo cách "so le": 4 ô vuông cùng dòng cạnh nhau sẽ có màu theo kiểu 1, 2, 3, 4 hoặc "xoay vòng" đi thành 2, 3, 4, 1 hay 3, 4, 1, 2 hoặc cũng có thể là 4, 1, 2,

3 và tương tự như vậy cho 4 ô vuông cùng cột cạnh nhau Với cách tô này ta

có thể hoàn thành bài toán

Giải:

Tô bàn cờ bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng như hình 2.1

Với cách tô màu này, mỗi quân tetrôminô sẽ phủ đúng 4 ô có màu khác nhau Như vậy 9 quân tetrôminô sẽ phải phủ 9 ô màu xanh, 9 ô màu đỏ, 9 ô màu tím, 9 ô màu vàng Tuy nhiên, trong bảng có 9 ô màu xanh, 10 ô màu đỏ,

9 ô màu tím, 8 ô màu vàng Vậy không thể phủ được bàn cờ thỏa mãn

Hình 2.1 Tô bàn cờ bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng

Nhận xét:

Đây là một bài toán có thể có rất nhiều cách tô màu khác cũng có thể đưa ra được mâu thuẫn Khi người viết đưa bài toán này cho các em học sinh của mình, có 3 em giải được bằng 3 cách tô màu khác nhau và khác cả cách của người viết! Ở đây người viết đưa ra cách giải trên nhằm mục đích hệ thống cách tô màu kiểu "so le"

"so le": 3 ô vuông cùng dòng cạnh nhau sẽ có màu theo kiểu 1, 2, 3 hoặc

"xoay vòng" đi thành 2, 3, 1 hay 3, 1, 2 và tương tự như vậy cho 3 ô vuông cùng cột cạnh nhau Đương nhiên với cách tô màu này ta chỉ có thể chỉ ra màu của ô vuông thỏa mãn chứ chưa thể chỉ ra cụ thể đó là ô vuông nào

Ngoài ra chắc chắn ta có thể dự đoán được ô cần tìm phải là ô trung tâm Điều này dựa trên tính đối xứng của bảng ô vuông: bảng ô vuông có tâm

đối xứng là ô trung tâm, ngoài ra còn có các trục đối xứng Do tính đối xứng này nên vai trò của cột và dòng là như nhau Điều này có nghĩa là ta có thể quay bảng ô vuông đi 0

90 để chỉ ra cụ thể hơn ô vuông cần tìm

Giải:

Tô màu bảng 5 5 bằng 3 màu 1, 2, 3 như hình 2.2

Hình 2.2 Tô màu bảng 5 5 bằng 3 màu 1, 2, 3

Do mỗi miếng lát 1 3 luôn luôn phủ kín 3 ô khác màu nên 8 miếng lát

1 3 sẽ phủ kín 8 ô màu 1, 8 ô màu 2 và 8 ô màu 3 Trong bảng khi đó sẽ còn thừa lại 1 ô có màu 2 Quay bảng màu trên một góc 0

90 , cũng như trên, trên bảng cũng còn thừa lại 1 ô có màu 2 Dễ thấy chỉ có 1 ô có màu 2 trong cả 2 trường hợp trên là ô chính giữa

le" nhưng bây giờ ta có thể xét cùng lúc một cặp số dư của cả hoành độ và tung độ khi chia Khi đó nếu ta xét cặp số dư của hai tọa độ khi chia cho n thì tức là cần dùng đến 2

n màu để tô

Ta có thể minh họa cách tô màu "so le" mới trong bài toán dưới đây

Bài tập 1.5 Bàn cờ 4k 2 4k2 được tô màu đen trắng như thông thường Mỗi ô trên bàn cờ được viết số 0 hoặc 1 sao cho mỗi dòng, mỗi cột đều chứa một số lẻ các số 1 Chứng minh rằng: Có chẵn ô màu trắng viết số 1

Giải:

Tô lại bàn cờ bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng như hình 2.4 (hình vẽ minh họa cho trường hợp 6 6 )

Hình 2.4 Tô lại bàn cờ 6 6 bằng 4 màu xanh, đỏ, tím, vàng

Giả sử ô ở góc trái phía trên bàn cờ màu trắng Gọi số số 1 trong các ô xanh, đỏ, tím, vàng lần lượt là X D T V, , , Do bàn cờ có kích thước

4k 2 4k2 nên có 2k1 dòng màu xanh – đỏ và 2k1 dòng màu

tím – vàng Do mỗi dòng có lẻ số 1 nên X D và T V đều lẻ Tương tự khi xét theo cột ta có X V và D T cũng đều lẻ Do đó D V, cùng tính chẵn

lẻ, X T, cùng tính chẵn lẻ, hay D V và X T đều chẵn Mặt khác số ô màu trắng viết số 1 là X T, và do đó có chẵn ô màu trắng viết số 1

Phát triển:

Trong bài toán số 4 ở trên ta có thể nghĩ đến việc quay bảng 0

90 là do bảng của ta là bảng vuông, có hai chiều có kích thước bằng nhau Nếu bây giờ bảng của ta hình chữ nhật thì vai trò của dòng và cột đã không còn giống nhau nữa Vậy phải chăng trong trường hợp đó thì ta không thể quay bảng đi được nữa Thực ra nếu ta chia nhỏ bảng hình chữ nhật thành các bảng vuông nhỏ hơn thì ta vẫn có thể quay bảng ô vuông nhỏ đó đi 0

90 Có thể minh họa cho hướng tô màu "so le" mới và cả cách quay bảng ô vuông 0

90 trong bài toán tiếp theo sau đây

Bài tập 1.6 (Ôlympic toán Ailen 1996) Trong bảng 5 9 có một số đĩa, mỗi ô vuông của bảng đặt không quá một đĩa Xét trò chơi di chuyển cùng lúc tất cả các đĩa như sau:

i) Mỗi đĩa có thể di chuyển sang ô vuông chung cạnh với ô vuông đang đặt ii) Mỗi đĩa ở lượt trước đã di chuyển sang trái, sang phải thì lượt sau phải di chuyển lên trên, xuống dưới

iii) Mỗi đĩa ở lượt trước đã di chuyển lên trên, xuống dưới thì lượt sau phải di chuyển sang trái, sang phải

iv) Trong mọi thời điểm mỗi ô vuông của bảng đặt không quá một đĩa

Chứng minh rằng: Nếu ban đầu có 33 đĩa thì trò chơi chắc chắn phải dừng, ngoài ra hãy chỉ ra cách đặt 32 đĩa sao cho trò chơi có thể tiếp tục mãi mãi

Giải:

Tọa độ hóa bảng ở dạng  x y; :1 x 5,1 y 9 Tô màu bảng bằng 4 màu: ô vuông  x y; màu x mod 2; y mod 2

Nếu trong bảng có 33 đĩa

Nếu có nhiều nhất 16 đĩa ở các ô    0;0 , 1;1 thì có ít nhất 17 đĩa ở các ô

   0;1 , 1;0 Khi đó ở bước sau 17 đĩa này sẽ ở các ô    0;0 , 1;1

Xét khi có ít nhất 17 đĩa ở các ô    0;0 , 1;1

Nếu có ít nhất 9 đĩa ở các ô  1;1 Khi đó sau 2 bước 9 đĩa này sẽ ở các ô

 0;0

Xét khi có ít nhất 9 đĩa ở các ô  0;0 Tuy nhiên trong bảng chỉ có 8 ô

 0;0 , mâu thuẫn Vậy với 33 đĩa, trò chơi chắc chắn phải dừng

Ta chỉ ra cách đặt 32 đĩa để trò chơi tiếp tục mãi mãi

Đặt 32 đĩa vào 32 ô của bảng 4 8 mà ô góc trái phía trên trùng với ô góc trái phía trên của bảng 5 9 ban đầu Chia bảng 4 8 thành 8 bảng 2 2 Trong mỗi bảng 2 2 , lấy tâm bảng làm tâm, di chuyển các đĩa theo phép quay 900 cùng chiều kim đồng hồ Khi đó trò chơi không bao giờ dừng

Bài tập 1.7 Trong bàn cờ 4 n , quân mã có thể bắt đầu từ một ô tùy ý, đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần và quay lại ô ban đầu được không?

Giải:

Tô màu bàn cờ 4 n như hình 2.5

Hình 2.5 Tô màu bàn cờ 4 n

Ta có thể thấy rằng: Từ một ô có màu xanh, quân mã chắc chắn phải di chuyển đến ô có màu vàng, ngược lại, muốn đến được ô màu xanh, trước đó quân mã phải đang ở ô màu vàng Còn nếu quân mã đang ở ô màu vàng thì nó

có thể di chuyển đến ô màu xanh như ở trên hoặc có thể là ô màu tím nữa Có hai khả năng xảy ra:

Trường hợp 1: quân mã di chuyển từ ô màu vàng vào ô màu tím Sau đó muốn quay trở lại ô xanh, quân mã bắt buộc phải đi đến một ô màu vàng khác trước Như vậy số ô màu vàng phải nhiều hơn số ô màu xanh, mâu thuẫn

Trường hợp 2: quân mã chỉ di chuyển từ ô màu vàng vào ô màu xanh Trường hợp này cũng mâu thuẫn bởi vì như vậy thì quân mã chỉ di chuyển được đến các ô xanh và vàng

Vậy quân mã không thể đi qua tất cả các ô như yêu cầu của bài toán

Nhận xét:

Cách tô màu đặc biệt trên của bài toán là để quân mã đang đứng ở ô màu xanh thì bắt buộc phải nhảy sang ô màu vàng Dù khi đang ở ô màu vàng vẫn có hai khả năng về màu của ô tiếp theo nhưng cách làm này đã khiến cho việc xét số trường hợp ít đi rất nhiều so với cách tô màu "so le" thông thường

Cách tô màu này cũng có thể hiểu theo tính đối xứng của bàn cờ, có điều không phải dựa trên cách quay 0

90 như các trường hợp trước mà là cách quay 1800 hay đối xứng tâm của bảng

Phát triển:

Ta có thể đưa ra thêm một bài toán khác liên quan đến kiểu tô màu đặc biệt này, một bài toán khó trong đề thi của Mỹ

Bài tập 1.8 (Ôlympic toán Mỹ 2008) Cho n nguyên dương Gọi S n là tập hợp

các điểm nguyên thỏa mãn 1 n

2

x   y Một đường đi là một dãy các điểm nguyên phân biệt trong S n sao cho hai điểm cạnh nhau có khoảng cách bằng đơn vị Chứng minh rằng không thể chia S n thành ít hơn n đường đi khác rỗng và đôi một không có điểm nguyên chung

Bây giờ giả sử S n được chia thành m đường đi và tổng độ dài các đoạn nối hai điểm màu đen cạnh nhau là k(có k đoạn như vậy) Bằng cách bỏ đi các đoạn nối hai điểm màu đen cạnh nhau, ta có km đường đi, trong mỗi đường đi, số các điểm đen và số các điểm trắng hơn kém nhau tối đa là 1 Như vậy tổng số các điểm đen và tổng số các điểm trắng hơn kém nhau tối đa

là km Mặt khác tổng số các điểm đen hơn tổng số các điểm trắng đúng

Cách tô màu này cũng có tính đối xứng, tuy nhiên không phải đối xứng qua gốc tọa độ  0;0 hay 2 trục Ox, Oy (nếu đối xứng dạng này thì cũng vẫn

là cách tô màu "so le" bình thường) mà lại đối xứng nhau qua đường thẳng

Cách tô màu này thực ra bản chất là dựa trên số dư của chỉ một trong hai tọa độ

Bài tập 1.9 Bàn cờ n n ô vuông được bỏ đi 4 ô góc Tìm tất cả các giá trị của n sao cho có thể phủ bàn cờ bởi các quân tetrôminô hình chữ L chiều cao

3 ô, chiều ngang 2 ô

Phân tích:

Trước hết chắc chắn ta phải có n chẵn do mỗi quân tetrôminô phủ kín đúng 4 ô vuông Ta có thể tìm cách thử xem liệu mọi n chẵn có thỏa mãn không Điều này đáng tiếc là không đúng

Với n4 ta có thể kiểm tra là không thể phủ được bảng

Với n6 ta có thể tìm ra được cách phủ thỏa mãn

Từ đó bằng cách ghép 2 hình chữ L ngược nhau thành hình chữ nhật kích thước 2 4 ta có thể xuất phát từ cách phủ bảng với n6 chèn thêm các hình chữ nhật 2 4 để tăng kích thước của bảng mỗi chiều thêm 4k

Ta hãy tìm cách tô màu "xen kẽ" để chứng minh rằng đó là tất cả giá trị

4

n  chia hết cho 8 Từ đó suy ra n phải có dạng 4k2

Dễ dàng chỉ ra được cách phủ hình thỏa mãn trong trường hợp n4k2

Phát triển:

Trong bài toán trên ta đã xét với n chẵn, từ đó suy ra số ô đen bằng số

ô trắng để có kết luận rằng phải có chẵn quân đôminô Bây giờ nếu số dòng hoặc số cột lẻ thì số ô đen và số ô trắng sẽ không bằng nhau nữa Tuy nhiên việc tính toán chi tiết mỗi loại màu có bao nhiêu ô cũng hoàn toàn đơn giản và

ta vẫn có thể đưa ra được kết quả Ta có thể tiếp tục xem xét bài toán sau

Bài tập 1.10 Bàn cờ 2n 1 2n1 ô vuông được bỏ đi 1 trong 4 ô góc Tìm tất cả các giá trị của n để có thể phủ bàn cờ bởi các quân đôminô 1 2

sao cho số lượng các quân đôminô nằm ngang bằng số lượng các quân đôminô thẳng đứng

n n quân Mỗi quân đôminô thẳng đứng phủ 1 ô đen và 1 ô trắng nên tất cả các quân đôminô loại này phủ kín 2

n n ô trắng và n2 n ô đen Mỗi quân đôminô nằm ngang phủ 2 ô cùng màu và tất cả các quân đôminô loại này phủ kín 2

2

n  n ô trắng và n2 ô đen

Do đó 2

2

n  n và n2 đều phải chẵn, tức là n phải chẵn

Dễ dàng chỉ ra được cách phủ hình thỏa mãn trong trường hợp n chẵn

Phát triển:

Trong 2 bài toán trên vai trò của cột và dòng là giống nhau nên đương nhiên ta không cần phải cân nhắc lựa chọn cách tô màu "xen kẽ" nào Bây giờ nếu vai trò của dòng và cột khác nhau, ta sẽ cần tính toán xem nên tô màu

"xen kẽ" theo dòng hay cột Ta có thể xem xét điều này qua bài toán dưới đây, một bài toán dự tuyển Quốc tế

Bài tập 1.11 (Dự tuyển toán Quốc tế 1999)

a) Chứng minh rằng: Nếu lát hình chữ nhật 5 n bằng n miếng lát có 1 trong

a) Tô màu đen dòng 1, 3, 5 và màu trắng dòng 2, 4 của hình chữ nhật 5 n

Có tổng cộng 3n ô đen Do có n miếng lát, mỗi miếng có tối đa 3 ô đen, nên suy ra tất cả các miếng lát đều có đúng 3 ô đen Do đó trong mỗi miếng lát, 2

ô trắng phải nằm trên cùng 1 dòng vì nếu không sẽ có ít nhất 3 ô trắng Từ đó, các ô trắng trong 1 dòng có thể được chia thành các cặp sao cho 2 ô trong cặp thuộc về cùng 1 miếng lát Vậy tổng số các ô trắng trong 1 dòng phải chẵn, tức là n chẵn

b) Gọi a k là số cách lát hình chữ nhật 5 2k , b k là số cách lát sao cho không thể chia thành 2 hình chữ nhật 5 2m và 5 2 k  m nhỏ hơn mà không cắt các miếng lát

Bài tập 1.12 Trên một cánh đồng hình chữ nhật kích thước 4 n ô vuông gồm 4 hàng và n cột người ta đặt một số máy bơm nước vào các ô vuông Biết rằng mỗi máy bơm nước có thể tưới nước cho các ô vuông có chung cạnh với nó và các ô vuông cùng cột với nó và cách nó đúng một ô vuông nhưng không tưới được ô nó đang đứng Tìm số nhỏ nhất các máy bơm nước sao cho các máy bơm nước có thể tưới hết cả cánh đồng

Phân tích:

Bài toán này về đề bài gần giống đề thi chọn đội tuyển Toán Việt Nam

2012, chỉ khác ở chỗ "máy bơm không tưới được ô nó đang đứng" Ở đây ta

có thể thấy rằng trong bài toán này vai trò của dòng 1 và dòng 4 (các dòng ở biên) là giống nhau, vai trò của dòng 2 và dòng 3 (các dòng trung tâm) cũng giống nhau Nếu máy bơm đặt ở dòng biên, nó sẽ tưới nước được cho nhiều nhất 2 ô biên cùng dòng và 2 ô trung tâm cùng cột Nếu máy bơm đặt ở dòng trung tâm, nó sẽ tưới nước được cho nhiều nhất 2 ô biên cùng cột và 3 ô trung tâm chung cạnh Như vậy trong cả 2 trường hợp máy bơm đều chỉ có thể tưới nước được cho nhiều nhất 2 ô biên Vậy ta có thể tô màu cho các ô biên để hoàn chỉnh bài toán

Bài tập 1.13 Trong 1 ô vuông của bảng 5 5 viết số 1 , tất cả các ô vuông còn lại viết số 1 Mỗi nước đi, người chơi được phép đổi dấu tất cả các ô vuông trong một bảng kích thước k k tùy ý (với 2 k 5 và k có thể khác nhau trong các nước đi) Hỏi với 1 ở ô vuông nào thì người chơi có thể đưa toàn bộ các ô trong bảng đều thành số 1 ?

Giải:

Tô màu trắng cột thứ 3 của bảng và màu đen các cột còn lại Khi đó mọi bảng kích thước k k bất kỳ (với 2 k 5) đều có một số chẵn các ô màu đen Do đó nếu ban đầu số 1 nằm ở ô màu đen thì trong các ô màu đen của bảng sẽ luôn luôn có một số lẻ số 1 , mâu thuẫn Vậy số 1 phải nằm trong số các ô màu trắng, tức là phải nằm ở cột 3

Quay bảng 0

90 ta cũng có số 1 phải nằm ở dòng 3 Kết hợp lại ta có số 1

phải nằm ở ô chính giữa của bảng

Để kết thúc bài toán ta chỉ ra chiến thuật của người chơi khi số 1 nằm

ở ô chính giữa của bảng

1 Đổi dấu các ô trong bảng ô vuông 3 3 ở góc trái phía dưới

2 Đổi dấu các ô trong bảng ô vuông 3 3 ở góc phải phía trên

3 Đổi dấu các ô trong bảng ô vuông 2 2 ở góc trái phía trên

4 Đổi dấu các ô trong bảng ô vuông 2 2 ở góc phải phía dưới

5 Đổi dấu tất cả các ô trong bảng

Phát triển:

Bây giờ ta có thể suy nghĩ đến một cách tô màu kiểu "xen kẽ" khác, mở rộng hơn, đặc biệt hơn, không phải theo các dòng hay cột mà là "xen kẽ" theo các "khu vực" cạnh nhau Đương nhiên điều này còn tùy thuộc vào cách ta phân chia các "khu vực" Một cách hay gặp là phân chia bảng có kích thước vuông thành các dải biên của các bảng vuông con bắt đầu từ ô trung tâm, mở rộng dần ra đến biên của bảng vuông lớn

Ta minh họa cách tô màu này trong bài toán sau, một bài toán thi Quốc tế

Bài tập 1.14 (Ôlympic toán Quốc tế 1999) Cho n nguyên dương chẵn Ta gọi

2 ô trong bảng n n là "hàng xóm" nếu chúng có chung cạnh Tìm số ít nhất các ô trong bảng n n cần đánh dấu sao cho mỗi ô trong bảng đều có ít nhất 1

ô "hàng xóm" được đánh dấu

Giải:

Hình 2.8 Tô màu bảng 2k2k