Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy toán tổ hợp lớp 11 trung học phổ thông nhằm phát huy năng lực học tập của học sinh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC PHẠM THỊ THANH VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC TRONG GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT HUY NĂNG L

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HỌC SINH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM THỊ THANH

VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC TRONG GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP LỚP 11 TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC

HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

HỌC TẬP

CỦA HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo

và các em học sinh Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh đã giúp đỡ tác giả hoàn thành bản luận văn này

Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin được dành cho người thân, gia đình và bạn bè, đặc biệt là lớp Cao học Toán K4 trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, vì trong suốt thời gian qua đã cổ vũ động viên cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ

Do khả năng hạn chế và đây là lần đầu tiên làm nghiên cứu khoa học

có tính quy mô như vậy nên luận văn có thể còn nhiều thiếu sót Kính mong các thầy cô giáo và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn chỉnh hơn Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày… tháng… năm…

Tác giả

Phạm Thị Thanh

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 1

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Mẫu khảo sát 2

6 Vấn đề nghiên cứu 2

7 Giả thuyết nghiên cứu 2

8 Phương pháp chứng minh giả thuyết 3

9 Luận cứ 3

10 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Phương pháp dạy học tích cực là gì? 5

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học 5

1.1.2 Vì sao phải dạy học tích cực? 6

1.1.3 Phương pháp dạy học tích cực 7

1.2 Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực 8

1.2.1 Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh 8

1.2.2 Dạy học chú trọng rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học 9

1.2.3 Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác 10

1.2.4 Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò 11

1.3 Một số phương pháp dạy học tích cực cần phát triển ở trường THPT 12

1.3.1 Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề 12

1.3.2 Phương pháp dạy học tự học 14

1.3.3 Phương pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phương pháp Project) 16

1.4 Dạy và học toán tổ hợp ở trường phổ thông 20

1.4.1 Chương trình học 20

1.4.2 Thực trạng dạy và học toán tổ hợp ở trường phổ thông 21

Kết luận chương 1 22

Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

TÍCH CỰC TRONG GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP LỚP 11

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC

HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 23

2.1 Vận dụng phương pháp dạy học nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề 23

2.1.1 Phát hiện và giải quyết vấn đề trong đào sâu bài toán, tổng quát hóa bài toán 23

2.1.2 Phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tìm sai lầm trong lời giải cho trước và đưa ra lời giải đúng 30

2.2 Vận dụng phương pháp dạy học tự học 33

2.2.1 Tự học thông qua hướng dẫn học sinh tự đọc 33

2.2.2 Tự học thông qua phiếu học tập 36

2.3 Vận dụng phương pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phương pháp Project) 39

2.3.1 Giao và hướng dẫn học sinh làm bài tập lớn theo chủ đề 39

2.3.2 Xây dựng dự án “Một số dạng tính tổng tổ hợp trong các đề thi đại học” 53

Kết luận chương 2 64

Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 66

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 66

3.2 Đối tượng và địa bàn thực nghiệm 66

3.3.1 Thời gian thực nghiệm 66

3.3.2 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 66

3.4 Kết quả dạy thực nghiệm 84

3.5 Phân tích và đánh giá kết quả thực nghiệm 90

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 92

1 Kết luận 92

2 Khuyến nghị 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán tổ hợp là phần kiến thức mới và có nhiều bài toán khó Những kiến thức này có nhiều ứng dụng trong thực tế và rất cần thiết khi học sinh tiếp tục học lên ở các bậc học cao hơn ở một số ngành học Vì thế việc giảng dạy để học sinh chủ động chiếm lĩnh phần kiến thức này và thông qua đó nâng cao được năng lực học tập của học sinh là rất cần thiết

Tạp chí Mỹ Mathematical reviews (1997) đã thống kê rằng hiện nay mỗi năm có hơn mười vạn bài nghiên cứu toán học được công bố: nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, cứ 10 năm lại tăng lên gấp đôi Rõ ràng, cần phải học tất

cả nhưng không thể dạy được tất cả Chỉ có biết cách tự học mới có thể đáp ứng được sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật.Vì vậy, để thực hiện được mục tiêu của giáo dục là đào tạo được những con người đáp ứng được yêu cầu trong thời đại công nghiệp hóa, hiện đại hóa và hội nhập thì yêu cầu đầu tiên đối với mỗi giáo viên là đổi mới phương pháp giảng dạy sao cho phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh Một trong số đó là phương pháp dạy học tích cực Khái niệm phương pháp dạy học tích cực là một khái niệm làm việc, hướng vào việc tích cực hóa hoạt động học tập và phát triển tính sáng tạo của học sinh Trong đó các hoạt động học tập được thực hiện và điều khiển, người học không thụ động mà cần tự lực lĩnh hội nội dung học tập Với những lý

do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là:

“Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy toán tổ hợp lớp 11 trung học phổ thông nhằm phát huy năng lực học tập của học sinh”

2 Lịch sử nghiên cứu

Nội dung toán tổ hợp được đưa vào giảng dạy từ cấp trung học phổ thông ở hầu hết các nước trên thế giới Tuy nhiên, ở Việt Nam sau nhiều lần thử nghiệm thì nội dung này mới được đưa vào chương trình sách giáo khoa lớp

11 và được giảng dạy chính thức từ năm học 2007 – 2008 Đây là nội dung mới

và khó đối với cả người học và người dạy Sách tham khảo về phần này chỉ giúp giáo viên hệ thống bài tập mà chưa đề cập đến phương pháp giảng dạy mang lại hiệu quả, nhất là phát huy năng lực học tập của học sinh Trong vài năm trở lại đây, phương pháp dạy học tích cực thường được đề cập đến khi bàn

về đổi mới phương pháp giảng dạy bởi những hiệu quả nhất định mà nó mang lại Phương pháp này cũng được áp dụng ở hầu hết các môn học và cấp học Vì vậy, việc vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy là không mới nhưng vận dụng nó trong giảng dạy một nội dung mới và khó như toán tổ hợp là một hướng đi cần sự tham gia đóng góp của các thầy cô giáo và các nhà khoa học

3 Mục tiêu nghiên cứu

Chọn lựa một số phương pháp dạy học tích cực và vận dụng linh hoạt các phương pháp này trong giảng dạy toán tổ hợp lớp 11 nhằm phát huy năng lực học tập của học sinh

7 Giả thuyết nghiên cứu

Để phát huy năng lực học tập của học sinh thông qua việc giảng dạy

nội dung toán tổ lớp 11 trung học phổ thông giáo viên nên vận dụng kết hợp

và linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực sau đây:

- Phương pháp nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề

- Phương pháp dạy học tự học

- Phương pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phương pháp Project)

8 Phương pháp chứng minh giả thuyết

- Dùng phiếu điều tra để khảo sát thực trạng dạy và học toán tổ hợp ở trường trung học phổ thông

- Phỏng vấn giáo viên về việc áp dụng phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy nói chung và dạy toán tổ hợp lớp 11 nói riêng và hiệu quả đạt được

- Nghiên cứu tài liệu về kiến thức toán tổ hợp, các tài liệu về phương pháp dạy học tích cực, và các tài liệu về phát huy năng lực của học sinh

- Thực nghiệm các phương pháp nêu trong giả thuyết và phân tích kết quả

9 Luận cứ

a) Luận cứ lý thuyết

- Phương pháp dạy học tích cực

- Nội dung phương pháp dạy học nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề

- Nội dung phương pháp dạy học tự học

- Nội dung phương pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phương pháp Project)

b) Luận cứ thực tiễn

- Kết quả thực nghiệm về năng lực học tập của học sinh sau quá trình giảng dạy của giáo viên có và không có sự vận dụng các phương pháp dạy học tích cực nêu trong giả thuyết

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong giảng dạy toán tổ hợp lớp 11 trung học phổ thông nhằm phát huy năng lực học tập của học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Phương pháp dạy học tích cực là gì?

1.1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Định hướng đổi mới phương pháp da ̣y học đã được khẳng định trong Nghị quyết Trung ương 4 khoá VII, Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII và được pháp chế hoá trong Luật Giáo dục (sửa đổi)

Nghị quyết Trung ương 2 (khoá VIII) nêu rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào trong quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học cho học sinh” Điều 24.2 Luật Giáo dục quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Chiến lược phát triển giáo dục 2001- 2010 (Ban hành kèm theo Quyết định số 201/2001/QĐ- TTg ngày 28 tháng 12 năm 2001 của Thủ tướng Chính phủ), ở mục 5.2 ghi rõ: “Đổi mới và hiện đại hoá phương pháp giáo dục Chuyển từ việc truyền thụ tri thức thụ động, thầy giảng, trò ghi sang hướng dẫn người học chủ động tư duy trong quá trình tiếp cận tri thức, dạy cho người học phương pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách có hệ thống

và có tư duy phân tích, tổng hợp, phát triển năng lực của mỗi cá nhân, tăng cường tính chủ động, tính tự chủ của học sinh trong quá trình học tập, ”

Như vậy, việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học phổ thông được diễn ra theo bốn hướng chủ yếu và đều nhằm phát huy năng lực học tập của học sinh:

- Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh

- Bồi dưỡng phương pháp tự học

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn

- Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh

Trong đó, hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh

là cơ bản, chủ yếu, chi phối đến ba hướng sau

1.1.2 Vì sao phải dạy học tích cực?

Vấn đề phát huy năng lực học tập của học sinh đã được đặt ra trong ngành giáo dục Việt Nam từ những năm 1960 Ở thời điểm này, các trường sư phạm đã có khẩu hiệu: “Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo” Trong cuộc cải cách giáo dục lần thứ hai, năm 1980, phát huy năng lực học tập đã là một trong các phương hướng cải cách, nhằm đào tạo những người lao động sáng tạo, làm chủ đất nước Từ đó, trong nhà trường xuất hiện ngày càng nhiều tiết dạy tốt của các giáo viên, theo hướng tổ chức cho học sinh hoạt động, tự lực chiếm lĩnh tri thức mới Tuy vậy, phương pháp dạy học ở trường phổ thông và phương pháp đào tạo giáo viên ở trường sư phạm phổ biến vẫn là cách dạy thông báo kiến thức “đọc - chép” hay còn được gọi là truyền thụ một chiều Phương pháp dạy học này dẫn đến sự thụ động của người học, nặng về ghi nhớ lý thuyết, thiếu kỹ

năng thực hành áp dụng…

Sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức của quá trình hội nhập kinh tế toàn cầu đòi hỏi phải có nguồn nhân lực, người lao động có đủ phẩm chất và năng lực đáp ứng yêu cầu của xã hội trong giai đoạn mới Người lao động phải có khả năng thích ứng, khả năng thu nhận và vận dụng linh hoạt, sáng tạo tri thức của nhân loại vào điều kiện hoàn cảnh thực

tế, tạo ra những sản phẩm đáp ứng yêu cầu của xã hội

Để có nguồn nhân lực trên, yêu cầu đặt ra là phải đổi mới giáo dục, trong đó có đổi mới mục tiêu giáo dục, đổi mới nội dung giáo dục và đổi mới phương pháp dạy và học theo định hướng đã nêu trên

1.1.3 Phương pháp dạy học tích cực

Như chúng ta đã biết, mỗi một phương pháp giảng dạy dù cổ điển hay hiện đại đều nhấn mạnh lên một khía cạnh nào đó của cơ chế dạy-học hoặc nhấn mạnh lên mặt nào đó thuộc về vai trò của người thầy Cho dù các phương pháp thể hiện hiệu quả như thế nào thì nó vẫn tồn tại một vài khía cạnh mà người học và người dạy chưa khai thác hết Chính vì thế mà không

có một phương pháp giảng dạy nào được cho là lý tưởng Mỗi một phương pháp đều có ưu điểm của nó do vậy người thầy nên xây dựng cho mình một phương pháp riêng phù hợp với mục tiêu, bản chất của vấn đề cần trao đổi, phù hợp với thành phần nhóm lớp học, các nguồn lực, công cụ dạy-học sẵn có

và cuối cùng là phù hợp với sở thích của mình

Theo Lê Văn Hảo [5, tr 7], phương pháp dạy học được gọi là tích cực nếu

hội tụ được các yếu tố sau:

- Thể hiện rõ vai trò của nguồn thông tin và các nguồn lực sẵn có

- Thể hiện rõ được động cơ học tập của người học khi bắt đầu môn học

- Thể hiện rõ được bản chất và mức độ kiến thức cần huy động

- Thể hiện rõ được vai trò của người học, người dạy, vai trò của các mối tương tác trong quá trình học

- Thể hiện được kết quả mong đợi của người học

Còn theo Vũ Hồng Tiến [15, tr 2] thì phương pháp dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ đó phát huy được năng lực học tập của học sinh

"Tích cực" trong phương pháp dạy học tích cực được dùng với nghĩa là

hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ không

dùng theo nghĩa trái với tiêu cực

Phương pháp dạy học tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính

tích cực của người học chứ không phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy, tuy nhiên để dạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạy theo phương pháp thụ động

Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy chỉ đạo cách học, nhưng ngược lại thói quen học tập của trò cũng ảnh hưởng tới cách dạy của thầy Chẳng hạn, có trường hợp học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt động nhưng giáo viên chưa đáp ứng được, hoặc có trường hợp giáo viên hăng hái áp dụng phương pháp dạy học tích cực nhưng không thành công vì học sinh chưa thích ứng, vẫn quen với lối học tập thụ động Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách dạy hoạt động để dần dần xây dựng cho học sinh phương pháp học tập chủ động một cách vừa sức, từ thấp lên cao Trong đổi mới phương pháp dạy học phải có sự hợp tác cả của thầy và trò,

sự phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động học thì mới thành công Như vậy, việc dùng thuật ngữ "Dạy và học tích cực” để phân biệt với

“Dạy và học thụ động”

1.2 Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực

1.2.1 Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh

Theo Trần Bá Hoành [8, tr 15]: Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng của hoạt động "dạy", đồng thời là chủ thể của hoạt động "học" - được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mình chưa rõ chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được giáo viên sắp đặt Được đặt vào những tình huống của đời sống thực tế, người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ

đó nắm được kiến thức kĩ năng mới, vừa nắm được phương pháp "làm ra" kiến thức, kĩ năng đó, không rập theo những khuôn mẫu sẵn có, được bộc lộ

và phát huy tiềm năng sáng tạo

Dạy theo cách này thì giáo viên không chỉ giản đơn truyền đạt tri thức

mà còn hướng dẫn hành động Chương trình dạy học phải giúp cho từng học sinh biết hành động và tích cực tham gia các chương trình hành động của cộng đồng

Tóm lại trong dạy và học tích cực, người học được cuốn hút tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó, tự lực khám phá, tìm tòi kiến thức không thụ động trông chờ vào việc truyền thụ của giáo viên Người học được hoạt động, được trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề, vận dụng kiến thức vào thực tế cuộc sống theo khả năng nhận thức, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân

1.2.2 Dạy học chú trọng rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học

Theo Vũ Hồng Tiến [15, tr 7] phương pháp dạy học tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học

Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh, với sự bùng nổ thông tin, khoa học, kĩ thuật, công nghệ phát triển như vũ bão, thì không thể nhồi nhét vào đầu óc học sinh khối lượng kiến thức ngày càng nhiều Phải quan tâm dạy cho học sinh phương pháp học ngay từ bậc Tiểu học và càng lên bậc học cao hơn càng phải được chú trọng

Trong các phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học Nếu rèn

luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học

thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi con người, kết quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội Thói quen tự học được thể hiện ở mọi nơi, mọi lúc, học trên lớp, học ở nhà, học trong thư viện và học ngoài thực tiễn cuộc sống, thông qua các phương tiện: tài liệu, sách báo, truyền hình, phim ảnh, internet, thực tiễn, thầy cô giáo và những người xung quanh

Vì vậy, ngày nay người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học trong quá trình

dạy học, nỗ lực tạo ra sự chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ

động, đặt vấn đề phát triển tự học ngay trong trường phổ thông, không chỉ tự

học ở nhà sau bài lên lớp mà tự học cả trong tiết học có sự hướng dẫn của giáo viên

1.2.3 Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác

Theo Vũ Hồng Tiến [ 15, tr 10] trong một lớp học mà trình độ kiến thức,

tư duy của học sinh không thể đồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận sự phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học được thiết kế thành một chuỗi công tác độc lập Áp dụng phương pháp dạy học tích cực ở trình độ càng cao thì sự phân hóa này càng lớn Việc sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin trong nhà trường sẽ đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu và khả năng của mỗi học sinh

Tuy nhiên, trong học tập, không phải mọi tri thức, kĩ năng, thái độ đều được hình thành bằng những hoạt động độc lập cá nhân Lớp học là môi trường giao tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đường chiếm lĩnh nội dung học tập Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học nâng mình lên một trình độ mới Bài học vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của người thầy giáo

Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác được tổ chức ở cấp nhóm, tổ, lớp hoặc trường Được sử dụng phổ biến trong dạy học là hoạt động hợp tác trong nhóm nhỏ 4 đến 6 người Học tập hợp tác làm tăng hiệu quả học tập, nhất là lúc phải giải quyết những vấn đề gay cấn, lúc xuất hiện thực sự nhu cầu phối hợp giữa các cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong hoạt động theo nhóm nhỏ sẽ không thể có hiện tượng ỷ lại; tính cách năng lực của mỗi thành viên được bộc lộ, uốn nắn, phát triển tình bạn, ý thức tổ chức, tinh thần tương trợ Mô hình hợp tác trong xã hội đưa vào đời sống học đường sẽ làm cho các thành viên quen dần với sự phân công hợp tác trong lao động xã hội

Trong nền kinh tế thị trường đã xuất hiện nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên quốc gia; năng lực hợp tác phải trở thành một mục tiêu giáo dục mà nhà trường phải chuẩn bị cho học sinh

1.2.4 Kết hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò

Theo Vũ Hồng Tiến [15, tr 12] trong dạy học, việc đánh giá học sinh không chỉ nhằm mục đích nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động học của trò mà còn đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng và điều chỉnh hoạt động dạy của thầy

Trước đây giáo viên giữ độc quyền đánh giá học sinh Trong phương pháp tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học Liên quan với điều này, giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau Tự đánh giá đúng

và điều chỉnh hoạt động kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường phải trang bị cho học sinh Theo hướng phát triển các phương pháp tích cực để đào tạo những con người năng động, sớm thích nghi với đời sống xã hội, thì việc kiểm tra, đánh giá không thể dừng lại ở yêu cầu tái hiện các kiến thức, lặp lại các kĩ năng đã học mà phải khuyến khích trí thông minh, óc sáng tạo trong việc giải quyết những tình huống thực tế

Với sự trợ giúp của các thiết bị kĩ thuật, kiểm tra đánh giá sẽ không còn

là một công việc nặng nhọc đối với giáo viên, mà lại cho nhiều thông tin kịp thời hơn để linh hoạt điều chỉnh hoạt động dạy, chỉ đạo hoạt động học

Từ dạy và học thụ động sang dạy và học tích cực, giáo viên không còn đóng vai trò đơn thuần là người truyền đạt kiến thức, giáo viên trở thành

người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn các hoạt động độc lập hoặc theo nhóm nhỏ

để học sinh tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu cầu của chương trình Trên lớp, học sinh hoạt động là chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã hơn nhưng trước đó, khi soạn giáo án, giáo viên đã phải đầu tư công sức, thời gian rất nhiều so với kiểu dạy

và học thụ động mới có thể thực hiện bài lên lớp với vai trò là người gợi mở,

xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài trong các hoạt động tìm tòi hào hứng,

tranh luận sôi nổi của học sinh Giáo viên phải có trình độ chuyên môn sâu rộng, có trình độ sư phạm lành nghề mới có thể tổ chức, hướng dẫn các hoạt động của học sinh mà nhiều khi diễn biến ngoài tầm dự kiến của giáo viên

1.3 Một số phương pháp dạy học tích cực cần phát triển ở trường THPT

1.3.1 Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo Bùi Văn Nghị [13, tr 6]: Khổng Tử đã có một câu bất hủ, đại ý là: một hình có bốn góc, ta chỉ dạy cho các trò một góc, còn ba góc các trò phải

tự học lấy Ông đề cao việc tự giải quyết vấn đề của học sinh

Theo I.Ia.Lecne: Dạy học nêu vấn đề là phương pháp dạy học trong

đó học sinh tham gia một cách có hệ thống vào quá trình giải quyết vấn đề

và các bài toán có vấn đề được xây dựng theo nội dung tài liệu học tập trong chương trình

Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề dựa trên cơ sở khoa học là những kết quả nghiên cứu về triết học, tâm lí học, giáo dục học:

- Cơ sở triết học: “Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”, mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức và những tri thức, kĩ năng còn hạn chế là động lực thúc đẩy nhận thức ở học sinh

- Cơ sở tâm lí học: “Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy” Khi có nhu cầu hiểu biết, có niềm say mê, hứng thú thì quá trình nhận thức có hiệu quả tăng lên rõ rệt

- Cơ sở giáo dục học: Sẽ có hiệu quả giáo dục cao hơn khi quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo

Theo Nguyễn Bá Kim [10, tr 39], trong phương pháp dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề có những khái niệm cơ bản là vấn đề, tình huống gợi vấn

đề, kiểu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề, câu hỏi, yêu cầu

hoạt động chưa được giải đáp, chưa có phương pháp có tính thuật toán để giải hoặc thực hiện

- Tình huống gợi vấn đề là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề, gợi nhu cầu nhận thức, gây niềm tin ở khả năng

- Kiểu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là kiểu dạy học mà giáo viên tạo

ra tình huống gợi vấn đề và điều khiển học sinh phát hiện và giải quyết vấn

đề, qua đó học sinh lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kĩ năng, đạt được mục đích dạy học

Có những hình thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là:

- Tự nghiên cứu vấn đề: Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề

- Vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề: Trong vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề học sinh làm việc không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý dẫn dắt của giáo viên khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức dạy học này là những câu hỏi của giáo viên và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò

- Thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề: Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau đó chính học sinh phát hiện vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề

Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thường có các bước sau:

- Phát hiện vấn đề: tạo tình huống có vấn đề, phát hiện những dạng vấn đề nảy sinh, phát hiện vấn đề cần giải quyết

- Tìm giải pháp: đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch giải quyết vấn đề, thực hiện kế hoạch giải quyết vấn đề

- Trình bày giải pháp: khảng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu

- Nghiên cứu sâu giải pháp: tìm hiểu những khă năng ứng dụng kết quả, đề xuất những vấn đề mới có liên quan

1.3.2 Phương pháp dạy học tự học

Theo Bùi Văn Nghị [13, tr 17-20]: Rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học Từ lâu, các nhà sư phạm đã nhận thức được ý nghĩa của việc dạy phương pháp học

Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh chóng, với sự bùng nổ thông tin, khoa học và công nghệ đang phát triển như vũ bão thì việc dạy phương pháp học được quan tâm ngay từ bậc tiểu học và càng lên bậc học cao hơn càng được coi trọng Đây là cách hữu hiệu để chuẩn bị cho lớp người kế tục thích ứng với xã hội học tập, trong đó mỗi người phải có năng lực học tập liên tục, suốt đời

Trong phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học Phương pháp

tự học là cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học Một yếu tố quan trọng đảm bảo thành công trong học tập và nghiên cứu khoa học là khả năng phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn Nếu rèn luyện cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, thói quen tự học, biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, biết tự lực phát hiện đặt ra và giải quyết những vấn đề gặp phải trong thực tiễn thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, chuẩn bị cho họ tiếp tục tự học khi vào đời, dễ dàng thích ứng với cuộc sống, công tác, lao động trong xã hội

Nhà trường phổ thông không thể cung cấp cho con người một vốn liếng tri thức cho suốt cả cuộc đời, nhưng nó có thể cung cấp một nhân lõi nào đó của các tri thức cơ bản Nhà trường phổ thông có thể và cần phải phát triển các hứng thú, năng lực nhận thức của học sinh, cung cấp cho họ những kĩ năng cần thiết của việc tự học

Phương pháp tự học có cơ sở khoa học và thực tiễn Theo các nhà tâm

lí học: con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức chỉ

có kết quả cao khi chủ thể ham thích, tự giác và tích cực; sẽ đem lại hiệu quả

giáo dục cao hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục Thực tế cho thấy nếu học sinh chỉ học một cách thụ động, được nhồi nhét kiến thức, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên

Tạp chí Mỹ Mathematical reviews (1997) đã thống kê rằng hiện nay mỗi năm có hơn mười vạn bài nghiên cứu toán học được công bố: nhịp điệu tăng trưởng theo hàm số mũ, cứ 10 năm lại tăng lên gấp đôi Rõ ràng cần phải học tất cả nhưng không thể dạy được tất cả Chỉ có biết cách tự học mới có thể đáp ứng được sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật

Quá trình tự học là quá trình xuất phát từ nhu cầu nhận thức, chủ thể dựa vào các phương tiện nhận thức, tự nhận thức được, tiếp thu được những tri thức nào đấy

Nhu cầu nhận thức Kết quả nhận thức

Phương tiện nhận thức

Ngày nay ngành công nghệ thông tin đã phát triển vô cùng mạnh mẽ, đã thâm nhập vào tất cả các ngành, mọi người đều thấy cần phải biết tin học, đã nảy sinh vấn đề tự học tin học

Phương pháp dạy học tự học là cách thức tác động của giáo viên vào quá trình tự học của học sinh Hệ phương pháp dạy học tự học nằm trong hệ

phương pháp dạy học môn toán Những kĩ năng cần thiết của người tự học môn toán là:

- Đào sâu suy nghĩ, khai thác bài toán, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán…

- Tự tổng kết các vấn đề Chẳng hạn: các câu hỏi phụ của bài toán khảo sát, hay phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong không gian,…

- Biết ghi chép sau khi đọc một tài liệu, một quyển sách, một vấn đề

Có thể nói, ngoài giờ lên lớp, các thời gian học sinh học tập ở nhà,

không có sự hướng dẫn trực tiếp của giáo viên, đều là tự học Các em tự ôn lại bài, tự luyện tập hoặc ở mức độ cao hơn là tự đọc sách tham khảo để bổ sung,

mở rộng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, tự tổng kết… Đó là tự học những tri thức đã biết Với kinh nghiệm của mình, giáo viên có thể trao đổi, hướng dẫn hoặc tổ chức những buổi tọa đàm, trao đổi, thảo luận chung về phương pháp

tự học trong các trường hợp này cho học sinh

Trên lớp, giáo viên có thể hướng dẫn, rèn luyện cho học sinh phương pháp tự đọc (những tri thức chưa biết) Để rèn luyện phương pháp tự đọc cho học sinh cần có những hoạt động sau:

- Xác định rõ mục tiêu: Đọc một nội dung nào đó để nắm được những vấn đề gì? Trả lời được những câu hỏi nào? Làm được việc gì?

- Hoạt động làm mẫu: Giáo viên có thể hướng dẫn tại lớp cách đọc, cách ghi chép một chương, một bài nào đó trong sách giáo khoa

- Rèn luyện các kĩ năng: đào sâu suy nghĩ, tự tổng kết, biết ghi chép sau khi đọc…

Để hướng dẫn học sinh tự đọc, giáo viên yêu cầu học sinh đọc một đoạn trong sách giáo khoa để trả lời được các câu hỏi của giáo viên đặt ra Muốn vậy giáo viên phải chuẩn bị trước các câu hỏi Nêu câu hỏi được đặt ra trước khi đọc thì có tính áp đặt, buộc học sinh phải đọc và có ý nghĩa hướng đích cho người đọc Nếu các câu hỏi được đặt ra sau khi đọc thì đề cao tính tự giác, chủ động, tích cực của học sinh hơn, nhưng kết quả đọc có thể thấp hơn Phương pháp này thường dùng khi người giáo viên không muốn nói lại đúng những điều đã được trình bày trong sách giáo khoa

1.3.3 Phương pháp hoạt động nhóm và dạy học dự án (phương pháp Project)

1.3.3.1 Phương pháp hoạt động nhóm

Theo Lê Văn Hảo [5, tr 13]: Để giúp người học tham gia vào đời sống

xã hội một cách tích cực, tránh tính thụ động, ỷ lại thì phương pháp dạy học trong nhà trường có một vai trò rất to lớn Dạy học theo nhóm đang là một

trong những phương pháp tích cực nhằm hướng tới mục tiêu trên Với phương pháp này, người học được làm việc cùng nhau theo các nhóm nhỏ và mỗi một thành viên trong nhóm đều có cơ hội tham gia vào nhiệm vụ đã được phân công sẵn Hơn nữa với phương pháp này người học thực thi nhiệm vụ mà

không cần sự giám sát trực tiếp, tức thời của giáo viên

Một nhiệm vụ mang tính cộng tác là nhiệm vụ mà người học không thể

giải quyết một mình mà cần thiết phải có sự cộng tác thực sự giữa các thành

viên trong nhóm tuy nhiên vẫn phải đảm bảo tính độc lập giữa các thành viên

Hơn nữa, người dạy cần phải có yêu cầu rõ ràng và tạo điều kiện thuận lợi cho

việc hợp tác giữa người học Lê Văn Hảo sử dụng thuật ngữ “hợp tác” nhằm

nhấn mạnh đến công việc mà người học tiến hành trong suốt quá trình thực thi nhiệm vụ Trong quá trình hợp tác, công việc thường được phân công ngay từ đầu cho mỗi thành viên

Cần chú ý rằng tầm quan trọng của nhiệm vụ được phân công và vai trò của nhiệm vụ sẽ quyết định động cơ học tập của người học Người học sẽ có động cơ thực hiện nhiệm vụ của mình nếu họ biết rõ được vai trò của các nguồn thông tin ban đầu, của các nguồn lực sẵn có, biết được ý nghĩa của vấn

đề, của các yếu tố đầu vào

Thực tế ở trường phổ thông, lớp học thường được chia thành từng nhóm nhỏ từ 4 đến 6 người Tùy mục đích, yêu cầu của vấn đề học tập, các nhóm được phân chia ngẫu nhiên hay có chủ định, được duy trì ổn định hay thay đổi trong từng phần của tiết học, được giao cùng một nhiệm vụ hay những nhiệm

vụ khác nhau Nhóm tự bầu nhóm trưởng nếu thấy cần Trong nhóm có thể phân công mỗi người một phần việc Trong nhóm nhỏ, mỗi thành viên đều phải làm việc tích cực, không thể ỷ lại vào một vài người hiểu bết và năng động hơn Các thành viên trong nhóm giúp đỡ nhau tìm hiểu vấn đề nêu ra trong không khí thi đua với các nhóm khác Kết quả làm việc của mỗi nhóm sẽ đóng góp vào kết quả học tập chung của cả lớp Để trình bày kết quả làm việc của

nhóm trước toàn lớp, nhóm có thể cử ra một đại diện hoặc phân công mỗi thành viên trình bày một phần nếu nhiệm vụ giao cho nhóm là khá phức tạp Phương pháp hoạt động nhóm có thể tiến hành :

- Phân công trong nhóm

- Cá nhân làm việc độc lập rồi trao đổi hoặc tổ chức thảo luận trong nhóm

- Cử đại diện hoặc phân công trình bày kết quả làm việc theo nhóm

Tổng kết trước lớp

- Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả

- Thảo luận chung

- Giáo viên tổng kết, đặt vấn đề cho bài tiếp theo, hoặc vấn đề tiếp theo trong bài

Phương pháp hoạt động nhóm giúp các thành viên trong nhóm chia sẻ các băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân, cùng nhau xây dựng nhận thức mới Bằng cách nói ra những điều đang nghĩ, mỗi người có thể nhận rõ trình

độ hiểu biết của mình về chủ đề nêu ra, thấy mình cần học hỏi thêm những gì Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải là sự tiếp nhận thụ động từ giáo viên

Thành công của bài học phụ thuộc vào sự nhiệt tình tham gia của mọi thành viên, vì vậy phương pháp này còn gọi là phương pháp cùng tham gia Tuy nhiên, phương pháp này bị hạn chế bởi không gian chật hẹp của lớp học, bởi thời gian hạn định của tiết học, cho nên giáo viên phải biết tổ chức hợp lý

và học sinh đã khá quen với phương pháp này thì mới có kết quả Cần nhớ rằng, trong hoạt động nhóm, tư duy tích cực của học sinh phải được phát huy

và ý nghĩa quan trọng của phương pháp này là rèn luyện năng lực hợp tác giữa các thành viên trong tổ chức lao động Cần tránh khuynh hướng hình thức và đề phòng lạm dụng, cho rằng tổ chức hoạt động nhóm là dấu hiệu tiêu biểu nhất của đổi mới phương pháp dạy học và hoạt động nhóm càng nhiều thì chứng tỏ phương pháp dạy học càng đổi mới

1.3.3.2 Phương pháp Project

Theo Nguyễn Thị Phương Hoa [6, tr 17-19]:

- Nguồn gốc ra đời của phương pháp Project: Dạy học theo dự án có nguồn gốc từ châu Âu từ thế kỷ 16 (ở Ý, Pháp) Đầu thế kỷ 20 các nhà sư phạm Mỹ xây dựng lý luận cho dạy học dự án J.Dewey được xem như cha đẻ của phương pháp này Ngày nay dạy học dự án được sử dụng rộng rãi trên thế giới, trong tất cả các cấp học môn học

- Phương pháp dạy học theo kiểu Project là phương pháp tổ chức cho học sinh (dưới sự hướng dẫn của giáo viên) cùng nhau giải quyết không chỉ về mặt lí thuyết mà còn về mặt thực tiễn một nhiệm vụ học tập có tính chất tổng hợp, tạo điều kiện cho học sinh cùng và tự quyết định trong tất cả các giai đoạn học tập, kết quả là tạo ra được một sản phẩm hoạt động nhất định

- Đặc điểm của phương pháp Project: gắn với tình huống, định hướng học sinh, ý nghĩa thực tiễn xã hội, tự tổ chức (tự chịu trách nhiệm), định hướng thực tiễn, định hướng sản phẩm, học mang tính phức hợp

- Các bước thực hiện Project:

Trong các bước thực hiện project thì bước thông báo và giao lưu tương hỗ xuyên suốt trong quá trình thực hiện project

1.4 Dạy và học toán tổ hợp ở trường phổ thông

1.4.1 Chương trình học

Phần toán tổ hợp được đưa vào chương Tổ hợp và xác suất, sách giáo khoa lớp 11 ban nâng cao từ năm học 2007 – 2008 Toán tổ hợp gồm 8 tiết chia thành 3 bài cụ thể như sau:

- Bài 1: Hai quy tắc đếm cơ bản (1 tiết)

Bài đọc thêm: Quy tắc cộng mở rộng

- Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (3 tiết)

Luyện tập (2 tiết)

- Bài 3: Nhị thức Niu-tơn (1 tiết)

Luyện tập (1 tiết)

Em có biết? Một số mẩu chuyện về nhà toán học Pascal?

Mục tiêu là cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu hết sức cơ bản về toán tổ hợp Cụ thể:

- Về kiến thức: Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh

+ Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân

+ Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp

+ Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

- Về kĩ năng: Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh

+ Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản

+ Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

1.4.2 Thực trạng dạy và học toán tổ hợp ở trường phổ thông

Toán tổ hợp là một nội dung hay, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn đời sống nhưng khó Khó cho cả người học và người dạy Trong thực tế khi học sinh học xong phần toán tổ hợp, chúng tôi có lập phiếu phỏng vấn cả giáo viên và học sinh bốn lớp 11 trường THPT Nguyễn Đức Cảnh - Hải Phòng, năm học 2010 – 2011 về những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học toán tổ hợp, xác suất Kết quả thu được như sau:

a, Thuận lợi:

- Trong các giờ dạy lý thuyết học sinh rất hứng thú với các tình huống giáo viên đặt vấn đề, phần lớn các bài toán đều liên quan đến thực tế cuộc sống nên học sinh thấy thiết thực và có nhu cầu tìm hiểu

- Giáo viên dễ dàng tạo không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho học sinh thông qua các ví dụ trong thực tế

- Giáo viên có thể khuyến khích học sinh sáng tác các bài tập tương tự bài tập mẫu, vừa sức để tự luyện tập thêm

b, Khó khăn:

- Khi học sinh học định nghĩa và cách xây dựng công thức tính số chỉnh hợp,

tổ hợp thì bắt đầu thấy khó hiểu và trừu tượng Thậm chí chưa phân biệt ngay được sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp

- Khi làm bài tập, học sinh thường nhầm lẫn 2 quy tắc đếm, lúng túng trong việc mô hình hóa bài toán theo cấu hình chỉnh hợp, tổ hợp, thiết kế thừa hoặc thiếu công đoạn,… Thậm chí không biết bắt đầu giải quyết bài toán từ đâu

- Khi có hướng giải cho bài toán rồi thì học sinh lại lúng túng trong việc trình bày lời giải, diễn đạt ý, thường gặp khó khăn khi tự mình giải quyết bài tập về nhà vì các em thấy khó khi rút ra phương pháp giải Từ đó chưa phát huy được năng lực học tập của học sinh

- Giáo viên khi giảng dạy nội dung này phải thuyết trình nhiều hơn, mất nhiều thời gian hơn để minh họa cho các công đoạn lựa chọn, gặp khó khăn trong việc dạy phân hóa học sinh

- Ở nội dung này, theo phân phối chương trình thì thời gian dành cho các tiết

lý thuyết là 5 tiết, bài tập là 3 tiết Trong khi các dạng toán của toán tổ hợp rất phong phú và đa dạng, bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập cũng rất hay và nhiều mà thời gian phân phối lại quá ít Vì vậy giáo viên gặp khó khăn khi thiết kế các giờ bài tập hoặc mở rộng nâng cao cho học sinh khá giỏi

- Thực tế giảng dạy, giáo viên ít khi vận dụng các phương pháp dạy học tích cực mà chủ yếu là dạy cho kịp chương trình, hoặc chỉ đầu tư bài giảng khi có giáo viên dự giờ

Chương 2: VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC TRONG GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

2.1 Vận dụng phương pháp dạy học nêu vấn đề, phát hiện và giải quyết vấn đề

2.1.1 Phát hiện và giải quyết vấn đề trong đào sâu bài toán, tổng quát hóa bài toán

Như đã trình bày ở trên, cốt lõi của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là tạo ra tình huống có vấn đề

Ví dụ 1 Tạo ra tình huống có vấn đề trong dạy học lý thuyết hoán vị, chỉnh hợp

Chẳng hạn xuất phát từ bài toán thực tế vào đầu năm học lớp 10 giáo viên chủ nhiệm muốn thành lập một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập và 1 lớp phó lao động Giả sử chỉ chọn những học sinh tự ứng cử Yêu cầu học sinh tính số cách để thành lập một ban cán sự lớp trong các trường hợp:

a, Có đúng 3 học sinh An, Hoa, Dũng ứng cử

b, Có 4 học sinh An, Hoa, Dũng, Khánh ứng cử

c, Có 5 học sinh An, Hoa, Dũng, Khánh, Linh ứng cử

Rõ ràng học sinh có thể tính được số cách thành lập một ban cán sự lớp bằng cách liệt kê các cách thỏa mãn yêu cầu bài toán, song có thể học sinh sẽ liệt kê thiếu trường hợp Nếu tăng số học sinh ứng cử thì học sinh sẽ gặp khó khăn nếu muốn liệt kê hết vì có nhiều cách Coi các bạn tự ứng cử là các phần

tử Coi các chức vụ lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó lao động là 3 vị trí

Từ bài toán trên tổng quát hóa thành bài toán: Tính số cách để sắp xếp n phần

tử vào n vị trí, sắp xếp n phần tử vào k vị trí (0 < k < n) Đây là tình huống có vấn đề vì học sinh chưa biết cách tính, gợi nhu cầu nhận thức ở học sinh và học sinh có niềm tin ở khả năng giải quyết vấn đề vì rõ ràng học sinh có thể giải quyết được bài toán trong trường hợp n = 3, n = 4 hoặc n = 5 và k = 3

Đa số các bài tập trong sách giáo khoa hay sách bài tập tương đối đơn giản Nhưng từ những bài toán này giáo viên có thể cho học sinh đào sâu bài toán bằng cách thêm bớt giả thiết hoặc kết luận để có những bài toán mới hay tổng quát hóa dạng toán vừa giải Tức là đặt học sinh vào các tình huống có vấn đề, gợi nhu cầu chinh phục yêu cầu mới của bài toán từ đó giúp học sinh nâng cao năng lực học tập của bản thân

Ví dụ 2 (bài 2, trang 54, sách giáo khoa): Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?

Giải: Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng ab Do a là số chẵn và a0nên a2,4,6,8tức là a có 4 cách chọn Do b là số chẵn nên b0,2,4,6,8tức là b có 5 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4.5 = 20 (số)

Phát hiện 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn và khác nhau ?

Từ lời giải bài toán trên học sinh dễ dàng suy ra nếu thêm yêu cầu hai chữ số

a, b phải khác nhau thì a vẫn có 4 cách chọn nhưng b chỉ còn 4 cách chọn vì

ba Do vậy chỉ có 4.4 = 16 số thỏa mãn bài toán

Phát hiện 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số mà cả m chữ số của nó đều chẵn?(m là số nguyên dương lớn hơn 2)

Rõ ràng đây là bài toán tổng quát của ví dụ 2, chữ số đầu tiên vẫn có 4 cách chọn, còn m – 1 chữ số còn lại mỗi chữ số đều có 5 cách chọn Do đó số các

số có thể thành lập được là 4.5m-1 số

Phát hiện 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều lẻ? Từ đó hãy phát biểu bài toán tổng quát và đưa ra hướng giải

Do cả hai chữ số đều lẻ nên cả a và b đều có 5 cách chọn , từ đó lập được 52

số thỏa mãn bài toán Bài toán tổng quát: “Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ

số mà cả m chữ số của nó đều lẻ (m là số nguyên dương lớn hơn 2)” Mỗi chữ

số đều có 5 cách chọn nên số các số cần tìm là 5m

số

Phát hiện 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà trong hai chữ số của

nó có một số chẵn, một số lẻ?

Với yêu cầu này thì xảy ra 2 trường hợp:

+ TH1: a chẵn và b lẻ Do a là số chẵn và a0 nên a2,4,6,8tức là a có 4 cách chọn Do b là số lẻ nên b1,3,5,7,9tức là b có 5 cách chọn Theo quy tắc nhân có 4.5 = 20 số

+ TH2: a lẻ, b chẵn nên cả a và b mỗi chữ số đều có 5 cách chọn (a1,3,5,7,9,b0,2,4,6,8) nên trường hợp này có 5.5= 25 số

i chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1được gọi là dãy nhị phân 10 bit?

a, Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit?

b, Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất 3 kí tự 0 và ít nhất

3 kí tự 1?

Giải:

a, Mỗi giá trị x i có 2 cách chọn 0 hoặc 1 nên có 2 10

dãy nhị phân 10 bit

b, Gọi k là số kí tự 0 Khi đó 10 – k là số kí tự 1 Điều kiện k3 và 10 k 3tương đương với 3 k 7 Có

10k

C dãy nhị phân 10 bit có k kí tự 0 và 10 – k

kí tự 1 Vậy số dãy cần tìm là: 7

103

k C

k m

 Tương tự cũng có

1010

k C

k m

 dãy nhị phân 10 bit có ít nhất m kí tự 1

Phát hiện 2: Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit mà trong đó có ít nhất m kí tự

Từ cách giải ví dụ trên học sinh suy luận ra chỉ cần chọn 1

Ví dụ 5 (bài 4, trang 54, sách giáo khoa): Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a, Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?

b, Có 4 chữ số khác nhau

Giải: Gọi số cần tìm là abcd

a, Do các chữ số không nhất thiết khác nhau nên mỗi chữ số a, b, c, d có 4 cách chọn Vậy số các số cần tìm là 44

số

b, Do các chữ số khác nhau nên a có 4 cách chọn b a nên b chỉ còn 3 cách chọn ca và cbnên c chỉ còn 2 cách chọn, cuối cùng d chỉ còn 1 cách chọn Vậy số các số cần tìm là: 4.3.2.1= 24 số

Phát hiện 1: Nếu trong 4 chữ số đề bài cho có xuất hiện chữ số 0 thì kết quả bài toán thay đổi như thế nào?

Nếu trong 4 chữ số giả thiết cho có mặt chữ số 0 thì ở câu a) phải bổ sung thêm điều kiện a0nên a chỉ còn 3 cách chọn, b, c, d mỗi số có 4 cách chọn nên số các số thỏa mãn là 3.43

= 192 số Tương tự như vậy ở câu b) a cũng có

3 cách chọn, b, c, d tương ứng có 3, 2, 1 cách chọn nên số các số cần tìm là 3.3.2.1=18 số

Phát hiện 2: Mỗi số cần tìm ở câu b) là một hoán vị của 4 phần tử Số các số

= 180000 số

Phát hiện 1: Tổng quát hóa bài toán”Có bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số

và chia hết cho 5 (m là số tự nhiên lớn hơn 1)?”

Từ cách giải bài toán trên suy ra chữ số đầu tiên khác 0 nên có 9 cách chọn, chữ số cuối cùng có 2 cách chọn bằng 0 hoặc bằng 5, m – 2 chữ số đứng giữa mỗi chữ số có 10 cách chọn Vậy số các số cần tìm là 9.2.10m-2

số

Phát hiện 2: Nếu bài toán yêu cầu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau

và chia hết cho 5 thì kết quả thay đổi như thế nào?

Nếu 6 chữ số này đôi một khác nhau thì f vẫn có 2 khả năng:

+ Nếu f = 0 thì a có 9 cách chọn vì a0và a f thì a vẫn chỉ khác chữ số 0, mỗi cách chọn bộ các số (b,c,d,e) là chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử (0,1,2, ,9 \ 0, a ) Số các số cần tìm là 1.9    4

8

A = 15120 số

+ Nếu f = 5 thì a có 8 cách chọn a0và a f thì a khác 2 chữ số là 0 và 5, mỗi cách chọn bộ các số (b,c,d,e) là chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử (0,1,2, ,9 \ 0, a  ) Số các số cần tìm là 1.8 4

8

A = 13440 số

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 15120 + 13440 = 28560 số

Ví dụ 7 (bài 15, trang 64, sách giáo khoa): Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường Yêu cầu trong các em đó phải có ít nhất 1 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Để chọn ra 5 em trong đó phải có ít nhất 1 em nữ, có các khả năng sau: + Có 1 em nữ và 4 em nam: có 1 4 140

Phát hiện 1: Có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau: Nếu chọn 5 em

bất kì thì số cách chọn là 5

10

C Trong số các cách chọn này có hai trường hợp xảy ra là 5 em được chọn đều là nam và trong 5 em được chọn có nữ Có

Phát hiện 2: Nếu thay đổi yêu cầu bài toán là trong 5 em được chọn có nhiều

nhất 1 em nữ thì kết quả bài toán là tổng các kết quả của 2 khả năng: 5 em được chọn đều là nam và trong 5 em được chọn có 1 em nữ, 4 em nam:

Ví dụ 8 (bài 20, trang 67, sách giáo khoa): Tính hệ số của x 9

trong khai triển ( 2 – x ) 19

Giải: Theo công thức nhị thức Niutơn ta có:

Tổng quát hóa bài toán: “Tìm hệ số của xm

trong khai triển (a + b)n ,trong đó

k



- Bước 2: Hệ số của xm chính là am , từ đó thay k bằng m vào hệ số a

kvà kết luận

Thông qua một số ví dụ trên giáo viên có thể đào sâu bài toán theo các hướng khác nhau để tập cho học sinh khi làm một bài toán nên suy nghĩ tìm nhiều hơn một cách giải (nếu có thể), từ bài toán ban đầu thêm bớt giả thiết để được các bài toán mới và đưa ra hướng giải, hay tổng quát bài toán vừa giải

Tất cả các việc làm đó sẽ giúp học sinh học tập chủ động và sáng tạo hơn, hiệu quả học tập cũng dần được cải thiện

2.1.2 Phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua tìm sai lầm trong lời giải cho trước và đưa ra lời giải đúng

Khi giải các bài toán tổ hợp nhiều học sinh thường lúng túng không biết vận dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân, không biết vận dụng các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp, thậm chí đáp số bài làm của mình khác đáp số của bạn nhưng các em cũng không biết ai đúng ai sai và sai ở đâu Vì vậy việc luyện học sinh phát hiện ra sai lầm trong lời giải cho trước và đưa ra lời giải đúng sẽ giúp học sinh củng cố thêm kĩ năng giải toán tổ hợp nói riêng

và nâng cao năng lực học tập nói chung Sau đây là một vài ví dụ với mục đích như thế

Ví dụ 1: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

Sai lầm: Trong trường hợp c = 0 thì a có 5 cách chọn (a = 1, 2, 3, 4, 5) còn

trong trường hợp c= 2 hoặc c= 4 thì a có 4 cách chọn Nên phải xét hai trường

hợp nếu c=0 và c 2,4

Lời giải đúng: Gọi số cần tìm là xabc Vì x là số chẵn nên c có 3 cách chọn ( c = 0, 2, 4)

- Nếu c = 0 thì a0nên ac, do đó a có 5 cách chọn và b có 4 cách chọn Trong trường hợp này có 1.5.4 = 20 số

- Nếu c= 2 hoặc c = 4 thì a0 và ac nên a có 4 cách chọn và b có 4 cách chọn Trong trường hợp này có 2.4.4 = 32 số

Theo quy tắc cộng ta có 20 + 32 = 52 số thỏa mãn bài toán

Ví dụ 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4

chữ số đôi một khác nhau và có mặt chữ số 1

Lời giải sai: Gọi số cần tìm là xabcd Do có mặt chữ số 1 nên có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 1 Do a0 nên a có 4 cách chọn Mỗi cách chọn hai số cho hai vị trí còn lại là chỉnh hợp chập 2 của 3 số còn lại Số các số cần tìm là: 4.4 2

3

A = 72 số

Sai lầm: Trong trường hợp a1thì a có 3 cách chọn và số vị trí còn lại là 2 vị trí còn trong trường hợp a = 1 thì số vị trí còn lại là 3 chứ không phải là 2 như trong lời giải trên

Lời giải đúng: Gọi số cần tìm là xabcd Do có mặt chữ số 1 nên có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 1

- Nếu a = 1 thì mỗi cách chọn bộ ba số b, c, d là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử 0, 2, 3, 4 Trong trường hợp này có 1 3

4

A = 24 số

- Nếu a1thì do a0nên a có 3 cách chọn, số 1 có thể được xếp vào một trong 3 vị trí của b, c hoặc d Mỗi cách chọn 2 trong 3 số còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại là một chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử Trong trường hợp này có 3.3 2

3

A = 54 số

Theo quy tắc cộng có 24 + 54 = 78 số thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 cặp nhảy từ một nhóm gồm 10 bạn

nam và 6 bạn nữ biết mỗi cặp nhảy gồm 1 nam và 1 nữ

Lời giải sai:

Sai lầm: Khi chọn như trên sẽ có những lần lặp lại như sau: Giả sử có 3 bạn

nam là (A, B, C) và 3 bạn nữ là (a, b, c) thì khi hoán vị (A, B, C) và (a, b, c) thành (A, C, B) và (a, c, b) thì ắt sẽ trùng với cách sắp 3 cặp ban đầu là

Sai lầm: Với loại toán trên trước khi giải ta phải tìm điều kiện cho ẩn Lời giải

trên đã quên tìm điều kiện x3,xN Với điều kiện này ta dễ dàng kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = 5

2.2 Vận dụng phương pháp dạy học tự học

Cốt lõi của phương pháp học là phương pháp tự học Học sinh có nâng cao được năng lực học tập hay không phụ thuộc nhiều vào học sinh có tự học hay không Ở trên lớp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự học bằng cách rèn luyện cho học sinh phương pháp tự đọc (những tri thức chưa biết) hoặc tự học với phiếu học tập để học sinh tự ôn lại bài, tự luyện tập hoặc ở mức độ cao hơn là tự đào sâu bài toán, tổng quát hóa bài toán hay sáng tác bài toán mới và đề xuất cách giải

2.2.1 Tự học thông qua hướng dẫn học sinh tự đọc

Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh tự đọc bài 1 “Hai quy tắc đếm cơ bản”

Vào tiết học, giáo viên có thể yêu cầu học sinh đọc nội dung phần 1 “Quy tắc cộng” trong sách giáo khoa và trả lời câu hỏi sau:

- Phát biểu quy tắc cộng? Phân tích ví dụ 1 để thấy được vì sao lại áp dụng quy tắc cộng

- Quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án được phát biểu như thế nào? Tương tự hãy phân tích ví dụ 2

- Mỗi học sinh hãy lấy 1 ví dụ và đưa ra lời giải để minh họa cho quy tắc cộng hoặc quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án

- Vận dụng kiến thức vừa có hãy giải hoạt động 2 trang 52

- Yêu cầu học sinh sáng tác các ví dụ tương tự

Khi học sinh trả lời câu hỏi thứ nhất và thứ hai, giáo viên có thể trình chiếu trên màn hình nội dung quy tắc cộng và quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án Sau đó yêu cầu học sinh lên bảng trình bày ví dụ mà học sinh đề xuất ở câu hỏi thứ ba Cho học sinh dưới lớp phân tích và nhận xét Giáo viên kết luận và yêu cầu học sinh ghi lại những câu trả lời đúng của các

câu hỏi trên vào vở Giáo viên yêu cầu học sinh đọc chú ý trong sách giáo khoa và trả lời câu hỏi: “Quy tắc cộng còn có thể phát biểu dưới dạng nào? Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn nhưng giao nhau thì giải quyết như thế nào?” Giáo viên chỉ nêu vấn đề và gợi ý câu trả lời có trong bài đọc thêm

“Quy tắc cộng mở rộng” sách giáo khoa trang 55 Mục đích là gợi cho học sinh sự tò mò, muốn khám phá tìm câu trả lời, mà muốn vậy chỉ có thể tự đọc bài đọc thêm này

Giáo viên tiếp tục yêu cầu học sinh đọc phần 2 “Quy tắc nhân” và sau khi đọc xong trả lời các câu hỏi:

- Phát biểu quy tắc nhân? Phân tích ví dụ 3 để thấy được vì sao lại áp dụng quy tắc nhân (Để hoàn thành công việc phải thực hiện mấy công đoạn? Mỗi công đoạn có bao nhiêu cách thực hiện?)

- Áp dụng quy tắc nhân giải bài toán trong hoạt động 3

- Phát biểu quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn? Phân tích ví dụ 4 (Để xây dựng được một biển số xe máy thì phải thực hiện mấy công đoạn? Mỗi công đoạn có mấy cách thực hiện?)

- Mỗi học sinh hãy lấy một ví dụ minh họa cho quy tắc nhân hoặc quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn và đưa ra lời giải cho ví dụ đó

Yêu cầu với mỗi câu hỏi học sinh tự ghi lại các câu trả lời vào vở Sau khi học xong 2 quy tắc giáo viên yêu cầu học sinh phân biệt trong trường hợp nào dùng quy tắc cộng, trong trường hợp nào dùng quy tắc nhân Yêu cầu học sinh phân tích và đề xuất cách giải cho ví dụ sau để phân biệt cách dùng hai quy tắc đếm trên: “Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có

ba chữ số trong đó: a) ba chữ số này không nhất thiết khác nhau

b) ba chữ số này khác nhau”

Phân tích: Gọi số cần tìm là abc Để tạo được một số tự nhiên thỏa mãn yêu

cầu thì phải thực hiện 3 công đoạn: chọn a, chọn b, chọn c

+ Ở câu a) các chữ số không nhất thiết khác nhau, a0 nên a có 4

cách chọn, b có 5 cách chọn, c chẵn nên c có 3 cách chọn bằng 0, 2 hoặc 4 Sau đó áp dụng quy tắc nhân

+ Ở câu b) các chữ số khác nhau nên a0và ac Nếu c = 0 thì a có

4 cách chọn (a1,2,3,4), còn nếu c = 2 hoặc c = 4 thì a chỉ còn 3 cách chọn (a1,2,3,4 \  c ) Do vậy có 2 phương án để giải quyết công việc trên: Phương án 1 là c = 0 và phương án 2 là c 2,4 Kết quả của bài toán là tổng các kết quả ở mỗi phương án (áp dụng quy tắc cộng) Trong từng phương án lại thực hiện 3 công đoạn: chọn a, chọn b, chọn c với lưu ý chữ số nào có nhiều điều kiện hơn thì ưu tiên chọn trước (áp dụng quy tắc nhân)

Giáo viên có thể cho học sinh luyện tập thêm một số bài tập nhằm củng cố cách dùng quy tắc cộng, quy tắc nhân Hoặc yêu cầu học sinh sáng tác bài toán giải quyết bằng cả 2 quy tắc trên

Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh tự đọc phần hoán vị trong bài 2 “Hoán vị, chỉnh

hợp và tổ hợp”

Giáo viên yêu cầu học sinh tự đọc phần hoán vị trong sách giáo khoa trang 56 Trong khi học sinh đọc giáo viên có thể trình chiếu nội dung này trên màn hình Sau khi học sinh đọc xong giáo viên yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau:

- Hoán vị là gì? Nêu một số hoán vị của tập hợp A = { 1, 2, 3}

- Viết 8 hoán vị của tập hợp B = { a, b, c,d }

- Nếu tập hợp A có n phần tử thì có tất cả bao nhiêu hoán vị? Hãy nêu cách chứng minh

Sau khi trả lời câu hỏi thứ nhất và thứ hai giáo viên nhấn mạnh cho học sinh một hoán vị của n phần tử của tập hợp A thực chất là xếp n phần tử này vào n vị trí (số phần tử sắp xếp bằng số vị trí) Từ gợi ý này học sinh dễ dàng chứng minh được câu hỏi thứ ba bằng cách phân công việc cần làm thành n công đoạn liên tiếp nhau Công đoạn 1 là chọn 1 phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai,…, công đoạn thứ n là